1. Kako odrediti greške mjerenja.

Izvođenje laboratorijskih radova podrazumijeva mjerenje različitih fizičkih veličina i naknadnu obradu njihovih rezultata.

Measurement- eksperimentalno pronalaženje vrijednosti fizičke veličine pomoću mjernih instrumenata.

Direktno mjerenje- određivanje vrijednosti fizičke veličine direktno pomoću mjerenja.

Indirektno mjerenje- određivanje vrijednosti fizičke veličine pomoću formule koja je povezuje sa drugim fizičkim veličinama utvrđenim direktnim mjerenjem.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:

A, B, C, ... - fizičke veličine.

A pr je približna vrijednost fizičke veličine, odnosno vrijednost dobivena direktnim ili indirektnim mjerenjem.

ΔA je apsolutna greška mjerenja fizičke veličine.

ε - relativna greška mjerenja fizičke veličine, jednaka:

Δ I A je apsolutna instrumentalna greška određena dizajnom uređaja (greška mjernih instrumenata; vidi tabelu 1).

Δ 0 A - apsolutna greška očitavanja (nastala zbog nedovoljno tačnih očitavanja mjernih instrumenata); u većini slučajeva jednaka je polovini vrijednosti podjele, a pri mjerenju vremena jednaka je vrijednosti podjele štoperice ili sata.

Tabela 1

Apsolutne instrumentalne greške mjernih instrumenata

№	Measuring	Granica mjerenja	Vrijednost podjele	Apsolutna instrumentalna greška
1	Vladar
	student	do 50 cm	1 mm	± 1 mm
	soba za crtanje	do 50 cm	1 mm	±0.2mm
	instrumental (čelik)	20 cm	1 mm	±0,1 mm
	demonstracija	100 cm	1 cm	± 0,5 cm
2	Mjerna traka	150 cm	0,5 cm	± 0,5 cm
3	Mjerni cilindar	do 250 ml	1 ml	± 1 ml
4	Čeljusti	150 mm	0,1 mm	±0,05 mm
5	Mikrometar	25 mm	0,01 mm	± 0,005 mm
6	Dinamometar za trening	4 N	0,1 N	± 0,05 N
7	Vage za obuku	200 g	-	±0,01 g
8	Štoperica	0-30 min	0,2 s	± 1 s na 30 min
9	Aneroidni barometar	720-780 mm Hg. Art.	1 mmHg Art.	± 3 mmHg Art.
10	Laboratorijski termometar	0-100 0 C	1 0 C	± 1 0 S
11	Školski ampermetar	2 A	0,1 A	±0,05A
12	Školski voltmetar	6 V	0,2 V	±0.15V

Maksimalna apsolutna greška direktnih merenja sastoji se od apsolutne instrumentalne greške i apsolutne greške očitavanja u odsustvu drugih grešaka:

Apsolutna greška mjerenja se obično zaokružuje na jednu značajnu cifru (ΔA ​​= 0,17 ≈ 0,2); numerička vrijednost rezultata mjerenja se zaokružuje tako da je njegova posljednja znamenka u istoj cifri kao i cifra greške (A = 10,332 ≈ 10,3).

Rezultati ponovljenih mjerenja fizičke veličine A, izvršenih u istim kontroliranim uvjetima i korištenjem dovoljno osjetljivih i tačnih (sa malim greškama) mjernih instrumenata, obično se međusobno razlikuju. U ovom slučaju, Apr se nalazi kao aritmetička sredina svih mjerenja, a greška ΔA (naziva se slučajna greška) utvrđuje se metodama matematičke statistike.

U školskoj laboratorijskoj praksi takvi se mjerni instrumenti praktički ne koriste. Stoga je prilikom izvođenja laboratorijskih radova potrebno odrediti maksimalne greške u mjerenju fizičkih veličina. Jedno mjerenje je dovoljno da dobijete rezultat.

Relativna greška indirektnih mjerenja određena je kao što je prikazano u tabeli 2.

tabela 2

Formule za izračunavanje relativne greške indirektnih mjerenja

№	Formula za fizičku veličinu	Formula za relativnu grešku
1
2
3
4

Apsolutna greška indirektnih mjerenja određena je formulom ΔA = A pr ε (ε se izražava kao decimalni razlomak).

2. O klasi tačnosti električnih mjernih instrumenata.

Da biste odredili apsolutnu instrumentalnu grešku uređaja, morate znati njegovu klasu tačnosti. Klasa tačnosti γ mjernog uređaja pokazuje koliko posto je apsolutna instrumentalna greška Δ i A od cijele skale uređaja (A max):

Klasa tačnosti je naznačena na skali uređaja ili u njegovom pasošu (znak % u ovom slučaju nije napisan). Postoje sljedeće klase tačnosti električnih mjernih instrumenata: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1.5; 2.5; 4. Poznavajući klasu tačnosti uređaja (γ pr) i njegovu cjelokupnu skalu (A max), odrediti apsolutnu grešku Δ i A mjerenja fizičke veličine A ovim uređajem:

3. Kako uporediti rezultate mjerenja.

1. Zapišite rezultate mjerenja u obliku dvostrukih nejednačina:

A 1np - ΔA 1< А 1пр < А 1пр + ΔА 1 ,

A 2pr - ΔA 2< А 2пр < А 2пр + ΔА 2 .

2. Uporedite dobijene intervale vrednosti: ako se intervali ne preklapaju, rezultati nisu isti; ako se preklapaju, identični su za datu relativnu grešku mjerenja.

4. Kako pripremiti izvještaj o obavljenom poslu.

1. Laboratorijski rad br....
2. Naslov rada.
3. Cilj rada.
4. Crtež (ako je potrebno).
5. Formule za tražene količine i njihove greške.
6. Tabela rezultata mjerenja i proračuna.
7. Konačan rezultat, zaključak itd. (prema namjeni rada).

5. Kako zabilježiti rezultat mjerenja.

A = A pr ± ΔA
e = ...%.

Apsolutna i relativna greška

Elementi teorije grešaka

Tačne i približne brojke

Točnost broja obično nije upitna kada su u pitanju vrijednosti cijelih podataka (2 olovke, 100 stabala). Međutim, u većini slučajeva, kada je nemoguće naznačiti tačnu vrijednost nekog broja (na primjer, prilikom mjerenja predmeta ravnalom, uzimanja rezultata sa uređaja itd.), imamo posla s približnim podacima.

Približna vrijednost je broj koji se neznatno razlikuje od tačne vrijednosti i zamjenjuje ga u proračunima. Stepen u kojem se približna vrijednost nekog broja razlikuje od njegove tačne vrijednosti karakterizira greška .

Razlikuju se sljedeći glavni izvori grešaka:

1. Greške u formulaciji problema, koji nastaje kao rezultat približnog opisa realnog fenomena u terminima matematike.

2. Greške metode, povezano sa teškoćom ili nemogućnošću rješavanja datog problema i zamjene sličnim, tako da je moguće primijeniti poznatu i pristupačnu metodu rješenja i dobiti rezultat blizak željenom.

3. Fatalne greške, povezane s približnim vrijednostima originalnih podataka i zbog izvođenja proračuna na približnim brojevima.

4. Greške zaokruživanja povezano sa zaokruživanjem vrijednosti početnih podataka, srednjih i konačnih rezultata dobivenih korištenjem računskih alata.

Apsolutna i relativna greška

Uzimanje u obzir grešaka je važan aspekt primjene numeričkih metoda, jer je greška u konačnom rezultatu rješavanja cjelokupnog problema proizvod interakcije svih vrsta grešaka. Stoga je jedan od glavnih zadataka teorije grešaka procijeniti tačnost rezultata na osnovu tačnosti izvornih podataka.

Ako je tačan broj i njegova je približna vrijednost, onda je greška (greška) približne vrijednosti stepen blizine njene vrijednosti njenoj tačnoj vrijednosti.

Najjednostavnija kvantitativna mjera greške je apsolutna greška, koja se definira kao

(1.1.2-1)

Kao što se može vidjeti iz formule 1.1.2-1, apsolutna greška ima iste mjerne jedinice kao i vrijednost. Stoga nije uvijek moguće izvesti ispravan zaključak o kvaliteti aproksimacije na osnovu veličine apsolutne greške. Na primjer, ako , a riječ je o mašinskom dijelu, tada su mjerenja vrlo gruba, a ako govorimo o veličini posude onda su vrlo tačna. S tim u vezi, uveden je koncept relativne greške, u kojem se vrijednost apsolutne greške vezuje za modul približne vrijednosti ( ).

(1.1.2-2)

Upotreba relativnih grešaka je zgodna, posebno zato što ne zavise od skale veličina i jedinica merenja podataka. Relativna greška se mjeri u razlomcima ili procentima. Tako, na primjer, ako

,A , To , i ako I ,

pa onda .

Da biste numerički procijenili grešku funkcije, morate znati osnovna pravila za izračunavanje greške akcija:

· pri sabiranju i oduzimanju brojeva apsolutne greške brojeva se zbrajaju

· prilikom množenja i dijeljenja brojeva njihove relativne greške se zbrajaju jedna drugoj

· pri podizanju približnog broja na stepen njegova relativna greška se množi sa eksponentom

Primjer 1.1.2-1. Zadana funkcija: . Pronađite apsolutnu i relativnu grešku vrijednosti (greška rezultata izvođenja aritmetičkih operacija), ako su vrijednosti su poznati, a 1 je tačan broj i njegova greška je nula.

Odredivši tako vrijednost relativne greške, možemo naći vrijednost apsolutne greške kao , gdje se vrijednost izračunava pomoću formule za približne vrijednosti

Pošto je tačna vrijednost količine obično nepoznata, izračunajte I prema gornjim formulama to je nemoguće. Stoga se u praksi procjenjuju maksimalne greške forme:

(1.1.2-3)

Gdje I - poznate veličine koje su gornje granice apsolutne i relativne greške, inače se nazivaju - maksimalne apsolutne i maksimalne relativne greške. Dakle, tačna vrijednost leži unutar:

Ako vrijednost poznato, onda , i ako je količina poznata , To

Predmet " ” tečno se uči u 9. razredu. A učenici, po pravilu, ne razvijaju u potpunosti vještine da to izračunaju.

Ali sa praktičnom primjenom relativna greška broja , kao i sa apsolutnom greškom, nailazimo na svakom koraku.

Tokom popravke izmjerili smo (u centimetrima) debljinu m tepih i širina n prag. Dobili smo sljedeće rezultate:

m≈0,8 (sa preciznošću od 0,1);

n≈100,0 (tačno do 0,1).

Imajte na umu da apsolutna greška svakog mjernog podatka nije veća od 0,1.

Međutim, 0,1 je čvrst dio broja 0,8. Kao zabroj 100 predstavlja beznačajnu hje. Ovo pokazuje da je kvalitet druge dimenzije mnogo veći od prve.

Za procjenu kvaliteta mjerenja koristi se relativna greška približnog broja.

Definicija.

Relativna greška približnog broja (vrijednosti) je omjer apsolutne greške i apsolutne vrijednosti približne vrijednosti.

Složili su se da relativnu grešku izraze u procentima.

Primjer 1.

Razmotrimo razlomak 14,7 i zaokružimo ga na cijele brojeve. Takođe ćemo naći relativna greška približnog broja:

14,7≈15.

Da biste izračunali relativnu grešku, pored približne vrednosti, po pravilu, morate znati i apsolutnu grešku. Apsolutna greška nije uvijek poznata. Zato izračunajte nemoguće. I u ovom slučaju dovoljno je navesti procjenu relativne greške.

Sjetimo se primjera koji je dat na početku članka. Tamo su navedena mjerenja debljine. m tepih i širina n prag.

Na osnovu rezultata mjerenja m≈0,8 sa tačnošću od 0,1. Možemo reći da apsolutna greška mjerenja nije veća od 0,1. To znači da je rezultat dijeljenja apsolutne greške sa približnom vrijednošću (a ovo je relativna greška) manji ili jednak 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.

Dakle, relativna greška aproksimacije je ≤ 12,5%.

Na sličan način izračunavamo relativnu grešku u aproksimaciji širine praga; nije više od 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Kažu da je u prvom slučaju merenje obavljeno sa relativnom tačnošću do 12,5%, au drugom - sa relativnom tačnošću do 0,1%.

Rezimiraj.

Apsolutna greška približan broj - ovo je razlikaizmeđu tačnog broja x i njegovu približnu vrijednost a.

Ako je razlika modula | x – a| manje od nekih D a, zatim vrijednost D a pozvao apsolutna greška približan broj a.

Relativna greška približnog broja je omjer apsolutne greške D a modulu broja a, to jeD a / |a| = d a .

Primjer 2.

Razmotrimo poznatu približnu vrijednost broja π≈3.14.

Uzimajući u obzir njegovu vrijednost s tačnošću od sto tisućitih, možete naznačiti njegovu grešku kao 0,00159... (to će pomoći da zapamtite znamenke broja π )

Apsolutna greška broja π jednaka je: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Relativna greška broja π je jednaka: 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Primjer 3.

Pokušajte sami izračunati relativna greška približnog broja √2. Postoji nekoliko načina da zapamtite znamenke broja "kvadratni korijen iz 2".

Kao što je ranije spomenuto, kada uporedimo tačnost mjerenja neke približne vrijednosti, koristimo apsolutnu grešku.

Koncept apsolutne greške

Apsolutna greška približne vrijednosti je veličina razlike između tačne i približne vrijednosti.
Apsolutna greška se može koristiti za upoređivanje tačnosti aproksimacija istih veličina, ali ako ćemo porediti tačnost aproksimacija različitih veličina, onda apsolutna greška sama po sebi nije dovoljna.

Na primjer: Dužina lista A4 papira je (29,7 ± 0,1) cm, a udaljenost od Sankt Peterburga do Moskve je (650 ± 1) km. Apsolutna greška u prvom slučaju ne prelazi jedan milimetar, au drugom - jedan kilometar. Pitanje je uporediti tačnost ovih mjerenja.

Ako mislite da se dužina lima tačnije mjeri jer apsolutna greška ne prelazi 1 mm. Onda si u krivu. Ove vrijednosti se ne mogu direktno porediti. Hajde da malo zaključimo.

Prilikom mjerenja dužine lista apsolutna greška ne prelazi 0,1 cm na 29,7 cm, odnosno u procentima iznosi 0,1/29,7 * 100% = 0,33% izmjerene vrijednosti.

Kada mjerimo udaljenost od Sankt Peterburga do Moskve, apsolutna greška ne prelazi 1 km na 650 km, što u procentima iznosi 1/650 * 100% = 0,15% izmjerene vrijednosti. Vidimo da se udaljenost između gradova mjeri preciznije od dužine A4 lista.

Koncept relativne greške

Ovdje se, radi procjene kvaliteta aproksimacije, uvodi novi koncept, relativna greška. Relativna greška- ovo je količnik dijeljenja apsolutne greške modulom približnih vrijednosti izmjerene vrijednosti. Tipično, relativna greška se izražava u postocima. U našem primjeru dobili smo dvije relativne greške jednake 0,33% i 0,15%.

Kao što ste možda pretpostavili, relativna vrijednost greške je uvijek pozitivna. Ovo proizilazi iz činjenice da je apsolutna greška uvijek pozitivna vrijednost, te je dijelimo sa modulom, a modul je također uvijek pozitivan.

Apsolutna greška mjerenja je veličina određena razlikom između rezultata mjerenja x i pravu vrijednost izmjerene veličine x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Vrijednost δ, jednaka omjeru apsolutne greške mjerenja i rezultata mjerenja, naziva se relativna greška:

Primjer 2.1. Približna vrijednost π je 3,14. Tada je njegova greška 0,00159. Apsolutna greška se može smatrati jednakom 0,0016, a relativna 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Značajne brojke. Ako apsolutna greška vrijednosti a ne prelazi jedno mjesto zadnje cifre broja a, onda se kaže da broj ima sve ispravne predznake. Približne brojeve treba zapisati, zadržavajući samo ispravne znakove. Ako je, na primjer, apsolutna greška broja 52400 100, onda ovaj broj treba napisati, na primjer, kao 524·10 2 ili 0,524·10 5. Možete procijeniti grešku približnog broja tako što ćete navesti koliko tačnih značajnih znamenki sadrži. Prilikom brojanja značajnih cifara, nule na lijevoj strani broja se ne broje.

Na primjer, broj 0,0283 ima tri važeće značajne cifre, a 2,5400 ima pet važećih značajnih cifara.

Pravila za zaokruživanje brojeva. Ako približni broj sadrži dodatne (ili netačne) cifre, onda ga treba zaokružiti. Prilikom zaokruživanja javlja se dodatna greška koja ne prelazi pola jedinice mjesta posljednje značajne cifre ( d) zaokružen broj. Prilikom zaokruživanja zadržavaju se samo ispravne cifre; dodatni znakovi se odbacuju, a ako je prva odbačena znamenka veća ili jednaka d/2, tada se zadnja pohranjena znamenka povećava za jedan.

Dodatne cifre u cijelim brojevima zamjenjuju se nulama, a u decimalima se odbacuju (kao i dodatne nule). Na primjer, ako je greška mjerenja 0,001 mm, tada se rezultat 1,07005 zaokružuje na 1,070. Ako je prva cifra izmijenjena nulama i odbačena manja od 5, preostale cifre se ne mijenjaju. Na primjer, broj 148935 s preciznošću mjerenja od 50 ima vrijednost zaokruživanja 148900. Ako je prva cifra zamijenjena nulama ili odbačena 5, a nakon nje nema cifara ili nula, zaokružuje se na najbližu čak broj. Na primjer, broj 123,50 je zaokružen na 124. Ako je prva nula ili ispuštena cifra veća od 5 ili jednaka 5, ali nakon nje slijedi značajna cifra, tada se posljednja preostala znamenka povećava za jedan. Na primjer, broj 6783,6 je zaokružen na 6784.

Primjer 2.2. Prilikom zaokruživanja 1284 na 1300, apsolutna greška je 1300 - 1284 = 16, a kada se zaokruži na 1280, apsolutna greška je 1280 - 1284 = 4.

Primjer 2.3. Kada se broj 197 zaokruži na 200, apsolutna greška je 200 - 197 = 3. Relativna greška je 3/197 ≈ 0,01523 ili približno 3/200 ≈ 1,5%.

Primjer 2.4. Prodavac vaga lubenicu na vagi. Najmanja težina u setu je 50 g. Vaganje je dalo 3600 g. Ovaj broj je približan. Tačna težina lubenice nije poznata. Ali apsolutna greška ne prelazi 50 g. Relativna greška ne prelazi 50/3600 = 1,4%.

Greške u rješavanju problema na PC

Tri vrste grešaka se obično smatraju glavnim izvorima grešaka. One se nazivaju greške skraćivanja, greške zaokruživanja i greške širenja. Na primjer, kada se koriste iterativne metode za traženje korijena nelinearnih jednačina, rezultati su približni, za razliku od direktnih metoda koje daju točno rješenje.

Greške pri skraćenju

Ova vrsta greške povezana je s greškom koja je svojstvena samom zadatku. To može biti zbog nepreciznosti u određivanju izvornih podataka. Na primjer, ako su neke dimenzije navedene u opisu problema, onda su u praksi za stvarne objekte ove dimenzije uvijek poznate s određenom točnošću. Isto vrijedi i za sve druge fizičke parametre. Ovo takođe uključuje netačnost formula za proračun i numeričkih koeficijenata koji su u njima uključeni.

Greške u širenju

Ova vrsta greške povezana je s korištenjem jedne ili druge metode rješavanja problema. Tokom proračuna neizbježno dolazi do gomilanja greške ili, drugim riječima, širenja. Pored činjenice da sami originalni podaci nisu tačni, nova greška nastaje kada se množe, sabiraju itd. Akumulacija greške zavisi od prirode i broja aritmetičkih operacija koje se koriste u proračunu.

Greške zaokruživanja

Ova vrsta greške se javlja zato što računar ne pohranjuje uvijek pravu vrijednost broja. Kada je realan broj pohranjen u memoriji računara, on se zapisuje kao mantisa i eksponent na isti način kao što se broj prikazuje na kalkulatoru.