Как се решават прости логаритмични уравнения. Логаритми: примери и решения

Логаритмични уравнения. От просто към сложно.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Какво е логаритмично уравнение?

Това е уравнение с логаритми. Изненадан съм, нали?) Тогава ще изясня. Това е уравнение, в което се намират неизвестните (x) и изразите с тях вътре в логаритмите.И само там! Важно е.

Ето няколко примера логаритмични уравнения:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Е, разбирате... )

Забележка! Най-разнообразни изрази с X са разположени изключително в рамките на логаритми.Ако внезапно някъде в уравнението се появи X навън, Например:

log 2 x = 3+x,

това вече ще е уравнение от смесен тип. Такива уравнения нямат ясни правила за решаването им. Засега няма да ги разглеждаме. Между другото, има уравнения вътре в логаритмите само числа. Например:

Какво мога да кажа? Щастливец си, ако попаднеш на това! Логаритъм с числа е някакво число.Това е всичко. Достатъчно е да знаете свойствата на логаритмите, за да решите такова уравнение. Познаване на специални правила, техники, адаптирани специално за решаване логаритмични уравнения,не се изисква тук.

Така, какво е логаритмично уравнение- разбрахме го.

Как се решават логаритмични уравнения?

Решение логаритмични уравнения- нещата всъщност не са много прости. Така че нашият раздел е четворка... Изискват се прилични знания по всякакви свързани теми. Освен това в тези уравнения има особеност. И тази функция е толкова важна, че спокойно може да се нарече основната задача при решаването на логаритмични уравнения. Ще разгледаме подробно този проблем в следващия урок.

Засега не се тревожете. Ще вървим по правилния път от просто към сложно.Използване на конкретни примери. Основното нещо е да се задълбочите в простите неща и да не се мързеливите да следвате връзките, поставям ги там с причина ... И всичко ще се получи за вас. Задължително.

Нека започнем с най-елементарните, най-простите уравнения. За да ги решите, препоръчително е да имате представа за логаритъма, но нищо повече. Просто нямам идея логаритъм,вземете решение логаритмиченуравнения - някак дори неудобно... Много смело, бих казал).

Най-простите логаритмични уравнения.

Това са уравнения от вида:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Процес на решение всяко логаритмично уравнениесе състои в прехода от уравнение с логаритми към уравнение без тях. В най-простите уравнения този преход се извършва в една стъпка. Ето защо те са най-простите.)

И такива логаритмични уравнения са изненадващо лесни за решаване. Вижте сами.

Нека решим първия пример:

log 3 x = log 3 9

За да разрешите този пример, не е нужно да знаете почти нищо, да... Чиста интуиция!) Какво ни трябва особеноне харесвате този пример? Какво-що... Не обичам логаритми! вярно Така че нека се отървем от тях. Вглеждаме се в примера и в нас се заражда естествено желание... Направо неустоимо! Вземете и изхвърлете напълно логаритмите. И това, което е добро, е това Моганаправи! Математиката позволява. Логаритмите изчезватОтговорът е:

Страхотно, нали? Това винаги може (и трябва) да се прави. Премахването на логаритми по този начин е един от основните начини за решаване на логаритмични уравнения и неравенства. В математиката тази операция се нарича потенциране.Разбира се, има правила за такава ликвидация, но те са малко. Помня:

Можете да премахнете логаритмите без никакъв страх, ако имат:

а) същите числови бази

в) логаритмите отляво надясно са чисти (без никакви коефициенти) и са в прекрасна изолация.

Нека изясня последната точка. В уравнението, да речем

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Логаритмите не могат да бъдат премахнати. Двамата отдясно не го позволяват. Коефициентът, знаете... В примера

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Също така е невъзможно уравнението да се потенцира. Няма самотен логаритъм от лявата страна. Двама са.

Накратко, можете да премахнете логаритмите, ако уравнението изглежда така и само така:

log a (.....) = log a (.....)

В скоби, където има многоточие, може да има всякакви изрази.Прости, супер сложни, всякакви. Както и да е. Важното е, че след елиминирането на логаритмите ни остава по-просто уравнение.Предполага се, разбира се, че вече знаете как да решавате линейни, квадратни, дробни, експоненциални и други уравнения без логаритми.)

Сега можете лесно да решите втория пример:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Всъщност това се решава в ума. Ние потенцираме, получаваме:

Е, много ли е трудно?) Както виждате, логаритмиченчаст от решението на уравнението е само при елиминиране на логаритми...И тогава идва решението на останалото уравнение без тях. Тривиален въпрос.

Нека решим третия пример:

дневник 7 (50x-1) = 2

Виждаме, че вляво има логаритъм:

Нека си припомним, че този логаритъм е число, до което трябва да се повдигне основата (т.е. седем), за да се получи сублогаритмичен израз, т.е. (50x-1).

Но това число е две! Съгласно ур. Това е:

Това е общо взето всичко. Логаритъм изчезна,Това, което остава, е безобидно уравнение:

Решихме това логаритмично уравнение само въз основа на значението на логаритъма. Все още ли е по-лесно да се премахнат логаритмите?) Съгласен съм. Между другото, ако направите логаритъм от две, можете да решите този пример чрез елиминиране. Всяко число може да се превърне в логаритъм. При това по начина, по който имаме нужда. Много полезна техника за решаване на логаритмични уравнения и (особено!) неравенства.

Не знаете как да направите логаритъм от число!? Всичко е наред. Раздел 555 описва тази техника подробно. Можете да го овладеете и да го използвате максимално! Това значително намалява броя на грешките.

Четвъртото уравнение се решава по напълно подобен начин (по дефиниция):

Това е.

Нека обобщим този урок. Разгледахме решението на най-простите логаритмични уравнения, използвайки примери. Много е важно. И не само защото такива уравнения се появяват на контролни и изпити. Факт е, че дори най-злите и сложни уравнения задължително се свеждат до най-простите!

Всъщност най-простите уравнения са последната част от решението всякаквиуравнения. И тази последна част трябва да се разбира стриктно! И по-нататък. Не пропускайте да прочетете тази страница до края. Има изненада...)

Сега решаваме сами. Да се ​​оправим, така да се каже...)

Намерете корена (или сумата от корените, ако има няколко) на уравненията:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Отговори (разбира се в безпорядък): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Какво, не всичко се получава? Случва се. Не се безпокой! Раздел 555 обяснява решението на всички тези примери по ясен и подробен начин. Определено ще го разберете там. Ще научите и полезни практически техники.

Всичко се получи!? Всички примери за „един останал“?) Поздравления!

Време е да ви разкрия горчивата истина. Успешното решаване на тези примери не гарантира успех при решаването на всички други логаритмични уравнения. Дори най-простите като тези. уви

Факт е, че решението на всяко логаритмично уравнение (дори и най-елементарното!) се състои от две равни части.Решаване на уравнението и работа с ОДЗ. Усвоихме една част - решаването на самото уравнение. Не е толкова труднонали?

За този урок специално подбрах примери, в които DL не влияе по никакъв начин на отговора. Но не всички са мили като мен, нали?...)

Ето защо е наложително да овладеете другата част. ОДЗ. Това е основният проблем при решаването на логаритмични уравнения. И не защото е трудно - тази част е дори по-лесна от първата. Но защото хората просто забравят за ODZ. Или не знаят. Или и двете). И те падат изневиделица...

В следващия урок ще се занимаем с този проблем. Тогава можете уверено да решите всякаквипрости логаритмични уравнения и подход към доста солидни задачи.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

С това видео започвам дълга поредица от уроци за логаритмични уравнения. Сега имате три примера пред вас, въз основа на които ще се научим да решаваме най-простите задачи, които се наричат ​​- протозои.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Нека ви напомня, че най-простото логаритмично уравнение е следното:

log a f (x) = b

В този случай е важно променливата x да присъства само в аргумента, тоест само във функцията f (x). А числата a и b са просто числа и в никакъв случай не са функции, съдържащи променливата x.

Основни методи за решаване

Има много начини за решаване на такива структури. Например повечето учители в училище предлагат този метод: Незабавно изразете функцията f (x) с помощта на формулата е ( x ) = а б . Тоест, когато попаднете на най-простата конструкция, можете веднага да преминете към решението без допълнителни действия и конструкции.

Да, разбира се, решението ще бъде правилно. Проблемът с тази формула обаче е, че повечето студенти не разбирам, откъде идва и защо повдигаме буква а на буква б.

В резултат на това често виждам много досадни грешки, когато например тези букви се разменят. Тази формула трябва или да се разбере, или да се натъпче, а вторият метод води до грешки в най-неподходящите и най-важните моменти: по време на изпити, тестове и т.н.

Ето защо предлагам на всички мои ученици да изоставят стандартната училищна формула и да използват втория подход за решаване на логаритмични уравнения, който, както вероятно се досещате от името, се нарича канонична форма.

Идеята за каноничната форма е проста. Нека отново да разгледаме нашия проблем: отляво имаме log a и под буквата a разбираме число и в никакъв случай функция, съдържаща променливата x. Следователно тази буква подлежи на всички ограничения, наложени върху основата на логаритъма. а именно:

1 ≠ a > 0

От друга страна, от същото уравнение виждаме, че логаритъмът трябва да бъде равен на числото b и няма ограничения за тази буква, защото тя може да приеме всякаква стойност - както положителна, така и отрицателна. Всичко зависи от това какви стойности приема функцията f(x).

И тук си спомняме нашето прекрасно правило, че всяко число b може да бъде представено като логаритъм при основа a от a на степен b:

b = log a a b

Как да запомните тази формула? Да, много просто. Нека напишем следната конструкция:

b = b 1 = b log a a

Разбира се, в този случай възникват всички ограничения, които записахме в началото. Сега нека използваме основното свойство на логаритъма и въведем множителя b като степен на a. Получаваме:

b = b 1 = b log a a = log a a b

В резултат на това първоначалното уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Това е всичко. Новата функция вече не съдържа логаритъм и може да бъде решена с помощта на стандартни алгебрични техники.

Разбира се, сега някой ще възрази: защо изобщо беше необходимо да се измисли някаква канонична формула, защо да се извършват две допълнителни ненужни стъпки, ако беше възможно незабавно да се премине от първоначалния дизайн към окончателната формула? Да, само защото повечето ученици не разбират откъде идва тази формула и в резултат на това редовно правят грешки, когато я прилагат.

Но тази последователност от действия, състояща се от три стъпки, ви позволява да решите оригиналното логаритмично уравнение, дори ако не разбирате откъде идва крайната формула. Между другото, този запис се нарича канонична формула:

log a f (x) = log a a b

Удобството на каноничната форма се крие и във факта, че тя може да се използва за решаване на много широк клас логаритмични уравнения, а не само на най-простите, които разглеждаме днес.

Примери за решения

Сега нека да разгледаме реални примери. И така, нека решим:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Нека го пренапишем така:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Много ученици бързат и се опитват незабавно да повишат числото 0,5 на степен, която ни дойде от първоначалната задача. Наистина, когато вече сте добре обучени да решавате подобни проблеми, можете веднага да изпълните тази стъпка.

Ако обаче сега започвате да изучавате тази тема, по-добре е да не бързате никъде, за да избегнете обидни грешки. И така, имаме каноничната форма. Ние имаме:

3x − 1 = 0,5 −3

Това вече не е логаритмично уравнение, а линейно по отношение на променливата x. За да го решим, нека първо разгледаме числото 0,5 на степен −3. Обърнете внимание, че 0,5 е 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Преобразувайте всички десетични дроби в обикновени дроби, когато решавате логаритмично уравнение.

Пренаписваме и получаваме:

3x − 1 = 8
3x = 9
х = 3

Това е, получихме отговора. Първият проблем е решен.

Втора задача

Да преминем към втората задача:

Както виждаме, това уравнение вече не е най-простото. Дори само защото има разлика отляво, а не един логаритъм по една основа.

Следователно трябва по някакъв начин да се отървем от тази разлика. В този случай всичко е много просто. Нека разгледаме по-отблизо основите: вляво е числото под корена:

Обща препоръка: във всички логаритмични уравнения се опитайте да се отървете от радикалите, т.е. от записи с корени и преминете към степенни функции, просто защото показателите на тези степени лесно се изваждат от знака на логаритъма и в крайна сметка такива един запис значително опростява и ускорява изчисленията. Нека го запишем така:

Сега нека си припомним забележителното свойство на логаритъма: степените могат да бъдат извлечени както от аргумента, така и от основата. В случай на основание се случва следното:

log a k b = 1/k log b

С други думи, числото, което е било в основната степен, се изнася напред и в същото време се обръща, тоест става реципрочно число. В нашия случай основната степен беше 1/2. Следователно можем да го извадим като 2/1. Получаваме:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Моля, обърнете внимание: при никакви обстоятелства не трябва да се отървете от логаритмите на тази стъпка. Спомнете си математиката 4-5 клас и реда на действията: първо се извършва умножение и едва след това събиране и изваждане. В този случай изваждаме един от същите елементи от 10 елемента:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Сега нашето уравнение изглежда както трябва. Това е най-простата конструкция и ние я решаваме с помощта на каноничната форма:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
х = 25

Това е всичко. Вторият проблем е решен.

Трети пример

Да преминем към третата задача:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Нека ви напомня следната формула:

log b = log 10 b

Ако по някаква причина сте объркани от нотацията log b, тогава, когато извършвате всички изчисления, можете просто да напишете log 10 b. Можете да работите с десетични логаритми по същия начин, както с други: вземайте степени, събирайте и представяйте произволни числа във формата lg 10.

Именно тези свойства ще използваме сега, за да решим задачата, тъй като тя не е най-простата, която записахме в самото начало на нашия урок.

Първо, отбележете, че множителят 2 пред lg 5 може да бъде добавен и става степен на основа 5. В допълнение, свободният член 3 може също да бъде представен като логаритъм - това е много лесно да се види от нашата нотация.

Преценете сами: всяко число може да бъде представено като логаритъм по основа 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Нека пренапишем първоначалния проблем, като вземем предвид получените промени:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000

Отново имаме пред себе си каноничната форма и я получихме, без да преминем през етапа на трансформация, т.е. най-простото логаритмично уравнение не се появи никъде.

Точно за това говорих в самото начало на урока. Каноничната форма ви позволява да решавате по-широк клас проблеми от стандартната училищна формула, която повечето учители дават.

Е, това е всичко, отърваваме се от знака на десетичния логаритъм и получаваме проста линейна конструкция:

х + 3 = 25 000
х = 24 997

Всичко! Проблемът е решен.

Бележка за обхвата

Тук бих искал да направя важна забележка относно обхвата на определението. Със сигурност сега ще има ученици и учители, които ще кажат: „Когато решаваме изрази с логаритми, трябва да помним, че аргументът f (x) трябва да е по-голям от нула!“ В тази връзка възниква логичен въпрос: защо не сме изискали това неравенство да бъде изпълнено в нито една от разглежданите задачи?

Не се безпокой. В тези случаи няма да се появят допълнителни корени. И това е друг страхотен трик, който ви позволява да ускорите решението. Просто знайте, че ако в задачата променливата x се среща само на едно място (или по-скоро в един единствен аргумент от един логаритъм) и никъде другаде в нашия случай не се появява променливата x, тогава запишете домейна на дефиницията няма нужда, защото ще се изпълни автоматично.

Преценете сами: в първото уравнение получихме, че 3x − 1, т.е. аргументът трябва да е равен на 8. Това автоматично означава, че 3x − 1 ще бъде по-голямо от нула.

Със същия успех можем да напишем, че във втория случай x трябва да е равно на 5 2, т.е. със сигурност е по-голямо от нула. И в третия случай, където х + 3 = 25 000, т.е. отново очевидно е по-голямо от нула. С други думи, обхватът се удовлетворява автоматично, но само ако x се среща само в аргумента само на един логаритъм.

Това е всичко, което трябва да знаете, за да разрешите най-простите проблеми. Само това правило, заедно с правилата за трансформация, ще ви позволи да разрешите много широк клас проблеми.

Но нека бъдем честни: за да разберете най-накрая тази техника, за да научите как да прилагате каноничната форма на логаритмичното уравнение, не е достатъчно просто да гледате един видео урок. Затова още сега изтеглете опциите за самостоятелни решения, които са приложени към този видео урок, и започнете да решавате поне една от тези две самостоятелни работи.

Ще ви отнеме буквално няколко минути. Но ефектът от такова обучение ще бъде много по-висок, отколкото ако просто гледате този видео урок.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да разберете логаритмичните уравнения. Използвайте каноничната форма, опростете изразите, като използвате правилата за работа с логаритми - и няма да се страхувате от проблеми. Това е всичко, което имам за днес.

Като се вземе предвид домейнът на дефиницията

Сега нека поговорим за областта на дефиниция на логаритмичната функция и как това влияе върху решението на логаритмичните уравнения. Помислете за конструкция на формата

log a f (x) = b

Такъв израз се нарича най-прост - той съдържа само една функция, а числата a и b са просто числа и в никакъв случай функция, която зависи от променливата x. Може да се реши много просто. Просто трябва да използвате формулата:

b = log a a b

Тази формула е едно от ключовите свойства на логаритъма и при заместване в нашия оригинален израз получаваме следното:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Това е позната формула от училищните учебници. Много студенти вероятно ще имат въпрос: тъй като в оригиналния израз функцията f (x) е под знака на журнала, върху нея се налагат следните ограничения:

f(x) > 0

Това ограничение се прилага, защото логаритъмът на отрицателните числа не съществува. Така че може би в резултат на това ограничение трябва да се въведе проверка на отговорите? Може би трябва да бъдат вмъкнати в източника?

Не, в най-простите логаритмични уравнения не е необходима допълнителна проверка. И ето защо. Разгледайте нашата крайна формула:

f (x) = a b

Факт е, че числото a във всеки случай е по-голямо от 0 - това изискване също се налага от логаритъма. Числото a е основата. В този случай не се налагат ограничения върху числото b. Но това няма значение, защото без значение на каква степен повдигаме положително число, пак ще получим положително число на изхода. Така изискването f (x) > 0 се изпълнява автоматично.

Това, което наистина си струва да се провери, е домейнът на функцията под знака на журнала. Може да има доста сложни структури и определено трябва да ги държите под око по време на процеса на решаване. Нека да погледнем.

Първа задача:

Първа стъпка: преобразувайте дробта отдясно. Получаваме:

Отърваваме се от знака за логаритъм и получаваме обичайното ирационално уравнение:

От получените корени само първият ни подхожда, тъй като вторият корен е по-малък от нула. Единственият отговор ще бъде числото 9. Това е всичко, проблемът е решен. Не са необходими допълнителни проверки, за да се гарантира, че изразът под знака логаритъм е по-голям от 0, защото той не просто е по-голям от 0, но според условието на уравнението е равен на 2. Следователно изискването „по-голямо от нула ” се удовлетворява автоматично.

Да преминем към втората задача:

Тук всичко е същото. Пренаписваме конструкцията, замествайки тройката:

Отърваваме се от знаците за логаритъм и получаваме ирационално уравнение:

Поставяме на квадрат двете страни, като вземаме предвид ограниченията и получаваме:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Решаваме полученото уравнение чрез дискриминанта:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Но x = −6 не ни устройва, защото ако заместим това число в нашето неравенство, получаваме:

−6 + 4 = −2 < 0

В нашия случай се изисква то да е по-голямо от 0 или в краен случай равно. Но x = −1 ни подхожда:

−1 + 4 = 3 > 0

Единственият отговор в нашия случай ще бъде x = −1. Това е решението. Да се ​​върнем към самото начало на нашите изчисления.

Основният извод от този урок е, че не е необходимо да проверявате ограничения върху функция в прости логаритмични уравнения. Тъй като по време на процеса на решение всички ограничения се удовлетворяват автоматично.

Това обаче в никакъв случай не означава, че можете да забравите за проверката. В процеса на работа върху логаритмично уравнение, то може да се превърне в ирационално, което ще има свои собствени ограничения и изисквания за дясната страна, които видяхме днес в два различни примера.

Чувствайте се свободни да решавате подобни проблеми и бъдете особено внимателни, ако има корен в спора.

Логаритмични уравнения с различни основи

Продължаваме да изучаваме логаритмични уравнения и разглеждаме още две доста интересни техники, с които е модерно да се решават по-сложни конструкции. Но първо, нека си припомним как се решават най-простите проблеми:

log a f (x) = b

В този запис a и b са числа, а във функцията f (x) променливата x трябва да присъства и само там, тоест x трябва да присъства само в аргумента. Ние ще трансформираме такива логаритмични уравнения, като използваме каноничната форма. За да направите това, имайте предвид, че

b = log a a b

Освен това a b е точно аргумент. Нека пренапишем този израз, както следва:

log a f (x) = log a a b

Това е точно това, което се опитваме да постигнем, така че да има логаритъм за основа а и отляво, и отдясно. В този случай можем, образно казано, да зачеркнем знаците на лога, а от математическа гледна точка можем да кажем, че просто приравняваме аргументите:

f (x) = a b

В резултат на това ще получим нов израз, който ще бъде много по-лесен за решаване. Нека приложим това правило към нашите проблеми днес.

И така, първият дизайн:

Първо, отбелязвам, че отдясно има дроб, чийто знаменател е log. Когато видите израз като този, добра идея е да запомните едно прекрасно свойство на логаритмите:

Преведено на руски това означава, че всеки логаритъм може да бъде представен като частно от два логаритма с произволна основа c. Разбира се 0< с ≠ 1.

И така: тази формула има един чудесен специален случай, когато променливата c е равна на променливата b. В този случай получаваме конструкция като:

Това е точно конструкцията, която виждаме от знака вдясно в нашето уравнение. Нека заменим тази конструкция с log a b, получаваме:

С други думи, в сравнение с първоначалната задача сме разменили аргумента и основата на логаритъма. Вместо това трябваше да обърнем дробта.

Припомняме, че всяка степен може да бъде извлечена от основата съгласно следното правило:

С други думи, коефициентът k, който е степента на основата, се изразява като обърната дроб. Нека го представим като обърната дроб:

Дробният фактор не може да бъде оставен отпред, защото в този случай няма да можем да представим тази нотация като канонична форма (в края на краищата в каноничната форма няма допълнителен фактор преди втория логаритъм). Следователно, нека добавим дробта 1/4 към аргумента като степен:

Сега приравняваме аргументи, чиито основи са еднакви (и нашите бази наистина са еднакви), и пишем:

х + 5 = 1

x = −4

Това е всичко. Получихме отговора на първото логаритмично уравнение. Моля, обърнете внимание: в първоначалния проблем променливата x се появява само в един журнал и се появява в неговия аргумент. Следователно няма нужда да проверяваме домейна и нашето число x = −4 наистина е отговорът.

Сега да преминем към втория израз:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Тук, в допълнение към обичайните логаритми, ще трябва да работим с log f (x). Как да решим такова уравнение? За неподготвен ученик може да изглежда, че това е някаква трудна задача, но всъщност всичко може да се реши по елементарен начин.

Погледнете внимателно термина lg 2 log 2 7. Какво можем да кажем за него? Базите и аргументите на log и lg са еднакви и това би трябвало да даде някои идеи. Нека си припомним още веднъж как се изваждат степените под знака на логаритъма:

log a b n = nlog a b

С други думи, това, което е степен на b в аргумента, става фактор пред самия log. Нека приложим тази формула към израза lg 2 log 2 7. Не се плашете от lg 2 - това е най-често срещаният израз. Можете да го пренапишете, както следва:

За него са валидни всички правила, които се прилагат за всеки друг логаритъм. По-специално, факторът отпред може да се добави към степента на аргумента. Нека го запишем:

Много често учениците не виждат директно това действие, защото не е добре да въвеждате един дневник под знака на друг. Всъщност в това няма нищо престъпно. Освен това получаваме формула, която е лесна за изчисляване, ако запомните важно правило:

Тази формула може да се разглежда както като определение, така и като едно от нейните свойства. Във всеки случай, ако преобразувате логаритмично уравнение, трябва да знаете тази формула точно както бихте знаели логаритмичното представяне на всяко число.

Да се ​​върнем към нашата задача. Пренаписваме го, като вземем предвид факта, че първият член отдясно на знака за равенство ще бъде просто равен на lg 7. Имаме:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Нека преместим lg 7 наляво, получаваме:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Изваждаме изразите отляво, защото имат една и съща основа:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Сега нека разгледаме по-отблизо уравнението, което получихме. На практика това е каноничната форма, но има коефициент −3 вдясно. Нека го добавим към десния аргумент lg:

log 8 = log (x + 4) −3

Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение, така че зачертаваме знаците lg и приравняваме аргументите:

(x + 4) −3 = 8

х + 4 = 0,5

Това е всичко! Решихме второто логаритмично уравнение. В този случай не са необходими допълнителни проверки, тъй като в първоначалния проблем x присъства само в един аргумент.

Позволете ми отново да изброя ключовите моменти от този урок.

Основната формула, която се преподава във всички уроци на тази страница, посветена на решаването на логаритмични уравнения, е каноничната форма. И не се плашете от факта, че повечето училищни учебници ви учат да решавате подобни проблеми по различен начин. Този инструмент работи много ефективно и ви позволява да решавате много по-широк клас проблеми от най-простите, които изучавахме в самото начало на нашия урок.

В допълнение, за решаване на логаритмични уравнения ще бъде полезно да знаете основните свойства. а именно:

1. Формулата за преместване към една база и специалния случай, когато обръщаме лога (това ни беше много полезно при първата задача);
2. Формула за събиране и изваждане на степени от знака логаритъм. Тук много студенти се забиват и не виждат, че извадената и въведена степен може сама по себе си да съдържа log f (x). Нищо лошо в това. Можем да въведем единия дневник според знака на другия и в същото време значително да опростим решението на задачата, което наблюдаваме във втория случай.

В заключение бих искал да добавя, че не е необходимо да проверявате домейна на дефиниция във всеки от тези случаи, защото навсякъде променливата x присъства само в един знак на log и в същото време е в неговия аргумент. В резултат на това всички изисквания на обхвата се изпълняват автоматично.

Проблеми с променлива база

Днес ще разгледаме логаритмични уравнения, които за много ученици изглеждат нестандартни, ако не и напълно неразрешими. Говорим за изрази, базирани не на числа, а на променливи и дори функции. Ние ще решаваме такива конструкции, използвайки нашата стандартна техника, а именно чрез каноничната форма.

Първо, нека си припомним как се решават най-простите задачи, базирани на обикновени числа. И така, най-простата конструкция се нарича

log a f (x) = b

За решаване на такива проблеми можем да използваме следната формула:

b = log a a b

Пренаписваме нашия оригинален израз и получаваме:

log a f (x) = log a a b

След това приравняваме аргументите, т.е. пишем:

f (x) = a b

Така се отърваваме от знака на дневника и решаваме обичайния проблем. В този случай корените, получени от решението, ще бъдат корените на оригиналното логаритмично уравнение. В допълнение, запис, когато и левият, и десният са в един и същи логаритъм с една и съща основа, се нарича точно канонична форма. Именно до такъв рекорд ще се опитаме да намалим днешните дизайни. И така, да вървим.

Първа задача:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Заменете 1 с log x − 2 (x − 2) 1 . Степента, която наблюдаваме в аргумента, всъщност е числото b, което стои отдясно на знака за равенство. И така, нека пренапишем нашия израз. Получаваме:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

какво виждаме Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение, така че можем спокойно да приравним аргументите. Получаваме:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Но решението не свършва дотук, защото това уравнение не е еквивалентно на първоначалното. В края на краищата, получената конструкция се състои от функции, които са дефинирани на цялата числова ос, а нашите оригинални логаритми не са дефинирани навсякъде и не винаги.

Следователно трябва да запишем домейна на дефиниция отделно. Нека не цепим косми и първо да напишем всички изисквания:

Първо, аргументът на всеки от логаритмите трябва да е по-голям от 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Второ, основата не само трябва да е по-голяма от 0, но и различна от 1:

x − 2 ≠ 1

В резултат на това получаваме системата:

Но не се тревожете: при обработката на логаритмични уравнения такава система може да бъде значително опростена.

Съдете сами: от една страна, от нас се изисква квадратичната функция да е по-голяма от нула, а от друга страна, тази квадратна функция се приравнява на определен линеен израз, който също се изисква да бъде по-голям от нула.

В този случай, ако изискваме x − 2 > 0, тогава автоматично ще бъде изпълнено изискването 2x 2 − 13x + 18 > 0. Следователно можем спокойно да зачеркнем неравенството, съдържащо квадратичната функция. По този начин броят на изразите, съдържащи се в нашата система, ще бъде намален до три.

Разбира се, със същия успех бихме могли да зачеркнем линейното неравенство, тоест да зачеркнем x − 2 > 0 и да изискваме 2x 2 − 13x + 18 > 0. Но ще се съгласите, че решаването на най-простото линейно неравенство е много по-бързо и по-проста, отколкото квадратна, дори при условие, че в резултат на решаването на цялата тази система получаваме едни и същи корени.

Като цяло, опитайте се да оптимизирате изчисленията, когато е възможно. А в случай на логаритмични уравнения, задраскайте най-трудните неравенства.

Нека пренапишем нашата система:

Ето една система от три израза, два от които всъщност вече разгледахме. Нека да напишем квадратното уравнение отделно и да го решим:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Пред нас е редуциран квадратен трином и следователно можем да използваме формулите на Vieta. Получаваме:

(x − 5)(x − 2) = 0

х 1 = 5

х 2 = 2

Сега се връщаме към нашата система и откриваме, че x = 2 не ни устройва, защото от нас се изисква x да бъде строго по-голямо от 2.

Но x = 5 ни подхожда идеално: числото 5 е по-голямо от 2 и в същото време 5 не е равно на 3. Следователно единственото решение на тази система ще бъде x = 5.

Това е всичко, проблемът е решен, включително като се вземе предвид ODZ. Да преминем към второто уравнение. Още интересни и информативни изчисления ни очакват тук:

Първата стъпка: както миналия път, привеждаме цялата тази материя в канонична форма. За да направим това, можем да напишем числото 9 по следния начин:

Не е нужно да докосвате основата с корена, но е по-добре да трансформирате аргумента. Нека преминем от корена към степента с рационален показател. Нека запишем:

Нека не пренаписвам цялото ни голямо логаритмично уравнение, а просто веднага приравнявам аргументите:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Пред нас е наскоро редуциран квадратен трином, нека използваме формулите на Vieta и напишем:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

И така, получихме корените, но никой не ни гарантира, че ще паснат на първоначалното логаритмично уравнение. В края на краищата регистрационните знаци налагат допълнителни ограничения (тук трябваше да запишем системата, но поради тромавия характер на цялата структура реших да изчисля отделно домейна на дефиниция).

Първо, не забравяйте, че аргументите трябва да са по-големи от 0, а именно:

Това са изискванията, наложени от обхвата на дефиницията.

Нека веднага да отбележим, че тъй като приравняваме първите два израза на системата един към друг, можем да зачеркнем всеки от тях. Нека зачеркнем първото, защото изглежда по-заплашително от второто.

Освен това имайте предвид, че решението на второто и третото неравенство ще бъдат едни и същи множества (кубът на някакво число е по-голям от нула, ако самото това число е по-голямо от нула; по същия начин, с корен от трета степен - тези неравенства са напълно аналогични, така че можем да го зачеркнем).

Но с третото неравенство това няма да работи. Нека се отървем от радикалния знак вляво, като повдигнем двете части на куб. Получаваме:

Така че получаваме следните изисквания:

− 2 ≠ x > −3

Кой от нашите корени: x 1 = −3 или x 2 = −1 отговаря на тези изисквания? Очевидно само x = −1, тъй като x = −3 не удовлетворява първото неравенство (тъй като нашето неравенство е строго). И така, връщайки се към нашия проблем, получаваме един корен: x = −1. Това е, проблемът е решен.

Още веднъж ключовите точки на тази задача:

1. Чувствайте се свободни да прилагате и решавате логаритмични уравнения, като използвате канонична форма. Студентите, които правят такава нотация, вместо да преминат директно от първоначалния проблем към конструкция като log a f (x) = b, правят много по-малко грешки от тези, които бързат нанякъде, прескачайки междинните стъпки на изчисленията;
2. Щом в логаритъм се появи променлива основа, проблемът престава да бъде най-простият. Следователно при решаването му е необходимо да се вземе предвид домейнът на дефиницията: аргументите трябва да са по-големи от нула, а базите не само трябва да са по-големи от 0, но и не трябва да са равни на 1.

Окончателните изисквания могат да бъдат приложени към крайните отговори по различни начини. Например, можете да разрешите цяла система, съдържаща всички изисквания за домейна на дефиниция. От друга страна, можете първо да решите самата задача и след това да запомните домейна на дефиницията, отделно да я разработите под формата на система и да я приложите към получените корени.

Кой метод да изберете при решаването на конкретно логаритмично уравнение зависи от вас. Във всеки случай отговорът ще бъде същият.

Въведение

Логаритмите са измислени, за да ускорят и опростят изчисленията. Идеята за логаритъм, тоест идеята за изразяване на числата като степени на една и съща основа, принадлежи на Михаил Щифел. Но по времето на Щифел математиката не беше толкова развита и идеята за логаритъма не беше развита. По-късно логаритмите са изобретени едновременно и независимо един от друг от шотландския учен Джон Напиер (1550-1617) и швейцареца Йобст Бурги (1552-1632).Напиер е първият, който публикува работата си през 1614 г. под заглавието „Описание на невероятна таблица с логаритми“ теорията на Напиер за логаритмите беше дадена в доста пълен обем, методът за изчисляване на логаритми беше даден най-простият, следователно заслугите на Напиер в изобретяването на логаритми бяха по-големи от тези на Бюрги. Бурги работи върху таблиците едновременно с Напиер, но ги пази в тайна дълго време и ги публикува едва през 1620 г. Нейпиер усвоява идеята за логаритъма около 1594 г. въпреки че таблиците са публикувани 20 години по-късно. Отначало той нарече своите логаритми „изкуствени числа“ и едва след това предложи тези „изкуствени числа“ да се наричат ​​с една дума „логаритъм“, което в превод от гръцки означава „корелирани числа“, взети едно от аритметична прогресия, а другото от геометрична прогресия, специално подбрана за нея. Първите таблици на руски език са публикувани през 1703 г. с участието на прекрасен учител от 18 век. Л. Ф. Магнитски. Трудовете на петербургския академик Леонхард Ойлер са от голямо значение за развитието на теорията на логаритмите. Той е първият, който разглежда логаритмите като обратното на повдигането на степен; той въвежда термините „логаритъмна основа“ и „мантиса.“ Бригс съставя таблици на логаритми с основа 10. Десетичните таблици са по-удобни за практическа употреба, тяхната теория е по-проста от тази на логаритмите на Напиер. Следователно десетичните логаритми понякога се наричат ​​логаритми на Бригс. Терминът "охарактеризиране" е въведен от Бригс.

В онези далечни времена, когато мъдреците за първи път започнаха да мислят за равенства, съдържащи неизвестни количества, вероятно не е имало монети или портфейли. Но имаше купища, както и саксии и кошници, които бяха идеални за ролята на тайници за съхранение, които можеха да поберат неизвестен брой предмети. В древните математически задачи на Месопотамия, Индия, Китай, Гърция неизвестните величини изразяват броя на пауните в градината, броя на биковете в стадото и съвкупността от неща, взети предвид при разделянето на имуществото. Писари, чиновници и свещеници, посветени в тайни знания, добре обучени в науката за сметките, се справяли доста успешно с подобни задачи.

Достигналите до нас източници показват, че древните учени са имали някои общи техники за решаване на проблеми с неизвестни величини. Въпреки това нито един папирус или глинена плочка не съдържа описание на тези техники. Авторите само от време на време снабдяват числените си изчисления с оскъдни коментари като: „Вижте!“, „Направете това!“, „Намерихте правилния“. В този смисъл изключение прави „Аритметиката” на гръцкия математик Диофант от Александрия (III в.) – сборник от задачи за съставяне на уравнения със систематично представяне на техните решения.

Но първото ръководство за решаване на проблеми, което стана широко известно, беше дело на багдадския учен от 9 век. Мохамед бин Муса ал-Хорезми. Думата "ал-джабр" от арабското име на този трактат - "Китаб ал-джабер уол-мукабала" ("Книга на възстановяването и противопоставянето") - с течение на времето се превърна в добре познатата дума "алгебра", а ал- Самата работа на Хорезми послужи като отправна точка в развитието на науката за решаване на уравнения.

Логаритмични уравнения и неравенства

1. Логаритмични уравнения

Уравнение, което съдържа неизвестно под знака на логаритъма или в основата си, се нарича логаритмично уравнение.

Най-простото логаритмично уравнение е уравнение от формата

дневник а х = b . (1)

Твърдение 1. Ако а > 0, а≠ 1, уравнение (1) за всяко реално bима уникално решение х = а б .

Пример 1. Решете уравненията:

а) дневник 2 х= 3, b) log 3 х= -1, в)

Решение. Използвайки твърдение 1, получаваме а) х= 2 3 или х= 8; б) х= 3 -1 или х= 1/3; ° С)

или х = 1.

Нека представим основните свойства на логаритъма.

P1. Основна логаритмична идентичност:

Където а > 0, а≠ 1 и b > 0.

P2. Логаритъмът на произведението на положителните фактори е равен на сумата от логаритмите на тези фактори:

дневник а н 1 · н 2 = дневник а н 1 + дневник а н 2 (а > 0, а ≠ 1, н 1 > 0, н 2 > 0).

Коментирайте. Ако н 1 · н 2 > 0, тогава свойството P2 приема формата

дневник а н 1 · н 2 = дневник а |н 1 | + дневник а |н 2 | (а > 0, а ≠ 1, н 1 · н 2 > 0).

P3. Логаритъмът от частното на две положителни числа е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя

(а > 0, а ≠ 1, н 1 > 0, н 2 > 0).

Коментирайте. Ако

, (което е еквивалентно н 1 н 2 > 0), тогава свойството P3 приема формата (а > 0, а ≠ 1, н 1 н 2 > 0).

P4. Логаритъмът на степента на положително число е равен на произведението на степента и логаритъма на това число:

дневник а н к = кдневник а н (а > 0, а ≠ 1, н > 0).

Коментирайте. Ако к- четен брой ( к = 2с), Че

дневник а н 2с = 2сдневник а |н | (а > 0, а ≠ 1, н ≠ 0).

P5. Формула за преместване в друга база:

(а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, н > 0),

особено ако н = b, получаваме

(а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Използвайки свойства P4 и P5, е лесно да се получат следните свойства

(а > 0, а ≠ 1, b > 0, ° С ≠ 0), (3) (а > 0, а ≠ 1, b > 0, ° С ≠ 0), (4) (а > 0, а ≠ 1, b > 0, ° С ≠ 0), (5)

и ако в (5) ° С- четен брой ( ° С = 2н), възниква

(b > 0, а ≠ 0, |а | ≠ 1). (6)

Нека изброим основните свойства на логаритмичната функция f (х) = дневник а х :

1. Областта на дефиниране на логаритмична функция е множеството от положителни числа.

2. Диапазонът от стойности на логаритмичната функция е набор от реални числа.

3. Кога а> 1 логаритмична функция е строго нарастваща (0< х 1 < х 2log а х 1 < logа х 2) и на 0< а < 1, - строго убывает (0 < х 1 < х 2log а х 1 > дневник а х 2).

4.дневник а 1 = 0 и log а а = 1 (а > 0, а ≠ 1).

5. Ако а> 1, тогава логаритмичната функция е отрицателна, когато х(0;1) и положителен при х(1;+∞), и ако 0< а < 1, то логарифмическая функция положительна при х (0;1) и отрицателен при х (1;+∞).

6. Ако а> 1, тогава логаритмичната функция е изпъкнала нагоре и ако а(0;1) - изпъкнал надолу.

Следните твърдения (вижте например) се използват при решаване на логаритмични уравнения.

Както знаете, когато се умножават изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b *a c = a b+c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с цели показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където трябва да опростите тромавото умножение чрез просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. На прост и достъпен език.

Дефиниция в математиката

Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) „b“ спрямо основата му „a“ се счита за степен „c“ ”, до която трябва да се повдигне основата „a”, за да се получи в крайна сметка стойността „b”. Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направим някои изчисления наум, получаваме числото 3! И това е вярно, защото 2 на степен 3 дава отговора като 8.

Видове логаритми

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три отделни вида логаритмични изрази:

1. Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
2. Десетично a, където основата е 10.
3. Логаритъм на произволно число b при основа a>1.

Всяка от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редукция и последваща редукция до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и последователността от действия, когато ги решавате.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са истината. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече четен корен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да се научите да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

• Основата „а“ винаги трябва да е по-голяма от нула и да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби значението си, тъй като „1“ и „0“ във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
• ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че „c” също трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, дадена е задачата да намерите отговора на уравнението 10 x = 100. Това е много лесно, трябва да изберете степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 = 100.

Сега нека представим този израз в логаритмична форма. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се събират, за да се намери степента, на която е необходимо да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да се научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате технически ум и познаване на таблицата за умножение. Въпреки това, за по-големи стойности ще ви е необходима таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степен c, на която е повдигнато числото a. В пресечната точка клетките съдържат числовите стойности, които са отговорът (a c =b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числови изрази могат да бъдат записани като логаритмично равенство. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм с основа 3 от 81, равен на четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32, записваме го като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения по-долу, веднага след изучаването на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.

Даден е следният израз: log 2 (x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност “x” е под логаритмичния знак. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм 2 x = √9) предполагат една или повече конкретни числени стойности в отговора, докато при решаване на неравенство, както обхватът на приемливите стойностите​​и точките се определят чрез нарушаване на тази функция. Вследствие на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнение, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става дума за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще разгледаме примери за уравнения; нека първо разгледаме всяко свойство по-подробно.

1. Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само когато a е по-голямо от 0, не е равно на единица, и B е по-голямо от нула.
2. Логаритъмът на продукта може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай задължителното условие е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази логаритмична формула с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, тогава a f1 = s 1, a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства на градуса ), и след това по дефиниция: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
3. Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича „свойство на степента на логаритъм“. Наподобява свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на естествени постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Нека log a b = t, оказва се, че a t = b. Ако повдигнем двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за задачи и неравенства

Най-често срещаните видове задачи за логаритми са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички сборници със задачи, а също така са задължителна част от изпитите по математика. За да влезете в университет или да преминете приемни изпити по математика, трябва да знаете как правилно да решавате такива задачи.

За съжаление, няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или намален до обща форма. Можете да опростите дълги логаритмични изрази, ако използвате техните свойства правилно. Нека бързо да ги опознаем.

Когато решаваме логаритмични уравнения, трябва да определим какъв тип логаритъм имаме: примерен израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че те трябва да определят степента, на която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За да решите естествени логаритми, трябва да приложите логаритмични идентичности или техните свойства. Нека да разгледаме примери за решаване на различни видове логаритмични задачи.

Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения

И така, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритмите.

1. Свойството логаритъм на произведение може да се използва в задачи, при които е необходимо да се разложи голяма стойност на числото b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъм, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Просто трябва да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от Единния държавен изпит

Логаритмите често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-сложните и обемни задачи). Изпитът изисква точни и завършени познания по темата “Натурални логаритми”.

Примерите и решенията на задачите са взети от официалните версии на Единния държавен изпит. Да видим как се решават такива задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4, следователно 2x = 17; х = 8,5.

• Най-добре е да намалите всички логаритми до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
• Всички изрази под знака за логаритъм са посочени като положителни, следователно, когато показателят на израз, който е под знака за логаритъм и като негова основа е изваден като множител, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.