Az intervallum maximális hossza, amelyre a függvény csökken. Növekvő és csökkentő funkció

Egy függvény viselkedéséről nagyon fontos információkat adnak a növekvő és csökkenő intervallumok. Megtalálásuk része a függvény vizsgálatának és a grafikon ábrázolásának. Ezen túlmenően, azokra a szélső pontokra, ahol növekedésről csökkenőre vagy csökkenőről növekvőre változik, különös figyelmet kell fordítani a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megkeresésekor egy bizonyos intervallumon.

Ebben a cikkben megadjuk a szükséges definíciókat, megfelelő kritériumot fogalmazunk meg egy függvény intervallumon történő növelésére és csökkentésére, valamint elegendő feltételeket a szélsőség létezéséhez, és ezt az egész elméletet alkalmazzuk példák és problémák megoldására.

Oldalnavigáció.

Növelő és csökkentő funkció egy intervallumon.

Növekvő függvény definíciója.

Az y=f(x) függvény növekszik az X intervallumon, ha bármely és esetén egyenlőtlenség érvényesül. Más szavakkal, az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény definíciója.

Az y=f(x) függvény az X intervallumon csökken, ha bármely és esetén egyenlőtlenség érvényesül . Más szavakkal, az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

MEGJEGYZÉS: ha a függvény definiált és folytonos a növekvő vagy csökkenő intervallum (a;b) végén, azaz x=a és x=b helyen, akkor ezek a pontok beleszámítanak a növekvő vagy csökkenő intervallumba. Ez nem mond ellent az X intervallumon növekvő és csökkenő függvény definícióinak.

Például az alapvető elemi függvények tulajdonságaiból tudjuk, hogy y=sinx definiált és folytonos az argumentum minden valós értékére. Ezért az intervallumon a szinuszfüggvény növekedéséből azt állíthatjuk, hogy az intervallumon növekszik.

Extrémpontok, függvény szélsőpontjai.

A lényeg az ún maximális pont y=f(x) függvény, ha az egyenlőtlenség igaz minden x-re a szomszédságában. A függvény értékét a maximum pontban hívjuk a funkció maximumaés jelölje.

A lényeg az ún minimum pont y=f(x) függvény, ha az egyenlőtlenség igaz minden x-re a szomszédságában. A függvény értékét a minimumpontban hívjuk minimális funkcióés jelölje.

Egy pont környékét intervallumnak kell tekinteni , ahol egy kellően kis pozitív szám.

A minimum és maximum pontokat hívjuk szélsőséges pontok, és a szélsőpontoknak megfelelő függvényértékeket hívjuk meg a funkció szélsősége.

Ne keverje össze egy függvény szélsőértékét a függvény legnagyobb és legkisebb értékével.

Az első ábrán a függvény legnagyobb értékét a szakaszon a maximum pontban érjük el és egyenlő a függvény maximumával, a második ábrán pedig az x=b pontban érjük el a függvény legnagyobb értékét. , ami nem a maximum pont.

Elegendő feltételek a funkciók növeléséhez és csökkentéséhez.

Egy függvény növekedéséhez és csökkenéséhez elegendő feltétel (jel) alapján a függvény növekedésének és csökkenésének intervallumait találjuk.

Íme az intervallumon belüli növekvő és csökkenő függvények jeleinek megfogalmazása:

• ha az y=f(x) függvény deriváltja az X intervallum bármely x-ére pozitív, akkor a függvény X-szel növekszik;
• ha az y=f(x) függvény deriváltja az X intervallum bármely x-ére negatív, akkor a függvény X-en csökken.

Tehát egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának meghatározásához szükséges:

Nézzünk egy példát a növekvő és csökkenő függvények intervallumainak megtalálására az algoritmus magyarázatához.

Példa.

Keresse meg a növekvő és a csökkenő függvény intervallumait!

Megoldás.

Az első lépés a függvény definíciós tartományának megkeresése. Példánkban a nevezőben lévő kifejezés nem lehet nulla, ezért .

Térjünk át a függvény deriváltjának megkeresésére:

Egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának megfelelő kritérium alapján történő meghatározásához egyenlőtlenségeket oldunk meg a definíciós tartományon. Használjuk az intervallum módszer általánosítását. A számláló egyetlen valódi gyöke x = 2, és a nevező nullára megy x=0 esetén. Ezek a pontok a definíciós tartományt olyan intervallumokra osztják, amelyekben a függvény deriváltja megtartja előjelét. Jelöljük ezeket a pontokat a számegyenesen. Hagyományosan pluszokkal és mínuszokkal jelöljük azokat az intervallumokat, amelyek között a derivált pozitív vagy negatív. Az alábbi nyilak sematikusan mutatják a függvény növekedését vagy csökkenését a megfelelő intervallumon.

És így, És .

Azon a ponton Az x=2 függvény definiált és folytonos, ezért a növekvő és a csökkenő intervallumokhoz is hozzá kell adni. Az x=0 pontban a függvény nincs definiálva, ezért ezt a pontot nem vesszük bele a szükséges intervallumok közé.

Bemutatjuk a függvény grafikonját, hogy összehasonlíthassuk vele a kapott eredményeket.

Válasz:

A funkció ezzel növekszik , csökken az intervallumon (0;2] .

Elegendő feltétel egy függvény szélsőértékéhez.

Egy függvény maximumának és minimumának meghatározásához használhatjuk a három szélsőségjel bármelyikét, természetesen, ha a függvény teljesíti a feltételeket. A leggyakoribb és legkényelmesebb közülük az első.

Az első elégséges feltétel az extrémumhoz.

Legyen az y=f(x) függvény differenciálható a pont -szomszédságában és folytonos magában a pontban.

Más szavakkal:

Algoritmus szélsőségpontok meghatározására egy függvény szélsőértékének első jele alapján.

• Megtaláljuk a függvény definíciós tartományát.
• A függvény deriváltját a definíciós tartományon találjuk.
• Meghatározzuk a számláló nulláit, a derivált nevező nulláit és a definíciós tartomány azon pontjait, amelyekben a derivált nem létezik (az összes felsorolt ​​pontot ún. lehetséges szélsőpontok, ezeken a pontokon áthaladva a derivált éppen előjelét változtathatja).
• Ezek a pontok a függvény definíciós tartományát olyan intervallumokra osztják, amelyekben a derivált megtartja előjelét. Meghatározzuk a derivált előjeleit az egyes intervallumokon (például úgy, hogy egy függvény deriváltjának értékét kiszámítjuk egy adott intervallum bármely pontján).
• Kiválasztjuk azokat a pontokat, ahol a függvény folytonos, és amelyeken áthaladva a derivált előjelet változtat - ezek a szélsőpontok.

Túl sok a szó, nézzünk meg néhány példát a függvény szélsőpontjainak és szélsőértékeinek meghatározására a függvény szélsőértékének első elégséges feltételével.

Példa.

Keresse meg a függvény szélsőértékét.

Megoldás.

Egy függvény tartománya a valós számok teljes halmaza, kivéve x=2.

A származék megkeresése:

A számláló nullái az x=-1 és x=5 pontok, a nevező az x=2-nél nullára megy. Jelölje be ezeket a pontokat a számtengelyen

Minden intervallumban meghatározzuk a derivált előjeleit, ehhez kiszámítjuk a derivált értékét az egyes intervallumok bármelyik pontjában, például az x=-2, x=0, x=3 és x=6.

Ezért az intervallumon a derivált pozitív (az ábrán pluszjelet teszünk erre az intervallumra). Hasonlóképpen

Ezért a második intervallum fölé mínuszt, a harmadik fölé mínuszt, a negyedik fölé pedig pluszt teszünk.

Marad a pontok kiválasztása, ahol a függvény folytonos és deriváltja előjelet vált. Ezek az extrém pontok.

Azon a ponton x=-1 a függvény folytonos és a derivált az előjelet pluszról mínuszra változtatja, ezért a szélsőség első jele szerint x=-1 a maximum pont, a függvény maximuma ennek felel meg .

Azon a ponton x=5 a függvény folytonos és a derivált mínuszról pluszra változtatja az előjelet, ezért x=-1 a minimumpont, a függvény minimuma ennek felel meg .

Grafikus illusztráció.

Válasz:

FIGYELEM: a szélsőség első elégséges kritériuma nem követeli meg a függvény differenciálhatóságát magán a ponton.

Példa.

Keresse meg a függvény szélsőpontjait és szélsőértékeit .

Megoldás.

Egy függvény tartománya a valós számok teljes halmaza. Maga a függvény így írható fel:

Keressük meg a függvény deriváltját:

Azon a ponton x=0 a derivált nem létezik, mivel az egyoldali határértékek nem esnek egybe, amikor az argumentum nullára hajlik:

Ugyanakkor az eredeti függvény folytonos az x=0 pontban (lásd a függvény folytonossági vizsgálatáról szóló részt):

Keressük meg annak az argumentumnak az értékét, amelynél a derivált nullára megy:

Jelöljük az összes kapott pontot a számegyenesen, és határozzuk meg az egyes intervallumokon a derivált előjelét. Ehhez kiszámítjuk a derivált értékeit az egyes intervallumok tetszőleges pontjaiban, például: x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

vagyis

Így az extrémum első jele szerint a minimumpontok az , a maximális pontszám .

Kiszámoljuk a függvény megfelelő minimumait

Kiszámoljuk a függvény megfelelő maximumait

Grafikus illusztráció.

Válasz:

.

A függvény szélsőértékének második jele.

Amint láthatja, egy függvény szélsőértékének ez a jele megköveteli, hogy a ponton legalább másodrendű derivált legyen.

1. Keresse meg a függvény tartományát

2. Keresse meg a függvény deriváltját!

3. Egyenlítse a derivált nullával, és keresse meg a függvény kritikus pontjait

4. Jelölje meg a kritikus pontokat a definíciós területen

5. Számítsa ki a derivált előjelét a kapott intervallumok mindegyikében!

6. Ismerje meg a függvény viselkedését az egyes intervallumokban!

Példa: Keresse meg a növekvő és a csökkenő függvény intervallumaitf(x) = és ennek a függvénynek a nulláinak száma az intervallumon.

Megoldás:

1.D( f) = R

2. f"(x) =

D( f") = D( f) = R

3. Keresse meg a függvény kritikus pontjait az egyenlet megoldásával! f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

egy függvény kritikus pontjai x= 0 és x = 10.

4. Határozzuk meg a derivált előjelét!

f"(x) + – +

f(x) 0 10x

a (-∞; 0) és (10; +∞) intervallumokban a függvény deriváltja pozitív és a pontokban x= 0 és x = 10 függvény f(x) folytonos, ezért ez a függvény a következő intervallumokon növekszik: (-∞; 0]; .

Határozzuk meg a függvényértékek előjelét a szegmens végén.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Mivel a függvény a szegmensen csökken, és a függvényértékek előjele megváltozik, ezért ezen a szegmensen a függvénynek egy nulla van.

Válasz: az f(x) függvény növekszik a következő intervallumokon: (-∞; 0]; ;

az intervallumon a függvénynek egy nulla függvénye van.

2. A függvény szélsőpontjai: maximumpontok és minimumpontok. Egy függvény szélsőértékének létezéséhez szükséges és elégséges feltételek. Szabály egy függvény tanulmányozására extrémumhoz .

1. definíció:Azokat a pontokat, ahol a derivált nullával egyenlő, kritikusnak vagy stacionáriusnak nevezzük.

2. definíció. Egy pontot a függvény minimum (maximális) pontjának nevezünk, ha a függvény értéke ezen a ponton kisebb (nagyobb, mint a függvény legközelebbi értéke).

Szem előtt kell tartani, hogy a maximum és minimum ebben az esetben helyi.

ábrán. 1. A helyi maximumok és minimumok láthatók.

Egy függvény maximumát és minimumát egy közös név egyesíti: a függvény szélsőértéke.

1. tétel.(egy függvény szélsőértéke létezésének szükséges jele). Ha egy pontban differenciálható függvénynek ezen a ponton van maximuma vagy minimuma, akkor a deriváltja a pontban eltűnik, .

2. tétel.(elegendő jele a függvény szélsőértékének létezésének). Ha egy folytonos függvénynek valamely kritikus pontot tartalmazó intervallum minden pontjában van deriváltja (lehet, hogy magát a pontot kivéve), és Ha a derivált, amikor az argumentum balról jobbra halad át a kritikus ponton, az előjelet pluszról mínuszra változtatja, akkor a függvénynek ezen a ponton van maximuma, és amikor az előjel mínuszról pluszra változik, akkor minimuma van.

A funkció extrémje

2. definíció

Egy $x_0$ pontot egy $f(x)$ függvény maximumpontjának nevezzük, ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy a környéken található összes $x$ egyenlőtlenségre a $f(x)\le f(x_0) egyenlőtlenség vonatkozik. $ tart.

3. definíció

Egy $x_0$ pontot egy $f(x)$ függvény maximális pontjának nevezzük, ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy ebben a szomszédságban minden $x$ esetén a $f(x)\ge f(x_0) egyenlőtlenség $ tart.

A függvény szélsőértékének fogalma szorosan összefügg a függvény kritikus pontjának fogalmával. Mutassuk be a definícióját.

4. definíció

$x_0$ a $f(x)$ függvény kritikus pontjának nevezzük, ha:

1) $x_0$ - a definíciós tartomány belső pontja;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ vagy nem létezik.

Az extrémum fogalmához a létezéséhez elegendő és szükséges feltételek mellett fogalmazhatunk meg tételeket.

2. tétel

Elegendő feltétel az extrémumhoz

Legyen a $x_0$ pont kritikus az $y=f(x)$ függvény számára, és legyen a $(a,b)$ intervallumban. Legyen mindegyik $\left(a,x_0\right)\ és\ (x_0,b)$ intervallumon a $f"(x)$ derivált, és állandó előjelet tart fenn. Ezután:

1) Ha az $(a,x_0)$ intervallumon a derivált $f"\left(x\right)>0$, és az $(x_0,b)$ intervallumon a derivált: $f"\left( x\jobbra)

2) Ha az $(a,x_0)$ intervallumon a $f"\left(x\right)0$ derivált, akkor a $x_0$ pont a minimális pont ennek a függvénynek.

3) Ha az $(a,x_0)$ és az $(x_0,b)$ intervallumon is a $f"\left(x\right) >0$ vagy a $f"\left(x) derivált \jobb)

Ezt a tételt az 1. ábra szemlélteti.

1. ábra. Elegendő feltétel az extrémák fennállásához

Példák szélsőségekre (2. ábra).

2. ábra Példák szélsőséges pontokra

Szabály egy függvény tanulmányozására extrémumhoz

2) Keresse meg a $f"(x)$ deriváltot;

7) A 2. Tétel segítségével vonjon le következtetéseket a maximumok és minimumok meglétére minden intervallumon.

Növekvő és csökkentő funkció

Először mutassuk be a növekvő és a csökkenő függvények definícióit.

5. definíció

A $X$ intervallumon definiált $y=f(x)$ függvényt növekvőnek mondjuk, ha bármely $x_1,x_2\in $x_1 X$-ban lévő pontra

6. definíció

A $X$ intervallumon definiált $y=f(x)$ függvényt csökkenőnek mondjuk, ha bármely $x_1,x_2\in X$ pontra $x_1f(x_2)$ esetén.

Növekedési és csökkentési függvény tanulmányozása

Növekvő és csökkenő függvényeket tanulmányozhat a derivált segítségével.

Egy függvény növekedési és csökkenési intervallumainak vizsgálatához a következőket kell tennie:

1) Keresse meg a $f(x)$ függvény definíciós tartományát;

2) Keresse meg a $f"(x)$ deriváltot;

3) Keresse meg azokat a pontokat, amelyekben fennáll a $f"\left(x\right)=0$ egyenlőség;

4) Keresse meg azokat a pontokat, ahol $f"(x)$ nem létezik;

5) Jelölje meg a koordináta egyenesen az összes talált pontot és a függvény definíciós tartományát;

6) Határozza meg a $f"(x)$ derivált előjelét minden kapott intervallumon;

7) Vonja le a következtetést: azokon az intervallumokon, ahol $f"\left(x\right)0$ a függvény növekszik.

Példák a növekedési, csökkentési és szélsőséges pontok jelenlétének függvényeinek tanulmányozására

1. példa

Vizsgálja meg a növekedés és a csökkentés függvényét, valamint a maximális és minimális pontok jelenlétét: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Mivel az első 6 pont ugyanaz, először hajtsuk végre őket.

1) Definíciós tartomány - minden valós szám;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ a definíciós tartomány minden pontján létezik;

5) Koordinátavonal:

3. ábra.

6) Határozza meg a $f"(x)$ derivált előjelét minden intervallumon:

\\funkció f(X) a legkisebb értéket veszi fel.

Az ábra egy grafikont mutat y =f'(X)- függvény deriváltja f(X), a (–7;14) intervallumon definiálva. Határozza meg a függvény maximális pontjainak számát! f(X), amely a [–6;9] szegmenshez tartozik.

Az ábra egy grafikont mutat y =f'(X)- függvény deriváltja f(X), a (–18;6) intervallumon meghatározott. Határozza meg a függvény minimális pontjainak számát! f(X), amely a [–13;1] szegmenshez tartozik.

Az ábra egy grafikont mutat y =f'(X)- függvény deriváltja f(X), a (–11; –11) intervallumon meghatározott. Határozza meg a függvény szélsőpontjainak számát! f(X) szegmenshez tartozó [–10; -10].

Az ábra egy grafikont mutat y =f'(X)- függvény deriváltja f(X), a (–7;4) intervallumon definiálva. Keresse meg a növekvő függvény intervallumait f(X). Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész pontok összegét!

Az ábra egy grafikont mutat y =f'(X)- függvény deriváltja f(X), a (–5;7) intervallumon definiálva. Keresse meg a csökkenő függvény intervallumait! f(X). Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész pontok összegét!

Az ábra egy grafikont mutat y =f'(X)- függvény deriváltja f(X), a (–11;3) intervallumon definiálva. Keresse meg a növekvő függvény intervallumait f(X). Válaszában adja meg a legnagyobb hosszát!

F Az ábra egy grafikont mutat

A probléma feltételei ugyanazok (amit figyelembe vettünk). Keresse meg három szám összegét:

1. Az f (x) függvény szélsőértékeinek négyzetösszege.

2. Az f (x) függvény maximális pontjai összegének és minimumpontjainak összegének négyzeteinek különbsége.

3. Az y = –3x + 5 egyenessel párhuzamos f (x) érintők száma.

Az elsőként helyes választ adó 150 rubel ösztönző jutalmat kap. Válaszait írja meg kommentben. Ha ez az első megjegyzésed a blogon, akkor nem azonnal, hanem egy kicsit később jelenik meg (ne aggódj, a megjegyzés írásának időpontja rögzítésre kerül).

Sok szerencsét!

Üdvözlettel, Alexander Krutitsikh.

P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

Elegendő jelek alapján a függvény növekedésének és csökkenésének intervallumait találjuk.

Íme a jelek megfogalmazása:

• ha a függvény deriváltja y = f(x) pozitív bárki számára x az intervallumból x, akkor a függvény értékkel növekszik x;
• ha a függvény deriváltja y = f(x) negatív bárki számára x az intervallumból x, akkor a függvény értékkel csökken x.

Tehát egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának meghatározásához szükséges:

• megkeresni egy függvény definíciós tartományát;

• megkeresni egy függvény deriváltját;

• a kapott intervallumokhoz adjunk hozzá határpontokat, amelyeknél a függvény definiált és folytonos.

Nézzünk egy példát az algoritmus magyarázatára.

Példa.

Keresse meg a növekvő és a csökkenő függvény intervallumait!

Megoldás.

Az első lépés a függvény definíciójának megtalálása. Példánkban a nevezőben lévő kifejezés nem lehet nulla, ezért .

Térjünk át a derivált függvényre:

Egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának megfelelő kritérium alapján történő meghatározásához megoldjuk az egyenlőtlenségeket És a meghatározás területén. Használjuk az intervallum módszer általánosítását. A számláló egyetlen valódi gyöke az x = 2, és a nevező nullára megy x = 0. Ezek a pontok a definíciós tartományt olyan intervallumokra osztják, amelyekben a függvény deriváltja megtartja előjelét. Jelöljük ezeket a pontokat a számegyenesen. Hagyományosan pluszokkal és mínuszokkal jelöljük azokat az intervallumokat, amelyek között a derivált pozitív vagy negatív. Az alábbi nyilak sematikusan mutatják a függvény növekedését vagy csökkenését a megfelelő intervallumon.

És így, És .

Azon a ponton x = 2 a függvény definiált és folytonos, ezért a növekvő és a csökkenő intervallumokhoz is hozzá kell adni. Azon a ponton x = 0 a függvény nincs definiálva, ezért ezt a pontot nem vesszük bele a szükséges intervallumok közé.

Bemutatjuk a függvény grafikonját, hogy összehasonlíthassuk vele a kapott eredményeket.

Válasz: a függvény -val növekszik , csökken az intervallumon (0; 2] .

- Egy változó függvényének szélsőpontjai. Elegendő feltételek egy extrémumhoz

Az intervallumban definiált és folytonos f(x) függvény ne legyen benne monoton. Az intervallumnak vannak olyan részei [ , ], amelyekben a függvény a legnagyobb és legkisebb értéket a belső pontban éri el, pl. között és.

Egy f(x) függvényről azt mondjuk, hogy egy pontban maximuma (vagy minimuma) van, ha ez a pont körülvehet egy olyan környezetet (x 0 - ,x 0 +), amely abban az intervallumban található, ahol a függvény adott, hogy az egyenlőtlenség minden pontjára érvényes.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

Más szóval, az x 0 pont akkor adja meg az f(x) függvény maximumát (minimumát), ha az f(x 0) érték a legnagyobb (legkisebb) a függvény által elfogadott értékek közül. (legalábbis kicsi) környéke ennek a pontnak. Vegye figyelembe, hogy a maximum (minimum) definíciója feltételezi, hogy a függvény az x 0 pont mindkét oldalán meg van adva.

Ha van olyan környék, amelyen belül (x=x 0-nál) a szigorú egyenlőtlenség

f(x) f(x 0)

akkor azt mondják, hogy a függvénynek megvan a saját maximuma (minimumja) az x 0 pontban, különben nem megfelelő.

Ha egy függvénynek maximuma van az x 0 és x 1 pontokban, akkor a második Weierstrass-tételt alkalmazva az intervallumra azt látjuk, hogy a függvény ebben az intervallumban eléri a legkisebb értékét egy x 2 pontban, x 0 és x 1 között, és van egy ott minimum. Hasonlóképpen, két minimum között biztosan lesz maximum. A legegyszerűbb (és a gyakorlatban a legfontosabb) esetben, amikor egy függvénynek általában csak véges számú maximuma és minimuma van, ezek egyszerűen váltakoznak.

Vegye figyelembe, hogy a maximum vagy minimum jelölésére van egy kifejezés, amely egyesíti őket - extrémum.

A maximum (max f(x)) és minimum (min f(x)) fogalma a függvény lokális tulajdonságai, és egy bizonyos x 0 pontban játszódnak le. A legnagyobb (sup f(x)) és a legkisebb (inf f(x)) értékek fogalma egy véges szegmensre vonatkozik, és egy szegmensen lévő függvény globális tulajdonságai.

Az 1. ábrából jól látható, hogy az x 1 és x 3 pontokban lokális maximumok, az x 2 és x 4 pontokban pedig lokális minimumok vannak. A függvény azonban eléri minimális értékét az x=a pontban, a maximális értékét pedig az x=b pontban.

Tegyük fel azt a problémát, hogy megtaláljuk az argumentum összes értékét, amely a függvény szélsőértékét adja. Megoldásánál a származék lesz a főszerep.

Először tegyük fel, hogy az f(x) függvénynek véges deriváltja van az (a,b) intervallumban. Ha az x 0 pontban a függvénynek szélsőértéke van, akkor Fermat tételét alkalmazva a fent tárgyalt (x 0 - , x 0 + intervallumra) arra a következtetésre jutunk, hogy f (x) = 0 ez a szélsőség szükséges feltétele. . Az extrémumot csak azokon a pontokon kell keresni, ahol a derivált nullával egyenlő.

Nem szabad azonban azt gondolni, hogy minden pont, ahol a derivált nullával egyenlő, extrémumot ad a függvénynek: az imént jelzett szükséges feltétel nem elegendő