Suma przeciwnych boków trapezu. Okrąg opisany i trapez

W tym artykule postaramy się jak najpełniej odzwierciedlić właściwości trapezu. W szczególności omówimy ogólne cechy i właściwości trapezu, a także właściwości trapezu wpisanego i okręgu wpisanego w trapez. Dotkniemy także właściwości trapezu równoramiennego i prostokątnego.

Przykład rozwiązania problemu z wykorzystaniem omawianych właściwości pomoże Ci uporządkować go w miejsca w głowie i lepiej zapamiętać materiał.

Trapez i wszystko-wszystko

Na początek przypomnijmy sobie krótko, czym jest trapez i jakie inne pojęcia są z nim związane.

Zatem trapez jest figurą czworoboczną, której dwa boki są do siebie równoległe (są to podstawy). I te dwa nie są równoległe - to są boki.

W trapezie wysokość można obniżyć - prostopadle do podstaw. Rysowana jest linia środkowa i przekątne. Można również narysować dwusieczną z dowolnego kąta trapezu.

Porozmawiamy teraz o różnych właściwościach związanych ze wszystkimi tymi elementami i ich kombinacjami.

Własności przekątnych trapezowych

Aby było to jaśniejsze, podczas czytania naszkicuj trapez ACME na kartce papieru i narysuj w nim przekątne.

1. Jeśli znajdziesz środki każdej z przekątnych (nazwijmy te punkty X i T) i połącz je, otrzymasz odcinek. Jedną z właściwości przekątnych trapezu jest to, że odcinek HT leży na linii środkowej. A jego długość można uzyskać, dzieląc różnicę podstaw przez dwa: ХТ = (a – b)/2.
2. Przed nami ten sam trapez ACME. Przekątne przecinają się w punkcie O. Przyjrzyjmy się trójkątom AOE i MOK utworzonym z odcinków przekątnych wraz z podstawami trapezu. Te trójkąty są podobne. Współczynnik podobieństwa k trójkątów wyraża się stosunkiem podstaw trapezu: k = AE/KM.
   Stosunek pól trójkątów AOE i MOK opisuje współczynnik k 2 .
3. Ten sam trapez, te same przekątne przecinające się w punkcie O. Tylko tym razem rozważymy trójkąty, które utworzyły odcinki przekątnych razem z bokami trapezu. Pola trójkątów AKO i EMO są równej wielkości - ich pola są takie same.
4. Inną właściwością trapezu jest konstrukcja przekątnych. Tak więc, jeśli będziesz kontynuować boki AK i ME w kierunku mniejszej podstawy, to prędzej czy później przetną się w pewnym punkcie. Następnie narysuj linię prostą przez środek podstaw trapezu. Przecina podstawy w punktach X i T.
   Jeśli teraz przedłużymy linię XT, to połączy ona ze sobą punkt przecięcia przekątnych trapezu O, punkt, w którym przecinają się przedłużenia boków i środki podstaw X i T.
5. Przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek, który połączy podstawy trapezu (T leży na mniejszej podstawie KM, X na większej AE). Punkt przecięcia przekątnych dzieli ten odcinek w następującym stosunku: TO/OX = KM/AE.
6. Teraz przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek równoległy do ​​podstaw trapezu (a i b). Punkt przecięcia podzieli go na dwie równe części. Długość odcinka można znaleźć za pomocą wzoru 2ab/(a + b).

Właściwości linii środkowej trapezu

Narysuj linię środkową trapezu równolegle do jego podstaw.

1. Długość linii środkowej trapezu można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: m = (a + b)/2.
2. Jeśli przeciągniesz dowolny odcinek (na przykład wysokość) przez obie podstawy trapezu, środkowa linia podzieli go na dwie równe części.

Właściwość dwusiecznej trapezu

Wybierz dowolny kąt trapezu i narysuj dwusieczną. Weźmy na przykład kąt KAE naszego trapezu ACME. Po samodzielnym wykonaniu konstrukcji łatwo sprawdzić, czy dwusieczna odcina od podstawy (lub jej kontynuacji na linii prostej poza samą figurą) odcinek o tej samej długości co bok.

Właściwości kątów trapezowych

1. Niezależnie od tego, którą z dwóch par kątów przylegających do boku wybierzesz, suma kątów w parze wynosi zawsze 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
2. Połączmy środki podstaw trapezu z odcinkiem TX. Przyjrzyjmy się teraz kątom u podstaw trapezu. Jeżeli suma kątów któregokolwiek z nich wynosi 90 0, długość odcinka TX można łatwo obliczyć na podstawie różnicy długości podstaw podzielonej na pół: TX = (AE – KM)/2.
3. Jeśli przez boki kąta trapezowego poprowadzono równoległe linie, podzielą one boki kąta na proporcjonalne odcinki.

Właściwości trapezu równobocznego

1. W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe.
2. Teraz zbuduj ponownie trapez, aby łatwiej było sobie wyobrazić, o czym mówimy. Przyjrzyj się uważnie bazie AE - wierzchołek przeciwnej podstawy M jest rzutowany do pewnego punktu na linii zawierającej AE. Odległość wierzchołka A od punktu rzutu wierzchołka M i linii środkowej trapezu równoramiennego są równe.
3. Kilka słów o własności przekątnych trapezu równoramiennego - ich długości są równe. A także kąty nachylenia tych przekątnych do podstawy trapezu są takie same.
4. Okrąg można opisać tylko wokół trapezu równoramiennego, ponieważ suma przeciwnych kątów czworoboku wynosi 180 0 - jest to warunek wstępny.
5. Właściwość trapezu równoramiennego wynika z poprzedniego akapitu - jeśli w pobliżu trapezu można opisać okrąg, jest to równoramienny.
6. Z cech trapezu równoramiennego wynika właściwość wysokości trapezu: jeśli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, wówczas długość wysokości jest równa połowie sumy podstaw: h = (a + b)/2.
7. Ponownie narysuj odcinek TX przez środki podstaw trapezu - w trapezie równoramiennym jest on prostopadły do ​​podstaw. Jednocześnie TX jest osią symetrii trapezu równoramiennego.
8. Tym razem obniż wysokość z przeciwnego wierzchołka trapezu na większą podstawę (nazwijmy to a). Otrzymasz dwa segmenty. Długość jednego można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: (a + b)/2. Drugą otrzymamy, gdy od większej podstawy odejmiemy mniejszą i uzyskaną różnicę podzielimy przez dwa: (a – b)/2.

Właściwości trapezu wpisanego w okrąg

Ponieważ mówimy już o trapezie wpisanym w okrąg, zastanówmy się nad tym zagadnieniem bardziej szczegółowo. W szczególności, gdzie środek okręgu znajduje się w stosunku do trapezu. Tutaj również zaleca się poświęcenie czasu na chwycenie ołówka i narysowanie tego, co zostanie omówione poniżej. W ten sposób szybciej zrozumiesz i lepiej zapamiętasz.

1. Położenie środka okręgu wyznacza kąt nachylenia przekątnej trapezu na jego bok. Na przykład przekątna może rozciągać się od góry trapezu pod kątem prostym do boku. W tym przypadku większa podstawa przecina środek okręgu opisanego dokładnie w środku (R = ½AE).
2. Przekątna i bok mogą również spotykać się pod kątem ostrym - wtedy środek okręgu znajduje się wewnątrz trapezu.
3. Środek okręgu opisanego może znajdować się na zewnątrz trapezu, poza jego większą podstawą, jeśli między przekątną trapezu a jego bokiem istnieje kąt rozwarty.
4. Kąt utworzony przez przekątną i dużą podstawę trapezu ACME (kąt wpisany) jest połową odpowiadającego mu kąta środkowego: MAE = ½MOE.
5. Krótko o dwóch sposobach wyznaczania promienia opisanego okręgu. Metoda pierwsza: przyjrzyj się uważnie swojemu rysunkowi – co widzisz? Łatwo zauważyć, że przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Promień można obliczyć ze stosunku boku trójkąta do sinusa przeciwnego kąta pomnożonego przez dwa. Na przykład, R = AE/2*sinAME. W podobny sposób wzór można zapisać dla dowolnego boku obu trójkątów.
6. Metoda druga: znajdź promień opisanego koła przez obszar trójkąta utworzonego przez przekątną, bok i podstawę trapezu: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Właściwości trapezu opisanego na okręgu

Można zmieścić okrąg w trapezie, jeśli spełniony jest jeden warunek. Przeczytaj więcej na ten temat poniżej. Razem ta kombinacja liczb ma wiele interesujących właściwości.

1. Jeśli w trapez wpisano okrąg, długość jego linii środkowej można łatwo obliczyć, dodając długości boków i dzieląc otrzymaną sumę na pół: m = (c + d)/2.
2. Dla trapezu ACME opisanego na okręgu suma długości podstaw jest równa sumie długości boków: AK + ME = KM + AE.
3. Z tej własności podstaw trapezu wynika stwierdzenie odwrotne: w trapezoid, którego suma podstaw jest równa sumie jego boków, można wpisać okrąg.
4. Punkt styczny okręgu o promieniu r wpisanego w trapez dzieli bok na dwa odcinki, nazwijmy je a i b. Promień okręgu można obliczyć korzystając ze wzoru: r = √ab.
5. I jeszcze jedna nieruchomość. Aby uniknąć nieporozumień, sam również narysuj ten przykład. Mamy stary, dobry trapez ACME opisany wokół okręgu. Zawiera przekątne przecinające się w punkcie O. Trójkąty AOK i EOM utworzone przez odcinki przekątnych i boki boczne są prostokątne.
   Wysokości tych trójkątów, obniżone do przeciwprostokątnych (tj. bocznych boków trapezu), pokrywają się z promieniami okręgu wpisanego. A wysokość trapezu pokrywa się ze średnicą wpisanego koła.

Właściwości trapezu prostokątnego

Trapez nazywa się prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest prosty. I z tej okoliczności wynikają jego właściwości.

1. Trapez prostokątny ma jeden bok prostopadły do ​​podstawy.
2. Wysokość i bok trapezu sąsiadującego z kątem prostym są równe. Pozwala to obliczyć pole prostokątnego trapezu (wzór ogólny S = (a + b) * godz/2) nie tylko przez wysokość, ale także przez bok przylegający do kąta prostego.
3. W przypadku trapezu prostokątnego istotne są ogólne właściwości przekątnych trapezu opisane już powyżej.

Dowody na niektóre właściwości trapezu

Równość kątów u podstawy trapezu równoramiennego:

• Prawdopodobnie już zgadłeś, że tutaj znów będziemy potrzebować trapezu AKME - narysuj trapez równoramienny. Narysuj linię prostą MT z wierzchołka M, równoległą do boku AK (MT || AK).

Powstały czworobok AKMT jest równoległobokiem (AK || MT, KM || AT). Ponieważ ME = KA = MT, ∆ MTE jest równoramienne, a MET = MTE.

AK || MT, zatem MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdzie AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

co było do okazania

Teraz, bazując na własności trapezu równoramiennego (równość przekątnych), udowodnimy to trapez ACME jest równoramienny:

• Najpierw narysujmy linię prostą MX – MX || KE. Otrzymujemy równoległobok KMHE (podstawa – MX || KE i KM || EX).

∆AMX jest równoramienne, ponieważ AM = KE = MX i MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, zatem MAE = MXE.

Okazało się, że trójkąty AKE i EMA są sobie równe, ponieważ AM = KE i AE są wspólnymi bokami obu trójkątów. A także MAE = MXE. Możemy stwierdzić, że AK = ME i z tego wynika, że ​​trapez AKME jest równoramienny.

Przejrzyj zadanie

Podstawy trapezu ACME mają długości 9 cm i 21 cm, bok KA równy 8 cm tworzy z mniejszą podstawą kąt 150 0. Musisz znaleźć obszar trapezu.

Rozwiązanie: Z wierzchołka K obniżamy wysokość do większej podstawy trapezu. Zacznijmy patrzeć na kąty trapezu.

Kąty AEM i KAN są jednostronne. Oznacza to, że w sumie dają 180 0. Zatem KAN = 30 0 (na podstawie właściwości kątów trapezowych).

Rozważmy teraz prostokątną ∆ANC (uważam, że ten punkt jest oczywisty dla czytelników bez dodatkowych dowodów). Z niego znajdziemy wysokość trapezu KH - w trójkącie jest to noga leżąca naprzeciw kąta 30 0. Dlatego KH = ½AB = 4 cm.

Pole trapezu obliczamy ze wzoru: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Posłowie

Jeśli dokładnie i starannie przestudiowałeś ten artykuł, nie byłeś zbyt leniwy, aby narysować trapezy dla wszystkich podanych właściwości ołówkiem w dłoniach i przeanalizować je w praktyce, powinieneś dobrze opanować materiał.

Oczywiście jest tu mnóstwo informacji, różnorodnych, a czasem nawet zagmatwanych: nie tak trudno pomylić właściwości opisywanego trapezu z właściwościami wpisanego. Ale sam widziałeś, że różnica jest ogromna.

Teraz masz szczegółowy zarys wszystkich ogólnych właściwości trapezu. A także specyficzne właściwości i cechy trapezów równoramiennych i prostokątnych. Jest bardzo wygodny w użyciu w celu przygotowania się do sprawdzianów i egzaminów. Wypróbuj sam i udostępnij link swoim znajomym!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

W tym artykule postaramy się jak najpełniej odzwierciedlić właściwości trapezu. W szczególności omówimy ogólne cechy i właściwości trapezu, a także właściwości trapezu wpisanego i okręgu wpisanego w trapez. Dotkniemy także właściwości trapezu równoramiennego i prostokątnego.

Przykład rozwiązania problemu z wykorzystaniem omawianych właściwości pomoże Ci uporządkować go w miejsca w głowie i lepiej zapamiętać materiał.

Trapez i wszystko-wszystko

Na początek przypomnijmy sobie krótko, czym jest trapez i jakie inne pojęcia są z nim związane.

Zatem trapez jest figurą czworoboczną, której dwa boki są do siebie równoległe (są to podstawy). I te dwa nie są równoległe - to są boki.

W trapezie wysokość można obniżyć - prostopadle do podstaw. Rysowana jest linia środkowa i przekątne. Można również narysować dwusieczną z dowolnego kąta trapezu.

Porozmawiamy teraz o różnych właściwościach związanych ze wszystkimi tymi elementami i ich kombinacjami.

Własności przekątnych trapezowych

Aby było to jaśniejsze, podczas czytania naszkicuj trapez ACME na kartce papieru i narysuj w nim przekątne.

1. Jeśli znajdziesz środki każdej z przekątnych (nazwijmy te punkty X i T) i połącz je, otrzymasz odcinek. Jedną z właściwości przekątnych trapezu jest to, że odcinek HT leży na linii środkowej. A jego długość można uzyskać, dzieląc różnicę podstaw przez dwa: ХТ = (a – b)/2.
2. Przed nami ten sam trapez ACME. Przekątne przecinają się w punkcie O. Przyjrzyjmy się trójkątom AOE i MOK utworzonym z odcinków przekątnych wraz z podstawami trapezu. Te trójkąty są podobne. Współczynnik podobieństwa k trójkątów wyraża się stosunkiem podstaw trapezu: k = AE/KM.
   Stosunek pól trójkątów AOE i MOK opisuje współczynnik k 2 .
3. Ten sam trapez, te same przekątne przecinające się w punkcie O. Tylko tym razem rozważymy trójkąty, które utworzyły odcinki przekątnych razem z bokami trapezu. Pola trójkątów AKO i EMO są równej wielkości - ich pola są takie same.
4. Inną właściwością trapezu jest konstrukcja przekątnych. Tak więc, jeśli będziesz kontynuować boki AK i ME w kierunku mniejszej podstawy, to prędzej czy później przetną się w pewnym punkcie. Następnie narysuj linię prostą przez środek podstaw trapezu. Przecina podstawy w punktach X i T.
   Jeśli teraz przedłużymy linię XT, to połączy ona ze sobą punkt przecięcia przekątnych trapezu O, punkt, w którym przecinają się przedłużenia boków i środki podstaw X i T.
5. Przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek, który połączy podstawy trapezu (T leży na mniejszej podstawie KM, X na większej AE). Punkt przecięcia przekątnych dzieli ten odcinek w następującym stosunku: TO/OX = KM/AE.
6. Teraz przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek równoległy do ​​podstaw trapezu (a i b). Punkt przecięcia podzieli go na dwie równe części. Długość odcinka można znaleźć za pomocą wzoru 2ab/(a + b).

Właściwości linii środkowej trapezu

Narysuj linię środkową trapezu równolegle do jego podstaw.

1. Długość linii środkowej trapezu można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: m = (a + b)/2.
2. Jeśli przeciągniesz dowolny odcinek (na przykład wysokość) przez obie podstawy trapezu, środkowa linia podzieli go na dwie równe części.

Właściwość dwusiecznej trapezu

Wybierz dowolny kąt trapezu i narysuj dwusieczną. Weźmy na przykład kąt KAE naszego trapezu ACME. Po samodzielnym wykonaniu konstrukcji łatwo sprawdzić, czy dwusieczna odcina od podstawy (lub jej kontynuacji na linii prostej poza samą figurą) odcinek o tej samej długości co bok.

Właściwości kątów trapezowych

1. Niezależnie od tego, którą z dwóch par kątów przylegających do boku wybierzesz, suma kątów w parze wynosi zawsze 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
2. Połączmy środki podstaw trapezu z odcinkiem TX. Przyjrzyjmy się teraz kątom u podstaw trapezu. Jeżeli suma kątów któregokolwiek z nich wynosi 90 0, długość odcinka TX można łatwo obliczyć na podstawie różnicy długości podstaw podzielonej na pół: TX = (AE – KM)/2.
3. Jeśli przez boki kąta trapezowego poprowadzono równoległe linie, podzielą one boki kąta na proporcjonalne odcinki.

Właściwości trapezu równobocznego

1. W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe.
2. Teraz zbuduj ponownie trapez, aby łatwiej było sobie wyobrazić, o czym mówimy. Przyjrzyj się uważnie bazie AE - wierzchołek przeciwnej podstawy M jest rzutowany do pewnego punktu na linii zawierającej AE. Odległość wierzchołka A od punktu rzutu wierzchołka M i linii środkowej trapezu równoramiennego są równe.
3. Kilka słów o własności przekątnych trapezu równoramiennego - ich długości są równe. A także kąty nachylenia tych przekątnych do podstawy trapezu są takie same.
4. Okrąg można opisać tylko wokół trapezu równoramiennego, ponieważ suma przeciwnych kątów czworoboku wynosi 180 0 - jest to warunek wstępny.
5. Właściwość trapezu równoramiennego wynika z poprzedniego akapitu - jeśli w pobliżu trapezu można opisać okrąg, jest to równoramienny.
6. Z cech trapezu równoramiennego wynika właściwość wysokości trapezu: jeśli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, wówczas długość wysokości jest równa połowie sumy podstaw: h = (a + b)/2.
7. Ponownie narysuj odcinek TX przez środki podstaw trapezu - w trapezie równoramiennym jest on prostopadły do ​​podstaw. Jednocześnie TX jest osią symetrii trapezu równoramiennego.
8. Tym razem obniż wysokość z przeciwnego wierzchołka trapezu na większą podstawę (nazwijmy to a). Otrzymasz dwa segmenty. Długość jednego można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: (a + b)/2. Drugą otrzymamy, gdy od większej podstawy odejmiemy mniejszą i uzyskaną różnicę podzielimy przez dwa: (a – b)/2.

Właściwości trapezu wpisanego w okrąg

Ponieważ mówimy już o trapezie wpisanym w okrąg, zastanówmy się nad tym zagadnieniem bardziej szczegółowo. W szczególności, gdzie środek okręgu znajduje się w stosunku do trapezu. Tutaj również zaleca się poświęcenie czasu na chwycenie ołówka i narysowanie tego, co zostanie omówione poniżej. W ten sposób szybciej zrozumiesz i lepiej zapamiętasz.

1. Położenie środka okręgu wyznacza kąt nachylenia przekątnej trapezu na jego bok. Na przykład przekątna może rozciągać się od góry trapezu pod kątem prostym do boku. W tym przypadku większa podstawa przecina środek okręgu opisanego dokładnie w środku (R = ½AE).
2. Przekątna i bok mogą również spotykać się pod kątem ostrym - wtedy środek okręgu znajduje się wewnątrz trapezu.
3. Środek okręgu opisanego może znajdować się na zewnątrz trapezu, poza jego większą podstawą, jeśli między przekątną trapezu a jego bokiem istnieje kąt rozwarty.
4. Kąt utworzony przez przekątną i dużą podstawę trapezu ACME (kąt wpisany) jest połową odpowiadającego mu kąta środkowego: MAE = ½MOE.
5. Krótko o dwóch sposobach wyznaczania promienia opisanego okręgu. Metoda pierwsza: przyjrzyj się uważnie swojemu rysunkowi – co widzisz? Łatwo zauważyć, że przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Promień można obliczyć ze stosunku boku trójkąta do sinusa przeciwnego kąta pomnożonego przez dwa. Na przykład, R = AE/2*sinAME. W podobny sposób wzór można zapisać dla dowolnego boku obu trójkątów.
6. Metoda druga: znajdź promień opisanego koła przez obszar trójkąta utworzonego przez przekątną, bok i podstawę trapezu: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Właściwości trapezu opisanego na okręgu

Można zmieścić okrąg w trapezie, jeśli spełniony jest jeden warunek. Przeczytaj więcej na ten temat poniżej. Razem ta kombinacja liczb ma wiele interesujących właściwości.

1. Jeśli w trapez wpisano okrąg, długość jego linii środkowej można łatwo obliczyć, dodając długości boków i dzieląc otrzymaną sumę na pół: m = (c + d)/2.
2. Dla trapezu ACME opisanego na okręgu suma długości podstaw jest równa sumie długości boków: AK + ME = KM + AE.
3. Z tej własności podstaw trapezu wynika stwierdzenie odwrotne: w trapezoid, którego suma podstaw jest równa sumie jego boków, można wpisać okrąg.
4. Punkt styczny okręgu o promieniu r wpisanego w trapez dzieli bok na dwa odcinki, nazwijmy je a i b. Promień okręgu można obliczyć korzystając ze wzoru: r = √ab.
5. I jeszcze jedna nieruchomość. Aby uniknąć nieporozumień, sam również narysuj ten przykład. Mamy stary, dobry trapez ACME opisany wokół okręgu. Zawiera przekątne przecinające się w punkcie O. Trójkąty AOK i EOM utworzone przez odcinki przekątnych i boki boczne są prostokątne.
   Wysokości tych trójkątów, obniżone do przeciwprostokątnych (tj. bocznych boków trapezu), pokrywają się z promieniami okręgu wpisanego. A wysokość trapezu pokrywa się ze średnicą wpisanego koła.

Właściwości trapezu prostokątnego

Trapez nazywa się prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest prosty. I z tej okoliczności wynikają jego właściwości.

1. Trapez prostokątny ma jeden bok prostopadły do ​​podstawy.
2. Wysokość i bok trapezu sąsiadującego z kątem prostym są równe. Pozwala to obliczyć pole prostokątnego trapezu (wzór ogólny S = (a + b) * godz/2) nie tylko przez wysokość, ale także przez bok przylegający do kąta prostego.
3. W przypadku trapezu prostokątnego istotne są ogólne właściwości przekątnych trapezu opisane już powyżej.

Dowody na niektóre właściwości trapezu

Równość kątów u podstawy trapezu równoramiennego:

• Prawdopodobnie już zgadłeś, że tutaj znów będziemy potrzebować trapezu AKME - narysuj trapez równoramienny. Narysuj linię prostą MT z wierzchołka M, równoległą do boku AK (MT || AK).

Powstały czworobok AKMT jest równoległobokiem (AK || MT, KM || AT). Ponieważ ME = KA = MT, ∆ MTE jest równoramienne, a MET = MTE.

AK || MT, zatem MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdzie AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

co było do okazania

Teraz, bazując na własności trapezu równoramiennego (równość przekątnych), udowodnimy to trapez ACME jest równoramienny:

• Najpierw narysujmy linię prostą MX – MX || KE. Otrzymujemy równoległobok KMHE (podstawa – MX || KE i KM || EX).

∆AMX jest równoramienne, ponieważ AM = KE = MX i MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, zatem MAE = MXE.

Okazało się, że trójkąty AKE i EMA są sobie równe, ponieważ AM = KE i AE są wspólnymi bokami obu trójkątów. A także MAE = MXE. Możemy stwierdzić, że AK = ME i z tego wynika, że ​​trapez AKME jest równoramienny.

Przejrzyj zadanie

Podstawy trapezu ACME mają długości 9 cm i 21 cm, bok KA równy 8 cm tworzy z mniejszą podstawą kąt 150 0. Musisz znaleźć obszar trapezu.

Rozwiązanie: Z wierzchołka K obniżamy wysokość do większej podstawy trapezu. Zacznijmy patrzeć na kąty trapezu.

Kąty AEM i KAN są jednostronne. Oznacza to, że w sumie dają 180 0. Zatem KAN = 30 0 (na podstawie właściwości kątów trapezowych).

Rozważmy teraz prostokątną ∆ANC (uważam, że ten punkt jest oczywisty dla czytelników bez dodatkowych dowodów). Z niego znajdziemy wysokość trapezu KH - w trójkącie jest to noga leżąca naprzeciw kąta 30 0. Dlatego KH = ½AB = 4 cm.

Pole trapezu obliczamy ze wzoru: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Posłowie

Jeśli dokładnie i starannie przestudiowałeś ten artykuł, nie byłeś zbyt leniwy, aby narysować trapezy dla wszystkich podanych właściwości ołówkiem w dłoniach i przeanalizować je w praktyce, powinieneś dobrze opanować materiał.

Oczywiście jest tu mnóstwo informacji, różnorodnych, a czasem nawet zagmatwanych: nie tak trudno pomylić właściwości opisywanego trapezu z właściwościami wpisanego. Ale sam widziałeś, że różnica jest ogromna.

Teraz masz szczegółowy zarys wszystkich ogólnych właściwości trapezu. A także specyficzne właściwości i cechy trapezów równoramiennych i prostokątnych. Jest bardzo wygodny w użyciu w celu przygotowania się do sprawdzianów i egzaminów. Wypróbuj sam i udostępnij link swoim znajomym!

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

FGKOU „MKK” Internat dla uczniów Ministerstwa Obrony Federacji Rosyjskiej”

"ZATWIERDZONY"

Kierownik odrębnej dyscypliny

(matematyka, informatyka i ICT)

Yu V. Krylova _____________

„___” _____________ 2015

« Trapez i jego właściwości»

Rozwój metodologiczny

nauczyciel matematyki

Shatalina Elena Dmitrievna

Oceniony i

na posiedzeniu PMO w dniu _______________

Protokół nr ______

Moskwa

2015

Spis treści

Wprowadzenie 2

Definicje 3

Właściwości trapezu równoramiennego 4

Okręgi wpisane i opisane 7

Własności trapezów wpisanych i opisanych 8

Średnie wartości w trapezie 12

Własności dowolnego trapezu 15

Znaki trapezu 18

Dodatkowe konstrukcje w trapezie 20

Pole trapezu 25

10. Wniosek

Bibliografia

Aplikacja

Dowody na niektóre właściwości trapezu 27

Zadania do samodzielnej pracy

Zadania na temat „Trapez” o zwiększonej złożoności

Test przesiewowy na temat „Trapezoid”

Wstęp

Praca ta poświęcona jest figurze geometrycznej zwanej trapezem. „Zwykła postać” – mówisz, ale to nieprawda. Jest pełen wielu tajemnic i tajemnic; jeśli przyjrzysz się bliżej i przestudiujesz, odkryjesz wiele nowych rzeczy w świecie geometrii; problemy, które wcześniej nie zostały rozwiązane, wydadzą ci się łatwe.

Trapez - greckie słowo trapez - „stół”. Pożyczanie w XVIII wieku z łac. język, gdzie trapez jest grecki. Jest to czworokąt, którego dwa przeciwległe boki są równoległe. Z trapezem po raz pierwszy zetknął się starożytny grecki naukowiec Posidoniusz (II wiek p.n.e.). W naszym życiu pojawia się wiele różnych postaci. W 7. klasie bliżej poznaliśmy trójkąt, w 8. klasie, zgodnie z programem szkolnym, zaczęliśmy uczyć się trapezu. Ta liczba nas zainteresowała, a w podręczniku niedopuszczalnie mało jest o niej napisane. Dlatego postanowiliśmy wziąć tę sprawę w swoje ręce i poszukać informacji na temat trapezu. jego właściwości.

W pracy zbadano właściwości znane studentom z materiału objętego podręcznikiem, ale w większości nieznane, które są niezbędne do rozwiązywania złożonych problemów. Im większa liczba rozwiązywanych problemów, tym więcej pojawia się pytań przy ich rozwiązywaniu. Odpowiedź na te pytania wydaje się czasem zagadką, poznając nowe właściwości trapezu, niezwykłe metody rozwiązywania problemów, a także technikę dodatkowych konstrukcji, stopniowo odkrywamy tajemnice trapezu. W Internecie, jeśli wpiszesz to w wyszukiwarce, literatury na temat metod rozwiązywania problemów na temat „trapezoidy” jest bardzo mało. W trakcie pracy nad projektem odkryto dużą ilość informacji, które pomogą uczniom w dogłębnym studiowaniu geometrii.

Trapez.

Definicje

Trapez – czworokąt, w którym tylko jedna para boków jest równoległa (a druga para boków nie jest równoległa).

Nazywa się równoległe boki trapezu powodów. Pozostałe dwa to boki .
Jeśli boki są równe, nazywa się to trapezem równoramienny

Nazywa się trapez, który ma po bokach kąty proste prostokątny

Nazywa się odcinek łączący środki bokówlinia środkowa trapezu.

Odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu.

2 . Właściwości trapezu równoramiennego

3. Przekątne trapezu równoramiennego są równe.

4

1
0. Rzut bocznego boku trapezu równoramiennego na większą podstawę jest równy połowie różnicy podstaw, a rzut przekątnej jest równy sumie podstaw.

3. Okrąg wpisany i opisany

Jeżeli suma podstaw trapezu jest równa sumie boków, to można w niego wpisać okrąg.

mi
Jeśli trapez jest równoramienny, to wokół niego można opisać okrąg.

4. Własności trapezów wpisanych i opisanych

2.Jeżeli okrąg można wpisać w trapez równoramienny, to

suma długości podstaw jest równa sumie długości boków. Dlatego długość boku jest równa długości linii środkowej trapezu.

4 . Jeżeli w trapez wpisano okrąg, to boki jego środka są widoczne pod kątem 90°.

Jeśli okrąg wpisany jest w trapez i styka się z jednym z boków, dzieli go na odcinki M oraz n , wówczas promień okręgu wpisanego jest równy średniej geometrycznej tych odcinków.

1

0 . Jeśli na mniejszej podstawie trapezu zbudujemy okrąg jako średnica, przechodzący przez środki przekątnych i dotykający dolnej podstawy, to kąty trapezu wynoszą 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Wartości średnie w trapezie

Średnia geometryczna

W dowolnym trapezie z podstawami A I B Dla A > Bnierówność jest prawdziwa :

b ˂ h ˂ sol ˂ m ˂ s ˂ a

6. Właściwości dowolnego trapezu

1
. Środki przekątnych trapezu i środki boków bocznych leżą na tej samej prostej.

2. Dwusieczne kątów sąsiadujących z jednym z bocznych boków trapezu są prostopadłe i przecinają się w punkcie leżącym na linii środkowej trapezu, tj. gdy się przecinają, powstaje trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną równą bocznej strona.

3. Odcinki prostej równoległej do podstaw trapezu, przecinającej boki boczne i przekątne trapezu, zawarte między bokiem bocznym a przekątną, są równe.

Punkt przecięcia kontynuacji boków dowolnego trapezu, punkt przecięcia jego przekątnych i środki podstaw leżą na tej samej linii prostej.

5. Kiedy przekątne dowolnego trapezu przecinają się, powstają cztery trójkąty ze wspólnym wierzchołkiem, a trójkąty sąsiadujące z podstawami są podobne, a trójkąty sąsiadujące z bokami mają równą wielkość (tj. mają równe pola).

6. Suma kwadratów przekątnych dowolnego trapezu jest równa sumie kwadratów boków bocznych dodanych do dwukrotności iloczynu podstaw.

D 1 2 + D 2 2 = C 2 + D 2 + 2 ok

7
. W trapezie prostokątnym różnica kwadratów przekątnych jest równa różnicy kwadratów podstaw D 1 2 - D 2 2 = A 2 – B 2

8 . Linie proste przecinające boki kąta odcinają proporcjonalne odcinki z boków kąta.

9. Odcinek równoległy do ​​podstaw i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych jest przez ten drugi podzielony na pół.

7. Znaki trapezu

8. Dodatkowe konstrukcje w kształcie trapezu

1. Odcinek łączący środki boków to linia środkowa trapezu.

2
. Odcinek równoległy do ​​jednego z boków trapezu, którego jeden koniec pokrywa się ze środkiem drugiego boku, drugi należy do prostej zawierającej podstawę.

3
. Jeżeli dane są wszystkie boki trapezu, to przez wierzchołek mniejszej podstawy poprowadzono linię prostą równoległą do boku. Rezultatem jest trójkąt o bokach równych bokom trapezu i różnicy podstaw. Korzystając ze wzoru Herona, znajdź pole trójkąta, a następnie wysokość trójkąta, która jest równa wysokości trapezu.

4

. Wysokość trapezu równoramiennego, obliczona z wierzchołka mniejszej podstawy, dzieli większą podstawę na odcinki, z których jeden jest równy połowie różnicy podstaw, a drugi połowie sumy podstaw trapezu, tj. linia środkowa trapezu.

5. Wysokości trapezu obniżone z wierzchołków jednej podstawy wycina się na prostej zawierającej drugą podstawę, czyli odcinek równy pierwszej podstawie.

6
. Przez wierzchołek - punkt będący końcem drugiej przekątnej trapezu przeprowadzono odcinek równoległy do ​​jednej z przekątnych trapezu. Rezultatem jest trójkąt o dwóch bokach równych przekątnym trapezu, a trzeci równy sumie podstaw

7
.Odcinek łączący środki przekątnych jest równy połowie różnicy podstaw trapezu.

8. Dwusieczne kątów sąsiadujących z jednym z bocznych boków trapezu są prostopadłe i przecinają się w punkcie leżącym na linii środkowej trapezu, tj. gdy się przecinają, powstaje trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną równą bocznej strona.

9. Dwusieczna kąta trapezowego odcina trójkąt równoramienny.

1
0. Przekątne dowolnego trapezu, przecinając się, tworzą dwa podobne trójkąty o współczynniku podobieństwa równym stosunkowi podstaw i dwa równe trójkąty przylegające do boków bocznych.

1
1. Przekątne dowolnego trapezu, przecinając się, tworzą dwa podobne trójkąty o współczynniku podobieństwa równym stosunkowi podstaw i dwa równe trójkąty przylegające do boków bocznych.

1
2. Kontynuacja boków trapezu do przecięcia umożliwia rozważenie podobnych trójkątów.

13. Jeżeli w trapez równoramienny wpisano okrąg, to oblicz wysokość trapezu - średnia geometryczna iloczynu podstaw trapezu lub dwukrotność średniej geometrycznej iloczynu odcinków boku bocznego, w który się on dzieli się przez punkt styczności.

9. Pole trapezu

1 . Pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy podstaw i wysokości S = ½( A + B) H Lub

P

Pole trapezu jest równe iloczynowi linii środkowej trapezu i jego wysokości S = M H .

2. Pole trapezu jest równe iloczynowi boku i prostopadłej poprowadzonej od środka drugiego boku do linii zawierającej pierwszy bok.

Pole trapezu równoramiennego o promieniu wpisanego okręgu równym Ri kąt u podstawyα :

10. Wniosek

GDZIE, JAK I DO CZEGO SŁUŻY TRAPEZ?

Trapez w sporcie: Trapez jest z pewnością postępowym wynalazkiem ludzkości. Ma za zadanie odciążyć nasze dłonie i sprawić, że windsurfing będzie komfortowym i łatwym wypoczynkiem. Chodzenie na krótkiej desce nie ma żadnego sensu bez trapezu, ponieważ bez niego nie da się prawidłowo rozłożyć przyczepności między krokiem a nogami i skutecznie przyspieszyć.

Trapez w modzie: Trapez w ubiorze był popularny już w średniowieczu, w epoce romańskiej od IX do XI wieku. W tamtych czasach podstawą ubioru kobiet były tuniki sięgające do ziemi, ku dołowi tunika była mocno rozszerzana, co dawało efekt trapezu. Odrodzenie sylwetki nastąpiło w 1961 roku i stało się hymnem na cześć młodości, niezależności i wyrafinowania. W popularyzacji trapezu ogromną rolę odegrała krucha modelka Leslie Hornby, znana jako Twiggy. Niska dziewczyna o anorektycznej budowie i wielkich oczach stała się symbolem epoki, a jej ulubionymi stylizacjami były krótkie sukienki w kształcie litery A.

Trapez w przyrodzie: Trapez występuje również w przyrodzie. Ludzie mają mięsień czworoboczny, a niektórzy ludzie mają twarz w kształcie trapezu. Płatki kwiatów, konstelacje i oczywiście Kilimandżaro również mają kształt trapezu.

Trapez w życiu codziennym: Trapez jest również używany w życiu codziennym, ponieważ jego kształt jest praktyczny. Występuje w takich obiektach jak: łyżka koparki, stół, śruba, maszyna.

Trapez jest symbolem architektury Inków. Dominującą formą stylistyczną w architekturze Inków jest prosty, ale pełen wdzięku – trapez. Ma ono nie tylko znaczenie użytkowe, ale także ściśle ograniczone wzornictwo artystyczne. Trapezowe drzwi, okna i wnęki ścienne można znaleźć we wszelkiego rodzaju budynkach, zarówno w świątyniach, jak i w mniejszych budynkach o grubszej konstrukcji, że tak powiem. Trapez występuje także w nowoczesnej architekturze. Taka forma zabudowy jest nietypowa, dlatego takie budowle zawsze przyciągają wzrok przechodniów.

Trapez w technologii: Trapez jest stosowany w projektowaniu części w technologii kosmicznej i lotnictwie. Na przykład niektóre panele słoneczne na stacjach kosmicznych mają kształt trapezu, ponieważ mają dużą powierzchnię, co oznacza, że ​​gromadzą więcej energii słonecznej.

W XXI wieku ludzie praktycznie nie zastanawiają się już nad znaczeniem kształtów geometrycznych w swoim życiu. Jest im zupełnie obojętne, jaki kształt mają biurko, okulary czy telefon. Po prostu wybierają formę, która jest praktyczna. Ale użycie przedmiotu, jego cel i wynik dzieła mogą zależeć od formy tej lub innej rzeczy. Dziś przedstawiliśmy Wam jedno z największych osiągnięć ludzkości - trapez. Otworzyliśmy drzwi do cudownego świata figur, zdradziliśmy tajemnice trapezu i pokazaliśmy, że geometria jest wokół nas.

Bibliografia

Bołotow A.A., Prokhorenko V.I., Safonow V.F., Teoria i problemy matematyki. Tom 1 Przewodnik dla kandydatów M.1998 Wydawnictwo MPEI.

Bykov A.A., Malyshev G.Yu., Wydział Kształcenia Przeduniwersyteckiego GUVS. Matematyka. Podręcznik edukacyjno-metodyczny 4 część M2004

Gordin R.K. Planimetria. Książka problemowa.

Iwanow A.A. Ivanov A.P., Matematyka: Przewodnik dotyczący przygotowań do jednolitego egzaminu państwowego i przyjęcia na uniwersytety - M: Wydawnictwo MIPT, 2003-288 s. ISBN 5-89155-188-3

Pigolkina T.S., Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej, Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Dodatkowej Edukacji dla Dzieci „ZFTSH Moskiewski Instytut Fizyki i Technologii (Państwowy Uniwersytet)”. Matematyka. Planimetria. Zadania nr 2 dla klas 10 (rok akademicki 2012-2013).

Pigolkina T.S., Planimetria (część 1), Encyklopedia matematyczna uczestnika. M., Wydawnictwo Rosyjskiego Uniwersytetu Otwartego 1992.

Sharygin I.F. Wybrane problemy z geometrii do egzaminów konkursowych na uczelniach (1987-1990) Lwowskie Magazyn „Quantor” 1991.

Encyklopedia „Avanta Plus”, Matematyka M., Świat Encyklopedii Avanta 2009.

Aplikacja

1. Dowód niektórych własności trapezu.

1. Linia prosta przechodząca przez punkt przecięcia przekątnych trapezu, równoległa do jego podstaw, przecina boczne boki trapezu w punktachK I L . Udowodnij, że jeśli podstawy trapezu są równe A I B , To długość segmentu KL równy średniej geometrycznej podstaw trapezu. Dowód

PozwalaćO - punkt przecięcia przekątnych,OGŁOSZENIE = słońce = B . Bezpośredni KL równolegle do podstawyOGŁOSZENIE , stąd,K O║ OGŁOSZENIE , trójkątyW K O IZŁY są zatem podobne

(1)

(2)

Podstawmy (2) do (1) i otrzymamy KO =

Podobnie LO= Zatem K L = KO + LO =

W Dla każdego trapezu środek podstaw, punkt przecięcia przekątnych i punkt przecięcia kontynuacji boków bocznych leżą na tej samej linii prostej.

Dowód: Niech przedłużenia boków przecinają się w punkcieDO. Przez punktDO i okresO przecięcia ukośnenarysujmy linię prostą WSPÓŁ.

K

Udowodnimy, że ta prosta dzieli podstawy na pół.

O istotnemaszyna wirtualna = x, MS = y, JAKIŚ = I, ND = w . Mamy:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

X

B

C

Y

∆ MK C ~ ∆NKD → →

Praca projektowa „Ciekawe właściwości trapezu” Wykonali: uczniowie 10. klasy Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU Liceum im. N.Batako Kierownik: Gagieva A.O. 20 listopada 2015

Cel pracy: Rozważenie właściwości trapezu, których nie uczy się na szkolnym kursie geometrii, ale przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych egzaminu Unified State Exam z rozszerzonej części C 4 może być konieczna znajomość i umiejętność zastosować dokładnie te właściwości.

Właściwości trapezu: Jeśli trapez jest podzielony linią równoległą do jego podstaw równą a i b, na dwa równe trapezy. Następnie odcinek tej linii, zawarty pomiędzy bokami bocznymi, jest równy B

Właściwość odcinka przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu. Odcinek równoległy do ​​podstaw przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych jest równy: a w c

Właściwości trapezu: Odcinek prosty równoległy do ​​podstaw trapezu, zamknięty wewnątrz trapezu, jest podzielony na trzy części przez jego przekątne. Wtedy segmenty przylegające do boków są sobie równe. MP=OK R M O K

Własności trapezu równoramiennego: Jeżeli w trapez można wpisać okrąg, to promień okręgu jest średnią proporcjonalną do odcinków, na które punkt styczny dzieli bok. O S V A D. E O

Właściwości trapezu równoramiennego: Jeżeli środek okręgu opisanego leży u podstawy trapezu, to jego przekątna jest prostopadła do boku O A B C D

Właściwości trapezu równoramiennego: W trapez równoramienny można wpisać okrąg, jeśli bok boczny jest równy jego linii środkowej. SVA D godz

1) Jeżeli w opisie problemu jest napisane, że w trapez prostokątny wpisano okrąg, można skorzystać z następujących właściwości: 1. Suma podstaw trapezu jest równa sumie boków. 2. Odległości wierzchołka trapezu od punktów stycznych okręgu wpisanego są równe. 3. Wysokość trapezu prostokątnego jest równa jego mniejszemu bokowi i równa średnicy okręgu wpisanego. 4. Środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trapezu. 5. Jeżeli punkt styczny dzieli bok na odcinki m i n, to promień okręgu wpisanego jest równy

Właściwości trapezu prostokątnego, w który wpisano okrąg: 1) Czworokąt utworzony przez środek okręgu wpisanego, punkty styczności i wierzchołek trapezu - kwadrat, którego bok jest równy promieniowi. (AMOE i BKOM to kwadraty o boku r). 2) Jeżeli w trapez prostokątny wpisano okrąg, to pole trapezu jest równe iloczynowi jego podstaw: S=AD*BC

Dowód: Pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy jego podstaw i wysokości: Oznaczmy CF=m, FD=n. Ponieważ odległości wierzchołków do punktów stycznych są równe, wysokość trapezu jest równa dwóm promieniom okręgu wpisanego, a

I. Dwusieczne kątów bocznych trapezu przecinają się pod kątem 90°. 1)∠ABC+∠BAD=180° (jako jednostronny wewnętrzny z AD∥BC i sieczną AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90° (ponieważ dwusieczne przecinają kąty na pół). 3) Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180°, w trójkącie ABK mamy: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180°, stąd ∠AKB=180-90=90°. Wniosek: Dwusieczne kątów na bocznej stronie trapezu przecinają się pod kątem prostym. Stwierdzenia tego używa się przy rozwiązywaniu problemów na trapezie, w który wpisany jest okrąg.

I I. Punkt przecięcia dwusiecznych trapezu przylegających do boku bocznego leży na linii środkowej trapezu. Niech dwusieczna kąta ABC przecina bok AD w punkcie S. Wtedy trójkąt ABS jest równoramienny o podstawie BS, co oznacza, że ​​jego dwusieczna AK jest jednocześnie środkową, czyli punkt K jest środkiem BS. Jeżeli M i N są środkami boków trapezu, to MN jest linią środkową trapezu i MN∥AD. Ponieważ M i K są środkami AB i BS, wówczas MK jest linią środkową trójkąta ABS i MK∥AS. Ponieważ przez punkt M można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do tej, punkt K leży na linii środkowej trapezu.

III. Punkt przecięcia dwusiecznych kątów ostrych u podstawy trapezu należy do innej podstawy. W tym przypadku trójkąty ABK i DCK są równoramienne o podstawach odpowiednio AK i DK. Zatem BC=BK+KC=AB+CD. Wniosek: Jeżeli dwusieczne kątów ostrych trapezu przecinają się w punkcie należącym do mniejszej podstawy, to mniejsza podstawa jest równa sumie boków bocznych trapezu. Trapez równoramienny w tym przypadku ma mniejszą podstawę dwukrotnie większą od jego boku.

I V. Punkt przecięcia dwusiecznych kątów rozwartych u podstawy trapezu należy do innej podstawy. W tym przypadku trójkąty ABF i DCF są równoramienne o podstawach odpowiednio BF i CF. Zatem AD=AF+FD=AB+CD. Wniosek: Jeżeli dwusieczne kątów rozwartych trapezu przecinają się w punkcie należącym do większej podstawy, to większa podstawa jest równa sumie bocznych boków trapezu. W tym przypadku trapez równoramienny ma większą podstawę, która jest dwa razy większa niż jego bok.

Jeśli można wpisać trapez równoramienny o bokach a, b, c, d i narysować wokół niego okręgi, to pole trapezu wynosi

Trapez to figura geometryczna z czterema kątami. Konstruując trapez, należy wziąć pod uwagę, że dwie przeciwne strony są równoległe, a dwie pozostałe, wręcz przeciwnie, nie są względem siebie równoległe. Słowo to przyszło do czasów nowożytnych ze starożytnej Grecji i brzmiało jak „trapedzion”, co oznaczało „stół”, „stół jadalny”.

W tym artykule omówiono właściwości trapezu opisanego na okręgu. Przyjrzymy się także typom i elementom tej figury.

Elementy, rodzaje i charakterystyka trapezu figury geometrycznej

Równoległe boki na tej figurze nazywane są podstawami, a te, które nie są równoległe, nazywane są bokami. Pod warunkiem, że boki są tej samej długości, trapez uważa się za równoramienny. Trapez, którego boki są prostopadłe do podstawy pod kątem 90°, nazywa się prostokątem.

Ta pozornie prosta figura ma w sobie znaczną liczbę właściwości, podkreślających jej cechy:

1. Jeśli narysujesz środkową linię wzdłuż boków, będzie ona równoległa do podstaw. Odcinek ten będzie równy 1/2 różnicy zasad.
2. Konstruując dwusieczną z dowolnego narożnika trapezu, powstaje trójkąt równoboczny.
3. Z własności trapezu opisanego wokół okręgu wiadomo, że suma boków równoległych musi być równa sumie podstaw.
4. Konstruując odcinki ukośne, gdzie jeden z boków jest podstawą trapezu, powstałe trójkąty będą podobne.
5. Podczas konstruowania odcinków ukośnych, w których jeden z boków jest boczny, powstałe trójkąty będą miały równe pole.
6. Jeśli będziemy kontynuować linie boczne i zbudujemy odcinek ze środka podstawy, wówczas powstały kąt będzie równy 90°. Odcinek łączący podstawy będzie równy 1/2 ich różnicy.

Właściwości trapezu opisanego na okręgu

Okrąg można zamknąć w trapezie tylko pod jednym warunkiem. Warunek jest taki, że suma boków musi być równa sumie podstaw. Na przykład przy konstruowaniu trapezu AFDM zastosowanie ma AF + DM = FD + AM. Tylko w tym przypadku okrąg można zamknąć w trapezie.

A więc więcej o właściwościach trapezu opisanych wokół okręgu:

1. Jeśli okrąg jest zamknięty w trapezie, to aby znaleźć długość jego linii przecinającej figurę na pół, należy znaleźć 1/2 sumy długości boków.
2. Konstruując trapez opisany na okręgu, utworzona przeciwprostokątna jest identyczna z promieniem okręgu, a wysokość trapezu jest jednocześnie średnicą okręgu.
3. Inną właściwością trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest to, że jego bok jest natychmiast widoczny ze środka okręgu pod kątem 90°.

Trochę więcej o właściwościach trapezu zamkniętego w okręgu

W okrąg można wpisać tylko trapez równoramienny. Oznacza to, że konieczne jest spełnienie warunków, w jakich zbudowany trapez AFDM będzie spełniał następujące wymagania: AF + DM = FD + MA.

Twierdzenie Ptolemeusza głosi, że w trapezie zamkniętym w okręgu iloczyn przekątnych jest identyczny i równy sumie pomnożonej przeciwległych boków. Oznacza to, że przy konstruowaniu okręgu opisanego na trapezie AFDM obowiązuje zasada: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Dość często na egzaminach szkolnych pojawiają się zadania wymagające rozwiązania zadań z trapezem. Wiele twierdzeń trzeba zapamiętać, ale jeśli nie możesz się ich od razu nauczyć, nie ma to znaczenia. Najlepiej okresowo sięgać po podpowiedzi w podręcznikach, aby wiedza ta sama, bez większych trudności zmieściła się w Twojej głowie.