Keresse meg a három szám számát a html-ben. Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét

Az LCM kiszámításának megértéséhez először meg kell határoznia a „többszörös” kifejezés jelentését.

A többszöröse olyan természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val, így az 5 többszörösei 15-nek, 20-nak, 25-nek stb.

Egy adott számnak korlátozott számú osztója lehet, de végtelen számú többszöröse van.

A természetes számok közös többszöröse olyan szám, amely osztható velük anélkül, hogy maradékot hagyna.

Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét

A számok legkisebb közös többszöröse (LCM) (kettő, három vagy több) a legkisebb természetes szám, amely osztható ezekkel a számokkal.

A LOC megtalálásához többféle módszert is használhat.

Kis számok esetén célszerű ezeknek a számoknak az összes többszörösét felírni egy sorba, amíg nem talál valami közöset közöttük. A többszöröseket nagy K betűvel jelöljük.

Például a 4 többszörösei így írhatók:

K (4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Így látható, hogy a 4 és 6 számok legkisebb közös többszöröse a 24. Ez a jelölés a következőképpen történik:

LCM(4; 6) = 24

Ha a számok nagyok, keresse meg három vagy több szám közös többszörösét, akkor jobb, ha más módszert használ az LCM kiszámítására.

A feladat elvégzéséhez a megadott számokat prímtényezőkbe kell számolni.

Először le kell írnia egy sor legnagyobb számának felbomlását, és alatta - a többit.

Az egyes számok dekompozíciója különböző számú tényezőt tartalmazhat.

Például vegyük az 50-es és 20-as számokat prímtényezőkbe.

A kisebb szám bővítésében érdemes kiemelni azokat a tényezőket, amelyek az első legnagyobb szám bővítésében hiányoznak, majd hozzá kell adni azokat. A bemutatott példában hiányzik a kettő.

Most kiszámolhatja a 20 és 50 legkisebb közös többszörösét.

LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Így a nagyobb szám prímtényezőinek és a második szám azon tényezőinek szorzata, amelyek nem szerepeltek a nagyobb szám bővítésében, lesz a legkisebb közös többszörös.

Három vagy több szám LCM-jének meghatározásához az előző esethez hasonlóan mindegyiket prímtényezőkbe kell számítani.

Példaként megtalálhatja a 16, 24, 36 számok legkisebb közös többszörösét.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Így a tizenhat bővítéséből csak két kettes nem került be nagyobb szám faktorizálásába (az egyik a huszonnégy bővítésébe).

Így nagyobb szám bővítéséhez hozzá kell adni őket.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

A legkisebb közös többszörös meghatározásának vannak speciális esetei. Tehát, ha az egyik szám maradék nélkül osztható egy másikkal, akkor ezek közül a számok közül a nagyobb lesz a legkisebb közös többszörös.

Például a tizenkettő és a huszonnégy LCM értéke huszonnégy.

Ha meg kell találni azoknak a koprímszámoknak a legkisebb közös többszörösét, amelyek nem rendelkeznek azonos osztókkal, akkor az LCM-jük egyenlő lesz a szorzatukkal.

Például LCM (10, 11) = 110.

Folytassuk a beszélgetést a legkisebb közös többszörösről, amelyet az „LCM – legkisebb közös többszörös, definíció, példák” részben kezdtünk. Ebben a témakörben megvizsgáljuk, hogyan lehet megtalálni az LCM-et három vagy több számra, és megvizsgáljuk azt a kérdést, hogyan lehet megtalálni egy negatív szám LCM-jét.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása GCD-n keresztül

Már megállapítottuk a kapcsolatot a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó között. Most pedig tanuljuk meg, hogyan határozzuk meg az LCM-et a GCD-n keresztül. Először is nézzük meg, hogyan kell ezt megtenni pozitív számok esetén.

1. definíció

A legkisebb közös többszöröst a legnagyobb közös osztón keresztül találhatja meg az LCM (a, b) = a · b képlettel: GCD (a, b).

1. példa

Meg kell találnia a 126 és 70 számok LCM-jét.

Megoldás

Vegyük a = 126, b = 70. Helyettesítsük be az értékeket a legkisebb közös többszörös kiszámítására szolgáló képletbe a legnagyobb közös osztóval LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Megkeresi a 70 és 126 számok gcd-jét. Ehhez szükségünk van az euklideszi algoritmusra: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, ezért GCD (126 , 70) = 14 .

Számítsuk ki az LCM-et: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Válasz: LCM(126; 70) = 630.

2. példa

Keresse meg a 68-as és 34-es számot.

Megoldás

A GCD-t ebben az esetben nem nehéz megtalálni, mivel a 68 osztható 34-gyel. Számítsuk ki a legkisebb közös többszöröst a következő képlettel: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Válasz: LCM(68; 34) = 68.

Ebben a példában a szabályt használtuk az a és b pozitív egész számok legkisebb közös többszörösének megtalálására: ha az első szám osztható a másodikkal, akkor ezeknek a számoknak az LCM-je egyenlő lesz az első számmal.

Az LCM megtalálása a számok prímtényezőkbe való faktorálásával

Most nézzük meg az LCM megtalálásának módszerét, amely a számok prímtényezőkbe való faktorálásán alapul.

2. definíció

A legkisebb közös többszörös megtalálásához néhány egyszerű lépést kell végrehajtanunk:

• összeállítjuk azon számok összes prímtényezőjének szorzatát, amelyekhez meg kell találnunk az LCM-et;
• kizárunk minden elsődleges tényezőt a kapott termékeikből;
• a közös prímtényezők kiszűrése után kapott szorzat egyenlő lesz az adott számok LCM-jével.

A legkisebb közös többszörös megtalálásának ez a módszere az LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) egyenlőségén alapul. Ha megnézzük a képletet, világossá válik: az a és b számok szorzata egyenlő mindazon tényezők szorzatával, amelyek részt vesznek e két szám lebontásában. Ebben az esetben két szám gcd értéke egyenlő az összes prímtényező szorzatával, amelyek egyidejűleg jelen vannak e két szám faktorizálásában.

3. példa

Két számunk van: 75 és 210. A következőképpen számolhatjuk őket: 75 = 3 5 5És 210 = 2 3 5 7. Ha összeállítja a két eredeti szám összes tényezőjének szorzatát, akkor a következőt kapja: 2 3 3 5 5 5 7.

Ha kizárjuk a 3-as és az 5-ös szám közös faktorait, akkor a következő alakú szorzatot kapjuk: 2 3 5 5 7 = 1050. Ez a termék lesz a mi LCM-ünk a 75-ös és 210-es számokhoz.

4. példa

Keresse meg a számok LCM-jét 441 És 700 , mindkét számot prímtényezőkké alakítva.

Megoldás

Keressük meg a feltételben megadott számok összes prímtényezőjét:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Két számláncot kapunk: 441 = 3 3 7 7 és 700 = 2 2 5 5 7.

Az összes olyan tényező szorzata, amely részt vett ezeknek a számoknak a felosztásában, a következő formában lesz: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Keressük a közös tényezőket. Ez a 7-es szám. Zárjuk ki a teljes termékből: 2 2 3 3 5 5 7 7. Kiderült, hogy a NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Válasz: LOC(441; 700) = 44 100.

Adjunk egy másik megfogalmazást az LCM meghatározására a számok prímtényezőkre történő felosztásával.

3. definíció

Korábban mindkét számra közös faktorszámból kizártuk. Most másképp csináljuk:

• Tekintsük mindkét számot prímtényezőkké:
• az első szám prímtényezőinek szorzatához adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezőit;
• megkapjuk a szorzatot, amely a két szám kívánt LCM-je lesz.

5. példa

Térjünk vissza a 75-ös és 210-es számokhoz, amelyekhez már az előző példák egyikében kerestük az LCM-et. Bontsuk őket egyszerű tényezőkre: 75 = 3 5 5És 210 = 2 3 5 7. A 3., 5. és faktorok szorzatához 5 a 75-ös számok hozzáadják a hiányzó tényezőket 2 És 7 számok 210. Kapunk: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ez a 75 és 210 számok LCM-je.

6. példa

Ki kell számítani a 84 és 648 számok LCM-jét.

Megoldás

Tekintsük a feltételből származó számokat egyszerű tényezőkké: 84 = 2 2 3 7És 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Adjuk hozzá a szorzathoz a 2, 2, 3 és faktorokat 7 számok 84 hiányzó tényezők 2, 3, 3 és
3 648-as számok. Megkapjuk a terméket 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ez a 84 és 648 legkisebb közös többszöröse.

Válasz: LCM(84,648) = 4,536.

Három vagy több szám LCM-jének megkeresése

Függetlenül attól, hogy hány számmal van dolgunk, a cselekvéseink algoritmusa mindig ugyanaz lesz: szekvenciálisan megkeressük két szám LCM-jét. Erre az esetre van egy tétel.

1. tétel

Tegyük fel, hogy egész számaink vannak a 1 , a 2 , … , a k. NEM C m k ezeket a számokat az m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) szekvenciális kiszámításával kapjuk meg.

Most nézzük meg, hogyan alkalmazható a tétel konkrét problémák megoldására.

7. példa

Ki kell számítania négy szám legkisebb közös többszörösét: 140, 9, 54 és 250 .

Megoldás

Vezessük be a jelölést: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Kezdjük azzal, hogy kiszámoljuk m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Alkalmazzuk az euklideszi algoritmust a 140 és 9 számok GCD-jének kiszámításához: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. A következőt kapjuk: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Ezért m 2 = 1,260.

Most számoljunk ugyanazzal az algoritmussal: m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). A számítások során m 3 = 3 780-at kapunk.

Csak ki kell számítanunk, hogy m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Ugyanazt az algoritmust követjük. Azt kapjuk, hogy m 4 = 94 500.

A példafeltételből származó négy szám LCM-je 94500.

Válasz: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Mint látható, a számítások egyszerűek, de meglehetősen munkaigényesek. Időt takaríthat meg, választhat más utat is.

4. definíció

A következő műveleti algoritmust kínáljuk Önnek:

• minden számot prímtényezőkre bontunk;
• az első szám tényezőinek szorzatához hozzáadjuk a hiányzó tényezőket a második szám szorzatából;
• az előző lépésben kapott szorzathoz hozzáadjuk a harmadik szám hiányzó tényezőit stb.;
• a kapott szorzat a feltétel összes számának legkisebb közös többszöröse lesz.

8. példa

Meg kell találnia az öt szám LCM-jét: 84, 6, 48, 7, 143.

Megoldás

Tekintsük mind az öt számot prímtényezőkbe: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. A prímszámok, ami a 7-es szám, nem vehetők figyelembe a prímtényezőkbe. Az ilyen számok egybeesnek a prímtényezőkre való felosztásukkal.

Most vegyük a 84-es szám 2-es, 2-es, 3-as és 7-es prímtényezőinek szorzatát, és adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezőit. A 6-os számot 2-re és 3-ra bontottuk. Ezek a tényezők már benne vannak az első szám szorzatában. Ezért ezeket mellőzzük.

Folytatjuk a hiányzó szorzók összeadását. Térjünk át a 48-as számra, amelynek prímtényezőinek szorzatából 2-t és 2-t veszünk. Ezután a negyedik számból összeadjuk a 7-es prímtényezőt és az ötödik szám 11-es és 13-as tényezőit. A következőt kapjuk: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ez az eredeti öt szám legkisebb közös többszöröse.

Válasz: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48 048.

Negatív számok legkisebb közös többszörösének megtalálása

A negatív számok legkisebb közös többszörösének megtalálásához ezeket a számokat először ellentétes előjelű számokra kell cserélni, majd a számításokat a fenti algoritmusok segítségével kell elvégezni.

9. példa

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) és LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Az ilyen cselekvések megengedhetők, mivel ha ezt elfogadjuk aÉs − a- ellentétes számok,
akkor egy szám többszöröseinek halmaza a megegyezik egy szám többszöröseinek halmazával − a.

10. példa

Ki kell számítani a negatív számok LCM-jét − 145 És − 45 .

Megoldás

Cseréljük ki a számokat − 145 És − 45 ellentétes számukra 145 És 45 . Most az algoritmus segítségével kiszámítjuk az LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 értéket, miután előzőleg meghatároztuk a GCD-t az euklideszi algoritmus segítségével.

Azt kapjuk, hogy a számok LCM-je − 145 és − 45 egyenlő 1 305 .

Válasz: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Meghatározás. Azt a legnagyobb természetes számot nevezzük, amellyel az a és b számokat maradék nélkül osztjuk legnagyobb közös osztó (GCD) ezeket a számokat.

Keressük meg a 24 és 35 számok legnagyobb közös osztóját.
A 24 osztói az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 számok, a 35 osztói pedig az 1, 5, 7, 35 számok.
Látjuk, hogy a 24-es és 35-ös számoknak csak egy közös osztója van - az 1-es szám. Az ilyen számokat ún. kölcsönösen prím.

Meghatározás. A természetes számokat hívják kölcsönösen prím, ha a legnagyobb közös osztójuk (GCD) 1.

Legnagyobb közös osztó (GCD) megtalálható anélkül, hogy kiírnánk az adott számok összes osztóját.

A 48-as és 36-os számokat faktorálva a következőket kapjuk:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezők közül kihúzzuk azokat, amelyek nem szerepelnek a második szám bővítésében (azaz két kettes).
A fennmaradó tényezők 2 * 2 * 3. A szorzatuk 12. Ez a szám a 48 és 36 számok legnagyobb közös osztója. Három vagy több szám legnagyobb közös osztója is megtalálható.

Megtalálni legnagyobb közös osztó

2) az egyik ilyen szám bővítésében szereplő tényezők közül húzza ki azokat, amelyek nem szerepelnek más számok bővítésében;
3) keresse meg a fennmaradó tényezők szorzatát.

Ha minden adott szám osztható valamelyikkel, akkor ez a szám legnagyobb közös osztó adott számokat.
Például a 15, 45, 75 és 180 számok legnagyobb közös osztója a 15, mivel az összes többi szám osztható vele: 45, 75 és 180.

Legkevésbé közös többszörös (LCM)

Meghatározás. Legkevésbé közös többszörös (LCM) az a és b természetes számok a legkisebb természetes számok, amelyek a és b többszörösei. A 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse (LCM) megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit sorba kellene írni. Ehhez adjunk 75-öt és 60-at prímtényezőkké: 75 = 3 * 5 * 5 és 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Írjuk fel ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezőket, és adjuk hozzá a második szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket (azaz a tényezőket összevonjuk).
Öt 2 * 2 * 3 * 5 * 5 tényezőt kapunk, melynek szorzata 300. Ez a szám a 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse.

Megtalálják három vagy több szám legkisebb közös többszörösét is.

Nak nek megtalálni a legkisebb közös többszöröst több természetes számra van szüksége:
1) faktorálja őket prímtényezőkké;
2) írja le az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket;
3) add hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből;
4) keresse meg a kapott tényezők szorzatát.

Vegye figyelembe, hogy ha ezen számok egyike osztható az összes többi számmal, akkor ez a szám ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse.
Például a 12, 15, 20 és 60 számok legkisebb közös többszöröse 60, mivel osztható ezekkel a számokkal.

Pythagoras (Kr. e. VI. század) és tanítványai a számok oszthatóságának kérdését tanulmányozták. Tökéletes számnak nevezték azt a számot, amely megegyezik az osztóinak összegével (maga a szám nélkül). Például a 6 (6 = 1 + 2 + 3), a 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) számok tökéletesek. A következő tökéletes számok a 496, 8128, 33 550 336. A püthagoreusok csak az első három tökéletes számot ismerték. A negyedik - 8128 - az I. században vált ismertté. n. e. Az ötödik - 33 550 336 - a 15. században került elő. 1983-ban már 27 tökéletes számot ismertek. De a tudósok még mindig nem tudják, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok, vagy van-e legnagyobb tökéletes szám.
Az ókori matematikusok érdeklődése a prímszámok iránt annak köszönhető, hogy bármely szám vagy prímszám, vagy prímszámok szorzataként ábrázolható, azaz a prímszámok olyanok, mint a tégla, amelyből a többi természetes szám épül.
Valószínűleg észrevette, hogy a természetes számok sorozatában a prímszámok egyenetlenül fordulnak elő - a sorozat egyes részeiben több, máshol kevesebb. De minél tovább haladunk a számsorok mentén, annál kevésbé gyakoriak a prímszámok. Felmerül a kérdés: van-e utolsó (legnagyobb) prímszám? Az ókori görög matematikus, Eukleidész (Kr. e. III. század) „Elemek” című könyvében, amely kétezer éven át a matematika fő tankönyve volt, bebizonyította, hogy végtelenül sok prímszám van, azaz minden prímszám mögött ott van egy még nagyobb prímszám. szám.
A prímszámok megtalálásához egy másik görög matematikus, Eratoszthenész találta ki ezt a módszert. Felírta az összes számot 1-től valamilyen számig, majd áthúzott egyet, ami nem prímszám és nem is összetett szám, majd egyen áthúzta a 2 után következő összes számot (a 2, azaz a 4 többszörösét, 6, 8 stb.). A 2 utáni első szám 3 volt. Ezután kettő után a 3 után érkező összes számot (azok a számok, amelyek a 3 többszörösei, azaz 6, 9, 12 stb.) áthúzták. végül csak a prímszámok maradtak keresztezetlenül.

Kezdjük el tanulmányozni két vagy több szám legkisebb közös többszörösét. Ebben a részben definiáljuk a fogalmat, megvizsgáljuk a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó közötti kapcsolatot megállapító tételt, és példákat adunk a problémák megoldására.

Közös többszörösek – definíció, példák

Ebben a témában csak a nullától eltérő egész számok közös többszöröseire leszünk kíváncsiak.

1. definíció

Egész számok közös többszöröse egy egész szám, amely az összes megadott szám többszöröse. Valójában bármely egész szám, amely osztható bármelyik megadott számmal.

A közös többszörösek meghatározása két, három vagy több egész számra vonatkozik.

1. példa

A fent megadott definíció szerint a 12 szám közös többszörösei 3 és 2. Ezenkívül a 12 szám a 2, 3 és 4 közös többszöröse lesz. A 12 és -12 számok a ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 számok közös többszörösei.

Ugyanakkor a 2 és 3 számok közös többszöröse a 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 számok és egy sor további szám lesz.

Ha olyan számokat veszünk, amelyek oszthatók egy pár első számával, és nem oszthatók a másodikkal, akkor az ilyen számok nem lesznek közös többszörösek. Tehát a 2 és 3 számok esetében a 16, − 27, 5009, 27001 számok nem lesznek közös többszörösek.

A 0 a nullától eltérő egész számok bármely halmazának közös többszöröse.

Ha felidézzük az oszthatóság tulajdonságát ellentétes számokra vonatkozóan, akkor kiderül, hogy valamilyen k egész szám ezeknek a számoknak a közös többszöröse lesz, akárcsak a - k szám. Ez azt jelenti, hogy a közös osztók lehetnek pozitívak vagy negatívak.

Megtalálható az LCM minden számhoz?

A közös többszörös bármely egész számra megtalálható.

2. példa

Tegyük fel, hogy megadatott nekünk k egész számok a 1 , a 2 , … , a k. A számok szorzásakor kapott szám a 1 · a 2 · … · a k az oszthatóság tulajdonsága szerint az eredeti szorzatban szereplő tényezők mindegyikére fel lesz osztva. Ez azt jelenti, hogy a számok szorzata a 1 , a 2 , … , a k ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse.

Hány közös többszöröse lehet ezeknek az egész számoknak?

Az egész számok csoportjának sok közös többszöröse lehet. Valójában számuk végtelen.

3. példa

Tegyük fel, hogy van valamilyen k számunk. Ekkor a k · z számok szorzata, ahol z egész szám, a k és z számok közös többszöröse lesz. Tekintettel arra, hogy a számok száma végtelen, a közös többszörösek száma végtelen.

Least Common Multiple (LCM) – Definíció, jelölés és példák

Emlékezzünk vissza egy adott számkészletből a legkisebb szám fogalmára, amelyet az „Egész számok összehasonlítása” részben tárgyaltunk. Ezt a fogalmat figyelembe véve fogalmazzuk meg a legkisebb közös többszörös definícióját, amely az összes közös többszörös közül a legnagyobb gyakorlati jelentőséggel bír.

2. definíció

Adott egész számok legkisebb közös többszöröse ezeknek a számoknak a legkisebb pozitív közös többszöröse.

Tetszőleges számú megadott számhoz létezik egy legkisebb közös többszörös. A szakirodalomban a fogalom leggyakrabban használt rövidítése a NOC. A számok legkisebb közös többszörösének rövid jelölése a 1 , a 2 , … , a k LOC formátumú lesz (a 1 , a 2 , … , a k).

4. példa

6 és 7 legkisebb közös többszöröse 42. Azok. LCM(6; 7) = 42. A 2, 12, 15 és 3 négy szám legkisebb közös többszöröse 60. Egy rövid jelölés így néz ki: LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

A legkisebb közös többszörös nem nyilvánvaló minden adott számcsoportra. Gyakran számolni kell.

A NOC és a GCD kapcsolata

A legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó összefügg. A fogalmak közötti kapcsolatot a tétel állapítja meg.

1. tétel

Két pozitív egész a és b legkisebb közös többszöröse egyenlő a és b szorzatával osztva a és b legnagyobb közös osztójával, azaz LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) ).

Bizonyíték 1

Tegyük fel, hogy van valamilyen M számunk, amely az a és b szám többszöröse. Ha az M szám osztható a-val, akkor létezik z egész szám is , amely alatt az egyenlőség igaz M = a k. Az oszthatóság definíciója szerint, ha M osztható vele b, így aztán a · k osztva b.

Ha bevezetünk egy új jelölést a gcd (a, b) as d, akkor használhatjuk az egyenlőségeket a = a 1 dés b = b 1 · d. Ebben az esetben mindkét egyenlőség viszonylag prímszám lesz.

Fentebb már megállapítottuk a · k osztva b. Most ez a feltétel a következőképpen írható fel:
a 1 d k osztva b 1 d, ami egyenértékű a feltétellel a 1 k osztva b 1 az oszthatóság tulajdonságai szerint.

A koprímszámok tulajdonsága szerint, ha egy 1És b 1- másodszámok, egy 1-vel nem osztható b 1 annak ellenére, hogy a 1 k osztva b 1, Azt b 1 meg kell osztani k.

Ebben az esetben helyénvaló azt feltételezni, hogy létezik egy szám t, amelyekre k = b 1 t, és azóta b 1 = b: d, Azt k = b: d t.

Most ahelyett k helyettesítsük az egyenlőségbe M = a k a forma kifejezése b: d t. Ez lehetővé teszi számunkra az egyenlőség elérését M = a b: d t. Nál nél t = 1 megkaphatjuk a és b legkisebb pozitív közös többszörösét , egyenlő a b: d, feltéve, hogy a és b számok pozitív.

Tehát bebizonyítottuk, hogy LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Az LCM és a GCD közötti kapcsolat létrehozása lehetővé teszi a legkisebb közös többszörös megtalálását két vagy több megadott szám legnagyobb közös osztóján keresztül.

3. definíció

A tételnek két fontos következménye van:

• két szám legkisebb közös többszörösének többszörösei megegyeznek e két szám közös többszörösével;
• az a és b kölcsönösen pozitív prímszámok legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzatukkal.

Ezt a két tényt nem nehéz alátámasztani. Az a és b számok M bármely közös többszörösét az M = LCM (a, b) · t egyenlőség határozza meg valamilyen t egész értékre. Mivel a és b viszonylag prím, akkor gcd (a, b) = 1, ezért gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse

Több szám legkisebb közös többszörösének megtalálásához egymás után meg kell találni két szám LCM-jét.

2. tétel

Tegyünk úgy, mintha a 1 , a 2 , … , a k néhány pozitív egész szám. Az LCM kiszámításához m k ezeket a számokat szekvenciálisan kell kiszámítanunk m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = NEM C(m 2 , a 3) , … , m k = NEM C(m k - 1 , a k) .

Bizonyíték 2

A témában tárgyalt első tétel első következménye segíteni fog a második tétel érvényességének bizonyításában. Az érvelés a következő algoritmuson alapul:

• számok közös többszörösei egy 1És a 2 egybeesnek LCM-jük többszörösével, valójában egybeesnek a szám többszörösével m 2;
• számok közös többszörösei egy 1, a 2És a 3 m 2És a 3 m 3;
• számok közös többszörösei a 1 , a 2 , … , a k egybeesnek a számok közös többszöröseivel m k - 1És a k, ezért egybeesnek a szám többszörösével m k;
• amiatt, hogy a szám legkisebb pozitív többszöröse m k maga a szám m k, akkor a számok legkisebb közös többszöröse a 1 , a 2 , … , a k van m k.

Így igazoltuk a tételt.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az online számológép segítségével gyorsan megtalálhatja a legnagyobb közös osztót és a legkisebb közös többszöröst két vagy tetszőleges számú számra.

Számológép a GCD és az LCM megtalálásához

Keresse meg a GCD-t és a LOC-t

Talált GCD és LOC: 6433

Hogyan kell használni a számológépet

• Írja be a számokat a beviteli mezőbe
• Ha helytelen karaktereket ír be, a beviteli mező piros színnel lesz kiemelve
• kattintson a "GCD és LOC keresése" gombra

Hogyan írjunk be számokat

• A számokat szóközzel, ponttal vagy vesszővel elválasztva kell beírni
• A beírt számok hossza nincs korlátozva, így nem nehéz megtalálni a hosszú számok GCD-jét és LCM-jét

Mi az a GCD és NOC?

Legnagyobb közös osztó A több szám a legnagyobb természetes egész szám, amellyel minden eredeti szám osztható maradék nélkül. A legnagyobb közös osztó rövidítése: GCD.
Legkisebb közös többszörös A több szám az a legkisebb szám, amely maradék nélkül osztható az eredeti számokkal. A legkisebb közös többszöröst így rövidítjük NEM C.

Hogyan ellenőrizhető, hogy egy szám osztható-e egy másik számmal maradék nélkül?

Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e egy másikkal maradék nélkül, használhatja a számok oszthatóságának néhány tulajdonságát. Ezután ezek kombinálásával ellenőrizheti egyesek és kombinációik oszthatóságát.

A számok oszthatóságának néhány jele

1. Oszthatósági teszt egy szám 2-vel
Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e kettővel (páros-e), elég megnézni ennek a számnak az utolsó számjegyét: ha egyenlő 0, 2, 4, 6 vagy 8, akkor a szám páros, ami azt jelenti, hogy osztható 2-vel.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 2-vel.
Megoldás: Az utolsó számjegyet nézzük: 8 - ez azt jelenti, hogy a szám osztható kettővel.

2. Szám 3-mal való oszthatósági tesztje
Egy szám akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható hárommal. Így annak meghatározásához, hogy egy szám osztható-e 3-mal, ki kell számítania a számjegyek összegét, és ellenőriznie kell, hogy osztható-e 3-mal. Még ha a számjegyek összege nagyon nagy is, megismételheti ugyanazt a folyamatot.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 3-mal.
Megoldás: Megszámoljuk a számok összegét: 3+4+9+3+8 = 27. A 27 osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy a szám osztható hárommal.

3. Oszthatósági teszt egy számra 5-tel
Egy szám osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye nulla vagy öt.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 5-tel.
Megoldás: nézd meg az utolsó számjegyet: a 8 azt jelenti, hogy a szám NEM osztható öttel.

4. Oszthatósági teszt egy számra 9-cel
Ez a jel nagyon hasonlít a hárommal való oszthatóság jeléhez: egy szám osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 9-cel.
Megoldás: Megszámoljuk a számok összegét: 3+4+9+3+8 = 27. A 27 osztható 9-cel, ami azt jelenti, hogy a szám osztható kilenccel.

Hogyan lehet megtalálni a két szám GCD-jét és LCM-jét

Hogyan találjuk meg két szám gcd-jét

Két szám legnagyobb közös osztójának kiszámításának legegyszerűbb módja, ha megkeresi a számok összes lehetséges osztóját, és kiválasztja a legnagyobbat.

Tekintsük ezt a módszert a GCD(28, 36) megtalálásának példáján:

1. Mindkét számot figyelembe vesszük: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Találunk közös faktorokat, vagyis azokat, amelyek mindkét számnak megvannak: 1, 2 és 2.
3. Kiszámítjuk ezeknek a tényezőknek a szorzatát: 1 2 2 = 4 - ez a 28 és 36 számok legnagyobb közös osztója.

Hogyan találjuk meg két szám LCM-jét

Két leggyakoribb módja van két szám legkisebb többszörösének megkeresésére. Az első módszer az, hogy felírhatja két szám első többszörösét, majd kiválaszthatja közülük azt a számot, amely mindkét számban közös és egyben a legkisebb. A második pedig ezeknek a számoknak a gcd-jének megkeresése. Csak azt vegyük figyelembe.

Az LCM kiszámításához ki kell számítania az eredeti számok szorzatát, majd el kell osztania a korábban talált GCD-vel. Keressük meg az LCM-et ugyanazon 28-as és 36-os számokhoz:

1. Határozzuk meg a 28 és 36 számok szorzatát: 28·36 = 1008
2. A GCD(28, 36), mint már ismert, egyenlő 4-gyel
3. LCM(28; 36) = 1008/4 = 252 .

GCD és LCM keresése több számhoz

A legnagyobb közös osztó több számra is megtalálható, nem csak kettőre. Ehhez a legnagyobb közös osztóhoz tartozó számokat prímtényezőkre bontjuk, majd megtaláljuk e számok közös prímtényezőinek szorzatát. A következő relációt is használhatja több szám gcd-jének megkereséséhez: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Hasonló összefüggés vonatkozik a legkisebb közös többszörösre is: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Példa: keresse meg a GCD-t és az LCM-et a 12-es, 32-es és 36-os számokhoz.

1. Először is szorozzuk a számokat: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Keressük a közös tényezőket: 1, 2 és 2.
3. A szorzatuk GCD-t ad: 1·2·2 = 4
4. Most keressük meg az LCM-et: ehhez először keressük meg az LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Mindhárom szám LCM-jének megtalálásához meg kell találnia a GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12; 32; 36) = 96,36 / 12 = 288.