Funcțiile unei variabile complexe.
Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Acest articol deschide o serie de lecții în care voi lua în considerare probleme tipice legate de teoria funcțiilor unei variabile complexe. Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre numerele complexe. Pentru a consolida și repeta materialul, trebuie doar să vizitați pagina. Veți avea nevoie și de abilitățile pentru a găsi derivate parțiale de ordinul doi. Iată-le, aceste derivate parțiale... chiar și acum am fost puțin surprins de cât de des apar...

Subiectul pe care începem să îl examinăm nu prezintă dificultăți deosebite, iar în funcțiile unei variabile complexe, în principiu, totul este clar și accesibil. Principalul lucru este să adere la regula de bază, pe care am derivat-o experimental. Citește mai departe!

Conceptul de funcție a unei variabile complexe

Mai întâi, să ne reîmprospătăm cunoștințele despre funcția școlară a unei variabile:

Funcție cu o singură variabilă este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente (din domeniul definiției) îi corespunde una și doar o singură valoare a funcției. Desigur, „x” și „y” sunt numere reale.

În cazul complex, dependența funcțională este specificată în mod similar:

Funcția cu o singură valoare a unei variabile complexe- aceasta este regula conform căreia toată lumea cuprinzător valoarea variabilei independente (din domeniul definiţiei) corespunde uneia şi numai una cuprinzător valoarea functiei. Teoria ia în considerare, de asemenea, funcții multi-valorice și alte tipuri de funcții, dar pentru simplitate mă voi concentra pe o definiție.

Care este diferența dintre o funcție variabilă complexă?

Principala diferență: numere complexe. Nu sunt ironic. Astfel de întrebări îi lasă adesea pe oameni în stupoare; la sfârșitul articolului, vă voi spune o poveste amuzantă. La lectie Numere complexe pentru manechine am considerat un număr complex sub forma . De acum litera „z” a devenit variabil, atunci o vom nota astfel: , în timp ce „x” și „y” pot lua diferite valabil sensuri. În linii mari, funcția unei variabile complexe depinde de variabilele și , care iau valori „obișnuite”. Următorul punct decurge logic din acest fapt:

Funcția unei variabile complexe poate fi scrisă astfel:
, unde și sunt două funcții ale lui doi valabil variabile.

Funcția este numită parte reală funcții
Funcția este numită parte imaginară funcții

Adică, funcția unei variabile complexe depinde de două funcții reale și . Pentru a clarifica totul, să ne uităm la exemple practice:

Exemplul 1

Soluţie: Variabila independentă „zet”, după cum vă amintiți, este scrisă sub forma , prin urmare:

(1) Am înlocuit .

(2) Pentru primul termen s-a folosit formula de înmulțire prescurtată. În termen, parantezele au fost deschise.

(3) Pătrat cu grijă, fără a uita că

(4) Rearanjarea termenilor: mai întâi rescriem termenii , în care nu există o unitate imaginară(primul grup), apoi termenii unde există (al doilea grup). Trebuie remarcat faptul că amestecarea termenilor nu este necesară, iar acest pas poate fi omis (făcând-o efectiv pe cale orală).

(5) Pentru al doilea grup îl scoatem din paranteze.

Ca urmare, funcția noastră s-a dovedit a fi reprezentată în formă

Răspuns:
– parte reală a funcției.
– parte imaginară a funcției.

Ce fel de funcții s-au dovedit a fi acestea? Cele mai obișnuite funcții ale două variabile din care puteți găsi atât de populare derivate parțiale. Fără milă, o vom găsi. Dar puțin mai târziu.

Pe scurt, algoritmul pentru problema rezolvată poate fi scris după cum urmează: înlocuim , în funcția originală, efectuăm simplificări și împărțim toți termenii în două grupuri - fără o unitate imaginară (partea reală) și cu o unitate imaginară (partea imaginară) .

Exemplul 2

Găsiți partea reală și imaginară a funcției

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Înainte să vă grăbiți în luptă pe planul complex cu piesele trase, permiteți-mi să vă dau cele mai importante sfaturi pe această temă:

ATENȚIE! Trebuie să fii atent, desigur, peste tot, dar în numere complexe ar trebui să fii mai atent ca niciodată! Amintiți-vă că, deschideți cu atenție parantezele, nu pierdeți nimic. Conform observațiilor mele, cea mai frecventă greșeală este pierderea unui semn. Nu te grabi!

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Acum cubul. Folosind formula de înmulțire prescurtată, obținem:
.

Formulele sunt foarte convenabile de utilizat în practică, deoarece accelerează semnificativ procesul de soluție.

Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Am două vești: bune și rele. Voi începe cu cel bun. Pentru o funcție a unei variabile complexe sunt valabile regulile de diferențiere și tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Astfel, derivata este luată exact în același mod ca și în cazul unei funcții a unei variabile reale.

Vestea proastă este că pentru multe funcții variabile complexe nu există nicio derivată și trebuie să vă dați seama este diferentiabil? o funcție sau alta. Și „a-ți da seama” cum se simte inima ta este asociată cu probleme suplimentare.

Să luăm în considerare funcția unei variabile complexe. Pentru ca această funcție să fie diferențiabilă este necesar și suficient:

1) Astfel încât să existe derivate parțiale de ordinul întâi. Uitați imediat de aceste notații, deoarece în teoria funcțiilor unei variabile complexe se folosește în mod tradițional o notație diferită: .

2) Pentru a efectua așa-numitul Condiții Cauchy-Riemann:

Numai în acest caz derivatul va exista!

Exemplul 3

Soluţie este împărțit în trei etape succesive:

1) Să găsim părțile reale și imaginare ale funcției. Această sarcină a fost discutată în exemplele anterioare, așa că o voi scrie fără comentarii:

De atunci:

Prin urmare:

– parte imaginară a funcției.

Permiteți-mi să abordez încă un punct tehnic: în ce ordine scrieți termenii în părțile reale și imaginare? Da, în principiu, nu contează. De exemplu, partea reală poate fi scrisă astfel: , iar cea imaginară – așa: .

2) Să verificăm îndeplinirea condiţiilor Cauchy-Riemann. Sunt doi dintre ei.

Să începem prin a verifica starea. Găsim derivate parțiale:

Astfel, condiția este îndeplinită.

Desigur, vestea bună este că derivatele parțiale sunt aproape întotdeauna foarte simple.

Verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții:

Rezultatul este același, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare funcția este diferențiabilă.

3) Să găsim derivata funcției. Derivatul este, de asemenea, foarte simplu și se găsește conform regulilor obișnuite:

Unitatea imaginară este considerată o constantă în timpul diferențierii.

Răspuns: – parte reală, – partea imaginară.
Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, .

Mai există două moduri de a găsi derivatul, ele sunt, desigur, folosite mai rar, dar informațiile vor fi utile pentru înțelegerea celei de-a doua lecție - Cum să găsiți o funcție a unei variabile complexe?

Derivatul poate fi găsit folosind formula:

În acest caz:

Prin urmare

Trebuie să rezolvăm problema inversă - în expresia rezultată trebuie să izolăm . Pentru a face acest lucru, este necesar în termenii și în afara parantezei:

Acțiunea inversă, după cum mulți au observat, este ceva mai dificil de efectuat; pentru a verifica, este întotdeauna mai bine să luați expresia pe o ciornă sau să deschideți oral parantezele înapoi, asigurându-vă că rezultatul este exact.

Formula oglindă pentru găsirea derivatei:

În acest caz: , De aceea:

Exemplul 4

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, găsiți derivata funcției.

O scurtă soluție și o mostră aproximativă a proiectului final la sfârșitul lecției.

Sunt întotdeauna îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann? Teoretic, ele nu sunt îndeplinite mai des decât sunt îndeplinite. Dar în exemple practice, nu îmi amintesc un caz în care nu au fost îndeplinite =) Astfel, dacă derivatele tale parțiale „nu converg”, atunci cu o probabilitate foarte mare poți spune că ai greșit undeva.

Să ne complicăm funcțiile:

Exemplul 5

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. calculati

Soluţie: Algoritmul de soluție este complet păstrat, dar la final se va adăuga un nou punct: găsirea derivatei într-un punct. Pentru cub, formula necesară a fost deja derivată:

Să definim părțile reale și imaginare ale acestei funcții:

Atenție și atenție din nou!

De atunci:


Prin urmare:
– parte reală a funcției;
– parte imaginară a funcției.

Verificarea a doua condiție:

Rezultatul este același, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare funcția este diferențiabilă:

Să calculăm valoarea derivatei în punctul necesar:

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann,

Funcțiile cu cuburi sunt comune, așa că iată un exemplu de consolidat:

Exemplul 6

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Calculati.

Soluție și exemplu de finalizare la sfârșitul lecției.

În teoria analizei complexe sunt definite și alte funcții ale unui argument complex: exponent, sinus, cosinus etc. Aceste funcții au proprietăți neobișnuite și chiar bizare - și acest lucru este cu adevărat interesant! Chiar vreau să vă spun, dar aici, așa cum se întâmplă, nu este o carte de referință sau un manual, ci o carte de soluții, așa că voi lua în considerare aceeași problemă cu unele funcții comune.

În primul rând despre așa-numitul formulele lui Euler:

Pentru oricine valabil numere, sunt valabile următoarele formule:

De asemenea, îl puteți copia în caiet ca material de referință.

Strict vorbind, există o singură formulă, dar de obicei, pentru comoditate, scriu și un caz special cu un minus în exponent. Parametrul nu trebuie să fie o singură literă; poate fi o expresie sau o funcție complexă, este important doar ca aceștia să accepte numai valabil sensuri. De fapt, vom vedea asta chiar acum:

Exemplul 7

Găsiți derivata.

Soluţie: Linia generală a partidului rămâne de neclintit - este necesar să se distingă părțile reale și imaginare ale funcției. Voi oferi o soluție detaliată și voi comenta fiecare pas de mai jos:

De atunci:

(1) Înlocuiți „z” în schimb.

(2) După înlocuire, trebuie să selectați părțile reale și imaginare primul în indicator expozanti. Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele.

(3) Grupăm partea imaginară a indicatorului, plasând unitatea imaginară din paranteze.

(4) Folosim acțiunea școlară cu grade.

(5) Pentru multiplicator folosim formula lui Euler și .

(6) Deschideți parantezele, rezultând:

– parte reală a funcției;
– parte imaginară a funcției.

Acțiunile ulterioare sunt standard; să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Exemplul 9

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Așa fie, nu vom găsi derivatul.

Soluţie: Algoritmul de soluție este foarte asemănător cu cele două exemple anterioare, dar există puncte foarte importante, așa că voi comenta din nou etapa inițială pas cu pas:

De atunci:

1) Înlocuiți „z” în schimb.

(2) În primul rând, selectăm părțile reale și imaginare în interiorul sinusului. În aceste scopuri, deschidem parantezele.

(3) Folosim formula și .

(4) Utilizare paritatea cosinusului hiperbolic: Și ciudățenie de sinus hiperbolic: . Hiperbolicele, deși sunt în afara acestei lumi, amintesc în multe privințe de funcții trigonometrice similare.

În cele din urmă:
– parte reală a funcției;
– parte imaginară a funcției.

Atenţie! Semnul minus se referă la partea imaginară și în niciun caz nu trebuie să-l pierdem! Pentru o ilustrare clară, rezultatul obținut mai sus poate fi rescris după cum urmează:

Să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite.

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann.

Doamnelor și domnilor, să ne dăm seama singuri:

Exemplul 10

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Am ales în mod deliberat exemple mai dificile, pentru că toată lumea pare să poată face față cu ceva, cum ar fi arahidele decojite. În același timp, îți vei antrena atenția! Spărgător de nuci la sfârșitul lecției.

Ei bine, în concluzie, voi privi un alt exemplu interesant când un argument complex este la numitor. S-a întâmplat de câteva ori în practică, să ne uităm la ceva simplu. Eh, îmbătrânesc...

Exemplul 11

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Soluţie: Din nou, este necesar să se distingă părțile reale și imaginare ale funcției.
Daca atunci

Apare întrebarea, ce să faci când „Z” este la numitor?

Totul este simplu - cel standard va ajuta metodă de înmulțire a numărătorului și numitorului cu expresia conjugată, a fost deja folosit în exemplele lecției Numere complexe pentru manechine. Să ne amintim formula școlii. Avem deja în numitor, ceea ce înseamnă că expresia conjugată va fi . Astfel, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu: