Faktoryzacja. Złożone przypadki rozkładu wielomianów na czynniki

Bardzo często licznik i mianownik ułamka są wyrażeniami algebraicznymi, które należy najpierw rozłożyć na czynniki, a następnie, po znalezieniu wśród nich identycznych, podzielić przez nie zarówno licznik, jak i mianownik, czyli zmniejszyć ułamek. Cały rozdział podręcznika algebry dla 7. klasy poświęcony jest zadaniu rozkładu wielomianu na czynniki. Można przeprowadzić faktoryzację 3 sposoby, a także kombinację tych metod.

1. Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie

Jak wiadomo, do pomnożyć wielomian przez wielomian, musisz pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu i dodać otrzymane iloczyny. Istnieje co najmniej 7 (siedem) często występujących przypadków mnożenia wielomianów objętych tą koncepcją. Na przykład,

Tabela 1. Faktoryzacja w sposób pierwszy

2. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów

Metoda ta opiera się na zastosowaniu prawa rozdzielności mnożenia. Na przykład,

Każdy termin pierwotnego wyrażenia dzielimy przez czynnik, który usuwamy, i otrzymujemy wyrażenie w nawiasach (to znaczy wynik dzielenia tego, co było, przez to, co usuwamy, pozostaje w nawiasach). Przede wszystkim potrzebujesz poprawnie określić mnożnik, który należy wyjąć ze wspornika.

Wspólnym czynnikiem może być również wielomian w nawiasach:

Wykonując zadanie „rozkładania na czynniki”, należy szczególnie uważać na znaki podczas umieszczania współczynnika całkowitego w nawiasach. Aby zmienić znak każdego terminu w nawiasie (b-a), usuńmy wspólny czynnik z nawiasów -1 , a każdy wyraz w nawiasie zostanie podzielony przez -1: (b - a) = - (a - b) .

Jeśli wyrażenie w nawiasach jest kwadratowe (lub do dowolnej potęgi parzystej), to Liczby w nawiasach można zamieniać całkowicie dowolnie, ponieważ minusy wyjęte z nawiasów nadal po pomnożeniu zamienią się w plus: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 i tak dalej…

3. Metoda grupowania

Czasami nie wszystkie terminy w wyrażeniu mają wspólny czynnik, ale tylko niektóre. Wtedy możesz spróbować terminy grupowe w nawiasach, aby z każdego można było wyciągnąć jakiś czynnik. Metoda grupowania- jest to podwójne usunięcie wspólnych czynników z nawiasów.

4. Używanie kilku metod jednocześnie

Czasami trzeba zastosować nie jedną, ale kilka metod rozkładu wielomianu na czynniki na raz.

To jest podsumowanie tematu "Faktoryzacja". Wybierz kolejne kroki:

• Przejdź do następnego podsumowania:

Rozważając mnożenie wielomianów, przypomnieliśmy sobie kilka wzorów, a mianowicie: wzory na (a + b)², na (a – b)², na (a + b) (a – b), na (a + b)³ oraz dla (a – b)³.

Jeśli okaże się, że dany wielomian pokrywa się z jednym z tych wzorów, wówczas będzie można go rozłożyć na czynniki. Przykładowo wielomian a² – 2ab + b², jak wiemy, jest równy (a – b)² [lub (a – b) · (a – b), czyli udało nam się rozłożyć a² – 2ab + b² na 2 czynniki ]; Również

Spójrzmy na drugi z tych przykładów. Widzimy, że podany tutaj wielomian pasuje do wzoru otrzymanego przez podniesienie różnicy dwóch liczb do kwadratu (kwadrat pierwszej liczby minus iloczyn dwóch przez pierwszą liczbę i drugą plus kwadrat drugiej liczby): x 6 jest kwadratem pierwszej liczby, a zatem sama pierwsza liczba wynosi x 3, kwadrat drugiej liczby jest ostatnim wyrazem danego wielomianu, czyli 1, sama druga liczba jest zatem również 1; iloczyn dwóch przez pierwszą liczbę, a druga to wyraz –2x 3, ponieważ 2x 3 = 2 x 3 1. Dlatego nasz wielomian otrzymaliśmy podnosząc do kwadratu różnicę liczb x 3 i 1, czyli jest on równy (x 3 – 12 . Spójrzmy na kolejny czwarty przykład. Widzimy, że ten wielomian a 2 b 2 – 25 można uznać za różnicę kwadratów dwóch liczb, a mianowicie kwadrat pierwszej liczby to a 2 b 2, zatem sama pierwsza liczba to ab, kwadrat druga liczba to 25, dlaczego sama druga liczba to 5. Dlatego nasz wielomian można uznać za uzyskany z pomnożenia sumy dwóch liczb przez ich różnicę, tj.

(ab + 5) (ab – 5).

Czasem zdarza się, że w danym wielomianie wyrazy nie są ułożone w takiej kolejności, do jakiej jesteśmy np. przyzwyczajeni.

9a 2 + b 2 + 6ab – możemy w myślach przestawić człon drugi i trzeci i wtedy stanie się dla nas jasne, że nasz trójmian = (3a + b) 2.

... (przestawiamy w myślach pierwszy i drugi termin).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 itd.

Rozważmy inny wielomian

za 2 + 2ab + 4b 2 .

Widzimy, że jego pierwszy wyraz to kwadrat liczby a, a trzeci wyraz to kwadrat liczby 2b, ale drugi wyraz nie jest iloczynem dwóch przez pierwszą liczbę i drugą – taki iloczyn byłby równy 2 za 2b = 4ab. Dlatego nie można zastosować do tego wielomianu wzoru na kwadrat sumy dwóch liczb. Gdyby ktoś napisał, że a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, byłoby to błędne stwierdzenie - należy dokładnie rozważyć wszystkie wyrazy wielomianu przed zastosowaniem do niego faktoryzacji za pomocą wzorów.

40. Połączenie obu technik. Czasami, rozkładając wielomiany na czynniki, trzeba połączyć zarówno technikę wyciągania wspólnego czynnika z nawiasów, jak i technikę stosowania wzorów. Oto przykłady:

1. 2a 3 – 2ab 2. Najpierw usuńmy wspólny czynnik 2a z nawiasów i otrzymamy 2a (a 2 – b 2). Z kolei współczynnik a 2 – b 2 rozkłada się zgodnie ze wzorem na czynniki (a + b) i (a – b).

Czasami trzeba wielokrotnie zastosować technikę rozkładu formuły:

1. za 4 – b 4 = (za 2 + b 2) (za 2 – b 2)

Widzimy, że pierwszy czynnik a 2 + b 2 nie pasuje do żadnego ze znanych wzorów; Ponadto, przypominając szczególne przypadki dzielenia (punkt 37), ustalimy, że a 2 + b 2 (suma kwadratów dwóch liczb) w ogóle nie daje się rozłożyć na czynniki. Drugi z otrzymanych czynników a 2 – b 2 (różnica kwadratu dwóch liczb) rozkłada się na czynniki (a + b) i (a – b). Więc,

41. Zastosowanie szczególnych przypadków dzielenia. Na podstawie paragrafu 37 możemy od razu napisać, że np.

Rozkładanie równania na czynniki to proces znajdowania terminów lub wyrażeń, które po pomnożeniu prowadzą do równania początkowego. Rozkładanie na czynniki jest przydatną umiejętnością przy rozwiązywaniu podstawowych problemów algebry i staje się niemal niezbędne podczas pracy z równaniami kwadratowymi i innymi wielomianami. Faktoring służy do upraszczania równań algebraicznych, aby ułatwić ich rozwiązanie. Faktoring może pomóc Ci wyeliminować pewne możliwe odpowiedzi szybciej niż w przypadku ręcznego rozwiązywania równania.

Kroki

Rozkładanie liczb na czynniki i podstawowe wyrażenia algebraiczne

1. Faktoring liczb. Koncepcja faktoringu jest prosta, ale w praktyce faktoring może stanowić wyzwanie (jeśli podane jest złożone równanie). Zatem najpierw przyjrzyjmy się koncepcji faktoringu na przykładzie liczb, kontynuujmy proste równania, a następnie przejdźmy do złożonych równań. Czynnikami danej liczby są liczby, które po pomnożeniu dają liczbę pierwotną. Na przykład dzielnikami liczby 12 są liczby: 1, 12, 2, 6, 3, 4, ponieważ 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Podobnie możesz myśleć o czynnikach liczby jak o jej dzielnikach, czyli liczbach, przez które dana liczba jest podzielna.
   • Znajdź wszystkie czynniki liczby 60. Często używamy liczby 60 (na przykład 60 minut w godzinę, 60 sekund w minucie itp.) i na tę liczbę składa się dość duża liczba dzielników.
     • 60 mnożników: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

2. Pamiętać: terminy wyrażenia zawierającego współczynnik (liczbę) i zmienną można również rozłożyć na czynniki. Aby to zrobić, znajdź współczynniki współczynnika dla zmiennej. Wiedząc, jak rozłożyć składniki równań, możesz łatwo uprościć to równanie.

   • Na przykład wyraz 12x można zapisać jako iloczyn 12 i x. Możesz także zapisać 12x jako 3(4x), 2(6x) itd., rozkładając 12 na czynniki, które najlepiej dla Ciebie działają.
     • Możesz rozdawać 12x wiele razy z rzędu. Innymi słowy, nie powinieneś zatrzymywać się na 3(4x) lub 2(6x); kontynuuj rozwinięcie: 3(2(2x)) lub 2(3(2x)) (oczywiście 3(4x)=3(2(2x)), itd.)

3. Zastosuj rozdzielność mnożenia do równań algebraicznych na czynniki. Wiedząc, jak rozkładać na czynniki liczby i składniki wyrażeń (współczynniki ze zmiennymi), można uprościć proste równania algebraiczne, znajdując wspólny czynnik liczby i wyrażenia. Zazwyczaj, aby uprościć równanie, należy znaleźć największy wspólny czynnik (NWD). To uproszczenie jest możliwe dzięki rozdzielności mnożenia: dla dowolnych liczb a, b, c prawdziwa jest równość a(b+c) = ab+ac.

   • Przykład. Rozłóż na czynniki równanie 12x + 6. Najpierw znajdź gcd 12x i 6. 6 jest największą liczbą dzielącą zarówno 12x, jak i 6, więc możesz rozłożyć to równanie na czynniki przez: 6(2x+1).
   • Proces ten jest również prawdziwy w przypadku równań, które mają wyrazy ujemne i ułamkowe. Na przykład x/2+4 można rozłożyć na 1/2(x+8); na przykład -7x+(-21) można rozłożyć na czynniki -7(x+3).

   Rozkładanie na czynniki równań kwadratowych

   1. Upewnij się, że równanie jest podane w postaci kwadratowej (ax 2 + bx + c = 0). Równania kwadratowe mają postać: ax 2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są współczynnikami numerycznymi różnymi od 0. Jeśli mamy równanie z jedną zmienną (x) i w równaniu tym występuje jeden lub więcej wyrazów w przypadku zmiennej drugiego rzędu możesz przenieść wszystkie wyrazy równania na jedną stronę równania i ustawić je na zero.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Można to przekształcić w równanie x 2 + 6x + 9 = 0, które jest równaniem kwadratowym.
      • Równania ze zmienną x dużych rzędów, na przykład x 3, x 4 itp. nie są równaniami kwadratowymi. Są to równania sześcienne, równania czwartego rzędu i tak dalej (chyba że takie równania można uprościć do równań kwadratowych ze zmienną x podniesioną do potęgi 2).

   2. Równania kwadratowe, gdzie a = 1, rozkładamy na (x+d)(x+e), gdzie d*e=c i d+e=b. Jeśli podane przez Ciebie równanie kwadratowe ma postać: x 2 + bx + c = 0 (czyli współczynnik x 2 wynosi 1), to takie równanie można (ale nie jest to gwarantowane) rozszerzyć na powyższe czynniki. Aby to zrobić, musisz znaleźć dwie liczby, które po pomnożeniu dają „c”, a po dodaniu „b”. Gdy już znajdziesz te dwie liczby (d i e), podstaw je do następującego wyrażenia: (x+d)(x+e), co po otwarciu nawiasów prowadzi do pierwotnego równania.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie kwadratowe x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 i 3+2=5, więc możesz rozłożyć to równanie na (x+3)(x+2).
      • W przypadku terminów ujemnych wprowadź następujące drobne zmiany w procesie faktoryzacji:
        • Jeżeli równanie kwadratowe ma postać x 2 -bx+c, to rozwija się w: (x-_)(x-_).
        • Jeśli równanie kwadratowe ma postać x 2 -bx-c, to rozwija się w: (x+_)(x-_).
      • Uwaga: Spacje można zastąpić ułamkami zwykłymi lub dziesiętnymi. Na przykład równanie x 2 + (21/2)x + 5 = 0 jest rozwinięte do (x+10)(x+1/2).

   3. Faktoryzacja metodą prób i błędów. Proste równania kwadratowe można rozłożyć na czynniki, po prostu podstawiając liczby do możliwych rozwiązań, aż znajdziesz właściwe rozwiązanie. Jeżeli równanie ma postać ax 2 +bx+c, gdzie a>1, możliwe rozwiązania zapisuje się w postaci (dx +/- _)(ex +/- _), gdzie d i e są niezerowymi współczynnikami liczbowymi , które po pomnożeniu dają a. Albo d, albo e (lub oba współczynniki) mogą być równe 1. Jeśli oba współczynniki są równe 1, użyj metody opisanej powyżej.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie 3x 2 - 8x + 4. Tutaj 3 ma tylko dwa współczynniki (3 i 1), więc możliwe rozwiązania są zapisywane jako (3x +/- _)(x +/- _). W tym przypadku, zastępując spacje -2, znajdziesz poprawną odpowiedź: -2*3x=-6x i -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x i -2*-2=4, czyli takie rozwinięcie przy otwieraniu nawiasów doprowadzi do wyrazów pierwotnego równania.

Rozkładanie wielomianów na czynniki to transformacja tożsamości, w wyniku której wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.

Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.

Metoda 1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.

Transformacja ta opiera się na rozdzielnym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istota transformacji polega na wyodrębnieniu wspólnego czynnika w obu rozpatrywanych składnikach i „wyjęciu” go z nawiasów.

Rozłóżmy wielomian na czynniki 28x3 – 35x4.

Rozwiązanie.

1. Znajdź wspólny dzielnik dla elementów 28x3 i 35x4. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 – x 3. Innymi słowy, nasz wspólny dzielnik to 7x3.

2. Każdy z elementów reprezentujemy jako iloczyn czynników, z których jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Wyjmujemy wspólny czynnik z nawiasów
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. „Opanowanie” stosowania tej metody polega na dostrzeżeniu w wyrażeniu jednego ze skróconych wzorów na mnożenie.

Rozłóżmy wielomian na czynniki x 6 – 1.

Rozwiązanie.

1. Do tego wyrażenia możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów. Aby to zrobić, wyobraź sobie x 6 jako (x 3) 2 i 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie będzie miało postać:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę kostek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Więc,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składników wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonywać operacje (dodawanie, odejmowanie, odejmowanie wspólnego czynnika).

Rozłóżmy wielomian na czynniki x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Rozwiązanie.

1. Pogrupujmy komponenty w ten sposób: 1. z 2. i 3. z 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. W otrzymanym wyrażeniu wyjmujemy z nawiasów wspólne czynniki: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Bierzemy z nawiasów wspólny współczynnik x – 3 i otrzymujemy:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Więc,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Zabezpieczmy materiał.

Rozłóż wielomian na czynniki a 2 – 7ab + 12b 2 .

Rozwiązanie.

1. Przedstawmy jednomian 7ab jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie będzie miało postać:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otwórzmy nawiasy i otrzymajmy:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Pogrupujmy składniki wielomianu w następujący sposób: 1. z 2. i 3. z 4. Otrzymujemy:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Wyjmijmy wspólne czynniki z nawiasów:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a – 3b) z nawiasów:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Więc,
za 2 – 7ab + 12b 2 =
= za 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= za 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Pojęcia „wielomianu” i „faktoryzacji wielomianu” w algebrze spotyka się bardzo często, ponieważ trzeba je znać, aby łatwo przeprowadzać obliczenia na dużych liczbach wielocyfrowych. W tym artykule opisano kilka metod rozkładu. Wszystkie są dość łatwe w użyciu, wystarczy wybrać odpowiedni dla każdego konkretnego przypadku.

Pojęcie wielomianu

Wielomian to suma jednomianów, czyli wyrażeń zawierających jedynie operację mnożenia.

Na przykład 2 * x * y jest jednomianem, ale 2 * x * y + 25 jest wielomianem składającym się z 2 jednomianów: 2 * x * y i 25. Takie wielomiany nazywane są dwumianami.

Czasami dla wygody rozwiązywania przykładów z wartościami wielowartościowymi wyrażenie musi zostać przekształcone, na przykład rozłożone na określoną liczbę czynników, czyli liczb lub wyrażeń, pomiędzy którymi wykonywana jest akcja mnożenia. Istnieje wiele sposobów rozkładania wielomianu na czynniki. Warto je rozważyć, zaczynając od tego najbardziej prymitywnego, jakim posługuje się szkoła podstawowa.

Grupowanie (zapis w formie ogólnej)

Wzór na rozkład wielomianu przy użyciu metody grupowania wygląda ogólnie następująco:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Konieczne jest pogrupowanie jednomianów tak, aby każda grupa miała wspólny dzielnik. W pierwszym nawiasie jest to współczynnik c, a w drugim - d. Należy to zrobić, aby następnie wysunąć go z nawiasu, upraszczając w ten sposób obliczenia.

Algorytm dekompozycji na konkretnym przykładzie

Najprostszy przykład rozkładu wielomianu na czynniki przy użyciu metody grupowania podano poniżej:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

W pierwszym nawiasie należy wziąć terminy z czynnikiem a, który będzie powszechny, a w drugim - z czynnikiem b. Zwróć uwagę na znaki + i - w gotowym wyrażeniu. Przed jednomianem stawiamy znak, który był w wyrażeniu początkowym. Oznacza to, że musisz pracować nie z wyrażeniem 25a, ale z wyrażeniem -25. Znak minus wydaje się być „przyklejony” do wyrażenia, które się za nim kryje i zawsze brany pod uwagę przy obliczeniach.

W następnym kroku musisz wyjąć mnożnik, który jest powszechny, z nawiasów. Właśnie do tego służy grupowanie. Umieścić poza nawiasem oznacza wpisać przed nawiasem (pomijając znak mnożenia) wszystkie te czynniki, które dokładnie powtarzają się we wszystkich wyrazach znajdujących się w nawiasie. Jeśli w nawiasie nie ma 2, ale 3 lub więcej wyrazów, wspólny czynnik musi być zawarty w każdym z nich, w przeciwnym razie nie można go wyjąć z nawiasu.

W naszym przypadku w nawiasach znajdują się tylko 2 wyrazy. Ogólny mnożnik jest natychmiast widoczny. W pierwszym nawiasie jest to a, w drugim b. Tutaj należy zwrócić uwagę na współczynniki cyfrowe. W pierwszym nawiasie oba współczynniki (10 i 25) są wielokrotnościami 5. Oznacza to, że z nawiasu można wyjąć nie tylko a, ale także 5a. Przed nawiasem napisz 5a, a następnie podziel każdy wyraz w nawiasie przez usunięty wspólny czynnik, a także wpisz iloraz w nawiasie, nie zapominając o znakach + i - Zrób to samo z drugim nawiasem, weź out 7b, a także 14 i 35 wielokrotności 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Mamy 2 wyrazy: 5a(2c - 5) i 7b(2c - 5). Każdy z nich zawiera wspólny czynnik (całe wyrażenie w nawiasie jest tutaj takie samo, czyli jest to czynnik wspólny): 2c - 5. To też trzeba wyjąć z nawiasu, czyli człony 5a i 7b pozostają w drugim nawiasie:

5a(2c – 5) + 7b(2c – 5) = (2c – 5)*(5a + 7b).

Zatem pełne wyrażenie to:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Zatem wielomian 10ac + 14bc - 25a - 35b rozkłada się na 2 czynniki: (2c - 5) i (5a + 7b). Znak mnożenia między nimi można pominąć podczas pisania

Czasami zdarzają się wyrażenia tego typu: 5a 2 + 50a 3, tutaj można wyjąć z nawiasów nie tylko a czy 5a, ale nawet 5a 2. Zawsze powinieneś próbować wyjąć największy wspólny dzielnik z nawiasu. W naszym przypadku, jeśli podzielimy każdy wyraz przez wspólny czynnik, otrzymamy:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(przy obliczaniu ilorazu kilku potęg o równych podstawach podstawa zostaje zachowana, a wykładnik odejęty). Zatem jednostka pozostaje w nawiasie (w żadnym wypadku nie zapomnij jej zapisać, jeśli usuniesz jedno z wyrazów z nawiasu), a iloraz dzielenia: 10a. Okazało się, że:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formuły kwadratowe

Dla ułatwienia obliczeń wyprowadzono kilka wzorów. Nazywa się je skróconymi wzorami na mnożenie i są one używane dość często. Wzory te pomagają rozłożyć wielomiany zawierające potęgi. To kolejny skuteczny sposób faktoryzacji. Oto one:

• za 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - wzór zwany „kwadratem sumy”, ponieważ w wyniku rozkładu na kwadrat pobierana jest suma liczb zawartych w nawiasach, to znaczy wartość tej sumy jest mnożona przez siebie 2 razy, a zatem jest mnożnik.
• za 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - wzór na kwadrat różnicy, jest podobny do poprzedniego. Wynik jest różnicą ujętą w nawiasy, zawartą w potędze kwadratowej.
• za 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- jest to wzór na różnicę kwadratów, ponieważ początkowo wielomian składa się z 2 kwadratów liczb lub wyrażeń, pomiędzy którymi wykonywane jest odejmowanie. Być może z trzech wymienionych jest on używany najczęściej.

Przykłady obliczeń z wykorzystaniem wzorów kwadratowych

Obliczenia dla nich są dość proste. Na przykład:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - użyj wzoru „kwadrat sumy”.
2. 25x2 to kwadrat 5x. 20xy to podwójny iloczyn 2*(5x*2y), a 4y 2 to kwadrat 2y.
3. Zatem 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Wielomian ten rozkłada się na 2 czynniki (czynniki są takie same, więc jest zapisywany jako wyrażenie z potęgą kwadratową).

Działania wykorzystujące wzór na różnicę kwadratową przeprowadza się analogicznie do powyższych. Pozostała formuła to różnica kwadratów. Przykłady tej formuły są bardzo łatwe do zdefiniowania i znalezienia wśród innych wyrażeń. Na przykład:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Ponieważ 25a 2 = (5a) 2 i 400 = 20 2
• 36x 2 - 25 lat 2 = (6x - 5 lat) (6x + 5 lat). Ponieważ 36x 2 = (6x) 2 i 25 lat 2 = (5 lat 2)
• do 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Ponieważ 169b 2 = (13b) 2

Ważne jest, aby każdy z terminów był kwadratem jakiegoś wyrażenia. Następnie wielomian ten należy rozłożyć na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów. W tym celu nie jest konieczne, aby drugi stopień był wyższy od liczby. Istnieją wielomiany, które zawierają duże stopnie, ale nadal pasują do tych wzorów.

za 8 +10a 4 +25 = (za 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (za 4 +5) 2

W tym przykładzie 8 można przedstawić jako (4) 2, czyli kwadrat określonego wyrażenia. 25 to 5 2, a 10a to 4 - jest to podwójny iloczyn wyrażeń 2 * a 4 * 5. Oznacza to, że wyrażenie to, pomimo obecności stopni z dużymi wykładnikami, można rozłożyć na 2 czynniki, aby później z nimi pracować.

Formuły kostki

Te same wzory istnieją dla rozkładu na czynniki wielomianów zawierających kostki. Są nieco bardziej skomplikowane niż te z kwadratami:

• za 3 + b 3 = (a + b)(za 2 - ab + b 2)- ten wzór nazywa się sumą kostek, ponieważ w swojej początkowej formie wielomian jest sumą dwóch wyrażeń lub liczb zamkniętych w sześcianie.
• za 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - wzór identyczny z poprzednim oznaczono jako różnicę kostek.
• za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - sześcian sumy, w wyniku obliczeń sumę liczb lub wyrażeń podaje się w nawiasach i mnoży się przez siebie 3 razy, czyli umieszcza się w sześcianie
• za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - wzór, opracowany przez analogię do poprzedniego, zmieniający tylko niektóre znaki operacji matematycznych (plus i minus), nazywany jest „kostką różnicową”.

Dwa ostatnie wzory praktycznie nie są używane do rozkładu wielomianu na czynniki, ponieważ są złożone i na tyle rzadko zdarza się znaleźć wielomiany, które w pełni odpowiadają dokładnie tej strukturze, aby można je było rozłożyć na czynniki za pomocą tych wzorów. Ale nadal musisz je znać, ponieważ będą wymagane podczas działania w przeciwnym kierunku - podczas otwierania nawiasów.

Przykłady wzorów sześciennych

Spójrzmy na przykład: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Brane są tutaj dość proste liczby, więc od razu widać, że 64a 3 to (4a) 3, a 8b 3 to (2b) 3. Zatem ten wielomian jest rozwijany zgodnie ze wzorem różnica sześcianów na 2 czynniki. Działania wykorzystujące wzór na sumę kostek przeprowadza się analogicznie.

Ważne jest, aby zrozumieć, że nie wszystkie wielomiany można rozwinąć przynajmniej w jeden sposób. Istnieją jednak wyrażenia, które zawierają większe potęgi niż kwadrat czy sześcian, ale można je również rozwinąć w skrócone formy mnożenia. Na przykład: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 - 5x 4 lata + 25 lat 2).

Ten przykład zawiera aż 12 stopień. Ale nawet to można rozłożyć na czynniki, korzystając ze wzoru na sumę kostek. Aby to zrobić, musisz wyobrazić sobie x 12 jako (x 4) 3, to znaczy jako sześcian jakiegoś wyrażenia. Teraz zamiast a musisz go zastąpić we wzorze. Cóż, wyrażenie 125y 3 jest sześcianem 5y. Następnie należy skomponować produkt za pomocą wzoru i wykonać obliczenia.

Na początek lub w razie wątpliwości zawsze możesz sprawdzić przez odwrotne mnożenie. Wystarczy otworzyć nawiasy w wynikowym wyrażeniu i wykonać działania z podobnymi terminami. Metodę tę można zastosować do wszystkich wymienionych metod redukcji: zarówno do pracy ze wspólnym czynnikiem i grupowaniem, jak i do pracy ze wzorami na sześciany i potęgi kwadratowe.