Stranice su jednaki uglovi petougla. Otkrivena je nova vrsta pentagona koji pokrivaju avion

Pentagon je geometrijska figura sa pet uglova. Štoviše, sa gledišta geometrije, kategorija peterokuta uključuje sve poligone koji imaju ovu karakteristiku, bez obzira na lokaciju njegovih stranica.

Zbir uglova petougla

Pentagon je zapravo poligon, tako da za izračunavanje zbira njegovih uglova možete koristiti formulu usvojenu za izračunavanje navedene sume u odnosu na poligon sa bilo kojim brojem uglova. Gore navedeni zbir uglova poligona smatra sljedećom jednakošću: zbir uglova = (n - 2) * 180°, gdje je n broj uglova u željenom poligonu.

Dakle, u slučaju kada govorimo konkretno o , vrijednost n u ovoj formuli bit će jednaka 5. Dakle, zamjenom date vrijednosti n u formulu, ispada da će zbir uglova petougla biti 540°. Međutim, treba imati na umu da je primjena ove formule u odnosu na određeni pentagon povezana s nizom ograničenja.

Vrste pentagona

Činjenica je da se navedena formula, koja ima, kao i za ostale vrste ovih geometrijskih figura, može primijeniti samo ako je riječ o takozvanom konveksnom poligonu. To je, pak, geometrijska figura koja zadovoljava sljedeći uvjet: sve njegove točke su na jednoj strani prave linije koja prolazi između dva susjedna vrha.

Dakle, postoji cijela kategorija pentagona, zbir uglova u kojima će se razlikovati od naznačene vrijednosti. Tako je, na primjer, jedna od varijanti nekonveksnog pentagona geometrijska figura u obliku zvijezde. Zvjezdani pentagon se također može dobiti pomoću cijelog skupa dijagonala pravilnog pentagona, odnosno pentagona: u ovom slučaju, rezultirajuća geometrijska figura će se zvati pentagram, koji ima jednake uglove. U ovom slučaju, zbir naznačenih uglova će biti 180°.

Senzacija u svetu matematike. Otkriven je novi tip peterokuta koji pokrivaju ravan bez lomova i bez preklapanja.

Ovo je tek 15. tip takvih pentagona i prvi koji je otkriven u posljednjih 30 godina.

Avion je prekriven trokutima i četverokutima bilo kojeg oblika, ali s peterokutima je sve mnogo složenije i zanimljivije. Pravilni petouglovi ne mogu pokriti ravan, ali neki nepravilni pentagoni mogu. Potraga za takvim brojkama jedan je od najzanimljivijih matematičkih problema već stotinu godina. Potraga je započela 1918. godine, kada je matematičar Karl Reinhard otkrio prvih pet odgovarajućih figura.

Dugo se vjerovalo da je Reinhard izračunao sve moguće formule i da više takvih peterokuta ne postoji, ali je 1968. matematičar R.B. Kershner pronašao još tri, a Richard James je 1975. doveo njihov broj na devet. Iste godine, 50-godišnja američka domaćica i zaljubljenica u matematiku Marjorie Rice razvila je vlastitu metodu notacije i, u roku od nekoliko godina, otkrila još četiri pentagona. Konačno, 1985. Rolf Stein je povećao broj figura na četrnaest.

Pentagoni ostaju jedina figura oko koje ostaju neizvjesnost i misterija. Godine 1963. dokazano je da postoje samo tri tipa šesterokuta koji pokrivaju avion. Ne postoje takvi trouglovi među konveksnim sedmougaonim, osmougaonim i tako dalje. Ali sa Pentagonima još nije sve sasvim jasno.

Do danas je bilo poznato samo 14 vrsta ovakvih pentagona. Oni su prikazani na ilustraciji. Formule za svaku od njih su date na linku.

30 godina niko nije mogao pronaći ništa novo, i konačno dugo očekivano otkriće! Napravila ga je grupa naučnika sa Univerziteta Washington: Casey Mann, Jennifer McLoud i David Von Derau. Ovako izgleda mali zgodan momak.

„Otkrili smo oblik kompjuterskom pretragom kroz veliki, ali ograničen broj varijacija“, kaže Casey Mann. “Naravno, vrlo smo uzbuđeni i pomalo iznenađeni što smo uspjeli otkriti novu vrstu pentagona.”

Ovo otkriće izgleda čisto apstraktno, ali zapravo može imati praktične primjene. Na primjer, u proizvodnji završnih pločica.

Potraga za novim pentagonima koji pokrivaju avion sigurno će se nastaviti.

Ozhegov objašnjavajući rječnik kaže da je petougao ograničen sa pet linija koje se ukrštaju koje formiraju pet unutrašnjih uglova, kao i bilo koji predmet sličnog oblika. Ako dati poligon ima sve iste stranice i uglove, onda se naziva pravilan (pentagon).

Šta je zanimljivo kod pravilnog pentagona?

U tom obliku je izgrađena poznata zgrada Ministarstva obrane Sjedinjenih Država. Od trodimenzionalnih pravilnih poliedara, samo dodekaedar ima lica u obliku petougla. A u prirodi apsolutno nema kristala čija bi lica ličila na pravilan pentagon. Osim toga, ova figura je poligon s minimalnim brojem uglova, koji se ne može koristiti za popločavanje područja. Samo petougao ima isti broj dijagonala kao i broj stranica. Slažem se, ovo je zanimljivo!

Osnovna svojstva i formule

Koristeći formule za proizvoljan pravilan poligon, možete odrediti sve potrebne parametre koje ima pentagon.

• Centralni ugao α = 360 / n = 360/5 =72°.
• Unutrašnji ugao β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Prema tome, zbir unutrašnjih uglova je 540°.
• Odnos dijagonale prema strani je (1+√5)/2, odnosno (približno 1,618).
• Dužina stranice pravilnog pentagona može se izračunati pomoću jedne od tri formule, ovisno o tome koji je parametar već poznat:

• ako je krug opisan oko njega i njegov poluprečnik R je poznat, tada je a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• u slučaju kada je kružnica poluprečnika r upisana u pravilan pentagon, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• dešava se da je umjesto radijusa poznata vrijednost dijagonale D, tada se stranica određuje na sljedeći način: a ≈ D/1,618.

• Površina pravilnog petougla određuje se, opet, ovisno o tome koji parametar znamo:
• ako postoji upisan ili opisan krug, tada se koristi jedna od dvije formule:

S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r ili S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R 2 ;

• Površina se također može odrediti znajući samo dužinu bočne strane a:

S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .

Pravilni petougao: konstrukcija

Ova geometrijska figura može se konstruirati na različite načine. Na primjer, uklopiti ga u krug sa datim radijusom ili ga izgraditi na osnovu date stranice. Redoslijed radnji opisan je u Euklidovim elementima otprilike 300. godine prije Krista. U svakom slučaju, trebat će nam kompas i ravnalo. Razmotrimo metodu konstrukcije koristeći dati krug.

1. Odaberite proizvoljan polumjer i nacrtajte krug, označavajući njegovo središte točkom O.

2. Na liniji kružnice odaberite tačku koja će služiti kao jedan od vrhova našeg petougla. Neka je ovo tačka A. Povežite tačke O i A pravom linijom.

3. Nacrtajte pravu kroz tačku O okomitu na pravu OA. Označite presjek ove prave linije sa linijom kružnice kao tačku B.

4. Na pola puta između tačaka O i B konstruisati tačku C.

5. Sada nacrtajte kružnicu čiji će centar biti u tački C i koja će prolaziti kroz tačku A. Mjesto njegovog sjecišta sa pravom OB (ona će biti unutar prve kružnice) bit će tačka D.

6. Konstruisati kružnicu koja prolazi kroz D, čiji će centar biti u tački A. Mesta njegovog preseka sa originalnom kružnicom treba označiti tačkama E i F.

7. Sada konstruirajte kružnicu čiji će centar biti u E. To se mora učiniti tako da prolazi kroz A. Njegov drugi presjek originalne kružnice mora biti označen

8. Konačno, konstruirajte kružnicu kroz A sa središtem u tački F. Označite drugi presjek originalne kružnice točkom H.

9. Sada ostaje samo da povežemo vrhove A, E, G, H, F. Naš pravilni pentagon će biti spreman!

$\backslash frac((t^2\; \backslash sqrt\; (25\; +\; 10\backslash sqrt\; 5\; )\; ))(4)\; =$
$\backslash frac(5R^2)(4)\backslash sqrt(\backslash frac(5+\backslash sqrt(5)$

{2}};

Regularni pentagon(grč πενταγωνον ) - geometrijska figura, pravilan poligon sa pet strana.

Svojstva

• Dodekaedar je jedini pravilan poliedar čija su lica pravilni pentagoni.
• Pentagon, zgrada američkog Ministarstva odbrane, ima oblik pravilnog pentagona.
• Pravilan petougao je pravilan poligon sa najmanje uglova koji se ne može popločiti na ravni.
• U prirodi nema kristala sa licima u obliku pravilnog pentagona.
• Pentagon sa svim svojim dijagonalama je projekcija 4-simpleksa.

vidi takođe

Napišite recenziju o članku "Obični Pentagon"

Bilješke

Po broju strana Tačno Trouglovi Četvorouglovi vidi takođe

Poligoni Zvjezdani poligoni Parketi u avionu Pravilni poliedri i sferni parketi Kepler-Poinsot poliedri Saće Četvorodimenzionalni poliedri

Izvod koji karakteriše Regularni Pentagon

Petja nije znao koliko je to trajalo: uživao je, stalno se iznenađivao svojim zadovoljstvom i žalio što nema kome da to ispriča. Probudio ga je Lihačovljev blagi glas.
- Spremni, vaša visosti, podelićete stražu na dva dela.
Petya se probudila.
- Već je svanulo, zaista, svanulo je! - vrisnuo je.
Prethodno nevidljivi konji postali su vidljivi do repa, a kroz gole grane vidjela se vodena svjetlost. Petja se stresao, skočio, izvadio rublju iz džepa i dao je Lihačovu, mahnuo, isprobao sablju i stavio je u korice. Kozaci su odvezali konje i stezali pojas.
„Evo komandanta“, rekao je Lihačov. Denisov je izašao iz stražarnice i, dozivajući Petju, naredio im da se spreme.

Brzo su u polumraku razmontirali konje, stegnuli obruče i sredili zaprege. Denisov je stajao na stražarnici i izdavao posljednja naređenja. Pješadija grupe, udarivši stotinu stopa, marširala je naprijed duž puta i brzo nestala između drveća u magli prije svitanja. Ezaul je naredio nešto kozacima. Petja je držao konja na uzdi, nestrpljivo čekajući naređenje da uzjaše. Umiveno hladnom vodom, lice, posebno oči, izgorele su od vatre, jeza mu je prošla niz leđa, a nešto mu je u celom telu brzo i ravnomerno zadrhtalo.
- Pa, je li sve spremno za tebe? - rekao je Denisov. - Daj nam konje.
Konji su dovedeni. Denisov se naljutio na Kozaka jer su mu obujmi bili slabi i, prekorivši ga, sjeo. Petja se uhvati za stremen. Konj ga je iz navike htio ugristi za nogu, ali Petja, ne osjećajući njegovu težinu, brzo je skočio u sedlo i, osvrćući se na husare koji su se kretali u mraku, dojahao do Denisova.
- Vasilije Fedoroviču, hoćete li mi nešto poveriti? Molim te... za ime boga... - rekao je. Činilo se da je Denisov zaboravio na Petjino postojanje. Osvrnuo se na njega.
„Pitam te za jednu stvar“, rekao je strogo, „da me poslušaš i da se nigde ne mešaš“.
Tokom cijelog putovanja, Denisov nije progovorio ni riječi s Petjom i jahao je u tišini. Kada smo stigli na rub šume, polje je osjetno postajalo svjetlije. Denisov je šapatom razgovarao sa esaulom, a kozaci su počeli da prolaze pored Petje i Denisova. Kada su svi prošli, Denisov je pokrenuo konja i jahao nizbrdo. Sjedeći na zadnjim nogama i klizeći, konji su se spustili sa svojim jahačima u jarugu. Petja je jahala pored Denisova. Drhtanje po cijelom tijelu se pojačalo. Postajalo je sve lakše, samo je magla skrivala udaljene predmete. Spuštajući se i osvrćući se, Denisov je klimnuo glavom kozaku koji je stajao pored njega.
- Signal! - on je rekao.
Kozak je podigao ruku i odjeknuo je pucanj. I u istom trenutku ispred se začuo topot konja u galopu, krici sa raznih strana i još pucnjeva.
U istom trenutku kada su se začuli prvi zvuci gaženja i vriske, Petja je, udarivši konja i otpustivši uzde, ne slušajući Denisova koji je vikao na njega, pojurio naprijed. Petji se učini da je odjednom osvanulo kao usred dana u trenutku kada se začuo pucanj. Galopirao je prema mostu. Kozaci su galopirali putem ispred. Na mostu je naišao na zaostalog kozaka i odjahao dalje. Neki ljudi ispred - sigurno su bili Francuzi - trčali su s desne strane puta na lijevu. Jedan je pao u blato pod nogama Petjinog konja.
Kozaci su se nagurali oko jedne kolibe, nešto radeći. Iz sredine gomile čuo se užasan vrisak. Petja je dojurio do ove gomile i prvo što je ugledao bilo je blijedo lice Francuza s donjom vilicom koja se tresla, držeći se za dršku uperenog koplja.
“Ura!.. Momci... naši...” viknu Petja i, davši uzde pregrijanom konju, pojuri naprijed niz ulicu.
Ispred su se čuli pucnji. Kozaci, husari i odrpani ruski zarobljenici, koji su trčali sa obe strane puta, vikali su nešto glasno i nespretno. Lep Francuz, bez šešira, sa crvenim, namrgođenim licem, u plavom šinjelu, odbio se od husara bajonetom. Kad je Petja galopirala, Francuz je već pao. Opet sam zakasnio, Petja mu je bljesnuo u glavi, a on je galopirao tamo gdje su se čuli česti pucnji. Pucnji su odjeknuli u dvorištu vlastelinske kuće u kojoj je sinoć bio sa Dolohovim. Francuzi su seli tamo iza ograde u gustom vrtu obraslom žbunjem i pucali na kozake koji su se nagomilali na kapiji. Približavajući se kapiji, Petja je, u dimu baruta, ugledao Dolohova sa bledim, zelenkastim licem, kako nešto viče ljudima. “Idite zaobilaznim putem! Čekajte pešadiju!” - vikao je, dok je Petja dovezla do njega.
„Čekaj?.. Ura!..“ poviče Petja i, ne oklevajući ni minute, odgalopira do mjesta odakle su se čuli pucnji i gdje je dim baruta bio gušći. Začuo se rafal, zacvilili su prazni meci i pogodili nešto. Kozaci i Dolohov galopirali su za Petjom kroz kapiju kuće. Francuzi, u ljuljačkom gustom dimu, jedni su bacili oružje i istrčali iz žbunja u susret kozacima, drugi su trčali nizbrdo do bare. Petja je galopirao na konju duž dvorišta vlastelinstva i, umjesto da drži uzde, čudno i brzo mahnuo je objema rukama i sve više padao iz sedla na jednu stranu. Konj se, naletevši na vatru koja je tinjala na jutarnjem svetlu, odmorio, a Petja je teško pala na mokro tlo. Kozaci su videli kako su mu se ruke i noge brzo trzale, uprkos činjenici da mu se glava nije pomerala. Metak mu je probio glavu.
Nakon razgovora sa visokim francuskim oficirom, koji mu je iza kuće izašao sa šalom na maču i saopštio da se predaju, Dolohov je sišao s konja i prišao Petji, koji je nepomično ležao, raširenih ruku.
„Spremni“, rekao je mršteći se i prošao kroz kapiju da sretne Denisova koji mu je išao prema njemu.
- Ubijen?! - povikao je Denisov, ugledavši izdaleka poznatu, nesumnjivo beživotnu poziciju u kojoj je ležalo Petjino telo.
„Spreman“, ponovi Dolohov, kao da mu je izgovaranje ove reči pričinilo zadovoljstvo, i brzo je otišao do zarobljenika, koji su bili okruženi sjašenim kozacima. - Nećemo to uzeti! – viknuo je Denisovu.

Već smo pisali da su pitagorejci na svijet gledali kao na organiziran prema zakonima numeričke harmonije. Otkrili su da je percepcija harmonije u muzici povezana sa određenim odnosima između brojeva (vidi Pitagorina harmonija); ali vizuelna harmonija je, ispostavilo se, povezana i sa određenim odnosima između različitih segmenata. S tim u vezi, najpoznatiji je zlatni rez - metoda dijeljenja segmenta na dva nejednaka dijela, u kojoj je cijeli segment povezan s većim dijelom kao što je veći i manjim:

Kipar Polykleitos razvio je ideju kanona (pravila) za prikaz proporcionalnog ljudskog tijela i jasno utjelovio svoj kanon u kipu „Doriphorus“ („Spearman“), inače nazvan jednostavno „Kanon“. Zlatni rez je u izobilju prisutan u proporcijama statue. Na primjer, omjer visina donjeg i gornjeg dijela na koje pupak dijeli statuu jednak je zlatnom omjeru; zauzvrat, baza vrata dijeli gornji dio također u zlatnom omjeru; koljena dijele donji dio u zlatnom omjeru itd.

Tokom renesanse, naučnici i umjetnici razvili su novo interesovanje za zlatni rez. Italijanski matematičar Luca Pacioli posvetio mu je svoju knjigu “Božanska proporcija”. A njegov prijatelj, veliki Leonardo da Vinči, posjeduje izraz „zlatni omjer“ (stari su ga obično nazivali „podjela segmenta u ekstremnom i srednjem omjeru“). „Zlatni omjer” se često nalazi u djelima Raphaela, Michelangela i Durera.

Johannes Kepler, kome nisu nepoznate pitagorejske ideje o osnovnoj numeričkoj harmoniji Univerzuma, rekao je da geometrija ima dva blaga – Pitagorinu teoremu i zlatni rez; prvi se može uporediti sa merom zlata, drugi sa dragim kamenom.

Eksperimentalno je dokazano da, na primjer, među pravokutnicima s različitim omjerima stranica, ljudsko oko preferira one u kojima je taj omjer jednak zlatnom omjeru. Listovi papira, čokoladice, kreditne kartice itd. vrlo često se prave u obliku upravo takvih pravokutnika.

Da biste podijelili dati segment AB u proporciji zlatnog preseka, trebate vratiti okomicu kroz jedan od njegovih krajeva, recimo, kroz tačku B, položiti na njega segment BD = AB /2, nacrtati segment AD, staviti na njemu odsječak DE = AB /2 i na kraju označimo tačku C na segmentu AB tako da je AC = AE. Tačka C će podijeliti segment AB u zlatnom omjeru.

Dokažimo to. Po Pitagorinoj teoremi (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2, ili

AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, a pošto je BD = DE = AB /2 i AE = AC, onda

AC 2 + AC ∙ AB = AB 2,

odakle je AC 2 = AB (AB – AC).

Pošto je AB – AC = BC, imamo

AC 2 = AB ∙ BC, odakle

Gornja konstrukcija nam omogućava da pronađemo numeričku vrijednost zlatnog preseka. Ona je jednaka omjeru cijelog segmenta AB prema segmentu

Dakle, zlatni rez se izražava brojem Ovaj broj je otprilike 1.618. Često se naziva Fidijev broj i označava se grčkim slovom Φ:

Φ =

Neka su dva segmenta povezana u zlatnom preseku: a / b = Φ. Budući da formula tada vrijedi za njih, ispada da Φ zadovoljava jednakost ili Zaista, nije teško provjeriti da Broj se ponekad naziva malim brojem Fidije (a Φ je tada veliki broj Fidije) i označava se sa φ. To je približno jednako 0,618.

Zlatni rez se izražava kao iracionalan broj. Ovo proizilazi iz iracionalnosti (ako bi zlatni rez bio racionalan, onda bi i broj = 2Φ – 1 bio racionalan), a iracionalnost se može dokazati na sličan način kao i iracionalnost. Osim toga, iracionalnost Φ prilično je jednostavno pokazati korištenjem geometrijska ilustracija Euklidovog algoritma. Neka imamo pravougaonik a 1 × a 2, čije su stranice povezane u zlatnom rezu. Stavljajući manju stranu na veću, dobivamo kvadrat, a preostali pravougaonik će biti sličan originalnom pravokutniku: Primijenivši istu operaciju na nju, opet ćemo dobiti kvadrat i pravougaonik slične originalu, itd. ( Zanimljivo je da prvi, treći, peti i sl. pravougaonici imaju zajedničku dijagonalu, kao i drugi, četvrti, šesti itd.; ove dvije dijagonale se sijeku pod pravim uglom u tački koja pripada svim pravokutnicima).

Pošto se ovaj algoritam nikada ne završava, segmenti a 1 i a 2 nemaju zajedničku meru. Kepler je rekao da se zlatni rez stalno reproducira. Često se nalazi u živoj prirodi u strukturi takvih organizama, čiji su dijelovi približno slični cjelini - na primjer, u školjkama, u rasporedu listova na izbojcima itd.

Rice. 5. Sudoper

Konačno, zlatni rez nam omogućava da konstruišemo pravilan pentagon. (Znate da gradite pravilne trigone i četvorouglove bez ikakve pomoći, zar ne? Crtanjem krugova oko njih i dijeljenjem stranica na pola, nije teško konstruisati pravilne mnogouglove sa 2 n i 3 ∙ 2 n vrhovima). Ako produžite stranice pravilnog petougla do tačaka sjecišta sa produžecima susjednih stranica, dobit ćete prekrasnu petokraku zvijezdu. Ovo je drevni mistični simbol, posebno popularan među pitagorejcima: naziva se "pentagram" ili "pentalpha", to jest, doslovno, "pet slova" ili "pet alfa" - smatralo se kao kombinacija pet slova “alfa” (A) . Pentagram se smatrao simbolom zdravlja - harmonije u osobi - i služio je kao identifikacioni znak kod Pitagorejaca. (Na primjer, kada je jedan od Pitagorejaca bio na samrti u stranoj zemlji i nije imao novca da plati osobi koja se brinula o njemu do njegove smrti, naredio je da se nacrta pentagram na vratima njegovog doma. Nekoliko godine kasnije, drugi pitagorejac je ugledao ovaj znak i vlasnik je dobio velikodušnu nagradu). Ispostavilo se da se u pentagramu različite linije međusobno dijele u odnosu na zlatni rez. U stvari, trouglovi ACD i ABE su slični, AB : AC = AE : AD. Ali AD = BC i AE = AC, i prema tome AB: AC = AC: BC. Ispostavilo se da se bilo koji od 10 segmenata vanjske konture zvijezde odnosi u zlatnom omjeru na bilo koji od 5 segmenata koji tvore mali unutrašnji pentagon.

Inače, iz sličnosti istih trouglova ACD i ABE proizlazi da je trougao ACD jednakokračan i CD = AD. To znači da se dijagonala pravilnog pentagona odnosi na njegovu stranu, također u zlatnom omjeru. Svih pet dijagonala pravilnog pentagona formiraju još jedan pentagram, u kojem se svi odnosi ponovo ponavljaju.

Ako trebate izgraditi pravilan petougao sa stranom a 1, tada trebate podijeliti segment a 1 u zlatnom omjeru na segmente a 2 i a 3, a zatim izgraditi jednakokraki trokut sa stranicama a 1, a 1 i (a 1 + a 2). Dva segmenta dužine a 1 će činiti dvije stranice željenog petougla, a segment dužine a 1 + a 2 = a 1 /Φ je njegova dijagonala. Konstruisanjem drugih trouglova nije teško pronaći preostale vrhove petougla.

U srednjem vijeku pentagram je služio kao simbol Venere: ova planeta se približava Zemlji u pet tačaka formirajući pentagon.

Jednakokraki trokut čije se stranice odnose na osnovicu u zlatnom omjeru - na primjer, trokut formiran od dvije dijagonale i stranice pravilnog petougla - ima još jedno zanimljivo svojstvo: simetrale njegovih uglova u osnovi su jednake samoj osnovici .

Takav trokut se često nalazi u kompoziciji različitih umjetničkih djela - na primjer, u čuvenoj "La Gioconda" Leonarda da Vincija.