1. Hogyan határozzuk meg a mérési hibákat.

A laboratóriumi munkavégzés magában foglalja a különböző fizikai mennyiségek mérését, majd az eredmények utólagos feldolgozását.

Mérés- egy fizikai mennyiség értékének kísérleti meghatározása mérőműszerekkel.

Közvetlen mérés- fizikai mennyiség értékének közvetlen méréssel történő meghatározása.

Közvetett mérés- egy fizikai mennyiség értékének meghatározása más, közvetlen méréssel meghatározott fizikai mennyiségekkel összekapcsoló képlet segítségével.

Vezessük be a következő jelölést:

A, B, C, ... - fizikai mennyiségek.

A pr pedig egy fizikai mennyiség közelítő értéke, azaz közvetlen vagy közvetett mérésekkel kapott érték.

ΔA egy fizikai mennyiség abszolút mérési hibája.

ε - egy fizikai mennyiség relatív mérési hibája, egyenlő:

Δ és A az eszköz tervezése által meghatározott abszolút műszeres hiba (mérőműszerek hibája; lásd 1. táblázat).

Δ 0 A - abszolút leolvasási hiba (a mérőműszerek nem kellően pontos leolvasásából eredő); az esetek többségében az osztásérték felével, az idő mérésénél pedig egy stopperóra vagy óra osztásértékével egyenlő.

Asztal 1

A mérőműszerek abszolút műszerhibái

№	Mérő	Mérési határ	A felosztás értéke	Abszolút hangszerhiba
1	Vonalzó
	diák	50 cm-ig	1 mm	± 1 mm
	rajzoló szoba	50 cm-ig	1 mm	±0,2 mm
	instrumentális (acél)	20 cm	1 mm	±0,1 mm
	demonstráció	100 cm	1 cm	± 0,5 cm
2	Mérőszalag	150 cm	0,5 cm	± 0,5 cm
3	Mérőhenger	250 ml-ig	1 ml	± 1 ml
4	Körző	150 mm	0,1 mm	±0,05 mm
5	Mikrométer	25 mm	0,01 mm	± 0,005 mm
6	Edződinamométer	4 N	0,1 N	± 0,05 N
7	Képzési mérlegek	200 g	-	±0,01 g
8	Stopperóra	0-30 perc	0,2 s	± 1 s 30 percenként
9	Fémbarométer	720-780 Hgmm. Művészet.	1 Hgmm Művészet.	± 3 Hgmm Művészet.
10	Laboratóriumi hőmérő	0-100 0 C	10 C	± 1 0 С
11	Iskolai árammérő	2 A	0,1 A	±0,05A
12	Iskolai voltmérő	6 V	0,2 V	±0,15V

A közvetlen mérések maximális abszolút hibája az abszolút műszeres hibából és egyéb hibák hiányában az abszolút leolvasási hibából áll:

Az abszolút mérési hibát általában egy szignifikáns számjegyre kerekítik (ΔA = 0,17 ≈ 0,2); a mérési eredmény számértékét úgy kerekítjük, hogy az utolsó számjegye megegyezzen a hiba számjegyével (A = 10,332 ≈ 10,3).

Az A fizikai mennyiség azonos ellenőrzött körülmények között, kellően érzékeny és pontos (kis hibákkal) mérőműszerekkel végzett ismételt méréseinek eredményei általában eltérnek egymástól. Ebben az esetben az összes mérés számtani átlagaként Apr-t kapjuk, a ΔA hibát (ezt véletlenszerű hibának hívják) pedig a matematikai statisztika módszerei határozzák meg.

Az iskolai laboratóriumi gyakorlatban az ilyen mérőeszközöket gyakorlatilag nem használják. Ezért a laboratóriumi munkavégzés során meg kell határozni a fizikai mennyiségek mérésének maximális hibáit. Egy mérés elegendő az eredmény eléréséhez.

A közvetett mérések relatív hibáját a 2. táblázat szerint határozzuk meg.

2. táblázat

Képletek a közvetett mérések relatív hibájának számításához

№	A fizikai mennyiség képlete	A relatív hiba képlete
1
2
3
4

A közvetett mérések abszolút hibáját a ΔA = A pr ε képlet határozza meg (ε tizedes törtként van kifejezve).

2. Az elektromos mérőműszerek pontossági osztályáról.

Egy eszköz abszolút műszeres hibájának meghatározásához ismernie kell annak pontossági osztályát. Egy mérőeszköz γ pontossági osztálya megmutatja, hogy a Δ és A abszolút műszeres hiba hány százaléka a készülék teljes skálájából (A max):

A pontossági osztályt a készülék skáláján vagy az útlevelében tüntetik fel (a % jelet ebben az esetben nem írják ki). Az elektromos mérőeszközöknek a következő pontossági osztályai vannak: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Az eszköz pontossági osztályának (γ pr) és teljes skálájának (A max) ismeretében határozza meg az A fizikai mennyiség mérésének Δ és A abszolút hibáját ezzel a készülékkel:

3. A mérési eredmények összehasonlítása.

1. Írja fel a mérési eredményeket kettős egyenlőtlenségek formájában:

A 1np - ΔA 1< А 1пр < А 1пр + ΔА 1 ,

A 2pr - ΔA 2< А 2пр < А 2пр + ΔА 2 .

2. Hasonlítsa össze a kapott értékintervallumokat: ha az intervallumok nem fedik egymást, akkor az eredmények nem azonosak; ha átfedésben vannak, akkor adott relatív mérési hibánál azonosak.

4. Hogyan készítsünk jelentést az elvégzett munkáról.

1. Laboratóriumi munka sz....
2. A mű címe.
3. A munka célja.
4. Rajz (ha szükséges).
5. A szükséges mennyiségek képletei és hibái.
6. Mérési és számítási eredmények táblázata.
7. A végeredmény, következtetés stb. (a munka céljának megfelelően).

5. A mérési eredmény rögzítésének módja.

A = A pr ± ΔA
e = ...%.

Abszolút és relatív hiba

A hibaelmélet elemei

Pontos és hozzávetőleges számok

A számok pontossága általában nem kétséges, ha teljes adatértékekről van szó (2 ceruza, 100 fa). Azonban a legtöbb esetben, amikor lehetetlen egy szám pontos értékét megadni (például egy objektum vonalzóval történő mérésekor, eszközről levéve eredményeket stb.), közelítő adatokkal van dolgunk.

A közelítő érték egy olyan szám, amely kissé eltér a pontos értéktől, és helyettesíti azt a számításokban. Azt, hogy egy szám közelítő értéke mennyiben tér el a pontos értékétől, az jellemzi hiba .

A következő fő hibaforrásokat különböztetjük meg:

1. Hibák a probléma megfogalmazásában, amely egy valós jelenség matematikai szempontból közelítő leírásának eredményeként keletkezik.

2. Módszerhibák, amely egy adott probléma megoldásának és egy hasonlóval való helyettesítésének nehézségével vagy lehetetlenségével jár, így lehetséges egy ismert és hozzáférhető megoldási módszer alkalmazása és a kívánthoz közeli eredmény elérése.

3. Végzetes hibák, az eredeti adatok hozzávetőleges értékeivel és a hozzávetőleges számokkal végzett számítások miatt.

4. Kerekítési hibák a kezdeti adatok, a számítási eszközökkel kapott köztes és végső eredmények értékeinek kerekítésével kapcsolatos.

Abszolút és relatív hiba

A hibák figyelembevétele fontos szempont a numerikus módszerek alkalmazásában, hiszen a teljes probléma megoldásának végeredményében fellépő hiba minden típusú hiba kölcsönhatásának terméke. Ezért a hibaelmélet egyik fő feladata az eredmény pontosságának felmérése a forrásadatok pontossága alapján.

Ha egy pontos szám és a hozzávetőleges értéke, akkor a közelítő érték hibája (hibája) az értékének a pontos értékéhez való közelségének foka.

A hiba legegyszerűbb mennyiségi mérőszáma az abszolút hiba, amelyet a következőképpen határozunk meg

(1.1.2-1)

Amint az 1.1.2-1 képletből látható, az abszolút hiba ugyanazokkal a mértékegységekkel rendelkezik, mint az érték. Ezért az abszolút hiba nagysága alapján nem mindig lehet helyes következtetést levonni a közelítés minőségéről. Például ha , és gépalkatrészről beszélünk, akkor a mérések nagyon durvák, ha pedig az edény méretéről beszélünk, akkor nagyon pontosak. Ezzel kapcsolatban bevezették a relatív hiba fogalmát, amelyben az abszolút hiba értéke a közelítő érték moduljához kapcsolódik ( ).

(1.1.2-2)

A relatív hibák használata különösen azért kényelmes, mert nem függenek a mennyiségek és az adatok mértékegységeitől. A relatív hibát törtekben vagy százalékokban mérik. Tehát például ha

,A , Azt , és ha És ,

így aztán .

Egy függvény hibájának numerikus becsléséhez ismernie kell a műveletek hibájának kiszámításának alapvető szabályait:

· számok összeadásánál és kivonásánál a számok abszolút hibái összeadódnak

· számok szorzásakor és osztásakor relatív hibáik összeadódnak

· amikor közelítő számot hatványra emelünk relatív hibáját megszorozzuk a kitevővel

Példa 1.1.2-1. Adott funkció: . Határozzuk meg az érték abszolút és relatív hibáit (az aritmetikai műveletek eredményének hibáját), ha az értékek ismertek, az 1 pedig egy pontos szám, a hibája pedig nulla.

Miután így meghatároztuk a relatív hiba értékét, megkaphatjuk az abszolút hiba értékét as , ahol az értéket a közelítő értékek képletével számítjuk ki

Mivel a mennyiség pontos értéke általában nem ismert, a számítás És a fenti képletek szerint lehetetlen. Ezért a gyakorlatban az űrlap maximális hibáit értékelik:

(1.1.2-3)

Ahol És - ismert mennyiségek, amelyek az abszolút és relatív hibák felső határát jelentik, különben ezeket nevezzük - maximális abszolút és maximális relatív hibáknak. Így a pontos érték a következőkön belül van:

Ha az érték akkor ismert , és ha ismert a mennyiség , Azt

Tantárgy " ” folyékonyan tanul a 9. osztályban. És a diákok általában nem fejlesztik ki teljesen a számítási készségeiket.

De gyakorlati alkalmazással a szám relatív hibája , valamint abszolút hibával, minden lépésnél találkozunk.

A javítási munkák során megmértük (centiméterben) a vastagságot m szőnyeg és szélesség n küszöb. A következő eredményeket kaptuk:

m≈0,8 (0,1 pontossággal);

n≈100,0 (0,1-ig).

Vegye figyelembe, hogy az egyes mérési adatok abszolút hibája legfeljebb 0,1.

A 0,1 azonban a 0,8-as szám szilárd része. Ami pedig azt illetiszám 100 jelentéktelen h-t jelentvan. Ez azt mutatja, hogy a második dimenzió minősége sokkal magasabb, mint az első.

A mérés minőségének értékelésére használják a hozzávetőleges szám relatív hibája.

Meghatározás.

A hozzávetőleges szám relatív hibája (értékek) az abszolút hiba és a közelítő érték abszolút értékének aránya.

Megállapodtak abban, hogy a relatív hibát százalékban fejezik ki.

1. példa

Tekintsük a 14,7 törtet, és kerekítsük egész számokra. mi is találunk a hozzávetőleges szám relatív hibája:

14,7≈15.

A relatív hiba kiszámításához a hozzávetőleges érték mellett általában ismerni kell az abszolút hibát is. Az abszolút hiba nem mindig ismert. Ezért számolj lehetetlen. És ebben az esetben elegendő a relatív hiba becslését feltüntetni.

Emlékezzünk a cikk elején említett példára. A vastagságmérések ott voltak feltüntetve. m szőnyeg és szélesség n küszöb.

A mérési eredmények alapján m≈0,8 0,1 pontossággal. Azt mondhatjuk, hogy az abszolút mérési hiba legfeljebb 0,1. Ez azt jelenti, hogy az abszolút hiba közelítő értékkel való osztásának eredménye (és ez a relatív hiba) kisebb vagy egyenlő, mint 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.

Így a relatív közelítési hiba ≤ 12,5%.

Hasonló módon számítjuk ki a küszöb szélességének közelítésénél a relatív hibát; ez nem több, mint 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Azt mondják, hogy az első esetben a mérést legfeljebb 12,5% relatív pontossággal, a másodikban pedig 0,1% relatív pontossággal végezték.

Összesít.

Abszolút hiba hozzávetőleges szám - ez a különbséga pontos szám között xés hozzávetőleges értéke a.

Ha a különbség modulus | x – a| kevesebb, mint egyesek D a, majd az értéket D a hívott abszolút hiba hozzávetőleges szám a.

A hozzávetőleges szám relatív hibája az abszolút hiba aránya D a egy szám modulusához a, vagyisD a / |a| =d a .

2. példa

Tekintsük a π≈3,14 szám ismert közelítő értékét.

Értékét százezrelékes pontossággal figyelembe véve a hibáját 0,00159-ként jelezheti... (ez segít megjegyezni a π számjegyeket )

A π szám abszolút hibája egyenlő: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

A π szám relatív hibája egyenlő: 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

3. példa

Próbáld meg kiszámolni magad a hozzávetőleges szám relatív hibája √2. A „2 négyzetgyöke” szám számjegyeit többféleképpen is megjegyezhetjük.

Mint korábban említettük, amikor egy közelítő értékű mérés pontosságát hasonlítjuk össze, abszolút hibát használunk.

Az abszolút hiba fogalma

A közelítő érték abszolút hibája a pontos érték és a közelítő érték közötti különbség nagysága.
Az abszolút hibával összehasonlíthatjuk azonos mennyiségek közelítésének pontosságát, de ha különböző mennyiségek közelítésének pontosságát akarjuk összehasonlítani, akkor az abszolút hiba önmagában nem elegendő.

Például: Egy A4-es papírlap hossza (29,7 ± 0,1) cm, Szentpétervár és Moszkva távolsága pedig (650 ± 1) km. Az abszolút hiba az első esetben nem haladja meg az egy millimétert, a másodikban pedig az egy kilométert. A kérdés az, hogy össze kell hasonlítani ezeknek a méréseknek a pontosságát.

Ha úgy gondolja, hogy a lap hosszát pontosabban mérik, mert az abszolút hiba nem haladja meg az 1 mm-t. Akkor tévedsz. Ezeket az értékeket nem lehet közvetlenül összehasonlítani. Indokoljunk egy kicsit.

Egy lap hosszának mérésekor az abszolút hiba nem haladja meg a 0,1 cm-t 29,7 cm-enként, azaz százalékban kifejezve a mért érték 0,1/29,7 * 100% = 0,33%-a.

Amikor Szentpétervártól Moszkváig mérjük a távolságot, az abszolút hiba nem haladja meg az 1 km-t 650 km-enként, ami százalékban 1/650 * 100% = a mért érték 0,15%-a. Látjuk, hogy a városok közötti távolságot pontosabban mérik, mint egy A4-es lap hosszát.

A relatív hiba fogalma

Itt a közelítés minőségének értékelésére egy új fogalmat, a relatív hibát vezetünk be. Relatív hiba- ez az abszolút hiba elosztásának hányadosa a mért érték közelítő értékeinek moduljával. A relatív hibát általában százalékban fejezik ki. Példánkban két relatív hibát kaptunk: 0,33% és 0,15%.

Amint azt már sejtette, a relatív hibaérték mindig pozitív. Ez abból következik, hogy az abszolút hiba mindig pozitív érték, és elosztjuk a modullal, és a modul is mindig pozitív.

Abszolút mérési hiba a mérési eredmény különbsége által meghatározott mennyiség xés a mért mennyiség valódi értéke x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

A δ értéket, amely megegyezik az abszolút mérési hiba és a mérési eredmény arányával, relatív hibának nevezzük:

2.1. példa. A π hozzávetőleges értéke 3,14. Ekkor a hibája 0.00159. Az abszolút hiba 0,0016-nak tekinthető, a relatív hiba pedig 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Jelentős számok. Ha az a érték abszolút hibája nem haladja meg az a szám utolsó számjegyének egy helyegységét, akkor azt mondjuk, hogy a számnak minden előjele helyes. Hozzávetőleges számokat kell felírni, csak a helyes jeleket megtartva. Ha például az 52400-as szám abszolút hibája 100, akkor ezt a számot például 524·10 2 vagy 0,524·10 5 alakban kell írni. Egy hozzávetőleges szám hibáját úgy becsülheti meg, hogy megadja, hány helyes számjegyet tartalmaz. A szignifikáns számjegyek megszámlálásakor a szám bal oldalán lévő nullákat nem számoljuk.

Például a 0,0283 számnak három, a 2,5400-nak pedig öt érvényes szignifikáns számjegye van.

A számok kerekítésének szabályai. Ha a hozzávetőleges szám többlet (vagy hibás) számjegyet tartalmaz, akkor azt kerekíteni kell. Kerekítéskor további hiba lép fel, amely nem haladja meg az utolsó jelentős számjegy helyének felét ( d) kerekített szám. Kerekítéskor csak a helyes számjegyek maradnak meg; az extra karakterek el lesznek vetve, és ha az első eldobott számjegy nagyobb vagy egyenlő, mint d/2, akkor az utolsó tárolt számjegyet eggyel növeljük.

Az egész számokban lévő extra számjegyeket nullákra cseréljük, a tizedesjegyeket pedig eldobjuk (ahogy a plusz nullákat is). Például, ha a mérési hiba 0,001 mm, akkor az 1,07005 eredményt 1,070-re kerekítjük. Ha a nullákkal módosított és elvetett számjegyek közül az első 5-nél kisebb, a többi számjegy nem változik. Például az 50-es mérési pontosságú 148935 szám kerekítési értéke 148900. Ha a nullákkal helyettesített vagy elvett számjegyek közül az első 5, és nem követik számjegyek vagy nullák, akkor a rendszer a legközelebbire kerekíti. páros szám. Például a 123,50-es szám 124-re van kerekítve. Ha az első nulla vagy csepp számjegy nagyobb, mint 5 vagy egyenlő 5-tel, de egy jelentős számjegy követi, akkor az utolsó fennmaradó számjegy eggyel nő. Például a 6783,6 szám 6784-re van kerekítve.

2.2. példa. 1284-ről 1300-ra kerekítve az abszolút hiba 1300-1284 = 16, 1280-ra kerekítve pedig 1280-1284 = 4.

2.3. példa. Ha a számot 197-ről 200-ra kerekítjük, az abszolút hiba 200 - 197 = 3. A relatív hiba 3/197 ≈ 0,01523 vagy körülbelül 3/200 ≈ 1,5%.

2.4. példa. Egy eladó mérlegen mér egy görögdinnyét. A legkisebb súly a készletben 50 g. A mérés 3600 g-ot adott. Ez a szám hozzávetőleges. A görögdinnye pontos súlya nem ismert. De az abszolút hiba nem haladja meg az 50 g-ot A relatív hiba nem haladja meg az 50/3600 = 1,4%-ot.

Hibák a probléma megoldása során PC

Általában három típusú hibát tekintenek a fő hibaforrásnak. Ezeket csonkítási hibáknak, kerekítési hibáknak és terjedési hibáknak nevezzük. Ha például iteratív módszereket használunk a nemlineáris egyenletek gyökereinek keresésére, az eredmények hozzávetőlegesek, ellentétben a direkt módszerekkel, amelyek pontos megoldást adnak.

Csonkolási hibák

Ez a típusú hiba magában a feladatban rejlő hibához kapcsolódik. Ennek oka lehet a forrásadatok meghatározásának pontatlansága. Például, ha a problémafelvetésben bármilyen méret megadásra kerül, akkor a gyakorlatban valós objektumok esetében ezek a méretek mindig bizonyos pontossággal ismertek. Ugyanez vonatkozik minden más fizikai paraméterre is. Ide tartozik a számítási képletek pontatlansága és a bennük szereplő numerikus együtthatók is.

Terjedési hibák

Ez a fajta hiba a probléma megoldásának egyik vagy másik módszerének használatával jár. A számítások során elkerülhetetlenül fellép a hibahalmozódás vagy más szóval terjedés. Amellett, hogy maguk az eredeti adatok nem pontosak, szorzásuk, összeadásuk stb. során új hiba lép fel. A hiba halmozódása a számítás során alkalmazott aritmetikai műveletek jellegétől és számától függ.

Kerekítési hibák

Ez a fajta hiba azért fordul elő, mert a számítógép nem mindig tárolja pontosan egy szám valódi értékét. Ha egy valós számot tárolunk a számítógép memóriájában, akkor azt mantisszának és kitevőnek írják le, ugyanúgy, mint egy számot a számológépen.