Udaljenost od tačke do prave linije. Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni. Relativni položaj linija. Ugao između pravih linija

Ovaj članak govori o ovoj temi « udaljenost od tačke do prave », Raspravlja o definiciji udaljenosti od tačke do prave sa ilustrovanim primerima koristeći koordinatnu metodu. Svaki teorijski blok na kraju je pokazao primjere rješavanja sličnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Udaljenost od tačke do prave nalazi se određivanjem udaljenosti od tačke do tačke. Pogledajmo izbliza.

Neka postoji prava a i tačka M 1 koja ne pripada datoj pravoj. Kroz njega povlačimo pravu liniju b, koja se nalazi okomito na pravu liniju a. Uzmimo tačku preseka pravih kao H 1. Dobijamo da je M 1 H 1 okomica koja je spuštena iz tačke M 1 na pravu a.

Definicija 1

Udaljenost od tačke M 1 do prave a se naziva rastojanje između tačaka M 1 i H 1.

Postoje definicije koje uključuju dužinu okomice.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do linije je dužina okomice povučene iz date tačke na datu pravu.

Definicije su ekvivalentne. Razmotrite sliku ispod.

Poznato je da je udaljenost od tačke do prave najmanja od svih mogućih. Pogledajmo ovo na primjeru.

Ako uzmemo tačku Q koja leži na pravoj a, a koja se ne poklapa sa tačkom M 1, onda dobijamo da se segment M 1 Q naziva kosim segmentom, spušten sa M 1 na pravu a. Potrebno je naznačiti da je okomica iz tačke M 1 manja od bilo koje druge kose linije povučene od tačke do prave.

Da bismo to dokazali, razmotrimo trougao M 1 Q 1 H 1, gdje je M 1 Q 1 hipotenuza. Poznato je da je njegova dužina uvijek veća od dužine bilo koje noge. To znači da imamo M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Početni podaci za pronalaženje od tačke do prave omogućavaju vam korištenje nekoliko metoda rješenja: kroz Pitagorinu teoremu, određivanje sinusa, kosinusa, tangenta kuta i drugih. Većina zadataka ovog tipa rješava se u školi na časovima geometrije.

Kada je pri pronalaženju udaljenosti od tačke do prave moguće uvesti pravougaoni koordinatni sistem, onda se koristi koordinatni metod. U ovom paragrafu ćemo razmotriti dvije glavne metode za pronalaženje potrebne udaljenosti od date tačke.

Prva metoda uključuje traženje udaljenosti kao okomice povučene od M 1 do prave a. Druga metoda koristi normalnu jednadžbu prave a za pronalaženje tražene udaljenosti.

Ako na ravni postoji tačka sa koordinatama M 1 (x 1 , y 1), koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu, pravoj liniji a, i treba da pronađete rastojanje M 1 H 1, možete izračunati na dva načine. Pogledajmo ih.

Prvi način

Ako postoje koordinate tačke H 1 jednake x 2, y 2, tada se udaljenost od tačke do prave izračunava pomoću koordinata iz formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pređimo sada na pronalaženje koordinata tačke H 1.

Poznato je da prava linija u O x y odgovara jednačini prave linije na ravni. Uzmimo metodu definisanja prave linije a pisanjem opšte jednačine prave ili jednačine sa ugaonim koeficijentom. Sastavljamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 1 okomito na datu pravu a. Označimo pravu liniju slovom b. H 1 je tačka preseka pravih a i b, što znači da za određivanje koordinata trebate koristiti članak koji se bavi koordinatama tačaka preseka dve prave.

Vidi se da se algoritam za pronalaženje udaljenosti od date tačke M 1 (x 1, y 1) do prave a izvodi prema tačkama:

Definicija 3

• nalaženje opšte jednačine prave a, koja ima oblik A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, ili jednačine sa ugaonim koeficijentom, koja ima oblik y = k 1 x + b 1;
• dobijanje opšte jednačine prave b, koja ima oblik A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili jednačine sa ugaonim koeficijentom y = k 2 x + b 2, ako prava b seče tačku M 1 i okomita je na data linija a;
• određivanje koordinata x 2, y 2 tačke H 1, koja je tačka preseka a i b, u tu svrhu se rešava sistem linearnih jednačina A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• izračunavanje potrebne udaljenosti od tačke do prave pomoću formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi način

Teorema može pomoći u odgovoru na pitanje pronalaženja udaljenosti od date tačke do date prave linije na ravni.

Teorema

Pravougaoni koordinatni sistem ima O x y ima tačku M 1 (x 1, y 1), iz koje se povlači prava linija u ravan, datu normalnom jednačinom ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, jednako Apsolutna vrijednost dobijena na lijevoj strani normalne jednadžbe prave, izračunata po x = x 1, y = y 1, znači da je M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - str.

Dokaz

Prava a odgovara normalnoj jednačini ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, tada se n → = (cos α, cos β) smatra normalnim vektorom prave a na udaljenosti od ishodište u liniju a sa p jedinicama . Potrebno je prikazati sve podatke na slici, dodati tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1), gde je vektor radijusa tačke M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Od tačke do prave je potrebno povući pravu liniju koju označavamo sa M 1 H 1 . Potrebno je prikazati projekcije M 2 i H 2 tačaka M 1 i H 2 na pravu koja prolazi kroz tačku O sa vektorom pravca oblika n → = (cos α, cos β), i označiti numerička projekcija vektora kao O M 1 → = (x 1, y 1) na pravac n → = (cos α , cos β) kao n p n → O M 1 → .

Varijacije zavise od lokacije same M1 tačke. Pogledajmo sliku ispod.

Rezultate fiksiramo pomoću formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Zatim donosimo jednakost u ovaj oblik M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p da bismo dobili n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Skalarni proizvod vektora rezultira transformiranom formulom oblika n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , što je proizvod u koordinatnom obliku oblika n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . To znači da dobijamo da je n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Iz toga slijedi da je M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teorema je dokazana.

Otkrivamo da da biste pronašli udaljenost od tačke M 1 (x 1 , y 1) do prave linije a na ravni, morate izvršiti nekoliko radnji:

Definicija 4

• dobijanje normalne jednačine prave a cos α · x + cos β · y - p = 0, pod uslovom da nije u zadatku;
• izračunavanje izraza cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, gdje rezultirajuća vrijednost uzima M 1 H 1.

Primijenimo ove metode za rješavanje problema s pronalaženjem udaljenosti od tačke do ravni.

Primjer 1

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 1, 2) do prave 4 x - 3 y + 35 = 0.

Rješenje

Koristimo prvi metod za rješavanje.

Da biste to učinili, potrebno je pronaći opštu jednačinu prave b, koja prolazi kroz datu tačku M 1 (- 1, 2), okomito na pravu 4 x - 3 y + 35 = 0. Iz uslova je jasno da je prava b okomita na pravu a, tada njen vektor pravca ima koordinate jednake (4, - 3). Tako imamo priliku da zapišemo kanonsku jednačinu prave b na ravni, pošto postoje koordinate tačke M 1 koja pripada pravoj b. Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave b. Dobijamo da je x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Rezultirajuća kanonska jednačina se mora pretvoriti u opštu. Onda to shvatamo

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Nađimo koordinate tačaka presjeka pravih koje ćemo uzeti kao oznaku H 1. Transformacije izgledaju ovako:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Iz gore napisanog imamo da su koordinate tačke H 1 jednake (- 5; 5).

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke M 1 do prave a. Imamo da su koordinate tačaka M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5), zatim ih zamjenjujemo u formulu da pronađemo udaljenost i dobijemo to

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Drugo rješenje.

Za rješavanje na drugi način potrebno je dobiti normalnu jednačinu prave. Izračunavamo vrijednost faktora normalizacije i množimo obje strane jednačine 4 x - 3 y + 35 = 0. Odavde dobijamo da je faktor normalizacije jednak - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, a normalna jednačina će biti oblika - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Prema algoritmu proračuna, potrebno je dobiti normalnu jednadžbu linije i izračunati je sa vrijednostima x = - 1, y = 2. Onda to shvatamo

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Iz ovoga dobijamo da rastojanje od tačke M 1 (- 1, 2) do date prave 4 x - 3 y + 35 = 0 ima vrednost - 5 = 5.

odgovor: 5 .

Vidi se da je u ovoj metodi važno koristiti normalnu jednačinu prave, jer je ova metoda najkraća. Ali prva metoda je zgodna jer je dosljedna i logična, iako ima više računskih bodova.

Primjer 2

Na ravni se nalazi pravougaoni koordinatni sistem O x y sa tačkom M 1 (8, 0) i pravom linijom y = 1 2 x + 1. Pronađite udaljenost od date tačke do prave linije.

Rješenje

Prva metoda uključuje redukciju date jednadžbe sa ugaonim koeficijentom na opštu jednačinu. Da pojednostavimo, možete to učiniti drugačije.

Ako proizvod ugaonih koeficijenata okomitih linija ima vrijednost - 1, tada kutni koeficijent prave okomite na datu jedinicu y = 1 2 x + 1 ima vrijednost 2. Sada dobijamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (8, 0). Imamo da je y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nastavljamo sa pronalaženjem koordinata tačke H 1, odnosno tačaka preseka y = - 2 x + 16 i y = 1 2 x + 1. Sastavljamo sistem jednačina i dobijamo:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Iz toga slijedi da je udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (8, 0) do prave y = 1 2 x + 1 jednaka udaljenosti od početne i krajnje tačke sa koordinatama M 1 (8, 0) i H 1 (6, 4) . Izračunajmo i nađemo da je M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Rješenje na drugi način je prelazak sa jednadžbe s koeficijentom na njen normalan oblik. Odnosno, dobijamo y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, tada će vrijednost faktora normalizacije biti - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Iz toga slijedi da normalna jednačina prave ima oblik - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Izvršimo proračun od tačke M 1 8, 0 do prave oblika - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Dobijamo:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

odgovor: 2 5 .

Primjer 3

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 2, 4) do pravih 2 x - 3 = 0 i y + 1 = 0.

Rješenje

Dobijamo jednačinu normalnog oblika prave linije 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Zatim prelazimo na izračunavanje udaljenosti od tačke M 1 - 2, 4 do prave linije x - 3 2 = 0. Dobijamo:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Jednačina prave linije y + 1 = 0 ima faktor normalizacije sa vrijednošću jednakom -1. To znači da će jednačina imati oblik - y - 1 = 0. Nastavljamo s izračunavanjem udaljenosti od tačke M 1 (- 2, 4) do prave linije - y - 1 = 0. Nalazimo da je jednako - 4 - 1 = 5.

odgovor: 3 1 2 i 5.

Pogledajmo bliže pronalaženje udaljenosti od date tačke na ravni do koordinatnih osa O x i O y.

U pravougaonom koordinatnom sistemu, O osa y ima jednačinu prave linije, koja je nepotpuna i ima oblik x = 0, a O x - y = 0. Jednačine su normalne za koordinatne ose, tada je potrebno pronaći rastojanje od tačke sa koordinatama M 1 x 1, y 1 do pravih. To se radi na osnovu formula M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1. Pogledajmo sliku ispod.

Primjer 4

Pronađite udaljenost od tačke M 1 (6, - 7) do koordinatnih linija koje se nalaze u ravni O x y.

Rješenje

Budući da se jednadžba y = 0 odnosi na pravu liniju O x, možete pronaći udaljenost od M 1 sa datim koordinatama do ove prave linije koristeći formulu. Dobijamo da je 6 = 6.

Budući da se jednadžba x = 0 odnosi na pravu liniju O y, možete pronaći udaljenost od M 1 do ove prave linije koristeći formulu. Tada dobijamo da je - 7 = 7.

odgovor: udaljenost od M 1 do O x ima vrijednost 6, a od M 1 do O y vrijednost 7.

Kada u trodimenzionalnom prostoru imamo tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), potrebno je pronaći rastojanje od tačke A do prave a.

Razmotrimo dvije metode koje vam omogućavaju da izračunate udaljenost od tačke do prave linije a koja se nalazi u prostoru. Prvi slučaj razmatra udaljenost od tačke M 1 do prave, pri čemu se tačka na pravoj naziva H 1 i osnova je okomice povučene iz tačke M 1 na pravu a. Drugi slučaj sugeriše da se tačke ove ravni moraju tražiti kao visina paralelograma.

Prvi način

Iz definicije imamo da je rastojanje od tačke M 1 koja se nalazi na pravoj liniji a dužina okomice M 1 H 1, onda dobijamo da sa pronađenim koordinatama tačke H 1 nalazimo rastojanje između M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) i H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , na osnovu formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Nalazimo da cijelo rješenje ide ka pronalaženju koordinata osnove okomice povučene iz M 1 na pravu a. To se radi na sledeći način: H 1 je tačka u kojoj se prava linija a seče sa ravni koja prolazi kroz datu tačku.

To znači da algoritam za određivanje udaljenosti od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do linije a u prostoru podrazumeva nekoliko tačaka:

Definicija 5

• sastavljanje jednačine ravnine χ kao jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku koja se nalazi okomito na pravu;
• određivanje koordinata (x 2, y 2, z 2) koje pripadaju tački H 1, koja je tačka preseka prave a i ravni χ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave pomoću formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Drugi način

Iz uslova imamo pravu a, tada možemo odrediti vektor pravca a → = a x, a y, a z sa koordinatama x 3, y 3, z 3 i određenom tačkom M 3 koja pripada pravoj a. Ako imate koordinate tačaka M 1 (x 1, y 1) i M 3 x 3, y 3, z 3, možete izračunati M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Vektore a → = a x , a y , a z i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 trebamo izdvojiti iz tačke M 3 , povezati ih i dobiti paralelogramsku figuru . M 1 H 1 je visina paralelograma.

Pogledajmo sliku ispod.

Imamo da je visina M 1 H 1 tražena udaljenost, onda je potrebno pronaći pomoću formule. Odnosno, tražimo M 1 H 1.

Označimo površinu paralelograma slovom S, pronađeno formulom pomoću vektora a → = (a x, a y, a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Formula površine je S = a → × M 3 M 1 → . Takođe, površina figure je jednaka proizvodu dužina njenih stranica i visine, dobijamo da je S = a → · M 1 H 1 sa a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, što je dužina vektora a → = (a x, a y, a z), koja je jednaka strani paralelograma. To znači da je M 1 H 1 rastojanje od tačke do prave. Nalazi se pomoću formule M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Da biste pronašli udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do prave linije a u prostoru, potrebno je izvršiti nekoliko koraka algoritma:

Definicija 6

• određivanje vektora pravca prave a - a → = (a x, a y, a z);
• izračunavanje dužine vektora pravca a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• dobijanje koordinata x 3 , y 3 , z 3 koje pripadaju tački M 3 koja se nalazi na pravoj liniji a;
• izračunavanje koordinata vektora M 3 M 1 → ;
• pronalaženje vektorskog proizvoda vektora a → (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 kao a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 da se dobije dužina pomoću formule a → × M 3 M 1 → ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rješavanje problema nalaženja udaljenosti od date tačke do date prave u prostoru

Primjer 5

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 2, - 4, - 1 do prave x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Rješenje

Prva metoda počinje pisanjem jednačine ravni χ koja prolazi kroz M 1 i okomita je na datu tačku. Dobijamo izraz kao:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Potrebno je pronaći koordinate tačke H 1, koja je tačka preseka sa ravninom χ do prave određene uslovom. Trebalo bi da pređete sa kanonskog pogleda na onaj koji se ukršta. Tada dobijamo sistem jednadžbi oblika:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Potrebno je izračunati sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerovom metodom, onda dobijamo:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z - ∆ 60 = 0

Odavde imamo da je H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Druga metoda mora započeti traženjem koordinata u kanonskoj jednadžbi. Da biste to učinili, morate obratiti pažnju na nazivnike razlomka. Tada je a → = 2, - 1, 5 vektor pravca x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Potrebno je izračunati dužinu koristeći formulu a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jasno je da prava linija x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 siječe tačku M 3 (- 1 , 0 , - 5), pa imamo da je vektor sa ishodištem M 3 (- 1 , 0 , - 5) i njegov kraj u tački M 1 2, - 4, - 1 je M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Naći vektorski proizvod a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Dobijamo izraz oblika a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

nalazimo da je dužina vektorskog proizvoda jednaka a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Imamo sve podatke da koristimo formulu za izračunavanje udaljenosti od tačke za pravu liniju, pa hajde da je primenimo i dobijemo:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

odgovor: 11 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Formula za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave na ravni

Ako je data jednadžba prave Ax + By + C = 0, tada se udaljenost od tačke M(M x , M y) do prave može pronaći pomoću sljedeće formule

Primjeri zadataka za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave na ravni

Primjer 1.

Nađite rastojanje između prave 3x + 4y - 6 = 0 i tačke M(-1, 3).

Rješenje. Zamenimo koeficijente prave i koordinate tačke u formulu

odgovor: udaljenost od tačke do prave je 0,6.

jednadžba ravni koja prolazi kroz tačke okomite na vektor Opća jednadžba ravni

Poziva se vektor različit od nule okomit na datu ravan normalni vektor (ili, ukratko, normalno ) za ovaj avion.

Neka je u koordinatnom prostoru (u pravougaonom koordinatnom sistemu) dato sljedeće:

tačka ;

b) vektor različit od nule (slika 4.8, a).

Morate kreirati jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku okomito na vektor Kraj dokaza.

Razmotrimo sada različite vrste jednačina prave linije na ravni.

1) Opšta jednačina ravniP .

Iz izvođenja jednačine proizilazi da je u isto vrijeme A, B I C nisu jednaki 0 ​​(objasni zašto).

Tačka pripada ravni P samo ako njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu ravni. U zavisnosti od izgleda A, B, C I D avion P zauzima jednu ili drugu poziciju:

- ravan prolazi kroz početak koordinatnog sistema, - ravan ne prolazi kroz početak koordinatnog sistema,

- ravan paralelna sa osom X,

X,

- ravan paralelna sa osom Y,

- ravan nije paralelna sa osom Y,

- ravan paralelna sa osom Z,

- ravan nije paralelna sa osom Z.

Dokažite ove tvrdnje sami.

Jednačina (6) se lako izvodi iz jednačine (5). Zaista, neka tačka leži na ravni P. Tada njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu.Oduzimanjem jednačine (7) od jednačine (5) i grupisanjem pojmova dobijamo jednačinu (6). Razmotrimo sada dva vektora sa koordinatama. Iz formule (6) slijedi da je njihov skalarni proizvod jednak nuli. Dakle, vektor je okomit na vektor, a početak i kraj zadnjeg vektora nalaze se u tačkama koje pripadaju ravni P. Dakle, vektor je okomit na ravan P. Udaljenost od tačke do ravni P, čija je opšta jednačina određena formulom Dokaz ove formule je potpuno sličan dokazu formule za rastojanje između tačke i prave (vidi sliku 2).
Rice. 2. Izvesti formulu za rastojanje između ravnine i prave linije.

Zaista, udaljenost d između prave i ravni je jednaka

gdje je tačka koja leži na ravni. Odavde se, kao u predavanju br. 11, dobija gornja formula. Dvije ravni su paralelne ako su njihovi normalni vektori paralelni. Odavde dobijamo uslov paralelnosti dve ravni - koeficijenti opštih jednačina ravnina. Dve ravni su okomite ako su njihovi normalni vektori okomiti, pa stoga dobijamo uslov za okomitost dve ravni ako su poznate njihove opšte jednadžbe

Ugao f između dvije ravni je jednak kutu između njihovih normalnih vektora (vidi sliku 3) i stoga se može izračunati pomoću formule
Određivanje ugla između ravnina.

(11)

Udaljenost od tačke do ravni i metode za njeno pronalaženje

Udaljenost od tačke do avion– dužina okomice spuštene iz tačke na ovu ravan. Postoje najmanje dva načina da se pronađe udaljenost od tačke do ravni: geometrijski I algebarski.

Geometrijskom metodom Najprije morate razumjeti kako se nalazi okomica iz tačke na ravan: možda leži u nekoj pogodnoj ravni, visina je u nekom prikladnom (ili ne tako prikladnom) trokutu, ili je možda ova okomica općenito visina u nekoj piramidi.

Nakon ove prve i najsloženije faze, problem se raspada na nekoliko specifičnih planimetrijskih problema (možda u različitim ravnima).

Sa algebarskom metodom da biste pronašli rastojanje od tačke do ravni, potrebno je uneti koordinatni sistem, pronaći koordinate tačke i jednačinu ravni, a zatim primeniti formulu za rastojanje od tačke do ravni.

Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice povučene od tačke do prave. U deskriptivnoj geometriji se određuje grafički koristeći algoritam dat u nastavku.

Algoritam

1. Prava linija se pomiče u poziciju u kojoj će biti paralelna s bilo kojom ravninom projekcije. U tu svrhu koriste se metode transformacije ortogonalnih projekcija.
2. Iz tačke je povučena okomica na pravu. Ova konstrukcija se zasniva na teoremi o projekciji pravog ugla.
3. Dužina okomice se određuje transformacijom njenih projekcija ili korištenjem metode pravokutnog trokuta.

Sljedeća slika prikazuje složeni crtež tačke M i prave b, definisane segmentom CD. Morate pronaći udaljenost između njih.

Prema našem algoritmu, prva stvar koju treba učiniti je pomjeriti liniju u položaj paralelan s ravninom projekcije. Važno je shvatiti da se nakon izvršenih transformacija stvarna udaljenost između tačke i linije ne bi trebala mijenjati. Zato je ovdje zgodno koristiti metodu zamjene ravnine, koja ne uključuje kretanje figura u prostoru.

Rezultati prve faze izgradnje su prikazani u nastavku. Na slici je prikazano kako se paralelno sa b uvodi dodatna frontalna ravan P 4. U novom sistemu (P 1, P 4), tačke C"" 1, D"" 1, M"" 1 su na istoj udaljenosti od ose X 1 kao C"", D"", M"" od osa X.

Provodeći drugi dio algoritma, sa M"" 1 spuštamo okomicu M"" 1 N"" 1 na pravu b"" 1, pošto je pravi ugao MND između b i MN projektovan na ravan P 4 u punoj veličini. Pomoću komunikacijske linije odredimo poziciju tačke N" i izvršimo projekciju M"N" segmenta MN.

U završnoj fazi, morate odrediti veličinu segmenta MN iz njegovih projekcija M"N" i M"" 1 N"" 1. Da bismo to uradili, gradimo pravougaoni trougao M"" 1 N"" 1 N 0, čiji je krak N"" 1 N 0 jednak razlici (Y M 1 – Y N 1) udaljenosti tačaka M" i N" od ose X 1. Dužina hipotenuze M"" 1 N 0 trougla M"" 1 N"" 1 N 0 odgovara željenoj udaljenosti od M do b.

Drugo rješenje

• Paralelno sa CD-om, uvodimo novu frontalnu ravan P 4. Seče P 1 duž X 1 ose, a X 1 ∥C"D". U skladu sa načinom zamjene ravni, određujemo projekcije tačaka C"" 1, D"" 1 i M"" 1, kao što je prikazano na slici.
• Okomito na C"" 1 D"" 1 gradimo dodatnu horizontalnu ravan P 5, na koju se projicira prava b u tačku C" 2 = b" 2.
• Udaljenost između tačke M i prave b određena je dužinom segmenta M" 2 C" 2, označenog crvenom bojom.

Slični zadaci:

155*. Odrediti prirodnu veličinu segmenta AB prave u opštem položaju (slika 153, a).

Rješenje. Kao što je poznato, projekcija pravolinijskog segmenta na bilo koju ravninu jednaka je samom segmentu (uzimajući u obzir skalu crteža), ako je paralelna s ovom ravninom

(Sl. 153, b). Iz ovoga slijedi da je transformacijom crteža potrebno postići paralelnost kvadrata ovog segmenta. V ili kvadrat H ili dopuniti sistem V, H drugom ravninom koja je okomita na kvadrat. V ili do pl. H i istovremeno paralelno sa ovim segmentom.

Na sl. 153, c prikazuje uvođenje dodatne ravni S, okomite na kvadrat. H i paralelno sa datim segmentom AB.

Projekcija a s b s jednaka je prirodnoj vrijednosti segmenta AB.

Na sl. 153, d prikazuje drugu tehniku: segment AB se rotira oko prave linije koja prolazi kroz tačku B i okomita na kvadrat. H, u položaj paralelan

pl. V. U ovom slučaju tačka B ostaje na svom mestu, a tačka A zauzima novu poziciju A 1. Horizont je u novoj poziciji. projekcija a 1 b || x osa Projekcija a" 1 b" jednaka je prirodnoj veličini segmenta AB.

156. S obzirom na piramidu SABCD (Sl. 154). Odredite stvarnu veličinu ivica piramide AS i CS, koristeći metodu promene ravni projekcije, i ivice BS i DS, koristeći metodu rotacije, i uzmite os rotacije okomitu na kvadrat. H.

157*. Odrediti udaljenost od tačke A do prave BC (Sl. 155, a).

Rješenje. Udaljenost od tačke do prave mjeri se okomitim segmentom povučenim od tačke do prave.

Ako je prava okomita na bilo koju ravan (Sl. 155.6), tada se udaljenost od tačke do prave mjeri rastojanjem između projekcije tačke i tačke-projekcije prave linije na ovu ravan. Ako prava linija zauzima opšti položaj u sistemu V, H, tada je za određivanje udaljenosti od tačke do prave promenom ravni projekcije potrebno uvesti dve dodatne ravni u sistem V, H.

Prvo (sl. 155, c) ulazimo u kvadrat. S, paralelno sa segmentom BC (nova osa S/H je paralelna sa projekcijom bc), i konstruisati projekcije b s c s i a s. Zatim (slika 155, d) uvodimo još jedan kvadrat. T, okomita na pravu BC (nova osa T/S je okomita na b s sa s). Konstruišemo projekcije prave linije i tačke - sa t (b t) i a t. Udaljenost između tačaka a t i c t (b t) jednaka je udaljenosti l od tačke A do prave BC.

Na sl. 155, d, isti zadatak se ostvaruje metodom rotacije u svom obliku, koja se naziva metoda paralelnog kretanja. Prvo, prava linija BC i tačka A, zadržavajući svoj relativni položaj nepromenjenim, rotiraju se oko neke (nije naznačene na crtežu) prave linije okomite na kvadrat. H, tako da je prava BC paralelna kvadratu. V. Ovo je ekvivalentno kretanju tačaka A, B, C u ravnima paralelnim sa kvadratom. H. Istovremeno, horizont. projekcija datog sistema (BC + A) se ne menja ni po veličini ni po konfiguraciji, menja se samo njegov položaj u odnosu na x osu. Postavljamo horizont. projekciju prave linije BC paralelne sa x-osi (položaj b 1 c 1) i odredimo projekciju a 1, ostavljajući sa strane c 1 1 1 = c-1 i a 1 1 1 = a-1, i a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Crtajući prave b"b" 1, a"a" 1, c"c" 1 paralelne sa x-osi, nalazimo front na njima. projekcije b" 1, a" 1, c" 1. Zatim pomeramo tačke B 1, C 1 i A 1 u ravninama paralelnim sa površinom V (takođe bez promene njihovog relativnog položaja), tako da dobijemo B 2 C 2 ⊥ područje H. U ovom slučaju, prednja projekcija prave linije će biti locirana okomito na x,b 2 c" 2 os = b" 1 c" 1 , a za konstruiranje projekcije a" 2 moramo uzeti b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 , nacrtajte 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 i ostavite a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1. Sada, crtajte c 1 c 2 i a 1 a 2 || x 1 dobijamo projekcije b 2 c 2 i a 2 i traženu udaljenost l od tačke A do prave BC. Udaljenost od A do BC se može odrediti rotiranjem ravni definisane tačkom A i pravom linijom BC oko horizontale ove ravni do položaja T || pl.H (slika 155, e).

U ravni definisanoj tačkom A i pravom BC nacrtajte horizontalnu liniju A-1 (Sl. 155, g) i zarotirajte oko nje tačku B. Tačka B se pomera u kvadrat. R (naveden na crtežu pored R h), okomit na A-1; u tački O nalazi se centar rotacije tačke B. Sada ćemo odrediti prirodnu vrijednost polumjera rotacije VO (Sl. 155, c). U traženom položaju, odnosno kada pl. T, određen tačkom A i pravom BC, će postati || pl. H, tačka B će biti na R h na udaljenosti Ob 1 od tačke O (može postojati još jedna pozicija na istom tragu R h, ali na drugoj strani O). Tačka b 1 je horizont. projekcija tačke B nakon pomeranja u poziciju B 1 u prostoru, kada je ravan definisana tačkom A i pravom BC zauzela položaj T.

Crtajući (sl. 155, i) pravu liniju b 1 1, dobijamo horizont. projekcija prave BC, već locirane || pl. H je u istoj ravni kao i A. U ovoj poziciji, udaljenost od a do b 1 1 jednaka je željenoj udaljenosti l. Ravan P, u kojoj leže dati elementi, može se kombinovati sa kvadratom. H (Sl. 155, j), okretanje kvadrata. R oko nje je horizont. trag. Prelazeći od zadavanja ravni tačkom A i prave BC do zadavanja pravih BC i A-1 (Sl. 155, l), nalazimo tragove ovih pravih i kroz njih povlačimo tragove P ϑ i P h. Gradimo (sl. 155, m) u kombinaciji sa trgom. H pozicija napred. trag - P ϑ0 .

Kroz tačku a crtamo horizont. frontalna projekcija; kombinovani frontalni prolazi kroz tačku 2 na tragu P h paralelno sa P ϑ0. Tačka A 0 - u kombinaciji s kvadratom. H je pozicija tačke A. Slično, nalazimo tačku B 0. Direktno sunce u kombinaciji sa kvadratom. H pozicija prolazi kroz tačku B 0 i tačku m (horizontalni trag prave).

Udaljenost od tačke A 0 do prave B 0 C 0 jednaka je traženoj udaljenosti l.

Navedenu konstrukciju možete izvesti tako što ćete pronaći samo jedan trag P h (Sl. 155, n i o). Cijela konstrukcija je slična rotaciji oko horizontale (vidi sliku 155, g, c, i): trag P h je jedna od horizontala pl. R.

Od metoda datih za rješavanje ovog problema, poželjna metoda transformacije crteža je metoda rotacije oko horizontale ili fronte.

158. Data je SABC piramida (Sl. 156). Odredite udaljenosti:

a) od vrha B baze na njenu stranu AC metodom paralelnog kretanja;

b) od vrha S piramide do stranica BC i AB osnove rotacijom oko horizontale;

c) sa vrha S na stranu AC baze promjenom ravni projekcije.

159. Dana je prizma (sl. 157). Odredite udaljenosti:

a) između rebara AD i CF promjenom ravni projekcije;

b) između rebara BE i CF rotacijom oko frontalnog;

c) između ivica AD i BE paralelnim kretanjem.

160. Odredite stvarnu veličinu četvorougla ABCD (Sl. 158) tako što ćete ga poravnati sa kvadratom. N. Koristite samo horizontalni trag ravni.

161*. Odrediti rastojanje između pravih AB i CD koje se ukrštaju (slika 159, a) i konstruisati projekcije zajedničke okomice na njih.

Rješenje. Udaljenost između linija ukrštanja mjeri se segmentom (MN) okomitim na obje prave (Sl. 159, b). Očigledno, ako je jedna od pravih postavljena okomito na bilo koji kvadrat. T, onda

odsječak MN okomit na obje prave će biti paralelan kvadratu. Njegova projekcija na ovu ravan će prikazati potrebnu udaljenost. Projekcija pravog ugla menade MN n AB na kvadrat. Takođe se ispostavlja da je T pravi ugao između m t n t i a t b t , pošto je jedna od strana pravog ugla AMN, odnosno MN. paralelno sa kvadratom T.

Na sl. 159, c i d, tražena udaljenost l određena je metodom promjene ravni projekcije. Prvo uvodimo dodatni kvadrat. projekcije S, okomite na kvadrat. H i paralelno sa pravom CD (Sl. 159, c). Zatim uvodimo još jedan dodatni kvadrat. T, okomito na kvadrat. S i okomito na istu pravu liniju CD (Sl. 159, d). Sada možete konstruisati projekciju opšte okomice crtanjem m t n t iz tačke c t (d t) okomito na projekciju a t b t. Tačke m t i n t su projekcije tačaka preseka ove okomice sa pravim AB i CD. Koristeći tačku m t (slika 159, e) nalazimo m s na a s b s: projekcija m s n s treba da bude paralelna sa T/S osom. Zatim, od m s i n s nalazimo m i n na ab i cd, a od njih m" i n" na a"b" i c"d".

Na sl. 159, c prikazuje rješenje ovog problema korištenjem metode paralelnih kretanja. Prvo postavljamo pravu liniju CD paralelno sa kvadratom. V: projekcija c 1 d 1 || X. Zatim pomeramo prave CD i AB sa pozicija C 1 D 1 i A 1 B 1 na pozicije C 2 B 2 i A 2 B 2 tako da C 2 D 2 bude okomito na H: projekcija c" 2 d" 2 ⊥ x. Segment tražene okomice nalazi se || pl. H, te stoga m 2 n 2 izražava željenu udaljenost l između AB i CD. Nalazimo položaj projekcija m" 2, i n" 2 na a" 2 b" 2 i c" 2 d" 2, zatim projekcije m 1 i m" 1, n 1 i n" 1, konačno, projekcije m" i n", m i n.

162. Data je SABC piramida (Sl. 160). Odrediti rastojanje između ivice SB i stranice AC osnove piramide i konstruisati projekcije zajedničke okomice na SB i AC, koristeći metodu promene ravni projekcije.

163. Data je SABC piramida (Sl. 161). Odredite udaljenost između ivice SH i stranice BC osnove piramide i konstruirajte projekcije zajedničke okomice na SX i BC koristeći metodu paralelnog pomaka.

164*. Odrediti rastojanje od tačke A do ravni u slučajevima kada je ravan određena sa: a) trouglom BCD (Sl. 162, a); b) tragovi (Sl. 162, b).

Rješenje. Kao što znate, udaljenost od tačke do ravni se mjeri vrijednošću okomice povučene od tačke do ravni. Ova udaljenost se projektuje na bilo koje područje. projekcije u punoj veličini, ako je ova ravan okomita na kvadrat. projekcije (sl. 162, c). Ova situacija se može postići transformacijom crteža, na primjer, promjenom područja. projekcije. Hajde da predstavimo pl. S (sl. 16c, d), okomito na kvadrat. trougao BCD. Da bismo to učinili, provodimo na trgu. trougao horizontalno B-1 i postaviti os projekcije S okomito na horizontalnu projekciju b-1. Konstruišemo projekcije tačke i ravni - a s i segmenta c s d s. Udaljenost od a s do c s d s jednaka je željenoj udaljenosti l tačke do ravni.

U Rio. 162, d koristi se metoda paralelnog kretanja. Pomeramo ceo sistem sve dok horizontalna ravan B-1 ne postane okomita na ravan V: projekcija b 1 1 1 treba da bude okomita na osu x. U ovom položaju, ravan trougla će postati frontalno projektovana, a rastojanje l od tačke A do nje će biti pl. V bez izobličenja.

Na sl. 162, b ravan je definisana tragovima. Uvodimo (Sl. 162, e) dodatni kvadrat. S, okomito na kvadrat. P: S/H osa je okomita na P h. Ostalo je jasno iz crteža. Na sl. 162, g problem je riješen jednim pokretom: pl. P prelazi u poziciju P 1, tj. postaje frontalno projekcijski. Track. P 1h je okomito na x osu. U ovoj poziciji aviona gradimo prednji dio. horizontalni trag je tačka n" 1,n 1. Trag P 1ϑ će proći kroz P 1x i n 1. Udaljenost od a" 1 do P 1ϑ jednaka je traženoj udaljenosti l.

165. Data je SABC piramida (vidi sliku 160). Odredite udaljenost od tačke A do ivice SBC piramide koristeći metodu paralelnog kretanja.

166. Data je SABC piramida (vidi sliku 161). Odredite visinu piramide metodom paralelnog pomaka.

167*. Odredite rastojanje između pravih ukrštanja AB i CD (vidi sliku 159,a) kao rastojanje između paralelnih ravni povučenih kroz ove prave.

Rješenje. Na sl. 163, a ravni P i Q su međusobno paralelne, od kojih pl. Q se povlači kroz CD paralelno sa AB, a pl. P - kroz AB paralelno sa kvadratom. P. Razdaljinom između ovakvih ravni se smatra rastojanje između ukrštanja pravih AB i CD. Međutim, možete se ograničiti na konstruisanje samo jedne ravni, na primjer Q, paralelne sa AB, a zatim odrediti udaljenost barem od tačke A do ove ravni.

Na sl. 163, c prikazuje ravan Q povučenu kroz CD paralelnu sa AB; u projekcijama izvedenim sa "e" || a"b" i ce || ab. Koristeći metodu promjene pl. projekcije (slika 163, c), uvodimo dodatni kvadrat. S, okomito na kvadrat. V i istovremeno

okomito na kvadrat P. Da nacrtate S/V osu, uzmite frontalni D-1 u ovoj ravni. Sada crtamo S/V okomito na d"1" (slika 163, c). Pl. Q će biti prikazan na kvadratu. S kao prava linija sa s d s. Ostalo je jasno iz crteža.

168. Data je SABC piramida (vidi sliku 160). Odrediti razmak između rebara SC i AB Primijeniti: 1) metodu promjene površine. projekcije, 2) metoda paralelnog kretanja.

169*. Odrediti rastojanje između paralelnih ravni, od kojih je jedna definisana pravim AB i AC, a druga pravim DE i DF (Sl. 164, a). Izvršite i konstrukciju za slučaj kada su ravni specificirane tragovima (Sl. 164, b).

Rješenje. Udaljenost (Sl. 164, c) između paralelnih ravnina može se odrediti povlačenjem okomice iz bilo koje tačke jedne ravni u drugu ravninu. Na sl. 164, g uveden je dodatni kvadrat. S okomito na kvadrat. H i na obe date ravni. S.H os je okomita na horizontalu. horizontalna projekcija nacrtana u jednoj od ravni. Na kvadrat konstruišemo projekciju ove ravni i tačke u drugoj ravni. 5. Udaljenost tačke d s do prave l s a s jednaka je traženoj udaljenosti između paralelnih ravnina.

Na sl. 164, d data je još jedna konstrukcija (prema metodi paralelnog kretanja). Da bi ravan izražena linijama koje se seku AB i AC bila okomita na kvadrat. V, horizont. Horizontalnu projekciju ove ravni postavljamo okomito na osu x: 1 1 2 1 ⊥ x. Udaljenost između fronta projekcija d" 1 tačke D i prava a" 1 2" 1 (prednja projekcija ravni) jednaka je traženom rastojanju između ravni.

Na sl. 164, e prikazuje uvođenje dodatnog kvadrata. S, okomito na područje H i na date ravnine P i Q (os S/H je okomita na tragove P h i Q h). Gradimo tragove Ps i Qs. Udaljenost između njih (vidi sliku 164, c) jednaka je željenoj udaljenosti l između ravnina P i Q.

Na sl. 164, g prikazuje kretanje ravni P 1 n Q 1, do položaja P 1 i Q 1, kada je horizont. ispada da su tragovi okomiti na x-osu. Udaljenost između novih frontova. tragovi P 1ϑ i Q 1ϑ jednaki su traženoj udaljenosti l.

170. Dat je paralelepiped ABCDEFGH (Sl. 165). Odrediti rastojanja: a) između osnova paralelepipeda - l 1; b) između lica ABFE i DCGH - l 2; c) između lica ADHE i BCGF-l 3.