Maksimalna dužina intervala u kojem se funkcija smanjuje. Povećajuće i opadajuće funkcije

Vrlo važne informacije o ponašanju funkcije daju rastući i opadajući intervali. Njihovo pronalaženje dio je procesa ispitivanja funkcije i crtanja grafa. Osim toga, ekstremnim točkama u kojima dolazi do promjene od povećanja do smanjenja ili od opadanja do povećanja pridaje se posebna pažnja pri pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije u određenom intervalu.

U ovom članku ćemo dati potrebne definicije, formulisati dovoljan kriterijum za povećanje i smanjenje funkcije na intervalu i dovoljne uslove za postojanje ekstrema i primeniti celu ovu teoriju na rešavanje primera i problema.

Navigacija po stranici.

Povećajuća i opadajuća funkcija na intervalu.

Definicija rastuće funkcije.

Funkcija y=f(x) raste na intervalu X ako za bilo koji i važi nejednakost. Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Definicija opadajuće funkcije.

Funkcija y=f(x) opada na intervalu X ako za bilo koji i važi nejednakost . Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

NAPOMENA: ako je funkcija definirana i kontinuirana na krajevima rastućeg ili opadajućeg intervala (a;b), odnosno na x=a i x=b, tada su ove točke uključene u interval povećanja ili smanjenja. Ovo nije u suprotnosti sa definicijama rastuće i opadajuće funkcije na intervalu X.

Na primjer, iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija znamo da je y=sinx definiran i kontinuiran za sve realne vrijednosti argumenta. Stoga, iz povećanja sinusne funkcije na intervalu, možemo tvrditi da ona raste na intervalu.

Ekstremne tačke, ekstremi funkcije.

Tačka se zove maksimalni poen funkcija y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x u njegovom susjedstvu. Poziva se vrijednost funkcije u tački maksimuma maksimum funkcije i označiti .

Tačka se zove minimalna tačka funkcija y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x u njegovom susjedstvu. Poziva se vrijednost funkcije u minimalnoj tački minimalna funkcija i označiti .

Okruženje tačke se shvata kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.

Pozivaju se minimalne i maksimalne tačke ekstremne tačke, i pozivaju se vrijednosti funkcije koje odgovaraju tačkama ekstrema ekstremi funkcije.

Nemojte brkati ekstreme funkcije s najvećim i najmanjim vrijednostima funkcije.

Na prvoj slici najveća vrijednost funkcije na segmentu se postiže u tački maksimuma i jednaka je maksimumu funkcije, a na drugoj slici najveća vrijednost funkcije postiže se u tački x=b , što nije maksimalna tačka.

Dovoljni uslovi za povećanje i smanjenje funkcija.

Na osnovu dovoljnih uslova (znakova) za povećanje i smanjenje funkcije, nalaze se intervali povećanja i smanjenja funkcije.

Evo formulacija znakova rastućih i opadajućih funkcija na intervalu:

• ako je izvod funkcije y=f(x) pozitivan za bilo koji x iz intervala X, tada funkcija raste za X;
• ako je derivacija funkcije y=f(x) negativna za bilo koji x iz intervala X, tada funkcija opada na X.

Dakle, da bi se odredili intervali povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je:

Razmotrimo primjer pronalaženja intervala rastućih i opadajućih funkcija da bismo objasnili algoritam.

Primjer.

Naći intervale rastuće i opadajuće funkcije.

Rješenje.

Prvi korak je pronaći domenu definicije funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao ići na nulu, dakle, .

Idemo dalje na pronalaženje derivacije funkcije:

Za određivanje intervala povećanja i smanjenja funkcije na osnovu dovoljnog kriterija rješavamo nejednakosti u domeni definicije. Koristimo generalizaciju metode intervala. Jedini pravi korijen brojnika je x = 2, a imenilac ide na nulu pri x=0. Ove tačke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo ove tačke na brojevnoj pravoj. Uobičajeno sa plusima i minusima označavamo intervale u kojima je derivacija pozitivna ili negativna. Strelice ispod šematski pokazuju povećanje ili smanjenje funkcije na odgovarajućem intervalu.

dakle, I .

U tački Funkcija x=2 je definirana i kontinuirana, pa je treba dodati i rastućim i opadajućim intervalima. U tački x=0 funkcija nije definirana, tako da ovu tačku ne uključujemo u tražene intervale.

Predstavljamo graf funkcije da bismo uporedili dobijene rezultate s njom.

odgovor:

Funkcija se povećava sa , opada na intervalu (0;2] .

Dovoljni uslovi za ekstremum funkcije.

Da biste pronašli maksimume i minimume funkcije, možete koristiti bilo koji od tri znaka ekstrema, naravno, ako funkcija zadovoljava njihove uvjete. Najčešći i najprikladniji je prvi od njih.

Prvi dovoljan uslov za ekstrem.

Neka je funkcija y=f(x) diferencijabilna u -susedstvu tačke i kontinuirana u samoj tački.

Drugim riječima:

Algoritam za pronalaženje tačaka ekstrema na osnovu prvog znaka ekstremuma funkcije.

• Pronalazimo domenu definicije funkcije.
• Izvod funkcije nalazimo u domenu definicije.
• Određujemo nule brojilaca, nule nazivnika izvoda i tačke domene definicije u kojima izvod ne postoji (sve navedene tačke se nazivaju tačke mogućeg ekstrema, prolazeći kroz ove tačke, derivacija može samo promijeniti svoj predznak).
• Ove tačke dijele područje definicije funkcije na intervale u kojima derivacija zadržava svoj predznak. Određujemo predznake izvoda na svakom od intervala (na primjer, izračunavanjem vrijednosti derivacije funkcije u bilo kojoj tački u određenom intervalu).
• Odabiremo tačke u kojima je funkcija kontinuirana i prolazeći kroz koje derivacija mijenja predznak - to su tačke ekstrema.

Previše je riječi, hajde da bolje pogledamo nekoliko primjera pronalaženja ekstremnih točaka i ekstrema funkcije koristeći prvi dovoljan uvjet za ekstremum funkcije.

Primjer.

Pronađite ekstreme funkcije.

Rješenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva osim x=2.

Pronalaženje derivata:

Nule brojioca su tačke x=-1 i x=5, imenilac ide na nulu pri x=2. Označite ove tačke na brojevnoj osi

Određujemo predznake derivacije u svakom intervalu; da bismo to učinili, izračunavamo vrijednost derivacije u bilo kojoj tački svakog intervala, na primjer, u tačkama x=-2, x=0, x=3 i x=6.

Dakle, na intervalu je derivacija pozitivna (na slici stavljamo znak plus preko ovog intervala). Isto tako

Stoga stavljamo minus iznad drugog intervala, minus iznad trećeg, a plus iznad četvrtog.

Ostaje da se odaberu tačke u kojima je funkcija neprekidna, a njen izvod menja predznak. Ovo su tačke ekstrema.

U tački x=-1 funkcija je kontinuirana i derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, dakle, prema prvom znaku ekstrema, x=-1 je maksimalna tačka, njoj odgovara maksimum funkcije .

U tački x=5 funkcija je kontinuirana i derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, dakle, x=-1 je minimalna tačka, njoj odgovara minimum funkcije .

Grafička ilustracija.

odgovor:

NAPOMENA: prvi dovoljan kriterij za ekstrem ne zahtijeva diferencijabilnost funkcije u samoj tački.

Primjer.

Pronađite ekstremne tačke i ekstreme funkcije .

Rješenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva. Sama funkcija se može napisati kao:

Nađimo derivaciju funkcije:

U tački x=0 derivacija ne postoji, jer se vrijednosti jednostranih granica ne poklapaju kada argument teži nuli:

U isto vrijeme, originalna funkcija je kontinuirana u tački x=0 (pogledajte odjeljak o proučavanju funkcije za kontinuitet):

Nađimo vrijednost argumenta pri kojoj izvod ide na nulu:

Označimo sve dobijene tačke na brojevnoj pravoj i odredimo predznak izvoda na svakom od intervala. Da bismo to učinili, izračunavamo vrijednosti derivacije u proizvoljnim točkama svakog intervala, na primjer, at x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

To je,

Dakle, prema prvom znaku ekstremuma, minimalne tačke su , maksimalni bodovi su .

Izračunavamo odgovarajuće minimume funkcije

Izračunavamo odgovarajuće maksimume funkcije

Grafička ilustracija.

odgovor:

.

Drugi znak ekstremuma funkcije.

Kao što vidite, ovaj znak ekstremuma funkcije zahtijeva postojanje derivacije najmanje drugog reda u tački.

1. Pronađite domenu funkcije

2. Naći derivaciju funkcije

3. Izjednačiti derivaciju sa nulom i pronaći kritične tačke funkcije

4. Označite kritične tačke na području definicije

5. Izračunajte predznak izvoda u svakom od rezultujućih intervala

6. Otkrijte ponašanje funkcije u svakom intervalu.

Primjer: Pronađite intervale rastuće i opadajuće funkcijef(x) = i broj nula ove funkcije na intervalu .

Rješenje:

1.D( f) = R

2. f"(x) =

D( f") = D( f) = R

3. Naći kritične tačke funkcije rješavanjem jednačine f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

kritične tačke funkcije x= 0 i x = 10.

4. Odredimo predznak derivacije.

f"(x) + – +

f(x) 0 10x

u intervalima (-∞; 0) i (10; +∞) derivacija funkcije je pozitivna i u tačkama x= 0 i x = 10 funkcija f(x) je kontinuiran, pa se ova funkcija povećava na intervalima: (-∞; 0]; .

Odredimo predznak vrijednosti funkcije na krajevima segmenta.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Pošto funkcija opada na segmentu i predznak vrijednosti funkcije se mijenja, tada postoji jedna nula funkcije na ovom segmentu.

Odgovor: funkcija f(x) raste na intervalima: (-∞; 0]; ;

na intervalu funkcija ima jednu funkciju nula.

2. Ekstremne tačke funkcije: maksimum bodova i minimum bodova. Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje ekstremuma funkcije. Pravilo za proučavanje funkcije za ekstrem .

Definicija 1:Tačke u kojima je derivacija jednaka nuli nazivaju se kritične ili stacionarne.

Definicija 2. Tačka se naziva minimalna (maksimalna) točka funkcije ako je vrijednost funkcije u ovoj tački manja (veća od) najbližih vrijednosti funkcije.

Treba imati na umu da su maksimum i minimum u ovom slučaju lokalni.

Na sl. 1. Prikazani su lokalni maksimumi i minimumi.

Maksimum i minimum funkcije ujedinjeni su zajedničkim imenom: ekstrem funkcije.

Teorema 1.(neophodan znak postojanja ekstremuma funkcije). Ako funkcija diferencibilna u nekoj tački ima maksimum ili minimum u ovoj tački, tada njen izvod u nestaje, .

Teorema 2.(dovoljan znak postojanja ekstremuma funkcije). Ako kontinuirana funkcija ima izvod u svim točkama nekog intervala koji sadrži kritičnu tačku (s mogućim izuzetkom ove same tačke), i ako derivacija, kada argument prolazi s lijeva na desno kroz kritičnu tačku, promijeni predznak iz plusa u minus, tada funkcija u ovoj tački ima maksimum, a kada se predznak promijeni sa minusa na plus, ima minimum.

Ekstremi funkcije

Definicija 2

Tačka $x_0$ naziva se maksimalnom tačkom funkcije $f(x)$ ako postoji okolina ove tačke takva da je za sve $x$ u ovoj okolini nejednakost $f(x)\le f(x_0) $ drži.

Definicija 3

Tačka $x_0$ naziva se maksimalnom tačkom funkcije $f(x)$ ako postoji okolina ove tačke takva da je za sve $x$ u ovoj okolini nejednakost $f(x)\ge f(x_0) $ drži.

Koncept ekstremuma funkcije usko je povezan sa konceptom kritične tačke funkcije. Hajde da uvedemo njegovu definiciju.

Definicija 4

$x_0$ se naziva kritična tačka funkcije $f(x)$ ako:

1) $x_0$ - interna tačka domena definicije;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ili ne postoji.

Za koncept ekstremuma možemo formulisati teoreme o dovoljnim i neophodnim uslovima za njegovo postojanje.

Teorema 2

Dovoljan uslov za ekstrem

Neka je tačka $x_0$ kritična za funkciju $y=f(x)$ i leži u intervalu $(a,b)$. Neka na svakom intervalu $\left(a,x_0\right)\ i\ (x_0,b)$ derivacija $f"(x)$ postoji i održava konstantan predznak. Tada:

1) Ako je na intervalu $(a,x_0)$ izvod $f"\left(x\right)>0$, a na intervalu $(x_0,b)$ izvod je $f"\left( x\desno)

2) Ako je na intervalu $(a,x_0)$ derivacija $f"\left(x\right)0$, tada je tačka $x_0$ minimalna tačka za ovu funkciju.

3) Ako je i na intervalu $(a,x_0)$ i na intervalu $(x_0,b)$ izvod $f"\left(x\right) >0$ ili izvod $f"\left(x \desno)

Ova teorema je ilustrovana na slici 1.

Slika 1. Dovoljan uslov za postojanje ekstrema

Primjeri ekstrema (slika 2).

Slika 2. Primjeri ekstremnih tačaka

Pravilo za proučavanje funkcije za ekstrem

2) Pronađite izvod $f"(x)$;

7) Izvući zaključke o prisustvu maksimuma i minimuma na svakom intervalu, koristeći teoremu 2.

Povećajuće i opadajuće funkcije

Hajde da prvo uvedemo definicije rastućih i opadajućih funkcija.

Definicija 5

Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ definirana na intervalu $X$ rastuća ako za bilo koju tačku $x_1,x_2\in X$ na $x_1

Definicija 6

Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ definirana na intervalu $X$ opadajuća ako je za bilo koju tačku $x_1,x_2\in X$ za $x_1f(x_2)$.

Proučavanje funkcije za povećanje i smanjenje

Možete proučavati rastuće i opadajuće funkcije koristeći izvod.

Da biste ispitali funkciju za intervale povećanja i smanjenja, morate učiniti sljedeće:

1) Pronađite domen definicije funkcije $f(x)$;

2) Pronađite izvod $f"(x)$;

3) Pronađite tačke u kojima vrijedi jednakost $f"\left(x\right)=0$;

4) Pronađite tačke u kojima $f"(x)$ ne postoji;

5) Označiti na koordinatnoj pravoj sve pronađene tačke i domen definicije ove funkcije;

6) Odrediti predznak izvoda $f"(x)$ na svakom rezultujućem intervalu;

7) Izvedite zaključak: na intervalima gdje $f"\left(x\right)0$ funkcija raste.

Primjeri zadataka za proučavanje funkcija za povećanje, smanjenje i prisutnost ekstremnih tačaka

Primjer 1

Ispitajte funkciju za povećanje i smanjenje, te prisustvo maksimalnih i minimalnih tačaka: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Pošto je prvih 6 tačaka isto, hajde da ih prvo izvršimo.

1) Oblast definicije - svi realni brojevi;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ postoji u svim tačkama domena definicije;

5) Koordinatna linija:

Slika 3.

6) Odredi predznak izvoda $f"(x)$ na svakom intervalu:

\\funkcija f(X) uzima najmanju vrijednost.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–7;14). Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu [–6;9].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–18;6). Pronađite broj minimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu [–13;1].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–11; –11). Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu [–10; -10].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–7;4). Naći intervale rastuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–5;7). Naći intervale opadajuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–11;3). Naći intervale rastuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

F Slika prikazuje grafikon

Uslovi problema su isti (koje smo razmatrali). Pronađite zbir tri broja:

1. Zbir kvadrata ekstrema funkcije f (x).

2. Razlika između kvadrata zbira maksimalnih tačaka i zbira minimalnih tačaka funkcije f (x).

3. Broj tangenti na f (x) paralelnih pravoj liniji y = –3x + 5.

Onaj koji prvi da tačan odgovor će dobiti stimulativnu nagradu od 150 rubalja. Napišite svoje odgovore u komentarima. Ako vam je ovo prvi komentar na blogu, neće se pojaviti odmah, već malo kasnije (ne brinite, bilježi se vrijeme kada je komentar napisan).

Sretno ti!

Srdačan pozdrav, Alexander Krutitsikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Na osnovu dovoljnih znakova nalaze se intervali rastuće i opadajuće funkcije.

Evo tekstova znakova:

• ako je derivacija funkcije y = f(x) pozitivno za bilo koga x iz intervala X, tada se funkcija povećava za X;
• ako je derivacija funkcije y = f(x) negativan za bilo koga x iz intervala X, tada se funkcija smanjuje za X.

Dakle, da bi se odredili intervali povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je:

• pronaći domenu definicije funkcije;

• pronaći derivaciju funkcije;

• rezultujućim intervalima dodajte granične točke na kojima je funkcija definirana i kontinuirana.

Pogledajmo primjer da objasnimo algoritam.

Primjer.

Naći intervale rastuće i opadajuće funkcije.

Rješenje.

Prvi korak je pronaći definiciju funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao ići na nulu, dakle, .

Pređimo na funkciju derivacije:

Da bismo odredili intervale povećanja i smanjenja funkcije na osnovu dovoljnog kriterija, rješavamo nejednačine I na domenu definicije. Koristimo generalizaciju metode intervala. Jedini pravi korijen brojioca je x = 2, a imenilac ide na nulu u x = 0. Ove tačke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo ove tačke na brojevnoj pravoj. Uobičajeno sa plusima i minusima označavamo intervale u kojima je derivacija pozitivna ili negativna. Strelice ispod šematski pokazuju povećanje ili smanjenje funkcije na odgovarajućem intervalu.

dakle, I .

U tački x = 2 funkcija je definirana i kontinuirana, pa je treba dodati i rastućim i opadajućim intervalima. U tački x = 0 funkcija nije definirana, tako da ovu tačku ne uključujemo u tražene intervale.

Predstavljamo graf funkcije da bismo uporedili dobijene rezultate s njom.

odgovor: funkcija se povećava sa , smanjuje se na intervalu (0; 2] .

- Ekstremne tačke funkcije jedne varijable. Dovoljni uslovi za ekstrem

Neka funkcija f(x), definirana i kontinuirana u intervalu, nije monotona u njemu. Postoje dijelovi [ , ] intervala u kojima se postiže najveća i najmanja vrijednost funkcije u unutrašnjoj tački, tj. između i.

Kaže se da funkcija f(x) ima maksimum (ili minimum) u tački ako ova tačka može biti okružena takvim susjedstvom (x 0 - ,x 0 +) sadržanim u intervalu u kojem je funkcija data da je nejednakost važi za sve svoje tačke.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

Drugim riječima, tačka x 0 daje funkciji f(x) maksimum (minimum) ako se ispostavi da je vrijednost f(x 0) najveća (najmanja) od vrijednosti koje je funkcija prihvatila u nekom (barem malom) susjedstvu ove tačke. Imajte na umu da sama definicija maksimuma (minimuma) pretpostavlja da je funkcija specificirana s obje strane točke x 0.

Ako postoji komšiluk unutar kojeg je (pri x=x 0) stroga nejednakost

f(x) f(x 0)

onda kažu da funkcija ima svoj maksimum (minimum) u tački x 0, inače ima nepravilan.

Ako funkcija ima maksimume u tačkama x 0 i x 1, onda, primjenom druge Weierstrassove teoreme na interval, vidimo da funkcija dostiže svoju najmanju vrijednost u ovom intervalu u nekoj tački x 2 između x 0 i x 1 i ima minimum tamo. Isto tako, između dva minimuma sigurno će postojati maksimum. U najjednostavnijem (i u praksi najvažnijem) slučaju, kada funkcija općenito ima samo konačan broj maksimuma i minimuma, oni se jednostavno izmjenjuju.

Imajte na umu da za označavanje maksimuma ili minimuma postoji i pojam koji ih ujedinjuje - ekstrem.

Koncepti maksimuma (max f(x)) i minimuma (min f(x)) su lokalna svojstva funkcije i odvijaju se u određenoj tački x 0. Koncepti najveće (sup f(x)) i najmanje (inf f(x)) vrijednosti odnose se na konačni segment i globalna su svojstva funkcije na segmentu.

Sa slike 1 je jasno da u tačkama x 1 i x 3 postoje lokalni maksimumi, au tačkama x 2 i x 4 lokalni minimumi. Međutim, funkcija dostiže svoju minimalnu vrijednost u tački x=a, a svoju maksimalnu vrijednost u tački x=b.

Postavimo problem pronalaženja svih vrijednosti argumenta koji funkciji daju ekstrem. Prilikom njegovog rješavanja, derivat će igrati glavnu ulogu.

Pretpostavimo prvo da funkcija f(x) ima konačan izvod u intervalu (a,b). Ako u tački x 0 funkcija ima ekstrem, onda, primjenjujući Fermatov teorem na interval (x 0 - , x 0 +), o kojem smo gore govorili, zaključujemo da je f (x) = 0 to je neophodan uvjet za ekstrem . Ekstremum treba tražiti samo u onim tačkama u kojima je izvod jednak nuli.

Ne treba, međutim, misliti da svaka tačka u kojoj je derivacija jednaka nuli daje funkciji ekstrem: nužni uslov koji je upravo naznačen nije dovoljan