Prosječna vrijednost je najvrednija sa analitičke tačke gledišta i univerzalni oblik izražavanja za statističke pokazatelje. Najčešći prosjek - aritmetički prosjek - ima niz matematičkih svojstava koja se mogu koristiti u njegovom izračunavanju. Istovremeno, prilikom izračunavanja određenog prosjeka uvijek je preporučljivo osloniti se na njegovu logičku formulu, a to je omjer volumena atributa i obima populacije. Za svaki prosjek postoji samo jedan pravi početni odnos, čija implementacija, ovisno o dostupnim podacima, može zahtijevati različite oblike prosjeka. Međutim, u svim slučajevima kada priroda vrijednosti koja se prosječuje podrazumijeva prisustvo pondera, nemoguće je koristiti njihove neponderisane formule umjesto ponderiranih prosječnih formula.

Prosječna vrijednost je najkarakterističnija vrijednost atributa za populaciju i veličina atributa populacije raspoređena u jednakim udjelima između jedinica populacije.

Karakteristika za koju se izračunava prosječna vrijednost se zove u prosjeku .

Prosječna vrijednost je indikator izračunat poređenjem apsolutnih ili relativnih vrijednosti. Prosječna vrijednost je označena

Prosječna vrijednost odražava uticaj svih faktora koji utiču na pojavu koja se proučava i za njih je rezultanta. Drugim riječima, gaseći pojedinačna odstupanja i eliminirajući utjecaj slučajeva, prosječna vrijednost, koja odražava opću mjeru rezultata ove akcije, djeluje kao opći obrazac fenomena koji se proučava.

Uslovi za korištenje prosječnih vrijednosti:

Ø homogenost populacije koja se proučava. Ako neki elementi populacije podložni utjecaju slučajnog faktora imaju vrijednosti karakteristike koje se proučavaju koje se značajno razlikuju od ostalih, onda će ti elementi utjecati na veličinu prosjeka za ovu populaciju. U ovom slučaju, prosjek neće izraziti najtipičniju vrijednost atributa za populaciju. Ako je fenomen koji se proučava heterogen, potrebno je podijeliti ga na grupe koje sadrže homogene elemente. U ovom slučaju se računaju grupni proseci – grupni proseci, koji izražavaju najkarakterističniju vrednost pojave u svakoj grupi, a zatim se računa ukupna prosečna vrednost za sve elemente koji karakterišu pojavu u celini. Izračunava se kao prosjek grupnih prosjeka, ponderiranih brojem elemenata populacije uključenih u svaku grupu;

Ø dovoljan broj jedinica ukupno;

Ø maksimalne i minimalne vrijednosti karakteristike u populaciji koja se proučava.

Prosječna vrijednost (indikator)je generalizovana kvantitativna karakteristika karakteristike u sistematskom agregatu u specifičnim uslovima mesta i vremena.

U statistici se koriste sljedeći oblici (vrste) prosjeka, koji se nazivaju moćni i strukturni:

Ø aritmetička sredina(jednostavne i ponderisane);

jednostavno

Prosječna vrijednost je opšti pokazatelj koji karakteriše tipičan nivo pojave. Izražava vrijednost karakteristike po jedinici populacije.

Prosječna vrijednost je:

1) najtipičniju vrijednost atributa za populaciju;

2) obim atributa populacije, ravnomjerno raspoređen među jedinicama stanovništva.

Karakteristika za koju se izračunava prosječna vrijednost se u statistici naziva „prosječnom“.

Prosek uvek generalizuje kvantitativnu varijaciju osobine, tj. u prosječnim vrijednostima eliminiraju se individualne razlike između jedinica u populaciji zbog slučajnih okolnosti. Za razliku od prosjeka, apsolutna vrijednost koja karakterizira nivo karakteristike pojedine jedinice populacije ne dopušta da se uporede vrijednosti karakteristike među jedinicama koje pripadaju različitim populacijama. Dakle, ako treba da uporedite nivoe zarada radnika u dva preduzeća, onda ne možete porediti dva radnika različitih preduzeća po ovom osnovu. Naknada radnika odabranih za poređenje možda nije tipična za ova preduzeća. Ako uporedimo veličinu fondova zarada u preduzećima koja se razmatraju, broj zaposlenih se ne uzima u obzir i stoga je nemoguće utvrditi gde je nivo zarada veći. U konačnici se mogu porediti samo prosječni pokazatelji, tj. Koliko u svakom preduzeću u proseku zarađuje jedan zaposleni? Dakle, postoji potreba da se izračuna prosječna vrijednost kao generalizirajuća karakteristika populacije.

Važno je napomenuti da tokom procesa usrednjavanja ukupna vrijednost nivoa atributa ili njegova konačna vrijednost (u slučaju izračunavanja prosječnih nivoa u dinamičkoj seriji) mora ostati nepromijenjena. Drugim riječima, prilikom izračunavanja prosječne vrijednosti, volumen proučavane karakteristike ne bi trebao biti iskrivljen, a izrazi koji se sastavljaju prilikom izračunavanja prosjeka moraju nužno imati smisla.

Izračunavanje prosjeka je jedna od uobičajenih tehnika generalizacije; prosječni indikator negira ono što je zajedničko (tipično) svim jedinicama populacije koja se proučava, dok istovremeno zanemaruje razlike pojedinačnih jedinica. U svakoj pojavi i njenom razvoju postoji kombinacija slučajnosti i nužnosti. Prilikom izračunavanja prosjeka, zbog djelovanja zakona velikih brojeva, slučajnost se poništava i balansira, pa je moguće apstrahirati od nebitnih obilježja pojave, od kvantitativnih vrijednosti karakteristike u svakom konkretnom slučaju . Sposobnost apstrahiranja od slučajnosti pojedinačnih vrijednosti i fluktuacija leži u naučnoj vrijednosti prosjeka kao generalizirajućih karakteristika agregata.

Da bi prosjek bio zaista reprezentativan, mora se izračunati uzimajući u obzir određene principe.

Zaustavimo se na nekim općim principima za korištenje prosjeka.

1. Prosjek se mora odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.

2. Prosjek se mora izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno velikog broja jedinica.

3. Prosjek se mora izračunati za populaciju čije su jedinice u normalnom, prirodnom stanju.

4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj indikatora koji se proučava.

5.2. Vrste prosjeka i metode za njihovo izračunavanje

Razmotrimo sada vrste prosječnih vrijednosti, karakteristike njihovog izračunavanja i područja primjene. Prosječne vrijednosti podijeljene su u dvije velike klase: prosječne snage, strukturne prosječne vrijednosti.

Srednje vrijednosti snage uključuju najpoznatije i najčešće korištene tipove, kao što su geometrijska sredina, aritmetička sredina i kvadratna sredina.

Mod i medijan se smatraju strukturnim prosjecima.

Hajde da se fokusiramo na proseke snage. Prosjeci snage, u zavisnosti od prezentacije izvornih podataka, mogu biti jednostavni ili ponderisani. Jednostavan prosek Izračunava se na osnovu negrupisanih podataka i ima sljedeći opći oblik:

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) karakteristike koja se usrednjuje;

n – opcija broja.

Prosjećna težina izračunava se na osnovu grupisanih podataka i ima opšti izgled

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) karakteristike koja se prosječuje ili srednja vrijednost intervala u kojem se varijanta mjeri;

m – indeks prosječnog stepena;

f i – frekvencija koja pokazuje koliko puta se pojavljuje i-e vrijednost prosječne karakteristike.

Ako izračunate sve vrste prosjeka za iste početne podatke, tada će se njihove vrijednosti pokazati različitim. Ovdje se primjenjuje pravilo većine prosjeka: kako eksponent m raste, raste i odgovarajuća prosječna vrijednost:

U statističkoj praksi, aritmetičke sredine i harmonijske ponderisane sredine se koriste češće od drugih vrsta ponderisanih prosjeka.

Vrste energetskih sredstava

Vrsta moći prosjek	Indeks stepen (m)	Formula za izračun
		Jednostavno	Weighted
Harmonic
Geometrijski
Aritmetika
Kvadratno
Cubic

Harmonska sredina ima složeniju strukturu od aritmetičke sredine. Harmonična sredina se koristi za proračune kada se kao težine ne koriste jedinice populacije - nosioci karakteristike, već proizvod tih jedinica sa vrijednostima karakteristike (tj. m = Xf). Prosječnom harmoničnom jednostavnom treba pribjeći u slučajevima određivanja npr. prosječne cijene rada, vremena, materijala po jedinici proizvodnje, po jednom dijelu za dva (tri, četiri, itd.) preduzeća, radnika koji se bave proizvodnjom. iste vrste proizvoda, istog dijela, proizvoda.

Glavni zahtjev za formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti je da sve faze proračuna imaju stvarno smisleno opravdanje; rezultirajuća prosječna vrijednost treba zamijeniti pojedinačne vrijednosti atributa za svaki objekt bez narušavanja veze između pojedinačnih i zbirnih pokazatelja. Drugim riječima, prosječna vrijednost mora biti izračunata na način da kada se svaka pojedinačna vrijednost prosječnog indikatora zamijeni njegovom prosječnom vrijednošću, neki konačni zbirni pokazatelj, na ovaj ili onaj način povezan sa prosječnim indikatorom, ostane nepromijenjen. Ovaj zbroj se zove definisanje budući da priroda njegovog odnosa sa pojedinačnim vrijednostima određuje specifičnu formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti. Pokažimo ovo pravilo na primjeru geometrijske sredine.

Formula geometrijske sredine

najčešće se koristi prilikom izračunavanja prosječne vrijednosti na osnovu individualne relativne dinamike.

Geometrijska sredina se koristi ako je dat niz lančane relativne dinamike, koji ukazuje na, na primjer, povećanje obima proizvodnje u odnosu na nivo prethodne godine: i 1, i 2, i 3,…, i n. Očigledno je da je obim proizvodnje u prošloj godini određen njenim početnim nivoom (q 0) i naknadnim povećanjem tokom godina:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Uzimajući q n kao određujući indikator i zamjenjujući pojedinačne vrijednosti indikatora dinamike prosječnim, dolazimo do relacije

Odavde

Posebna vrsta prosječnih vrijednosti - strukturni prosjeci - koristi se za proučavanje unutrašnje strukture distributivnog niza vrijednosti atributa, kao i za procjenu prosječne vrijednosti (vrste snage), ako je, prema dostupnim statističkim podacima, njena kalkulacija se ne može izvršiti (na primjer, ako u razmatranom primjeru ne postoje podaci i o obimu proizvodnje i o visini troškova po grupama preduzeća).

Indikatori se najčešće koriste kao strukturni prosjeci moda - najčešće ponavljana vrijednost atributa – i medijane - vrijednost karakteristike koja dijeli uređeni niz njegovih vrijednosti na dva jednaka dijela. Kao rezultat toga, za jednu polovinu jedinica u populaciji vrijednost atributa ne prelazi srednji nivo, a za drugu polovinu nije manja od njega.

Ako karakteristika koja se proučava ima diskretne vrijednosti, onda nema posebnih poteškoća u izračunavanju modusa i medijana. Ako se podaci o vrijednostima atributa X prezentiraju u obliku uređenih intervala njegove promjene (intervalne serije), izračunavanje moda i medijana postaje nešto složenije. Budući da vrijednost medijane dijeli cijelu populaciju na dva jednaka dijela, ona završava u jednom od intervala karakteristike X. Interpolacijom se vrijednost medijane nalazi u ovom srednjem intervalu:

,

gdje je X Me donja granica srednjeg intervala;

h Me – njegova vrijednost;

(Zbir m)/2 – polovina ukupnog broja posmatranja ili polovina volumena indikatora koji se koristi kao ponder u formulama za izračunavanje prosječne vrijednosti (u apsolutnom ili relativnom iznosu);

S Me-1 – zbir zapažanja (ili volumen atributa ponderiranja) akumuliranih prije početka srednjeg intervala;

m Me – broj zapažanja ili obim težinske karakteristike u srednjem intervalu (također u apsolutnom ili relativnom smislu).

Prilikom izračunavanja modalne vrijednosti karakteristike na osnovu podataka niza intervala, potrebno je obratiti pažnju na činjenicu da su intervali identični, jer od toga ovisi pokazatelj ponovljivosti vrijednosti karakteristike X. Za intervalni niz sa jednakim intervalima, veličina moda se određuje kao

,

gdje je X Mo donja vrijednost modalnog intervala;

m Mo – broj zapažanja ili zapremina težinske karakteristike u modalnom intervalu (u apsolutnom ili relativnom smislu);

m Mo-1 – isto za interval koji prethodi modalnom;

m Mo+1 – isto za interval koji slijedi nakon modalnog;

h – vrijednost intervala promjene karakteristike u grupama.

ZADATAK 1

Za grupu industrijskih preduzeća za izvještajnu godinu dostupni su sljedeći podaci

№ preduzeća	Količina proizvoda, milion rubalja.		Prosječan broj zaposlenih, ljudi.	Dobit, hiljada rubalja
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Za razmjenu proizvoda potrebno je grupirati preduzeća u sljedećim intervalima:

do 200 miliona rubalja


od 200 do 400 miliona rubalja.


1. od 400 do 600 miliona rubalja.
   

   Za svaku grupu i za sve zajedno odrediti broj preduzeća, obim proizvodnje, prosječan broj zaposlenih, prosječan učinak po zaposlenom. Rezultate grupisanja predstaviti u obliku statističke tabele. Formulirajte zaključak.
   

   RJEŠENJE
   

   Grupisaćemo preduzeća po razmjeni proizvoda, izračunati broj preduzeća, obim proizvodnje i prosječan broj zaposlenih koristeći jednostavnu prosječnu formulu. Rezultati grupisanja i proračuna sumirani su u tabeli.
   

   Grupacije prema količini proizvoda	№ preduzeća	Količina proizvoda, milion rubalja.	Prosječni godišnji trošak osnovnih sredstava, miliona rubalja.	Srednji san sočan broj zaposlenih, ljudi.	Dobit, hiljada rubalja	Prosječan učinak po zaposlenom
   1 grupa do 200 miliona rubalja	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Prosječan nivo		198,3			24,9
   2. grupa od 200 do 400 miliona rubalja.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Prosječan nivo		282,3	37,6	1530	64,0
   3 grupa od 400 do 600 miliona	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Prosječan nivo		512,9	34,4	1421	120,9
   Ukupno ukupno		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   U prosjeku		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Zaključak. Tako je u posmatranoj populaciji najveći broj preduzeća po obimu proizvodnje spadao u treću grupu - sedam, odnosno polovina preduzeća. U ovoj grupi je i prosječan godišnji trošak osnovnih sredstava, kao i veliki prosječan broj zaposlenih - 9974 lica, a najmanje profitabilna su preduzeća iz prve grupe.
   

   ZADATAK 2
   

   Dostupni su sljedeći podaci o preduzećima kompanije
   

   Broj preduzeća uključenih u kompaniju	I četvrtina		II kvartal
   	Proizvodnja proizvoda, hiljada rubalja.		Čovjek-dana odrađenih od strane radnika	Prosječan učinak po radniku dnevno, rub.
   	59390,13

Kada počnu pričati o prosjeku, ljudi se najčešće sjete kako su završili školu i ušli u obrazovnu ustanovu. Zatim je izračunata prosječna ocjena na osnovu certifikata: sve ocjene (i dobre i ne tako dobre) su se zbrajale, a dobiveni iznos podijeljen je njihovim brojem. Tako se izračunava najjednostavniji tip prosjeka koji se naziva prostim aritmetičkim prosjekom. U praksi se u statistici koriste različite vrste prosjeka: aritmetički, harmonijski, geometrijski, kvadratni, strukturni prosjeki. Koristi se jedan ili drugi tip ovisno o prirodi podataka i svrsi studije.

prosječna vrijednost je najčešći statistički indikator, uz pomoć kojeg se daje opšta karakteristika skupa sličnih pojava prema jednoj od varijabilnih karakteristika. Pokazuje nivo karakteristike po jedinici stanovništva. Uz pomoć prosječnih vrijednosti upoređuju se različite populacije prema različitim karakteristikama i proučavaju obrasci razvoja pojava i procesa društvenog života.

U statistici se koriste dvije klase prosjeka: moć (analitički) i strukturni. Potonji se koriste za karakterizaciju strukture serije varijacija i o njima će se dalje raspravljati u poglavlju. 8.

Grupa prosječnih vrijednosti uključuje aritmetičke, harmonijske, geometrijske i kvadratne prosjeke. Pojedinačne formule za njihov proračun mogu se svesti na oblik koji je zajednički za sve prosječne snage, tj

gdje je m eksponent srednje vrijednosti: sa m = 1 dobijamo formulu za izračunavanje aritmetičke sredine, sa m = 0 - geometrijsku sredinu, m = -1 - harmonijsku sredinu, sa m = 2 - kvadratnu sredinu ;

x i - opcije (vrijednosti koje uzima atribut);

f i - frekvencije.

Glavni uslov pod kojim se proseci moći mogu koristiti u statističkoj analizi je homogenost populacije, koja ne bi trebalo da sadrži početne podatke koji se oštro razlikuju po svojoj kvantitativnoj vrednosti (u literaturi se nazivaju anomalnom opservacijom).

Pokažimo važnost ovog uvjeta na sljedećem primjeru.

Primjer 6.1. Izračunajmo prosječnu platu zaposlenih u malom preduzeću.

Tabela 6.1. Plate zaposlenih

br.	Plata, rub.	br.	Plata, rub.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Da biste izračunali prosečnu platu, potrebno je zbrojiti zarade koje su obračunate svim zaposlenima u preduzeću (tj. pronaći fond zarada) i podeliti sa brojem zaposlenih:

Sada dodajmo našem ukupnom iznosu samo jednu osobu (direktor ovog preduzeća), ali sa platom od 50.000 rubalja. U ovom slučaju, izračunati prosjek će biti potpuno drugačiji:

Kao što vidimo, prelazi 7.000 rubalja itd. veća je od svih vrijednosti atributa sa izuzetkom jednog jedinog zapažanja.

Kako bi se osiguralo da se takvi slučajevi ne dešavaju u praksi i da prosjek ne izgubi smisao (u primjeru 6.1 više ne igra ulogu generalizirajuće karakteristike populacije kakva bi trebao biti), pri izračunavanju prosjeka, anomalan, oštro Izdvojena zapažanja treba isključiti iz analize i teme čine populaciju homogenom, ili podijeliti populaciju u homogene grupe i izračunati prosječne vrijednosti za svaku grupu i analizirati ne ukupni prosjek, već prosječne vrijednosti grupe.

6.1. Aritmetička sredina i njena svojstva

Aritmetička sredina se izračunava ili kao jednostavna ili kao ponderisana vrijednost.

Prilikom izračunavanja prosječne plaće prema podacima u tablici primjer 6.1, sabrali smo sve vrijednosti atributa i podijelili s njihovim brojem. Zapisaćemo napredak naših proračuna u obliku jednostavne aritmetičke srednje formule

gdje je x i - opcije (pojedinačne vrijednosti karakteristike);

n je broj jedinica u agregatu.

Primjer 6.2. Sada da grupišemo naše podatke iz tabele u primeru 6.1, itd. Hajde da konstruišemo diskretnu seriju varijacija distribucije radnika prema nivou nadnica. Rezultati grupisanja prikazani su u tabeli.

Zapišimo izraz za izračunavanje nivoa prosječne plaće u kompaktnijem obliku:

U primjeru 6.2 primijenjena je formula ponderirane aritmetičke sredine

gdje su f i frekvencije koje pokazuju koliko puta se vrijednost atributa x i y javlja u jedinicama populacije.

Pogodno je izračunati aritmetički ponderisani prosek u tabeli, kao što je prikazano u nastavku (Tabela 6.3):

Tabela 6.3. Izračunavanje aritmetičke sredine u diskretnom nizu

Početni podaci	Procijenjeni indikator
plata, rub.	broj zaposlenih, ljudi	fond zarada, rub.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Ukupno	20	132 080

Treba napomenuti da se jednostavna aritmetička sredina koristi u slučajevima kada podaci nisu grupisani ili grupirani, već su sve frekvencije jednake.

Često se rezultati posmatranja predstavljaju u obliku serije intervalne distribucije (vidi tabelu u primjeru 6.4). Zatim, pri izračunavanju prosjeka, sredine intervala se uzimaju kao x i. Ako su prvi i posljednji interval otvoreni (nemaju jednu od granica), onda su uvjetno "zatvoreni", uzimajući vrijednost susjednog intervala kao vrijednost ovog intervala, itd. prvi se zatvara na osnovu vrijednosti drugog, a posljednji - prema vrijednosti pretposljednjeg.

Primjer 6.3. Na osnovu rezultata anketnog uzorka jedne od grupa stanovništva izračunaćemo iznos prosječnog monetarnog dohotka po glavi stanovnika.

U gornjoj tabeli, sredina prvog intervala je 500. Zaista, vrijednost drugog intervala je 1000 (2000-1000); tada je donja granica prve 0 (1000-1000), a njena sredina 500. Isto radimo i sa zadnjim intervalom. Za sredinu uzimamo 25.000: vrijednost pretposljednjeg intervala je 10.000 (20.000-10.000), zatim je njegova gornja granica 30.000 (20.000 + 10.000), a srednja je, shodno tome, 25.000.

Tabela 6.4. Izračunavanje aritmetičke sredine u intervalnoj seriji

Prosječni novčani prihod po glavi stanovnika, rub. Mjesečno	Ukupno stanovništvo, % f i	Sredina intervala x i	x i f i
Do 1.000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20.000 i više	10,4	25 000	260 000
Ukupno	100,0	-	892 850

Tada će prosječni mjesečni prihod po glavi stanovnika biti

Predavanje 5. Prosječne vrijednosti

Koncept prosjeka u statistici

Aritmetička sredina i njena svojstva

Druge vrste proseka snage

Mod i medijan

Kvartili i decili

Prosječne vrijednosti se široko koriste u statistici. Prosječne vrijednosti karakteriziraju kvalitativne pokazatelje komercijalne djelatnosti: troškove distribucije, profit, profitabilnost itd.

Prosjek- Ovo je jedna od uobičajenih tehnika generalizacije. Pravilno razumijevanje suštine prosjeka određuje njegov poseban značaj u tržišnoj ekonomiji, kada nam prosjek, kroz individualni i slučajni, omogućava da identifikujemo opšte i neophodno, da identifikujemo trend obrazaca ekonomskog razvoja.

prosječna vrijednost- ovo su generalizujući indikatori u kojima se izražavaju efekti opštih uslova i obrazaca fenomena koji se proučava.

prosječna vrijednost (u statistici) – opšti pokazatelj koji karakteriše tipičnu veličinu ili nivo društvenih pojava po jedinici stanovništva, pod svim ostalim jednakim uslovima.

Metodom prosjeka može se riješiti sljedeće: glavni ciljevi:

1. Karakteristike stepena razvijenosti pojava.

2. Poređenje dva ili više nivoa.

3. Proučavanje međuodnosa društveno-ekonomskih pojava.

4. Analiza položaja društveno-ekonomskih pojava u prostoru.

Statistički prosjeci se izračunavaju na osnovu masovnih podataka iz pravilno statistički organizovanog posmatranja mase (kontinuirano i selektivno). Međutim, statistički prosjek će biti objektivan i tipičan ako se izračuna iz masovnih podataka za kvalitativno homogenu populaciju (masovne pojave). Na primjer, ako izračunate prosječnu platu u zadrugama i državnim preduzećima, a rezultat proširite na cjelokupno stanovništvo, onda je prosjek fiktivan, jer se računa za heterogenu populaciju i takav prosjek gubi svaki smisao.

Uz pomoć prosjeka izglađuju se razlike u vrijednosti neke karakteristike koje iz ovog ili onog razloga nastaju u pojedinim jedinicama posmatranja. Na primjer, prosječna produktivnost prodavača zavisi od više razloga: kvalifikacije, dužina radnog staža, godine, oblik usluge, zdravlje itd.

Suština prosjeka je u tome što on poništava odstupanja karakterističnih vrijednosti pojedinih jedinica populacije uzrokovane djelovanjem slučajnih faktora, te uzima u obzir promjene uzrokovane djelovanjem glavnih faktora. Ovo omogućava da prosjek odražava tipičan nivo osobine i apstrahuje od individualnih karakteristika svojstvenih pojedinačnim jedinicama.

Prosječna vrijednost je odraz vrijednosti karakteristike koja se proučava, stoga se mjeri u istoj dimenziji kao i ova karakteristika.

Svaka prosječna vrijednost karakterizira populaciju koja se proučava prema bilo kojoj osobini. Da bi se postiglo potpuno i sveobuhvatno razumijevanje populacije koja se proučava prema nizu bitnih karakteristika, općenito je potrebno imati sistem prosječnih vrijednosti koji može opisati fenomen iz različitih uglova.

Postoje različiti proseci:

Aritmetička sredina;

Geometrijska sredina;

Harmonična sredina;

Srednji kvadrat;

Prosječno hronološki.

5.1. Koncept prosjeka

Prosječna vrijednost - Ovo je opšti indikator koji karakteriše tipičan nivo fenomena. Izražava vrijednost karakteristike po jedinici populacije.

Prosek uvek generalizuje kvantitativnu varijaciju osobine, tj. u prosječnim vrijednostima eliminiraju se individualne razlike između jedinica u populaciji zbog slučajnih okolnosti. Za razliku od prosjeka, apsolutna vrijednost koja karakterizira nivo karakteristike pojedine jedinice populacije ne dopušta da se uporede vrijednosti karakteristike među jedinicama koje pripadaju različitim populacijama. Dakle, ako treba da uporedite nivoe zarada radnika u dva preduzeća, onda ne možete porediti dva radnika različitih preduzeća po ovom osnovu. Naknada radnika odabranih za poređenje možda nije tipična za ova preduzeća. Ako uporedimo veličinu fondova zarada u preduzećima koja se razmatraju, broj zaposlenih se ne uzima u obzir i stoga je nemoguće utvrditi gde je nivo zarada veći. U konačnici se mogu porediti samo prosječni pokazatelji, tj. Koliko u svakom preduzeću u proseku zarađuje jedan zaposleni? Dakle, postoji potreba da se izračuna prosječna vrijednost kao generalizirajuća karakteristika populacije.

Izračunavanje prosjeka je jedna od uobičajenih tehnika generalizacije; prosječni indikator negira ono što je zajedničko (tipično) za sve jedinice populacije koja se proučava, dok istovremeno zanemaruje razlike pojedinačnih jedinica. U svakoj pojavi i njenom razvoju postoji kombinacija slučajnosti i nužnosti. Prilikom izračunavanja prosjeka, zbog djelovanja zakona velikih brojeva, slučajnost se poništava i balansira, pa je moguće apstrahirati od nebitnih obilježja pojave, od kvantitativnih vrijednosti karakteristike u svakom konkretnom slučaju . Sposobnost apstrahiranja od slučajnosti pojedinačnih vrijednosti i fluktuacija leži u naučnoj vrijednosti prosjeka kao generalizirajućih karakteristika agregata.

Da bi prosjek bio zaista reprezentativan, mora se izračunati uzimajući u obzir određene principe.

Zaustavimo se na nekim općim principima za korištenje prosjeka.
1. Prosjek se mora odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.
2. Prosjek se mora izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno velikog broja jedinica.
3. Prosjek se mora izračunati za populaciju čije su jedinice u normalnom, prirodnom stanju.
4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj indikatora koji se proučava.

5.2. Vrste prosjeka i metode za njihovo izračunavanje

Razmotrimo sada vrste prosječnih vrijednosti, karakteristike njihovog izračunavanja i područja primjene. Prosječne vrijednosti podijeljene su u dvije velike klase: prosječne snage, strukturne prosječne vrijednosti.

TO prosek snage To uključuje najpoznatije i najčešće korištene tipove, kao što su geometrijska sredina, aritmetička sredina i kvadratna sredina.

As strukturni proseci uzimaju se u obzir mod i medijan.

Hajde da se fokusiramo na proseke snage. Prosjeci snage, u zavisnosti od prezentacije izvornih podataka, mogu biti jednostavni ili ponderisani. Jednostavan prosek Izračunava se na osnovu negrupisanih podataka i ima sljedeći opći oblik:

gdje je X i varijanta (vrijednost) karakteristike koja se usrednjuje;

n – opcija broja.

Prosjećna težina izračunava se na osnovu grupisanih podataka i ima opšti izgled

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) karakteristike koja se prosječuje ili srednja vrijednost intervala u kojem se varijanta mjeri;
m – indeks prosječnog stepena;
f i – frekvencija koja pokazuje koliko puta se pojavljuje i-e vrijednost prosječne karakteristike.

Navedimo kao primjer izračunavanje prosječne starosti učenika u grupi od 20 ljudi:

Prosječnu starost izračunavamo koristeći jednostavnu prosječnu formulu:

Grupirajmo izvorne podatke. Dobijamo sljedeću distribucijsku seriju:

Kao rezultat grupisanja dobijamo novi indikator – učestalost, koji označava broj učenika starosti X godina. Stoga će se prosječna starost učenika u grupi izračunati pomoću ponderirane prosječne formule:

Opće formule za izračunavanje prosječnih snaga imaju eksponent (m). Ovisno o vrijednosti koju uzima, razlikuju se sljedeće vrste prosječnih snaga:
harmonijska sredina ako je m = -1;
geometrijska sredina, ako je m –> 0;
aritmetička sredina ako je m = 1;
srednji kvadrat ako je m = 2;
prosječni kubik ako je m = 3.

Formule za prosječne snage su date u tabeli. 4.4.

Ako izračunate sve vrste prosjeka za iste početne podatke, tada će se njihove vrijednosti pokazati različitim. Ovdje se primjenjuje pravilo većine prosjeka: kako eksponent m raste, raste i odgovarajuća prosječna vrijednost:

U statističkoj praksi, aritmetičke sredine i harmonijske ponderisane sredine se koriste češće od drugih vrsta ponderisanih prosjeka.

Tabela 5.1

Vrste energetskih sredstava

Vrsta moći prosjek	Indeks stepen (m)	Formula za izračun
		Jednostavno	Weighted
Harmonic	-1
Geometrijski	0
Aritmetika	1
Kvadratno	2
Cubic	3

Harmonska sredina ima složeniju strukturu od aritmetičke sredine. Harmonična sredina se koristi za proračune kada se kao težine ne koriste jedinice populacije - nosioci karakteristike, već proizvod tih jedinica sa vrijednostima karakteristike (tj. m = Xf). Prosječnom harmonskom jednostavnom treba pribjeći u slučajevima određivanja npr. prosječnih troškova rada, vremena, materijala po jedinici proizvodnje, po jednom dijelu za dva (tri, četiri, itd.) preduzeća, radnika koji se bave proizvodnjom. iste vrste proizvoda, istog dijela, proizvoda.

Glavni zahtjev za formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti je da sve faze proračuna imaju stvarno smisleno opravdanje; rezultirajuća prosječna vrijednost treba zamijeniti pojedinačne vrijednosti atributa za svaki objekt bez narušavanja veze između pojedinačnih i zbirnih pokazatelja. Drugim riječima, prosječna vrijednost mora biti izračunata na način da kada se svaka pojedinačna vrijednost prosječnog indikatora zamijeni njegovom prosječnom vrijednošću, neki konačni zbirni pokazatelj, na ovaj ili onaj način povezan sa prosječnom vrijednošću, ostane nepromijenjen. Ovaj zbroj se zove definisanje budući da priroda njegovog odnosa sa pojedinačnim vrijednostima određuje specifičnu formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti. Pokažimo ovo pravilo na primjeru geometrijske sredine.

Formula geometrijske sredine

najčešće se koristi prilikom izračunavanja prosječne vrijednosti na osnovu individualne relativne dinamike.

Geometrijska sredina se koristi ako je dat niz lančane relativne dinamike, koji ukazuje na, na primjer, povećanje obima proizvodnje u odnosu na nivo prethodne godine: i 1, i 2, i 3,..., i n. Očigledno je da je obim proizvodnje u prošloj godini određen njenim početnim nivoom (q 0) i naknadnim povećanjem tokom godina:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Uzimajući q n kao određujući indikator i zamjenjujući pojedinačne vrijednosti indikatora dinamike prosječnim, dolazimo do relacije

Odavde

5.3. Strukturni proseci

Posebna vrsta prosječnih vrijednosti - strukturni prosjeci - koristi se za proučavanje unutrašnje strukture distributivnog niza vrijednosti atributa, kao i za procjenu prosječne vrijednosti (vrste snage), ako je, prema dostupnim statističkim podacima, njena kalkulacija se ne može izvršiti (na primjer, ako u razmatranom primjeru ne postoje podaci i o obimu proizvodnje i o visini troškova po grupama preduzeća).

Indikatori se najčešće koriste kao strukturni prosjeci moda - najčešće ponavljana vrijednost atributa – i medijane - vrijednost karakteristike koja dijeli uređeni niz njegovih vrijednosti na dva jednaka dijela. Kao rezultat toga, za jednu polovinu jedinica u populaciji vrijednost atributa ne prelazi srednji nivo, a za drugu polovinu nije manja od njega.

Ako karakteristika koja se proučava ima diskretne vrijednosti, onda nema posebnih poteškoća u izračunavanju modusa i medijana. Ako se podaci o vrijednostima atributa X prezentiraju u obliku uređenih intervala njegove promjene (intervalne serije), izračunavanje moda i medijana postaje nešto složenije. Budući da vrijednost medijane dijeli cijelu populaciju na dva jednaka dijela, ona završava u jednom od intervala karakteristike X. Interpolacijom se vrijednost medijane nalazi u ovom srednjem intervalu:

,

gdje je X Me donja granica srednjeg intervala;
h Me – njegova vrijednost;
(Zbir m)/2 – polovina ukupnog broja posmatranja ili polovina volumena indikatora koji se koristi kao ponder u formulama za izračunavanje prosječne vrijednosti (u apsolutnom ili relativnom iznosu);
S Me-1 – zbir zapažanja (ili volumen atributa ponderiranja) akumuliranih prije početka srednjeg intervala;
m Me – broj zapažanja ili obim težinske karakteristike u srednjem intervalu (također u apsolutnom ili relativnom smislu).

U našem primjeru mogu se dobiti čak tri srednje vrijednosti - na osnovu broja preduzeća, obima proizvodnje i ukupnih troškova proizvodnje:

Dakle, u polovini preduzeća trošak po jedinici proizvodnje prelazi 125,19 hiljada rubalja, polovina ukupnog obima proizvoda proizvodi se sa troškom po proizvodu većim od 124,79 hiljada rubalja. a 50% ukupnih troškova formira se kada je cijena jednog proizvoda iznad 125,07 hiljada rubalja. Imajte na umu i da postoji određena tendencija ka povećanju troškova, budući da je Me 2 = 124,79 hiljada rubalja, a prosječni nivo je 123,15 hiljada rubalja.

Prilikom izračunavanja modalne vrijednosti karakteristike na osnovu podataka niza intervala, potrebno je obratiti pažnju na činjenicu da su intervali identični, jer od toga ovisi pokazatelj ponovljivosti vrijednosti karakteristike X. Za intervalni niz sa jednakim intervalima, veličina moda se određuje kao

gdje je X Mo donja vrijednost modalnog intervala;
m Mo – broj zapažanja ili zapremina težinske karakteristike u modalnom intervalu (u apsolutnom ili relativnom smislu);
m Mo -1 – isto za interval koji prethodi modalnom;
m Mo+1 – isto za interval koji slijedi nakon modalnog;
h – vrijednost intervala promjene karakteristike u grupama.

Za naš primjer možemo izračunati tri modalne vrijednosti na osnovu karakteristika broja preduzeća, količine proizvoda i iznosa troškova. U sva tri slučaja modalni interval je isti, jer su za isti interval najveći broj preduzeća, obim proizvodnje i ukupni troškovi proizvodnje:

Dakle, najčešće postoje preduzeća sa nivoom troškova od 126,75 hiljada rubalja, najčešće se proizvode proizvodi sa nivoom troškova od 126,69 hiljada rubalja, a najčešće se troškovi proizvodnje objašnjavaju nivoom troškova od 123,73 hiljada rubalja.

5.4. Indikatori varijacije

Specifični uslovi u kojima se nalazi svaki od proučavanih objekata, kao i karakteristike sopstvenog razvoja (društveni, ekonomski i dr.) izraženi su odgovarajućim numeričkim nivoima statističkih pokazatelja. dakle, varijacija, one. neslaganje između nivoa istog indikatora u različitim objektima je objektivno po prirodi i pomaže da se shvati suština fenomena koji se proučava.

Postoji nekoliko metoda koje se koriste za mjerenje varijacija u statistici.

Najjednostavnije je izračunati indikator raspon varijacija H kao razlika između maksimalne (X max) i minimalne (X min) uočene vrijednosti karakteristike:

H=X max - X min.

Međutim, raspon varijacije pokazuje samo ekstremne vrijednosti osobine. Ovdje se ne uzima u obzir ponovljivost međuvrijednosti.

Strožije karakteristike su indikatori varijabilnosti u odnosu na prosječni nivo atributa. Najjednostavniji indikator ove vrste je prosječno linearno odstupanje L kao aritmetička sredina apsolutnih odstupanja karakteristike od njenog prosječnog nivoa:

Kada su pojedinačne vrijednosti X ponovljive, koristite formulu ponderiranog aritmetičkog prosjeka:

(Podsjetimo se da je algebarski zbir odstupanja od prosječnog nivoa nula.)

Indikator prosječne linearne devijacije se široko koristi u praksi. Uz njegovu pomoć, na primjer, analizira se sastav radnika, ritam proizvodnje, ujednačenost nabavke materijala i razvijaju se sistemi materijalnih poticaja. Ali, nažalost, ovaj pokazatelj otežava vjerovatnoća izračunavanja i komplikuje korištenje metoda matematičke statistike. Stoga je u statističkim naučnim istraživanjima indikator koji se najčešće koristi za mjerenje varijacije varijanse.

Varijanca karakteristike (s 2) određuje se na osnovu kvadratne srednje srednje snage:

.

Poziva se indikator s jednak standardna devijacija.

U općoj teoriji statistike, indikator disperzije je procjena istoimenog indikatora teorije vjerovatnoće i (kao zbir kvadrata odstupanja) procjena disperzije u matematičkoj statistici, što omogućava korištenje odredbi ovih teorijske discipline za analizu društveno-ekonomskih procesa.

Ako se varijacija procijeni na osnovu malog broja opservacija uzetih iz neograničene populacije, tada se prosječna vrijednost karakteristike određuje s nekom greškom. Pokazalo se da je izračunata vrijednost disperzije pomaknuta prema smanjenju. Da bi se dobila nepristrasna procjena, varijansa uzorka dobivena korištenjem prethodno datih formula mora se pomnožiti sa vrijednošću n / (n - 1). Kao rezultat toga, uz mali broj zapažanja (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Obično, već za n > (15÷20), neslaganje između pristrasnih i nepristrasnih procjena postaje beznačajno. Iz istog razloga, pristranost se obično ne uzima u obzir u formuli za dodavanje varijansi.

Ako se iz opće populacije uzme više uzoraka i svaki put se odredi prosječna vrijednost neke karakteristike, onda nastaje problem procjene varijabilnosti prosjeka. Procijenite varijansu prosječna vrijednost moguće je na osnovu samo jednog posmatranja uzorka koristeći formulu

,

gdje je n veličina uzorka; s 2 – varijansa karakteristike izračunate iz podataka uzorka.

Magnituda se zove prosječna greška uzorkovanja i karakteristika je odstupanja prosječne vrijednosti uzorka atributa X od njegove prave prosječne vrijednosti. Indikator prosječne greške se koristi za procjenu pouzdanosti rezultata posmatranja uzorka.

Pokazatelji relativne disperzije. Za karakterizaciju mjere varijabilnosti karakteristike koja se proučava, indikatori varijabilnosti se izračunavaju u relativnim vrijednostima. Oni omogućavaju poređenje prirode disperzije u različitim distribucijama (različite jedinice posmatranja iste karakteristike u dvije populacije, s različitim prosječnim vrijednostima, kada se porede populacije različitih imena). Izračunavanje indikatora mjere relativne disperzije vrši se kao omjer indikatora apsolutne disperzije i aritmetičke sredine, pomnožen sa 100%.

1. Koeficijent oscilacije odražava relativnu fluktuaciju ekstremnih vrijednosti karakteristike oko prosjeka

.

2. Relativno linearno isključenje karakteriše udio prosječne vrijednosti predznaka apsolutnih odstupanja od prosječne vrijednosti

.

3. Koeficijent varijacije:

je najčešća mjera varijabilnosti koja se koristi za procjenu tipičnosti prosječnih vrijednosti.

U statistici se populacije sa koeficijentom varijacije većim od 30-35% smatraju heterogenim.

Ova metoda procjene varijacije također ima značajan nedostatak. Zaista, neka, na primjer, prvobitna populacija radnika sa prosječnim stažom od 15 godina, sa standardnom devijacijom od s = 10 godina, „ostari” za još 15 godina. Sada = 30 godina, a standardna devijacija je i dalje 10. Ranije heterogena populacija (10/15 × 100 = 66,7%), što se pokazalo kao prilično homogeno tokom vremena (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Teorijske studije iz statistike: Sub. Scientific Trudov – M.: Statistika, 1974. str. 19–57.

Prethodno