Faktorizáció. A faktorálási polinomok összetett esetei

Nagyon gyakran a tört számlálója és nevezője algebrai kifejezések, amelyeket először faktorálni kell, majd miután azonosakat találtak közöttük, el kell osztani velük a számlálót és a nevezőt is, azaz csökkenteni kell a törtet. A 7. osztályos algebrai tankönyv egy egész fejezetét szenteli a polinom faktorálásának. A faktorizálás elvégezhető 3 módon, valamint e módszerek kombinációja.

1. Rövidített szorzóképletek alkalmazása

Mint ismeretes, hogy megszorozni egy polinomot egy polinommal, meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik polinom minden tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat. A polinomok szorzásának legalább 7 (hét) gyakran előforduló esete szerepel a fogalomban. Például,

1. táblázat: Faktorizáció az 1. módon

2. A közös tényező kivétele a zárójelekből

Ez a módszer az eloszlási szorzás törvényének alkalmazásán alapul. Például,

Az eredeti kifejezés minden tagját elosztjuk azzal a tényezővel, amelyet kivettünk, és zárójelben egy kifejezést kapunk (vagyis zárójelben marad az eredmény, ha elosztjuk azzal, amit kivettünk). Először is szüksége van helyesen határozza meg a szorzót, amelyet ki kell venni a tartóból.

A közös tényező lehet egy zárójelben lévő polinom is:

A „faktorizálás” feladat végrehajtása során különösen ügyelni kell a jelekre, amikor az össztényezőt zárójelbe teszed. Az egyes kifejezések előjelének megváltoztatása zárójelben (b-a), vegyük ki a közös tényezőt a zárójelből -1 , és a zárójelben lévő minden egyes kifejezést -1-gyel osztunk: (b - a) = - (a - b) .

Ha a zárójelben lévő kifejezés négyzetes (vagy bármilyen páros hatvány), akkor a zárójelben lévő számok felcserélhetők teljesen szabadon, mivel a zárójelből kivett mínuszok szorozva továbbra is pluszba fordulnak: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 stb…

3. Csoportosítási módszer

Néha egy kifejezésben nem minden kifejezésnek van közös tényezője, hanem csak néhánynak. Aztán lehet próbálkozni csoportkifejezések zárójelben, hogy mindegyikből ki lehessen venni valamilyen tényezőt. Csoportosítási módszer- ez a gyakori tényezők kétszeres eltávolítása a zárójelekből.

4. Egyszerre több módszer alkalmazása

Néha nem egy, hanem több módszert kell alkalmaznia egy polinom faktorálásához.

Ez a téma összefoglalása "Faktorizáció". Válassza ki a következő lépéseket:

• Ugrás a következő összefoglalóra:

A polinomok szorzását tekintve több képletet is megjegyeztünk, nevezetesen: (a + b)², (a – b)², (a + b) (a – b), (a + b)³ képletek és (a – b)³ esetében.

Ha egy adott polinomról kiderül, hogy egybeesik e képletek egyikével, akkor lehetséges lesz faktorizálása. Például az a² – 2ab + b² polinom, mint tudjuk, egyenlő (a – b)² [vagy (a – b) · (a – b), azaz sikerült a² – 2ab + b²-t 2 tényezőre faktorálni. ]; Is

Nézzük a második példát. Látjuk, hogy az itt megadott polinom illeszkedik a két szám különbségének négyzetre emelésével kapott képletre (az első szám négyzete, mínusz a kettő szorzata az első és a második számmal, plusz a második szám négyzete): x 6 az első szám négyzete, ezért maga az első szám x 3, a második szám négyzete az adott polinom utolsó tagja, azaz 1, maga a második szám tehát szintén 1; a kettőnek az első és a második szorzata a –2x 3 tag, mert 2x 3 = 2 x 3 1. Ezért polinomunkat úgy kaptuk meg, hogy az x 3 és 1 számok különbségét négyzetre vontuk, azaz egyenlő (x 3 – 12 . Nézzünk egy másik 4. példát. Látjuk, hogy ez az a 2 b 2 – 25 polinom felfogható két szám négyzetének különbségének, vagyis az első szám négyzete a 2 b 2, tehát maga az első szám ab, a szám négyzete. a második szám 25, a második szám miért 5. Ezért polinomunkat úgy tekinthetjük, mintha két szám összegét megszorozzuk a különbségükkel, azaz.

(ab + 5) (ab – 5).

Néha megesik, hogy egy adott polinomban a kifejezések nem olyan sorrendben vannak elrendezve, mint amilyennek például megszoktuk.

9a 2 + b 2 + 6ab – mentálisan átrendezhetjük a második és harmadik tagot, és akkor világossá válik számunkra, hogy a trinomiálisunk = (3a + b) 2.

... (gondolatban átrendezzük az első és a második kifejezést).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 stb.

Nézzünk egy másik polinomot

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Látjuk, hogy az első tagja az a szám négyzete, a harmadik tagja pedig a 2b szám négyzete, de a második tag nem kettőnek az első és a második szorzata - egy ilyen szorzat egyenlő lenne 2 a 2b = 4ab. Ezért lehetetlen erre a polinomra alkalmazni a két szám összegének négyzetének képletét. Ha valaki azt írná, hogy a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, akkor ez hibás lenne - alaposan meg kell fontolni a polinom összes tagját, mielőtt faktorizálást alkalmazna rá képletekkel.

40. A két technika kombinációja. A polinomok faktorálásakor néha kombinálni kell a közös tényező zárójelből való kiemelésének technikáját és a képletek használatának technikáját. Íme, példák:

1. 2a 3 – 2ab 2. Először vegyük ki a zárójelekből a 2a közös tényezőt, és kapjuk a 2a-t (a 2 – b 2). Az a 2 – b 2 tényezőt pedig a képlet szerint bontjuk (a + b) és (a – b) tényezőkre.

Néha többször kell használni a képletbontási technikát:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Látjuk, hogy az első tényező a 2 + b 2 egyik ismert képletre sem illeszkedik; Sőt, felidézve az osztás speciális eseteit (37. tétel), megállapítjuk, hogy a 2 + b 2 (két szám négyzetének összege) egyáltalán nem faktorizálható. Az eredményül kapott a 2 – b 2 faktorok közül a másodikat (két szám négyzetének különbsége) az (a + b) és (a – b) tényezőkre bontjuk. Így,

41. A felosztás speciális eseteinek alkalmazása. A 37. bekezdés alapján rögtön azt írhatjuk, hogy pl.

Az egyenlet faktorálása azon kifejezések vagy kifejezések megtalálásának folyamata, amelyek szorzása esetén a kezdeti egyenlethez vezetnek. A faktorálás hasznos készség alapvető algebrai problémák megoldásához, és szinte elengedhetetlenné válik másodfokú egyenletekkel és más polinomokkal való munka során. A faktorálást az algebrai egyenletek egyszerűsítésére használják, hogy könnyebben megoldhatók legyenek. A faktorálás segíthet bizonyos lehetséges válaszok gyorsabb kiküszöbölésében, mint egy egyenlet kézi megoldásával.

Lépések

Számok faktorálása és alapvető algebrai kifejezések

1. Faktorszámok. A faktoring fogalma egyszerű, de a gyakorlatban a faktoring kihívást jelenthet (ha egy összetett egyenletet adunk meg). Tehát először nézzük meg a faktorálás fogalmát a számokkal példaként, folytassuk az egyszerű egyenletekkel, majd térjünk át az összetett egyenletekre. Egy adott szám tényezői azok a számok, amelyeket szorozva az eredeti számot kapjuk. Például a 12-es szám tényezői a számok: 1, 12, 2, 6, 3, 4, mivel 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Hasonlóképpen egy szám tényezőit tekinthetjük osztóinak, vagyis azokra a számokra, amelyekkel a szám osztható.
   • Keresse meg a 60-as szám összes tényezőjét. Gyakran használjuk a 60-as számot (például 60 perc egy órában, 60 másodperc egy percben stb.), és ennek a számnak meglehetősen sok tényezője van.
     • 60 szorzó: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 és 60.

2. Emlékezik: egy együtthatót (számot) és egy változót tartalmazó kifejezés feltételei is faktorizálhatók. Ehhez keresse meg a változó együtthatóit. Ha ismeri az egyenletek elemeinek faktorálását, könnyen leegyszerűsítheti ezt az egyenletet.

   • Például a 12x kifejezés felírható 12 és x szorzataként. A 12x-et 3(4x), 2(6x) stb.-ként is beírhatja, a 12-t lebontva az Ön számára legmegfelelőbb tényezőkre.
     • Egymás után többször is foglalkozhat 12x. Más szóval, nem szabad megállni a 3 (4x) vagy a 2 (6x); folytasd a bővítést: 3(2(2x)) vagy 2(3(2x)) (nyilván 3(4x)=3(2(2x)), stb.)

3. Alkalmazza a szorzás eloszlási tulajdonságát faktoralgebrai egyenletekre. Ha ismeri a számok és kifejezési tagok (változós együtthatók) faktorálását, egyszerű algebrai egyenleteket egyszerűsíthet, ha megkeresi egy szám és kifejezés közös tényezőjét. Az egyenlet egyszerűsítéséhez általában meg kell találni a legnagyobb közös tényezőt (GCD). Ez az egyszerűsítés a szorzás elosztó tulajdonsága miatt lehetséges: bármely a, b, c számra igaz az a(b+c) = ab+ac egyenlőség.

   • Példa. Tényezős az egyenlet 12x + 6. Először keresse meg a 12x és 6 gcd-jét. A 6 a legnagyobb szám, amely osztja a 12x-et és a 6-ot is, így ezt az egyenletet a következővel szorozhatja: 6(2x+1).
   • Ez a folyamat a negatív és törttagú egyenletekre is igaz. Például x/2+4 beszámítható 1/2(x+8); például a -7x+(-21) beszámítható -7(x+3)-ba.

   Másodfokú egyenletek faktorálása

   1. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet másodfokú formában van megadva (ax 2 + bx + c = 0). A másodfokú egyenletek a következő alakúak: ax 2 + bx + c = 0, ahol a, b, c 0-tól eltérő numerikus együtthatók. Ha adunk egy egyenletet egy változóval (x), és ebben az egyenletben egy vagy több tag van egy másodrendű változóval az egyenlet összes tagját áthelyezheti az egyenlet egyik oldalára, és nullára állíthatja.

      • Például adott az egyenlet: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Ez átváltható az x 2 + 6x + 9 = 0 egyenletre, ami egy másodfokú egyenlet.
      • Egyenletek nagy rendelések x változójával, például x 3, x 4 stb. nem másodfokú egyenletek. Ezek köbös egyenletek, negyedrendű egyenletek és így tovább (kivéve, ha az ilyen egyenleteket másodfokú egyenletekre lehet egyszerűsíteni, ahol az x változót 2 hatványára emeljük).

   2. A másodfokú egyenleteket, ahol a = 1, kibővítjük (x+d)(x+e), ahol d*e=c és d+e=b. Ha a megadott másodfokú egyenlet a következő: x 2 + bx + c = 0 (azaz x 2 együtthatója 1), akkor egy ilyen egyenlet kibővíthető (de nem garantált) a fenti tényezőkre. Ehhez meg kell találni két számot, amelyeket szorozva „c”, összeadva pedig „b”-t ad. Ha megtalálta ezt a két számot (d és e), helyettesítse be őket a következő kifejezéssel: (x+d)(x+e), amely a zárójelek megnyitásakor az eredeti egyenlethez vezet.

      • Például, ha adott egy másodfokú egyenlet x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 és 3+2=5, így ezt az egyenletet beszámíthatja (x+3)(x+2)-be.
      • Negatív feltételek esetén hajtsa végre a következő kisebb módosításokat a faktorizálási folyamaton:
        • Ha egy másodfokú egyenlet alakja x 2 -bx+c, akkor a következőre bővül: (x-_)(x-_).
        • Ha egy másodfokú egyenlet alakja x 2 -bx-c, akkor a következőre bővül: (x+_)(x-_).
      • Megjegyzés: A szóközöket törtekkel vagy tizedesjegyekkel lehet helyettesíteni. Például az x 2 + (21/2)x + 5 = 0 egyenlet kibővül (x+10)(x+1/2).

   3. Faktorizálás próba-hibával. Az egyszerű másodfokú egyenletek úgy faktorozhatók, hogy a lehetséges megoldásokba egyszerűen behelyettesítünk számokat, amíg meg nem találjuk a helyes megoldást. Ha az egyenlet alakja ax 2 +bx+c, ahol a>1, a lehetséges megoldások (dx +/- _)(ex +/- _) formában vannak felírva, ahol d és e nem nulla numerikus együtthatók , amelyet megszorozva a. d vagy e (vagy mindkét együttható) egyenlő lehet 1-gyel. Ha mindkét együttható 1, akkor használja a fent leírt módszert.

      • Például a 3x 2 - 8x + 4 egyenlet alapján. Itt a 3-nak csak két tényezője van (3 és 1), így a lehetséges megoldások a (3x +/- _)(x +/- _) alakban vannak felírva. Ebben az esetben a szóközöket -2-vel helyettesítve megtalálja a helyes választ: -2*3x=-6x és -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x és -2*-2=4, vagyis egy ilyen bővítés a zárójelek kinyitásakor az eredeti egyenlet tagjaihoz vezet.

A polinomok faktorálása egy identitástranszformáció, amelynek eredményeként egy polinom több faktor - polinomok vagy monomokok - szorzatává alakul.

A polinomok faktorozásának többféle módja van.

Módszer 1. A közös tényező kivétele a zárójelekből.

Ez a transzformáció a szorzás eloszlási törvényén alapul: ac + bc = c(a + b). Az átalakítás lényege, hogy a két vizsgált komponensben elkülönítjük a közös tényezőt, és „kivesszük” a zárójelekből.

Tényezzük a polinomot 28x 3 – 35x 4.

Megoldás.

1. Keresse meg a 28x3 és 35x4 elemek közös osztóját! 28-ra és 35-re 7 lesz; x 3 és x 4 – x 3 esetén. Más szavakkal, a közös tényezőnk 7x3.

2. Az egyes elemeket olyan tényezők szorzataként ábrázoljuk, amelyek közül az egyik
7x3: 28x3 – 35x4 = 7x3 ∙ 4 – 7x3 ∙ 5x.

3. A közös tényezőt zárójelből kivesszük
7x3: 28x3 - 35x4 = 7x3 ∙ 4 - 7x3 ∙ 5x = 7x3 (4 - 5x).

2. módszer. Rövidített szorzóképletek használata. Ennek a módszernek a „mestersége”, hogy észrevegye a kifejezésben az egyik rövidített szorzóképletet.

Tényezőzzük az x polinomot 6 – 1 értékkel.

Megoldás.

1. Erre a kifejezésre alkalmazhatjuk a négyzetek különbségi képletét. Ehhez képzeljük el, hogy x 6 mint (x 3) 2, és 1 mint 1 2, azaz. 1. A kifejezés a következő formában lesz:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. A kapott kifejezésre alkalmazhatjuk a kockák összegének és különbségének képletét:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Így,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

3. módszer. Csoportosítás. A csoportosítási módszer egy polinom összetevőit úgy kombinálja, hogy könnyen lehessen velük műveleteket végrehajtani (közös tényező összeadása, kivonása, kivonása).

Tényezőzzük az x 3 – 3x 2 + 5x – 15 polinomot.

Megoldás.

1. Csoportosítsuk a komponenseket a következőképpen: 1. a 2. és 3. a 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. A kapott kifejezésben zárójelből kivesszük a közös tényezőket: az első esetben x 2, a második esetben az 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).

3. A zárójelekből kivesszük az x – 3 közös tényezőt, és megkapjuk:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).

Így,
x 3 – 3 x 2 + 5 x – 15 = (x 3 – 3 x 2) + (5 x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Biztosítsuk az anyagot.

Tényező az a polinom 2 – 7ab + 12b 2.

Megoldás.

1. Ábrázoljuk a 7ab monomit a 3ab + 4ab összegként. A kifejezés a következő formában lesz:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Nyissuk ki a zárójeleket, és kapjuk meg:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Csoportosítsuk a polinom összetevőit így: 1. a 2. és 3. a 4. között. Kapunk:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Vegyük ki a gyakori tényezőket a zárójelekből:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Vegyük ki a közös tényezőt (a – 3b) a zárójelből:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Így,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A „polinom” és a „polinom faktorizálása” fogalmával az algebrában nagyon gyakran találkozunk, mert ismernie kell őket ahhoz, hogy könnyen elvégezhesse a számításokat nagy többjegyű számokkal. Ez a cikk számos lebontási módszert ismertet. Mindegyik nagyon egyszerűen használható, csak ki kell választania a megfelelőt minden egyes esethez.

A polinom fogalma

A polinom monomiumok összege, vagyis olyan kifejezések, amelyek csak a szorzás műveletét tartalmazzák.

Például a 2 * x * y egy monom, de a 2 * x * y + 25 egy polinom, amely 2 monomból áll: 2 * x * y és 25. Az ilyen polinomokat binomiálisoknak nevezzük.

Néha a többértékű példák megoldásának kényelme érdekében egy kifejezést át kell alakítani, például bizonyos számú tényezőre, azaz számokra vagy kifejezésekre bontani, amelyek között a szorzási művelet végrehajtásra kerül. A polinomok faktorozásának számos módja van. Érdemes ezeket figyelembe venni, kezdve a legprimitívebbel, amelyet az általános iskolában használnak.

Csoportosítás (rekord általános formában)

A polinom csoportosítási módszerrel történő faktorálásának képlete általában így néz ki:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

A monomokat úgy kell csoportosítani, hogy minden csoportnak legyen közös tényezője. Az első zárójelben ez a c tényező, a másodikban pedig a d. Ezt meg kell tenni annak érdekében, hogy azután kikerüljön a zárójelből, ezáltal leegyszerűsítve a számításokat.

Dekompozíciós algoritmus egy konkrét példa alapján

Az alábbiakban látható a legegyszerűbb példa egy polinom csoportosítási módszerrel történő faktorálására:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Az első zárójelben meg kell venni a kifejezéseket az a tényezővel, amely általános lesz, a másodikban pedig a b tényezőt. Ügyeljen a + és - jelekre a kész kifejezésben. A monom elé tesszük azt a jelet, amely a kezdeti kifejezésben volt. Vagyis nem a 25a kifejezéssel kell dolgozni, hanem a -25 kifejezéssel. Úgy tűnik, hogy a mínusz jelet „ragasztják” a mögötte lévő kifejezésre, és mindig figyelembe veszik a számítás során.

A következő lépésben ki kell venni a zárójelből a szorzót, ami általános. A csoportosítás pontosan erre való. A zárójelen kívülre tenni azt jelenti, hogy a zárójel elé írjuk (kihagyva a szorzójelet) mindazokat a tényezőket, amelyek pontosan ismétlődnek a zárójelben lévő összes kifejezésben. Ha nem 2, hanem 3 vagy több tag van egy zárójelben, akkor mindegyikben szerepelnie kell a közös tényezőnek, különben nem lehet kivenni a zárójelből.

Esetünkben csak 2 kifejezés van zárójelben. A teljes szorzó azonnal látható. Az első zárójelben a, a másodikban b. Itt figyelni kell a digitális együtthatókra. Az első zárójelben mindkét együttható (10 és 25) az 5 többszöröse. Ez azt jelenti, hogy nem csak a, hanem 5a is kivehető a zárójelből. A zárójel elé írjon 5a-t, majd osszon el minden zárójelben lévő tagot a kivett közös tényezővel, és írja zárójelbe a hányadost is, ne feledkezzünk meg a + és - jelekről. Ugyanezt tegye a második zárójellel is, vegye ki a 7b-t, valamint a 14 és 35 többszörösét a 7-nek.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

2 kifejezést kaptunk: 5a (2c - 5) és 7b (2c - 5). Mindegyik tartalmaz egy közös tényezőt (a zárójelben lévő teljes kifejezés itt megegyezik, ami azt jelenti, hogy közös tényező): 2c - 5. Ezt is ki kell venni a zárójelből, vagyis marad az 5a és 7b kifejezés a második zárójelben:

5a(2c-5) + 7b(2c-5) = (2c-5)*(5a + 7b).

Tehát a teljes kifejezés:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Így a 10ac + 14bc - 25a - 35b polinom 2 tényezőre bomlik: (2c - 5) és (5a + 7b). A köztük lévő szorzójel elhagyható íráskor

Néha előfordulnak ilyen típusú kifejezések: 5a 2 + 50a 3, itt nem csak a vagy 5a, hanem akár 5a 2 is beírható a zárójelbe. Mindig meg kell próbálnia a legnagyobb közös tényezőt kitenni a zárójelből. Esetünkben, ha minden tagot elosztunk egy közös tényezővel, a következőt kapjuk:

5a 2/5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(több egyenlő bázisú hatvány hányadosának kiszámításakor a bázis megmarad, és a kitevőt kivonjuk). Így a zárójelben marad az egység (semmi esetre se felejtsen el egyet írni, ha valamelyik tagot kiveszi a zárójelből) és az osztás hányadosa: 10a. Kiderült, hogy:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Négyzetes képletek

A számítás megkönnyítése érdekében több képletet is levezettünk. Ezeket rövidített szorzóképleteknek nevezik, és meglehetősen gyakran használják. Ezek a képletek segítik a fokokat tartalmazó polinomokat. Ez egy másik hatékony módja a faktorizálásnak. Szóval itt vannak:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - az „összeg négyzetének” nevezett képlet, mivel a négyzetre bontás eredményeként a zárójelbe tett számok összegét veszik fel, azaz ennek az összegnek az értékét megszorozzuk önmagával 2-szer, és ezért szorzó.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - a különbség négyzetének képlete, hasonló az előzőhöz. Az eredmény a zárójelben lévő különbség, amelyet a négyzetes hatvány tartalmaz.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- ez egy képlet a négyzetek különbségére, mivel kezdetben a polinom 2 szám vagy kifejezés négyzetéből áll, amelyek között kivonás történik. Talán a három említett közül ezt használják a leggyakrabban.

Példák négyzetes képletekkel történő számításokhoz

Számításuk meglehetősen egyszerű. Például:

1. 25x 2 + 20xy + 4 év 2 - használja az „összeg négyzete” képletet.
2. A 25x2 az 5x négyzete. 20xy a 2*(5x*2y) kettős szorzata, 4y 2 pedig 2y négyzete.
3. Így 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ezt a polinomot 2 faktorra bontjuk (a faktorok megegyeznek, tehát négyzethatékonyságú kifejezésként írjuk fel).

A négyzetes különbségi képletet használó műveletek ezekhez hasonlóan hajthatók végre. A fennmaradó képlet a négyzetek különbsége. A képlet példái nagyon könnyen meghatározhatók és megtalálhatók más kifejezések között. Például:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Mivel 25a 2 = (5a) 2 és 400 = 20 2
• 36x 2 - 25 év 2 = (6x - 5 év) (6x + 5 év). Mivel 36x 2 = (6x) 2 és 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). Mivel 169b 2 = (13b) 2

Fontos, hogy mindegyik kifejezés valamilyen kifejezés négyzete legyen. Ezután ezt a polinomot a négyzetek különbségi képletével faktorizálni kell. Ehhez nem szükséges, hogy a második fokozat a szám felett legyen. Vannak olyan polinomok, amelyek nagy fokokat tartalmaznak, de mégis illeszkednek ezekhez a képletekhez.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Ebben a példában a 8-ast (a 4) 2-ként ábrázolhatjuk, vagyis egy bizonyos kifejezés négyzetét. A 25 értéke 5 2, a 10a pedig 4 - ez a 2 * a 4 * 5 kifejezések kettős szorzata. Vagyis ez a kifejezés a nagy kitevőkkel rendelkező fokok jelenléte ellenére 2 tényezőre bontható, hogy később dolgozhassunk velük.

Kocka képletek

Ugyanezek a képletek léteznek a kockákat tartalmazó polinomokra is. Kicsit bonyolultabbak, mint a négyzetesek:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- ezt a képletet kockák összegének nevezzük, mivel kezdeti alakjában a polinom két kockába zárt kifejezés vagy szám összege.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) - a kockák különbségeként az előzővel azonos képletet jelölünk.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - egy összeg kocka, a számítások eredményeként a számok vagy kifejezések összege zárójelbe kerül, és 3-szor megszorozva önmagával, azaz egy kockában található
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - az előzővel analógiával összeállított, a matematikai műveletek csak néhány jelét (plusz és mínusz) megváltoztató képletet „különbségkockának” nevezik.

Az utolsó két képletet gyakorlatilag nem használják polinomok faktorálására, mivel összetettek, és elég ritkán találni olyan polinomokat, amelyek teljes mértékben megfelelnek ennek a struktúrának, hogy ezekkel a képletekkel faktorálhatók legyenek. De még mindig tudnia kell őket, mivel szükség lesz rájuk, ha ellenkező irányban működik - a zárójelek megnyitásakor.

Példák kockaképletekre

Nézzünk egy példát: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Itt egészen egyszerű számokat veszünk, így azonnal látható, hogy 64a 3 (4a) 3, 8b 3 pedig (2b) 3. Így ez a polinom a kockák képletkülönbsége szerint 2 tényezőre bővül. A kockaösszeg képletét használó műveleteket analógia útján hajtjuk végre.

Fontos megérteni, hogy nem minden polinom bővíthető legalább egy módon. De vannak olyan kifejezések, amelyek nagyobb hatványt tartalmaznak, mint egy négyzet vagy egy kocka, de rövidített szorzóformákra is bővíthetők. Például: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) (x 8 − 5x 4 év + 25 év 2).

Ez a példa annyit tartalmaz, mint a 12. fok. De még ez is faktorizálható a kockaösszeg képlet segítségével. Ehhez x 12-t (x 4) 3-ként kell elképzelni, vagyis valamilyen kifejezés kockájaként. Most a helyett be kell cserélnie a képletben. Nos, a 125y 3 kifejezés egy 5y kocka. Ezután össze kell állítania a terméket a képlet segítségével, és számításokat kell végeznie.

Eleinte, vagy ha kétségei vannak, mindig ellenőrizheti inverz szorzással. Csak meg kell nyitnia a zárójeleket a kapott kifejezésben, és hasonló kifejezésekkel kell végrehajtania a műveleteket. Ez a módszer az összes felsorolt ​​redukciós módszerre vonatkozik: mind a közös tényezővel és csoportosítással, mind a kockák és másodfokú hatványok képleteivel való munkára.