Kako riješiti jednostavne logaritamske jednadžbe. Logaritmi: primjeri i rješenja

Logaritamske jednadžbe. Od jednostavnog do složenog.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta je logaritamska jednačina?

Ovo je jednadžba sa logaritmima. Iznenađen sam, zar ne?) Onda ću pojasniti. Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima unutar logaritma. I samo tamo! Važno je.

Evo nekoliko primjera logaritamske jednačine:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Pa razumes... )

Bilješka! Locirani su najraznovrsniji izrazi sa X-ovima isključivo unutar logaritma. Ako se iznenada pojavi X negdje u jednadžbi vani, Na primjer:

log 2 x = 3+x,

ovo će već biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Usput, postoje jednadžbe gdje su unutar logaritma samo brojevi. Na primjer:

Šta da kažem? Imaš sreće ako naiđeš na ovo! Logaritam sa brojevima je neki broj. To je sve. Za rješavanje takve jednačine dovoljno je poznavati svojstva logaritma. Poznavanje posebnih pravila, tehnika prilagođenih posebno za rješavanje logaritamske jednadžbe, ovdje nije potrebno.

dakle, šta je logaritamska jednačina- Shvatili smo.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe?

Rješenje logaritamske jednačine- stvar zapravo nije baš jednostavna. Dakle, naša sekcija je četiri... Potrebna je pristojna količina znanja o svim vrstama srodnih tema. Osim toga, u ovim jednačinama postoji posebna karakteristika. A ova karakteristika je toliko važna da se može sa sigurnošću nazvati glavnim problemom u rješavanju logaritamskih jednadžbi. Ovaj problem ćemo se detaljno pozabaviti u sljedećoj lekciji.

Za sada, ne brini. Ići ćemo pravim putem od jednostavnog do složenog. Koristeći konkretne primjere. Glavna stvar je da se udubite u jednostavne stvari i ne budite lijeni pratiti linkove, stavio sam ih tamo s razlogom... I sve će vam uspjeti. Nužno.

Počnimo s najelementarnijim, najjednostavnijim jednadžbama. Da biste ih riješili, preporučljivo je imati ideju o logaritmu, ali ništa više. Samo nemam pojma logaritam, doneti odluku logaritamski jednadžbe - nekako čak i nespretne... Vrlo hrabro, rekao bih).

Najjednostavnije logaritamske jednadžbe.

Ovo su jednadžbe oblika:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proces rješenja bilo koja logaritamska jednadžba sastoji se u prijelazu iz jednadžbe s logaritmima u jednačinu bez njih. U najjednostavnijim jednačinama ovaj prijelaz se izvodi u jednom koraku. Zato su i najjednostavniji.)

A takve logaritamske jednačine je iznenađujuće lako riješiti. Uvjerite se sami.

Da riješimo prvi primjer:

log 3 x = log 3 9

Da biste riješili ovaj primjer, ne morate znati gotovo ništa, da... Čisto intuicija!) Šta nam treba posebno ne sviđa vam se ovaj primjer? Šta-šta... Ne volim logaritme! U redu. Pa hajde da ih se rešimo. Pažljivo pogledamo primjer i u nama se javlja prirodna želja... Baš neodoljiva! Uzmite i izbacite logaritme u potpunosti. A ono što je dobro je to Može uradi! Matematika dozvoljava. Logaritmi nestaju odgovor je:

Odlično, zar ne? To se uvijek može (i treba) učiniti. Eliminacija logaritama na ovaj način jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Naravno, postoje pravila za takvu likvidaciju, ali ih je malo. Zapamtite:

Možete bez straha eliminisati logaritme ako imaju:

a) iste numeričke baze

c) logaritmi s lijeva na desno su čisti (bez koeficijenata) i u sjajnoj su izolaciji.

Dozvolite mi da pojasnim poslednju tačku. U jednačini, recimo

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logaritmi se ne mogu ukloniti. Dvojica sa desne strane to ne dozvoljavaju. Koeficijent, znate... U primjeru

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Također je nemoguće potencirati jednačinu. Na lijevoj strani nema usamljenog logaritma. Ima ih dvoje.

Ukratko, možete ukloniti logaritme ako jednadžba izgleda ovako i samo ovako:

log a (.....) = log a (.....)

U zagradama, tamo gdje je elipsa, može biti bilo kakvih izraza. Jednostavno, super složeno, sve vrste. Kako god. Bitno je da nam nakon eliminisanja logaritama ostaje jednostavnija jednačina. Pretpostavlja se, naravno, da već znate rješavati linearne, kvadratne, razlomke, eksponencijalne i druge jednadžbe bez logaritama.)

Sada možete lako riješiti drugi primjer:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Zapravo, to se odlučuje u umu. Potenciramo, dobijamo:

Pa, je li jako teško?) Kao što vidite, logaritamski dio rješenja jednačine je samo u eliminisanju logaritama... A onda dolazi rješenje preostale jednačine bez njih. Trivijalna stvar.

Rešimo treći primjer:

log 7 (50x-1) = 2

Vidimo da je na lijevoj strani logaritam:

Podsjetimo da je ovaj logaritam broj na koji se baza mora podići (tj. sedam) da bi se dobio sublogaritamski izraz, tj. (50x-1).

Ali ovaj broj je dva! Prema jednadžbi To je:

To je u osnovi sve. Logaritam nestao, Ono što ostaje je bezopasna jednačina:

Ovu logaritamsku jednačinu riješili smo samo na osnovu značenja logaritma. Da li je još lakše eliminisati logaritme?) Slažem se. Usput, ako napravite logaritam od dva, ovaj primjer možete riješiti eliminacijom. Bilo koji broj se može pretvoriti u logaritam. Štaviše, onako kako nam je potrebno. Vrlo korisna tehnika u rješavanju logaritamskih jednačina i (posebno!) nejednačina.

Ne znate kako napraviti logaritam od broja!? Uredu je. Odjeljak 555 detaljno opisuje ovu tehniku. Možete ga savladati i iskoristiti u potpunosti! To uvelike smanjuje broj grešaka.

Četvrta jednačina se rješava na potpuno sličan način (po definiciji):

To je to.

Hajde da rezimiramo ovu lekciju. Na primjerima smo pogledali rješenje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi. To je veoma važno. I ne samo zato što se takve jednadžbe pojavljuju u testovima i ispitima. Činjenica je da se čak i najzlobnije i najkomplikovanije jednadžbe nužno svode na najjednostavnije!

Zapravo, najjednostavnije jednačine su završni dio rješenja bilo koji jednačine. I ovaj završni dio mora se striktno razumjeti! I dalje. Obavezno pročitajte ovu stranicu do kraja. Tu je iznenađenje...)

Sada odlučujemo sami. Hajde da se popravimo, da tako kažem...)

Pronađite korijen (ili zbir korijena, ako ih ima nekoliko) jednadžbi:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Odgovori (naravno u neredu): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Šta, ne ide sve? Dešava se. Ne brini! Odjeljak 555 objašnjava rješenje za sve ove primjere na jasan i detaljan način. Tamo ćete sigurno shvatiti. Također ćete naučiti korisne praktične tehnike.

Sve je ispalo!? Svi primjeri "jedan lijevo"?) Čestitamo!

Vrijeme je da vam otkrijem gorku istinu. Uspješno rješavanje ovih primjera ne garantuje uspjeh u rješavanju svih ostalih logaritamskih jednačina. Čak i najjednostavniji poput ovih. Avaj.

Činjenica je da se rješenje bilo koje logaritamske jednadžbe (čak i najelementarnije!) sastoji od dva jednaka dela. Rješavanje jednadžbe i rad sa ODZ-om. Savladali smo jedan dio - rješavanje same jednačine. Nije tako teško zar ne?

Za ovu lekciju posebno sam odabrao primjere u kojima DL ni na koji način ne utiče na odgovor. Ali nisu svi ljubazni kao ja, zar ne?...)

Stoga je imperativ ovladati drugim dijelom. ODZ. Ovo je glavni problem u rješavanju logaritamskih jednačina. I ne zato što je težak - ovaj dio je čak lakši od prvog. Ali zato što ljudi jednostavno zaborave na ODZ. Ili ne znaju. Ili oboje). I padaju iz vedra neba...

U sledećoj lekciji bavićemo se ovim problemom. Tada možete sa sigurnošću odlučiti bilo koji jednostavne logaritamske jednadžbe i pristupaju sasvim solidnim zadacima.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Ovim videom započinjem dugu seriju lekcija o logaritamskim jednadžbama. Sada imate tri primjera pred sobom na osnovu kojih ćemo naučiti rješavati najjednostavnije probleme koji se zovu - protozoa.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Da vas podsjetim da je najjednostavnija logaritamska jednadžba sljedeća:

log a f (x) = b

U ovom slučaju važno je da je varijabla x prisutna samo unutar argumenta, odnosno samo u funkciji f (x). A brojevi a i b su samo brojevi i ni u kom slučaju nisu funkcije koje sadrže varijablu x.

Osnovne metode rješenja

Postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Na primjer, većina nastavnika u školi nudi ovu metodu: Odmah izrazite funkciju f (x) koristeći formulu f ( x ) = a b . Odnosno, kada naiđete na najjednostavniju konstrukciju, možete odmah prijeći na rješenje bez dodatnih radnji i konstrukcija.

Da, naravno, odluka će biti ispravna. Međutim, problem sa ovom formulom je što većina studenata ne razumijem, odakle dolazi i zašto slovo a dižemo na slovo b.

Kao rezultat toga, često vidim vrlo dosadne greške kada se, na primjer, ova slova zamjene. Ovu formulu se mora ili razumjeti ili nagurati, a druga metoda dovodi do grešaka u najnepovoljnijim i najpresudnijim trenucima: na ispitima, testovima itd.

Zato svim svojim učenicima predlažem da napuste standardnu ​​školsku formulu i koriste drugi pristup za rješavanje logaritamskih jednadžbi, koji se, kao što ste vjerovatno iz naziva pogodili, zove kanonski oblik.

Ideja o kanonskom obliku je jednostavna. Pogledajmo ponovo naš problem: na lijevoj strani imamo log a, a pod slovom a podrazumijevamo broj, a ni u kom slučaju funkciju koja sadrži varijablu x. Shodno tome, ovo slovo podliježe svim ograničenjima koja su nametnuta na osnovu logaritma. naime:

1 ≠ a > 0

S druge strane, iz iste jednačine vidimo da logaritam mora biti jednak broju b, a ovom slovu nisu nametnuta nikakva ograničenja, jer može imati bilo koju vrijednost - i pozitivnu i negativnu. Sve ovisi o tome koje vrijednosti zauzima funkcija f(x).

I ovdje se prisjećamo našeg divnog pravila da bilo koji broj b može biti predstavljen kao logaritam na osnovu a od a na stepen b:

b = log a a b

Kako zapamtiti ovu formulu? Da, vrlo jednostavno. Napišimo sljedeću konstrukciju:

b = b 1 = b log a a

Naravno, u ovom slučaju nastaju sva ograničenja koja smo zapisali na početku. Sada upotrijebimo osnovno svojstvo logaritma i uvedemo množitelj b kao stepen a. Dobijamo:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Kao rezultat toga, originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

To je sve. Nova funkcija više ne sadrži logaritam i može se riješiti standardnim algebarskim tehnikama.

Naravno, neko će sada prigovoriti: zašto je uopće bilo potrebno smisliti nekakvu kanonsku formulu, zašto izvoditi dva dodatna nepotrebna koraka ako je bilo moguće odmah preći s originalnog dizajna na konačnu formulu? Da, makar samo zato što većina učenika ne razumije odakle dolazi ova formula i kao rezultat toga redovno griješe prilikom primjene.

Ali ovaj slijed radnji, koji se sastoji od tri koraka, omogućava vam da riješite originalnu logaritamsku jednadžbu, čak i ako ne razumijete odakle dolazi konačna formula. Usput, ovaj unos se zove kanonska formula:

log a f (x) = log a a b

Pogodnost kanonskog oblika je i u činjenici da se može koristiti za rješavanje vrlo široke klase logaritamskih jednadžbi, a ne samo onih najjednostavnijih koje danas razmatramo.

Primjeri rješenja

Pogledajmo sada stvarne primjere. Dakle, odlučimo:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Hajde da to prepišemo ovako:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mnogi učenici žure i pokušavaju odmah podići broj 0,5 na stepen koji nam je došao iz prvobitnog problema. Zaista, kada ste već dobro obučeni za rješavanje takvih problema, možete odmah izvršiti ovaj korak.

Međutim, ako sada tek počinjete proučavati ovu temu, bolje je ne žuriti nigdje kako biste izbjegli uvredljive greške. Dakle, imamo kanonski oblik. Imamo:

3x − 1 = 0,5 −3

Ovo više nije logaritamska jednadžba, već linearna u odnosu na varijablu x. Da bismo ga riješili, pogledajmo prvo broj 0,5 na stepen −3. Imajte na umu da je 0,5 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Pretvorite sve decimalne razlomke u obične razlomke prilikom rješavanja logaritamske jednadžbe.

Prepisujemo i dobijamo:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

To je to, dobili smo odgovor. Prvi problem je riješen.

Drugi zadatak

Pređimo na drugi zadatak:

Kao što vidimo, ova jednačina više nije najjednostavnija. Ako samo zato što postoji razlika na lijevoj strani, a ni jedan logaritam prema jednoj bazi.

Stoga se moramo nekako riješiti ove razlike. U ovom slučaju, sve je vrlo jednostavno. Pogledajmo pobliže osnove: na lijevoj strani je broj ispod korijena:

Opća preporuka: u svim logaritamskim jednadžbama pokušajte se riješiti radikala, tj. unosa s korijenima i prijeći na funkcije stepena, jednostavno zato što se eksponenti ovih potencija lako izvlače iz predznaka logaritma i, na kraju, takvi unos značajno pojednostavljuje i ubrzava proračune. Hajde da to zapišemo ovako:

Sada se prisjetimo izvanredne osobine logaritma: stupnjevi se mogu izvesti iz argumenta, kao i iz baze. U slučaju osnova dešava se sljedeće:

log a k b = 1/k loga b

Drugim rečima, broj koji je bio u baznom stepenu se pomera unapred i istovremeno invertuje, odnosno postaje recipročan broj. U našem slučaju, osnovni stepen je bio 1/2. Stoga ga možemo uzeti kao 2/1. Dobijamo:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Imajte na umu: ni pod kojim okolnostima se ne smijete riješiti logaritama u ovom koraku. Zapamtite matematiku od 4. do 5. razreda i redosled operacija: prvo se vrši množenje, pa tek onda sabiranje i oduzimanje. U ovom slučaju oduzimamo jedan od istih elemenata od 10 elemenata:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Sada naša jednačina izgleda kako treba. Ovo je najjednostavnija konstrukcija, a rješavamo je koristeći kanonski oblik:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

To je sve. Drugi problem je riješen.

Treći primjer

Pređimo na treći zadatak:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Dozvolite mi da vas podsjetim na sljedeću formulu:

log b = log 10 b

Ako ste iz nekog razloga zbunjeni notacijom log b , tada prilikom izvođenja svih proračuna možete jednostavno napisati log 10 b . Sa decimalnim logaritmima možete raditi na isti način kao i sa ostalima: uzmite potencije, saberite i predstavite bilo koje brojeve u obliku lg 10.

Upravo ta svojstva ćemo sada koristiti za rješavanje problema, jer nije ono najjednostavnije koje smo zapisali na samom početku naše lekcije.

Prvo, imajte na umu da se faktor 2 ispred lg 5 može dodati i postaje stepen baze 5. Osim toga, slobodni član 3 može se također predstaviti kao logaritam - to je vrlo lako uočiti iz naše notacije.

Procijenite sami: bilo koji broj se može predstaviti kao dnevnik na osnovu 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Prepišimo originalni problem uzimajući u obzir dobijene promjene:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000

Pred nama je opet kanonski oblik, a dobili smo ga bez prolaska kroz fazu transformacije, tj. najjednostavnija logaritamska jednadžba se nigdje nije pojavila.

Upravo o tome sam govorio na samom početku lekcije. Kanonski oblik vam omogućava da riješite širu klasu problema od standardne školske formule koju daje većina školskih nastavnika.

Pa, to je to, riješili smo se predznaka decimalnog logaritma i dobili smo jednostavnu linearnu konstrukciju:

x + 3 = 25.000
x = 24,997

Sve! Problem je riješen.

Napomena o obimu

Ovdje bih želio dati važnu napomenu u vezi s opsegom definicije. Sigurno će sada biti učenika i nastavnika koji će reći: "Kada rješavamo izraze logaritmima, moramo zapamtiti da argument f (x) mora biti veći od nule!" S tim u vezi postavlja se logično pitanje: zašto nismo zahtijevali da ova nejednakost bude zadovoljena ni u jednom od razmatranih problema?

Ne brini. U ovim slučajevima neće se pojaviti dodatni korijeni. A ovo je još jedan sjajan trik koji vam omogućava da ubrzate rješenje. Samo znajte da ako se u problemu varijabla x pojavljuje samo na jednom mjestu (ili bolje rečeno, u jednom jedinom argumentu jednog logaritma), a nigdje drugdje u našem slučaju se varijabla x ne pojavljuje, onda zapišite domenu definicije nema potrebe, jer će se izvršiti automatski.

Procijenite sami: u prvoj jednačini dobili smo da je 3x − 1, tj. argument bi trebao biti jednak 8. To automatski znači da će 3x − 1 biti veće od nule.

Sa istim uspjehom možemo zapisati da u drugom slučaju x treba biti jednako 5 2, tj. sigurno je veće od nule. I u trećem slučaju, gdje je x + 3 = 25.000, tj., opet, očigledno veće od nule. Drugim riječima, opseg je zadovoljen automatski, ali samo ako se x pojavljuje samo u argumentu samo jednog logaritma.

To je sve što trebate znati za rješavanje najjednostavnijih problema. Samo ovo pravilo, zajedno sa pravilima transformacije, omogućiće vam da rešite veoma široku klasu problema.

Ali budimo iskreni: da biste konačno razumjeli ovu tehniku, da biste naučili kako primijeniti kanonski oblik logaritamske jednadžbe, nije dovoljno samo pogledati jednu video lekciju. Stoga, odmah preuzmite opcije za samostalna rješenja koje su priložene uz ovu video lekciju i počnite rješavati barem jedan od ova dva samostalna rada.

Trebat će vam bukvalno nekoliko minuta. Ali učinak takvog treninga bit će mnogo veći nego da jednostavno pogledate ovu video lekciju.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da razumijete logaritamske jednačine. Koristite kanonski oblik, pojednostavite izraze koristeći pravila za rad s logaritmima - i nećete se bojati nikakvih problema. To je sve što imam za danas.

Uzimajući u obzir domen definicije

Hajde sada da razgovaramo o domenu definicije logaritamske funkcije i kako to utiče na rešenje logaritamskih jednačina. Razmotrite konstrukciju forme

log a f (x) = b

Takav izraz se naziva najjednostavnijim - sadrži samo jednu funkciju, a brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kom slučaju funkcija koja ovisi o varijabli x. Može se vrlo jednostavno riješiti. Samo trebate koristiti formulu:

b = log a a b

Ova formula je jedno od ključnih svojstava logaritma, a prilikom zamjene u naš originalni izraz dobijamo sljedeće:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Ovo je poznata formula iz školskih udžbenika. Mnogi studenti će vjerovatno imati pitanje: budući da je u originalnom izrazu funkcija f (x) ispod log znaka, na nju su nametnuta sljedeća ograničenja:

f(x) > 0

Ovo ograničenje se primjenjuje jer logaritam negativnih brojeva ne postoji. Dakle, možda bi kao rezultat ovog ograničenja trebalo uvesti provjeru odgovora? Možda ih treba ubaciti u izvor?

Ne, u najjednostavnijim logaritamskim jednadžbama dodatna provjera je nepotrebna. I zato. Pogledajte našu konačnu formulu:

f (x) = a b

Činjenica je da je broj a u svakom slučaju veći od 0 - ovaj zahtjev također nameće logaritam. Broj a je baza. U ovom slučaju, nema ograničenja za broj b. Ali to nije važno, jer bez obzira na to na koju snagu podignemo pozitivan broj, na izlazu ćemo ipak dobiti pozitivan broj. Dakle, zahtjev f (x) > 0 je zadovoljen automatski.

Ono što zaista vrijedi provjeriti je domen funkcije ispod znaka dnevnika. Mogu postojati prilično složene strukture i svakako ih morate paziti tokom procesa rješavanja. Hajde da pogledamo.

Prvi zadatak:

Prvi korak: pretvoriti razlomak na desnoj strani. Dobijamo:

Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo uobičajenu iracionalnu jednačinu:

Od dobijenih korijena odgovara nam samo prvi, jer je drugi korijen manji od nule. Jedini odgovor će biti broj 9. To je to, problem je riješen. Nisu potrebne dodatne provjere da bi se osiguralo da je izraz pod predznakom logaritma veći od 0, jer nije samo veći od 0, već je prema uvjetu jednačine jednak 2. Stoga je zahtjev „veći od nule ” se automatski zadovoljava.

Pređimo na drugi zadatak:

Ovdje je sve isto. Prepisujemo konstrukciju, zamjenjujući trojku:

Riješimo se predznaka logaritma i dobijamo iracionalnu jednačinu:

Kvadratiziramo obje strane uzimajući u obzir ograničenja i dobijemo:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Rezultujuću jednačinu rešavamo preko diskriminanta:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Ali x = −6 nam ne odgovara, jer ako ovaj broj zamenimo u našu nejednakost, dobićemo:

−6 + 4 = −2 < 0

U našem slučaju potrebno je da bude veći od 0 ili, u ekstremnim slučajevima, jednak. Ali nam odgovara x = −1:

−1 + 4 = 3 > 0

Jedini odgovor u našem slučaju će biti x = −1. To je rešenje. Vratimo se na sam početak naših proračuna.

Glavni zaključak iz ove lekcije je da ne morate provjeravati ograničenja funkcije u jednostavnim logaritamskim jednačinama. Zato što su tokom procesa rješavanja sva ograničenja automatski zadovoljena.

Međutim, to ni na koji način ne znači da možete potpuno zaboraviti na provjeru. U procesu rada na logaritamskoj jednadžbi ona se može pretvoriti u iracionalnu, koja će imati svoja ograničenja i zahtjeve za desnu stranu, što smo danas vidjeli na dva različita primjera.

Slobodno rješavajte takve probleme i budite posebno oprezni ako postoji korijen u svađi.

Logaritamske jednadžbe s različitim bazama

Nastavljamo proučavati logaritamske jednadžbe i razmatramo još dvije prilično zanimljive tehnike kojima je moderno rješavati složenije konstrukcije. Ali prvo, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi:

log a f (x) = b

U ovom unosu, a i b su brojevi, au funkciji f (x) varijabla x mora biti prisutna i samo tamo, to jest, x mora biti samo u argumentu. Takve logaritamske jednadžbe ćemo transformirati koristeći kanonski oblik. Da biste to učinili, zabilježite to

b = log a a b

Štaviše, a b je upravo argument. Prepišimo ovaj izraz na sljedeći način:

log a f (x) = log a a b

To je upravo ono što pokušavamo postići, tako da postoji logaritam za bazu a i na lijevoj i na desnoj strani. U ovom slučaju možemo, figurativno rečeno, precrtati znakove dnevnika, a sa matematičke tačke gledišta možemo reći da jednostavno izjednačavamo argumente:

f (x) = a b

Kao rezultat, dobićemo novi izraz koji će biti mnogo lakše rešiti. Primijenimo ovo pravilo na naše današnje probleme.

Dakle, prvi dizajn:

Prije svega, napominjem da je na desnoj strani razlomak čiji je imenilac log. Kada vidite ovakav izraz, dobra je ideja da zapamtite divno svojstvo logaritama:

Prevedeno na ruski, to znači da se bilo koji logaritam može predstaviti kao kvocijent dva logaritma sa bilo kojom osnovom c. Naravno 0< с ≠ 1.

Dakle: ova formula ima jedan divan poseban slučaj, kada je varijabla c jednaka varijabli b. U ovom slučaju dobijamo konstrukciju kao što je:

Upravo to je konstrukcija koju vidimo iz znaka desno u našoj jednadžbi. Zamenimo ovu konstrukciju sa log a b, dobićemo:

Drugim riječima, u poređenju sa originalnim zadatkom, zamijenili smo argument i bazu logaritma. Umjesto toga, morali smo obrnuti razlomak.

Podsjećamo da se bilo koji stepen može izvesti iz baze prema sljedećem pravilu:

Drugim riječima, koeficijent k, koji je snaga baze, izražava se kao obrnuti razlomak. Hajde da to prikažemo kao obrnuti razlomak:

Faktor razlomaka se ne može ostaviti ispred, jer u ovom slučaju nećemo moći da predstavimo ovu notaciju kao kanonski oblik (na kraju krajeva, u kanonskom obliku nema dodatnog faktora prije drugog logaritma). Stoga, dodajmo razlomak 1/4 argumentu kao stepen:

Sada izjednačavamo argumente čije su baze iste (a naše su baze zaista iste) i pišemo:

x + 5 = 1

x = −4

To je sve. Dobili smo odgovor na prvu logaritamsku jednačinu. Imajte na umu: u originalnom problemu, varijabla x se pojavljuje u samo jednom dnevniku, a pojavljuje se u njegovom argumentu. Dakle, nema potrebe provjeravati domen, a naš broj x = −4 je zaista odgovor.

Sada pređimo na drugi izraz:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Ovdje ćemo, pored uobičajenih logaritama, morati raditi i sa log f (x). Kako riješiti takvu jednačinu? Nespremnom učeniku može izgledati da je ovo neka vrsta teškog zadatka, ali u stvari sve se može riješiti na elementaran način.

Pogledajte izbliza pojam lg 2 log 2 7. Šta možemo reći o tome? Osnove i argumenti log i lg su isti, i to bi trebalo dati neke ideje. Prisjetimo se još jednom kako se potenci izvlače ispod znaka logaritma:

log a b n = nlog a b

Drugim riječima, ono što je u argumentu bilo potencija b postaje faktor ispred samog log. Primijenimo ovu formulu na izraz lg 2 log 2 7. Nemojte se plašiti lg 2 - ovo je najčešći izraz. Možete ga prepisati na sljedeći način:

Za njega vrijede sva pravila koja vrijede za bilo koji drugi logaritam. Konkretno, faktor ispred se može dodati stepenu argumenta. Hajde da to zapišemo:

Vrlo često učenici ovu radnju ne vide direktno, jer nije dobro ući u jedan dnevnik pod znakom drugog. U stvari, u ovome nema ništa kriminalno. Štaviše, dobijamo formulu koju je lako izračunati ako se sjetite važnog pravila:

Ova formula se može posmatrati i kao definicija i kao jedno od njenih svojstava. U svakom slučaju, ako pretvarate logaritamsku jednačinu, trebali biste znati ovu formulu baš kao što biste znali log reprezentaciju bilo kojeg broja.

Vratimo se našem zadatku. Prepisujemo ga uzimajući u obzir činjenicu da će prvi član desno od znaka jednakosti biti jednostavno jednak lg 7. Imamo:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Pomjerimo LG 7 ulijevo, dobićemo:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Oduzimamo izraze s lijeve strane jer imaju istu osnovu:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Sada pogledajmo pobliže jednačinu koju smo dobili. To je praktično kanonski oblik, ali na desnoj strani je faktor −3. Dodajmo to pravom lg argumentu:

log 8 = log (x + 4) −3

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, pa precrtavamo lg predznake i izjednačavamo argumente:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

To je sve! Rešili smo drugu logaritamsku jednačinu. U ovom slučaju nisu potrebne dodatne provjere, jer je u originalnom problemu x bio prisutan samo u jednom argumentu.

Dozvolite mi da ponovo navedem ključne tačke ove lekcije.

Glavna formula koja se uči u svim lekcijama na ovoj stranici posvećene rješavanju logaritamskih jednačina je kanonski oblik. I neka vas ne plaši činjenica da vas većina školskih udžbenika uči da drugačije rješavate takve probleme. Ovaj alat radi vrlo efikasno i omogućava vam da riješite mnogo širu klasu problema od onih najjednostavnijih koje smo proučavali na samom početku naše lekcije.

Osim toga, za rješavanje logaritamskih jednadžbi bit će korisno poznavati osnovna svojstva. naime:

1. Formula za prelazak na jednu bazu i poseban slučaj kada obrnemo log (ovo nam je bilo vrlo korisno u prvom problemu);
2. Formula za sabiranje i oduzimanje potencija od znaka logaritma. Ovdje se mnogi studenti zaglave i ne vide da stepen koji se uzima i uvodi može sam sadržavati log f (x). Ništa loše u tome. Možemo uvesti jedan log prema predznaku drugog i istovremeno značajno pojednostaviti rješenje problema, što vidimo u drugom slučaju.

U zaključku, želim da dodam da nije potrebno provjeravati domen definicije u svakom od ovih slučajeva, jer je svuda varijabla x prisutna samo u jednom znaku log, a istovremeno je i u svom argumentu. Kao posljedica toga, svi zahtjevi opsega su ispunjeni automatski.

Problemi sa varijabilnom bazom

Danas ćemo se osvrnuti na logaritamske jednadžbe, koje se mnogim učenicima čine nestandardnim, ako ne i potpuno nerješivim. Govorimo o izrazima zasnovanim ne na brojevima, već na varijablama, pa čak i funkcijama. Takve konstrukcije ćemo rješavati našom standardnom tehnikom, odnosno kroz kanonsku formu.

Prvo, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi na temelju običnih brojeva. Dakle, najjednostavnija konstrukcija se zove

log a f (x) = b

Za rješavanje takvih problema možemo koristiti sljedeću formulu:

b = log a a b

Prepisujemo naš originalni izraz i dobijamo:

log a f (x) = log a a b

Zatim izjednačavamo argumente, tj. pišemo:

f (x) = a b

Tako se oslobađamo znaka dnevnika i rješavamo uobičajeni problem. U ovom slučaju, korijeni dobiveni iz rješenja bit će korijeni originalne logaritamske jednadžbe. Osim toga, zapis kada su i lijeva i desna strana u istom logaritmu s istom bazom, precizno se naziva kanonskim oblikom. Na takav rekord ćemo pokušati svesti današnje dizajne. Pa, idemo.

Prvi zadatak:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Zamijenite 1 sa log x − 2 (x − 2) 1 . Stepen koji opažamo u argumentu je zapravo broj b koji je stajao desno od znaka jednakosti. Dakle, hajde da prepišemo naš izraz. Dobijamo:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

šta vidimo? Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, tako da možemo sigurno izjednačiti argumente. Dobijamo:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Ali rješenje se tu ne završava, jer ova jednadžba nije ekvivalentna originalnoj. Na kraju krajeva, rezultirajuća konstrukcija se sastoji od funkcija koje su definirane na cijeloj brojevnoj pravoj, a naši originalni logaritmi nisu definirani svugdje i ne uvijek.

Stoga moramo posebno zapisati domen definicije. Nemojmo se cijepati i prvo napiši sve zahtjeve:

Prvo, argument svakog od logaritama mora biti veći od 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Drugo, baza ne samo da mora biti veća od 0, već i različita od 1:

x − 2 ≠ 1

Kao rezultat, dobijamo sistem:

Ali nemojte biti uznemireni: prilikom obrade logaritamskih jednačina, takav sistem se može značajno pojednostaviti.

Procijenite sami: s jedne strane, od nas se traži da kvadratna funkcija bude veća od nule, a s druge strane, ova kvadratna funkcija je izjednačena sa određenim linearnim izrazom, za koji se također traži da bude veća od nule.

U ovom slučaju, ako tražimo da je x − 2 > 0, tada će automatski biti zadovoljen zahtjev 2x 2 − 13x + 18 > 0. Stoga možemo bezbedno precrtati nejednačinu koja sadrži kvadratnu funkciju. Tako će se broj izraza sadržanih u našem sistemu smanjiti na tri.

Naravno, s istim uspjehom mogli bismo precrtati linearnu nejednačinu, odnosno precrtati x − 2 > 0 i zahtijevati da je 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ali složit ćete se da je rješavanje najjednostavnije linearne nejednakosti mnogo brže i jednostavnije, nego kvadratno, čak i pod uslovom da kao rezultat rješavanja cijelog ovog sistema dobijemo iste korijene.

Općenito, pokušajte optimizirati proračune kad god je to moguće. A u slučaju logaritamskih jednačina precrtajte najteže nejednačine.

Prepišimo naš sistem:

Evo sistema od tri izraza, od kojih smo dva, zapravo, već imali posla. Zapišimo kvadratnu jednačinu odvojeno i riješimo je:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Pred nama je reducirani kvadratni trinom i stoga možemo koristiti Vietine formule. Dobijamo:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Sada se vraćamo na naš sistem i nalazimo da nam x = 2 ne odgovara, jer se od nas traži da x bude striktno veći od 2.

Ali x = 5 nam savršeno odgovara: broj 5 je veći od 2, a istovremeno 5 nije jednako 3. Stoga će jedino rješenje za ovaj sistem biti x = 5.

To je to, problem je riješen, uključujući i ODZ. Pređimo na drugu jednačinu. Još zanimljivih i informativnih proračuna očekuju nas ovdje:

Prvi korak: kao i prošli put, cijelu ovu stvar dovodimo u kanonski oblik. Da bismo to učinili, možemo napisati broj 9 na sljedeći način:

Ne morate dodirivati ​​osnovu s korijenom, ali je bolje transformirati argument. Prijeđimo s korijena na stepen s racionalnim eksponentom. Hajde da zapišemo:

Dozvolite mi da ne prepisujem cijelu našu veliku logaritamsku jednačinu, već samo odmah izjednačim argumente:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Pred nama je novosvedeni kvadratni trinom, upotrijebimo Vietine formule i zapišemo:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Dakle, dobili smo korijene, ali nam niko nije garantirao da će odgovarati originalnoj logaritamskoj jednadžbi. Na kraju krajeva, znakovi dnevnika nameću dodatna ograničenja (ovdje smo trebali zapisati sistem, ali zbog glomaznosti cijele strukture, odlučio sam da izračunam domen definicije zasebno).

Prije svega, zapamtite da argumenti moraju biti veći od 0, naime:

Ovo su zahtjevi koje nameće obim definicije.

Odmah primijetimo da, pošto prva dva izraza sistema izjednačavamo jedan s drugim, možemo precrtati bilo koji od njih. Precrtajmo prvu jer izgleda opasnije od druge.

Osim toga, imajte na umu da će rješenje druge i treće nejednakosti biti isti skupovi (kocka nekog broja je veća od nule, ako je sam ovaj broj veći od nule; slično, s korijenom trećeg stepena - ove nejednačine su potpuno analogne, pa ih možemo precrtati).

Ali s trećom nejednakošću to neće funkcionirati. Riješimo se radikalnog znaka na lijevoj strani podizanjem oba dijela na kocku. Dobijamo:

Tako dobijamo sljedeće zahtjeve:

− 2 ≠ x > −3

Koji od naših korijena: x 1 = −3 ili x 2 = −1 ispunjava ove zahtjeve? Očigledno, samo x = −1, jer x = −3 ne zadovoljava prvu nejednakost (pošto je naša nejednakost stroga). Dakle, vraćajući se na naš problem, dobijamo jedan korijen: x = −1. To je to, problem rešen.

Još jednom, ključne tačke ovog zadatka:

1. Slobodno primijenite i riješite logaritamske jednadžbe koristeći kanonski oblik. Učenici koji naprave takvu notaciju, umjesto da pređu direktno sa originalnog problema na konstrukciju kao što je log a f (x) = b, prave mnogo manje grešaka od onih koji negdje žure, preskačući međukorake proračuna;
2. Čim se promenljiva baza pojavi u logaritmu, problem prestaje biti najjednostavniji. Stoga je pri rješavanju potrebno voditi računa o domenu definicije: argumenti moraju biti veći od nule, a baze ne samo da moraju biti veće od 0, već ne smiju biti ni jednake 1.

Konačni zahtjevi se mogu primijeniti na konačne odgovore na različite načine. Na primjer, možete riješiti cijeli sistem koji sadrži sve zahtjeve za domenu definicije. S druge strane, možete prvo riješiti sam problem, a zatim zapamtiti domen definicije, zasebno ga razraditi u obliku sistema i primijeniti na dobijene korijene.

Koju ćete metodu odabrati prilikom rješavanja određene logaritamske jednadžbe, ovisi o vama. U svakom slučaju, odgovor će biti isti.

Uvod

Logaritmi su izmišljeni da ubrzaju i pojednostave proračune. Ideja logaritma, odnosno ideja izražavanja brojeva kao potencija iste baze, pripada Mihailu Stifelu. Ali u Stiefelovo vrijeme matematika nije bila toliko razvijena i ideja logaritma nije bila razvijena. Logaritme su kasnije istovremeno i nezavisno jedan od drugog izmislili škotski naučnik Džon Napier (1550-1617) i Švajcarac Jobst Burgi (1552-1632).Napier je prvi objavio ovo delo 1614. godine. pod naslovom „Opis nevjerovatne tablice logaritama“ Napierova teorija logaritama data je u prilično cjelovitom obimu, metoda izračunavanja logaritama je data najjednostavniji, pa su Napierove zasluge u pronalasku logaritama bile veće od Bürgijevih. Burgi je radio na tablicama u isto vrijeme kada i Napier, ali ih je dugo čuvao u tajnosti i objavio ih tek 1620. godine. Napier je savladao ideju logaritma oko 1594. iako su tabele objavljene 20 godina kasnije. Najprije je svoje logaritme nazvao "vještački brojevi", a tek onda je predložio da se ovi "vještački brojevi" nazovu jednom riječju "logaritam", što u prijevodu s grčkog znači "korelirani brojevi", uzeti jedan iz aritmetičke progresije, a drugi iz aritmetičke progresije. geometrijska progresija posebno odabrana za to. Prve tabele na ruskom jeziku objavljene su 1703. uz učešće divnog učitelja 18. veka. L. F. Magnitsky. Radovi peterburškog akademika Leonharda Ojlera bili su od velikog značaja u razvoju teorije logaritama. Bio je prvi koji je logaritme smatrao obrnutim dizanjem na stepen; uveo je pojmove “osnova logaritma” i “mantisa.” Briggs je sastavio tabele logaritama sa bazom 10. Decimalne tabele su pogodnije za praktičnu upotrebu, njihova teorija je jednostavniji od Napierovih logaritama. Stoga se decimalni logaritmi ponekad nazivaju Briggsovim logaritmima. Termin "karakterizacija" uveo je Briggs.

U tim dalekim vremenima, kada su mudraci prvi put počeli razmišljati o jednakostima koje sadrže nepoznate količine, vjerovatno nije bilo kovanica ili novčanika. Ali postojale su hrpe, kao i lonci i korpe, koje su bile savršene za ulogu spremišta u koje je mogao stati nepoznat broj predmeta. U drevnim matematičkim problemima Mesopotamije, Indije, Kine, Grčke, nepoznate količine su izražavale broj paunova u vrtu, broj bikova u stadu i ukupnost stvari koje se uzimaju u obzir prilikom podjele imovine. Pisari, službenici i svećenici upućeni u tajno znanje, dobro obučeni u nauci računa, prilično su se uspješno nosili s takvim zadacima.

Izvori koji su do nas došli ukazuju da su drevni naučnici imali neke opšte tehnike za rešavanje problema sa nepoznatim količinama. Međutim, niti jedna papirusna ili glinena ploča ne sadrži opis ovih tehnika. Autori su svoje numeričke proračune samo povremeno dopunili štedljivim komentarima kao što su: „Pogledaj!”, „Uradi ovo!”, „Pronašao si pravog”. U tom smislu izuzetak je "Aritmetika" grčkog matematičara Diofanta iz Aleksandrije (III vek) - zbirka zadataka za sastavljanje jednačina sa sistematskim prikazom njihovih rešenja.

Međutim, prvi priručnik za rješavanje problema koji je postao široko poznat bio je rad bagdadskog naučnika iz 9. stoljeća. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Riječ "al-jabr" iz arapskog naziva ove rasprave - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Knjiga obnove i opozicije") - vremenom se pretvorila u dobro poznatu riječ "algebra", a al- Sam Khwarizmijev rad poslužio je kao polazna tačka u razvoju nauke o rješavanju jednačina.

Logaritamske jednačine i nejednačine

1. Logaritamske jednadžbe

Jednačina koja sadrži nepoznatu pod predznakom logaritma ili u svojoj osnovi naziva se logaritamska jednačina.

Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika

log a x = b . (1)

Izjava 1. Ako a > 0, a≠ 1, jednačina (1) za bilo koju realnu b ima jedinstveno rešenje x = a b .

Primjer 1. Riješite jednačine:

a) dnevnik 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Rješenje. Koristeći iskaz 1, dobijamo a) x= 2 3 ili x= 8; b) x= 3 -1 ili x= 1 / 3 ; c)

ili x = 1.

Predstavimo osnovna svojstva logaritma.

P1. Osnovni logaritamski identitet:

Gdje a > 0, a≠ 1 i b > 0.

P2. Logaritam proizvoda pozitivnih faktora jednak je zbiru logaritama ovih faktora:

log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Ako N 1 · N 2 > 0, tada svojstvo P2 poprima oblik

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logaritam količnika dva pozitivna broja jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Ako

, (što je ekvivalentno N 1 N 2 > 0) tada svojstvo P3 poprima oblik (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Logaritam stepena pozitivnog broja jednak je umnošku eksponenta i logaritma ovog broja:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Komentar. Ako k- čak broj ( k = 2s), To

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formula za prelazak u drugu bazu:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

posebno ako N = b, dobijamo

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Koristeći svojstva P4 i P5, lako je dobiti sljedeća svojstva

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

i, ako je u (5) c- čak broj ( c = 2n), javlja se

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Nabrojimo glavna svojstva logaritamske funkcije f (x) = log a x :

1. Područje definicije logaritamske funkcije je skup pozitivnih brojeva.

2. Opseg vrijednosti logaritamske funkcije je skup realnih brojeva.

3. Kada a> 1 logaritamska funkcija je striktno rastuća (0< x 1 < x 2log a x 1 < loga x 2), i na 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2log a x 1 > log a x 2).

4.log a 1 = 0 i log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija negativna kada x(0;1) i pozitivno na x(1;+∞), a ako je 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) i negativan pri x (1;+∞).

6. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija konveksna prema gore, i ako a(0;1) - konveksno prema dolje.

Sljedeći iskazi (vidi, na primjer,) se koriste prilikom rješavanja logaritamskih jednačina.

Kao što znate, kada se množe izrazi sa stepenom, njihovi eksponenti se uvijek sabiraju (a b *a c = a b+c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim sabiranjem. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) “b” na njegovu bazu “a” smatra se stepenom “c ” na koju se baza “a” mora podići da bi se na kraju dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takvu snagu da od 2 do tražene snage dobijete 8. Nakon nekih proračuna u glavi, dobijamo broj 3! I to je tačno, jer 2 na stepen od 3 daje odgovor kao 8.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri odvojene vrste logaritamskih izraza:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, gdje je osnova 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b na osnovu a>1.

Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji prilikom njihovog rješavanja.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i predstavljaju istinu. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće izdvojiti paran korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• Osnova “a” uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su “1” i “0” u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
• ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da “c” takođe mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, daje se zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. Ovo je vrlo lako, potrebno je odabrati stepen podizanjem broja deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100.

Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje se praktično konvergiraju da bi se pronašla potencija na koju je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio dati broj.

Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i poznavanje tablice množenja. Međutim, za veće vrijednosti trebat će vam stol za napajanje. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c na koji je broj a podignut. Na raskrsnici ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najistinskiji humanista razumjeti!

Jednačine i nejednačine

Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se bilo koji matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 se može napisati kao logaritam 81 na bazi 3 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapišemo to kao logaritam, dobijemo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.

Dat je sljedeći izraz: log 2 (x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost “x” ispod logaritamskog predznaka. I u izrazu se upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja prema bazi dva je veći od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednačina je u tome što jednadžbe sa logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednadžbe uzimaju i raspon prihvatljivih vrijednosti ​​i tačke se određuju kršenjem ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovne teoreme o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi; hajde da prvo pogledamo svako svojstvo detaljnije.

1. Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
2. Logaritam proizvoda se može predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, obavezan uslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepeni ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
3. Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova formula se naziva “svojstvo stepena logaritma”. Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer se sva matematika zasniva na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log a b = t, ispada da je a t = b. Ako oba dijela podignemo na stepen m: a tn = b n ;

ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n, dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednačina i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Da biste ušli na fakultet ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se određena pravila mogu primijeniti na svaku matematičku nejednačinu ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, trebali biste saznati da li se izraz može pojednostaviti ili svesti na opći oblik. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Hajde da ih brzo upoznamo.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi moramo odrediti koji tip logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da treba odrediti snagu kojoj će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Da biste riješili prirodne logaritme, morate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno rastaviti veliku vrijednost broja b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stepena logaritma, uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Vi samo trebate faktorisati bazu, a zatim izvući vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci sa Jedinstvenog državnog ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši dio ispita), već i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva tačno i savršeno poznavanje teme „Prirodni logaritmi“.

Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih verzija Jedinstvenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Najbolje je sve logaritme svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod predznakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod predznakom logaritma i kao njegova baza izvadi kao množitelj, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.