Procent jest jednym z ciekawych i często wykorzystywanych narzędzi w praktyce. Procenty są częściowo lub w całości wykorzystywane w każdej nauce, w każdej pracy, a nawet w codziennej komunikacji. Osoba dobrze orientująca się w procentach sprawia wrażenie osoby inteligentnej i wykształconej. Na tej lekcji dowiemy się, czym jest procent i jakie akcje można nim wykonać.

Treść lekcji

Co to jest procent?

Ułamki są najczęstsze w życiu codziennym. Dostali nawet własne imiona: odpowiednio pół, trzecia i ćwiartka.

Ale jest jeszcze inny ułamek, który również często występuje. To jest ułamek (jedna setna). Ten ułamek nazywa się procent. Co oznacza ułamek setny? Ułamek ten oznacza, że ​​coś jest dzielone na sto części i z tego pobierana jest jedna część. Zatem procent to jedna setna czegoś.

Procent to jedna setna czegoś

Na przykład jeden metr to 1 cm, jeden metr dzieli się na sto części i bierze się jedną część (pamiętaj, że 1 metr to 100 cm). A jedna część tych stu części to 1 cm, co oznacza, że ​​jeden procent jednego metra to 1 cm.

Jeden metr to już 2 centymetry. Tym razem jeden metr został podzielony na sto części, a nie na jedną, ale stamtąd pobrano dwie części. A dwie części na sto to dwa centymetry. Zatem dwa procent jednego metra to 2 centymetry.

Inny przykład: jeden rubel to jedna kopiejka. Rubel podzielono na sto części i stamtąd pobrano jedną część. A jedna część z tych stu części to jedna kopiejka. Oznacza to, że jeden procent jednego rubla to jedna kopiejka.

Procenty były tak powszechne, że ludzie zastąpili ułamek specjalną ikoną, która wygląda tak:

Ten wpis brzmi „jeden procent”. Zastępuje ułamek. Zastępuje również ułamek dziesiętny 0,01, ponieważ jeśli zamienimy ułamek zwykły na ułamek dziesiętny, otrzymamy 0,01. Dlatego pomiędzy tymi trzema wyrażeniami możemy postawić znak równości:

1% = = 0,01

Dwa procent w formie ułamkowej zostanie zapisane jako , w formie dziesiętnej jako 0,02, a przy użyciu specjalnej ikony dwa procent zostanie zapisane jako 2%.

2% = = 0,02

Jak znaleźć procent?

Zasada znajdowania procentu jest taka sama, jak w przypadku zwykłego znajdowania ułamka z liczby. Aby znaleźć procent czegoś, musisz podzielić go na 100 części i pomnożyć wynikową liczbę przez żądany procent.

Na przykład znajdź 2% z 10 cm.

Co oznacza wpis 2%? Wpis 2% zastępuje wpis . Jeśli przetłumaczymy to zadanie na bardziej zrozumiały język, będzie to wyglądać następująco:

Znajdź od 10 cm

I już wiemy, jak rozwiązać takie zadania. Jest to typowy sposób znajdowania ułamka z liczby. Aby znaleźć ułamek liczby, należy podzielić tę liczbę przez mianownik ułamka i wynikowy wynik pomnożyć przez licznik ułamka.

Podziel więc liczbę 10 przez mianownik ułamka

Mamy 0,1. Teraz mnożymy 0,1 przez licznik ułamka

0,1 × 2 = 0,2

Otrzymaliśmy odpowiedź 0,2. Oznacza to, że 2% z 10 cm to 0,2 cm A jeśli , to otrzymamy 2 milimetry:

0,2 cm = 2 mm

Oznacza to, że 2% z 10 cm to 2 mm.

Przykład 2. Znajdź 50% z 300 rubli.

Aby znaleźć 50% z 300 rubli, musisz podzielić te 300 rubli przez 100 i pomnożyć wynikowy wynik przez 50.

Podziel więc 300 rubli przez 100

300: 100 = 3

Teraz pomnóż wynik przez 50

3 × 50 = 150 rubli.

Oznacza to, że 50% z 300 rubli to 150 rubli.

Jeśli na początku trudno Ci się przyzwyczaić do zapisu ze znakiem %, możesz zastąpić ten zapis zwykłym zapisem ułamkowym.

Na przykład to samo 50% można zastąpić wpisem . Wtedy zadanie będzie wyglądać następująco: Znajdź od 300 rubli, ale rozwiązanie takich problemów jest dla nas nadal łatwiejsze

300: 100 = 3

3 × 50 = 150

W zasadzie nie ma tu nic skomplikowanego. Jeśli pojawią się trudności, radzimy zatrzymać się i ponownie zbadać i.

Przykład 3. Fabryka odzieży wyprodukowała 1200 garniturów. Spośród nich 32% to garnitury w nowym stylu. Ile garniturów w nowym stylu wyprodukowała fabryka?

Tutaj musisz znaleźć 32% z 1200. Znaleziona liczba będzie odpowiedzią na problem. Skorzystajmy z reguły znajdowania procentu. Podzielmy 1200 przez 100 i otrzymany wynik pomnóżmy przez pożądany procent, tj. o 32

1200: 100 = 12

12 × 32 = 384

Odpowiedź: Fabryka wyprodukowała 384 garnitury nowego stylu.

Drugi sposób na znalezienie procentu

Druga metoda znajdowania wartości procentowej jest znacznie prostsza i wygodniejsza. Polega to na tym, że liczba, od której szukany jest procent, zostanie natychmiast pomnożona przez pożądany procent, wyrażony jako ułamek dziesiętny.

Na przykład rozwiążmy poprzedni problem za pomocą tej metody. Znajdź 50% z 300 rubli.

Wpis 50% zastępuje wpis , a jeśli zamienimy je na ułamek dziesiętny, otrzymamy 0,5

Teraz, aby znaleźć 50% z 300, wystarczy pomnożyć liczbę 300 przez ułamek dziesiętny 0,5

300 × 0,5 = 150

Nawiasem mówiąc, mechanizm znajdowania procentów w kalkulatorach działa na tej samej zasadzie. Aby znaleźć procent za pomocą kalkulatora, należy wprowadzić do kalkulatora liczbę, od której ma być wyszukiwany procent, następnie nacisnąć klawisz mnożenia i wpisać żądaną wartość procentową. Następnie naciśnij klawisz procentowy %

Znajdowanie liczby na podstawie jej procentu

Znając procent liczby, możesz znaleźć całą liczbę. Przykładowo przedsiębiorstwo zapłaciło nam za pracę 60 000 rubli, co stanowi 2% całkowitego zysku uzyskiwanego przez przedsiębiorstwo. Znając nasz udział i jaki jest jego procent, możemy dowiedzieć się, jaki jest całkowity zysk.

Najpierw musisz dowiedzieć się, ile rubli stanowi jeden procent. Jak to zrobić? Spróbuj zgadnąć, uważnie studiując poniższy rysunek:

Jeśli dwa procent całkowitego zysku to 60 tysięcy rubli, łatwo zgadnąć, że jeden procent to 30 tysięcy rubli. Aby zdobyć te 30 tysięcy rubli, musisz podzielić 60 tysięcy przez 2

60 000: 2 = 30 000

Znaleźliśmy jeden procent całkowitego zysku, tj. . Jeśli jedna część to 30 tysięcy, to aby określić sto części, należy pomnożyć 30 tysięcy przez 100

30 000 × 100 = 3 000 000

Ustaliliśmy całkowity zysk. To trzy miliony.

Spróbujmy sformułować regułę znajdowania liczby na podstawie jej procentu.

Aby znaleźć liczbę według jej procentu, należy podzielić znaną liczbę przez podany procent i otrzymany wynik pomnożyć przez 100.

Przykład 2. Liczba 35 to 7% jakiejś nieznanej liczby. Znajdź ten nieznany numer.

Przeczytajmy pierwszą część reguły:

Aby znaleźć liczbę według jej procentu, należy podzielić znaną liczbę przez podany procent.

Nasza znana liczba to 35, a podany procent to 7. Podziel 35 przez 7

35: 7 = 5

Przeczytaj drugą część reguły:

i pomnóż wynik przez 100

Naszym wynikiem jest liczba 5. Pomnóż 5 przez 100

5 × 100 = 500

500 to nieznana liczba, którą należało znaleźć. Możesz dokonać sprawdzenia. Aby to zrobić, znajdujemy 7% z 500. Jeśli zrobiliśmy wszystko poprawnie, powinniśmy otrzymać 35

500: 100 = 5

5 × 7 = 35

Mamy 35. Zatem problem został rozwiązany poprawnie.

Zasada znajdowania liczby na podstawie jej procentu jest taka sama, jak w przypadku zwykłego znajdowania liczby całkowitej na podstawie jej ułamka. Jeśli na początku wartości procentowe są mylące i mylące, wówczas wpis procentowy można zastąpić wpisem ułamkowym.

Na przykład poprzedni problem można przedstawić w następujący sposób: liczba 35 pochodzi od nieznanego numeru. Znajdź ten nieznany numer. Wiemy już, jak rozwiązać takie problemy. To znajdowanie liczby za pomocą ułamka zwykłego. Aby znaleźć liczbę za pomocą ułamka, dzielimy tę liczbę przez licznik ułamka i otrzymany wynik mnożymy przez mianownik ułamka. W naszym przykładzie liczbę 35 należy podzielić przez 7, a uzyskany wynik pomnożyć przez 100

35: 7 = 5

5 × 100 = 500

W przyszłości będziemy rozwiązywać problemy dotyczące procentów, a niektóre z nich będą trudne. Aby na początku nie komplikować nauki, wystarczy umieć znaleźć procent liczby, a liczbę procentowo.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Czy podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Anonimowa liczba A jest o 56% mniejsza od liczby B, czyli 2,2 razy mniejsza od liczby C. Jaki procent liczby C przypada na liczbę A? NMitra A = B - 0,56 ⋅ B = B ⋅ (1 - 0,56) = 0,44 ⋅ B B = A: 0,44 C = 2,2 ⋅ B = 2,2 ⋅ A: 0,44 = 5 ⋅ A C jest 5 razy więcej A C jest 400% więcej A Anonimowy Pomoc. W roku 2001 przychody wzrosły o 2 proc. w stosunku do roku 2000, choć planowano je podwoić. O jaki procent plan nie został zrealizowany? NMitra A - 2000 B - 2001 B = A + 0,02A = A ⋅ (1 + 0,02) = 1,02 ⋅ A B = 2 ⋅ A (plan) 2 - 100% 1,02 - x% x = 1,02 ⋅ 100: 2 = 51% (plan zrealizowany) 100 - 51 = 49% (plan nie zrealizowany) Anonimowy Pomóż odpowiedzieć na pytanie. Arbuz zawiera 99% wilgoci, ale po wysuszeniu (wystawieniu na kilka dni na słońce) jego wilgotność wynosi 98%. O ile % zmieni się WAGA arbuza po suszeniu? Jeśli obliczysz to matematycznie, okaże się, że mój arbuz całkowicie wyschł. Na przykład: przy wadze 20 kg woda stanowi 99% masy, czyli sucha masa wynosi 1% = 0,2 kg. Tutaj arbuz traci płyn i wynosi już 98%, dlatego sucha masa wynosi 2%. Ale sucha masa nie może się zmienić z powodu utraty wody, więc pozostaje równa 0,2 kg. 2%=0,2 => 100%=10 kg. Anonimowy Proszę o informację jak obliczyć sam procent w zakresie 2 wartości? Powiedzmy, jaki procent ma liczba 37 w przedziale wartości 22-63? Potrzebuję wzoru na aplikację; kiedyś rozwiązywałem takie problemy w kilka minut, ale teraz mój mózg się skurczył). Wydźwignąć. NMitra U mnie wychodzi to tak: procent = (liczba - z0) ⋅ 100: (z1-z0) z0 - wartość początkowa zakresu z1 - końcowa wartość zakresu Przykładowo x = (37-22) ⋅ 100 : (63-22) = 1500 : 41 = 37% Dla poniższego przykładu jest zbieżny

0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Anonimowy a - bieżąca data b - początek kadencji c - koniec kadencji (a-b) ⋅ 100: (c-b) Anonimowy Stół i krzesło razem kosztują 650 rubli. Gdy stół stał się tańszy o 20%, a krzesło droższe o 20%, zaczęły kosztować razem 568 rubli. Znajdź cenę początkową stołu, zacznij. cena krzesła. Cena stołu NMitra - x cena krzesła - y 0,8x + 1,2 lat = 568 0,8x = 568 - 1,2 lat x = (568 - 1,2 lat): 0,8 = 710 - 1,5 lat x + y = 650 y = 650 - x y = 650 - ( 710 - 1,5 roku) = -60 + 1,5 roku y - 1,5 roku = -60 0,5 roku = 60 y = 120 x = 710 - 1,5 ⋅ 120 = 530 Pytanie anonimowe. Na parkingu stały samochody osobowe i ciężarowe. Samochodów osobowych jest 1,15 razy więcej. O ile procent jest więcej samochodów osobowych niż ciężarowych? NMitra O 15%. Kesha, pomóż, proszę. Głowa już mi spuchła... Przywieźli towar za 70 000. Towar jest inny. 23 gatunki. Oczywiście ich ceny zakupu wahają się od 210 rubli. do 900 rubli. Całkowite wydatki na transport itp. = 28 000 rubli. Jak mogę teraz obliczyć koszt tych różnych towarów? Ilość 67 szt. Chcę dołożyć do nich 50 procent i sprzedać. Jak zatem obliczyć marżę w wysokości 50% dla każdego rodzaju produktu? Z góry dziękuję. Pozdrawiam, KESHA. NMitra Załóżmy, że przywiozłeś 4 towary (35 rubli, 16 rubli, 18 rubli, 1 rubel) za łączną kwotę 70 rubli. Wydaliśmy 20 rubli na koszty transportu itp. Procent każdego produktu w łącznej kwocie wynosi 70 rubli - 100% 35 rubli - x% x = 35 ⋅ 100: 70 = 50% Koszt 35 rubli + 10 rubli = 45 rubli

35	50%	10	45
16	23%	4,6	20,6
18	26%	5,2	23,2
1	1%	0,2	1,2
70	100%	20	90

Marża w wysokości 50% od ceny nabycia 45 rubli - 100% x rubli - 150% x = 45 ⋅ 150: 100 = 45 ⋅ 1,5 = 67,5 rubli

35	50%	10	45	67,5
16	23%	4,6	20,6	30,9
18	26%	5,2	23,2	34,8
1	1%	0,2	1,2	1,8
70	100%	20	90	135

Tigran Hovhannisyan Kesha, są dwa sposoby. Pierwsza metoda została opisana w górnym komentarzu. Druga metoda polega na podzieleniu kwoty transportu przez ilość towaru (w twoim przypadku 67), czyli 28 000: 67 = 417,91 rubli za produkt. Tutaj dodaj 418 (417,91) do kosztu towaru (jest tu wiele niuansów, które można wziąć pod uwagę, ale ogólnie wygląda to tak). Anonimowy Proszę o pomoc w liczeniu. Jedna osoba przekazała na ogólny rozwój biznesu 1 tys. euro, druga 3600. Po kilku miesiącach pracy kwota wyniosła 14500. Jak podzielić??? Ile komu)) Nie jestem matematykiem, wyjaśniłem to prosto. Kwota z pierwotnej wzrosła ponad trzykrotnie. Łatwo to obliczyć: 14 500 podzielić przez 4600, otrzymamy 3,152. Jest to liczba, przez którą należy pomnożyć zainwestowaną kwotę: 1 tysiąc - 3 152 3600 pomnożone przez 3,152 = 11 347. To proste) Bez żadnych wzorów. NMitra Pomyśl dobrze! 100% - 1000 + 3600 x% - 1000 x = 1000 ⋅ 100: 4600 = 21,73913% (procentowy udział w kapitale zakładowym tego, który dał 1000 €) 100% - 14500 21,73913% - x x = 14500 ⋅ 21,73913: 100 = 3152,17€ (ten, który dał 1000€) 14500 - 3152,17 = 11347,83€ (ten, który dał 3600€)

Dziś we współczesnym świecie nie da się obejść bez odsetek. Już w szkole, począwszy od piątej klasy, dzieci uczą się tego pojęcia i rozwiązują problemy z tą wielkością. Zainteresowania znajdują się w każdym obszarze nowoczesnych konstrukcji. Weźmy na przykład banki: wysokość nadpłaty kredytu uzależniona jest od kwoty określonej w umowie; ma to również wpływ na wielkość zysku, dlatego niezwykle ważne jest, aby wiedzieć, jaki jest procent.

Koncepcja zainteresowań

Według jednej z legend procent pojawił się z powodu głupiej literówki. Zecer miał ustawić liczbę 100, ale się pomylił i ustawił tak: 010. To spowodowało, że pierwsze zero nieznacznie wzrosło, a drugie opadło. Ten zmienił się w ukośnik odwrotny. Takie manipulacje spowodowały pojawienie się znaku procentu. Istnieją oczywiście inne legendy na temat pochodzenia tej ilości.

Hindusi wiedzieli o odsetkach już w V wieku. W Europie, z którą nasza koncepcja jest ściśle powiązana, pojawiły się tysiąc lat później. Po raz pierwszy w Starym Świecie pomysł, jakie jest zainteresowanie, przedstawił naukowiec z Belgii, Simon Stevin. W 1584 r. ten sam naukowiec po raz pierwszy opublikował tabelę wielkości.

Słowo „procent” pochodzi z łaciny i oznacza „pro centum”. Jeśli przetłumaczysz to wyrażenie, otrzymasz „od stu”. Zatem procent oznacza jedną setną dowolnej wartości lub liczby. Wartość ta jest oznaczona znakiem %.

Dzięki procentom możliwe stało się bez większych trudności porównywanie części jednej całości. Pojawienie się akcji znacznie uprościło obliczenia, dlatego stały się tak powszechne.

Zamiana ułamków zwykłych na procenty

Aby zamienić ułamek dziesiętny na procent, możesz potrzebować tak zwanej formuły procentowej: ułamek jest mnożony przez 100, a do wyniku dodawany jest procent.

Jeśli chcesz zamienić ułamek zwykły na procent, najpierw musisz ustawić go jako ułamek dziesiętny, a następnie skorzystać z powyższego wzoru.

Zamiana procentów na ułamki

W związku z tym formuła procentowa jest dość dowolna. Ale musisz wiedzieć, jak przekonwertować tę wartość na wyrażenie ułamkowe. Aby zamienić ułamki zwykłe (procenty) na dziesiętne, należy usunąć znak % i podzielić wskaźnik przez 100.

Wzór na obliczenie procentu liczby

1) 40 x 30 = 1200.

2) 1200: 100 = 12 (studenci).

Odpowiedź: 12 uczniów napisało test na „5”.

Możesz skorzystać z gotowej tabeli, która pokazuje niektóre ułamki i odpowiadające im procenty.

Okazuje się, że wzór na procenty liczby wygląda następująco: C = (A∙B) / 100, gdzie A jest liczbą pierwotną (w tym konkretnym przykładzie równą 40); B - liczba procentów (w tym zadaniu B = 30%); C jest pożądanym rezultatem.

Wzór na obliczenie liczby z procentu

Poniższe zadanie pokaże, czym jest procent i jak znaleźć liczbę za pomocą procentu.

Fabryka odzieży wyprodukowała 1200 sukienek, z czego 32% to sukienki w nowym stylu. Ile sukienek nowego stylu wyprodukowała fabryka odzieży?

1. 1200: 100 = 12 (sukienki) - 1% wszystkich wydanych produktów.

2. 12 x 32 = 384 (sukienki).

Odpowiedź: fabryka wyprodukowała 384 sukienki nowego stylu.

Jeśli chcesz znaleźć liczbę według jej procentu, możesz skorzystać ze wzoru: C = (A∙100) / B, gdzie A to całkowita liczba pozycji (w tym przypadku A = 1200); B – liczba procentów (w konkretnym zadaniu B = 32%); C jest pożądaną wartością.

Zwiększ lub zmniejsz liczbę o określony procent

Uczniowie muszą dowiedzieć się, czym są procenty, jak je liczyć i rozwiązywać różnorodne problemy. Aby to zrobić, musisz zrozumieć, jak liczba zwiększa się lub zmniejsza o N%.

Często podaje się zadania, a w życiu trzeba dowiedzieć się, jaka liczba będzie równa, jeśli zostanie zwiększona o dany procent. Na przykład, biorąc pod uwagę liczbę X. Musisz dowiedzieć się, jaka będzie wartość X, jeśli zostanie zwiększona, powiedzmy, o 40%. Najpierw musisz zamienić 40% na ułamek (40/100). Zatem wynikiem zwiększenia liczby X będzie: X + 40% ∙ X = (1+40 / 100) ∙ X = 1,4 ∙ X. Jeśli zamiast X podstawisz dowolną liczbę, weź na przykład 100, to całe wyrażenie będzie równe: 1,4 ∙ X = 1,4 ∙ 100 = 140.

W przybliżeniu tę samą zasadę stosuje się przy zmniejszaniu liczby o dany procent. Należy wykonać obliczenia: X - X ∙ 40% = X ∙ (1-40 / 100) = 0,6 ∙ X. Jeżeli wartość wynosi 100, to 0,6 ∙ X = 0,6. 100 = 60.

Są zadania, w których musisz dowiedzieć się, o jaki procent wzrosła liczba.

Przykładowo biorąc pod uwagę zadanie: Kierowca jechał jednym odcinkiem toru z prędkością 80 km/h. Na innym odcinku prędkość pociągów wzrosła do 100 km/h. O ile procent wzrosła prędkość pociągu?

Powiedzmy 80 km/h - 100%. Następnie wykonujemy obliczenia: (100% ∙ 100 km/h) / 80 km/h = 1000: 8 = 125%. Okazuje się, że 100 km/h to 125%. Aby dowiedzieć się, o ile wzrosła prędkość, musisz obliczyć: 125% - 100% = 25%.

Odpowiedź: prędkość pociągu na drugim odcinku wzrosła o 25%.

Proporcja

Często zdarza się, że konieczne jest rozwiązanie problemów dotyczących procentów za pomocą proporcji. W rzeczywistości ta metoda znajdowania wyniku znacznie upraszcza zadanie uczniom, nauczycielom i innym osobom.

Czym zatem jest proporcja? Termin ten odnosi się do równości dwóch stosunków, którą można wyrazić w następujący sposób: A / B = C / D.

W podręcznikach do matematyki obowiązuje taka zasada: iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. Wyraża się to następującym wzorem: A x D = B x C.

Dzięki takiemu sformułowaniu można obliczyć dowolną liczbę, jeśli znane są pozostałe trzy składniki proporcji. Na przykład A jest nieznaną liczbą. Aby go znaleźć, potrzebujesz

Rozwiązując problemy metodą proporcji, musisz zrozumieć, z której liczby należy wziąć wartości procentowe. Zdarzają się przypadki, gdy akcje muszą zostać pobrane z różnych wartości. Porównywać:

1. Po zakończeniu sprzedaży w sklepie koszt koszulki wzrósł o 25% i wyniósł 200 rubli. Jaka była cena w czasie wyprzedaży?

W tym przypadku wymagana wartość to 200 rubli, co odpowiada 125% pierwotnej (sprzedażowej) ceny koszulki. Następnie, aby poznać jego koszt podczas sprzedaży, potrzebujesz (200 x 100): 125. Wynik to 160 rubli.

2. Na planecie Vicencia żyje 200 000 mieszkańców: ludzie i przedstawiciele humanoidalnej rasy Naavi. Na'avi stanowią 80% całej populacji Vicenci. Spośród ludności 40% zajmuje się obsługą kopalni, reszta wydobywa tetan. Ilu ludzi wydobywa tetan?

Przede wszystkim musisz znaleźć w formie liczbowej liczbę osób i liczbę Naavi. Zatem 80% z 200 000 równałoby się 160 000. Oto ilu przedstawicieli rasy humanoidalnej żyje w Vicenci. Liczba osób wynosi odpowiednio 40 000. Z tego 40%, czyli 16 000, obsługuje kopalnię. Oznacza to, że wydobyciem tetanu zajmuje się 24 000 osób.

Powtarzająca się zmiana liczby o określony procent

Kiedy już jest jasne, jaki jest procent, musisz przestudiować koncepcję zmiany bezwzględnej i względnej. Konwersja bezwzględna oznacza zwiększenie liczby o określoną liczbę. Zatem X wzrosło o 100. Bez względu na to, czym zastąpimy X, liczba ta nadal wzrośnie o 100: 15 + 100; 99,9 + 100; + 100 itd.

Przez zmianę względną rozumie się wzrost wartości o określoną liczbę procent. Powiedzmy, że X wzrosło o 20%. Oznacza to, że X będzie równe: X+X∙20%. Względną zmianę mamy na myśli, gdy mówimy o wzroście o połowę lub o jedną trzecią, spadku o jedną czwartą, wzroście o 15% itd.

Jest jeszcze jedna ważna kwestia: jeśli wartość X zostanie zwiększona o 20%, a następnie o kolejne 20%, wówczas całkowity wzrost wyniesie 44%, ale nie 40%. Można to wywnioskować z następujących obliczeń:

1. X + 20% ∙ X = 1,2 ∙ X

2. 1,2 ∙ X + 20% ∙ 1,2 ∙ X = 1,2 ∙ X + 0,24 ∙ X = 1,44 ∙ X

To pokazuje, że X wzrosło o 44%.

Przykłady zadań z procentami

1. Jaki procent liczby 36 stanowi liczba 9?

Zgodnie ze wzorem na znalezienie procentu liczby należy pomnożyć 9 przez 100 i podzielić przez 36.

Odpowiedź: Liczba 9 to 25% z 36.

2. Oblicz liczbę C, która stanowi 10% z 40.

Zgodnie ze wzorem na znalezienie liczby według jej procentu należy pomnożyć 40 przez 10 i podzielić wynik przez 100.

Odpowiedź: Liczba 4 to 10% z 40.

3. Pierwszy wspólnik zainwestował w biznes 4500 rubli, drugi - 3500 rubli, trzeci - 2000 rubli. Zarobili 2400 rubli. Zyski podzielili po równo. Ile w rublach stracił pierwszy wspólnik w porównaniu do tego, ile by otrzymał, gdyby dochód podzielili według procentu zainwestowanych środków?

Razem zainwestowali 10 000 rubli. Dochód każdego z nich wynosił równy udział w wysokości 800 rubli. Aby dowiedzieć się, ile powinien otrzymać pierwszy partner i ile odpowiednio stracił, musisz dowiedzieć się, jaki procent zainwestowanych środków. Następnie musisz dowiedzieć się, jaki zysk przynosi ten wkład w rublach. Ostatnią rzeczą jest odjęcie 800 rubli od uzyskanego wyniku.

Odpowiedź: pierwszy wspólnik stracił 280 rubli przy podziale zysków.

Trochę ekonomii

Dziś dość popularnym pytaniem jest ubieganie się o pożyczkę na określony okres. Jak jednak wybrać opłacalny kredyt, aby nie przepłacić? Przede wszystkim należy zwrócić uwagę na oprocentowanie. Pożądane jest, aby liczba ta była jak najniższa. Należy go wówczas zaliczyć na poczet pożyczki.

Co do zasady na wysokość nadpłaty wpływa wysokość zadłużenia, oprocentowanie oraz sposób spłaty. Istnieją renty i W pierwszym przypadku pożyczka jest spłacana w równych ratach co miesiąc. Od razu kwota pokrywająca kapitał kredytu rośnie, a koszt odsetek stopniowo maleje. W drugim przypadku pożyczkobiorca wpłaca w ramach spłaty pożyczki stałe kwoty, do których doliczane są odsetki od salda zadłużenia głównego. Całkowita kwota płatności będzie zmniejszana co miesiąc.

Teraz trzeba wziąć pod uwagę obydwie metody, czyli w przypadku opcji dożywotniej kwota nadpłaty będzie wyższa, a przy opcji różnicowej kwota pierwszych wpłat będzie wyższa. Oczywiście warunki pożyczki są w obu przypadkach takie same.

Wniosek

A więc procenty. Jak je policzyć? Wystarczająco proste. Czasami jednak mogą powodować trudności. Temat ten zaczyna się uczyć w szkole, ale dogania wszystkich w zakresie kredytów, depozytów, podatków itp. Dlatego warto zagłębić się w istotę tego zagadnienia. Jeśli nadal nie potrafisz dokonać obliczeń, w Internecie dostępnych jest wiele kalkulatorów, które pomogą Ci uporać się z zadaniem.

1% to jedna setna liczby.

1% = 0,01.

Znajdowanie procentów liczby.
Aby znaleźć procent liczby, możesz wyrazić procent jako ułamek dziesiętny i pomnożyć liczbę przez uzyskany ułamek dziesiętny.

Znajdowanie liczby na podstawie jej procentu.
Aby znaleźć liczbę na podstawie jej procentu, możesz przedstawić procent jako ułamek dziesiętny i podzielić daną liczbę przez uzyskany ułamek dziesiętny.

Aby dowiedzieć się, jaki procent stanowi jedna liczba w stosunku do drugiej, możesz podzielić jedną liczbę przez drugą i otrzymany iloczyn pomnożyć przez 100.

Jak rozwiązywać problemy dotyczące procentów. Przykłady.

Znalezienie procentu liczby jest powiązane ze znalezieniem ułamka liczby. Procent to specjalny sposób zapisywania ułamka zwykłego, dlatego powinieneś zacząć odkrywać znaczenie pojęcia procentu od zrozumienia pojęcia ułamka zwykłego.

Weźmy na przykład kilka zwykłych ułamków. Jakie jest znaczenie każdego takiego wpisu?
- To są przykłady właściwych ułamków zwyczajnych. Mianownik każdego z nich pokazuje, na ile równych części należy podzielić dany obiekt rzeczywisty lub abstrakcyjny, licznik pokazuje, na ile takich części należy wziąć. Weźmy na przykład ułamek właściwy. Na przykład. Znaczenie tego wyrażenia można ujawnić w następujący sposób. Pewien przedmiot rzeczywisty podzielono na 3 równe części i wyjęto z nich 2 części.

Jako prawdziwy obiekt możesz wziąć na przykład prostokąt.

To wyrażenie jest ilorazem aib, gdzie b nie jest równe 0.

Jest to stosunek liczb aib, gdzie b nie jest równe 0.

To jest zwykły ułamek. a jest licznikiem, b jest mianownikiem (b nie jest równe 0).

Przykład 1. Beczka o pojemności 200 litrów została napełniona wodą. Jaki jest sens tej propozycji?
- ułamek ten oznacza, że ​​dany przedmiot został podzielony na 5 równych części i z nich pobrano 2 części. Przedmiotem tego zadania jest objętość beczki równa 200 l, zatem
200:5 = 40,
402 = 80.
Do beczki wlano 80 litrów wody.
Powyższy przykład jest typowym przykładem znajdowania ułamka liczby.

Aby znaleźć ułamek liczby, należy pomnożyć liczbę przez ten ułamek.

Teraz możemy przejść do procentów.

Pojęcie procentu definiuje się następująco: 1% liczby to setna część liczby, czyli 1% = 0,01.

Następnie znaczenie zdania % liczby b można to wyjaśnić w ten sposób. Określony obiekt (wartość, której wartość jest równa B jednostek) podzielić na 100 równych części i wziąć z nich A Części.

Przykład 2. Masza miała 400 rubli. Wydała 24% tej kwoty. Jaki jest sens tego stwierdzenia?
Ponieważ 24% = 0,24, a 0,24 oznacza, że ​​dany przedmiot podzielono na 100 równych części i wyjęto z nich 24 części. W tym przypadku przedmiotem jest suma pieniędzy równa 400 rubli, dlatego
400: 100 =4,
424 = 96.
Masza wydała 96 rubli.
Powyższy przykład jest typowym przykładem znajdowania procentów liczby.

Przykład 3. Trzeba znaleźć R% od numeru B .
Niech x będzie liczbą, którą musimy znaleźć.
P% = 0,01P,
x = b 0,01P

Aby znaleźć procent liczby, należy przedstawić procent jako ułamek dziesiętny i pomnożyć tę liczbę przez ten ułamek dziesiętny.

Inne podejście do tego problemu. Możesz skorzystać z pojęcia i właściwości proporcji. Jeśli pamiętamy, że proporcja jest równa dwóch stosunków, a stosunek dwóch liczb jest ułamkiem zwykłym, wówczas metoda ta jest również powiązana z koncepcją ułamka zwykłego.

b - 100%,
x - р%,
Mamy proporcję:
b: 100 = x: p, (b ma się do 100, jak x ma się do p) skąd,

Przykład 4. Niech będą liczby A I B , I A >B Potem numer A więcej numeru B NA %.

Podejdźmy do tego problemu trochę inaczej. Rozważymy prosty przypadek specjalny, na przykład ten: „O jaki procent liczba 10 jest większa od liczby 2?”

1. Odejmij mniejszą liczbę od większej. 10 - 2 = 8. Wtedy 10 jest większe niż 2 o 8.

2. Znajdź stosunek znalezionej liczby do mniejszej liczby. 8:2 = 4 to stosunek dwóch liczb!

3 Wyraź stosunek w procentach 4100 = 400%.

Liczba 10 jest o 400% większa od liczby 2.

Jeśli podzielimy 8 przez 10, znajdziemy stosunek pokazujący, która część 10 2 jest mniejsza niż 10 (tutaj porównanie dotyczy liczby 10.

Liczba 2 jest o 80% mniejsza niż liczba 10.

Przykład 5. Traktor zaorał 6 hektarów, czyli całe pole. Jaka jest powierzchnia całego pola?
Jest to typowy problem znalezienia liczby z jej ułamka. Niech powierzchnia całego pola będzie równa X, wtedy mamy równanie x= 6. Gdzie jest x = 6:; x = 26. Powierzchnia pola wynosi 26 hektarów.

Aby znaleźć liczbę przez jej ułamek, należy podzielić liczbę odpowiadającą danemu ułamkowi przez ułamek.

Przykład 6. Podany numer B, co wynosi P% od numeru A. Znajdź numer A.

P% = 0,01P
B = 0,01rocznie
a = b: (0,01 p)

Podany numer B , który jest P% od numeru A .

Znajdź numer A .

a - 100%

b - p%

a: 100 = b: p

Formuła odsetek składanych.

Jeśli wpłacona kwota jest A jednostek pieniężnych i opłat bankowych R% rocznie, a potem przez N lat, kwota depozytu będzie wyrażona w jednostkach pieniężnych, lub
a(1+0,01p)n jednostki monetarne.

Przykład 7. Budowa domu kosztowała 9800 rubli, z czego 35% pokryto za robociznę, a resztę za materiały. Ile rubli kosztowały materiały?

Zapłata za pracę:

0,359800 = 3430.

Dlatego koszty materiałów: 9800 - 3430 = 6370.

Odpowiedź: 6370 rub.

Przykład 8. Do zbiornika wlano 37,4 tony benzyny, po czym nienapełnionych zostało 6,5% pojemności zbiornika. Ile benzyny należy dodać do zbiornika, aby go napełnić?

Jeżeli nienapełniona część zbiornika ma 6,5% pojemności, to napełniona część wynosi: 100% - 6,5% = 93,5%. Następnie, jeśli x jest masą benzyny pozostałej do dodania do zbiornika, to mamy proporcję

Gdzie .

Odpowiedź: 2,6 tony.

Przykład 9. Znajdź liczbę, wiedząc, że 25% z niej jest równe 45% z 640.

Niech x będzie żądaną liczbą. Mamy

0,25x = 0,45640.

Odpowiedź: 1152.

Przykład 10. Liczba a stanowi 92% liczby b. Jeśli liczba b zostanie zwiększona o 700, wówczas nowa liczba będzie o 9% większa niż liczba a. Znajdź liczby a i b.

Z warunków problemowych mamy układ równań:

Rozwiązując powstały układ, znajdujemy a = 230000, b = 250000.

Odpowiedź: 230000; 250000.

Przykład 11. Pierwsza liczba to 50% drugiej. Jaki procent pierwszego stanowi drugi?

Oznaczmy drugą liczbę przez x, wtedy pierwsza liczba będzie równa 0,5x. Aby dowiedzieć się, jaki procent liczby x stanowi liczba 0,5x; Zróbmy proporcję:

z którego znajdujemy

Odpowiedź: 200%.

Przykład 12. W liceum uczy się 260 uczniów, z czego 10% nie zdaje egzaminu. Po wydaleniu pewnej liczby nieudanych studentów ich odsetek spadł do 6,4%. Ilu uczniów wyrzucono?

Przed wydaleniem liczba studentów, którzy nie odnieśli sukcesu przed wydaleniem, wynosiła

Niech x osób zostanie wydalonych. W liceum pozostało wówczas już tylko 260 uczniów, z czego 26 nie zdało egzaminu. Mamy proporcję

260 – x – 100%,

(260 – x)0,064=(26 – x)100,

Rozwiązując wynikowe równanie, znajdujemy x = 10.

Przykład 13. O ile procent liczba 250 jest większa od liczby 200?

Zróbmy dwie rzeczy.

1) Dowiedz się, jaki procent liczby 250 t stanowi liczba 200:

2) Ponieważ liczba 200 w tym przykładzie wynosi 100%, to liczba 250 jest większa od liczby 200 o 125% -100% = 25%.

Odpowiedź: 25%.

Przykład 14. O ile procent liczba 200 jest mniejsza od liczby 250?

1) Dowiedz się, jaki procent liczby 200 stanowi liczba 250 (w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, tutaj musisz przyjąć liczbę 250 jako 100%!):

2) Liczba 200 jest o 100% mniejsza niż liczba 250 - 80% = 20%.

Odpowiedź: 20%.

Przykład 15. Długość cegły zwiększono o 30%, szerokość o 20%, a wysokość zmniejszono o 40%. Czy zwiększyło to czy zmniejszyło objętość cegły i o jaki procent?

Niech początkowa długość cegły będzie wynosić x, szerokość y, a wysokość z. Następnie początkowa objętość cegły: V 1 = xyz. Nowe rozmiary klocków: 1,3x; 1,2 у; 0,6z i nowa objętość: V 2 = 1,3x1,2y0,6z = 0,936xyz. Od V 2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Odpowiedź: spadła o 6,4%.

Przykład 16. Cena produktu spadła o 40%, a następnie o kolejne 25%. O ile procent cena produktu spadła w stosunku do ceny pierwotnej?

Oznaczmy pierwotną cenę produktu przez x. Po pierwszej obniżce cena będzie równa

x - 0,4x = 0,6x.

Druga obniżka ceny wynosi 25% nowej ceny 0,6x, więc po drugiej obniżce będziemy mieli cenę

0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.

Po dwóch obniżkach łączna zmiana ceny wynosi:

x - 0,45x = 0,55x.

Ponieważ wartość wynosi 0,55x; wynosi 55% wartości x, wówczas cena produktu spadła o 55%.

Odpowiedź: 55%.

Przykład 17. Początkowy koszt jednostki produkcji wynosił 75 rubli. W pierwszym roku produkcji wzrosła ona o określoną liczbę procent, a w drugim roku spadła (w związku ze wzrostem kosztów) o tę samą liczbę procent, w wyniku czego wyniosła 72 ruble. Określ procentowy wzrost i spadek kosztu jednostkowego.

Niech x% będzie procentowym wzrostem (i spadkiem) kosztu jednostkowego. Z definicji x% z 75 to 750,01x. Wtedy po pierwszym podwyżce cena wyniesie 75 + 0,75x.

W drugim roku cena spadnie o

0,01x(75+0,75x) = 0,75x + 0,0075x 2.

Teraz możemy napisać równanie na cenę końcową

(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;

x2 = 400; stąd x 1 = - 20, x 2 = 20.

Odpowiedni jest tylko jeden pierwiastek tego równania: x 2 = 20.

Odpowiedź: 20%.

Przykład 18. Na konto bankowe wpłynęło 10 tysięcy rubli. Po roku przechowywania pieniędzy z konta pobrano 1 tysiąc rubli. Rok później na koncie było 11 tysięcy rubli. Określ, jaki procent rocznie pobiera bank.

Niech bank pobiera p% rocznie.

1) Kwota 10 000 rubli zdeponowana na rachunku bankowym w p% rocznie wzrośnie w ciągu roku do kwoty

10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 rubli.

Po wypłacie 1000 rubli z konta pozostanie tam 9000 + 100 rubli.

2) W kolejnym roku ostatnia wartość ze względu na naliczone odsetki wzrośnie do wartości 9000 + 100 rubli + 0,01 pensa (9000 + 100 rubli) = p 2 + 190 rubli + 9000 rubli.

Zgodnie z warunkiem wartość ta wynosi 11 000 rubli, więc mamy równanie kwadratowe.

р 2 + 190р + 9000 = 11000;

р 2 + 190 р - 2000 = 0
, rozwiążmy to równanie kwadratowe, korzystając z twierdzenia Viette'a, p 1 = 10, p 2 = -200.

Pierwiastek ujemny nie jest odpowiedni.

Odpowiedź: 10%.

Przykład 19. Miasto liczy obecnie 48 400 mieszkańców. Wiadomo, że populacja tego miasta zwiększa się rocznie o 10%. Ilu mieszkańców było w mieście dwa lata temu?

Załóżmy, że dwa lata temu liczba mieszkańców miasta wynosiła x osób, wówczas liczbę mieszkańców obecnie wyraża się w postaci x za pomocą wzoru na procent składany:

x(1+0,1)2 = 1,21x.

Z opisu problemu:

Odpowiedź: 40 000 osób.