Primul nivel

Gradul și proprietățile sale. Ghidul cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde vei avea nevoie de ele? De ce ar trebui să-ți faci timp să le studiezi?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt necesare și cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.

Și, desigur, cunoașterea diplomelor vă va aduce mai aproape de promovarea cu succes a examenului de stat unificat sau a examenului de stat unificat și de a intra în universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este o operație matematică la fel ca adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbaj uman folosind exemple foarte simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Toată lumea are două sticle de cola. Câtă cola este? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi găsesc o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Cu ce ​​alte trucuri inteligente de numărare au venit matematicienii leneși? Dreapta - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acel număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este... Și rezolvă astfel de probleme în capul lor - mai rapid, mai ușor și fără greșeli.

Tot ce trebuie să faci este amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, asta îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi? pătrat numere, iar al treilea - cub? Ce înseamnă? Foarte buna intrebarea. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu pătratul sau cu a doua putere a numărului.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară un metru pe un metru. Piscina este la casa ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... piscina nu are fund! Trebuie să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona de jos a piscinei.

Puteți calcula pur și simplu arătând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă aveți plăci de un metru cu un metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut astfel de plăci? Placa va fi cel mai probabil cm cu cm. Și apoi vei fi torturat „numărând cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei vom potrivi plăci (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțiți cu și obțineți plăci ().

Ați observat că pentru a determina suprafața fundului piscinei am înmulțit același număr de la sine? Ce înseamnă? Deoarece înmulțim același număr, putem folosi tehnica „exponențiării”. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea lor la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule Pentru examenul de stat unificat, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la a doua putere va fi (). Sau putem spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine: numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a calcula numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt sau... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Vei primi celule. () Asa de?

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, se măsoară în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați o piscină: fundul are o dimensiune de un metru și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi măsoară un metru pe un metru. se potrivește în piscina dvs.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Câți ai primit? Nu ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă ar simplifica și asta. Am redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Ce înseamnă asta? Asta înseamnă că poți profita de grad. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu degetul, ei fac într-o singură acțiune: trei cuburi sunt egali. Este scris astfel: .

Tot ce rămâne este amintiți-vă tabelul gradelor. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a vă convinge în sfârșit că diplomele au fost inventate de cei care au renunțat și de oameni vicleni pentru a-și rezolva problemele vieții și nu pentru a vă crea probleme, iată încă câteva exemple din viață.

Exemplul #4 din viața reală

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, faci încă un milion. Adică fiecare milion pe care îl ai se dublează la începutul fiecărui an. Câți bani vei avea peste ani? Dacă stai acum și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și... proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Deci, în primul an - doi înmulțiți cu doi... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește de ori cu el însuși. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți o competiție și cel care poate număra cel mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți puterile numerelor, nu crezi?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, mai câștigi două. Grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... Este deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci la a patra putere este egal cu un milion. Trebuie doar să vă amintiți că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că, ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este un exponent? Este foarte simplu - este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu - acesta este numărul care se află mai jos, la bază.

Iată un desen pentru o măsură bună.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a aminti mai bine... Un grad cu o bază „ ” și un exponent „ ” se citește „la grad” și se scrie după cum urmează:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărare la enumerarea obiectelor: unu, doi, trei... Când numărăm obiecte, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. De asemenea, nu spunem: „o treime” sau „zero virgulă cinci”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce numere crezi că sunt acestea?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și numărul. Zero este ușor de înțeles - este atunci când nu există nimic. Ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a indica datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că le lipsesc numerele naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale... Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, este o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

1. Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
2. A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
3. A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietățile grade

De unde au venit aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.

Să vedem: ce este Și ?

Prioritate A:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat multiplicatori la factori, iar rezultatul sunt multiplicatori.

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică: , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie sa fie aceleasi motive!
Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

numai pentru produsul puterilor!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

2. asta e puterea a unui număr

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem?

Dar asta nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În puteri de indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, funcționează.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de exersat

Analiza soluției 6 exemple

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adică luate cu semnul " ") și numărul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, să ne întrebăm: de ce este așa?

Să luăm în considerare un anumit grad cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și - . Cu ce ​​număr ar trebui să înmulțiți ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ați înmulți zero de la sine, veți obține în continuare zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr la puterea zero, trebuie să fie egal. Deci cât de mult din asta este adevărat? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Sa trecem peste. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ și numere negative. Pentru a înțelege ce este o putere negativă, să facem ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același număr la o putere negativă:

De aici este ușor să exprimi ceea ce cauți:

Acum să extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm o regulă:

Un număr cu putere negativă este reciproca aceluiași număr cu putere pozitivă. Dar in acelasi timp Baza nu poate fi nulă:(pentru că nu poți împărți cu).

Să rezumăm:

I. Expresia nu este definită în cauză. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru soluții independente:

Analiza problemelor pentru rezolvare independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examenul de stat unificat trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluțiile dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „adecvate” ca exponent.

Acum să luăm în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi și.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar", luați în considerare fracția:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum să ne amintim regula despre "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal cu.

Adică rădăcina puterii-a este operația inversă de ridicare la o putere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugăm numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut folosind regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Să ne amintim regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi chiar și rădăcini din numere negative!

Aceasta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.

Dar expresia?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat sub forma altor fracții reductibile, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, dar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar dacă notăm indicatorul diferit, vom avea din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luăm în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• - întreg;

Exemple:

Exponenții raționali sunt foarte utili pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de exersat

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum vine partea cea mai grea. Acum ne vom da seama grad cu exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu un exponent rațional, cu excepția

La urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...număr la puterea zero- acesta este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumit „număr gol” , și anume un număr;

...gradul întreg negativ- este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (daca inveti sa rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decideți singuri:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula obișnuită pentru ridicarea unei puteri la o putere:

Acum uită-te la indicator. Nu-ți aduce aminte de nimic? Să ne amintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

În acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Reducem fracțiile în exponenți la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Determinarea gradului

Un grad este o expresie de forma: , unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Gradul cu indicator natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Gradul cu un exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

Constructie la gradul zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că nu poți împărți cu).

Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Putere cu exponent rațional

• - numar natural;
• - întreg;

Exemple:

Proprietățile grade

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prioritate A:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii obținem următorul produs:

Dar, prin definiție, este o putere a unui număr cu exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie să existe aceleași motive. Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produs de puteri!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să regrupăm această lucrare astfel:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total: !

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu o bază negativă.

Până acum am discutat doar cum ar trebui să fie index grade. Dar care ar trebui să fie baza? În puteri de natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem - .

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară semnul se va schimba. Se pot formula următoarele reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
3. Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
4. Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă ne amintim asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unul la altul, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte să ne uităm la ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați expresiile:

Soluții :

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.

Dacă o înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum se dovedește așa:

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze. Dar este important de reținut: Toate semnele se schimbă în același timp! Nu îl puteți înlocui cu un singur dezavantaj care nu ne place!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum vom demonstra? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de diplomă și să-l simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere sunt în total? ori prin multiplicatori - de ce vă amintește asta? Aceasta nu este altceva decât o definiție a unei operațiuni multiplicare: Erau doar multiplicatori acolo. Adică, aceasta, prin definiție, este o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un exponent irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția numerelor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr la puterea zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare rezultatul este doar un anumit „număr necompletat”, și anume un număr; un grad cu un exponent negativ întreg - este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Este mai degrabă un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decideți singuri:

1)

2)

3)

Raspunsuri:

1. Să ne amintim formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
2. Reducem fracțiile la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMATUL SECȚIUNII ȘI FORMULELE DE BAZĂ

grad numită expresie de forma: , unde:

Gradul cu un exponent întreg

un grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Putere cu exponent rațional

grad, al cărui exponent este numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

un grad al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietățile grade

Caracteristicile diplomelor.

• Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice putere.
• Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI CUVÂNTUL...

Cum îți place articolul? Scrie mai jos în comentarii dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta de utilizare a proprietăților de grad.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

Primul nivel

Gradul și proprietățile sale. Ghidul cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde vei avea nevoie de ele? De ce ar trebui să-ți faci timp să le studiezi?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt necesare și cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.

Și, desigur, cunoașterea diplomelor vă va aduce mai aproape de promovarea cu succes a examenului de stat unificat sau a examenului de stat unificat și de a intra în universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este o operație matematică la fel ca adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbaj uman folosind exemple foarte simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Toată lumea are două sticle de cola. Câtă cola este? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi găsesc o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Cu ce ​​alte trucuri inteligente de numărare au venit matematicienii leneși? Dreapta - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acel număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este... Și rezolvă astfel de probleme în capul lor - mai rapid, mai ușor și fără greșeli.

Tot ce trebuie să faci este amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, asta îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi? pătrat numere, iar al treilea - cub? Ce înseamnă? Foarte buna intrebarea. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu pătratul sau cu a doua putere a numărului.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară un metru pe un metru. Piscina este la casa ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... piscina nu are fund! Trebuie să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona de jos a piscinei.

Puteți calcula pur și simplu arătând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă aveți plăci de un metru cu un metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut astfel de plăci? Placa va fi cel mai probabil cm cu cm. Și apoi vei fi torturat „numărând cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei vom potrivi plăci (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțiți cu și obțineți plăci ().

Ați observat că pentru a determina suprafața fundului piscinei am înmulțit același număr de la sine? Ce înseamnă? Deoarece înmulțim același număr, putem folosi tehnica „exponențiării”. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea lor la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule Pentru examenul de stat unificat, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la a doua putere va fi (). Sau putem spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine: numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a calcula numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt sau... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Vei primi celule. () Asa de?

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, se măsoară în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați o piscină: fundul are o dimensiune de un metru și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi măsoară un metru pe un metru. se potrivește în piscina dvs.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Câți ai primit? Nu ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă ar simplifica și asta. Am redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Ce înseamnă asta? Asta înseamnă că poți profita de grad. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu degetul, ei fac într-o singură acțiune: trei cuburi sunt egali. Este scris astfel: .

Tot ce rămâne este amintiți-vă tabelul gradelor. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a vă convinge în sfârșit că diplomele au fost inventate de cei care au renunțat și de oameni vicleni pentru a-și rezolva problemele vieții și nu pentru a vă crea probleme, iată încă câteva exemple din viață.

Exemplul #4 din viața reală

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, faci încă un milion. Adică fiecare milion pe care îl ai se dublează la începutul fiecărui an. Câți bani vei avea peste ani? Dacă stai acum și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și... proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Deci, în primul an - doi înmulțiți cu doi... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește de ori cu el însuși. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți o competiție și cel care poate număra cel mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți puterile numerelor, nu crezi?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, mai câștigi două. Grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... Este deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci la a patra putere este egal cu un milion. Trebuie doar să vă amintiți că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că, ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este un exponent? Este foarte simplu - este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu - acesta este numărul care se află mai jos, la bază.

Iată un desen pentru o măsură bună.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a aminti mai bine... Un grad cu o bază „ ” și un exponent „ ” se citește „la grad” și se scrie după cum urmează:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărare la enumerarea obiectelor: unu, doi, trei... Când numărăm obiecte, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. De asemenea, nu spunem: „o treime” sau „zero virgulă cinci”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce numere crezi că sunt acestea?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și numărul. Zero este ușor de înțeles - este atunci când nu există nimic. Ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a indica datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că le lipsesc numerele naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale... Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, este o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

1. Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
2. A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
3. A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietățile grade

De unde au venit aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.

Să vedem: ce este Și ?

Prioritate A:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat multiplicatori la factori, iar rezultatul sunt multiplicatori.

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică: , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie sa fie aceleasi motive!
Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

numai pentru produsul puterilor!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

2. asta e puterea a unui număr

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem?

Dar asta nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În puteri de indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, funcționează.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de exersat

Analiza soluției 6 exemple

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adică luate cu semnul " ") și numărul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, să ne întrebăm: de ce este așa?

Să luăm în considerare un anumit grad cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și - . Cu ce ​​număr ar trebui să înmulțiți ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ați înmulți zero de la sine, veți obține în continuare zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr la puterea zero, trebuie să fie egal. Deci cât de mult din asta este adevărat? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Sa trecem peste. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ și numere negative. Pentru a înțelege ce este o putere negativă, să facem ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același număr la o putere negativă:

De aici este ușor să exprimi ceea ce cauți:

Acum să extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm o regulă:

Un număr cu putere negativă este reciproca aceluiași număr cu putere pozitivă. Dar in acelasi timp Baza nu poate fi nulă:(pentru că nu poți împărți cu).

Să rezumăm:

I. Expresia nu este definită în cauză. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru soluții independente:

Analiza problemelor pentru rezolvare independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examenul de stat unificat trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluțiile dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „adecvate” ca exponent.

Acum să luăm în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi și.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar", luați în considerare fracția:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum să ne amintim regula despre "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal cu.

Adică rădăcina puterii-a este operația inversă de ridicare la o putere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugăm numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut folosind regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Să ne amintim regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi chiar și rădăcini din numere negative!

Aceasta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.

Dar expresia?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat sub forma altor fracții reductibile, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, dar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar dacă notăm indicatorul diferit, vom avea din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luăm în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• - întreg;

Exemple:

Exponenții raționali sunt foarte utili pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de exersat

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum vine partea cea mai grea. Acum ne vom da seama grad cu exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu un exponent rațional, cu excepția

La urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...număr la puterea zero- acesta este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumit „număr gol” , și anume un număr;

...gradul întreg negativ- este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (daca inveti sa rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decideți singuri:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula obișnuită pentru ridicarea unei puteri la o putere:

Acum uită-te la indicator. Nu-ți aduce aminte de nimic? Să ne amintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

În acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Reducem fracțiile în exponenți la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Determinarea gradului

Un grad este o expresie de forma: , unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Gradul cu indicator natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Gradul cu un exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

Constructie la gradul zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că nu poți împărți cu).

Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Putere cu exponent rațional

• - numar natural;
• - întreg;

Exemple:

Proprietățile grade

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prioritate A:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii obținem următorul produs:

Dar, prin definiție, este o putere a unui număr cu exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie să existe aceleași motive. Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produs de puteri!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să regrupăm această lucrare astfel:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total: !

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu o bază negativă.

Până acum am discutat doar cum ar trebui să fie index grade. Dar care ar trebui să fie baza? În puteri de natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem - .

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară semnul se va schimba. Se pot formula următoarele reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
3. Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
4. Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă ne amintim asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unul la altul, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte să ne uităm la ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați expresiile:

Soluții :

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.

Dacă o înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum se dovedește așa:

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze. Dar este important de reținut: Toate semnele se schimbă în același timp! Nu îl puteți înlocui cu un singur dezavantaj care nu ne place!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum vom demonstra? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de diplomă și să-l simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere sunt în total? ori prin multiplicatori - de ce vă amintește asta? Aceasta nu este altceva decât o definiție a unei operațiuni multiplicare: Erau doar multiplicatori acolo. Adică, aceasta, prin definiție, este o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un exponent irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția numerelor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr la puterea zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare rezultatul este doar un anumit „număr necompletat”, și anume un număr; un grad cu un exponent negativ întreg - este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Este mai degrabă un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decideți singuri:

1)

2)

3)

Raspunsuri:

1. Să ne amintim formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
2. Reducem fracțiile la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMATUL SECȚIUNII ȘI FORMULELE DE BAZĂ

grad numită expresie de forma: , unde:

Gradul cu un exponent întreg

un grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Putere cu exponent rațional

grad, al cărui exponent este numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

un grad al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietățile grade

Caracteristicile diplomelor.

• Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice putere.
• Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI CUVÂNTUL...

Cum îți place articolul? Scrie mai jos în comentarii dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta de utilizare a proprietăților de grad.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

Secțiuni: Matematică

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor

Obiective:

educational– repetați definiția unui grad, regulile de înmulțire și împărțire a gradelor, ridicarea unui grad la putere, consolidarea abilităților de rezolvare a exemplelor care conțin grade,

în curs de dezvoltare– dezvoltarea gândirii logice a elevilor, interes pentru materialul studiat,

ridicarea– promovarea unei atitudini responsabile față de învățare, a unei culturi de comunicare și a unui sentiment de colectivism.

Echipament: computer, proiector multimedia, tablă interactivă, prezentare „Grade” pentru calcul mental, carduri de sarcini, fișe.

Planul lecției:

Organizarea timpului.

Repetarea regulilor

Numărarea verbală.

Referință istorică.

Lucru la bord.

Minut de educație fizică.

Lucrul la o tablă interactivă.

Muncă independentă.

Teme pentru acasă.

Rezumând lecția.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric

Comunicați subiectul și obiectivele lecției.

În lecțiile anterioare, ați descoperit minunata lume a puterilor, ați învățat cum să înmulțiți și să împărțiți puterile și să le ridicați la puteri. Astăzi trebuie să consolidăm cunoștințele dobândite prin rezolvarea de exemple.

II. Repetarea regulilor(oral)

1. Dați definiția gradului cu un exponent natural? (Puterea numărului A cu un exponent natural mai mare de 1 se numește produs n factori, fiecare fiind egal A.)
2. Cum se înmulțesc două puteri? (Pentru a înmulți puteri cu aceleași baze, trebuie să lăsați baza aceeași și să adăugați exponenții.)
3. Cum să împărțim gradul cu grad? (Pentru a împărți puterile cu aceleași baze, trebuie să lăsați baza aceeași și să scădeți exponenții.)
4. Cum să ridici un produs la putere? (Pentru a ridica un produs la o putere, trebuie să ridicați fiecare factor la acea putere)
5. Cum să ridici un grad la putere? (Pentru a ridica o putere la o putere, trebuie să lăsați baza aceeași și să înmulțiți exponenții)

III. Numărarea verbală(prin multimedia)

IV. Referință istorică

Toate problemele provin din papirusul Ahmes, care a fost scris în jurul anului 1650 î.Hr. e. legate de practica de construcție, delimitarea terenurilor etc. Sarcinile sunt grupate pe subiecte. Acestea sunt în principal sarcini privind găsirea ariilor unui triunghi, patrulatere și un cerc, diverse operații cu numere întregi și fracții, împărțire proporțională, găsire de rapoarte, există și ridicarea la diferite puteri, rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II cu o necunoscută.

Există o lipsă totală a oricărei explicații sau dovezi. Rezultatul dorit este fie dat direct, fie un algoritm scurt pentru calcularea acestuia. Această metodă de prezentare, tipică științei în țările din Orientul antic, sugerează că acolo matematica s-a dezvoltat prin generalizări și presupuneri care nu au format nicio teorie generală. Cu toate acestea, papirusul conține o serie de dovezi că matematicienii egipteni au știut să extragă rădăcini și să ridice la puteri, să rezolve ecuații și chiar să stăpânească rudimentele algebrei.

V. Lucru la bord

Găsiți sensul expresiei într-un mod rațional:

Calculați valoarea expresiei:



VI. Minut de educație fizică

6. pentru ochi
7. pentru gat
8. pentru mâini
9. pentru trunchi
10. pentru picioare

VII. Rezolvarea problemelor(cu afișaj pe tabla interactivă)

Este rădăcina ecuației un număr pozitiv?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Formule de puteri și rădăcini.

Formule de grade utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este n-a-a putere a unui număr A Când:



Operații cu grade.

1. Prin înmulțirea gradelor cu aceeași bază, se adaugă indicatorii acestora:

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora:



3. Gradul produsului a 2 sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

5. Ridicând o putere la o putere, exponenții se înmulțesc:

Fiecare formulă de mai sus este adevărată în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:



3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul radical la această putere:



4. Dacă creșteți gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp construi în n Puterea este un număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:



5. Dacă reduceți gradul rădăcinii în n extrage rădăcina în același timp n-a putere a unui număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:



Puterea unui anumit număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:



Formulă a m :a n =a m - n poate fi folosit nu numai pentru m > n, dar și cu m 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Pentru a formula a m :a n =a m - n a devenit corect când m=n, este necesară prezența gradului zero.

Puterea oricărui număr diferit de zero cu un exponent zero este egală cu unu.

Pentru a ridica un număr real A la gradul m/n, trebuie să extrageți rădăcina n-gradul de la m-a-a putere a acestui număr A:



Formule de grade.

6. A — n = - împărțirea gradelor;

7. - împărțirea gradelor;

8. a 1/n = ;

Grade de reguli de acțiune cu grade

1. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori (cu același exponent):

(abc…) n = a n b n c n …

Exemplul 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Exemplul 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x – a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

În practică, conversia inversă este mai importantă:

a n b n c n … = (abc…) n

acestea. produsul puterilor identice a mai multor mărimi este egal cu aceeași putere a produsului acestor mărimi.

Exemplul 3. Exemplul 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Puterea unui cât (fracție) este egală cu câtul împărțirii aceleiași puteri a divizorului la aceeași putere:

Exemplul 5. Exemplul 6.

Conversie inversă:. Exemplul 7. . Exemplul 8. .

3. La înmulțirea gradelor cu aceleași baze, se adaugă exponenții gradelor:

Exemplul 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Exemplul 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5.

4. La împărțirea puterilor cu aceleași baze, din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului.

Exemplul 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Exemplul 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. La ridicarea unui grad la o putere, exponenții se înmulțesc:

Exemplul 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Exemplul 14.

www.maths.yfa1.ru

Puteri și rădăcini

Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții acestora:

a m · a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt deduse .



3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

4. Gradul unui raport (fracție) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b) n = un n / b n .

5. Când ridicați o putere la o putere, exponenții acestora sunt înmulțiți:

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorul:



3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numarul radical:



4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, ridicați numărul radicalului la puterea mth, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:



5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de m ori și extrageți simultan rădăcina a m-a a numărului radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:




Extinderea conceptului de grad. Până acum am considerat grade doar cu exponenți naturali; dar operaţiile cu puteri şi rădăcini pot duce şi la negativ, zeroȘi fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui anumit număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:



Acum formula a m : un n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m, mai mult decât n, dar și cu m, mai puțin decât n .

EXEMPLU A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Dacă vrem formula a m : un n = a m — n a fost corect când m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina a n-a a puterii a m a acestui număr a:



Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Unde A ≠ 0 , nu exista.

De fapt, dacă presupunem că X este un anumit număr, atunci în conformitate cu definiția operației de împărțire avem: A = 0· X, adică A= 0, ceea ce contrazice condiția: A ≠ 0

— orice număr.

De fapt, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 · X. Dar această egalitate apare atunci când orice număr x, ceea ce trebuia dovedit.

0 0 — orice număr.



Soluție. Să luăm în considerare trei cazuri principale:

1) X = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

2) când X> 0 obținem: x/x= 1, adică 1 = 1, ceea ce înseamnă

Ce X- orice număr; dar ținând cont că în

în cazul nostru X> 0, răspunsul este X > 0 ;

Proprietăți ale gradului

Vă reamintim că în această lecție vom înțelege proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali si zero. Puterile cu exponenți raționali și proprietățile lor vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a VIII-a.

O putere cu exponent natural are câteva proprietăți importante care ne permit să simplificăm calculele în exemple cu puteri.

Proprietatea nr. 1
Produsul puterilor

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții puterilor.

a m · a n = a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor se aplică și produsului a trei sau mai multe puteri.

• Simplificați expresia.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezintă-l ca o diplomă.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezintă-l ca o diplomă.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea specificată vorbeam doar despre înmulțirea puterilor cu aceleași baze. Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5. Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea nr. 2
Grade parțiale

La împărțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

• Scrieți coeficientul ca putere
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Calculati.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea puterilor coeficiente.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile exponenților.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vă rugăm să rețineți că în Proprietatea 2 vorbeam doar despre împărțirea puterilor cu aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea nr. 3
Ridicarea unui grad la putere

La ridicarea unui grad la o putere, baza gradului rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m = a n · m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Exemplu.
(a 4) 6 = a 4 6 = a 24

Exemplu. Exprimați 3 20 ca putere cu o bază de 3 2.

Prin proprietatea de a ridica un grad la o putere Se știe că atunci când sunt ridicați la o putere, exponenții sunt înmulțiți, ceea ce înseamnă:

Proprietăți 4
Puterea produsului

Când o putere este ridicată la o putere de produs, fiecare factor este ridicat la acea putere și rezultatele sunt înmulțite.

(a b) n = a n b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale; „n” este orice număr natural.

• Exemplul 1.
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
• Exemplul 2.
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.

(a n · b n)= (a · b) n

Adică, pentru a înmulți puteri cu aceiași exponenți, poți înmulți bazele, dar lasă exponentul neschimbat.

• Exemplu. Calculati.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
• Exemplu. Calculati.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

În exemple mai complexe, pot exista cazuri în care înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.

De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Un exemplu de ridicare a unei zecimale la o putere.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Proprietăți 5
Puterea unui coeficient (fracție)

Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.

(a: b) n = a n: b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n - orice număr natural.

• Exemplu. Prezentați expresia ca un coeficient de puteri.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor

Obiective:

• educational– repetați definiția unui grad, regulile de înmulțire și împărțire a gradelor, ridicarea unui grad la putere, consolidarea abilităților de rezolvare a exemplelor care conțin grade,
• în curs de dezvoltare– dezvoltarea gândirii logice a elevilor, interes pentru materialul studiat,
• ridicarea– promovarea unei atitudini responsabile față de învățare, a unei culturi de comunicare și a unui sentiment de colectivism.

Echipament: computer, proiector multimedia, tablă interactivă, prezentare „Grade” pentru calcul mental, carduri de sarcini, fișe.

Planul lecției:

1. Organizarea timpului.
2. Repetarea regulilor
3. Numărarea verbală.
4. Referință istorică.
5. Lucru la bord.
6. Minut de educație fizică.
7. Lucrul la o tablă interactivă.
8. Muncă independentă.
9. Teme pentru acasă.
10. Rezumând lecția.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric

Comunicați subiectul și obiectivele lecției.

În lecțiile anterioare, ați descoperit minunata lume a puterilor, ați învățat cum să înmulțiți și să împărțiți puterile și să le ridicați la puteri. Astăzi trebuie să consolidăm cunoștințele dobândite prin rezolvarea de exemple.

II. Repetarea regulilor(oral)

1. Dați definiția gradului cu un exponent natural? (Puterea numărului A cu un exponent natural mai mare de 1 se numește produs n factori, fiecare fiind egal A.)
2. Cum se înmulțesc două puteri? (Pentru a înmulți puteri cu aceleași baze, trebuie să lăsați baza aceeași și să adăugați exponenții.)
3. Cum să împărțim gradul cu grad? (Pentru a împărți puterile cu aceleași baze, trebuie să lăsați baza aceeași și să scădeți exponenții.)
4. Cum să ridici un produs la putere? (Pentru a ridica un produs la o putere, trebuie să ridicați fiecare factor la acea putere)
5. Cum să ridici un grad la putere? (Pentru a ridica o putere la o putere, trebuie să lăsați baza aceeași și să înmulțiți exponenții)

III. Numărarea verbală(prin multimedia)

IV. Referință istorică

Toate problemele provin din papirusul Ahmes, care a fost scris în jurul anului 1650 î.Hr. e. legate de practica de construcție, delimitarea terenurilor etc. Sarcinile sunt grupate pe subiecte. Acestea sunt în principal sarcini privind găsirea ariilor unui triunghi, patrulatere și un cerc, diverse operații cu numere întregi și fracții, împărțire proporțională, găsire de rapoarte, există și ridicarea la diferite puteri, rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II cu o necunoscută.

Există o lipsă totală a oricărei explicații sau dovezi. Rezultatul dorit este fie dat direct, fie un algoritm scurt pentru calcularea acestuia. Această metodă de prezentare, tipică științei în țările din Orientul antic, sugerează că acolo matematica s-a dezvoltat prin generalizări și presupuneri care nu au format nicio teorie generală. Cu toate acestea, papirusul conține o serie de dovezi că matematicienii egipteni au știut să extragă rădăcini și să ridice la puteri, să rezolve ecuații și chiar să stăpânească rudimentele algebrei.

V. Lucru la bord

Găsiți sensul expresiei într-un mod rațional:

Calculați valoarea expresiei:

VI. Minut de educație fizică

1. pentru ochi
2. pentru gat
3. pentru mâini
4. pentru trunchi
5. pentru picioare

VII. Rezolvarea problemelor(cu afișaj pe tabla interactivă)

Este rădăcina ecuației un număr pozitiv?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Muncă independentă

IX. Teme pentru acasă

X. Rezumând lecția

Analiza rezultatelor, anunțarea notelor.

Vom folosi cunoștințele dobândite despre grade atunci când rezolvăm ecuații și probleme în liceu; acestea se regăsesc adesea și în Examenul de stat unificat.

eu. Muncă n factori, fiecare fiind egal A numit n-a-a putere a numărului A si este desemnat An.

Exemple. Scrieți produsul ca diplomă.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Soluţie.

1) mmmm=m 4, deoarece, prin definiția unui grad, produsul a patru factori, fiecare dintre care este egal m, voi puterea a patra a lui m.

2) aaabb=a3b2; 3) 5.5.5.5.ccc=54c3; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. Acțiunea prin care se găsește produsul mai multor factori egali se numește exponențiere. Numărul care este ridicat la o putere se numește baza puterii. Numărul care arată la ce putere este ridicată baza se numește exponent. Asa de, An- grad, A- baza diplomei, n– exponent. De exemplu:

2 3 — este o diplomă. Număr 2 este baza gradului, exponentul este egal cu 3 . Valoarea gradului 2 3 egală 8, deoarece 2 3 =2·2·2=8.

Exemple. Scrieți următoarele expresii fără exponent.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Soluţie.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III.și 0 =1 Orice număr (cu excepția zero) la puterea zero este egal cu unu. De exemplu, 25 0 =1.
IV. a 1 =aOrice număr la prima putere este egal cu el însuși.

V. a m∙ un n= a m + n La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne aceeași, iar exponenții pliat

Exemple. Simplifica:

9) a·a3·a7; 10) b0 +b2b3; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Soluţie.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b2+3 =1+b5;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. a m: un n= a m - nLa împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne aceeași, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

Exemple. Simplifica:

12) a 8:a 3; 13) m 11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5 ; 13)m 11:m 4=m11-4 =m7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (a m) n= un mn Când ridicați o putere la o putere, baza rămâne aceeași, iar exponenții sunt înmulțiți.

Exemple. Simplifica:

15) (a 3) 4; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

Notă, care, deoarece produsul nu se modifică de la rearanjarea factorilor, Acea:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

Veu II. (a∙b) n =a n ∙b n Când ridicați un produs la o putere, fiecare dintre factori este ridicat la acea putere.

Exemple. Simplifica:

17) (2a 2) 5; 18) 0,2 6 5 6; 19) 0,25 2 40 2.

Soluţie.

17) (2a 2) 5=2 5 ·a 2·5 =32a 10; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.

IX. Când ridicați o fracție la o putere, atât numărătorul, cât și numitorul fracției sunt ridicate la acea putere.

Exemple. Simplifica:

Soluţie.

Pagina 1 din 1 1