A trapéz szemközti oldalainak összege. Körülírt kör és trapéz

Ebben a cikkben megpróbáljuk a lehető legteljesebb mértékben tükrözni a trapéz tulajdonságait. Különösen a trapéz általános jellemzőiről és tulajdonságairól, valamint a beírt trapéz és a trapézba írt kör tulajdonságairól lesz szó. Kitérünk az egyenlő szárú és a téglalap alakú trapéz tulajdonságaira is.

Egy probléma megoldásának példája a tárgyalt tulajdonságok segítségével segít a fejedben lévő helyekre rendezni, és jobban megjegyezni az anyagot.

Trapéz és minden-minden

Először röviden idézzük fel, mi a trapéz, és milyen egyéb fogalmak kapcsolódnak hozzá.

Tehát a trapéz egy négyszög alakú alakzat, amelynek két oldala párhuzamos egymással (ezek az alapok). És a kettő nem párhuzamos – ezek az oldalak.

A trapézban a magasság csökkenthető - az alapokra merőlegesen. A középvonal és az átlók megrajzolódnak. A trapéz tetszőleges szögéből is lehet felezőt rajzolni.

Most az összes elemhez kapcsolódó különféle tulajdonságokról és azok kombinációiról fogunk beszélni.

A trapézátlók tulajdonságai

Az áttekinthetőség érdekében olvasás közben vázolja fel az ACME trapézt egy papírra, és rajzoljon bele átlókat.

1. Ha megtalálja az egyes átlók felezőpontját (nevezzük ezeket a pontokat X-nek és T-nek), és összekapcsolja őket, akkor kap egy szakaszt. A trapéz átlóinak egyik tulajdonsága, hogy a HT szakasz a középvonalon fekszik. És a hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy az alapok különbségét elosztjuk kettővel: ХТ = (a – b)/2.
2. Előttünk ugyanaz a trapéz ACME. Az átlók az O pontban metszik egymást. Nézzük meg az AOE és MOK háromszögeket, amelyeket az átlók szakaszai alkotnak a trapéz alapjaival együtt. Ezek a háromszögek hasonlóak. A háromszögek k hasonlósági együtthatóját a trapéz alapjainak arányával fejezzük ki: k = AE/KM.
   Az AOE és MOK háromszögek területének arányát a k 2 együttható írja le.
3. Ugyanaz a trapéz, ugyanazok az átlók metszik egymást az O pontban. Ezúttal csak azokat a háromszögeket vesszük figyelembe, amelyeket az átlók szakaszai a trapéz oldalaival együtt alkottak. Az AKO és az EMO háromszögek területei egyenlő méretűek - területeik azonosak.
4. A trapéz másik tulajdonsága átlók felépítése. Tehát, ha az AK és ME oldalát a kisebb bázis irányába folytatod, akkor előbb-utóbb egy bizonyos ponton metszik egymást. Ezután húzzon egy egyenes vonalat a trapéz alapjainak közepén. Az X és T pontokban metszi az alapokat.
   Ha most meghosszabbítjuk az XT egyenest, akkor az O trapéz átlóinak metszéspontját fogja összekötni, azt a pontot, ahol az X és T alapok oldalhosszabbításai és közepe metszik egymást.
5. Az átlók metszéspontján keresztül rajzolunk egy szakaszt, amely összeköti a trapéz alapjait (T a kisebb KM alapon, X a nagyobb AE-n található). Az átlók metszéspontja ezt a szakaszt a következő arányban osztja fel: TO/OX = KM/AE.
6. Most az átlók metszéspontján keresztül a trapéz alapjaival (a és b) párhuzamos szakaszt rajzolunk. A metszéspont két egyenlő részre osztja. A szegmens hosszát a képlet segítségével találhatja meg 2ab/(a + b).

A trapéz középvonalának tulajdonságai

Húzzuk meg a trapéz középvonalát az alapjaival párhuzamosan.

1. A trapéz középvonalának hosszát úgy számíthatjuk ki, hogy összeadjuk az alapok hosszát, és felezzük őket: m = (a + b)/2.
2. Ha bármely szakaszt (például magasságot) a trapéz mindkét alapján keresztül rajzol, a középső vonal két egyenlő részre osztja.

Trapézfelező tulajdonság

Válassza ki a trapéz tetszőleges szögét, és rajzoljon felezőt. Vegyük például az ACME trapézunk KAE szögét. Miután saját maga végezte el az építkezést, könnyen ellenőrizheti, hogy a felező levágja-e az alapból (vagy magán az ábrán kívüli egyenes vonalon történő folytatásából) az oldallal azonos hosszúságú szakaszt.

A trapézszögek tulajdonságai

1. Bármelyik oldallal szomszédos két szögpár közül melyiket választja, a pár szögeinek összege mindig 180 0: α + β = 180 0 és γ + δ = 180 0.
2. Kössük össze a trapéz alapjainak felezőpontjait egy TX szakasszal. Most nézzük meg a szögeket a trapéz alapjainál. Ha bármelyik szögösszege 90 0, akkor a TX szakasz hossza könnyen kiszámítható az alapok hosszának különbsége alapján, felezve: TX = (AE – KM)/2.
3. Ha párhuzamos egyeneseket húzunk egy trapézszög oldalain, akkor a szög oldalait arányos szegmensekre osztják.

Egyenlőszárú (egyenlő oldalú) trapéz tulajdonságai

1. Egy egyenlő szárú trapézban a szögek bármely alapnál egyenlőek.
2. Most készítsen újra egy trapézt, hogy könnyebb legyen elképzelni, miről beszélünk. Óvatosan nézze meg az AE bázist - a szemközti M bázis csúcsa az AE-t tartalmazó egyenes egy bizonyos pontjára vetül. Az A csúcs és az M csúcs vetületi pontja és az egyenlő szárú trapéz középvonala közötti távolság egyenlő.
3. Néhány szó az egyenlő szárú trapéz átlóinak tulajdonságairól - a hosszúságuk egyenlő. És ezeknek az átlóknak a trapéz alapjához viszonyított dőlésszöge is megegyezik.
4. Csak egy egyenlő szárú trapéz körül írható le kör, mivel egy négyszög szemközti szögeinek összege 180 0 - ennek előfeltétele.
5. Az egyenlő szárú trapéz tulajdonsága az előző bekezdésből következik - ha a trapéz közelében leírható egy kör, akkor az egyenlő szárú.
6. Az egyenlő szárú trapéz jellemzőiből következik a trapéz magasságának tulajdonsága: ha átlói derékszögben metszik egymást, akkor a magasság hossza egyenlő az alapok összegének felével: h = (a + b)/2.
7. Ismét rajzoljuk át a TX szakaszt a trapéz alapjainak felezőpontjain keresztül - egyenlő szárú trapéz esetén merőleges az alapokra. És ugyanakkor TX egy egyenlő szárú trapéz szimmetriatengelye.
8. Ezúttal csökkentse a magasságot a trapéz ellentétes csúcsától a nagyobb alapra (nevezzük a). Két szegmenst kapsz. Az egyik hosszát úgy kaphatjuk meg, ha az alapok hosszát összeadjuk és kettéosztjuk: (a + b)/2. A másodikat akkor kapjuk, ha a nagyobb bázisból kivonjuk a kisebbet, és a kapott különbséget elosztjuk kettővel: (a – b)/2.

A körbe írt trapéz tulajdonságai

Mivel már egy körbe írt trapézről beszélünk, térjünk át erre a kérdésre részletesebben. Különösen azon, ahol a kör középpontja a trapézhoz képest van. Itt is ajánlatos időt szánni ceruzát előkapni, és lerajzolni, amiről alább lesz szó. Így gyorsabban fog érteni és jobban emlékezni fog.

1. A kör középpontjának helyét a trapéz átlójának oldalához képesti dőlésszöge határozza meg. Például egy átló nyúlhat ki a trapéz tetejétől merőlegesen az oldalra. Ebben az esetben a nagyobb alap pontosan középen metszi a körülírt kör középpontját (R = ½AE).
2. Az átló és az oldal hegyesszögben is találkozhat - ekkor a kör középpontja a trapéz belsejében van.
3. A körülírt kör középpontja lehet a trapézon kívül, nagyobb alapján túl, ha a trapéz átlója és az oldala között tompaszög van.
4. Az ACME trapéz átlója és nagy alapja által alkotott szög (beírt szög) fele az ennek megfelelő középső szögnek: MAE = ½ MOE.
5. Röviden a körülírt kör sugarának meghatározásának két módjáról. Első módszer: nézze meg alaposan a rajzát – mit lát? Könnyen észreveheti, hogy az átló két háromszögre osztja a trapézt. A sugarat a háromszög oldalának az ellentétes szög szinuszához viszonyított arányával lehet megszorozni kettővel. Például, R = AE/2*sinAME. Hasonló módon a képlet mindkét háromszög bármelyik oldalára felírható.
6. Második módszer: keresse meg a körülírt kör sugarát a háromszög területén keresztül, amelyet a trapéz átlója, oldala és alapja alkot: R = AM*ME*AE/4*S AME.

A kör körül körülírt trapéz tulajdonságai

Egy kört a trapézba illeszthet, ha egy feltétel teljesül. Olvasson róla bővebben alább. És együtt ez a figurák kombinációja számos érdekes tulajdonsággal rendelkezik.

1. Ha egy kört trapézba írunk, akkor a középvonalának hosszát könnyen meg tudjuk állapítani, ha összeadjuk az oldalak hosszát, és a kapott összeget felezzük: m = (c + d)/2.
2. A kör körül leírt ACME trapéz esetében az alapok hosszának összege egyenlő az oldalak hosszának összegével: AK + ME = KM + AE.
3. A trapéz alapjainak ebből a tulajdonságából a fordított állítás következik: olyan trapézbe írható kör, amelynek alapjainak összege egyenlő az oldalainak összegével.
4. A trapézba írt r sugarú kör érintőpontja két szakaszra osztja az oldalt, nevezzük ezeket a-nak és b-nek. A kör sugara a következő képlettel számítható ki: r = √ab.
5. És még egy ingatlan. A félreértések elkerülése érdekében rajzolja ezt a példát maga is. Megvan a jó öreg ACME trapéz, egy körben leírva. Olyan átlókat tartalmaz, amelyek az O pontban metszik egymást. Az AOK és EOM háromszögek, amelyeket az átlók szakaszai és az oldalsó oldalak alkotnak, téglalap alakúak.
   Ezeknek a háromszögeknek a magassága a hipotenusokhoz (azaz a trapéz oldalsó oldalaihoz) süllyesztve egybeesik a beírt kör sugaraival. És a trapéz magassága egybeesik a beírt kör átmérőjével.

A téglalap alakú trapéz tulajdonságai

A trapézt négyszögletesnek nevezzük, ha az egyik szöge derékszögű. És tulajdonságai ebből a körülményből fakadnak.

1. A téglalap alakú trapéz egyik oldala merőleges az alapjára.
2. A derékszöggel szomszédos trapéz magassága és oldala egyenlő. Ez lehetővé teszi egy téglalap alakú trapéz területének kiszámítását (általános képlet S = (a + b) * h/2) nemcsak a magasságon, hanem a derékszöggel szomszédos oldalon keresztül is.
3. Téglalap alakú trapéz esetében a trapéz átlóinak fentebb már ismertetett általános tulajdonságai relevánsak.

A trapéz egyes tulajdonságainak bizonyítéka

Szögek egyenlősége egy egyenlő szárú trapéz alapjában:

• Valószínűleg már sejtette, hogy itt ismét szükségünk lesz az AKME trapézre - rajzoljon egy egyenlő szárú trapézt. Húzzunk egy MT egyenest az M csúcsból, párhuzamosan az AK oldalával (MT || AK).

Az eredményül kapott AKMT négyszög egy paralelogramma (AK || MT, KM || AT). Mivel ME = KA = MT, ∆ MTE egyenlő szárú és MET = MTE.

AK || MT, ezért MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Hol van AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Most egy egyenlő szárú trapéz tulajdonsága (átlók egyenlősége) alapján bebizonyítjuk, hogy Az ACME trapéz egyenlő szárú:

• Először húzzunk egy egyenest MX – MX || KE. Kapunk egy KMHE paralelogrammát (bázis – MX || KE és KM || EX).

∆AMX egyenlő szárú, mivel AM = KE = MX és MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, ezért MAE = MXE.

Kiderült, hogy az AKE és az EMA háromszögek egyenlőek egymással, mivel AM = KE és AE a két háromszög közös oldala. És még MAE = MXE. Megállapíthatjuk, hogy AK = ME, és ebből az következik, hogy az AKME trapéz egyenlő szárú.

Feladat áttekintése

Az ACME trapéz alapjai 9 cm és 21 cm, a KA oldaloldal 8 cm-nek megfelelő 150 0 -os szöget zár be a kisebb alappal. Meg kell találnia a trapéz területét.

Megoldás: A K csúcsról leengedjük a magasságot a trapéz nagyobbik alapjára. És kezdjük el nézni a trapéz szögeit.

Az AEM és KAN szögek egyoldalúak. Ez azt jelenti, hogy összesen 180 0-t adnak. Ezért KAN = 30 0 (a trapézszögek tulajdonsága alapján).

Nézzük most a téglalap alakú ∆ANC-t (úgy gondolom, hogy ez a pont nyilvánvaló az olvasók számára további bizonyítékok nélkül). Ebből megtaláljuk a KH trapéz magasságát - egy háromszögben ez egy láb, amely a 30 0 szöggel szemben fekszik. Ezért KH = ½AB = 4 cm.

A trapéz területét a következő képlettel határozzuk meg: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Utószó

Ha alaposan és átgondoltan tanulmányozta ezt a cikket, nem volt túl lusta ahhoz, hogy ceruzával a kezében trapézokat rajzoljon az összes adott tulajdonságra, és elemezze azokat a gyakorlatban, akkor jól el kellett volna sajátítania az anyagot.

Természetesen rengeteg információ található itt, változatos és néha zavaró is: nem olyan nehéz összetéveszteni a leírt trapéz tulajdonságait a beírt tulajdonságaival. De maga is látta, hogy óriási a különbség.

Most részletes vázlatot kap a trapéz összes általános tulajdonságáról. Valamint az egyenlő szárú és téglalap alakú trapézok sajátos tulajdonságait és jellemzőit. Nagyon kényelmesen használható tesztekre és vizsgákra való felkészüléshez. Próbáld ki te is, és oszd meg a linket ismerőseiddel!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ebben a cikkben megpróbáljuk a lehető legteljesebb mértékben tükrözni a trapéz tulajdonságait. Különösen a trapéz általános jellemzőiről és tulajdonságairól, valamint a beírt trapéz és a trapézba írt kör tulajdonságairól lesz szó. Kitérünk az egyenlő szárú és a téglalap alakú trapéz tulajdonságaira is.

Egy probléma megoldásának példája a tárgyalt tulajdonságok segítségével segít a fejedben lévő helyekre rendezni, és jobban megjegyezni az anyagot.

Trapéz és minden-minden

Először röviden idézzük fel, mi a trapéz, és milyen egyéb fogalmak kapcsolódnak hozzá.

Tehát a trapéz egy négyszög alakú alakzat, amelynek két oldala párhuzamos egymással (ezek az alapok). És a kettő nem párhuzamos – ezek az oldalak.

A trapézban a magasság csökkenthető - az alapokra merőlegesen. A középvonal és az átlók megrajzolódnak. A trapéz tetszőleges szögéből is lehet felezőt rajzolni.

Most az összes elemhez kapcsolódó különféle tulajdonságokról és azok kombinációiról fogunk beszélni.

A trapézátlók tulajdonságai

Az áttekinthetőség érdekében olvasás közben vázolja fel az ACME trapézt egy papírra, és rajzoljon bele átlókat.

1. Ha megtalálja az egyes átlók felezőpontját (nevezzük ezeket a pontokat X-nek és T-nek), és összekapcsolja őket, akkor kap egy szakaszt. A trapéz átlóinak egyik tulajdonsága, hogy a HT szakasz a középvonalon fekszik. És a hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy az alapok különbségét elosztjuk kettővel: ХТ = (a – b)/2.
2. Előttünk ugyanaz a trapéz ACME. Az átlók az O pontban metszik egymást. Nézzük meg az AOE és MOK háromszögeket, amelyeket az átlók szakaszai alkotnak a trapéz alapjaival együtt. Ezek a háromszögek hasonlóak. A háromszögek k hasonlósági együtthatóját a trapéz alapjainak arányával fejezzük ki: k = AE/KM.
   Az AOE és MOK háromszögek területének arányát a k 2 együttható írja le.
3. Ugyanaz a trapéz, ugyanazok az átlók metszik egymást az O pontban. Ezúttal csak azokat a háromszögeket vesszük figyelembe, amelyeket az átlók szakaszai a trapéz oldalaival együtt alkottak. Az AKO és az EMO háromszögek területei egyenlő méretűek - területeik azonosak.
4. A trapéz másik tulajdonsága átlók felépítése. Tehát, ha az AK és ME oldalát a kisebb bázis irányába folytatod, akkor előbb-utóbb egy bizonyos ponton metszik egymást. Ezután húzzon egy egyenes vonalat a trapéz alapjainak közepén. Az X és T pontokban metszi az alapokat.
   Ha most meghosszabbítjuk az XT egyenest, akkor az O trapéz átlóinak metszéspontját fogja összekötni, azt a pontot, ahol az X és T alapok oldalhosszabbításai és közepe metszik egymást.
5. Az átlók metszéspontján keresztül rajzolunk egy szakaszt, amely összeköti a trapéz alapjait (T a kisebb KM alapon, X a nagyobb AE-n található). Az átlók metszéspontja ezt a szakaszt a következő arányban osztja fel: TO/OX = KM/AE.
6. Most az átlók metszéspontján keresztül a trapéz alapjaival (a és b) párhuzamos szakaszt rajzolunk. A metszéspont két egyenlő részre osztja. A szegmens hosszát a képlet segítségével találhatja meg 2ab/(a + b).

A trapéz középvonalának tulajdonságai

Húzzuk meg a trapéz középvonalát az alapjaival párhuzamosan.

1. A trapéz középvonalának hosszát úgy számíthatjuk ki, hogy összeadjuk az alapok hosszát, és felezzük őket: m = (a + b)/2.
2. Ha bármely szakaszt (például magasságot) a trapéz mindkét alapján keresztül rajzol, a középső vonal két egyenlő részre osztja.

Trapézfelező tulajdonság

Válassza ki a trapéz tetszőleges szögét, és rajzoljon felezőt. Vegyük például az ACME trapézunk KAE szögét. Miután saját maga végezte el az építkezést, könnyen ellenőrizheti, hogy a felező levágja-e az alapból (vagy magán az ábrán kívüli egyenes vonalon történő folytatásából) az oldallal azonos hosszúságú szakaszt.

A trapézszögek tulajdonságai

1. Bármelyik oldallal szomszédos két szögpár közül melyiket választja, a pár szögeinek összege mindig 180 0: α + β = 180 0 és γ + δ = 180 0.
2. Kössük össze a trapéz alapjainak felezőpontjait egy TX szakasszal. Most nézzük meg a szögeket a trapéz alapjainál. Ha bármelyik szögösszege 90 0, akkor a TX szakasz hossza könnyen kiszámítható az alapok hosszának különbsége alapján, felezve: TX = (AE – KM)/2.
3. Ha párhuzamos egyeneseket húzunk egy trapézszög oldalain, akkor a szög oldalait arányos szegmensekre osztják.

Egyenlőszárú (egyenlő oldalú) trapéz tulajdonságai

1. Egy egyenlő szárú trapézban a szögek bármely alapnál egyenlőek.
2. Most készítsen újra egy trapézt, hogy könnyebb legyen elképzelni, miről beszélünk. Óvatosan nézze meg az AE bázist - a szemközti M bázis csúcsa az AE-t tartalmazó egyenes egy bizonyos pontjára vetül. Az A csúcs és az M csúcs vetületi pontja és az egyenlő szárú trapéz középvonala közötti távolság egyenlő.
3. Néhány szó az egyenlő szárú trapéz átlóinak tulajdonságairól - a hosszúságuk egyenlő. És ezeknek az átlóknak a trapéz alapjához viszonyított dőlésszöge is megegyezik.
4. Csak egy egyenlő szárú trapéz körül írható le kör, mivel egy négyszög szemközti szögeinek összege 180 0 - ennek előfeltétele.
5. Az egyenlő szárú trapéz tulajdonsága az előző bekezdésből következik - ha a trapéz közelében leírható egy kör, akkor az egyenlő szárú.
6. Az egyenlő szárú trapéz jellemzőiből következik a trapéz magasságának tulajdonsága: ha átlói derékszögben metszik egymást, akkor a magasság hossza egyenlő az alapok összegének felével: h = (a + b)/2.
7. Ismét rajzoljuk át a TX szakaszt a trapéz alapjainak felezőpontjain keresztül - egyenlő szárú trapéz esetén merőleges az alapokra. És ugyanakkor TX egy egyenlő szárú trapéz szimmetriatengelye.
8. Ezúttal csökkentse a magasságot a trapéz ellentétes csúcsától a nagyobb alapra (nevezzük a). Két szegmenst kapsz. Az egyik hosszát úgy kaphatjuk meg, ha az alapok hosszát összeadjuk és kettéosztjuk: (a + b)/2. A másodikat akkor kapjuk, ha a nagyobb bázisból kivonjuk a kisebbet, és a kapott különbséget elosztjuk kettővel: (a – b)/2.

A körbe írt trapéz tulajdonságai

Mivel már egy körbe írt trapézről beszélünk, térjünk át erre a kérdésre részletesebben. Különösen azon, ahol a kör középpontja a trapézhoz képest van. Itt is ajánlatos időt szánni ceruzát előkapni, és lerajzolni, amiről alább lesz szó. Így gyorsabban fog érteni és jobban emlékezni fog.

1. A kör középpontjának helyét a trapéz átlójának oldalához képesti dőlésszöge határozza meg. Például egy átló nyúlhat ki a trapéz tetejétől merőlegesen az oldalra. Ebben az esetben a nagyobb alap pontosan középen metszi a körülírt kör középpontját (R = ½AE).
2. Az átló és az oldal hegyesszögben is találkozhat - ekkor a kör középpontja a trapéz belsejében van.
3. A körülírt kör középpontja lehet a trapézon kívül, nagyobb alapján túl, ha a trapéz átlója és az oldala között tompaszög van.
4. Az ACME trapéz átlója és nagy alapja által alkotott szög (beírt szög) fele az ennek megfelelő középső szögnek: MAE = ½ MOE.
5. Röviden a körülírt kör sugarának meghatározásának két módjáról. Első módszer: nézze meg alaposan a rajzát – mit lát? Könnyen észreveheti, hogy az átló két háromszögre osztja a trapézt. A sugarat a háromszög oldalának az ellentétes szög szinuszához viszonyított arányával lehet megszorozni kettővel. Például, R = AE/2*sinAME. Hasonló módon a képlet mindkét háromszög bármelyik oldalára felírható.
6. Második módszer: keresse meg a körülírt kör sugarát a háromszög területén keresztül, amelyet a trapéz átlója, oldala és alapja alkot: R = AM*ME*AE/4*S AME.

A kör körül körülírt trapéz tulajdonságai

Egy kört a trapézba illeszthet, ha egy feltétel teljesül. Olvasson róla bővebben alább. És együtt ez a figurák kombinációja számos érdekes tulajdonsággal rendelkezik.

1. Ha egy kört trapézba írunk, akkor a középvonalának hosszát könnyen meg tudjuk állapítani, ha összeadjuk az oldalak hosszát, és a kapott összeget felezzük: m = (c + d)/2.
2. A kör körül leírt ACME trapéz esetében az alapok hosszának összege egyenlő az oldalak hosszának összegével: AK + ME = KM + AE.
3. A trapéz alapjainak ebből a tulajdonságából a fordított állítás következik: olyan trapézbe írható kör, amelynek alapjainak összege egyenlő az oldalainak összegével.
4. A trapézba írt r sugarú kör érintőpontja két szakaszra osztja az oldalt, nevezzük ezeket a-nak és b-nek. A kör sugara a következő képlettel számítható ki: r = √ab.
5. És még egy ingatlan. A félreértések elkerülése érdekében rajzolja ezt a példát maga is. Megvan a jó öreg ACME trapéz, egy körben leírva. Olyan átlókat tartalmaz, amelyek az O pontban metszik egymást. Az AOK és EOM háromszögek, amelyeket az átlók szakaszai és az oldalsó oldalak alkotnak, téglalap alakúak.
   Ezeknek a háromszögeknek a magassága a hipotenusokhoz (azaz a trapéz oldalsó oldalaihoz) süllyesztve egybeesik a beírt kör sugaraival. És a trapéz magassága egybeesik a beírt kör átmérőjével.

A téglalap alakú trapéz tulajdonságai

A trapézt négyszögletesnek nevezzük, ha az egyik szöge derékszögű. És tulajdonságai ebből a körülményből fakadnak.

1. A téglalap alakú trapéz egyik oldala merőleges az alapjára.
2. A derékszöggel szomszédos trapéz magassága és oldala egyenlő. Ez lehetővé teszi egy téglalap alakú trapéz területének kiszámítását (általános képlet S = (a + b) * h/2) nemcsak a magasságon, hanem a derékszöggel szomszédos oldalon keresztül is.
3. Téglalap alakú trapéz esetében a trapéz átlóinak fentebb már ismertetett általános tulajdonságai relevánsak.

A trapéz egyes tulajdonságainak bizonyítéka

Szögek egyenlősége egy egyenlő szárú trapéz alapjában:

• Valószínűleg már sejtette, hogy itt ismét szükségünk lesz az AKME trapézre - rajzoljon egy egyenlő szárú trapézt. Húzzunk egy MT egyenest az M csúcsból, párhuzamosan az AK oldalával (MT || AK).

Az eredményül kapott AKMT négyszög egy paralelogramma (AK || MT, KM || AT). Mivel ME = KA = MT, ∆ MTE egyenlő szárú és MET = MTE.

AK || MT, ezért MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Hol van AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Most egy egyenlő szárú trapéz tulajdonsága (átlók egyenlősége) alapján bebizonyítjuk, hogy Az ACME trapéz egyenlő szárú:

• Először húzzunk egy egyenest MX – MX || KE. Kapunk egy KMHE paralelogrammát (bázis – MX || KE és KM || EX).

∆AMX egyenlő szárú, mivel AM = KE = MX és MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, ezért MAE = MXE.

Kiderült, hogy az AKE és az EMA háromszögek egyenlőek egymással, mivel AM = KE és AE a két háromszög közös oldala. És még MAE = MXE. Megállapíthatjuk, hogy AK = ME, és ebből az következik, hogy az AKME trapéz egyenlő szárú.

Feladat áttekintése

Az ACME trapéz alapjai 9 cm és 21 cm, a KA oldaloldal 8 cm-nek megfelelő 150 0 -os szöget zár be a kisebb alappal. Meg kell találnia a trapéz területét.

Megoldás: A K csúcsról leengedjük a magasságot a trapéz nagyobbik alapjára. És kezdjük el nézni a trapéz szögeit.

Az AEM és KAN szögek egyoldalúak. Ez azt jelenti, hogy összesen 180 0-t adnak. Ezért KAN = 30 0 (a trapézszögek tulajdonsága alapján).

Nézzük most a téglalap alakú ∆ANC-t (úgy gondolom, hogy ez a pont nyilvánvaló az olvasók számára további bizonyítékok nélkül). Ebből megtaláljuk a KH trapéz magasságát - egy háromszögben ez egy láb, amely a 30 0 szöggel szemben fekszik. Ezért KH = ½AB = 4 cm.

A trapéz területét a következő képlettel határozzuk meg: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Utószó

Ha alaposan és átgondoltan tanulmányozta ezt a cikket, nem volt túl lusta ahhoz, hogy ceruzával a kezében trapézokat rajzoljon az összes adott tulajdonságra, és elemezze azokat a gyakorlatban, akkor jól el kellett volna sajátítania az anyagot.

Természetesen rengeteg információ található itt, változatos és néha zavaró is: nem olyan nehéz összetéveszteni a leírt trapéz tulajdonságait a beírt tulajdonságaival. De maga is látta, hogy óriási a különbség.

Most részletes vázlatot kap a trapéz összes általános tulajdonságáról. Valamint az egyenlő szárú és téglalap alakú trapézok sajátos tulajdonságait és jellemzőit. Nagyon kényelmesen használható tesztekre és vizsgákra való felkészüléshez. Próbáld ki te is, és oszd meg a linket ismerőseiddel!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

FGKOU "MKK" Panzió az Orosz Föderáció Védelmi Minisztériumának tanulói számára

"JÓVÁHAGYOTT"

Külön tudományág vezetője

(matematika, számítástechnika és IKT)

Yu. V. Krylova _____________

"___" _____________ 2015

« A trapéz és tulajdonságai»

Módszertani fejlesztés

matematika tanár

Shatalina Elena Dmitrievna

Áttekintette és

a PMO _______________-i ülésén

______ számú jegyzőkönyv

Moszkva

2015

Tartalomjegyzék

Bevezetés 2

Meghatározások 3

Egy egyenlő szárú trapéz tulajdonságai 4

Beírt és körülírt körök 7

A beírt és körülírt trapézok tulajdonságai 8

Átlagértékek a 12-es trapézben

Egy tetszőleges trapéz tulajdonságai 15

A trapéz jelei 18

További konstrukciók a 20-as trapézban

Trapéz terület 25

10. Következtetés

Bibliográfia

Alkalmazás

A trapéz egyes tulajdonságainak bizonyítéka 27

Önálló munkához szükséges feladatok

Problémák a megnövekedett összetettségű „Trapéz” témában

Szűrőteszt a „Trapéz” témában

Bevezetés

Ezt a munkát egy trapéznek nevezett geometriai alakzatnak szentelték. „Közönséges figura” – mondod, de nem így van. Rengeteg titkot és rejtélyt rejt magában, ha közelebbről megvizsgálja és tovább tanulmányozza, sok új dolgot fedezhet fel a geometria világában, a korábban meg nem oldott problémák könnyűnek tűnnek.

Trapéz - a görög trapéz szó - „asztal”. Hitelfelvétel a 18. században a lat. nyelv, ahol a trapéz a görög. Ez egy négyszög, amelynek két szemközti oldala párhuzamos. A trapézzel először az ókori görög tudós, Posidonius találkozott (Kr. e. 2. század). Sok különböző figura van az életünkben. 7. osztályban közelről megismerkedtünk a háromszöggel, a 8. osztályban az iskolai tanterv szerint kezdtük el a trapéz tanulmányozását. Ez az alak érdekelt bennünket, és a tankönyvben megengedhetetlenül keveset írnak róla. Ezért úgy döntöttünk, hogy kezünkbe vesszük ezt az ügyet, és információkat keresünk a trapézról. tulajdonságait.

A munka a tankönyv anyagából a tanulók számára ismert, de többnyire ismeretlen tulajdonságokat vizsgálja, amelyek komplex problémák megoldásához szükségesek. Minél több a megoldandó probléma, annál több kérdés merül fel a megoldásuk során. A válasz ezekre a kérdésekre olykor rejtélynek tűnik, a trapéz új tulajdonságainak, a szokatlan problémamegoldási módszereknek, valamint a további konstrukciók technikájának megismerésével fokozatosan felfedezzük a trapéz titkait. Az interneten, ha beírja egy keresőbe, nagyon kevés irodalom található a „trapéz” témájú problémák megoldásának módszereiről. A projekten való munka során nagy mennyiségű információt találtak, amelyek segítenek a diákoknak a geometria alapos tanulmányozásában.

Trapéz alakú.

Definíciók

Trapéz alakú – olyan négyszög, amelyben csak az egyik oldalpár párhuzamos (a másik oldalpár pedig nem párhuzamos).

A trapéz párhuzamos oldalait ún okokból. A másik kettő az oldal .
Ha az oldalak egyenlőek, akkor trapéznek nevezzük egyenlő szárú

Olyan trapéznek nevezzük, amelynek oldalai derékszögűek négyszögletes

Az oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt úntrapéz középvonala.

Az alapok közötti távolságot a trapéz magasságának nevezzük.

2 . Az egyenlő szárú trapéz tulajdonságai

3. Egy egyenlő szárú trapéz átlói egyenlőek.

4

1
0. Egy egyenlő szárú trapéz oldalsó oldalának vetítése a nagyobb alapra egyenlő az alapok különbségének felével, az átló vetülete pedig az alapok összegével.

3. Beírt és körülírt kör

Ha egy trapéz alapjainak összege egyenlő az oldalak összegével, akkor kör írható bele.

E
Ha a trapéz egyenlő szárú, akkor kör írható le körülötte.

4. A beírt és körülírt trapézok tulajdonságai

2.Ha egy egyenlő szárú trapézba kör írható, akkor

az alapok hosszának összege egyenlő az oldalak hosszának összegével. Ezért az oldal hossza megegyezik a trapéz középvonalának hosszával.

4 . Ha egy kört trapézba írunk, akkor a középpontjától számítva 90°-os szögben láthatók az oldalak.

Ha egy kör trapézba van írva és érinti az egyik oldalát, akkor szakaszokra osztja més n , akkor a beírt kör sugara megegyezik ezen szakaszok geometriai átlagával.

1

0 . Ha a trapéz kisebbik alapjára átmérőként egy kört építünk, amely átmegy az átlók felezőpontjain és érinti az alsó alapot, akkor a trapéz szögei 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Átlagértékek trapézban

Geometriai átlag

Bármilyen trapézban, talpakkal a És b Mert a > baz egyenlőtlenség igaz :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Tetszőleges trapéz tulajdonságai

1
. A trapéz átlóinak felezőpontjai és az oldalsó oldalak felezőpontjai ugyanazon az egyenesen vannak.

2. A trapéz egyik oldalsó oldalával szomszédos szögfelezők merőlegesek, és a trapéz középvonalán fekvő pontban metszik egymást, azaz metszésükkor derékszögű háromszög keletkezik, amelynek befogója megegyezik az oldalirányúval oldal.

3. A trapéz alapjaival párhuzamos, a trapéz oldaloldalait és átlóit metsző egyenes szakaszai, amelyek az oldalsó oldal és az átló közé záródnak, egyenlőek.

Egy tetszőleges trapéz oldalainak meghosszabbításának metszéspontja, átlóinak metszéspontja és az alapok felezőpontja ugyanazon az egyenesen található.

5. Ha egy tetszőleges trapéz átlói metszik egymást, akkor négy háromszög jön létre közös csúcsponttal, és az alapokkal szomszédos háromszögek hasonlóak, az oldalakkal szomszédos háromszögek pedig egyenlő méretűek (azaz egyenlő területük van).

6. Egy tetszőleges trapéz átlóinak négyzetösszege megegyezik az alapok szorzatának kétszereséhez hozzáadott oldaloldalak négyzetösszegével.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. Egy téglalap alakú trapézben az átlók négyzeteinek különbsége megegyezik az alapok négyzeteinek különbségével d 1 2 - d 2 2 = a 2 – b 2

8 . A szög oldalait metsző egyenesek arányos szegmenseket vágnak le a szög oldalairól.

9. Az alapokkal párhuzamos és az átlók metszéspontján átmenő szakaszt ez utóbbival kettéosztjuk.

7. A trapéz jelei

8. További konstrukciók trapézban

1. Az oldalak felezőpontjait összekötő szakasz a trapéz középvonala.

2
. A trapéz egyik oldalsó oldalával párhuzamos szakasz, amelynek egyik vége egybeesik a másik oldaloldal közepével, a másik az alapot tartalmazó egyeneshez tartozik.

3
. Ha egy trapéz minden oldala adott, akkor a kisebbik alap csúcsán keresztül az oldallal párhuzamos egyenest húzzuk. Az eredmény egy háromszög, amelynek oldalai megegyeznek a trapéz oldalsó oldalaival és az alapok különbségével. A Heron-képlet segítségével keresse meg a háromszög területét, majd a háromszög magasságát, amely megegyezik a trapéz magasságával.

4

. Az egyenlő szárú trapéz magassága, amelyet a kisebbik alap csúcsából húzunk, a nagyobb alapot szakaszokra osztja, amelyek közül az egyik egyenlő az alapok különbségének felével, a másik pedig a trapéz alapjainak összegének felével, azaz a trapéz középvonala.

5. Az egyik alap csúcsaiból lesüllyesztett trapéz magasságait a másik alapot tartalmazó egyenesen, az első alappal megegyező szakaszon vágjuk ki.

6
. A trapéz egyik átlójával párhuzamos szakaszt egy csúcson keresztül húzunk - egy ponton, amely a másik átló vége. Az eredmény egy háromszög, amelynek két oldala egyenlő a trapéz átlóival, a harmadik pedig az alapok összegével

7
.Az átlók felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő a trapéz alapjai közötti különbség felével.

8. A trapéz egyik oldalsó oldalával szomszédos szögfelezők merőlegesek, és a trapéz középvonalán fekvő pontban metszik egymást, azaz metszésükkor derékszögű háromszög keletkezik, amelynek befogója megegyezik az oldalirányúval oldal.

9. A trapézszög felezője levág egy egyenlő szárú háromszöget.

1
0. Egy tetszőleges trapéz átlói metszéskor két hasonló háromszöget alkotnak, amelyek hasonlósági együtthatója megegyezik az alapok arányával, és két egyenlő háromszöget az oldalsó oldalakkal szomszédos.

1
1. Egy tetszőleges trapéz átlói metszés közben két hasonló háromszöget alkotnak, amelyek hasonlósági együtthatója megegyezik az alapok arányával, és két egyenlő háromszöget az oldalsó oldalakkal szomszédos.

1
2. A trapéz oldalainak a metszéspontig való folytatása lehetővé teszi hasonló háromszögek figyelembevételét.

13. Ha egy egyenlő szárú trapézba egy kör van beírva, akkor számítsa ki a trapéz magasságát - a trapéz alapjainak szorzatának geometriai átlagát vagy annak az oldalsó oldalnak a szegmenseinek a geometriai átlagának kétszeresét az érintési ponttal van osztva.

9. Trapéz területe

1 . A trapéz területe egyenlő az alapok és a magasság felének szorzatával S = ½( a + b) h vagy

P

A trapéz területe egyenlő a trapéz középvonalának és magasságának szorzatával S = m h .

2. A trapéz területe egyenlő a másik oldal közepétől az első oldalt tartalmazó egyenesre húzott oldal és a merőleges szorzatával.

Egy egyenlő szárú trapéz területe, amelynek kör sugara egyenlő rés szög az alapnálα :

10. Következtetés

HOL, HOGYAN ÉS MIRE ALKALMAZHATÓ A TRAPÉZ?

Trapéz a sportban: A trapéz minden bizonnyal az emberiség progresszív találmánya. Úgy tervezték, hogy tehermentesítse a kezünket, és kényelmes és könnyű pihenést biztosítson a szörfözésnek. A rövid deszkán való járásnak nincs értelme trapéz nélkül, mivel e nélkül lehetetlen a tapadást helyesen elosztani a lépés és a lábak között, és hatékonyan felgyorsulni.

Trapéz a divatban: A ruházati trapéz már a középkorban, a 9-11. század román korában volt népszerű. Akkoriban a női ruházat alapját a földig érő tunikák képezték, az alsó irány felé a tunika erősen kitágul, ami trapéz hatást keltett. A sziluett újjáéledése 1961-ben történt, és a fiatalság, a függetlenség és a kifinomultság himnuszává vált. A trapéz népszerűsítésében óriási szerepet játszott a törékeny modell, Leslie Hornby, Twiggy néven. Egy alacsony, anorexiás testalkatú, hatalmas szemű lány a kor szimbólumává vált, kedvenc öltözékei pedig a rövid a-vonalú ruhák voltak.

Trapéz a természetben: A trapéz a természetben is megtalálható. Az embereknek trapéz izomzata van, és néhány embernek trapéz alakú az arca. A virágszirmok, a csillagképek és természetesen a Kilimandzsáró-hegy is trapéz alakú.

Trapéz a mindennapi életben: A trapéz a mindennapi életben is használatos, mert praktikus a formája. Olyan tárgyakban található meg, mint: kotró vödör, asztal, csavar, gép.

A trapéz az inka építészet szimbóluma. Az inka építészet domináns stílusformája egyszerű, de kecses – a trapéz. Ennek nemcsak funkcionális jelentősége van, hanem szigorúan korlátozott művészi kialakítása is. Trapéz alakú ajtónyílások, ablakok és falfülkék minden típusú épületben megtalálhatók, mind a templomokban, mind a durvább szerkezetű kisebb épületekben. A trapéz a modern építészetben is megtalálható. Ez az épületforma szokatlan, ezért az ilyen épületek mindig vonzzák a járókelők tekintetét.

Trapéz a technológiában: A trapézt az űrtechnológia és a repülés alkatrészek tervezésénél használják. Például egyes napelemek az űrállomásokon trapéz alakúak, mert nagy területük van, ami azt jelenti, hogy több napenergiát halmoznak fel.

A 21. században az emberek gyakorlatilag már nem gondolnak a geometriai formák jelentésére az életükben. Egyáltalán nem érdekli őket, milyen formájú az asztaluk, a szemüvegük vagy a telefonjuk. Egyszerűen a praktikus formát választják. De a tárgy használata, célja és a munka eredménye függhet ennek vagy annak a dolognak a formájától. Ma bemutattuk Önnek az emberiség egyik legnagyobb vívmányát, a trapézt. Kinyitottuk az ajtót a figurák csodálatos világába, elmondtuk a trapéz titkait, és megmutattuk, hogy a geometria körülöttünk van.

Bibliográfia

Bolotov A.A., Prokhorenko V.I., Safonov V.F., Matematika elmélet és problémák. 1. könyv Tanulmányi útmutató pályázóknak M.1998 MPEI Kiadó.

Bykov A.A., Malyshev G.Yu., GUVS Egyetem előtti képzési kar. Matematika. Oktatási és módszertani kézikönyv 4 rész M2004

Gordin R.K. Planimetria. Probléma könyv.

Ivanov A.A. Ivanov A.P., Matematika: Útmutató az egységes államvizsgára való felkészüléshez és az egyetemi felvételihez - M: MIPT Kiadó, 2003-288p. ISBN 5-89155-188-3

Pigolkina T.S., az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma, Szövetségi Állami Költségvetési Gyermekek Kiegészítő Oktatási Intézete „ZFTSH Moszkvai Fizikai és Technológiai Intézet (Állami Egyetem)”. Matematika. Planimetria. A 10. évfolyamok 2. számú feladatai (2012-2013 tanév).

Pigolkina T.S., Planimetry (1. rész). A belépő matematikai enciklopédiája. M., Orosz Nyílt Egyetemi Kiadó 1992.

Sharygin I.F. Válogatott geometriai problémák egyetemi versenyvizsgákhoz (1987-1990) Lvov Magazin „Quantor” 1991.

Enciklopédia "Avanta Plus", Mathematics M., World of Encyclopedias Avanta 2009.

Alkalmazás

1. A trapéz egyes tulajdonságainak bizonyítása.

1. A trapéz alapjaival párhuzamos átlóinak metszéspontján áthaladó egyenes vonal metszi a trapéz oldalsó oldalait a pontokbanK És L . Bizonyítsuk be, hogy ha egy trapéz alapjai egyenlőek A És b , Azt szegmens hossza KL egyenlő a trapéz alapjainak geometriai átlagával. Bizonyíték

HaddRÓL RŐL - az átlók metszéspontja,HIRDETÉS = a, nap = b . Közvetlen KL párhuzamos az alappalHIRDETÉS , ennélfogva,K RÓL RŐL║ HIRDETÉS , háromszögekBAN BEN K RÓL RŐL ÉsROSSZ hasonlóak tehát

(1)

(2)

Helyettesítsük (2)-et (1)-be, megkapjuk KO =

Hasonlóképpen L.O.= Akkor K L = K.O. + L.O. =

BAN BEN Bármely trapéz esetében az alapok felezőpontja, az átlók metszéspontja és az oldalsó oldalak folytatásának metszéspontja ugyanazon az egyenesen fekszik.

Bizonyítás: Az oldalak meghosszabbításai a pontban metsszék egymástNAK NEK. A ponton keresztülNAK NEK és időszakRÓL RŐL átlós kereszteződésekhúzzunk egy egyenest CO.

K

Bizonyítsuk be, hogy ez az egyenes kettéosztja az alapokat.

RÓL RŐL jelentősVM = x, MS = y, AN = És, ND = v . Nekünk van:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

∆ MK C ~ ∆NKD → →

Projektmunka „A trapéz érdekes tulajdonságai” Elkészítették: 10. osztályos tanulók Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU Középiskola s. N.Batako Vezető: Gagieva A.O. 2015. november 20

A munka célja: A trapéz azon tulajdonságainak figyelembe vétele, amelyeket az iskolai geometria szakon nem tanulunk, de az Egységes Államvizsga geometriai feladatainak megoldása során a bővített C 4 részből szükséges lehet ismerni és tudni pontosan ezeket a tulajdonságokat alkalmazza.

A trapéz tulajdonságai: Ha egy trapézt az a-val és b-vel egyenlő alapjaival párhuzamos egyenessel két egyenlő trapézre osztunk. Ekkor ennek az egyenesnek az oldalsó oldalai közé zárt szakasza egyenlő a B-vel

A trapéz átlóinak metszéspontján átmenő szakasz tulajdonsága. Az átlók metszéspontján átmenő alapokkal párhuzamos szakasz egyenlő: a in c

A trapéz tulajdonságai: A trapéz alapjaival párhuzamos, a trapéz belsejébe zárt egyenes szakaszt átlóival három részre osztjuk. Ekkor az oldalakkal szomszédos szegmensek egyenlőek egymással. MP=OK R M O K

Egyenlőszárú trapéz tulajdonságai: Ha a kör trapézba írható, akkor a kör sugara azokkal a szakaszokkal arányos átlag, amelyekre az érintőpont az oldalt felosztja. O S V A D. E O

Egyenlőszárú trapéz tulajdonságai: Ha a körülírt kör középpontja a trapéz alapjában van, akkor az átlója merőleges az O A B C D oldalra

Egyenlő szárú trapéz tulajdonságai: Egyenlő szárú trapézba egy kör írható be, ha az oldaloldal egyenlő a középvonalával. S V A D h

1) Ha a problémafelvetés azt mondja, hogy egy kör egy téglalap alakú trapézbe van beírva, akkor a következő tulajdonságokat használhatja: 1. A trapéz alapjainak összege egyenlő az oldalak összegével. 2. A trapéz csúcsától a beírt kör érintőpontjaihoz mért távolságok egyenlőek. 3. Egy téglalap alakú trapéz magassága megegyezik a kisebbik oldalával és a beírt kör átmérőjével. 4. A beírt kör középpontja a trapéz szögfelezőinek metszéspontja. 5. Ha az érintőpont az oldalt m és n szakaszokra osztja, akkor a beírt kör sugara egyenlő

A téglalap alakú trapéz tulajdonságai, amelybe kör van írva: 1) A beírt kör középpontja, az érintkezési pontok és a trapéz csúcsa által alkotott négyszög - egy négyzet, amelynek oldala megegyezik a sugárral. (Az AMOE és a BKOM r oldalú négyzetek). 2) Ha egy kört egy téglalap alakú trapézba írunk, akkor a trapéz területe megegyezik az alapjainak szorzatával: S=AD*BC

Bizonyítás: A trapéz területe alapjai összegének felének és magasságának szorzata: Jelöljük CF=m, FD=n. Mivel a csúcsok és az érintőpontok távolsága egyenlő, a trapéz magassága megegyezik a beírt kör két sugarával, és

I. A trapéz oldalsó oldalán lévő szögfelezők 90°-os szögben metszik egymást. 1)∠ABC+∠BAD=180º (belső egyoldalasként AD∥BC-vel és AB szekcióval). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (mivel a felezők felezik a szögeket). 3) Mivel egy háromszög szögeinek összege 180º, az ABK háromszögben: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, tehát ∠AKB=180-90=90º. Következtetés: A trapéz oldalsó oldalán lévő szögfelezők derékszögben metszik egymást. Ezt az állítást olyan trapézon való feladatok megoldására használjuk, amelybe kör van írva.

I I. A trapéz oldalirányú oldalával szomszédos felezőinek metszéspontja a trapéz középvonalán fekszik. Az ABC szög felezője az AD oldalt az S pontban metszi. Ekkor az ABS háromszög egyenlő szárú a BS alappal, ami azt jelenti, hogy AK felezője egyben medián, azaz K pont a BS felezőpontja. Ha M és N a trapéz oldalsó oldalainak felezőpontja, akkor MN a trapéz felezővonala és MN∥AD. Mivel M és K az AB és BS felezőpontjai, ezért MK az ABS és MK∥AS háromszög felezővonala. Mivel az M ponton csak egy ezzel párhuzamos egyenes húzható, a K pont a trapéz középvonalán fekszik.

III. A hegyesszögek felezőinek metszéspontja a trapéz alapjában egy másik alaphoz tartozik. Ebben az esetben az ABK és DCK háromszögek egyenlő szárúak AK, illetve DK bázisokkal. Így BC=BK+KC=AB+CD. Következtetés: Ha egy trapéz hegyesszögeinek felezői a kisebbik alaphoz tartozó pontban metszik egymást, akkor a kisebbik alap egyenlő a trapéz oldaloldalainak összegével. Az egyenlő szárú trapéz alapja ebben az esetben kétszer akkora, mint az oldala.

I V. A tompaszögek felezőpontjainak metszéspontja a trapéz alapjában egy másik alaphoz tartozik. Ebben az esetben az ABF és DCF háromszögek egyenlő szárúak, BF és CF bázisokkal. Ezért AD=AF+FD=AB+CD. Következtetés: Ha egy trapéz tompaszögeinek felezővonalai a nagyobb alaphoz tartozó pontban metszik egymást, akkor a nagyobb alap egyenlő a trapéz oldaloldalainak összegével. Ebben az esetben egy egyenlő szárú trapéznek nagyobb az alapja, amely kétszer akkora, mint az oldala.

Ha egy a, b, c, d oldalú egyenlő szárú trapéz felírható és körök rajzolhatók köré, akkor a trapéz területe

A trapéz négyszögű geometriai alakzat. A trapéz készítésekor fontos figyelembe venni, hogy két szemközti oldal párhuzamos, a másik kettő pedig éppen ellenkezőleg, nem párhuzamos egymáshoz képest. Ez a szó az ókori Görögországból jött a modern időkbe, és úgy hangzott, mint „trapedzion”, ami „asztalt”, „étkezőasztalt” jelent.

Ez a cikk a körre körülírt trapéz tulajdonságairól szól. Megvizsgáljuk ezen ábra típusait és elemeit is.

A geometriai alaktrapéz elemei, típusai, jellemzői

Az ábrán látható párhuzamos oldalakat alapoknak, a nem párhuzamos oldalakat pedig oldalaknak nevezzük. Feltéve, hogy az oldalak azonos hosszúságúak, a trapéz egyenlő szárúnak tekinthető. Téglalapnak nevezzük azt a trapézt, amelynek oldalai merőlegesek az alapra 90°-os szögben.

Ez a látszólag egyszerű figura számos tulajdonsággal rendelkezik, hangsúlyozva jellemzőit:

1. Ha egy középső vonalat rajzol az oldalak mentén, akkor az párhuzamos lesz az alapokkal. Ez a szegmens egyenlő lesz az alapok különbségének 1/2-ével.
2. Ha a trapéz bármely sarkából felezőmetszetet készítünk, egyenlő oldalú háromszög keletkezik.
3. A kör körül leírt trapéz tulajdonságaiból ismert, hogy a párhuzamos oldalak összegének egyenlőnek kell lennie az alapok összegével.
4. Átlós szakaszok készítésekor, ahol az egyik oldal egy trapéz alapja, a kapott háromszögek hasonlóak lesznek.
5. Átlós szakaszok készítésekor, ahol az egyik oldal oldalirányú, a kapott háromszögek területe egyenlő lesz.
6. Ha folytatjuk az oldalvonalakat, és az alap közepéből szegmenst építünk, akkor a kialakult szög 90° lesz. Az alapokat összekötő szakasz a különbségük 1/2-ével lesz egyenlő.

A kör körül körülírt trapéz tulajdonságai

Egy kör trapézba zárása csak egy feltétellel lehetséges. Ez a feltétel az, hogy az oldalak összegének egyenlőnek kell lennie az alapok összegével. Például egy trapéz AFDM készítésekor az AF + DM = FD + AM az alkalmazható. Csak ebben az esetben lehet egy kört trapézba zárni.

Tehát többet a kör körül leírt trapéz tulajdonságairól:

1. Ha egy kör trapézba van zárva, akkor annak az egyenesének a hosszának meghatározásához, amely az ábrát felére metszi, meg kell találni az oldalak hosszának összegének 1/2-ét.
2. A kör körül körülírt trapéz megalkotásakor a kialakult befogó megegyezik a kör sugarával, és a trapéz magassága egyben a kör átmérője is.
3. A körre körülírt egyenlő szárú trapéz másik tulajdonsága, hogy az oldala a kör középpontjából 90°-os szögben azonnal látható.

Kicsit bővebben a körbe zárt trapéz tulajdonságairól

Körbe csak egyenlő szárú trapéz írható. Ez azt jelenti, hogy teljesíteni kell azokat a feltételeket, amelyek mellett a megépített AFDM trapéz megfelel a következő követelményeknek: AF + DM = FD + MA.

Ptolemaiosz tétele kimondja, hogy egy körbe zárt trapézben az átlók szorzata azonos, és egyenlő a szemközti oldalak összegének szorzatával. Ez azt jelenti, hogy az AFDM trapéz körül körülírt kör megalkotásakor a következők érvényesek: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Az iskolai vizsgákon gyakran vannak olyan problémák, amelyekhez trapézzel kell megoldani a problémákat. Nagyon sok tételt kell megjegyezni, de ha nem tudod azonnal megtanulni, az nem számít. A legjobb, ha rendszeres időközönként a tankönyvekben található tippeket folyamodik, hogy ez a tudás magától, különösebb nehézség nélkül beleférjen a fejébe.