Piramis koncepció

1. definíció

A sokszögből és a sokszöget tartalmazó síkban nem fekvő pontból alkotott geometriai alakzatot, amely a sokszög összes csúcsához kapcsolódik, piramisnak nevezzük (1. ábra).

A sokszöget, amelyből a gúla készül, a gúla alapjának nevezzük; a kapott háromszögek, ha egy ponthoz kapcsolódnak, a gúla oldallapjai, a háromszögek oldalai a piramis oldalai, és a közös pont minden háromszöghez a piramis csúcsa.

A piramisok típusai

A piramis alapjában lévő szögek számától függően nevezhetjük háromszögnek, négyszögnek és így tovább (2. ábra).

2. ábra.

A piramisok másik típusa a szabályos piramis.

Mutassuk be és bizonyítsuk be egy szabályos piramis tulajdonságát.

1. tétel

A szabályos piramis minden oldallapja egyenlő szárú háromszög, amelyek egyenlőek egymással.

Bizonyíték.

Tekintsünk egy szabályos $n-$gonális piramist, amelynek $S$ csúcsa $h=SO$ magasságú. Rajzoljunk kört az alap köré (4. ábra).

4. ábra.

Tekintsük a $SOA$ háromszöget. A Pitagorasz-tétel szerint azt kapjuk

Nyilvánvaló, hogy minden oldalél így lesz meghatározva. Következésképpen minden oldalél egyenlő egymással, azaz minden oldallap egyenlő szárú háromszög. Bizonyítsuk be, hogy egyenlőek egymással. Mivel az alap szabályos sokszög, az összes oldallap alapja egyenlő egymással. Következésképpen minden oldallap egyenlő a háromszögek egyenlőségének III. kritériuma szerint.

A tétel bizonyítást nyert.

Vezessük be a következő definíciót a szabályos piramis fogalmához kapcsolódóan.

3. definíció

A szabályos piramis apotémája az oldallap magassága.

Nyilvánvaló, hogy az 1. tétel szerint minden apotém egyenlő egymással.

2. tétel

A szabályos gúla oldalfelületét az alap és az apotém fél kerületének szorzataként határozzuk meg.

Bizonyíték.

Jelöljük a $n-$gonális piramis alapjának oldalát $a$-tal, az apotémet pedig $d$-val. Ezért az oldalfelület területe egyenlő

Mivel az 1. Tétel szerint minden oldal egyenlő, akkor

A tétel bizonyítást nyert.

A piramisok másik típusa a csonka piramis.

4. definíció

Ha az alapjával párhuzamos síkot áthúzunk egy közönséges piramison, akkor az e sík és az alap síkja között kialakult alakzatot csonka gúlának nevezzük (5. ábra).

5. ábra Csonka gúla

A csonka gúla oldallapjai trapéz alakúak.

3. tétel

A szabályos csonka gúla oldalsó felületét az alapok fél kerületének és az apotémának a szorzataként határozzuk meg.

Bizonyíték.

Jelöljük a $n-$gonális piramis alapjainak oldalait rendre $a\ és\ b$, az apotémet pedig $d$-val. Ezért az oldalfelület területe egyenlő

Mivel minden oldal egyenlő, akkor

A tétel bizonyítást nyert.

Minta feladat

1. példa

Határozza meg egy csonka háromszög alakú gúla oldalfelületének területét, ha azt egy szabályos gúlából kapjuk, amelynek alapoldala 4 és apotém 5, az oldallapok középvonalán áthaladó sík levágásával.

Megoldás.

A középvonal-tételt használva azt találjuk, hogy a csonka piramis felső alapja $4\cdot \frac(1)(2)=2$, az apotém pedig $5\cdot \frac(1)(2) = 2,5 $.

Ekkor a 3. tétel alapján azt kapjuk

Piramis. Csonka piramis

Piramis egy poliéder, melynek egyik lapja sokszög ( bázis ), és az összes többi lap olyan háromszög, amelynek közös csúcsa ( oldalsó arcok ) (15. ábra). A piramist az ún helyes , ha az alapja egy szabályos sokszög, és a gúla csúcsa az alap közepébe vetül (16. ábra). Olyan háromszög alakú gúlát nevezünk, amelynek minden éle egyenlő tetraéder .

Oldalsó borda a piramis az oldallapnak az az oldala, amely nem tartozik az alaphoz Magasság A piramis a csúcsa és az alap síkja közötti távolság. Egy szabályos gúla minden oldaléle egyenlő egymással, minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A csúcsból húzott szabályos gúla oldallapjának magasságát ún apotém . Átlós szakasz A gúla egy olyan szakaszának nevezzük, amely két nem ugyanahhoz a laphoz tartozó oldalélen halad át.

Oldalsó felület piramis az összes oldallap területének összege. Teljes felület az összes oldallap és az alap területének összegének nevezzük.

Tételek

1. Ha egy gúlában az összes oldalél egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alap közelében körülírt kör középpontjába vetül.

2. Ha egy gúla minden oldaléle egyenlő hosszú, akkor a gúla teteje az alap közelében körülírt kör középpontjába kerül.

3. Ha egy gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alapba írt kör középpontjába vetül.

Egy tetszőleges piramis térfogatának kiszámításához a megfelelő képlet a következő:

Ahol V- hangerő;

S alap– alapterület;

H– a piramis magassága.

Egy szabályos piramis esetében a következő képletek helyesek:

Ahol p– alap kerület;

h a– apotém;

H- magasság;

S tele

S oldal

S alap– alapterület;

V– szabályos piramis térfogata.

Csonka piramis a gúla alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé zárt részét nevezzük (17. ábra). Szabályos csonka piramis a szabályos gúla alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé zárt részét nevezzük.

Indoklás csonka piramis - hasonló sokszögek. Oldalsó arcok – trapézok. Magasság egy csonka gúla alapjai közötti távolság. Átlós a csonka gúla egy szakasz, amely összeköti a csúcsait, amelyek nem fekszenek ugyanazon a lapon. Átlós szakasz egy csonka gúlának egy olyan sík metszete, amely két nem ugyanahhoz a laphoz tartozó oldalélen halad át.

Egy csonka piramisra a következő képletek érvényesek:

(4)

Ahol S 1 , S 2 – a felső és alsó bázis területei;

S tele– teljes felület;

S oldal– oldalsó felület;

H- magasság;

V– csonka gúla térfogata.

Szabályos csonka piramis esetén a képlet helyes:

Ahol p 1 , p 2 – az alapok kerülete;

h a– szabályos csonka gúla apotémája.

1. példa Egy szabályos háromszög alakú piramisban a diéder szöge az alapnál 60º. Határozza meg az oldalél dőlésszögének érintőjét az alap síkjához!

Megoldás. Készítsünk rajzot (18. ábra).

A piramis szabályos, ami azt jelenti, hogy az alján egyenlő oldalú háromszög van, és minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A diéder szög az alapnál a piramis oldallapjának az alap síkjához viszonyított dőlésszöge. A lineáris szög a szög a két merőleges között: stb. A piramis csúcsa a háromszög középpontjába van vetítve (a körülírt kör középpontja és a háromszög beírt köre ABC). Az oldalél dőlésszöge (pl S.B.) maga az él és az alap síkjára való vetülete közötti szög. A bordához S.B. ez a szög lesz a szög SBD. Az érintő megtalálásához ismerni kell a lábakat ÍGYÉs O.B.. Legyen a szegmens hossza BD egyenlő 3-mal A. Pont RÓL RŐL vonalszakasz BD részekre oszlik: és Attól találjuk ÍGY: Innen találjuk:

Válasz:

2. példa Határozzuk meg egy szabályos csonka négyszög alakú gúla térfogatát, ha alapjainak átlói cm és cm, magassága pedig 4 cm!

Megoldás. Egy csonka gúla térfogatának meghatározásához a (4) képletet használjuk. Az alapok területének meghatározásához meg kell találnia az alapnégyzetek oldalait, ismerve az átlójukat. Az alapok oldalai rendre 2 cm, illetve 8 cm. Ez az alapok területét jelenti, és az összes adatot behelyettesítve a képletbe, kiszámítjuk a csonka gúla térfogatát:

Válasz: 112 cm3.

3. példa Határozza meg egy szabályos háromszög alakú csonka gúla oldallapjának területét, amelynek alapjai 10 cm és 4 cm, a gúla magassága pedig 2 cm.

Megoldás. Készítsünk rajzot (19. ábra).

Ennek a piramisnak az oldallapja egy egyenlő szárú trapéz. A trapéz területének kiszámításához ismernie kell az alapot és a magasságot. Az alapok az állapot szerint vannak megadva, csak a magasság marad ismeretlen. Meg fogjuk találni, honnan A 1 E merőleges egy pontból A 1 az alsó alap síkján, A 1 D– merőlegesen A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, mivel ez a gúla magassága. Megtalálni DE Készítsünk egy további rajzot, amely a felülnézetet mutatja (20. ábra). Pont RÓL RŐL– a felső és az alsó alap középpontjának vetülete. mivel (lásd 20. ábra) és Másrészt rendben– a körbe írt sugár és OM– körbe írt sugár:

MK = DE.

A Pitagorasz-tétel szerint abból

Oldalsó arc területe:

Válasz:

4. példa A piramis alján egyenlő szárú trapéz található, melynek alapjai AÉs b (a> b). Mindegyik oldallap szöget zár be a piramis alapjának síkjával j. Határozza meg a piramis teljes felületét.

Megoldás. Készítsünk rajzot (21. ábra). A piramis teljes felülete SABCD egyenlő a területek és a trapéz területének összegével ABCD.

Használjuk azt az állítást, hogy ha a gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a csúcs az alapba írt kör középpontjába vetül. Pont RÓL RŐL– csúcsvetítés S a piramis tövében. Háromszög GYEP a háromszög ortogonális vetülete CSD az alap síkjához. A síkidom ortogonális vetületének területére vonatkozó tételt felhasználva kapjuk:

Hasonlóképpen azt jelenti Így a probléma a trapéz területének megtalálására csökkent ABCD. Rajzoljunk trapézt ABCD külön-külön (22. ábra). Pont RÓL RŐL– trapézba írt kör középpontja.

Mivel a kör trapézba írható, akkor vagy A Pitagorasz-tételből azt kapjuk,

Ez az oktatóvideó segít a felhasználóknak, hogy képet kapjanak a Piramis témáról. Helyes piramis. Ebben a leckében megismerkedünk a piramis fogalmával és definíciót adunk neki. Nézzük meg, mi a szabályos piramis, és milyen tulajdonságai vannak. Ezután bebizonyítjuk a szabályos gúla oldalfelületére vonatkozó tételt.

Ebben a leckében megismerkedünk a piramis fogalmával és definíciót adunk neki.

Vegyünk egy sokszöget A 1 A 2...A n, amely az α síkban fekszik, és a pont P, amely nem az α síkban fekszik (1. ábra). Kössük össze a pontokat P csúcsokkal A 1, A 2, A 3, … A n. Kapunk n háromszögek: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R stb.

Meghatározás. Poliéder RA 1 A 2 ...A n, következőkből készült n-négyzet A 1 A 2...A nÉs n háromszögek RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 hívják n-szén piramis. Rizs. 1.

Rizs. 1

Tekintsünk egy négyszög alakú piramist PABCD(2. ábra).

R- a piramis csúcsa.

ABCD- a piramis alapja.

RA- oldalborda.

AB- alapborda.

Pontból R ejtsük a merőlegest RN az alapsíkhoz ABCD. A húzott merőleges a piramis magassága.

Rizs. 2

A piramis teljes felülete az oldalfelületből, azaz az összes oldallap területéből és az alapterületből áll:

S teljes = S oldal + S fő

A piramist helyesnek nevezzük, ha:

• alapja szabályos sokszög;
• a piramis csúcsát az alap közepével összekötő szakasz a magassága.

Magyarázat egy szabályos négyszög alakú piramis példáján

Tekintsünk egy szabályos négyszög alakú piramist PABCD(3. ábra).

R- a piramis csúcsa. A piramis alapja ABCD- szabályos négyszög, azaz négyzet. Pont RÓL RŐL, az átlók metszéspontja, a négyzet közepe. Eszközök, RO a piramis magassága.

Rizs. 3

Magyarázat: helyesen n Egy háromszögben a beírt kör középpontja és a körülírt kör középpontja egybeesik. Ezt a középpontot a sokszög középpontjának nevezzük. Néha azt mondják, hogy a csúcs a középpontba van vetítve.

A csúcsából húzott szabályos gúla oldallapjának magasságát ún apotémés ki van jelölve h a.

1. egy szabályos gúla minden oldaléle egyenlő;

2. Az oldallapok egyenlő egyenlő szárú háromszögek.

Ezeket a tulajdonságokat egy szabályos négyszög alakú piramis példáján fogjuk bizonyítani.

Adott: PABCD- szabályos négyszög alakú piramis,

ABCD- négyzet,

RO- a piramis magassága.

Bizonyít:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP = ∆CDP =∆DAP Lásd az ábrát. 4.

Rizs. 4

Bizonyíték.

RO- a piramis magassága. Vagyis egyenesen RO merőleges a síkra ABC, és ezért közvetlen JSC, VO, SOÉs DO fekve benne. Szóval háromszögek ROA, ROV, ROS, ROD- téglalap alakú.

Vegyünk egy négyzetet ABCD. A négyzet tulajdonságaiból az következik AO = VO = CO = DO.

Aztán a derékszögű háromszögek ROA, ROV, ROS, ROD láb RO- általános és lábak JSC, VO, SOÉs DO egyenlőek, ami azt jelenti, hogy ezek a háromszögek két oldaluk egyenlő. A háromszögek egyenlőségéből következik a szakaszok egyenlősége, RA = PB = RS = PD. Az 1. pont bevált.

Szegmensek ABÉs Nap egyenlőek, mert ugyanazon négyzet oldalai, RA = PB = RS. Szóval háromszögek AVRÉs VSR - egyenlő szárú és három oldala egyenlő.

Hasonló módon megtaláljuk azokat a háromszögeket ABP, VCP, CDP, DAP egyenlő szárúak és egyenlőek, a 2. bekezdésben foglaltak szerint.

Egy szabályos gúla oldalfelületének területe egyenlő az alap kerülete és az apotém szorzatának felével:

Ennek bizonyítására válasszunk egy szabályos háromszög alakú piramist.

Adott: RAVS- szabályos háromszög alakú piramis.

AB = BC = AC.

RO- magasság.

Bizonyít: . Lásd az ábrát. 5.

Rizs. 5

Bizonyíték.

RAVS- szabályos háromszög alakú piramis. Azaz AB= AC = BC. Hadd RÓL RŐL- a háromszög középpontja ABC, Akkor RO a piramis magassága. A piramis alján egy egyenlő oldalú háromszög található ABC. vegye észre, az .

Háromszögek RAV, RVS, RSA- egyenlő egyenlő szárú háromszögek (tulajdonság szerint). A háromszög alakú piramisnak három oldallapja van: RAV, RVS, RSA. Ez azt jelenti, hogy a piramis oldalfelületének területe:

S oldal = 3S RAW

A tétel bizonyítást nyert.

A szabályos négyszög alakú gúla alapjába írt kör sugara 3 m, a gúla magassága 4 m. Határozza meg a gúla oldalfelületének területét!

Adott: szabályos négyszög alakú piramis ABCD,

ABCD- négyzet,

r= 3 m,

RO- a piramis magassága,

RO= 4 m.

megtalálja: S oldal. Lásd az ábrát. 6.

Rizs. 6

Megoldás.

A bizonyított tétel szerint .

Először keressük meg az alap oldalát AB. Tudjuk, hogy egy szabályos négyszög alakú gúla alapjába írt kör sugara 3 m.

Aztán m.

Keresse meg a négyzet kerületét ABCD 6 m oldallal:

Tekintsünk egy háromszöget BCD. Hadd M- az oldal közepén DC. Mert RÓL RŐL- középső BD, Azt (m).

Háromszög DPC- egyenlő szárú. M- középső DC. vagyis RM- medián, és ezért a magasság a háromszögben DPC. Akkor RM- a piramis apotémája.

RO- a piramis magassága. Aztán egyenesen RO merőleges a síkra ABC, és ezért közvetlen OM, benne fekszik. Találjuk meg az apotémát RM derékszögű háromszögből ROM.

Most megtaláljuk a piramis oldalfelületét:

Válasz: 60 m2.

A szabályos háromszög alakú gúla alapja körül körülírt kör sugara egyenlő m. Oldalfelülete 18 m 2. Keresse meg az apotém hosszát!

Adott: ABCP- szabályos háromszög alakú piramis,

AB = BC = SA,

R= m,

S oldal = 18 m2.

megtalálja: . Lásd az ábrát. 7.

Rizs. 7

Megoldás.

Derékszögű háromszögben ABC A körülírt kör sugara adott. Keressünk egy oldalt AB ez a háromszög a szinusztörvény segítségével.

Egy szabályos háromszög oldalának (m) ismeretében megtaláljuk a kerületét.

A szabályos piramis oldalfelületére vonatkozó tétel szerint, ahol h a- a piramis apotémája. Akkor:

Válasz: 4 m.

Tehát megvizsgáltuk, mi a piramis, mi a szabályos gúla, és bebizonyítottuk a szabályos gúla oldalfelületére vonatkozó tételt. A következő leckében a csonka piramissal ismerkedünk.

Bibliográfia

1. Geometria. 10-11. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (alap- és szakirányú szint) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometria. 10-11. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometria. 10. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára a matematika elmélyült és szakirányú tanulmányozásával /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. kiadás, sztereotípia. - M.: Túzok, 008. - 233 p.: ill.

1. "Yaklass" internetes portál ()
2. „Szeptember elsejei pedagógiai ötletek fesztiválja” internetes portál ()
3. „Slideshare.net” internetes portál ()

Házi feladat

1. Lehet-e szabályos sokszög egy szabálytalan piramis alapja?
2. Bizonyítsuk be, hogy egy szabályos gúla diszjunkt élei merőlegesek.
3. Határozzuk meg a szabályos négyszög alakú gúla alapjának oldalán lévő kétszög értékét, ha a gúla apotémje egyenlő az alapja oldalával!
4. RAVS- szabályos háromszög alakú piramis. Szerkessze meg a diéderszög lineáris szögét a piramis alján!

A tanulók jóval a geometria tanulmányozása előtt találkoznak a piramis fogalmával. A hiba a híres nagy egyiptomi világcsodákban rejlik. Ezért, amikor elkezdi tanulmányozni ezt a csodálatos poliédert, a legtöbb diák már egyértelműen elképzeli. A fent említett látnivalók mindegyike megfelelő alakú. Mi történt szabályos piramis, és hogy milyen tulajdonságai vannak, még szó lesz róla.

Kapcsolatban áll

Meghatározás

A piramisnak nagyon sok definíciója létezik. Ősidők óta nagyon népszerű volt.

Eukleidész például testalakot definiált, amely síkokból áll, amelyek az egyikből kiindulva egy bizonyos ponton konvergálnak.

Heron pontosabb megfogalmazást adott. Ragaszkodott hozzá, hogy ez az a figura van egy alapja és háromszög alakú síkjai, egy ponton konvergál.

A mai értelmezés szerint a piramist térbeli poliéderként ábrázolják, amely egy bizonyos k-szögből és k lapos háromszög alakzatból áll, amelyeknek egy közös pontja van.

Nézzük meg részletesebben, milyen elemekből áll:

• A k-gont tekintjük az ábra alapjának;
• 3-szögű formák nyúlnak ki, mint az oldalrész élei;
• a felső részt, ahonnan az oldalelemek származnak, csúcsnak nevezzük;
• minden csúcsot összekötő szakaszt élnek nevezünk;
• ha egy egyenest 90 fokos szögben leeresztünk a csúcsból az ábra síkjába, akkor a belső térben lévő része a piramis magassága;
• bármely oldalsó elemben a poliéderünk oldalára húzható egy merőleges, az úgynevezett apotém.

Az élek számát a 2*k képlet segítségével számítjuk ki, ahol k a k-szög oldalainak száma. Hány lapja van egy poliédernek, például egy piramisnak, a k+1 kifejezéssel határozhatjuk meg.

Fontos! A szabályos alakú gúla egy sztereometrikus alakzat, amelynek alapsíkja egy egyenlő oldalú k-gon.

Alaptulajdonságok

Helyes piramis számos tulajdonsággal rendelkezik, amelyek csak rá jellemzőek. Soroljuk fel őket:

1. Az alap egy megfelelő alakú figura.
2. A piramis oldalelemeket határoló élei azonos számértékekkel rendelkeznek.
3. Az oldalelemek egyenlő szárú háromszögek.
4. Az ábra magasságának alapja a sokszög közepére esik, miközben egyben a beírt és körülírt középpontja is.
5. Minden oldalborda ugyanabban a szögben dől az alap síkjához.
6. Minden oldalfelület azonos dőlésszöggel rendelkezik az alaphoz képest.

Az összes felsorolt ​​tulajdonságnak köszönhetően az elemszámítások elvégzése sokkal egyszerűbb. A fenti tulajdonságok alapján odafigyelünk arra két jel:

1. Abban az esetben, ha a sokszög egy körbe illeszkedik, az oldallapok az alappal egyenlő szöget zárnak be.
2. Ha egy sokszöget körülvevő kört írunk le, a piramis csúcsából kiinduló összes éle egyenlő hosszúságú és azonos szöget zár be az alappal.

Az alap egy négyzet

Szabályos négyszög alakú piramis - poliéder, amelynek alapja négyzet.

Négy oldallapja van, amelyek egyenlő szárúak.

A négyzet egy síkon van ábrázolva, de a szabályos négyszög összes tulajdonságán alapul.

Például, ha egy négyzet oldalát össze kell kapcsolni az átlójával, akkor használja a következő képletet: az átló egyenlő a négyzet oldalának és kettő négyzetgyökének szorzatával.

Alapja egy szabályos háromszög

A szabályos háromszög alakú gúla olyan poliéder, amelynek alapja szabályos 3-szög.

Ha az alap szabályos háromszög, és az oldalélek egyenlőek az alap éleivel, akkor egy ilyen ábra tetraédernek nevezzük.

A tetraéder minden lapja egyenlő oldalú 3 szögű. Ebben az esetben ismernie kell néhány pontot, és nem kell rájuk időt pazarolnia a számítás során:

• a bordák bármely alaphoz viszonyított dőlésszöge 60 fok;
• az összes belső oldal mérete szintén 60 fok;
• bármely arc szolgálhat alapként;
• , az ábra belsejébe húzva, ezek egyenlő elemek.

Egy poliéder metszetei

Bármely poliéderben vannak többféle szakasz lakás. Az iskolai geometriatanfolyamokon gyakran kettővel dolgoznak:

• tengelyirányú;
• az alappal párhuzamosan.

Axiális metszetet úgy kapunk, hogy egy poliédert metszünk egy síkkal, amely átmegy a csúcson, az oldaléleken és a tengelyen. Ebben az esetben a tengely a csúcsból húzott magasság. A vágási síkot az összes lap metszésvonala korlátozza, ami egy háromszöget eredményez.

Figyelem! Egy szabályos piramisban a tengelyirányú metszet egyenlő szárú háromszög.

Ha a vágási sík párhuzamosan fut az alappal, akkor az eredmény a második lehetőség. Ebben az esetben az alaphoz hasonló keresztmetszeti ábránk van.

Például, ha van egy négyzet az alapnál, akkor az alappal párhuzamos szakasz is négyzet lesz, csak kisebb méretű.

Az ilyen feltételek melletti problémák megoldása során az ábrák hasonlóságának jeleit és tulajdonságait használják, Thalész tétele alapján. Először is meg kell határozni a hasonlósági együtthatót.

Ha a síkot az alappal párhuzamosan húzzuk, és levágja a poliéder felső részét, akkor az alsó részen szabályos csonka gúlát kapunk. Ekkor egy csonka poliéder alapjait hasonló sokszögeknek mondjuk. Ebben az esetben az oldallapok egyenlő szárú trapézok. A tengelymetszet is egyenlő szárú.

A csonka poliéder magasságának meghatározásához meg kell rajzolni a magasságot a tengelymetszetben, vagyis a trapézben.

Felületi területek

Az iskolai geometriatanfolyamon megoldandó fő geometriai problémák a következők a piramis felületének és térfogatának meghatározása.

Kétféle felületi érték létezik:

• az oldalsó elemek területe;
• a teljes felület területe.

Már a névből is kiderül, miről beszélünk. Az oldalfelület csak az oldalelemeket tartalmazza. Ebből az következik, hogy a megtalálásához egyszerűen össze kell adni az oldalsíkok területeit, vagyis az egyenlő szárú 3-szögűek területeit. Próbáljuk meg levezetni az oldalelemek területének képletét:

1. Egy egyenlőszárú 3-szög területe Str=1/2(aL), ahol a az alap oldala, L az apotéma.
2. Az oldalsíkok száma az alapnál lévő k-gon típusától függ. Például egy szabályos négyszög alakú piramisnak négy oldalsíkja van. Ezért szükséges a négy szám területét összeadni: Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. A kifejezés ily módon leegyszerűsödik, mert az érték 4a = Rosn, ahol Rosn az alap kerülete. Az 1/2*Rosn kifejezés pedig a fél kerülete.
3. Tehát arra a következtetésre jutunk, hogy egy szabályos piramis oldalsó elemeinek területe megegyezik az alap fél kerületének és az apotémának a szorzatával: Sside = Rosn * L.

A piramis teljes felületének területe az oldalsíkok és az alapterületek összegéből áll: Sp.p. = Sside + Sbas.

Ami az alap területét illeti, itt a képletet a sokszög típusának megfelelően használják.

Szabályos piramis térfogata egyenlő az alapsík területének és a magasság szorzatával osztva hárommal: V=1/3*Sbas*H, ahol H a poliéder magassága.

Mi a szabályos piramis a geometriában

Szabályos négyszög gúla tulajdonságai