A százalék az egyik érdekes és a gyakorlatban gyakran használt eszköz. A százalékokat részben vagy egészben felhasználják bármely tudományban, bármilyen munkakörben, sőt a mindennapi kommunikációban is. Az a személy, aki jól ismeri a százalékokat, okos és művelt benyomást kelt. Ebben a leckében megtudjuk, mi az a százalék, és milyen műveleteket hajthat végre vele.

Az óra tartalma

Mi az a százalék?

A törtek a mindennapi életben a leggyakoribbak. Még saját nevüket is kapták: fele, harmadik és negyede.

De van egy másik frakció, amely szintén gyakran előfordul. Ez egy töredék (egy század). Ezt a törtet nevezzük százalék. Mit jelent az egyszázad tört? Ez a tört azt jelenti, hogy valamit száz részre osztanak, és onnan vesznek el egy részt. Tehát egy százalék valaminek a százada.

Egy százalék valaminek a százada

Például egy méter 1 cm. Egy métert száz részre osztunk, és egy részt veszünk (emlékezzünk arra, hogy 1 méter 100 cm). És ennek a száz résznek egy része 1 cm. Ez azt jelenti, hogy egy méter egy százaléka 1 cm.

Egy méter már 2 centiméter. Ezúttal egy métert száz részre osztottak és nem egy, hanem két részt vettek onnan. És százból két rész két centiméter. Tehát egy méter két százaléka 2 centiméter.

Egy másik példa: egy rubel egyenlő egy kopeckával. A rubelt száz részre osztották, és onnan vettek el egy részt. És ennek a száz résznek egy része egy kopejka. Ez azt jelenti, hogy egy rubel egy százaléka egy kopeka.

A százalékok annyira gyakoriak voltak, hogy az emberek a törtet egy speciális ikonra cserélték, amely így néz ki:

Ez a bejegyzés „egy százalék”. Egy töredéket helyettesít. A 0,01 tizedes törtet is helyettesíti, mert ha egy szabályos törtet tizedes törtté alakítunk, 0,01-et kapunk. Ezért e három kifejezés közé egyenlőségjelet tehetünk:

1% = = 0,01

Két százalék tört alakban , decimális formában 0,02, és egy speciális ikon használatával a két százalék 2%.

2% = = 0,02

Hogyan lehet megtalálni a százalékot?

A százalék megállapításának elve megegyezik a számból a tört szokásos megállapításával. Ahhoz, hogy megtalálja valami százalékát, 100 részre kell osztania, és a kapott számot meg kell szoroznia a kívánt százalékkal.

Például keresse meg a 10 cm 2%-át.

Mit jelent a 2% bejegyzés? A 2%-os bejegyzés a . Ha ezt a feladatot érthetőbb nyelvre fordítjuk, a következőképpen fog kinézni:

Keresse 10 cm-ről

És már tudjuk, hogyan kell megoldani az ilyen feladatokat. Ez a szokásos módszer a szám történek meghatározására. Egy szám törtrészének megtalálásához el kell osztania ezt a számot a tört nevezőjével, és meg kell szoroznia a kapott eredményt a tört számlálójával.

Tehát osszuk el a 10-et a tört nevezőjével

0,1-et kaptunk. Most megszorozzuk a 0,1-et a tört számlálójával

0,1 × 2 = 0,2

0,2-es választ kaptunk. Ez azt jelenti, hogy 10 cm 2%-a 0,2 cm. És ha , akkor 2 millimétert kapunk:

0,2 cm = 2 mm

Ez azt jelenti, hogy 10 cm 2%-a 2 mm.

2. példa Keresse meg a 300 rubel 50%-át.

A 300 rubel 50%-ának megtalálásához el kell osztania ezt a 300 rubelt 100-zal, és meg kell szoroznia az eredményt 50-zel.

Tehát ossza el 300 rubelt 100-zal

300: 100 = 3

Most szorozza meg az eredményt 50-zel

3 × 50 = 150 dörzsölje.

Ez azt jelenti, hogy 300 rubel 50%-a 150 rubel.

Ha eleinte nehéz megszokni a % jelű jelölést, akkor ezt a jelölést helyettesítheti egy normál tört jelöléssel.

Például ugyanaz az 50% helyettesíthető a bejegyzéssel. Ezután a feladat így fog kinézni: Keressen 300 rubelből, de az ilyen problémák megoldása még mindig könnyebb számunkra

300: 100 = 3

3 × 50 = 150

Elvileg nincs itt semmi bonyolult. Ha nehézségek merülnek fel, javasoljuk, hogy hagyja abba, és vizsgálja meg újra és.

3. példa A ruhagyár 1200 öltönyt gyártott. Ezek 32%-a új stílusú öltöny. Hány új stílusú öltönyt gyártott a gyár?

Itt meg kell találnia az 1200-nak a 32%-át. A talált szám lesz a válasz a problémára. Használjuk a szabályt a százalékok meghatározására. Osszuk el 1200-at 100-zal, és a kapott eredményt szorozzuk meg a kívánt százalékkal, pl. 32-nél

1200: 100 = 12

12 × 32 = 384

Válasz: A gyár 384 új stílusú öltönyt gyártott.

Második módszer a százalékos megállapításra

A százalékos arány meghatározásának második módja sokkal egyszerűbb és kényelmesebb. Ez abban rejlik, hogy azt a számot, amelyből a százalékot keresik, azonnal megszorozzák a kívánt százalékkal, tizedes törtként kifejezve.

Például ezzel a módszerrel oldjuk meg az előző problémát. Keresse meg a 300 rubel 50%-át.

Az 50% bejegyzés helyettesíti a bejegyzést, és ha ezeket tizedes törtté alakítjuk, 0,5-öt kapunk

Most, hogy megtaláljuk a 300 50%-át, elég lesz a 300-at megszorozni a 0,5 tizedes törttel

300 × 0,5 = 150

Mellesleg, a százalékos számológépeken történő keresési mechanizmus ugyanezen az elven működik. Ha számológéppel szeretne százalékot találni, be kell írnia a számológépbe azt a számot, amelyből a százalékot keresi, majd meg kell nyomnia a szorzógombot, és be kell írnia a kívánt százalékot. Ezután nyomja meg a százalékos gombot %

Szám keresése százaléka alapján

Egy szám százalékának ismeretében megtudhatja az egész számot. Például egy vállalkozás 60 000 rubelt fizetett nekünk a munkáért, és ez a vállalkozás által kapott teljes nyereség 2% -át teszi ki. Ismerve a részesedésünket és annak hány százalékát, megtudhatjuk a teljes nyereséget.

Először meg kell találnia, hogy hány rubel tesz ki egy százalékot. Hogyan kell csinálni? Próbáljon kitalálni az alábbi ábra gondos tanulmányozásával:

Ha a teljes nyereség két százaléka 60 ezer rubel, akkor könnyen kitalálható, hogy egy százalék 30 ezer rubel. És ahhoz, hogy megkapja ezt a 30 ezer rubelt, el kell osztania 60 ezret 2-vel

60 000: 2 = 30 000

A teljes nyereség egy százalékát találtuk, i.e. . Ha egy rész 30 ezer, akkor száz rész meghatározásához meg kell szorozni 30 ezret 100-zal

30 000 × 100 = 3 000 000

Megtaláltuk a teljes nyereséget. Ez három millió.

Próbáljunk meg egy szabályt megfogalmazni egy szám százalékos meghatározására.

Egy szám százalékos meghatározásához el kell osztani az ismert számot a megadott százalékkal, és az eredményt meg kell szorozni 100-zal.

2. példa A 35-ös szám egy ismeretlen szám 7%-a. Keresse meg ezt az ismeretlen számot.

Olvassuk el a szabály első részét:

Egy szám százalékos meghatározásához el kell osztani az ismert számot a megadott százalékkal.

Ismert számunk 35, a megadott százalék pedig 7. A 35-öt elosztjuk 7-tel

35: 7 = 5

Olvassa el a szabály második részét:

és az eredményt megszorozzuk 100-zal

Eredményünk az 5-ös szám. Szorozzuk meg 5-öt 100-zal

5 × 100 = 500

Az 500 egy ismeretlen szám, amelyet meg kellett találni. Ellenőrizheti. Ehhez az 500-ból 7%-ot találunk. Ha mindent jól csináltunk, akkor 35-öt kell kapnunk

500: 100 = 5

5 × 7 = 35

35-öt kaptunk. Tehát a probléma helyesen megoldódott.

A szám százalékos meghatározásának elve megegyezik az egész szám tört alapján történő megállapításával. Ha a százalékok eleinte zavaróak és zavaróak, akkor a százalékos bejegyzés lecserélhető egy tört bejegyzésre.

Például az előző probléma így fogalmazható meg: a 35-ös szám valami ismeretlen számból származik. Keresse meg ezt az ismeretlen számot. Már tudjuk, hogyan kell megoldani az ilyen problémákat. Ez egy szám keresése tört használatával. Ahhoz, hogy egy számot tört használatával találjunk meg, ezt a számot elosztjuk a tört számlálójával, és a kapott eredményt megszorozzuk a tört nevezőjével. Példánkban a 35-öt el kell osztani 7-tel, és a kapott eredményt meg kell szorozni 100-zal

35: 7 = 5

5 × 100 = 500

A jövőben százalékokkal kapcsolatos problémákat fogunk megoldani, amelyek közül néhány nehéz lesz. Ahhoz, hogy először ne bonyolítsuk a tanulást, elég, ha meg tudjuk találni egy szám százalékos arányát, és a számot százalékosan.

Önálló megoldási feladatok

Tetszett a lecke?
Csatlakozzon új VKontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció állami szerveinek nyilvános kérelmei vagy kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai jellegűeket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A névtelen A szám 56%-kal kisebb, mint B, ami 2,2-szer kisebb, mint C. Hány százaléka C számnak az A számhoz viszonyítva? NMitra A = B - 0,56 ⋅ B = B ⋅ (1 - 0,56) = 0,44 ⋅ B B = A: 0,44 C = 2,2 ⋅ B = 2,2 ⋅ A: 0,44 = 5 ⋅ A C 5-ször több A C 5-ször több A 0%-kal több A C Segítség. 2001-ben a bevétel 2 százalékkal nőtt 2000-hez képest, bár a tervek szerint megduplázódott. Hány százalékos volt a terv alulteljesítése? NMitra A - 2000 B - 2001 B = A + 0,02A = A ⋅ (1 + 0,02) = 1,02 ⋅ A B = 2 ⋅ A (terv) 2 - 100% 1,02 - x% x = 1,02 ⋅ = 100:% 2 = 100 (terv teljesült) 100 - 51 = 49% (terv nem teljesült) Anonymous Segítsen a kérdés megválaszolásában. A görögdinnye 99% nedvességet tartalmaz, de szárítás után (több napig tegyük napra) nedvességtartalma 98%. Hány %-kal változik a görögdinnye SÚLYA szárítás után? Ha matematikailag kiszámolod, akkor kiderül, hogy a görögdinnye teljesen kiszáradt. Például: 20 kg tömegnél a víz a tömeg 99% -át teszi ki, azaz a száraz tömeg 1% = 0,2 kg. Itt a görögdinnye folyadékot veszít, és már 98%, ezért a száraz tömeg 2%. De a száraz tömeg a vízveszteség miatt nem változhat, így 0,2 kg marad. 2%=0,2 => 100%=10 kg. Anonymous Kérem, mondja meg, hogyan kell kiszámítani magát a százalékot a 2 érték tartományában? Tegyük fel, hány százaléka van a 37-es számnak a 22-63 értéktartományban? Szükségem van egy képletre az alkalmazáshoz; régebben pár perc alatt megoldottam az ilyen problémákat, de most összezsugorodott az agyam). Kisegít. NMitra Nálam így működik: százalék = (szám - z0) ⋅ 100: (z1-z0) z0 - a tartomány kezdeti értéke z1 - a tartomány végső értéke Például x = (37-22) ⋅ 100 : (63-22) = 1500 : 41 = 37% Az alábbi példában ez konvergál

0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Névtelen a - aktuális dátum b - a futamidő kezdete c - a futamidő vége (a-b) ⋅ 100: (c-b) Anonymous Egy asztal és szék együtt 650 rubelbe kerül. Miután az asztal 20%-kal olcsóbb lett, a szék pedig 20%-kal drágult, együtt 568 rubelt kezdtek fizetni. Keresse meg az asztal kikiáltási árát, induljon. a szék ára. NMitra asztal ára - x szék ára - y 0,8x + 1,2 év = 568 0,8x = 568 - 1,2 év x = (568 - 1,2 év) : 0,8 = 710 - 1,5 év x + y = 650 y = 650 - 0 - ( = 6 710 - 1,5 év) = -60 + 1,5 év y - 1,5 év = -60 0,5 év = 60 év = 120 x = 710 - 1,5 ⋅ 120 = 530 Névtelen kérdés. A parkolóban autók és teherautók álltak. 1,15-ször több a személygépkocsi. Hány százalékkal több a személygépkocsi, mint a teherautó? NMitra 15%-kal. Kesha Segíts, kérlek. Már dagad a fejem... 70.000-ért hoztak árut.Az áru más. 23 faj. Természetesen vételáraik 210 rubeltől változnak. legfeljebb 900 dörzsölje. Összes szállítási költség stb. = 28 000 rubel. Hogyan számíthatom ki most ezeknek a különböző áruknak a költségét? Mennyiség 67 db. És hozzá akarok adni 50 százalékot és eladni őket. Hogyan számíthatom ki az 50%-os felárat minden terméktípusra? Előre is köszönöm. Üdvözlettel: KESHA. NMitra Tegyük fel, hogy 4 árut hozott (35 rubel, 16 rubel, 18 rubel, 1 rubel), összesen 70 rubelért. 20 rubelt költöttünk szállítási költségekre stb. Az egyes termékek százalékos aránya a teljes összegben 70 rubel - 100% 35 rubel - x% x = 35 ⋅ 100: 70 = 50% Önköltség 35 rubel + 10 rubel = 45 rubel

35	50%	10	45
16	23%	4,6	20,6
18	26%	5,2	23,2
1	1%	0,2	1,2
70	100%	20	90

50%-os felár önköltségi árra 45 rubel - 100% x rubel - 150% x = 45 ⋅ 150: 100 = 45 ⋅ 1,5 = 67,5 rubel

35	50%	10	45	67,5
16	23%	4,6	20,6	30,9
18	26%	5,2	23,2	34,8
1	1%	0,2	1,2	1,8
70	100%	20	90	135

Tigran Hovhannisyan Kesha, két módja van. Az első módszer leírása a felső megjegyzésben található. A második módszer az, hogy kivesszük a szállítási mennyiséget, és elosztjuk az áru mennyiségi mennyiségével (az Ön esetében 67), azaz 28 000: 67 = 417,91 rubel termékenként. Itt adjunk hozzá 418-at (417,91) az áruk költségéhez (Itt sok árnyalatot lehet figyelembe venni, de általában így néz ki). Névtelen És kérlek segíts számolni. Egy ember 1 ezer eurót adott az általános üzletfejlesztésre, egy másik - 3600. Több hónapos munka után 14500 lett az összeg. Hogyan kell osztani??? Mennyit kinek)) Nem vagyok matematikus, egyszerűen elmagyaráztam. A kezdeti összeg több mint háromszorosára nőtt. Könnyű kiszámolni: 14 500 elosztva 4600-zal, 3,152-t kapunk. Ez az a szám, amellyel meg kell szorozni a befektetett összeget: 1 ezer - 3 152 3600 szorozva 3,152-vel = 11 347 Ez egyszerű) Képlet nélkül. NMitra Gondolkozz jól! 100% - 1000 + 3600 x% - 1000 x = 1000 ⋅ 100: 4600 = 21,73913% (százalékos részesedése annak eredeti tőkéjében, aki 1000 €-t adott) 100% - 14500 21,70 x 1000 21,70 x 3,1 3,9 100 = 3152,17 € (aki 1000 €-t adott) 14500 - 3152,17 = 11347,83 € (aki 3600 €-t adott)

Ma a modern világban lehetetlen érdeklődés nélkül megtenni. A gyerekek már az iskolában is, 5. osztálytól kezdődően megtanulják ezt a fogalmat, és ezzel a mennyiséggel oldanak meg problémákat. Érdeklődés a modern struktúrák minden területén megtalálható. Vegyük például a bankokat: a hitel túlfizetés összege a megállapodásban meghatározott összegtől függ; a nyereség nagysága is befolyásolja, ezért létfontosságú tudni, hogy hány százalék.

Kamat koncepció

Az egyik legenda szerint a százalék egy hülye elírás miatt jelent meg. A betűszedőnek a 100-as számot kellett volna beállítania, de rosszul tette, és így állította be: 010. Emiatt az első nulla kissé megemelkedett, a második pedig leesett. Az egyik fordított perjel lett. Az ilyen manipulációk a százalékjel megjelenését eredményezték. Természetesen ennek a mennyiségnek az eredetéről más legendák is keringenek.

A hinduk már az 5. században tudtak a kamatról. Európában, amellyel koncepciónk szorosan összefügg, egy évezreddel később jelentek meg. Az Óvilágban először egy belga tudós, Simon Stevin vezette be az érdeklődést. Ugyanez a tudós 1584-ben adott ki először egy mennyiségi táblázatot.

A „százalék” szó a latinból pro centumból származik. Ha lefordítja a kifejezést, akkor azt kapja, hogy „száztól”. Tehát a százalék bármely érték vagy szám századrészét jelenti. Ezt az értéket a % jel jelzi.

A százalékoknak köszönhetően lehetővé vált egy egész részeinek összehasonlítása különösebb nehézség nélkül. A részvények megjelenése nagymértékben leegyszerűsítette a számításokat, ezért váltak olyan általánossá.

Törtek átalakítása százalékra

A tizedes tört százalékossá alakításához szükség lehet az úgynevezett százalékos képletre: a törtet megszorozzuk 100-zal, és az eredményhez hozzáadjuk a %-ot.

Ha egy közönséges törtet százalékossá kell konvertálnia, először tizedesvesszővé kell tennie, majd használja a fenti képletet.

Százalékok átalakítása törtekre

Mint ilyen, a százalékos képlet meglehetősen önkényes. De tudnia kell, hogyan alakíthatja át ezt az értéket tört kifejezéssé. A törtek (százalék) tizedesjegyekké alakításához el kell távolítania a % jelet, és el kell osztania a mutatót 100-zal.

Képlet egy szám százalékos arányának kiszámításához

1) 40 x 30 = 1200.

2) 1200: 100 = 12 (diákok).

Válasz: 12 diák írta a tesztet „5”-re.

Használhat egy kész táblázatot, amely bemutat néhány törtrészt és a hozzájuk tartozó százalékokat.

Kiderült, hogy egy szám százalékos képlete így néz ki: C = (A∙B) / 100, ahol A az eredeti szám (ebben a konkrét példában 40); B - százalékok száma (ebben a feladatban B = 30%); C a kívánt eredmény.

Képlet egy szám százalékból történő kiszámításához

A következő feladat bemutatja, hogy mi a százalék, és hogyan találhatunk számot százalékos értékkel.

A ruhagyár 1200 ruhát gyártott, ennek 32%-a új stílusú ruha volt. Hány új stílusú ruhát gyártott a ruhagyár?

1. 1200: 100 = 12 (ruhák) - az összes kiadott termék 1%-a.

2. 12 x 32 = 384 (ruhák).

Válasz: a gyár 384 új stílusú ruhát gyártott.

Ha meg kell találnia egy számot százalékos aránya alapján, használja a következő képletet: C = (A∙100) / B, ahol A az elemek teljes száma (ebben az esetben A = 1200); B - százalékok száma (egy konkrét feladatban B = 32%); C a kívánt érték.

Szám növelése vagy csökkentése egy megadott százalékkal

A tanulóknak meg kell tanulniuk, hogy mennyi a százalék, hogyan kell megszámolni őket, és különféle problémákat kell megoldaniuk. Ehhez meg kell értenie, hogyan nő vagy csökken egy szám N%-kal.

Gyakran feladatokat adnak, és az életben meg kell találnia, hogy egy szám mennyi lesz egy adott százalékkal növelve. Például, ha adott az X szám. Meg kell találnia, hogy X értéke mekkora lesz, ha azt mondjuk 40%-kal növeljük. Először 40%-ot kell törtté alakítania (40/100). Tehát az X szám növelésének eredménye a következő lesz: X + 40% ∙ X = (1+40 / 100) ∙ X = 1,4 ∙ X. Ha X helyett tetszőleges számot helyettesít, vegye például 100-at, akkor az egész kifejezés egyenlő lesz: 1,4 ∙ X = 1,4 ∙ 100 = 140.

Körülbelül ugyanezt az elvet alkalmazzuk egy szám adott százalékkal való csökkentésekor. Számításokat kell végezni: X - X ∙ 40% = X ∙ (1-40 / 100) = 0,6 ∙ X. Ha az érték 100, akkor 0,6 ∙ X = 0,6. 100 = 60.

Vannak feladatok, ahol ki kell deríteni, hogy egy szám hány százalékkal nőtt.

Például adott a feladatnak: A sofőr 80 km/órás sebességgel haladt végig a pálya egyik szakaszán. Egy másik szakaszon 100 km/órára nőtt a vonat sebessége. Hány százalékkal nőtt a vonat sebessége?

Mondjuk 80 km/h - 100%. Ezután számításokat végzünk: (100% ∙ 100 km/h) / 80 km/h = 1000: 8 = 125%. Kiderült, hogy 100 km/h az 125%. Ahhoz, hogy megtudja, mennyivel nőtt a sebesség, ki kell számítania: 125% - 100% = 25%.

Válasz: 25%-kal nőtt a vonat sebessége a második szakaszon.

Arány

Gyakran vannak olyan esetek, amikor a százalékokkal kapcsolatos problémákat arányokkal kell megoldani. Valójában az eredmény megtalálásának ez a módszere nagyban leegyszerűsíti a diákok, tanárok és mások feladatát.

Tehát mi az arány? Ez a kifejezés két arány egyenlőségére vonatkozik, amelyet a következőképpen fejezhetünk ki: A / B = C / D.

A matematika tankönyvekben van egy ilyen szabály: a szélső tagok szorzata egyenlő a középtagok szorzatával. Ezt a következő képlet fejezi ki: A x D = B x C.

Ennek a megfogalmazásnak köszönhetően bármilyen szám kiszámítható, ha az arány másik három tagja ismert. Például A egy ismeretlen szám. Ahhoz, hogy megtalálja, szüksége van rá

Amikor az arányos módszerrel oldja meg a problémákat, meg kell értenie, hogy melyik számból kell százalékot venni. Vannak esetek, amikor különböző értékből kell részvényeket venni. Összehasonlítás:

1. A bolti értékesítés befejezése után a póló ára 25% -kal nőtt, és 200 rubelt tett ki. Mennyi volt az ár az akció alatt?

Ebben az esetben a szükséges érték 200 rubel, ami a póló eredeti (eladási) árának 125%-ának felel meg. Ezután, hogy megtudja annak költségeit az eladás során, szüksége van (200 x 100): 125. Az eredmény 160 rubel.

2. A Vicencia bolygón 200 000 lakos él: a Naavi humanoid faj emberei és képviselői. A na'avi-k Vicencia teljes lakosságának 80%-át teszik ki. Az emberek 40%-a a bánya kiszolgálásával foglalkozik, a többiek a tettanium kitermelésével foglalkoznak. Hányan bányásznak tetánt?

Először is meg kell találnia számszerű formában az emberek számát és a Naavi-k számát. Tehát a 200 000 80%-a 160 000-nek felel meg. Így él a humanoid faj képviselője Vicencián. A létszám ennek megfelelően 40 000. Ebből 40%, azaz 16 000 fő szolgálja ki a bányát. Ez azt jelenti, hogy 24 000 ember foglalkozik tettanium bányászattal.

Egy szám egy bizonyos százalékos ismételt változása

Amikor már világos, hogy hány százalék, akkor tanulmányoznia kell az abszolút és relatív változás fogalmát. Az abszolút konverzió azt jelenti, hogy egy számot egy adott számmal növelünk. Tehát X 100-zal nőtt. Nem számít, mivel helyettesítjük X-et, ez a szám továbbra is 100-zal nő: 15 + 100; 99,9 + 100; a + 100 stb.

Relatív változás alatt egy érték bizonyos százalékos növekedését értjük. Tegyük fel, hogy X 20%-kal nőtt. Ez azt jelenti, hogy X egyenlő lesz: X+X∙20%. Relatív változásról beszélünk, ha felére vagy harmadára növekszik, negyedére csökken, 15%-os növekedésről beszélünk stb.

Van még egy fontos szempont: ha az X értékét 20%-kal, majd további 20%-kal növeljük, akkor a teljes növekedés 44%, de nem 40%. Ez a következő számításokból látható:

1. X + 20% ∙ X = 1,2 ∙ X

2. 1,2 ∙ X + 20% ∙ 1,2 ∙ X = 1,2 ∙ X + 0,24 ∙ X = 1,44 ∙ X

Ez azt mutatja, hogy X 44%-kal nőtt.

Példák százalékokkal kapcsolatos problémákra

1. A 36-os szám hány százaléka a 9-es?

A szám százalékos arányának meghatározására szolgáló képlet szerint meg kell szoroznia 9-et 100-zal, és el kell osztania 36-tal.

Válasz: A 9-es szám a 36-nak a 25%-a.

2. Számítsa ki a C számot, amely 40 10%-a!

A szám százalékos meghatározásának képlete szerint 40-et meg kell szorozni 10-zel, és el kell osztani az eredményt 100-zal.

Válasz: A 4-es szám a 40 10%-a.

3. Az első partner 4500 rubelt fektetett be az üzletbe, a második - 3500 rubelt, a harmadik - 2000 rubelt. 2400 rubel nyereséget értek el. A nyereséget egyenlő arányban osztották fel. Mennyi rubelt veszített az első partner ahhoz képest, hogy mennyit kapott volna, ha a bevételt a befektetett pénzeszközök százalékos aránya szerint osztották volna el?

Tehát együtt 10 000 rubelt fektettek be. Mindegyikük bevétele egyenlő arányban 800 rubel volt. Ahhoz, hogy megtudja, mennyit kellett volna kapnia az első partnernek, és ennek megfelelően mennyit veszített, meg kell találnia a befektetett pénzeszközök százalékos arányát. Ezután meg kell találnia, hogy ez a hozzájárulás rubelben mennyi hasznot hoz. És az utolsó dolog az, hogy le kell vonni 800 rubelt a kapott eredményből.

Válasz: az első partner 280 rubelt veszített a nyereség felosztása során.

Egy kis közgazdaságtan

Ma meglehetősen népszerű kérdés egy bizonyos időszakra szóló kölcsön igénylése. De hogyan válasszunk jövedelmező hitelt, hogy ne fizessen túl? Először is meg kell nézni a kamatlábat. Kívánatos, hogy ez a szám a lehető legalacsonyabb legyen. Ezt követően a hitel ellenében kell alkalmazni.

A túlfizetés mértékét főszabály szerint a tartozás összege, a kamatláb és a visszafizetés módja befolyásolja. Vannak járadékok és Az első esetben a kölcsönt minden hónapban egyenlő részletekben törlesztik. Azonnal nő a tőkekölcsönt fedező összeg, és fokozatosan csökken a kamatköltség. A második esetben a hitelfelvevő állandó összegeket fizet a kölcsön törlesztésére, amelyhez a tőketartozás egyenlege után kamatot adnak. A teljes kifizetés összege havonta csökken.

Most mindkét módszert figyelembe kell venni, így a járadék opciónál nagyobb lesz a túlfizetés összege, a differenciál opciónál pedig az első befizetések összege. Természetesen a kölcsön feltételei mindkét esetben azonosak.

Következtetés

Szóval százalékok. Hogyan kell megszámolni őket? Elég egyszerű. Néha azonban nehézségeket okozhatnak. Ezt a témát az iskolában kezdik tanulmányozni, de mindenkit utolér a hitelek, betétek, adók stb. területén. Ezért tanácsos elmélyülni ennek a kérdésnek a lényegében. Ha még mindig nem tudja elvégezni a számításokat, sok online számológép segít megbirkózni a feladattal.

1% a szám századrésze.

1% = 0,01.

Egy szám százalékos arányának megkeresése.
Egy szám százalékos arányának meghatározásához kifejezheti a százalékot tizedes törtként, és megszorozhatja a számot a kapott tizedes törttel.

Szám keresése százaléka alapján.
Ha egy számot százalékosan szeretne megkeresni, akkor a százalékot tizedes törtként ábrázolhatja, és eloszthatja az adott számot a kapott tizedes törttel.

Ha meg szeretné tudni, hogy az egyik szám hány százaléka a másiknak, akkor az egyik számot eloszthatja a másikkal, és a kapott szorzatot megszorozhatja 100-zal.

Hogyan oldjuk meg a százalékokkal kapcsolatos problémákat. Példák.

Egy szám százalékos arányának megállapítása összefügg a szám törtrészének megállapításával. A százalék a közönséges tört írásának speciális módja, ezért a százalék fogalmának feltárását a közönséges tört fogalmának megértésével kell elkezdenie.

Vegyünk például néhány közönséges törtet. Mi a jelentése az egyes ilyen bejegyzéseknek?
- Ezek példák a megfelelő közönséges törtekre. Mindegyik nevezője azt mutatja, hogy egy adott valós vagy absztrakt objektumot hány egyenlő részre kell felosztani, a számláló pedig azt, hogy hány ilyen részt kell felvenni. Vegyünk példának egy megfelelő törtet. Például. Ennek a kifejezésnek a jelentése a következőképpen tárható fel. Egy bizonyos valós tárgyat 3 egyenlő részre osztottak, és 2 részt vettek ki belőlük.

Valódi tárgyként vehet például egy téglalapot.

Ez a kifejezés a és b hányadosa, ahol b nem egyenlő 0-val.

Ez az a és b számok aránya, ahol b nem egyenlő 0-val.

Ez egy közönséges tört. a a számláló, b a nevező (b nem egyenlő 0-val).

1. példa A 200 literes hordó űrtartalma megtelt vízzel. Mi ennek a javaslatnak az értelme?
- ez a tört azt jelenti, hogy egy bizonyos tárgyat 5 egyenlő részre osztottak, és 2 részt vettek ki belőlük. Ebben a feladatban egy hordó térfogata 200 liter, ezért
200:5 = 40,
402 = 80.
Egy hordóba 80 liter vizet öntöttek.
A fenti példa egy tipikus példa egy szám törtrészének megtalálására.

Egy szám törtrészének megtalálásához meg kell szoroznia a számot ezzel a törttel.

Most áttérhetünk a százalékokra.

A százalék fogalmát a következőképpen definiáljuk: egy szám 1%-a a szám századrésze, azaz 1% = 0,01.

Aztán a mondat jelentése a b szám a%-aígy magyarázható. Egy bizonyos objektum (olyan érték, amelynek értéke egyenlő b egységek) 100 egyenlő részre osztottuk, és vettek belőlük a alkatrészek.

2. példa Masának 400 rubel volt. Ennek az összegnek a 24%-át költötte el. Mi ennek a kijelentésnek az értelme?
Mivel a 24% = 0,24, a 0,24 pedig azt jelenti, hogy egy bizonyos tárgyat 100 egyenlő részre osztottak, és 24 részt vettek ki belőlük. Ebben az esetben a tárgy egy 400 rubelnek megfelelő pénzösszeg, ezért
400: 100 =4,
424 = 96.
Masha 96 rubelt költött.
A fenti példa egy tipikus példa egy szám százalékos arányának meghatározására.

3. példa Meg kell találni R% számból b .
Legyen x az a szám, amelyet meg kell találnunk.
p% = 0,01p,
x = b 0,01p

Egy szám százalékos arányának meghatározásához a százalékot tizedes törtként kell megadnia, és ezt a számot meg kell szoroznia ezzel a tizedes törttel.

Egy másik megközelítés ehhez a problémához. Használhatja az arány fogalmát és tulajdonságait. Ha emlékezünk arra, hogy az arány két arány egyenlősége, és két szám aránya közönséges tört, akkor ez a módszer is a közönséges tört fogalmához kapcsolódik.

b - 100%,
x - р%,
Megvan az arány:
b: 100 = x: p, (b = 100, mint x = p)

4. példa Legyenek számok a És b , és a >b Aztán a szám a több szám b tovább %.

Közelítsük meg ezt a problémát egy kicsit másképp. Megvizsgálunk egy egyszerű speciális esetet, például ezt: „Hány százalékkal nagyobb a 10-es szám, mint a 2?”

1. Vonja ki a kisebb számot a nagyobb számból. 10 - 2 = 8. Ekkor 10 nagyobb, mint 2 x 8.

2. Határozza meg a talált szám és a kisebb szám arányát! 8: 2 = 4 két szám aránya!

3 Adja meg az arányt százalékban 4100 = 400%.

A 10-es szám 400%-kal nagyobb, mint a 2.

Ha a 8-at elosztjuk 10-zel, akkor egy arányt fogunk találni, amely megmutatja, hogy 10 2 melyik része kisebb 10-nél (itt az összehasonlítás a 10-es számmal történik.

A 2-es szám 80%-kal kisebb, mint a 10-es.

5. példa. A traktoros 6 hektárt szántott fel, ez a teljes tábla. Mekkora a teljes mező területe?
Ez egy tipikus probléma a szám törtéből való megtalálásában. Legyen a teljes mező területe egyenlő x, akkor az x= 6 egyenletet kapjuk. Honnan x = 6:; x = 26. A tábla területe 26 hektár.

Ahhoz, hogy egy számot törtével találjunk meg, el kell osztani az adott törtnek megfelelő számot a törttel.

6. példa. Adott egy számot b, ami annyit tesz ki p% számból a. Keresse meg a számot A.

p% = 0,01p
b = 0,01pa
a = b: (0,01p)

Adott egy számot b , ami p% számból a .

Keresse meg a számot A .

a - 100%

b - p%

a: 100 = b: p

Összetett kamat képlete.

Ha a befizetett összeg az a pénzegységek, valamint a banki költségek R% évente, majd át n évben a betét összege pénzegység lesz, ill
a(1+0,01p)n pénzegységek.

7. példa. A ház felépítése 9800 rubelbe került, aminek 35%-át a munkáért, a többit az anyagokért fizették. Hány rubelbe kerültek az anyagok?

Fizetve a munkáért:

0,359800 = 3430.

Ezért az anyagok ára: 9800 - 3430 = 6370.

Válasz: 6370 dörzsölje.

8. példa. A tartályba 37,4 tonna benzint öntöttek, ami után a tartály kapacitásának 6,5%-a maradt betöltetlenül. Mennyi benzint kell tölteni a tankba a feltöltéshez?

Ha a tartály feltöltetlen része a kapacitás 6,5%-a, akkor a feltöltött rész: 100% - 6,5% = 93,5%. Ezután, ha x a benzin tömege, amelyet még a tartályba kell tölteni, akkor megvan az arány

ahol .

Válasz: 2,6 tonna.

9. példa. Keresse meg a számot, tudva, hogy 25%-a egyenlő a 640 45%-ával.

Legyen x a kívánt szám. Nekünk van

0,25x = 0,45640.

Válasz: 1152.

10. példa. Az a szám a b szám 92%-a. Ha a b számot 700-zal növeljük, akkor az új szám 9%-kal nagyobb lesz az a számnál. Keresse meg az a és b számokat.

A feladatfeltételekből egy egyenletrendszert kapunk:

A kapott rendszert megoldva azt kapjuk, hogy a = 230000, b = 250000.

Válasz: 230000; 250 000.

11. példa. Az első szám a második 50%-a. Az első hány százaléka a második?

Jelöljük a második számot x-szel, ekkor az első szám 0,5x. Megtudni, hogy az x szám hány százaléka a 0,5x-es számnak; Készítsünk arányt:

amelyből azt találjuk

Válasz: 200%.

12. példa. A líceumnak 260 tanulója van, ebből 10%-a sikertelen. Bizonyos számú sikertelen hallgató kizárása után az arányuk 6,4%-ra csökkent. Hány diákot zártak ki?

A kiutasítás előtt a sikertelen hallgatók száma a kiutasítás előtt volt

x embert utasítsanak ki. Akkor már csak 260 diák maradt a líceumban, ebből 26 nem volt sikeres. Van egy arányunk

260 – x – 100%,

(260 – x)0,064=(26 – x)100,

A kapott egyenletet megoldva x = 10-et kapunk.

13. példa. Hány százalékkal nagyobb a 250-es szám, mint a 200?

Tegyünk két dolgot.

1) Állapítsa meg, hogy a 250 t hány százaléka van a 200-nak:

2) Mivel ebben a példában a 200-as szám 100%, akkor a 250-es szám 125%-kal nagyobb, mint a 200 -100% = 25%.

Válasz: 25%.

14. példa. Hány százalékkal kisebb a 200-as szám, mint a 250?

1) Nézze meg, hány százaléka van a 200-as számnak a 250-ből (az előző példával ellentétben itt a 250-et kell 100%-nak venni!):

2) A 200-as szám 100%-kal kisebb, mint a 250 - 80% = 20%.

Válasz: 20%.

15. példa. A tégla hossza 30%-kal nőtt, szélessége 20%-kal, magassága 40%-kal csökkent. Ez növelte vagy csökkentette a tégla térfogatát, és hány százalékkal?

Legyen a tégla kezdeti hossza x, szélessége y, magassága z. Ekkor a tégla kezdeti térfogata: V 1 = xyz. Új téglaméretek: 1,3x; 1,2у; 0,6z és új kötet: V 2 = 1,3x1,2y0,6z = 0,936xyz. V2 óta< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Válasz: 6,4%-kal csökkent.

16. példa. A termék ára 40%-kal, majd további 25%-kal csökkent. Hány százalékkal csökkent a termék ára az eredeti árhoz képest?

A termék eredeti árát jelöljük x-szel. Az első csökkentés után az ár egyenlő lesz

x - 0,4x = 0,6x.

A második árcsökkentés az új 0,6x-os ár 25%-a, így a második árcsökkentés után lesz árunk

0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.

Két árcsökkentés után a teljes árváltozás:

x - 0,45x = 0,55x.

Mivel az érték 0,55x; az x érték 55%-a, akkor a termék ára 55%-kal csökkent.

Válasz: 55%.

17. példa. A termelési egység kezdeti költsége 75 rubel volt. A gyártás első évében bizonyos százalékokkal nőtt, a második évben (a költségnövekedéshez képest) ugyanennyi százalékkal csökkent, aminek következtében 72 rubel lett. Határozza meg az egységköltség százalékos növekedését és csökkenését.

Legyen x% az egységköltség százalékos növekedése (és csökkenése). Definíció szerint a 75 x%-a 750,01x. Ekkor az első emelés után 75 + 0,75x lesz az ár.

A második évben az ár csökkenni fog

0,01x(75+0,75x) = 0,75x + 0,0075x2.

Most felírhatjuk a végső ár egyenletét

(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;

x 2 = 400; tehát x 1 = - 20, x 2 = 20.

Ennek az egyenletnek csak egy gyöke alkalmas: x 2 = 20.

Válasz: 20%.

18. példa. 10 ezer rubelt helyeztek el a bankszámlán. Miután a pénz egy évig ott hevert, 1 ezer rubelt vontak le a számláról. Egy évvel később 11 ezer rubel volt a számlán. Határozza meg, hogy a bank hány százalékot számít fel évente.

A bank évi p%-ot számoljon fel.

1) Az évi p% bankszámlán elhelyezett 10 000 rubel összege egy év alatt az összegre nő

10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 rubel.

Amikor 1000 rubelt levesznek a számláról, 9000 + 100 rubel marad ott.

2) Egy másik évben az utolsó érték a kamatfelhalmozás miatt 9000 + 100 rubel + 0,01 p (9000 + 100 rubel) = p 2 + 190 rubel + 9000 rubel értékre emelkedik.

A feltétel szerint ez az érték 11 000 rubel, tehát van egy másodfokú egyenletünk.

р 2 + 190р + 9000 = 11000;

р 2 + 190 р - 2000 = 0
, oldjuk meg ezt a másodfokú egyenletet Viette tételével, p 1 = 10, p 2 = -200.

A negatív gyök nem megfelelő.

Válasz: 10%.

19. példa. A városnak jelenleg 48 400 lakosa van. Ismeretes, hogy a város lakossága évente 10%-kal növekszik. Hány lakosa volt a városban két éve?

Tegyük fel, hogy két évvel ezelőtt a város lakosainak száma x fő volt, akkor a jelenlegi lakosok számát x-ben fejezzük ki a kamatos kamatozású képlet segítségével:

x(1+0,1) 2 = 1,21x.

A problémafelvetésből:

Válasz: 40 000 ember.