Mi a teendő, ha a logaritmusoknak különböző alapjai vannak. Logaritmusok számítása, példák, megoldások

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).

\(a^(b)=c\) \(\balra jobbra nyíl\) \(\log_(a)(c)=b\)

Magyarázzuk meg egyszerűbben. Például a \(\log_(2)(8)\) egyenlő azzal a hatvánnyal, amelyre a \(2\)-t fel kell emelni, hogy \(8\) legyen. Ebből világosan látszik, hogy \(\log_(2)(8)=3\).

A logaritmus argumentuma és alapja

Bármely logaritmusnak a következő „anatómiája” van:

A logaritmus argumentumát általában a szintjén írják, az alapot pedig a logaritmusjelhez közelebbi alsó indexben írják. Ez a bejegyzés pedig így hangzik: „huszonöt logaritmusa az alapöthöz”.

Hogyan kell logaritmust számolni?

A logaritmus kiszámításához meg kell válaszolni a kérdést: milyen hatványra kell emelni az alapot, hogy megkapjuk az argumentumot?

Például, számítsa ki a logaritmust: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Milyen hatványra kell emelni a \(4\)-t, hogy \(16\) legyen? Nyilván a második. Ezért:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Milyen hatványra kell emelni a \(\sqrt(5)\) értéket, hogy \(1\) legyen? Milyen erő teszi bármelyiket első számúvá? Nulla, persze!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Milyen hatványra kell emelni a \(\sqrt(7)\) értéket, hogy megkapjuk a \(\sqrt(7)\) értéket? Először is, bármely szám az első hatványhoz egyenlő önmagával.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Milyen hatványra kell emelni a \(3\) értéket, hogy \(\sqrt(3)\) legyen? Tudjuk, hogy ez egy tört hatvány, ami azt jelenti, hogy a négyzetgyök a \(\frac(1)(2)\) hatványa.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Példa : A logaritmus kiszámítása \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Megoldás :

Válasz : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miért találták ki a logaritmust?

Ennek megértéséhez oldjuk meg az egyenletet: \(3^(x)=9\). Csak párosítsa az \(x\)-t az egyenlet működéséhez. Természetesen \(x=2\).

Most oldja meg az egyenletet: \(3^(x)=8\). Mit egyenlő x? Ez a lényeg.

A legokosabbak azt mondják: "X valamivel kevesebb, mint kettő." Hogyan kell pontosan írni ezt a számot? A kérdés megválaszolására találták ki a logaritmust. Neki köszönhetően itt a válasz így írható fel: \(x=\log_(3)(8)\).

Szeretném hangsúlyozni, hogy a \(\log_(3)(8)\), tetszik minden logaritmus csak egy szám. Igen, szokatlannak tűnik, de rövid. Mert ha tizedesként akarnánk írni, akkor ez így nézne ki: \(1.892789260714.....\)

Példa : Oldja meg a \(4^(5x-4)=10\) egyenletet

Megoldás :

Válasz : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Tizedes és természetes logaritmus

A logaritmus definíciójának megfelelően az alapja bármely pozitív szám lehet, kivéve egy \((a>0, a\neq1)\). És az összes lehetséges alap között van két olyan gyakran előforduló, hogy egy speciális rövid jelölést találtak ki a logaritmusokhoz:

Természetes logaritmus: olyan logaritmus, amelynek alapja az Euler-szám \(e\) (megközelítőleg \(2,7182818…\)), a logaritmus pedig \(\ln(a)\).

vagyis \(\ln(a)\) ugyanaz, mint \(\log_(e)(a)\)

Tizedes logaritmus: A 10-es bázisú logaritmus \(\lg(a)\) lesz írva.

vagyis \(\lg(a)\) ugyanaz, mint \(\log_(10)(a)\), ahol \(a\) valamilyen szám.

Alapvető logaritmikus azonosság

A logaritmusoknak számos tulajdonsága van. Az egyiket „alaplogaritmikus identitásnak” hívják, és így néz ki:

Ez a tulajdonság közvetlenül következik a definícióból. Lássuk, pontosan hogyan is jött létre ez a képlet.

Emlékezzünk vissza a logaritmus definíciójának egy rövid jelölésére:

ha \(a^(b)=c\), akkor \(\log_(a)(c)=b\)

Vagyis a \(b\) megegyezik a \(\log_(a)(c)\-vel. Ekkor az \(a^(b)=c\) képletbe \(\log_(a)(c)\)-t írhatunk \(b\) helyett. Kiderült, hogy \(a^(\log_(a)(c))=c\) - a fő logaritmikus azonosság.

A logaritmusok egyéb tulajdonságait is megtalálhatja. Segítségükkel egyszerűsítheti és kiszámíthatja a kifejezések értékeit logaritmusokkal, amelyeket nehéz közvetlenül kiszámítani.

Példa : Keresse meg a \(36^(\log_(6)(5)\) kifejezés értékét

Megoldás :

Válasz : \(25\)

Hogyan írjunk fel egy számot logaritmusként?

Mint fentebb említettük, minden logaritmus csak egy szám. Ez fordítva is igaz: tetszőleges szám felírható logaritmusként. Például tudjuk, hogy \(\log_(2)(4)\) egyenlő kettővel. Ekkor kettő helyett írhat \(\log_(2)(4)\).

De a \(\log_(3)(9)\) egyenlő a \(2\-vel), ami azt jelenti, hogy a \(2=\log_(3)(9)\) -t is írhatjuk. Hasonlóképpen a \(\log_(5)(25)\), és a \(\log_(9)(81)\), stb. Vagyis kiderül

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Így ha kell, felírhatunk kettőt logaritmusként tetszőleges bázissal bárhol (legyen az egyenletben, kifejezésben vagy egyenlőtlenségben) - az alapot egyszerűen négyzetbe írjuk argumentumként.

Ugyanez a helyzet a triplával – írható \(\log_(2)(8)\), vagy \(\log_(3)(27)\), vagy \(\log_(4)( 64) \)... Ide írjuk be argumentumként az alapot a kockába:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

És néggyel:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

És mínusz 1-gyel:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)

És egyharmaddal:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bármely \(a\) szám logaritmusként ábrázolható \(b\) bázissal: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Példa : Keresse meg a kifejezés jelentését \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Megoldás :

Válasz : \(1\)

Mi az a logaritmus?

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Mi az a logaritmus? Hogyan lehet logaritmusokat megoldani? Ezek a kérdések sok diplomát megzavarnak. A logaritmus témáját hagyományosan összetettnek, érthetetlennek és ijesztőnek tartják. Főleg a logaritmusos egyenletek.

Ez abszolút nem igaz. Teljesen! Ne higgy nekem? Bírság. Most mindössze 10-20 perc alatt:

1. Meg fogod érteni mi az a logaritmus.

2. Tanuljon meg egy egész osztály exponenciális egyenletet megoldani. Még ha nem is hallottál róluk semmit.

3. Ismerje meg az egyszerű logaritmusok kiszámítását.

Sőt, ehhez csak a szorzótáblát kell ismerned, és azt, hogyan emelhetsz egy számot hatványra...

Úgy érzem, kétségei vannak... Nos, oké, jelölje meg az időt! Megy!

Először fejben oldja meg ezt az egyenletet:

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

A b (b > 0) szám logaritmusa a bázishoz (a > 0, a ≠ 1)– kitevő, amelyre az a számot emelni kell, hogy b-t kapjunk.

A b 10-es bázisú logaritmusa így írható fel log(b), és az e alapú logaritmus (természetes logaritmus) az ln(b).

Gyakran használják a logaritmusokkal kapcsolatos problémák megoldására:

A logaritmusok tulajdonságai

Négy fő van a logaritmus tulajdonságai.

Legyen a > 0, a ≠ 1, x > 0 és y > 0.

Tulajdonság 1. A szorzat logaritmusa

A szorzat logaritmusa egyenlő a logaritmusok összegével:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

2. tulajdonság. A hányados logaritmusa

A hányados logaritmusa egyenlő a logaritmusok különbségével:

log a (x / y) = log a x – log a y

3. tulajdonság. Hatvány logaritmusa

Fokozat logaritmusa egyenlő a hatvány és a logaritmus szorzatával:

Ha a logaritmus alapja a fokban van, akkor egy másik képlet érvényes:

4. tulajdonság. A gyökér logaritmusa

Ezt a tulajdonságot egy hatvány logaritmusának tulajdonságából kaphatjuk meg, mivel a hatvány n-edik gyöke egyenlő 1/n hatványával:

Képlet az egyik bázisban lévő logaritmusból egy másik bázisban lévő logaritmusra

Ezt a képletet gyakran használják különféle logaritmusi feladatok megoldására is:

Különleges eset:

A logaritmusok (egyenlőtlenségek) összehasonlítása

Legyen 2 f(x) és g(x) függvény azonos bázisú logaritmus alatt, és közöttük van egy egyenlőtlenségjel:

Az összehasonlításhoz először meg kell nézni a logaritmusok alapját:

• Ha a > 0, akkor f(x) > g(x) > 0
• Ha 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Problémamegoldás logaritmussal: példák

Problémák a logaritmusokkal szerepel az Egységes Államvizsga matematikából 11. évfolyamra az 5. és a 7. feladatban, honlapunkon a megfelelő rovatokban találhat megoldást tartalmazó feladatokat. A logaritmusos feladatok is megtalálhatók a matematikai feladatbankban. Az oldalon keresve minden példát megtalálhat.

Mi az a logaritmus

A logaritmus mindig is nehéz témának számított az iskolai matematika tanfolyamokon. A logaritmusnak sokféle definíciója létezik, de valamiért a legtöbb tankönyv a legbonyolultabbat és a legsikeresebbet használja.

Egyszerűen és világosan fogjuk meghatározni a logaritmust. Ehhez hozzunk létre egy táblázatot:

Tehát kettős hatalmunk van.

Logaritmusok - tulajdonságok, képletek, megoldás

Ha az alsó sorból veszi ki a számot, könnyen megtalálhatja azt a teljesítményt, amelyre kettőt kell emelnie, hogy megkapja ezt a számot. Például, hogy 16-ot kapjon, kettőt kell emelnie a negyedik hatványra. És ahhoz, hogy 64-et kapj, kettőt kell emelned a hatodik hatványra. Ez látható a táblázatból.

És most - tulajdonképpen a logaritmus meghatározása:

az x argumentum a bázisa az a hatvány, amelyre az a számot emelni kell, hogy megkapjuk az x számot.

Megnevezés: log a x = b, ahol a az alap, x az argumentum, b az, amivel a logaritmus valójában egyenlő.

Például 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (a 8-as 2-es bázis logaritmusa három, mert 2 3 = 8). Ugyanilyen sikerrel log 2 64 = 6, mivel 2 6 = 64.

Egy szám adott bázishoz való logaritmusának megtalálásának műveletét nevezzük. Tehát adjunk hozzá egy új sort a táblázatunkhoz:

Sajnos nem minden logaritmus számítható ki ilyen könnyen. Például próbálja meg megkeresni a log 2 5 értéket. Az 5-ös szám nincs a táblázatban, de a logika azt diktálja, hogy a logaritmus valahol az intervallumon belül legyen. Mert 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük: a tizedesvessző utáni számok a végtelenségig írhatók, és soha nem ismétlődnek. Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, jobb, ha így hagyjuk: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Fontos megérteni, hogy a logaritmus két változóból álló kifejezés (az alap és az argumentum). Eleinte sokan összekeverik, hol az alap és hol az érv. A bosszantó félreértések elkerülése érdekében csak nézze meg a képet:

Előttünk nem más, mint a logaritmus meghatározása. Emlékezik: a logaritmus egy hatvány, amelybe a bázist be kell építeni, hogy argumentumot kapjunk. Ez az alapot, amely hatványra van emelve - a képen pirossal van kiemelve. Kiderült, hogy az alap mindig alul van! Már az első órán elmondom a tanítványaimnak ezt a csodálatos szabályt – és nem keletkezik zavar.

Hogyan számoljunk logaritmusokat

Kitaláltuk a definíciót – már csak meg kell tanulnunk számolni a logaritmusokat, pl. megszabadulni a „napló” jelzéstől. Először is megjegyezzük, hogy a meghatározásból két fontos tény következik:

1. Az argumentumnak és az alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál. Ez a fok racionális kitevővel történő meghatározásából következik, amelyre a logaritmus definíciója redukálódik.
2. Az alapnak másnak kell lennie, mint az egyiknek, mivel az egyik bármilyen mértékben is az marad. Emiatt értelmetlen a „milyen hatalomra kell emelni az embert, hogy kettőt kapjunk” kérdés. Ilyen végzettség nincs!

Az ilyen korlátozásokat hívják elfogadható értékek tartománya(ODZ). Kiderül, hogy a logaritmus ODZ-je így néz ki: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Vegye figyelembe, hogy a b számra (a logaritmus értékére) nincs korlátozás. Például a logaritmus lehet negatív is: log 2 0.5 = −1, mert 0,5 = 2 -1.

Most azonban csak numerikus kifejezésekkel foglalkozunk, ahol nem szükséges ismerni a logaritmus VA értékét. Minden korlátozást már figyelembe vettek a feladatok készítői. De amikor a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek lépnek életbe, a DL követelmények kötelezővé válnak. Hiszen az alap és az érv nagyon erős konstrukciókat tartalmazhat, amelyek nem feltétlenül felelnek meg a fenti korlátozásoknak.

Most nézzük meg a logaritmusszámítás általános sémáját. Három lépésből áll:

1. Fejezzük ki az a bázist és az x argumentumot olyan hatványként, amelynek minimális lehetséges bázisa nagyobb egynél. Útközben jobb, ha megszabadulunk a tizedesjegyektől;
2. Oldja meg a b változó egyenletét: x = a b ;
3. A kapott b szám lesz a válasz.

Ez minden! Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, ez már az első lépésben látható lesz. Nagyon fontos az a követelmény, hogy a bázis nagyobb legyen egynél: ez csökkenti a hiba valószínűségét, és nagyban leegyszerűsíti a számításokat. Ugyanez a helyzet a tizedes törtekkel: ha azonnal átalakítja őket közönséges törtekre, sokkal kevesebb hiba lesz.

Nézzük meg, hogyan működik ez a séma konkrét példák segítségével:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 5 25

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot öt hatványaként: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. A választ kaptuk: 2.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 4 64

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. A választ kaptuk: 3.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 16 1

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. A választ kaptuk: 0.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 7 14

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot hét hatványaként: 7 = 7 1 ; A 14 nem ábrázolható hét hatványaként, mivel a 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Az előző bekezdésből az következik, hogy a logaritmus nem számít;
3. A válasz nem változik: napló 7 14.

Egy kis megjegyzés az utolsó példához. Hogyan lehet biztos abban, hogy egy szám nem egy másik szám pontos hatványa? Nagyon egyszerű – csak vegye figyelembe az elsődleges tényezőkben. Ha a bővítésnek legalább két különböző tényezője van, a szám nem pontos hatvány.

Feladat. Nézze meg, hogy a számok pontos hatványok-e: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - pontos fok, mert csak egy szorzó van;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nem pontos hatvány, mivel két tényező van: 3 és 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - pontos fok;
35 = 7 · 5 - ismét nem pontos hatvány;
14 = 7 · 2 - ismét nem pontos fok;

Vegye figyelembe azt is, hogy maguk a prímszámok mindig önmaguk pontos hatványai.

Tizedes logaritmus

Egyes logaritmusok olyan gyakoriak, hogy különleges nevük és szimbólumuk van.

az x argumentum a 10-es bázis logaritmusa, azaz. Az a hatvány, amelyre a 10-et fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: lg x.

Például log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - stb.

Mostantól kezdve, amikor egy olyan kifejezés jelenik meg egy tankönyvben, mint a „Find lg 0.01”, tudd, hogy ez nem elírás. Ez egy decimális logaritmus. Ha azonban nem ismeri ezt a jelölést, bármikor átírhatja:
log x = log 10 x

Minden, ami igaz a közönséges logaritmusokra, igaz a decimális logaritmusokra is.

Természetes logaritmus

Van egy másik logaritmus, amelynek megvan a maga jelölése. Bizonyos szempontból ez még a decimálisnál is fontosabb. A természetes logaritmusról beszélünk.

az x argumentum logaritmusa e bázishoz, azaz. az a hatvány, amelyre az e számot fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: ln x.

Sokan kérdezik: mi az e szám? Ez egy irracionális szám, pontos értéke nem található és nem írható le. Csak az első számokat közlöm:
e = 2,718281828459…

Nem részletezzük, mi ez a szám, és miért van rá szükség. Ne feledje, hogy e a természetes logaritmus alapja:
ln x = log e x

így ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - stb. Másrészt ln 2 irracionális szám. Általában bármely racionális szám természetes logaritmusa irracionális. Kivéve persze egyet: ln 1 = 0.

A természetes logaritmusokra a közönséges logaritmusokra érvényes összes szabály érvényes.

Lásd még:

Logaritmus. A logaritmus tulajdonságai (a logaritmus hatványa).

Hogyan ábrázoljunk egy számot logaritmusként?

A logaritmus definícióját használjuk.

A logaritmus egy olyan kitevő, amelyre az alapot fel kell emelni, hogy megkapjuk a logaritmusjel alatti számot.

Tehát ahhoz, hogy egy bizonyos c számot logaritmusként ábrázoljon az a bázishoz, a logaritmus alapjával azonos bázisú hatványt kell a logaritmus előjele alá tenni, és ezt a c számot kitevőként kell írni:

Teljesen bármely szám ábrázolható logaritmusként - pozitív, negatív, egész, tört, racionális, irracionális:

Annak érdekében, hogy ne keverje össze az a-t és a c-t egy teszt vagy vizsga stresszes körülményei között, használhatja a következő memorizálási szabályt:

ami lent van, az lemegy, ami fent, az felfelé megy.

Például a 2-es számot a 3-as bázis logaritmusaként kell ábrázolnia.

Két számunk van - 2 és 3. Ezek a számok az alap és a kitevő, amelyeket a logaritmus jele alá írunk. Meg kell határozni, hogy ezek közül a számok közül melyiket kell leírni a fokszám alapján, és melyiket – felfelé, a kitevőt.

A 3-as bázis egy logaritmus jelölésében alul van, ami azt jelenti, hogy ha kettőt logaritmusként ábrázolunk a 3-as bázishoz, akkor a 3-at is leírjuk az alapba.

2 nagyobb, mint három. A kettes fokozat jelölésénél pedig a három fölé írjuk, azaz kitevőként:

Logaritmusok. Első szint.

Logaritmusok

Logaritmus pozitív szám b alapján a, Ahol a > 0, a ≠ 1, az a kitevő, amelyre a számot emelni kell a, Megszerezni b.

A logaritmus definíciójaígy röviden leírható:

Ez az egyenlőség érvényes b > 0, a > 0, a ≠ 1.Általában úgy hívják logaritmikus azonosság.
Egy szám logaritmusának megtalálásának műveletét nevezzük logaritmus szerint.

A logaritmus tulajdonságai:

A szorzat logaritmusa:

A hányados logaritmusa:

A logaritmusalap cseréje:

Fokozat logaritmusa:

A gyökér logaritmusa:

Logaritmus hatványalappal:

Tizedes és természetes logaritmus.

Tizedes logaritmus számok ennek a számnak a logaritmusát 10-re hívják, és   lg-t írnak b
Természetes logaritmus számokat az adott szám bázishoz viszonyított logaritmusának nevezzük e, Ahol e- egy irracionális szám, amely megközelítőleg egyenlő 2,7-tel. Ugyanakkor ln-t írnak b.

Egyéb megjegyzések az algebrához és a geometriához

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok, mint minden szám, minden módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk főbb tulajdonságait.

Ezeket a szabályokat feltétlenül ismerni kell – nélkülük egyetlen komoly logaritmikus probléma sem oldható meg. Ráadásul nagyon kevés van belőlük – egy nap alatt mindent megtanulhatsz. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: log a x és log a y. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusával. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az azonos indokok. Ha az okok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

6 4 napló + 6 9 napló.

Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 2 48 − log 2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 3 135 − log 3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így van:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után teljesen normális számokat kapunk. Számos teszt ezen a tényen alapul. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.

A kitevő kinyerése a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk a logaritmus ODZ-jét: a > 0, a ≠ 1, x > 0. És még valami: tanulja meg az összes képlet alkalmazását nemcsak balról jobbra, hanem fordítva is. , azaz A logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba.

Hogyan kell megoldani a logaritmusokat

Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 7 49 6 .

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nekünk van:

Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.

Most nézzük meg a fő törtet. A számláló és a nevező ugyanazt a számot tartalmazza: log 2 7. Mivel log 2 7 ≠ 0, a törtet csökkenthetjük - a 2/4 a nevezőben marad. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ez meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átmenet egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az okok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:

Legyen adott a logaritmus log a x. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et állítunk be, akkor kapjuk:

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk ezek közül párat:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 5 16 log 2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:

Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni.

Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmusérték.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják: .

Valójában mi történik, ha a b számot olyan hatványra emeljük, hogy a b szám ehhez a hatványhoz adja az a számot? Így van: az eredmény ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan elakadnak rajta.

Az új bázisra való átállás képleteihez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Jegyezzük meg, hogy log 25 64 = log 5 8 – egyszerűen a logaritmus alapjából és argumentumából vette a négyzetet. Figyelembe véve a hatványok azonos bázisú szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül két tulajdonságnak aligha nevezhető azonosságot mondok, hanem a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan megjelennek a problémákban, és meglepő módon még a „haladó” tanulóknak is problémát okoznak.

1. log a a = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: magának a bázisnak a logaritmusa minden a bázishoz egyenlő eggyel.
2. log a 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mert a 0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését! Töltse le a csalólapot a lecke elején, nyomtassa ki, és oldja meg a problémákat.

Folytatjuk a logaritmusok tanulmányozását. Ebben a cikkben fogunk beszélni logaritmusok számítása, ezt a folyamatot hívják logaritmus. Először is megértjük a logaritmusok definíciós számítását. Ezután nézzük meg, hogyan találhatók meg a logaritmusok értékei tulajdonságaik segítségével. Ezt követően a logaritmusok kiszámítására fogunk összpontosítani más logaritmusok kezdetben megadott értékein keresztül. Végül tanuljuk meg a logaritmustáblák használatát. Az egész elmélet példákkal és részletes megoldásokkal van ellátva.

Oldalnavigáció.

Logaritmusok számítása definíció szerint

A legegyszerűbb esetekben meglehetősen gyorsan és egyszerűen elvégezhető a logaritmus definíció szerinti megtalálása. Nézzük meg közelebbről, hogyan történik ez a folyamat.

Lényege, hogy a b számot a c formában ábrázolja, amelyből a logaritmus definíciója szerint a c szám a logaritmus értéke. Vagyis értelemszerűen a következő egyenlőséglánc felel meg a logaritmus megtalálásának: log a b=log a a c =c.

Tehát a logaritmus definíció szerinti kiszámítása egy c szám megtalálásához vezet, ahol a c = b, és maga a c szám a logaritmus kívánt értéke.

Figyelembe véve az előző bekezdésekben található információkat, amikor a logaritmusjel alatti számot a logaritmusalap bizonyos hatványa adja, azonnal jelezheti, hogy a logaritmus mivel egyenlő - egyenlő a kitevővel. Mutassunk megoldásokat példákra.

Példa.

Keresse meg a log 2 2 −3 értéket, és számítsa ki az e 5,3 szám természetes logaritmusát is.

Megoldás.

A logaritmus definíciója lehetővé teszi, hogy azonnal azt mondjuk, hogy log 2 2 −3 =−3. Valójában a logaritmus előjele alatti szám egyenlő a -3 hatványának 2-es bázisával.

Hasonlóképpen megtaláljuk a második logaritmust is: lne 5.3 =5.3.

Válasz:

log 2 2 −3 =−3 és lne 5,3 =5,3.

Ha a logaritmusjel alatti b szám nincs megadva a logaritmus alapjának hatványaként, akkor alaposan meg kell vizsgálnia, hogy lehetséges-e a b szám a c formában történő ábrázolása. Ez az ábrázolás gyakran teljesen nyilvánvaló, különösen akkor, ha a logaritmusjel alatti szám egyenlő az 1, 2 vagy 3 hatványának alapjával, ...

Példa.

Számítsa ki a logaritmusokat log 5 25 , és .

Megoldás.

Könnyen belátható, hogy 25=5 2, ez lehetővé teszi az első logaritmus kiszámítását: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Térjünk át a második logaritmus kiszámítására. A szám 7 hatványaként ábrázolható: (lásd ha szükséges). Ennélfogva, .

Írjuk át a harmadik logaritmust a következő formában. Most ezt láthatod , amiből arra következtetünk . Ezért a logaritmus definíciója szerint .

A megoldást röviden a következőképpen írhatnánk fel: .

Válasz:

log 5 25=2, És .

Ha kellően nagy természetes szám van a logaritmusjel alatt, nem árt beszámítani prímtényezőkbe. Gyakran segít egy ilyen számot a logaritmusalap valamilyen hatványaként ábrázolni, és ezért ezt a logaritmust definíció szerint kiszámítani.

Példa.

Keresse meg a logaritmus értékét!

Megoldás.

A logaritmusok egyes tulajdonságai lehetővé teszik a logaritmusok értékének azonnali megadását. Ezek a tulajdonságok magukban foglalják az egy logaritmusának tulajdonságát és a bázissal egyenlő szám logaritmusának tulajdonságát: log 1 1=log a a 0 =0 és log a a=log a a 1 =1. Vagyis ha a logaritmus előjele alatt 1 vagy a logaritmus alapjával egyenlő a szám van, akkor ezekben az esetekben a logaritmusok 0-val, illetve 1-gyel egyenlők.

Példa.

Mi a logaritmus és a log10?

Megoldás.

Mivel , akkor a logaritmus definíciójából az következik .

A második példában a logaritmusjel alatti 10-es szám egybeesik az alapjával, így a tíz decimális logaritmusa egyenlő eggyel, azaz lg10=lg10 1 =1.

Válasz:

ÉS lg10=1 .

Megjegyezzük, hogy a logaritmusok definíciós számítása (amelyet az előző bekezdésben tárgyaltunk) magában foglalja a log a a p =p egyenlőség használatát, amely a logaritmusok egyik tulajdonsága.

A gyakorlatban, ha a logaritmus jele alatti szám és a logaritmus alapja könnyen ábrázolható egy bizonyos szám hatványaként, nagyon kényelmes a képlet használata , ami a logaritmusok egyik tulajdonságának felel meg. Nézzünk egy példát egy logaritmus megtalálására, amely szemlélteti ennek a képletnek a használatát.

Példa.

Számítsa ki a logaritmust.

Megoldás.

Válasz:

.

A számításoknál a logaritmusok fent nem említett tulajdonságait is felhasználjuk, de erről a következő bekezdésekben lesz szó.

Logaritmus keresése más ismert logaritmusokon keresztül

Az ebben a bekezdésben található információk folytatják a logaritmusok tulajdonságainak felhasználásának témáját azok kiszámításakor. De itt a fő különbség az, hogy a logaritmusok tulajdonságait arra használjuk, hogy az eredeti logaritmust egy másik logaritmusban fejezzük ki, amelynek értéke ismert. A tisztázás kedvéért mondjunk egy példát. Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy a log 2 3≈1,584963, akkor megkereshetjük például a log 2 6-ot, ha egy kis transzformációt végzünk a logaritmus tulajdonságaival: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

A fenti példában elég volt egy szorzat logaritmusának tulajdonságát használnunk. Sokkal gyakrabban kell azonban a logaritmusok tulajdonságainak szélesebb arzenálját használni ahhoz, hogy az eredeti logaritmust a megadottakon keresztül számítsuk ki.

Példa.

Ha tudja, hogy log 60 2=a és log 60 5=b, számítsa ki a 27-nek a 60-as bázisig terjedő logaritmusát.

Megoldás.

Tehát meg kell találnunk a 60 27 naplót. Könnyen belátható, hogy 27 = 3 3 , és az eredeti logaritmus a hatvány logaritmusának tulajdonsága miatt átírható 3·log 60 3 -ra.

Most nézzük meg, hogyan fejezzük ki a log 60 3-at ismert logaritmusokkal. A bázissal egyenlő szám logaritmusának tulajdonsága lehetővé teszi a log 60 60=1 egyenlőség felírását. Másrészt log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . És így, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Ennélfogva, log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.

Végül kiszámítjuk az eredeti logaritmust: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Válasz:

log 60 27=3·(1–2·a–b)=3–6·a–3·b.

Külön érdemes megemlíteni az alak logaritmusának új bázisára való áttérés képletének jelentését . Lehetővé teszi, hogy a tetszőleges bázisú logaritmusokról egy meghatározott bázisú logaritmusokra váltson, amelyek értékei ismertek, vagy meg lehet őket találni. Általában az eredeti logaritmusból az átmeneti képlet segítségével a 2, e vagy 10 bázisok egyikében lévő logaritmusokra lépnek át, mivel ezekhez az alapokhoz vannak logaritmustáblázatok, amelyek lehetővé teszik értékük bizonyos mértékű kiszámítását. pontosság. A következő bekezdésben bemutatjuk, hogyan történik ez.

Logaritmustáblák és felhasználásuk

A logaritmus értékek hozzávetőleges kiszámításához használhatók logaritmus táblázatok. A leggyakrabban használt 2 alapú logaritmustábla, természetes logaritmustábla és decimális logaritmustábla. A tizedes számrendszerben való munka során célszerű egy tízes alapú logaritmustáblázatot használni. Segítségével megtanuljuk megtalálni a logaritmusok értékeit.

A bemutatott táblázat lehetővé teszi az 1000-től 9999-ig terjedő számok tizedes logaritmusának (három tizedesjellel) tízezredes pontosságú meghatározását. Elemezzük a logaritmus értékének meghatározásának elvét egy decimális logaritmus táblázat segítségével egy konkrét példa segítségével - ez így világosabb. Keressük a log1.256-ot.

A tizedes logaritmusok táblázatának bal oldali oszlopában találjuk az 1,256 szám első két számjegyét, azaz az 1,2-t (ez a szám az áttekinthetőség kedvéért kékkel van bekarikázva). Az 1,256 szám harmadik számjegye (5-ös számjegy) a kettős sortól balra lévő első vagy utolsó sorban található (ez a szám pirossal van bekarikázva). Az eredeti 1,256-os szám negyedik számjegye (6-os számjegy) a kettős sortól jobbra lévő első vagy utolsó sorban található (ez a szám zöld vonallal van bekarikázva). Most a logaritmustábla celláiban találjuk a számokat a megjelölt sor és a jelölt oszlopok metszéspontjában (ezek a számok narancssárgával vannak kiemelve). A megjelölt számok összege adja a tizedes logaritmus kívánt értékét a negyedik tizedesjegyig, azaz log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Megtalálható-e a fenti táblázat segítségével a tizedesvessző után háromnál több számjegyből álló számok tizedes logaritmusának értéke, valamint az 1 és 9,999 közötti tartományon túlmutató számok értéke? Igen tudsz. Mutassuk meg, hogyan történik ez egy példán.

Számítsuk ki az lg102,76332-t. Először is le kell írni szám szabványos formában: 102,76332=1,0276332·10 2. Ezek után a mantisszát a harmadik tizedesjegyre kell kerekíteni 1,0276332 10 2 ≈ 1,028 10 2, míg az eredeti decimális logaritmus megközelítőleg egyenlő a kapott szám logaritmusával, azaz log102.76332≈lg1.028·10 2-t vesszük. Most alkalmazzuk a logaritmus tulajdonságait: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Végül megtaláljuk az lg1,028 logaritmus értékét a decimális logaritmusok táblázatából: lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Ennek eredményeként a logaritmus kiszámításának teljes folyamata így néz ki: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Összefoglalva, érdemes megjegyezni, hogy a decimális logaritmusok táblázatával kiszámíthatja bármely logaritmus hozzávetőleges értékét. Ehhez elegendő az átmeneti képletet használni a decimális logaritmusokhoz, megkeresni az értékeket a táblázatban, és elvégezni a fennmaradó számításokat.

Például számítsuk ki a log 2 3-at. A logaritmus új bázisára való átmenet képlete szerint . A decimális logaritmusok táblázatából log3≈0,4771 és log2≈0,3010 található. És így, .

Bibliográfia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).