Piramida. Ścięta piramida

Piramida jest wielościanem, którego jedna z ścian jest wielokątem ( baza ), a wszystkie pozostałe ściany są trójkątami ze wspólnym wierzchołkiem ( boczne twarze ) (ryc. 15). Piramida nazywa się prawidłowy , jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy (ryc. 16). Nazywa się ostrosłupem trójkątnym, którego wszystkie krawędzie są równe czworościan .

Boczne żebro ostrosłupa to bok ściany bocznej, który nie należy do podstawy Wysokość piramida to odległość jej wierzchołka od płaszczyzny podstawy. Wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są sobie równe, wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Nazywa się wysokość ściany bocznej regularnej piramidy narysowanej od wierzchołka apotem . Przekrój ukośny nazywa się przekrojem piramidy płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

Powierzchnia boczna piramida to suma pól wszystkich ścian bocznych. Całkowita powierzchnia nazywa się sumą pól wszystkich ścian bocznych i podstawy.

Twierdzenia

1. Jeżeli w piramidzie wszystkie boczne krawędzie są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy rzutuje się na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

2. Jeżeli wszystkie boczne krawędzie piramidy mają tę samą długość, wówczas wierzchołek piramidy rzutuje się na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

3. Jeżeli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy zostanie rzucony na środek okręgu wpisanego w podstawę.

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, poprawny wzór to:

Gdzie V- tom;

Baza S– powierzchnia podstawy;

H– wysokość piramidy.

W przypadku zwykłej piramidy poprawne są następujące wzory:

Gdzie P– obwód podstawy;

h– apotem;

H- wysokość;

Pełny

Strona S

Baza S– powierzchnia podstawy;

V– objętość regularnej piramidy.

Ścięta piramida nazywana częścią piramidy zamkniętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy (ryc. 17). Regularna ścięta piramida nazywana częścią regularnej piramidy zamkniętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy.

Powodyścięta piramida - podobne wielokąty. Boczne twarze – trapezy. Wysokość piramidy ściętej to odległość między jej podstawami. Przekątna ścięta piramida to odcinek łączący jej wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie. Przekrój ukośny to przekrój ściętej piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

W przypadku piramidy ściętej obowiązują następujące wzory:

(4)

Gdzie S 1 , S 2 – obszary podstawy górnej i dolnej;

Pełny– powierzchnia całkowita;

Strona S– powierzchnia boczna;

H- wysokość;

V– objętość ściętej piramidy.

Dla regularnej piramidy ściętej wzór jest poprawny:

Gdzie P 1 , P 2 – obwody podstaw;

h– apotem w kształcie regularnej ściętej piramidy.

Przykład 1. W regularnej piramidzie trójkątnej kąt dwuścienny u podstawy wynosi 60°. Znajdź tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 18).

Piramida jest regularna, co oznacza, że ​​u podstawy znajduje się trójkąt równoboczny, a wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Kąt dwuścienny u podstawy to kąt nachylenia bocznej ściany piramidy do płaszczyzny podstawy. Kąt liniowy to kąt A pomiędzy dwiema prostopadłymi: itd. Wierzchołek piramidy rzutowany jest na środek trójkąta (środek okręgu opisanego i okrąg wpisany w trójkąt ABC). Kąt nachylenia krawędzi bocznej (np S.B.) to kąt pomiędzy samą krawędzią a jej rzutem na płaszczyznę podstawy. Na żebro S.B. ten kąt będzie kątem SBD. Aby znaleźć styczną, musisz znać nogi WIĘC I O.B.. Niech długość odcinka BD równa się 3 A. Kropka O odcinek BD jest podzielony na części: i Od znajdujemy WIĘC: Z znajdujemy:

Odpowiedź:

Przykład 2. Znajdź objętość regularnej ściętej czworokątnej piramidy, jeśli przekątne jej podstaw są równe cm i cm, a jej wysokość wynosi 4 cm.

Rozwiązanie. Aby znaleźć objętość ściętej piramidy, używamy wzoru (4). Aby znaleźć obszar podstaw, musisz znaleźć boki kwadratów podstawowych, znając ich przekątne. Boki podstaw wynoszą odpowiednio 2 cm i 8 cm, czyli pola podstaw i Podstawiając wszystkie dane do wzoru, obliczamy objętość ściętej piramidy:

Odpowiedź: 112cm3.

Przykład 3. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej trójkątnej ściętej piramidy, której boki podstaw wynoszą 10 cm i 4 cm, a wysokość piramidy wynosi 2 cm.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 19).

Boczna ściana tej piramidy jest trapezem równoramiennym. Aby obliczyć pole trapezu, musisz znać podstawę i wysokość. Podstawy podano według stanu, nieznana pozostaje tylko wysokość. Znajdziemy ją skąd A 1 mi prostopadle do punktu A 1 na płaszczyźnie dolnej podstawy, A 1 D– prostopadle od A 1 os AC. A 1 mi= 2 cm, ponieważ jest to wysokość piramidy. Znaleźć DE Zróbmy dodatkowy rysunek przedstawiający widok z góry (ryc. 20). Kropka O– rzut środków podstawy górnej i dolnej. ponieważ (patrz ryc. 20) i Z drugiej strony OK– promień wpisany w okrąg i OM– promień wpisany w okrąg:

MK = DE.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa z

Powierzchnia boczna:

Odpowiedź:

Przykład 4. U podstawy piramidy leży trapez równoramienny, którego podstawy A I B (A> B). Każda ściana boczna tworzy kąt równy płaszczyźnie podstawy piramidy J. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 21). Całkowita powierzchnia piramidy SABCD równa sumie pól i pola trapezu ABCD.

Skorzystajmy ze stwierdzenia, że ​​jeśli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek jest rzutowany na środek okręgu wpisanego w podstawę. Kropka O– rzut wierzchołkowy S u podstawy piramidy. Trójkąt DARŃ jest rzutem ortogonalnym trójkąta CSD do płaszczyzny podstawy. Korzystając z twierdzenia o obszarze rzutu ortogonalnego figury płaskiej, otrzymujemy:

Podobnie to znaczy W ten sposób problem został zredukowany do znalezienia pola trapezu ABCD. Narysujmy trapez ABCD osobno (ryc. 22). Kropka O– środek okręgu wpisanego w trapez.

Ponieważ okrąg można wpisać w trapez, to lub Z twierdzenia Pitagorasa mamy

• 09.10.2014

  Przedwzmacniacz pokazany na rysunku przeznaczony jest do współpracy z 4 rodzajami źródeł dźwięku, np. mikrofonem, odtwarzaczem CD, radiem itp. W tym przypadku przedwzmacniacz posiada jedno wejście, które może zmieniać czułość od 50 mV do 500 mV. napięcie wyjściowe wzmacniacza 1000mV. Łącząc różne źródła sygnału podczas przełączania przełącznika SA1, zawsze otrzymamy...

• 20.09.2014

  Zasilacz przystosowany jest do obciążenia 15…20 W. Źródło jest wykonane zgodnie z obwodem jednocyklowego impulsowego przetwornika wysokiej częstotliwości. Tranzystor służy do montażu samooscylatora pracującego na częstotliwości 20…40 kHz. Częstotliwość jest regulowana przez pojemność C5. Elementy VD5, VD6 i C6 tworzą obwód rozruchowy oscylatora. W obwodzie wtórnym za prostownikiem mostkowym znajduje się konwencjonalny stabilizator liniowy na mikroukładzie, który pozwala na ...

• 28.09.2014

  Rysunek pokazuje generator oparty na mikroukładzie K174XA11, którego częstotliwość jest kontrolowana napięciem. Zmieniając pojemność C1 z 560 na 4700 pF, można uzyskać szeroki zakres częstotliwości, natomiast częstotliwość reguluje się poprzez zmianę rezystancji R4. I tak na przykład autor odkrył, że przy C1 = 560pF częstotliwość generatora można zmienić za pomocą R4 z 600 Hz na 200 kHz, ...

• 03.10.2014

  Urządzenie jest przeznaczone do zasilania potężnego ULF, jest zaprojektowane na napięcie wyjściowe ±27 V i obciążenie do 3 A na każdym ramieniu. Zasilanie jest bipolarne, wykonane na kompletnych tranzystorach kompozytowych KT825-KT827. Obydwa ramiona stabilizatora wykonane są według tego samego obwodu, z tym że w drugim ramieniu (nie pokazano) zmieniono polaryzację kondensatorów i zastosowano tranzystory innego typu...

jest wielościanem utworzonym przez podstawę piramidy i odcinek do niej równoległy. Można powiedzieć, że piramida ścięta to piramida z odciętym wierzchołkiem. Liczba ta ma wiele unikalnych właściwości:

• Boczne ściany piramidy są trapezami;
• Boczne krawędzie regularnej ściętej piramidy są tej samej długości i nachylone do podstawy pod tym samym kątem;
• Podstawy są podobnymi wielokątami;
• W regularnej ściętej piramidzie ściany są identycznymi trapezami równoramiennymi, których powierzchnia jest równa. Są również nachylone do podstawy pod jednym kątem.

Wzór na pole powierzchni bocznej ściętej piramidy jest sumą pól jej boków:

Ponieważ boki ściętej piramidy są trapezami, aby obliczyć parametry, będziesz musiał użyć wzoru obszar trapezu. W przypadku zwykłej ściętej piramidy można zastosować inny wzór do obliczenia pola. Ponieważ wszystkie jego boki, ściany i kąty u podstawy są równe, możliwe jest zastosowanie obwodów podstawy i apothemu, a także wyprowadzenie pola z kąta u podstawy.

Jeśli zgodnie z warunkami piramidy ściętej foremnej podany jest apotem (wysokość boku) i długości boków podstawy, to pole można obliczyć poprzez półprodukt sumy obwodów podstawy i apotem:

Spójrzmy na przykład obliczenia pola powierzchni bocznej ściętej piramidy.
Biorąc pod uwagę regularną pięciokątną piramidę. Apotem l= 5 cm, długość krawędzi dużej podstawy wynosi A= 6 cm, a krawędź znajduje się przy mniejszej podstawie B= 4 cm Oblicz obszar ściętej piramidy.

Najpierw znajdźmy obwody podstaw. Ponieważ mamy piramidę pięciokątną, rozumiemy, że podstawy są pięciokątami. Oznacza to, że podstawy zawierają figurę o pięciu identycznych bokach. Obliczmy obwód większej podstawy:

W ten sam sposób wyznaczamy obwód mniejszej podstawy:

Teraz możemy obliczyć powierzchnię regularnej ściętej piramidy. Podstaw dane do wzoru:

W ten sposób obliczyliśmy obszar regularnej ściętej piramidy poprzez obwody i apotem.

Innym sposobem obliczenia pola powierzchni bocznej regularnej piramidy jest wzór przez kąty u podstawy i obszar tych samych podstaw.

Spójrzmy na przykładowe obliczenia. Pamiętamy, że ten wzór dotyczy tylko zwykłej ściętej piramidy.

Niech zostanie podana regularna czworokątna piramida. Krawędź podstawy dolnej ma długość a = 6 cm, a krawędź podstawy górnej b = 4 cm, a kąt dwuścienny u podstawy wynosi β = 60°. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej ściętej piramidy.

Najpierw obliczmy pole podstaw. Ponieważ piramida jest regularna, wszystkie krawędzie podstaw są sobie równe. Biorąc pod uwagę, że podstawa jest czworokątem, rozumiemy, że konieczne będzie obliczenie obszar placu. Jest to iloczyn szerokości i długości, ale po podniesieniu do kwadratu wartości te są takie same. Znajdźmy obszar większej podstawy:


Teraz używamy znalezionych wartości do obliczenia pola powierzchni bocznej.

Znając kilka prostych wzorów, z łatwością obliczyliśmy pole trapezu bocznego ostrosłupa ściętego, stosując różne wartości.

Umiejętność obliczania objętości figur przestrzennych jest ważna przy rozwiązywaniu szeregu praktycznych problemów z geometrii. Jedną z najczęstszych postaci jest piramida. W tym artykule rozważymy zarówno piramidy pełne, jak i ścięte.

Piramida jako figura trójwymiarowa

Wszyscy wiedzą o egipskich piramidach, więc dobrze wiedzą, o jakiej figurze będziemy mówić. Jednak egipskie konstrukcje kamienne są tylko szczególnym przypadkiem ogromnej klasy piramid.

W ogólnym przypadku rozważanym obiektem geometrycznym jest podstawa wielokątna, której każdy wierzchołek jest połączony z pewnym punktem w przestrzeni, który nie należy do płaszczyzny podstawy. Definicja ta prowadzi do figury składającej się z jednego n-kątów i n trójkątów.

Każda piramida składa się z n+1 ścian, 2*n krawędzi i n+1 wierzchołków. Ponieważ dana figura jest wielościanem doskonałym, liczby zaznaczonych elementów odpowiadają równości Eulera:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Wielokąt znajdujący się u podstawy nadaje nazwę piramidzie, na przykład trójkątnej, pięciokątnej i tak dalej. Zestaw piramid o różnych podstawach pokazano na poniższym zdjęciu.

Punkt, w którym spotyka się n trójkątów figury, nazywa się wierzchołkiem piramidy. Jeśli prostopadła zostanie opuszczona z niej na podstawę i przetnie ją w środku geometrycznym, wówczas taką figurę nazwiemy linią prostą. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, powstaje nachylona piramida.

Figura prawa, której podstawa jest utworzona przez równoboczny (równokątny) n-gon, nazywa się regularną.

Wzór na objętość piramidy

Aby obliczyć objętość piramidy, skorzystamy z rachunku całkowego. Aby to zrobić, dzielimy figurę, przecinając płaszczyzny równoległe do podstawy na nieskończoną liczbę cienkich warstw. Poniższy rysunek przedstawia czworokątną piramidę o wysokości h i długości boku L, w której czworokąt wyznacza cienką warstwę przekroju.

Powierzchnię każdej takiej warstwy można obliczyć ze wzoru:

A(z) = ZA 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Tutaj A 0 to obszar podstawy, z to wartość współrzędnej pionowej. Można zauważyć, że jeśli z = 0, to wzór podaje wartość A 0 .

Aby otrzymać wzór na objętość ostrosłupa należy obliczyć całkę po całej wysokości figury, czyli:

V = ∫ godz. 0 (A(z)*dz).

Podstawiając zależność A(z) i obliczając funkcję pierwotną, dochodzimy do wyrażenia:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| godz. 0 = 1/3*A 0 *godz.

Otrzymaliśmy wzór na objętość piramidy. Aby znaleźć wartość V, wystarczy pomnożyć wysokość figury przez pole podstawy, a następnie podzielić wynik przez trzy.

Należy zauważyć, że wynikowe wyrażenie obowiązuje przy obliczaniu objętości piramidy dowolnego typu. Oznacza to, że może być nachylony, a jego podstawą może być dowolny n-gon.

i jego objętość

Ogólny wzór na objętość uzyskany w powyższym akapicie można doprecyzować w przypadku piramidy o regularnej podstawie. Pole takiej podstawy oblicza się za pomocą następującego wzoru:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Tutaj L jest długością boku wielokąta foremnego o n wierzchołkach. Symbol pi jest liczbą pi.

Podstawiając wyrażenie na A 0 do wzoru ogólnego, otrzymujemy objętość regularnej piramidy:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na przykład w przypadku piramidy trójkątnej formuła ta daje w wyniku następujące wyrażenie:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

W przypadku regularnej piramidy czworokątnej wzór na objętość ma postać:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Wyznaczanie objętości regularnych piramid wymaga znajomości boku ich podstawy i wysokości figury.

Ścięta piramida

Załóżmy, że wzięliśmy dowolną piramidę i odcięliśmy część jej powierzchni bocznej zawierającej wierzchołek. Pozostała figura nazywana jest piramidą ściętą. Składa się już z dwóch n-gonalnych podstaw i n łączących je trapezów. Jeśli płaszczyzna cięcia była równoległa do podstawy figury, wówczas powstaje ścięta piramida o podobnych równoległych podstawach. Oznacza to, że długości boków jednego z nich można uzyskać, mnożąc długości drugiego przez pewien współczynnik k.

Powyższy rysunek przedstawia obcięty regularny, widać, że jego górna podstawa, podobnie jak dolna, jest utworzona przez sześciokąt foremny.

Wzór, który można wyprowadzić za pomocą rachunku całkowego podobnego do powyższego, to:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Gdzie A 0 i A 1 to odpowiednio obszary dolnej (dużej) i górnej (małej) podstawy. Zmienna h oznacza wysokość ściętej piramidy.

Objętość piramidy Cheopsa

Interesujące jest rozwiązanie problemu określenia objętości, jaką zawiera w sobie największa egipska piramida.

W 1984 roku brytyjscy egiptolodzy Mark Lehner i Jon Goodman ustalili dokładne wymiary piramidy Cheopsa. Jej pierwotna wysokość wynosiła 146,50 m (obecnie ok. 137 m). Średnia długość każdego z czterech boków budowli wynosiła 230,363 m. Podstawa piramidy jest kwadratowa z dużą precyzją.

Na podstawie podanych liczb określmy objętość tego kamiennego olbrzyma. Ponieważ piramida jest regularna czworokątna, obowiązuje dla niej wzór:

Podstawiając liczby otrzymujemy:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Objętość piramidy Cheopsa wynosi prawie 2,6 miliona m3. Dla porównania zauważamy, że basen olimpijski ma objętość 2,5 tys. m 3. Oznacza to, że aby wypełnić całą piramidę Cheopsa, będziesz potrzebować ponad 1000 takich pul!