Funkcije kompleksne varijable.
Diferencijacija funkcija kompleksne varijable.

Ovaj članak otvara niz lekcija u kojima ću razmatrati tipične probleme vezane za teoriju funkcija kompleksne varijable. Da biste uspješno savladali primjere, morate imati osnovno znanje o kompleksnim brojevima. Da biste konsolidirali i ponovili materijal, samo posjetite stranicu. Također će vam trebati vještine za pronalaženje parcijalni derivati ​​drugog reda. Evo ih, ovih parcijalnih derivata...i sad sam se malo iznenadio koliko se često javljaju...

Tema koju počinjemo ispitivati ​​ne predstavlja nikakve posebne poteškoće, a u funkcijama složene varijable, u principu, sve je jasno i dostupno. Glavno je pridržavati se osnovnog pravila, koje sam eksperimentalno izveo. Čitajte dalje!

Pojam funkcije kompleksne varijable

Prvo, osvježimo naše znanje o školskoj funkciji jedne varijable:

Jedna varijabla funkcija je pravilo prema kojem svaka vrijednost nezavisne varijable (iz domene definicije) odgovara jednoj i samo jednoj vrijednosti funkcije. Naravno, “x” i “y” su realni brojevi.

U složenom slučaju, funkcionalna ovisnost je specificirana na sličan način:

Jednovrijedna funkcija kompleksne varijable- ovo je pravilo po kojem svi sveobuhvatan vrijednost nezavisne varijable (iz domena definicije) odgovara jednoj i samo jednoj sveobuhvatan vrijednost funkcije. Teorija također razmatra viševrijedne i neke druge vrste funkcija, ali radi jednostavnosti fokusirat ću se na jednu definiciju.

Koja je razlika između funkcije kompleksne varijable?

Glavna razlika: kompleksni brojevi. Nisam ironičan. Takva pitanja često ostavljaju ljude u stuporu; na kraju članka ću vam ispričati smiješnu priču. Na lekciji Kompleksni brojevi za lutke razmatrali smo kompleksan broj u obliku . Od sada je slovo “z” postalo varijabla, tada ćemo ga označiti na sljedeći način: , dok “x” i “y” mogu biti različiti validan značenja. Grubo govoreći, funkcija kompleksne varijable ovisi o varijablama i , koje poprimaju “obične” vrijednosti. Iz ove činjenice logično proizlazi sljedeće:

Funkcija kompleksne varijable može se napisati kao:
, gdje su i dvije funkcije od dva validan varijable.

Funkcija se poziva pravi deo funkcije
Funkcija se poziva imaginarni deo funkcije

To jest, funkcija kompleksne varijable ovisi o dvije realne funkcije i . Da konačno sve razjasnimo, pogledajmo praktične primjere:

Primjer 1

Rješenje: Nezavisna varijabla "zet", kao što se sjećate, napisana je u obliku , dakle:

(1) Zamenili smo .

(2) Za prvi član korištena je skraćena formula za množenje. U terminu su otvorene zagrade.

(3) Pažljivo na kvadrat, ne zaboravljajući to

(4) Preuređenje pojmova: prvo prepisujemo pojmove , u kojoj nema zamišljene jedinice(prva grupa), zatim termini gdje ih ima (druga grupa). Treba napomenuti da miješanje termina nije potrebno, a ovaj korak se može preskočiti (u stvari usmeno).

(5) Za drugu grupu vadimo iz zagrada.

Kao rezultat toga, ispostavilo se da je naša funkcija predstavljena u obliku

odgovor:
– pravi dio funkcije.
– imaginarni dio funkcije.

Kakve su se to funkcije pokazale? Najobičnije funkcije dvije varijable od kojih možete pronaći tako popularne parcijalni derivati. Bez milosti ćemo ga naći. Ali malo kasnije.

Ukratko, algoritam za riješeni problem može se napisati na sljedeći način: zamjenjujemo , u originalnu funkciju, vršimo pojednostavljenja i dijelimo sve pojmove u dvije grupe - bez imaginarne jedinice (stvarni dio) i sa imaginarnom jedinicom (imaginarni dio) .

Primjer 2

Pronađite stvarni i imaginarni dio funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Prije nego što požurite u bitku na složenom avionu s izvučenim damama, dozvolite mi da vam dam najvažniji savjet na tu temu:

BUDI PAZLJIV! Morate biti oprezni, naravno, svuda, ali u složenim brojevima trebali biste biti oprezniji nego ikad! Zapamtite to, pažljivo otvorite zagrade, nemojte ništa izgubiti. Prema mojim zapažanjima, najčešća greška je gubitak znaka. Ne žuri!

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Sada kocka. Koristeći skraćenu formulu množenja, izvodimo:
.

Formule su vrlo zgodne za korištenje u praksi, jer značajno ubrzavaju proces rješenja.

Diferencijacija funkcija kompleksne varijable.

Imam dvije vijesti: dobru i lošu. Počeću sa onim dobrim. Za funkciju kompleksne varijable vrijede pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Dakle, derivacija se uzima na potpuno isti način kao u slučaju funkcije realne varijable.

Loša vijest je da za mnoge složene varijabilne funkcije uopće ne postoji derivacija i to morate shvatiti da li se može razlikovati jednu ili drugu funkciju. A "shvatiti" kako se vaše srce osjeća povezano je s dodatnim problemima.

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable. Da bi ova funkcija bila diferencibilna potrebno je i dovoljno:

1) Tako da postoje parcijalni derivati ​​prvog reda. Odmah zaboravite na ove notacije, jer se u teoriji funkcija kompleksne varijable tradicionalno koristi druga notacija: .

2) Za obavljanje tzv Cauchy-Riemann uslovi:

Samo u ovom slučaju će derivat postojati!

Primjer 3

Rješenje podijeljen je u tri uzastopne faze:

1) Nađimo stvarni i imaginarni dio funkcije. Ovaj zadatak je razmatran u prethodnim primjerima, pa ću ga zapisati bez komentara:

Od tada:

ovako:

– imaginarni dio funkcije.

Dozvolite mi da se dotaknem još jedne tehničke tačke: kojim redosledom napisati pojmove u realnom i imaginarnom dijelu? Da, u principu, nije bitno. Na primjer, pravi dio se može napisati ovako: , a onu imaginarnu – ovako: .

2) Provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Ima ih dvoje.

Počnimo sa provjerom stanja. Mi nalazimo parcijalni derivati:

Dakle, uslov je zadovoljen.

Naravno, dobra vijest je da su parcijalni derivati ​​gotovo uvijek vrlo jednostavni.

Provjeravamo ispunjenost drugog uslova:

Rezultat je isti, ali sa suprotnim predznacima, odnosno uslov je takođe ispunjen.

Cauchy-Riemannovi uvjeti su zadovoljeni, stoga je funkcija diferencibilna.

3) Nađimo derivaciju funkcije. Izvod je također vrlo jednostavan i nalazi se prema uobičajenim pravilima:

Imaginarna jedinica se smatra konstantom tokom diferencijacije.

odgovor: – pravi dio, – imaginarni dio.
Cauchy-Riemann uvjeti su zadovoljeni, .

Postoje još dva načina za pronalaženje izvedenice, oni se, naravno, rjeđe koriste, ali informacije će biti korisne za razumijevanje druge lekcije - Kako pronaći funkciju kompleksne varijable?

Izvod se može naći pomoću formule:

U ovom slučaju:

Dakle

Moramo riješiti inverzni problem - u rezultirajućem izrazu trebamo izolirati . Da biste to učinili, potrebno je u terminima i van zagrada:

Obrnutu radnju, kao što su mnogi primijetili, nešto je teže izvesti; za provjeru, uvijek je bolje uzeti izraz na nacrt ili usmeno otvoriti zagrade, pazeći da je rezultat tačan

Formula ogledala za pronalaženje izvoda:

U ovom slučaju: , Zbog toga:

Primjer 4

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Ako su ispunjeni Cauchy-Riemann uvjeti, pronađite derivaciju funkcije.

Kratko rješenje i približni uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Da li su Cauchy-Riemann uvjeti uvijek zadovoljeni? Teoretski, one se ne ispunjavaju češće nego što se ispunjavaju. Ali u praktičnim primjerima, ne sjećam se slučaja da nisu ispunjeni =) Dakle, ako se vaši parcijalni derivati ​​"ne konvergiraju", onda s vrlo velikom vjerovatnoćom možete reći da ste negdje pogriješili.

Zakomplikujmo naše funkcije:

Primjer 5

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Izračunati

Rješenje: Algoritam rješenja je u potpunosti sačuvan, ali na kraju će se dodati nova tačka: pronalaženje derivacije u tački. Za kocku, potrebna formula je već izvedena:

Definirajmo stvarne i imaginarne dijelove ove funkcije:

Ponovo pažnja i pažnja!

Od tada:


ovako:
– pravi dio funkcije;
– imaginarni dio funkcije.

Provjera drugog uslova:

Rezultat je isti, ali sa suprotnim predznacima, odnosno uslov je takođe ispunjen.

Cauchy-Riemann uvjeti su zadovoljeni, stoga je funkcija diferencibilna:

Izračunajmo vrijednost derivacije u traženoj tački:

odgovor:, , Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni,

Funkcije s kockama su uobičajene, pa evo primjera za pojačanje:

Primjer 6

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Izračunati.

Rješenje i primjer završetka na kraju lekcije.

U teoriji kompleksne analize definiraju se i druge funkcije kompleksnog argumenta: eksponent, sinus, kosinus itd. Ove funkcije imaju neobična, pa čak i bizarna svojstva - i ovo je zaista zanimljivo! Zaista želim da vam kažem, ali ovde, kako to biva, nije reč o priručniku ili udžbeniku, već o rešenju, pa ću razmotriti isti problem sa nekim uobičajenim funkcijama.

Prvo o tzv Ojlerove formule:

Za bilo koga validan brojeva, važeće su sljedeće formule:

Takođe ga možete kopirati u svoju bilježnicu kao referentni materijal.

Strogo govoreći, postoji samo jedna formula, ali obično radi praktičnosti pišu i poseban slučaj sa minusom u eksponentu. Parametar ne mora biti jedno slovo; može biti složen izraz ili funkcija, važno je samo da prihvati samo važi značenja. Zapravo, ovo ćemo vidjeti upravo sada:

Primjer 7

Pronađite izvod.

Rješenje: Generalna linija partije ostaje nepokolebljiva - potrebno je razlikovati stvarni i imaginarni dio funkcije. U nastavku ću dati detaljno rješenje i komentarisati svaki korak:

Od tada:

(1) Umjesto toga zamijenite “z”.

(2) Nakon zamjene, potrebno je odabrati stvarni i imaginarni dio prvi u indikatoru izlagači. Da biste to učinili, otvorite zagrade.

(3) Grupiramo imaginarni dio indikatora, stavljajući imaginarnu jedinicu van zagrada.

(4) Koristimo školsku akciju sa diplomama.

(5) Za množitelj koristimo Eulerovu formulu i .

(6) Otvorite zagrade, što rezultira:

– pravi dio funkcije;
– imaginarni dio funkcije.

Dalje radnje su standardne; provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova:

Primjer 9

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Neka bude tako, nećemo naći derivat.

Rješenje: Algoritam rješenja je vrlo sličan prethodna dva primjera, ali ima vrlo važnih tačaka, pa ću opet komentirati početnu fazu korak po korak:

Od tada:

1) Umjesto toga zamijenite "z".

(2) Prvo odabiremo stvarni i imaginarni dio unutar sinusa. U ove svrhe otvaramo zagrade.

(3) Koristimo formulu i .

(4) Upotreba paritet hiperboličkog kosinusa: I neparnost hiperboličkog sinusa: . Hiperbolika, iako izvan ovog svijeta, na mnogo načina podsjeća na slične trigonometrijske funkcije.

na kraju:
– pravi dio funkcije;
– imaginarni dio funkcije.

Pažnja! Znak minus se odnosi na imaginarni dio i ni u kom slučaju ga ne smijemo izgubiti! Radi jasne ilustracije, gore dobijeni rezultat može se prepisati na sljedeći način:

Provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova:

Cauchy-Riemann uslovi su zadovoljeni.

odgovor:, , Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni.

Dame i gospodo, hajde da to sami shvatimo:

Primjer 10

Odredite stvarni i imaginarni dio funkcije. Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova.

Namjerno sam odabrao teže primjere, jer se čini da se svako može nositi s nečim, poput oljuštenog kikirikija. Istovremeno ćete trenirati svoju pažnju! Kreker za orahe na kraju lekcije.

Pa, u zaključku, pogledat ću još jedan zanimljiv primjer kada je složen argument u nazivniku. Desilo se to par puta u praksi, pogledajmo nešto jednostavno. Eh, starim...

Primjer 11

Odredite stvarni i imaginarni dio funkcije. Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova.

Rješenje: Opet je potrebno razlikovati stvarni i imaginarni dio funkcije.
Ako onda

Postavlja se pitanje šta učiniti kada je “Z” u nazivniku?

Sve je jednostavno - standardni će vam pomoći metoda množenja brojnika i nazivnika konjugiranim izrazom, već je korišteno u primjerima lekcije Kompleksni brojevi za lutke. Prisjetimo se školske formule. Već imamo u nazivniku, što znači da će konjugirani izraz biti . Dakle, morate pomnožiti brojilac i imenilac sa: