Znajdź liczbę trzech liczb w formacie HTML. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, należy najpierw określić znaczenie terminu „wielokrotność”.

Wielokrotność A to liczba naturalna, która dzieli się przez A bez reszty. Zatem liczby będące wielokrotnością 5 można uznać za 15, 20, 25 itd.

Liczba dzielników określonej liczby może być ograniczona, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych to liczba, którą można przez nie podzielić bez pozostawiania reszty.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się przez wszystkie te liczby.

Aby znaleźć LOC, możesz skorzystać z kilku metod.

W przypadku małych liczb wygodnie jest zapisać wszystkie wielokrotności tych liczb w jednym wierszu, aż znajdziesz wśród nich coś wspólnego. Wielokrotności oznacza się wielką literą K.

Na przykład wielokrotności liczby 4 można zapisać w następujący sposób:

K. (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K. (6) = (12, 18, 24, ...)

Zatem widać, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Zapis ten wykonuje się w następujący sposób:

LCM(4, 6) = 24

Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, wtedy lepiej zastosować inną metodę obliczenia LCM.

Aby wykonać zadanie, należy rozłożyć podane liczby na czynniki pierwsze.

Najpierw musisz zapisać rozkład największej liczby na linii, a poniżej - resztę.

Rozkład każdej liczby może obejmować inną liczbę czynników.

Na przykład, rozłóżmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.

Przy rozwinięciu mniejszej liczby należy zaznaczyć czynniki, których brakuje przy rozwinięciu pierwszej największej liczby, a następnie dodać je do niej. W przedstawionym przykładzie brakuje dwójki.

Teraz możesz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność 20 i 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Zatem iloczyn czynników pierwszych większej liczby i czynników drugiej liczby, które nie zostały uwzględnione w rozwinięciu większej liczby, będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, należy je wszystkie rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.

Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Zatem tylko dwie dwójki z rozwinięcia szesnastu nie zostały uwzględnione w faktoryzacji większej liczby (jedna jest w rozwinięciu dwudziestu czterech).

Należy je zatem dodać do rozwinięcia większej liczby.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Jeśli więc jedną z liczb można podzielić bez reszty przez inną, wówczas większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Na przykład LCM wynoszący dwanaście i dwadzieścia cztery to dwadzieścia cztery.

Jeśli konieczne jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb względnie pierwszych, które nie mają identycznych dzielników, wówczas ich LCM będzie równa ich iloczynowi.

Na przykład LCM (10, 11) = 110.

Kontynuujmy rozmowę o najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą rozpoczęliśmy w rozdziale „LCM – najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady”. W tym temacie przyjrzymy się sposobom znalezienia LCM dla trzech lub więcej liczb oraz przyjrzymy się pytaniu, jak znaleźć LCM liczby ujemnej.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) za pomocą GCD

Ustaliliśmy już związek między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem. Nauczmy się teraz, jak określić LCM za pomocą GCD. Najpierw zastanówmy się, jak to zrobić dla liczb dodatnich.

Definicja 1

Najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć poprzez największy wspólny dzielnik, korzystając ze wzoru LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Przykład 1

Musisz znaleźć LCM liczb 126 i 70.

Rozwiązanie

Weźmy a = 126, b = 70. Podstawmy wartości do wzoru na obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez największy wspólny dzielnik LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Znajduje gcd liczb 70 i 126. Do tego potrzebujemy algorytmu Euklidesa: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, zatem GCD (126 , 70) = 14 .

Obliczmy LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Odpowiedź: LCM(126, 70) = 630.

Przykład 2

Znajdź liczbę 68 i 34.

Rozwiązanie

NWD w tym przypadku nie jest trudne do znalezienia, ponieważ 68 jest podzielne przez 34. Obliczmy najmniejszą wspólną wielokrotność korzystając ze wzoru: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odpowiedź: LCM(68, 34) = 68.

W tym przykładzie zastosowaliśmy regułę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności dodatnich liczb całkowitych a i b: jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, LCM tych liczb będzie równy pierwszej liczbie.

Znalezienie LCM poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Przyjrzyjmy się teraz metodzie wyznaczania LCM, która opiera się na rozłożeniu liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 2

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musimy wykonać kilka prostych kroków:

• tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszych liczb, dla których musimy znaleźć LCM;
• wykluczamy wszystkie czynniki pierwsze z ich otrzymanych produktów;
• iloczyn otrzymany po wyeliminowaniu wspólnych czynników pierwszych będzie równy LCM podanych liczb.

Ta metoda znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności opiera się na równości LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jeśli spojrzysz na wzór, stanie się jasne: iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników biorących udział w rozkładzie tych dwóch liczb. W tym przypadku gcd dwóch liczb jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w faktoryzacji tych dwóch liczb.

Przykład 3

Mamy dwie liczby 75 i 210. Możemy je rozłożyć na czynniki w następujący sposób: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Jeśli utworzysz iloczyn wszystkich czynników dwóch pierwotnych liczb, otrzymasz: 2 3 3 5 5 5 7.

Jeśli wykluczymy czynniki wspólne dla liczb 3 i 5, otrzymamy iloczyn w następującej postaci: 2 3 5 5 7 = 1050. Ten produkt będzie naszym LCM dla numerów 75 i 210.

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 441 I 700 , rozkładając obie liczby na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Znajdźmy wszystkie czynniki pierwsze liczb podanych w warunku:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Otrzymujemy dwa łańcuchy liczb: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.

Iloczyn wszystkich czynników biorących udział w rozkładzie tych liczb będzie miał postać: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Znajdźmy wspólne czynniki. To jest liczba 7. Wykluczmy to z całkowitego produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Okazuje się, że NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odpowiedź: LOC(441, 700) = 44100.

Podajmy inne sformułowanie metody znajdowania LCM poprzez rozkład liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 3

Wcześniej wykluczyliśmy z całkowitej liczby czynników wspólnych dla obu liczb. Teraz zrobimy to inaczej:

• Rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
• dodaj do iloczynu czynników pierwszych pierwszej liczby brakujące czynniki drugiej liczby;
• otrzymujemy iloczyn, który będzie pożądanym LCM dwóch liczb.

Przykład 5

Wróćmy do liczb 75 i 210, dla których szukaliśmy LCM już w jednym z poprzednich przykładów. Podzielmy je na proste czynniki: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Do iloczynu czynników 3, 5 i 5 liczby 75 dodają brakujące czynniki 2 I 7 numery 210. Otrzymujemy: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . To jest LCM liczb 75 i 210.

Przykład 6

Konieczne jest obliczenie LCM liczb 84 i 648.

Rozwiązanie

Rozłóżmy liczby z warunku na proste czynniki: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmy do iloczynu czynniki 2, 2, 3 i 7 liczby 84 brakujące czynniki 2, 3, 3 i
3 numery 648. Otrzymujemy produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648.

Odpowiedź: LCM(84, 648) = 4536.

Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb

Niezależnie od tego z iloma liczbami mamy do czynienia, algorytm naszego działania zawsze będzie taki sam: znajdziemy po kolei LCM dwóch liczb. Istnieje twierdzenie dotyczące tego przypadku.

Twierdzenie 1

Załóżmy, że mamy liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k liczby te można znaleźć, obliczając kolejno m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k).

Przyjrzyjmy się teraz, jak twierdzenie można zastosować do rozwiązania konkretnych problemów.

Przykład 7

Musisz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność czterech liczb 140, 9, 54 i 250 .

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenie: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Zacznijmy od obliczenia m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Zastosujmy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD liczb 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Otrzymujemy: NWD (140, 9) = 1, NWD (140, 9) = 140 9: NWD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Dlatego m 2 = 1260.

Obliczmy teraz według tego samego algorytmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Podczas obliczeń otrzymujemy m 3 = 3 780.

Musimy tylko obliczyć m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Postępujemy według tego samego algorytmu. Otrzymujemy m 4 = 94 500.

LCM czterech liczb z przykładowego warunku wynosi 94500.

Odpowiedź: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Jak widać obliczenia są proste, ale dość pracochłonne. Aby zaoszczędzić czas, możesz wybrać inną drogę.

Definicja 4

Oferujemy następujący algorytm działań:

• rozkładamy wszystkie liczby na czynniki pierwsze;
• do iloczynu czynników pierwszej liczby dodajemy brakujące czynniki z iloczynu drugiej liczby;
• do iloczynu otrzymanego na poprzednim etapie dodajemy brakujące czynniki trzeciej liczby itp.;
• wynikowy iloczyn będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb z warunku.

Przykład 8

Musisz znaleźć LCM pięciu liczb 84, 6, 48, 7, 143.

Rozwiązanie

Rozłóżmy wszystkie pięć liczb na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Liczb pierwszych, czyli liczby 7, nie można rozłożyć na czynniki pierwsze. Liczby takie pokrywają się z ich rozkładem na czynniki pierwsze.

Weźmy teraz iloczyn czynników pierwszych 2, 2, 3 i 7 liczby 84 i dodajmy do nich brakujące czynniki drugiej liczby. Rozłożyliśmy liczbę 6 na 2 i 3. Czynniki te są już w iloczynie pierwszej liczby. Dlatego je pomijamy.

Kontynuujemy dodawanie brakujących mnożników. Przejdźmy do liczby 48, z iloczynu jej czynników pierwszych bierzemy 2 i 2. Następnie dodajemy czynnik pierwszy 7 z czwartej liczby oraz czynniki 11 i 13 z piątej. Otrzymujemy: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48048. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność z pięciu pierwotnych liczb.

Odpowiedź: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych, należy najpierw zastąpić te liczby liczbami o przeciwnym znaku, a następnie przeprowadzić obliczenia z wykorzystaniem powyższych algorytmów.

Przykład 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) i LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takie działania są dopuszczalne ze względu na to, że jeśli to zaakceptujemy A I - za– liczby przeciwne,
następnie zbiór wielokrotności liczby A dopasowuje zbiór wielokrotności liczby - za.

Przykład 10

Konieczne jest obliczenie LCM liczb ujemnych − 145 I − 45 .

Rozwiązanie

Zamieńmy liczby − 145 I − 45 do ich przeciwnych liczb 145 I 45 . Teraz korzystając z algorytmu obliczamy LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, wyznaczywszy wcześniej GCD za pomocą algorytmu Euklidesa.

Otrzymujemy, że LCM liczb wynosi - 145 i − 45 równa się 1 305 .

Odpowiedź: LCM (- 145, - 45) = 1305.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Definicja. Nazywa się największą liczbę naturalną, przez którą liczby a i b są dzielone bez reszty największy wspólny dzielnik (NWD) te liczby.

Znajdźmy największy wspólny dzielnik liczb 24 i 35.
Dzielnikami liczby 24 są liczby 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a dzielnikami liczby 35 są liczby 1, 5, 7, 35.
Widzimy, że liczby 24 i 35 mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Takie liczby nazywane są wzajemnie pierwsze.

Definicja. Nazywa się liczby naturalne wzajemnie pierwsze, jeśli ich największy wspólny dzielnik (NWD) wynosi 1.

Największy wspólny dzielnik (GCD) można znaleźć bez wypisywania wszystkich dzielników danych liczb.

Rozkładając liczby 48 i 36, otrzymujemy:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z czynników wchodzących w skład rozwinięcia pierwszej z tych liczb skreślamy te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby (tj. dwie dwójki).
Pozostałe czynniki to 2 * 2 * 3. Ich iloczyn jest równy 12. Liczba ta jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36. Znaleziono również największy wspólny dzielnik trzech lub więcej liczb.

Znaleźć Największy wspólny dzielnik

2) spośród czynników wchodzących w skład rozwinięcia jednej z tych liczb skreślić te, które nie wchodzą w skład rozwinięcia innych liczb;
3) znajdź iloczyn pozostałych czynników.

Jeśli wszystkie podane liczby są podzielne przez jedną z nich, to ta liczba jest podzielna Największy wspólny dzielnik podane liczby.
Na przykład największym wspólnym dzielnikiem liczb 15, 45, 75 i 180 jest liczba 15, ponieważ wszystkie inne liczby są przez nią podzielne: 45, 75 i 180.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczby naturalne a i b to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością obu a i b. Najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) liczb 75 i 60 można znaleźć bez zapisywania wielokrotności tych liczb z rzędu. Aby to zrobić, rozłóżmy 75 i 60 na czynniki pierwsze: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapiszmy czynniki wchodzące w skład rozwinięcia pierwszej z tych liczb i dodajmy do nich brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia drugiej liczby (czyli łączymy czynniki).
Otrzymujemy pięć czynników 2 * 2 * 3 * 5 * 5, których iloczyn wynosi 300. Ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.

Znajdują także najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb.

Do znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność kilka liczb naturalnych, potrzebujesz:
1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;
2) zapisz czynniki składające się na rozwinięcie jednej z liczb;
3) dodać do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;
4) znaleźć iloczyn uzyskanych czynników.

Zauważ, że jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez wszystkie inne liczby, to liczba ta jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
Na przykład najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 12, 15, 20 i 60 wynosi 60, ponieważ jest podzielna przez wszystkie te liczby.

Pitagoras (VI wiek p.n.e.) i jego uczniowie badali kwestię podzielności liczb. Liczbę równą sumie wszystkich jej dzielników (bez samej liczby) nazywali liczbą doskonałą. Na przykład liczby 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) są idealne. Kolejne liczby doskonałe to 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejczycy znali tylko trzy pierwsze liczby doskonałe. Czwarty - 8128 - stał się znany w I wieku. N. mi. Piąty – 33 550 336 – odnaleziono w XV wieku. W 1983 roku znanych było już 27 liczb doskonałych. Ale naukowcy nadal nie wiedzą, czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste, czy też istnieje największa liczba doskonała.
Zainteresowanie starożytnych matematyków liczbami pierwszymi wynika z faktu, że każda liczba jest albo pierwsza, albo można ją przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych, tj. liczby pierwsze są jak cegły, z których zbudowane są pozostałe liczby naturalne.
Zapewne zauważyłeś, że liczby pierwsze w szeregu liczb naturalnych występują nierównomiernie – w niektórych częściach szeregu jest ich więcej, w innych – mniej. Ale im dalej posuniemy się w szeregu liczbowym, tym mniej popularne są liczby pierwsze. Powstaje pytanie: czy istnieje ostatnia (największa) liczba pierwsza? Starożytny grecki matematyk Euklides (III w. p.n.e.) w swojej książce „Elementy”, która przez dwa tysiące lat była głównym podręcznikiem matematyki, udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, czyli za każdą liczbą pierwszą kryje się jeszcze większa liczba pierwsza numer.
Aby znaleźć liczby pierwsze, inny grecki matematyk z tego samego okresu, Eratostenes, wymyślił tę metodę. Zapisał wszystkie liczby od 1 do jakiejś liczby, po czym skreślił jedynkę, która nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, następnie przekreślił przez jedynkę wszystkie liczby występujące po 2 (liczby będące wielokrotnością 2, czyli 4, 6, 8 itd.). Pierwszą pozostałą liczbą po 2 było 3. Następnie po dwójce wszystkie liczby występujące po 3 (liczby będące wielokrotnościami 3, tj. 6, 9, 12 itd.) zostały przekreślone. w końcu tylko liczby pierwsze pozostały nieskrzyżowane.

Zacznijmy od najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch lub więcej liczb. W tej części zdefiniujemy ten termin, rozważymy twierdzenie ustanawiające związek między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem i podamy przykłady rozwiązywania problemów.

Wspólne wielokrotności – definicja, przykłady

W tym temacie będziemy zainteresowani tylko wspólnymi wielokrotnościami liczb całkowitych różnymi od zera.

Definicja 1

Wspólna wielokrotność liczb całkowitych jest liczbą całkowitą będącą wielokrotnością wszystkich podanych liczb. W rzeczywistości jest to dowolna liczba całkowita, którą można podzielić przez dowolną z podanych liczb.

Definicja wspólnych wielokrotności odnosi się do dwóch, trzech lub większej liczby liczb całkowitych.

Przykład 1

Zgodnie z definicją podaną powyżej, wspólne wielokrotności liczby 12 to 3 i 2. Ponadto liczba 12 będzie wspólną wielokrotnością liczb 2, 3 i 4. Liczby 12 i -12 są wspólnymi wielokrotnościami liczb ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Jednocześnie wspólną wielokrotnością liczb 2 i 3 będą liczby 12, 6, - 24, 72, 468, - 100 010 004 i cała seria innych.

Jeśli weźmiemy liczby podzielne przez pierwszą liczbę z pary i niepodzielne przez drugą, to takie liczby nie będą zwykłymi wielokrotnościami. Zatem dla liczb 2 i 3 liczby 16, − 27, 5009, 27001 nie będą wspólnymi wielokrotnościami.

0 jest wspólną wielokrotnością dowolnego zbioru liczb całkowitych innych niż zero.

Jeśli przypomnimy sobie własność podzielności ze względu na liczby przeciwne, okaże się, że pewna liczba całkowita k będzie wspólną wielokrotnością tych liczb, podobnie jak liczba - k. Oznacza to, że wspólne dzielniki mogą być dodatnie lub ujemne.

Czy można znaleźć LCM dla wszystkich numerów?

Dla dowolnej liczby całkowitej można znaleźć wspólną wielokrotność.

Przykład 2

Załóżmy, że jest nam dane k liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. Liczba, którą otrzymujemy podczas mnożenia liczb za 1 · za 2 · … · za k zgodnie z właściwością podzielności zostanie on podzielony na każdy z czynników, które były zawarte w pierwotnym produkcie. Oznacza to, że iloczyn liczb a 1 , a 2 , … , a k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.

Ile wspólnych wielokrotności mogą mieć te liczby całkowite?

Grupa liczb całkowitych może mieć dużą liczbę wspólnych wielokrotności. W rzeczywistości ich liczba jest nieskończona.

Przykład 3

Załóżmy, że mamy liczbę k. Wtedy iloczyn liczb k · z, gdzie z jest liczbą całkowitą, będzie wspólną wielokrotnością liczb k i z. Biorąc pod uwagę, że liczba liczb jest nieskończona, liczba wspólnych wielokrotności jest nieskończona.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) – definicja, notacja i przykłady

Przypomnijmy sobie koncepcję najmniejszej liczby z danego zbioru liczb, którą omówiliśmy w części „Porównywanie liczb całkowitych”. Biorąc pod uwagę tę koncepcję, formułujemy definicję najmniejszej wspólnej wielokrotności, która ma największe znaczenie praktyczne spośród wszystkich wspólnych wielokrotności.

Definicja 2

Najmniejsza wspólna wielokrotność danych liczb całkowitych jest najmniejszą dodatnią wspólną wielokrotnością tych liczb.

Dla dowolnej liczby danych liczb istnieje najmniejsza wspólna wielokrotność. Najczęściej używanym skrótem tego pojęcia w literaturze przedmiotu jest NOC. Krótki zapis najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a 1 , a 2 , … , a k będzie miał postać LOC (za 1 , za 2 , … , za k).

Przykład 4

Najmniejszą wspólną wielokrotnością 6 i 7 jest 42. Te. LCM(6, 7) = 42. Najmniejsza wspólna wielokrotność czterech liczb 2, 12, 15 i 3 wynosi 60. Krótka notacja będzie wyglądać jak LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Najmniejsza wspólna wielokrotność nie jest oczywista dla wszystkich grup danych liczb. Często trzeba to policzyć.

Związek pomiędzy NOC i GCD

Najmniejsza wspólna wielokrotność i największy wspólny dzielnik są ze sobą powiązane. Związek między pojęciami ustala twierdzenie.

Twierdzenie 1

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych aib jest równa iloczynowi aib podzielonemu przez największy wspólny dzielnik aib, czyli LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Dowód 1

Załóżmy, że mamy liczbę M, która jest wielokrotnością liczb a i b. Jeśli liczba M jest podzielna przez a, istnieje również liczba całkowita z , pod którym równość jest prawdziwa M = ak. Zgodnie z definicją podzielności, jeśli M jest podzielne przez B, a następnie a · k podzielony przez B.

Jeśli wprowadzimy nową notację dla gcd (a, b) as D, to możemy skorzystać z równości a = a 1 d oraz b = b 1 · re. W tym przypadku obie równości będą liczbami względnie pierwszymi.

Ustaliliśmy już to powyżej a · k podzielony przez B. Teraz warunek ten można zapisać w następujący sposób:
a 1 dk podzielony przez b 1 d, co jest równoważne warunkowi 1 tys podzielony przez b 1 zgodnie z własnościami podzielności.

Zgodnie z własnością liczb względnie pierwszych, jeśli 1 I b 1– liczby względnie pierwsze, 1 nie podzielne przez b 1 pomimo faktu, że 1 tys podzielony przez b 1, To b 1 trzeba się dzielić k.

W tym przypadku należałoby założyć, że istnieje liczba T, dla którego k = b 1 t, i od b 1 = b: re, To k = b: re t.

Teraz zamiast k podstawmy pod równość M = ak wyraz formy b: d t. Dzięki temu możemy osiągnąć równość M = za b: re t. Na t = 1 możemy otrzymać najmniejszą dodatnią wspólną wielokrotność a i b , równy a b: d, pod warunkiem, że liczby a i b pozytywny.

Udowodniliśmy więc, że LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Utworzenie połączenia pomiędzy LCM i GCD pozwala znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność poprzez największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej danych liczb.

Definicja 3

Twierdzenie to ma dwie ważne konsekwencje:

• wielokrotności najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb są takie same, jak wspólne wielokrotności tych dwóch liczb;
• najmniejsza wspólna wielokrotność wzajemnie pierwszych liczb dodatnich aib jest równa ich iloczynowi.

Potwierdzenie tych dwóch faktów nie jest trudne. Dowolną wspólną wielokrotność M liczb aib definiujemy przez równość M = LCM (a, b) · t dla pewnej wartości całkowitej t. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to gcd (a, b) = 1, zatem gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb, należy po kolei znaleźć LCM dwóch liczb.

Twierdzenie 2

Udawajmy, że a 1 , a 2 , … , a k są pewnymi dodatnimi liczbami całkowitymi. Aby obliczyć LCM m k te liczby, musimy po kolei obliczyć m2 = LCM(za 1 , za 2) , m 3 = NOC(m 2 , za 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Dowód 2

Pierwszy wniosek z pierwszego twierdzenia omawianego w tym temacie pomoże nam udowodnić ważność drugiego twierdzenia. Rozumowanie opiera się na następującym algorytmie:

• wspólne wielokrotności liczb 1 I 2 pokrywają się z wielokrotnościami ich LCM, w rzeczywistości pokrywają się z wielokrotnościami tej liczby m 2;
• wspólne wielokrotności liczb 1, 2 I 3 m 2 I 3 m 3;
• wspólne wielokrotności liczb a 1 , a 2 , … , a k pokrywają się ze zwykłymi wielokrotnościami liczb m k - 1 I k zatem pokrywają się z wielokrotnościami liczby m k;
• ze względu na to, że jest to najmniejsza dodatnia wielokrotność liczby m k to sam numer m k, a następnie najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a 1 , a 2 , … , a k Jest m k.

W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dla dwóch lub dowolnej innej liczby liczb.

Kalkulator do znajdowania GCD i LCM

Znajdź GCD i LOC

Znaleziono GCD i LOC: 6433

Jak korzystać z kalkulatora

• Wprowadź liczby w polu wejściowym
• Jeżeli wpiszesz nieprawidłowe znaki, pole wprowadzania zostanie podświetlone na czerwono
• kliknij przycisk „Znajdź GCD i LOC”.

Jak wprowadzać liczby

• Liczby wprowadza się oddzielając spacją, kropką lub przecinkiem
• Długość wprowadzanych numerów nie jest ograniczona, więc znalezienie GCD i LCM długich liczb nie jest trudne

Co to są GCD i NOC?

Największy wspólny dzielnik kilka liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik jest skracany jako GCD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb to najmniejsza liczba, która dzieli się przez każdą z liczb pierwotnych bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest skracana jako NOC.

Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?

Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez inną bez reszty, możesz skorzystać z niektórych właściwości podzielności liczb. Następnie łącząc je, można sprawdzić podzielność niektórych z nich i ich kombinacji.

Niektóre oznaki podzielności liczb

1. Test podzielności liczby przez 2
Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, co oznacza, że ​​jest podzielna przez 2.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Rozwiązanie: Patrzymy na ostatnią cyfrę: 8 - oznacza to, że liczba jest podzielna przez dwa.

2. Test podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez trzy. Zatem, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, należy obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest ona podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr jest bardzo duża, można powtórzyć ten sam proces jeszcze raz.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie: Liczymy sumę liczb: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że ​​liczba ta jest podzielna przez trzy.

3. Test podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest zero lub pięć.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba NIE jest podzielna przez pięć.

4. Test podzielności liczby przez 9
Znak ten jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie: Liczymy sumę liczb: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że ​​liczba ta jest podzielna przez dziewięć.

Jak znaleźć GCD i LCM dwóch liczb

Jak znaleźć gcd dwóch liczb

Najprostszym sposobem obliczenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb jest znalezienie wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybranie największego.

Rozważmy tę metodę na przykładzie znalezienia NWD(28, 36):

1. Rozkładamy na czynniki obie liczby: 28 = 1,2,2,7, 36 = 1,2,2,3,3
2. Znajdujemy wspólne czynniki, czyli takie, które mają obie liczby: 1, 2 i 2.
3. Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 = 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.

Jak znaleźć LCM dwóch liczb

Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwsza metoda polega na tym, że możesz zapisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. Drugim jest znalezienie gcd tych liczb. Rozważmy tylko to.

Aby obliczyć LCM, należy obliczyć iloczyn liczb pierwotnych, a następnie podzielić go przez wcześniej znaleziony GCD. Znajdźmy LCM dla tych samych liczb 28 i 36:

1. Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28,36 = 1008
2. NWD(28, 36), jak już wiadomo, jest równe 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Znajdowanie GCD i LCM dla kilku liczb

Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dwóch. W tym celu liczby, które należy znaleźć dla największego wspólnego dzielnika, rozkłada się na czynniki pierwsze, a następnie oblicza się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb. Możesz także użyć poniższej relacji, aby znaleźć gcd kilku liczb: NWD(a, b, c) = NWD(NWD(a, b), c).

Podobna zależność dotyczy najmniejszej wspólnej wielokrotności: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Przykład: znajdź GCD i LCM dla liczb 12, 32 i 36.

1. Najpierw rozłóżmy liczby na czynniki: 12 = 1,2,2,3, 32 = 1,2,2,2,2,2, 36 = 1,2,2,3,3.
2. Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2.
3. Ich produkt da NWD: 1,2,2 = 4
4. Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdźmy LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Aby znaleźć LCM wszystkich trzech liczb, musisz znaleźć GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1,2 · 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96,36 / 12 = 288.