Logaritm și formule exponente. Proprietățile logaritmilor naturali: grafic, bază, funcții, limită, formule și domeniul de definiție

Instrucțiuni

Scrieți expresia logaritmică dată. Dacă expresia folosește logaritmul lui 10, atunci notația sa este scurtată și arată astfel: lg b este logaritmul zecimal. Dacă logaritmul are ca bază numărul e, atunci scrieți expresia: ln b – logaritm natural. Se înțelege că rezultatul oricărei este puterea la care trebuie ridicat numărul de bază pentru a obține numărul b.

Când găsiți suma a două funcții, trebuie pur și simplu să le diferențiați una câte una și să adăugați rezultatele: (u+v)" = u"+v";

Atunci când găsiți derivata produsului a două funcții, este necesar să înmulțiți derivata primei funcții cu a doua și să adăugați derivata celei de-a doua funcții înmulțită cu prima funcție: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Pentru a afla derivata coeficientului a doua functii, este necesar sa scadem din produsul derivatei dividendului inmultit cu functia divizor produsul derivatei divizorului inmultit cu functia dividendului si impartiti toate acestea prin funcția divizor la pătrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Dacă este dată o funcție complexă, atunci este necesar să se înmulțească derivata funcției interne și derivata celei externe. Fie y=u(v(x)), apoi y"(x)=y"(u)*v"(x).

Folosind rezultatele obținute mai sus, puteți diferenția aproape orice funcție. Deci, să ne uităm la câteva exemple:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Există, de asemenea, probleme care implică calcularea derivatei la un punct. Fie dată funcția y=e^(x^2+6x+5), trebuie să găsiți valoarea funcției în punctul x=1.
1) Aflați derivata funcției: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calculați valoarea funcției la un punct dat y"(1)=8*e^0=8

Video pe tema

Sfaturi utile

Învață tabelul derivatelor elementare. Acest lucru va economisi timp semnificativ.

Surse:

• derivată a unei constante

Deci, care este diferența dintre o ecuație irațională și una rațională? Dacă variabila necunoscută se află sub semnul rădăcinii pătrate, atunci ecuația este considerată irațională.

Instrucțiuni

Principala metodă de rezolvare a unor astfel de ecuații este metoda de construire a ambelor părți ecuațiiîntr-un pătrat. In orice caz. acest lucru este firesc, primul lucru pe care trebuie să-l faci este să scapi de semn. Această metodă nu este dificilă din punct de vedere tehnic, dar uneori poate duce la probleme. De exemplu, ecuația este v(2x-5)=v(4x-7). Prin pătrarea ambelor părți se obține 2x-5=4x-7. Rezolvarea unei astfel de ecuații nu este dificilă; x=1. Dar numărul 1 nu va fi dat ecuații. De ce? Înlocuiți unul în ecuație în loc de valoarea lui x. Și părțile din dreapta și din stânga vor conține expresii care nu au sens, adică. Această valoare nu este valabilă pentru o rădăcină pătrată. Prin urmare, 1 este o rădăcină străină și, prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Deci, o ecuație irațională se rezolvă folosind metoda punerii la pătrat a ambelor laturi. Și după ce am rezolvat ecuația, este necesar să tăiați rădăcinile străine. Pentru a face acest lucru, înlocuiți rădăcinile găsite în ecuația originală.

Luați în considerare altul.
2х+vх-3=0
Desigur, această ecuație poate fi rezolvată folosind aceeași ecuație ca cea anterioară. Mutați compuși ecuații, care nu au rădăcină pătrată, în partea dreaptă și apoi folosiți metoda pătratului. rezolvați ecuația rațională și rădăcinile rezultate. Dar și altul, mai elegant. Introduceți o nouă variabilă; vх=y. În consecință, veți primi o ecuație de forma 2y2+y-3=0. Adică o ecuație pătratică obișnuită. Găsește-i rădăcinile; y1=1 și y2=-3/2. Apoi, rezolvă două ecuații vх=1; vх=-3/2. A doua ecuație nu are rădăcini; din prima aflăm că x=1. Nu uitați să verificați rădăcinile.

Rezolvarea identităților este destul de simplă. Pentru a face acest lucru, este necesar să efectuați transformări identice până la atingerea scopului stabilit. Astfel, cu ajutorul unor operații aritmetice simple se va rezolva problema pusă.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - pix.

Instrucțiuni

Cele mai simple dintre astfel de transformări sunt înmulțirile algebrice abreviate (cum ar fi pătratul sumei (diferența), diferența de pătrate, suma (diferența), cubul sumei (diferența)). În plus, există multe formule trigonometrice, care sunt în esență aceleași identități.

Într-adevăr, pătratul sumei a doi termeni este egal cu pătratul primului plus de două ori produsul primului cu al doilea și plus pătratul celui de-al doilea, adică (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplificați pe ambele

Principii generale ale soluției

Repetați dintr-un manual de analiză matematică sau matematică superioară ceea ce este o integrală definită. După cum se știe, soluția unei integrale definite este o funcție a cărei derivată va da un integrand. Această funcție se numește antiderivată. Pe baza acestui principiu se construiesc integralele principale.
Determinați după tipul de integrand care dintre integralele de tabel este potrivită în acest caz. Nu este întotdeauna posibil să determinați acest lucru imediat. Adesea, forma tabulară devine vizibilă numai după mai multe transformări pentru a simplifica integrandul.

Metoda de înlocuire a variabilei

Dacă integrandul este o funcție trigonometrică al cărei argument este un polinom, atunci încercați să utilizați metoda schimbării variabilelor. Pentru a face acest lucru, înlocuiți polinomul din argumentul integrandului cu o nouă variabilă. Pe baza relației dintre variabilele noi și vechi, determinați noile limite de integrare. Prin diferențierea acestei expresii, găsiți noua diferență în . Astfel, veți obține o nouă formă a integralei anterioare, apropiată sau chiar corespunzătoare uneia tabelare.

Rezolvarea integralelor de al doilea fel

Dacă integrala este o integrală de al doilea fel, o formă vectorială a integrandului, atunci va trebui să utilizați regulile pentru trecerea de la aceste integrale la cele scalare. O astfel de regulă este relația Ostrogradsky-Gauss. Această lege ne permite să trecem de la fluxul rotoric al unei anumite funcții vectoriale la integrala triplă peste divergența unui câmp vectorial dat.

Înlocuirea limitelor de integrare

După găsirea antiderivatei, este necesar să se substituie limitele integrării. În primul rând, înlocuiți valoarea limitei superioare în expresia pentru antiderivată. Vei primi un număr. Apoi, scădeți din numărul rezultat un alt număr obținut din limita inferioară în antiderivată. Dacă una dintre limitele integrării este infinitul, atunci când o înlocuim în funcția antiderivată, este necesar să mergem la limită și să găsim spre ce tinde expresia.
Dacă integrala este bidimensională sau tridimensională, atunci va trebui să reprezentați geometric limitele integrării pentru a înțelege cum să evaluați integrala. Într-adevăr, în cazul, să zicem, a unei integrale tridimensionale, limitele integrării pot fi planuri întregi care limitează volumul integrat.

Funcția LN din Excel este concepută pentru a calcula logaritmul natural al unui număr și returnează valoarea numerică corespunzătoare. Logaritmul natural este logaritmul cu baza e (numărul lui Euler de aproximativ 2,718).

Funcția LOG din Excel este utilizată pentru a calcula logaritmul unui număr, iar baza logaritmului poate fi specificată în mod explicit ca al doilea argument al funcției.

Funcția LOG10 din Excel este concepută pentru a calcula logaritmul unui număr în baza 10 (logaritm zecimal).

Exemple de utilizare a funcțiilor LN, LOG și LOG10 în Excel

Arheologii au găsit rămășițele unui animal antic. Pentru a le determina vârsta, s-a decis să se folosească metoda de datare cu radiocarbon. În urma măsurătorilor, s-a dovedit că conținutul de izotop radioactiv C 14 a fost de 17% din cantitatea găsită de obicei în organismele vii. Calculați vârsta resturilor dacă timpul de înjumătățire al izotopului de carbon 14 este de 5760 de ani.

Vedere a tabelului sursă:

Pentru rezolvare folosim următoarea formulă:

Această formulă a fost obținută pe baza formulei x=t*(lgB-lgq)/lgp, unde:

• q este cantitatea de izotop de carbon în momentul inițial (la momentul morții animalului), exprimată cu unu (sau 100%);
• B – cantitatea de izotop la momentul analizei resturilor;
• t este timpul de înjumătățire al izotopului;
• p – o valoare numerică care indică de câte ori se modifică cantitatea unei substanțe (izotop de carbon) într-o perioadă de timp t.

În urma calculelor obținem:

Rămășițele găsite au o vechime de aproape 15 mii de ani.



Calculator de depozit cu dobândă compusă în Excel

Un client bancar a făcut un depozit în valoare de 50.000 de ruble cu o rată a dobânzii de 14,5% (dobândă compusă). Stabiliți cât timp va dura dublarea sumei investite?

Fapt interesant! Pentru a rezolva rapid această problemă, puteți utiliza o metodă empirică pentru a estima aproximativ timpul (în ani) pentru dublarea investițiilor efectuate la o rată a dobânzii compusă. Așa-numita regulă 72 (sau 70 sau regula 69). Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați o formulă simplă - împărțiți numărul 72 la rata dobânzii: 72/14,5 = 4,9655 ani. Principalul dezavantaj al regulii numărului „magic” 72 este eroarea. Cu cât rata dobânzii este mai mare, cu atât eroarea din regula 72 este mai mare. De exemplu, cu o rată a dobânzii de 100% pe an, eroarea în ani ajunge până la 0,72 (și în termeni procentuali aceasta este de până la 28%!).

Pentru a calcula cu exactitate timpul de dublare a investițiilor, vom folosi funcția LOG. În primul rând, să verificăm valoarea de eroare a regulii 72 la o rată a dobânzii de 14,5% pe an.

Vedere a tabelului sursă:

Pentru a calcula valoarea viitoare a unei investiții la o rată a dobânzii cunoscută, puteți utiliza următoarea formulă: S=A(100%+n%) t, unde:

• S – suma estimată la expirarea termenului;
• A – suma depozitului;
• n – rata dobânzii;
• t – perioada de păstrare a fondurilor de depozit în bancă.

Pentru acest exemplu, această formulă poate fi scrisă ca 100000=50000*(100%+14,5%) t sau 2=(100%+14,5%) t. Apoi, pentru a găsi t, puteți rescrie ecuația ca t=log (114,5%) 2 sau t=log 1,1452.

Pentru a găsi valoarea lui t, scriem următoarea formulă pentru dobânda compusă la un depozit în Excel:

Jurnal (B4/B2;1+B3)

Descrierea argumentelor:

• B4/B2 – raportul dintre sumele așteptate și inițiale, care este un indicator al logaritmului;
• 1+B3 – creștere procentuală (bază logaritmică).

În urma calculelor obținem:

Depozitul se va dubla în puțin peste 5 ani. Pentru a determina cu exactitate anii și lunile, folosim formula:

Funcția DROP aruncă fracționat totul după punctul zecimal, similar cu funcția INTEGER. Diferența dintre funcțiile TRAN și INTEGER este doar în calculele cu fracții negative. În plus, OTBR are un al doilea argument în care puteți specifica numărul de zecimale de lăsat. Prin urmare, în acest caz, puteți utiliza oricare dintre aceste două funcții la alegerea utilizatorului.

S-a dovedit a fi 5 ani, 1 lună și 12 zile. Acum comparăm rezultatele exacte cu regula 72 și determinăm magnitudinea erorii. Pentru acest exemplu, formula este următoarea:

Trebuie să înmulțim valoarea celulei B3 cu 100, deoarece valoarea sa actuală este 0,145, care este afișată în format procentual. Ca urmare:

Apoi copiați formula din celula B6 în celula B8 și în celula B9:

Să calculăm perioadele de eroare:

Apoi copiați formula din celula B6 în celula B10 din nou. Ca rezultat, obținem diferența:

Și, în sfârșit, să calculăm diferența ca procent pentru a verifica cum se modifică dimensiunea abaterii și cât de semnificativ afectează creșterea ratei dobânzii nivelul de discrepanță dintre regula 72 și faptul:

Acum, pentru a ilustra relația proporțională dintre creșterea erorii și creșterea ratei dobânzii, să creștem rata dobânzii la 100% pe an:

La prima vedere, diferența de eroare nu este semnificativă față de 14,5% pe an - doar aproximativ 2 luni și 100% pe an - în decurs de 3 luni. Dar ponderea erorilor în perioada de rambursare este mai mare de ¼, sau mai precis 28%.

Să facem un grafic simplu pentru analiza vizuală a modului în care dependența modificărilor ratei dobânzii și procentul de eroare din Regula 72 se corelează cu faptul:

Cu cât este mai mare rata dobânzii, cu atât funcționează mai rău regula 72. Ca urmare, putem trage următoarea concluzie: până la 32,2% pe an, puteți utiliza în siguranță regula 72. Atunci eroarea este mai mică de 10%. Se va descurca foarte bine dacă nu aveți nevoie de calcule precise, dar complexe privind perioada de rambursare a investițiilor de 2 ori.

Calculator de investiții de dobândă compusă cu capitalizare în Excel

Clientului băncii i s-a propus să facă un depozit cu o creștere continuă a sumei totale (capitalizare cu dobândă compusă). Rata dobânzii este de 13% pe an. Determinați cât timp va dura pentru a tripla suma inițială (250.000 de ruble). Cât de mult ar trebui crescută rata dobânzii pentru a reduce timpul de așteptare la jumătate?

Notă: deoarece în acest exemplu triplăm suma investiției, regula 72 nu mai funcționează aici.

Vedere a tabelului de date original:

Creșterea continuă poate fi descrisă prin formula ln(N)=p*t, unde:

• N – raportul dintre suma finală a depozitului și cea inițială;
• p – rata dobânzii;
• t – numărul de ani care au trecut de la efectuarea depozitului.

Atunci t=ln(N)/p. Pe baza acestei egalități, scriem formula în Excel:

Descrierea argumentelor:

• B3/B2 – raportul dintre sumele depozitului final și inițial;
• B4 – rata dobânzii.

Va dura aproape 8,5 ani pentru a tripla suma inițială a depozitului. Pentru a calcula rata care va reduce timpul de așteptare la jumătate, folosim formula:

LN(B3/B2)/(0,5*B5)

Rezultat:

Adică trebuie să dublezi rata inițială a dobânzii.

Caracteristici de utilizare a funcțiilor LN, LOG și LOG10 în Excel

Funcția LN are următoarea sintaxă:

LN(număr)

• numărul este un singur argument obligatoriu care acceptă numere reale dintr-un interval de valori pozitive.

Note:

1. Funcția LN este inversul funcției EXP. Acesta din urmă returnează valoarea obținută prin ridicarea numărului e la puterea specificată. Funcția LN specifică la ce putere trebuie ridicată e (baza) pentru a obține exponentul logaritm (argumentul numărului).
2. Dacă argumentul numărului este un număr în intervalul negativ sau zero, funcția LN returnează codul de eroare #NUM!.

Sintaxa funcției LOG este următoarea:

LOG(număr ;[bază])

Descrierea argumentelor:

• număr – un argument necesar care caracterizează valoarea numerică a exponentului logaritm, adică numărul obţinut prin ridicarea bazei logaritmului la o anumită putere, care va fi calculată de funcţia LOG;
• [bază] – un argument opțional care caracterizează valoarea numerică a bazei logaritmului. Dacă argumentul nu este specificat în mod explicit, se presupune că logaritmul este o zecimală (adică baza este 10).

Note:

1. Deși rezultatul funcției LOG poate fi un număr negativ (de exemplu, =LOG(2;0,25) va returna -0,5), argumentele funcției trebuie luate dintr-un interval de valori pozitive. Dacă cel puțin unul dintre argumente este un număr negativ, funcția LOG va returna codul de eroare #NUM!.
2. Dacă valoarea 1 a fost transmisă ca argument [radix], funcția LOG va returna codul de eroare #DIV/0!, deoarece rezultatul ridicării 1 la orice putere va fi întotdeauna același și egal cu 1.

Funcția LOG10 are următoarea sintaxă:

LOG10(număr)

• numărul este un argument unic și obligatoriu, al cărui sens este identic cu argumentul cu același nume în funcțiile LN și LOG.

Notă: Dacă a fost transmis un număr negativ sau 0 ca argument al numărului, funcția LOG10 va returna codul de eroare #NUM!.

Deci, avem puteri de doi. Dacă luați numărul din linia de jos, puteți găsi cu ușurință puterea la care va trebui să ridicați doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridicați doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

Baza a logaritmului lui x este puterea la care trebuie ridicat a pentru a obține x.

Denumire: log a x = b, unde a este baza, x este argumentul, b este ceea ce este de fapt egal cu logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Cu același log de succes 2 64 = 6, deoarece 2 6 = 64.

Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată se numește logaritmizare. Deci, să adăugăm o nouă linie la tabelul nostru:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Din păcate, nu toți logaritmii se calculează atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5 . Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe segment. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la infinit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să îl lăsați așa: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Este important să înțelegeți că un logaritm este o expresie cu două variabile (baza și argumentul). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. Pentru a evita neînțelegerile enervante, priviți imaginea:

În fața noastră nu este nimic altceva decât definiția unui logaritm. Tine minte: logaritmul este o putere, în care trebuie construită baza pentru a obține un argument. Este baza care este ridicată la o putere - este evidențiată cu roșu în imagine. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu apare nicio confuzie.

Ne-am dat seama de definiție - tot ce rămâne este să învățăm cum să numărăm logaritmii, de exemplu. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

1. Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definirea unui grad de către un exponent rațional, la care se reduce definiția unui logaritm.
2. Baza trebuie să fie diferită de unul, deoarece unul în orice grad rămâne unul. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!

Se numesc astfel de restricții intervalul de valori acceptabile(ODZ). Rezultă că ODZ a logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Rețineți că nu există restricții privind numărul b (valoarea logaritmului). De exemplu, logaritmul poate fi foarte negativ: log 2 0.5 = −1, deoarece 0,5 = 2 −1.

Totuși, acum luăm în considerare doar expresii numerice, unde nu este necesar să cunoaștem VA logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către autorii sarcinilor. Dar atunci când ecuațiile și inegalitățile logaritmice intră în joc, cerințele DL vor deveni obligatorii. La urma urmei, baza și argumentul pot conține construcții foarte puternice care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum să ne uităm la schema generală de calcul a logaritmilor. Acesta constă din trei etape:

1. Exprimați baza a și argumentul x ca o putere cu baza minimă posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de zecimale;
2. Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b ;
3. Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acesta va fi vizibil deja în primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte importantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. La fel este și cu fracțiile zecimale: dacă le convertiți imediat în unele obișnuite, vor exista mult mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă folosind exemple specifice:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Să creăm și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Am primit răspunsul: 2.

Sarcină. Calculați logaritmul:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 4 64

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Să creăm și să rezolvăm ecuația:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Am primit răspunsul: 3.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Să creăm și să rezolvăm ecuația:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Am primit raspunsul: 0.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 7 14

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a lui șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu poate fi reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu contează;
3. Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.

O mică notă despre ultimul exemplu. Cum poți fi sigur că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Este foarte simplu - doar includeți-l în factori primi. Dacă expansiunea are cel puțin doi factori diferiți, numărul nu este o putere exactă.

Sarcină. Aflați dacă numerele sunt puteri exacte: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grad exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nu este o putere exactă, întrucât există doi factori: 3 și 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grad exact;
35 = 7 · 5 - din nou nu este o putere exactă;
14 = 7 · 2 - din nou nu este un grad exact;

Rețineți, de asemenea, că numerele prime în sine sunt întotdeauna puteri exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și un simbol special.

Logaritmul zecimal al lui x este logaritmul la baza 10, adică. Puterea la care trebuie ridicat numărul 10 pentru a obține numărul x. Denumire: lg x.

De exemplu, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când o expresie precum „Găsiți lg 0.01” apare într-un manual, să știți că aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este un logaritm zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți familiarizat cu această notație, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru logaritmii zecimali.

Logaritmul natural

Există un alt logaritm care are propria sa denumire. În unele privințe, este chiar mai important decât zecimală. Vorbim despre logaritmul natural.

Logaritmul natural al lui x este logaritmul la baza e, i.e. puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: ln x .

Mulți se vor întreba: care este numărul e? Acesta este un număr irațional; valoarea lui exactă nu poate fi găsită și notă. Voi da doar primele cifre:
e = 2,718281828459...

Nu vom intra în detaliu despre ce este acest număr și de ce este necesar. Nu uitați că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Astfel ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional este irațional. Cu excepția, desigur, a unuia: ln 1 = 0.

Pentru logaritmii naturali, toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.

Acesta ar putea fi, de exemplu, un calculator din setul de bază de programe al sistemului de operare Windows. Linkul de lansare este ascuns destul de în meniul principal al sistemului de operare - deschideți-l făcând clic pe butonul „Start”, apoi deschideți secțiunea „Programe”, accesați subsecțiunea „Standard”, apoi la „Utilități” secțiunea și, în cele din urmă, faceți clic pe elementul „Calculator” „ În loc să folosiți mouse-ul și să navigați prin meniuri, puteți utiliza tastatura și dialogul de lansare a programului - apăsați combinația de taste WIN + R, tastați calc (acesta este numele fișierului executabil al calculatorului) și apăsați Enter.

Comutați interfața calculatorului în modul avansat, care vă permite să faceți... În mod implicit, se deschide în vizualizarea „normală”, dar aveți nevoie de „inginerie” sau „ ” (în funcție de versiunea sistemului de operare pe care o utilizați). Extindeți secțiunea „Vizualizare” din meniu și selectați linia corespunzătoare.

Introduceți argumentul a cărui valoare naturală doriți să o evaluați. Acest lucru se poate face fie de la tastatură, fie făcând clic pe butoanele corespunzătoare din interfața calculatorului de pe ecran.

Faceți clic pe butonul etichetat ln - programul va calcula logaritmul la baza e și va afișa rezultatul.

Utilizați unul dintre calculatoarele - ca alternativă la calcularea valorii logaritmului natural. De exemplu, cel situat la http://calc.org.ua. Interfața sa este extrem de simplă - există un singur câmp de intrare în care trebuie să tastați valoarea numărului, al cărui logaritm trebuie să îl calculați. Printre butoane, găsiți și faceți clic pe cel care spune ln. Scriptul acestui calculator nu necesită trimiterea datelor către server și a unui răspuns, așa că veți primi rezultatul calculului aproape instantaneu. Singura caracteristică care trebuie luată în considerare este că separatorul dintre părțile fracționale și întregi ale numărului introdus trebuie să fie un punct și nu .

Termenul " logaritm„ provine din două cuvinte grecești, unul care înseamnă „număr” și celălalt care înseamnă „raport”. Denotă operația matematică de calcul a unei mărimi variabile (exponent) la care trebuie ridicată o valoare constantă (bază) pentru a obține numărul indicat sub semn logaritm A. Dacă baza este egală cu o constantă matematică numită numărul „e”, atunci logaritm numită „naturală”.

Vei avea nevoie

• Acces la internet, Microsoft Office Excel sau calculator.

Instrucțiuni

Utilizați numeroasele calculatoare disponibile pe Internet - aceasta este probabil o modalitate ușoară de a calcula a naturală. Nu trebuie să căutați serviciul adecvat, deoarece multe motoare de căutare în sine au calculatoare încorporate care sunt destul de potrivite pentru a lucra cu logaritm ami. De exemplu, accesați pagina principală a celui mai mare motor de căutare online - Google. Nu sunt necesare butoane aici pentru a introduce valori sau a selecta funcții; trebuie doar să introduceți acțiunea matematică dorită în câmpul de introducere a interogării. Să zicem, să calculăm logaritmși numărul 457 în baza „e”, introduceți ln 457 - acest lucru va fi suficient pentru ca Google să afișeze cu o precizie de opt zecimale (6,12468339) chiar și fără a apăsa butonul pentru a trimite o solicitare către server.

Utilizați funcția încorporată corespunzătoare dacă trebuie să calculați valoarea unui natural logaritmși apare atunci când lucrați cu date în popularul editor de foi de calcul Microsoft Office Excel. Această funcție este numită aici folosind notația comună logaritm iar cu majuscule - LN. Selectați celula în care ar trebui să fie afișat rezultatul calculului și introduceți un semn egal - așa ar trebui să înceapă în acest editor de foi de calcul înregistrările din celulele care conțin în subsecțiunea „Standard” a secțiunii „Toate programele” din meniul principal. Comutați calculatorul într-un mod mai funcțional apăsând Alt + 2. Apoi introduceți valoarea, naturală logaritm pe care doriți să le calculați și faceți clic în interfața programului pe butonul indicat prin simbolurile ln. Aplicația va efectua calculul și va afișa rezultatul.

Video pe tema