Koncepcja piramidy

Definicja 1

Figura geometryczna utworzona przez wielokąt i punkt nie leżący na płaszczyźnie zawierającej ten wielokąt, połączony ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta, nazywa się piramidą (ryc. 1).

Wielokąt, z którego zbudowana jest piramida, nazywa się podstawą piramidy; powstałe trójkąty, połączone z punktem, są bocznymi ścianami piramidy, boki trójkątów są bokami piramidy, a punkt wspólny dla wszystkich trójkątów jest wierzchołek piramidy.

Rodzaje piramid

W zależności od liczby kątów u podstawy piramidy można ją nazwać trójkątną, czworokątną i tak dalej (ryc. 2).

Rysunek 2.

Innym rodzajem piramidy jest piramida zwykła.

Przedstawmy i udowodnijmy własność regularnej piramidy.

Twierdzenie 1

Wszystkie boczne ściany regularnej piramidy są trójkątami równoramiennymi, które są sobie równe.

Dowód.

Rozważmy regularną piramidę $n-$gonal z wierzchołkiem $S$ o wysokości $h=SO$. Narysujmy okrąg wokół podstawy (ryc. 4).

Rysunek 4.

Rozważmy trójkąt $SOA$. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa otrzymujemy

Oczywiście każda krawędź boczna zostanie zdefiniowana w ten sposób. W związku z tym wszystkie krawędzie boczne są sobie równe, to znaczy wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Udowodnijmy, że są sobie równi. Ponieważ podstawą jest wielokąt foremny, podstawy wszystkich ścian bocznych są sobie równe. W konsekwencji wszystkie ściany boczne są równe zgodnie z III kryterium równości trójkątów.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Wprowadźmy teraz następującą definicję związaną z pojęciem regularnej piramidy.

Definicja 3

Apothem regularnej piramidy jest wysokość jej bocznej ściany.

Oczywiście, zgodnie z twierdzeniem pierwszym, wszystkie apotemy są sobie równe.

Twierdzenie 2

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy określa się jako iloczyn półobwodu podstawy i apotemu.

Dowód.

Oznaczmy bok podstawy piramidy $n-$gonalnej przez $a$, a apotem przez $d$. Dlatego obszar powierzchni bocznej jest równy

Ponieważ zgodnie z Twierdzeniem 1 wszystkie strony są równe

Twierdzenie zostało udowodnione.

Innym typem piramidy jest piramida ścięta.

Definicja 4

Jeśli przez zwykłą piramidę poprowadzono płaszczyznę równoległą do jej podstawy, wówczas figura utworzona między tą płaszczyzną a płaszczyzną podstawy nazywana jest piramidą ściętą (ryc. 5).

Rysunek 5. Ścięta piramida

Boczne ściany ściętej piramidy są trapezami.

Twierdzenie 3

Pole powierzchni bocznej regularnej ściętej piramidy określa się jako iloczyn sumy półobwodów podstaw i apotemów.

Dowód.

Oznaczmy boki podstaw piramidy $n-$gonalnej odpowiednio przez $a\ i\ b$, a apotem przez $d$. Dlatego obszar powierzchni bocznej jest równy

Skoro więc wszystkie strony są równe

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykładowe zadanie

Przykład 1

Znajdź pole powierzchni bocznej ściętej trójkątnej piramidy, jeśli jest ona uzyskana z regularnej piramidy o boku podstawy 4 i apotemie 5, odcinając płaszczyznę przechodzącą przez linię środkową ścian bocznych.

Rozwiązanie.

Korzystając z twierdzenia o linii środkowej, stwierdzamy, że górna podstawa ostrosłupa ściętego jest równa $4\cdot \frac(1)(2)=2$, a apotem jest równy $5\cdot \frac(1)(2) = 2,5 dolara.

Następnie, z Twierdzenia 3, otrzymujemy

Piramida. Ścięta piramida

Piramida jest wielościanem, którego jedna z ścian jest wielokątem ( baza ), a wszystkie pozostałe ściany są trójkątami ze wspólnym wierzchołkiem ( boczne twarze ) (ryc. 15). Piramida nazywa się prawidłowy , jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy (ryc. 16). Nazywa się ostrosłupem trójkątnym, którego wszystkie krawędzie są równe czworościan .

Boczne żebro ostrosłupa to bok ściany bocznej, który nie należy do podstawy Wysokość piramida to odległość jej wierzchołka od płaszczyzny podstawy. Wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są sobie równe, wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Nazywa się wysokość ściany bocznej regularnej piramidy narysowanej od wierzchołka apotem . Przekrój ukośny nazywa się przekrojem piramidy płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

Powierzchnia boczna piramida to suma pól wszystkich ścian bocznych. Całkowita powierzchnia nazywa się sumą pól wszystkich ścian bocznych i podstawy.

Twierdzenia

1. Jeżeli w piramidzie wszystkie boczne krawędzie są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy rzutuje się na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

2. Jeżeli wszystkie boczne krawędzie piramidy mają tę samą długość, wówczas wierzchołek piramidy rzutuje się na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

3. Jeżeli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy zostanie rzucony na środek okręgu wpisanego w podstawę.

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, poprawny wzór to:

Gdzie V- tom;

Baza S– powierzchnia podstawy;

H– wysokość piramidy.

W przypadku zwykłej piramidy poprawne są następujące wzory:

Gdzie P– obwód podstawy;

h– apotem;

H- wysokość;

Pełny

Strona S

Baza S– powierzchnia podstawy;

V– objętość regularnej piramidy.

Ścięta piramida nazywana częścią piramidy zamkniętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy (ryc. 17). Regularna ścięta piramida nazywana częścią regularnej piramidy zamkniętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy.

Fusyścięta piramida - podobne wielokąty. Boczne twarze – trapezy. Wysokość piramidy ściętej to odległość między jej podstawami. Przekątna ścięta piramida to odcinek łączący jej wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie. Przekrój ukośny to przekrój ściętej piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

W przypadku piramidy ściętej obowiązują następujące wzory:

(4)

Gdzie S 1 , S 2 – obszary podstawy górnej i dolnej;

Pełny– powierzchnia całkowita;

Strona S– powierzchnia boczna;

H- wysokość;

V– objętość ściętej piramidy.

Dla regularnej piramidy ściętej wzór jest poprawny:

Gdzie P 1 , P 2 – obwody podstaw;

h– apotem w kształcie regularnej ściętej piramidy.

Przykład 1. W regularnej piramidzie trójkątnej kąt dwuścienny u podstawy wynosi 60°. Znajdź tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 18).

Piramida jest regularna, co oznacza, że ​​u podstawy znajduje się trójkąt równoboczny, a wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Kąt dwuścienny u podstawy to kąt nachylenia bocznej ściany piramidy do płaszczyzny podstawy. Kąt liniowy to kąt A pomiędzy dwiema prostopadłymi: itd. Wierzchołek piramidy rzutowany jest na środek trójkąta (środek okręgu opisanego i okrąg wpisany w trójkąt ABC). Kąt nachylenia krawędzi bocznej (np S.B.) to kąt pomiędzy samą krawędzią a jej rzutem na płaszczyznę podstawy. Na żebro S.B. ten kąt będzie kątem SBD. Aby znaleźć styczną, musisz znać nogi WIĘC I O.B.. Niech długość odcinka BD równa się 3 A. Kropka O odcinek BD jest podzielony na części: i Od znajdujemy WIĘC: Z znajdujemy:

Odpowiedź:

Przykład 2. Znajdź objętość regularnej ściętej czworokątnej piramidy, jeśli przekątne jej podstaw są równe cm i cm, a jej wysokość wynosi 4 cm.

Rozwiązanie. Aby znaleźć objętość ściętej piramidy, używamy wzoru (4). Aby znaleźć obszar podstaw, musisz znaleźć boki kwadratów podstawowych, znając ich przekątne. Boki podstaw wynoszą odpowiednio 2 cm i 8 cm, czyli pola podstaw i Podstawiając wszystkie dane do wzoru, obliczamy objętość ściętej piramidy:

Odpowiedź: 112cm3.

Przykład 3. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej trójkątnej ściętej piramidy, której boki podstaw wynoszą 10 cm i 4 cm, a wysokość piramidy wynosi 2 cm.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 19).

Boczna ściana tej piramidy jest trapezem równoramiennym. Aby obliczyć pole trapezu, musisz znać podstawę i wysokość. Podstawy podano według stanu, nieznana pozostaje tylko wysokość. Znajdziemy ją skąd A 1 mi prostopadle do punktu A 1 na płaszczyźnie dolnej podstawy, A 1 D– prostopadle od A 1 os AC. A 1 mi= 2 cm, ponieważ jest to wysokość piramidy. Znaleźć DE Zróbmy dodatkowy rysunek przedstawiający widok z góry (ryc. 20). Kropka O– rzut środków podstawy górnej i dolnej. ponieważ (patrz ryc. 20) i Z drugiej strony OK– promień wpisany w okrąg i OM– promień wpisany w okrąg:

MK = DE.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa z

Powierzchnia boczna:

Odpowiedź:

Przykład 4. U podstawy piramidy leży trapez równoramienny, którego podstawy A I B (A> B). Każda ściana boczna tworzy kąt równy płaszczyźnie podstawy piramidy J. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 21). Całkowita powierzchnia piramidy SABCD równa sumie pól i pola trapezu ABCD.

Skorzystajmy ze stwierdzenia, że ​​jeśli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek jest rzutowany na środek okręgu wpisanego w podstawę. Kropka O– rzut wierzchołkowy S u podstawy piramidy. Trójkąt DARŃ jest rzutem ortogonalnym trójkąta CSD do płaszczyzny podstawy. Korzystając z twierdzenia o obszarze rzutu ortogonalnego figury płaskiej, otrzymujemy:

Podobnie to znaczy W ten sposób problem został zredukowany do znalezienia pola trapezu ABCD. Narysujmy trapez ABCD osobno (ryc. 22). Kropka O– środek okręgu wpisanego w trapez.

Ponieważ okrąg można wpisać w trapez, to lub Z twierdzenia Pitagorasa mamy

Ten samouczek wideo pomoże użytkownikom zapoznać się z motywem Piramidy. Poprawna piramida. W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy i podamy jej definicję. Zastanówmy się, czym jest zwykła piramida i jakie ma właściwości. Następnie udowodnimy twierdzenie o powierzchni bocznej regularnej piramidy.

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy i podamy jej definicję.

Rozważ wielokąt A 1 A 2...Jakiś, która leży w płaszczyźnie α, oraz punkt P, która nie leży w płaszczyźnie α (rys. 1). Połączmy kropki P ze szczytami Za 1, Za 2, Za 3, … Jakiś. Dostajemy N trójkąty: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tak dalej.

Definicja. Wielościan RA 1 A 2 ...A n, złożony z N-kwadrat A 1 A 2...Jakiś I N trójkąty RA 1 A 2, RA 2A 3 …RA n A n-1 nazywa się N-piramida węglowa. Ryż. 1.

Ryż. 1

Rozważmy czworokątną piramidę PABCD(ryc. 2).

R- szczyt piramidy.

ABCD- podstawa piramidy.

RA- boczne żebro.

AB- żebro podstawy.

Z punktu R opuśćmy prostopadłą RN do płaszczyzny bazowej ABCD. Wykreślona prostopadłość to wysokość piramidy.

Ryż. 2

Pełna powierzchnia piramidy składa się z powierzchni bocznej, czyli pola wszystkich ścian bocznych oraz pola podstawy:

S pełny = S strona + S główny

Piramidę nazywamy prawidłową, jeśli:

• jego podstawą jest wielokąt foremny;
• odcinek łączący wierzchołek piramidy ze środkiem podstawy to jej wysokość.

Wyjaśnienie na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej

Rozważmy regularną czworokątną piramidę PABCD(ryc. 3).

R- szczyt piramidy. Podstawa piramidy ABCD- regularny czworobok, czyli kwadrat. Kropka O, punkt przecięcia przekątnych, jest środkiem kwadratu. Oznacza, RO jest wysokością piramidy.

Ryż. 3

Wyjaśnienie: w poprawnym N W trójkącie środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego pokrywają się. Środek ten nazywany jest środkiem wielokąta. Czasami mówią, że wierzchołek jest rzutowany na środek.

Nazywa się wysokość bocznej ściany regularnej piramidy narysowanej od jej wierzchołka apotem i jest wyznaczony h.

1. wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są równe;

2. Ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi.

Dowód tych właściwości przedstawimy na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej.

Dany: PABCD- regularna czworokątna piramida,

ABCD- kwadrat,

RO- wysokość piramidy.

Udowodnić:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Patrz rys. 4.

Ryż. 4

Dowód.

RO- wysokość piramidy. To znaczy prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a zatem bezpośredni JSC, VO, SO I DO leżąc w nim. Zatem trójkąty ROA, ROV, ROS, ROD- prostokątny.

Rozważmy kwadrat ABCD. Z własności kwadratu wynika, że AO = VO = CO = DO.

Następnie trójkąty prostokątne ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- generał i nogi JSC, VO, SO I DO są równe, co oznacza, że ​​te trójkąty są równe z dwóch stron. Z równości trójkątów wynika równość odcinków, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 został udowodniony.

Segmenty AB I Słońce są równe, ponieważ są bokami tego samego kwadratu, RA = PB = RS. Zatem trójkąty AVR I VSR - równoramienne i równe z trzech stron.

W podobny sposób znajdujemy trójkąty ABP, VCP, CDP, DAP są równoramienne i równe, jak wymaga tego udowodnienie w paragrafie 2.

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu:

Aby to udowodnić, wybierzmy regularną piramidę trójkątną.

Dany: RAVY- regularna trójkątna piramida.

AB = BC = AC.

RO- wysokość.

Udowodnić: . Zobacz ryc. 5.

Ryż. 5

Dowód.

RAVY- regularna trójkątna piramida. To jest AB= AC = BC. Pozwalać O- środek trójkąta ABC, Następnie RO jest wysokością piramidy. U podstawy piramidy leży trójkąt równoboczny ABC. Zauważ, że .

Trójkąty RAV, RVS, RPA- równe trójkąty równoramienne (według właściwości). Trójkątna piramida ma trzy ściany boczne: RAV, RVS, RPA. Oznacza to, że pole powierzchni bocznej piramidy wynosi:

Strona S = 3S RAW

Twierdzenie zostało udowodnione.

Promień okręgu wpisanego w podstawę regularnej czworokątnej piramidy wynosi 3 m, wysokość piramidy wynosi 4 m. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Dany: regularna czworokątna piramida ABCD,

ABCD- kwadrat,

R= 3 m,

RO- wysokość piramidy,

RO= 4 m.

Znajdować: Strona S. Zobacz ryc. 6.

Ryż. 6

Rozwiązanie.

Zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem, .

Najpierw znajdźmy bok podstawy AB. Wiemy, że promień okręgu wpisanego w podstawę czworokątnej piramidy foremnej wynosi 3 m.

Następnie m.in.

Znajdź obwód kwadratu ABCD o boku 6 m:

Rozważmy trójkąt BCD. Pozwalać M- środek boku DC. Ponieważ O- środek BD, To (M).

Trójkąt DPC- równoramienne. M- środek DC. To jest, RM- mediana, a co za tym idzie wysokość w trójkącie DPC. Następnie RM- apotem piramidy.

RO- wysokość piramidy. Potem prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a zatem bezpośredni OM, leżąc w nim. Znajdźmy apotem RM z trójkąta prostokątnego ROM.

Teraz możemy znaleźć powierzchnię boczną piramidy:

Odpowiedź: 60 m2.

Promień okręgu opisanego na podstawie regularnej trójkątnej piramidy jest równy m. Pole powierzchni bocznej wynosi 18 m 2. Znajdź długość apothemu.

Dany: ABCP- regularna trójkątna piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

Strona S = 18 m2.

Znajdować: . Zobacz ryc. 7.

Ryż. 7

Rozwiązanie.

W trójkącie prostokątnym ABC Podany jest promień okręgu opisanego. Znajdźmy stronę AB ten trójkąt, korzystając z twierdzenia sinusów.

Znając bok regularnego trójkąta (m), znajdujemy jego obwód.

Według twierdzenia o powierzchni bocznej regularnej piramidy, gdzie h- apotem piramidy. Następnie:

Odpowiedź: 4 m.

Przyjrzeliśmy się więc, czym jest piramida, czym jest regularna piramida i udowodniliśmy twierdzenie o powierzchni bocznej regularnej piramidy. W następnej lekcji zapoznamy się ze ściętą piramidą.

Bibliografia

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wyd. 5, wyd. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il.
2. Geometria. Klasy 10-11: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego / Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory.
3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego z pogłębioną i specjalistyczną nauką matematyki /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - wyd. 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: chory.

1. Portal internetowy „Yaklass” ()
2. Portal internetowy „Święto idei pedagogicznych „Pierwszy września” ()
3. Portal internetowy „Slideshare.net” ()

Praca domowa

1. Czy wielokąt foremny może być podstawą nieregularnej piramidy?
2. Udowodnić, że rozłączne krawędzie ostrosłupa foremnego są prostopadłe.
3. Znajdź wartość kąta dwuściennego po stronie podstawy regularnej czworokątnej piramidy, jeśli apotem piramidy jest równy bokowi jej podstawy.
4. RAVY- regularna trójkątna piramida. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego u podstawy piramidy.

Studenci spotykają się z koncepcją piramidy na długo przed studiowaniem geometrii. Wina leży po stronie słynnych wielkich egipskich cudów świata. Dlatego większość uczniów, rozpoczynając naukę tego cudownego wielościanu, już wyraźnie to sobie wyobraża. Wszystkie powyższe atrakcje mają odpowiedni kształt. Co się stało zwykła piramida i jakie ma właściwości zostaną omówione dalej.

W kontakcie z

Definicja

Istnieje wiele definicji piramidy. Od czasów starożytnych cieszył się dużą popularnością.

Na przykład Euklides zdefiniował ją jako figurę cielesną składającą się z płaszczyzn, które zaczynając od jednej, zbiegają się w pewnym punkcie.

Heron przedstawił bardziej precyzyjne sformułowanie. Upierał się, że to jest ta postać ma podstawę i płaszczyzny w kształcie trójkątów, zbiegające się w jednym punkcie.

W oparciu o współczesną interpretację piramida jest reprezentowana jako wielościan przestrzenny, składający się z pewnych k-gonów i k płaskich trójkątnych figur, mających jeden wspólny punkt.

Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo, z jakich elementów się składa:

• K-gon jest uważany za podstawę figury;
• Trójkątne kształty wystają jako krawędzie części bocznej;
• górna część, z której wychodzą elementy boczne, nazywana jest wierzchołkiem;
• wszystkie odcinki łączące wierzchołek nazywane są krawędziami;
• jeśli linia prosta zostanie obniżona od wierzchołka do płaszczyzny figury pod kątem 90 stopni, wówczas jej część zawarta w przestrzeni wewnętrznej jest wysokością piramidy;
• w dowolnym elemencie bocznym prostopadłą zwaną apotemem można poprowadzić do boku naszego wielościanu.

Liczbę krawędzi oblicza się ze wzoru 2*k, gdzie k jest liczbą boków k-kąta. Ile ścian ma wielościan taki jak piramida, można określić za pomocą wyrażenia k+1.

Ważny! Piramida o regularnym kształcie to figura stereometryczna, której płaszczyzną podstawy jest k-gon o równych bokach.

Podstawowe właściwości

Poprawna piramida ma wiele właściwości, które są dla niej wyjątkowe. Wymieńmy je:

1. Podstawą jest figura o odpowiednim kształcie.
2. Krawędzie piramidy ograniczające elementy boczne mają równe wartości liczbowe.
3. Elementy boczne to trójkąty równoramienne.
4. Podstawa wysokości figury przypada na środek wielokąta, będąc jednocześnie centralnym punktem wpisanego i opisanego.
5. Wszystkie żebra boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
6. Wszystkie powierzchnie boczne mają ten sam kąt nachylenia względem podstawy.

Dzięki wszystkim wymienionym właściwościom wykonanie obliczeń elementów jest znacznie prostsze. W oparciu o powyższe właściwości zwracamy uwagę dwa znaki:

1. W przypadku, gdy wielokąt wpasowuje się w okrąg, ściany boczne będą miały równe kąty z podstawą.
2. Opisując okrąg wokół wielokąta, wszystkie krawędzie piramidy wychodzące z wierzchołka będą miały równe długości i równe kąty z podstawą.

Podstawą jest kwadrat

Regularna czworokątna piramida - wielościan, którego podstawą jest kwadrat.

Ma cztery ściany boczne, które wyglądają jak równoramienne.

Kwadrat jest przedstawiony na płaszczyźnie, ale opiera się na wszystkich właściwościach zwykłego czworoboku.

Na przykład, jeśli konieczne jest powiązanie boku kwadratu z jego przekątną, użyj następującego wzoru: przekątna jest równa iloczynowi boku kwadratu i pierwiastka kwadratowego z dwóch.

Opiera się na regularnym trójkącie

Regularna piramida trójkątna to wielościan, którego podstawa jest foremnym trójkątem.

Jeśli podstawą jest regularny trójkąt, a krawędzie boczne są równe krawędziom podstawy, to taka figura zwany czworościanem.

Wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi. W takim przypadku musisz znać niektóre punkty i nie tracić na nie czasu przy obliczaniu:

• kąt nachylenia żeber do dowolnej podstawy wynosi 60 stopni;
• rozmiar wszystkich ścian wewnętrznych wynosi również 60 stopni;
• każda twarz może działać jako podstawa;
• , narysowane wewnątrz rysunku, są to elementy równe.

Przekroje wielościanu

W każdym wielościanie są kilka rodzajów sekcji płaski. Często na szkolnym kursie geometrii pracują z dwoma:

• osiowy;
• równolegle do podstawy.

Przekrój osiowy uzyskuje się poprzez przecięcie wielościanu z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek, krawędzie boczne i oś. W tym przypadku osią jest wysokość narysowana od wierzchołka. Płaszczyzna cięcia jest ograniczona liniami przecięcia ze wszystkimi ścianami, co daje trójkąt.

Uwaga! W regularnej piramidzie przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym.

Jeśli płaszczyzna cięcia przebiega równolegle do podstawy, wówczas wynikiem jest druga opcja. W tym przypadku mamy figurę przekroju podobną do podstawy.

Przykładowo, jeśli u podstawy znajduje się kwadrat, to odcinek równoległy do ​​podstawy również będzie kwadratem, tylko o mniejszych wymiarach.

Rozwiązując problemy pod tym warunkiem, używają znaków i właściwości podobieństwa figur, na podstawie twierdzenia Talesa. Przede wszystkim konieczne jest określenie współczynnika podobieństwa.

Jeśli poprowadzimy płaszczyznę równolegle do podstawy i odetniemy górną część wielościanu, wówczas w dolnej części otrzymamy regularną ściętą piramidę. Mówi się wówczas, że podstawy wielościanu ściętego są wielokątami podobnymi. W tym przypadku ściany boczne są trapezami równoramiennymi. Przekrój osiowy jest również równoramienny.

Aby wyznaczyć wysokość ściętego wielościanu, należy narysować wysokość w przekroju osiowym, czyli w trapezie.

Powierzchnie

Główne problemy geometryczne, które należy rozwiązać na szkolnym kursie geometrii, to znalezienie pola powierzchni i objętości piramidy.

Istnieją dwa typy wartości pola powierzchni:

• obszar elementów bocznych;
• obszar całej powierzchni.

Już sama nazwa wskazuje na to, o czym mówimy. Powierzchnia boczna obejmuje tylko elementy boczne. Wynika z tego, że aby go znaleźć, wystarczy dodać pola płaszczyzn bocznych, czyli pola 3-kątów równoramiennych. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole elementów bocznych:

1. Pole 3-kąta równoramiennego wynosi Str=1/2(aL), gdzie a to bok podstawy, L to apotem.
2. Liczba płaszczyzn bocznych zależy od rodzaju k-gonu u podstawy. Na przykład regularna czworokątna piramida ma cztery płaszczyzny boczne. Dlatego należy dodać pola czterech cyfr Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Wyrażenie zostaje w ten sposób uproszczone, ponieważ wartość wynosi 4a = Rosn, gdzie Rosn jest obwodem podstawy. A wyrażenie 1/2*Rosn to jego półobwód.
3. Dochodzimy więc do wniosku, że powierzchnia bocznych elementów regularnej piramidy jest równa iloczynowi półobwodu podstawy i apotema: Sside = Rosn * L.

Pole całkowitej powierzchni piramidy składa się z sumy pól płaszczyzn bocznych i podstawy: Sp.p. = Sside + Sbas.

Jeśli chodzi o obszar podstawy, tutaj stosuje się wzór zgodnie z rodzajem wielokąta.

Objętość regularnej piramidy równy iloczynowi pola powierzchni podstawy i wysokości podzielonej przez trzy: V=1/3*Sbas*H, gdzie H jest wysokością wielościanu.

Czym jest regularna piramida w geometrii

Właściwości regularnej piramidy czworokątnej