A térbeli alakzatok térfogatának kiszámításának képessége fontos számos geometriai gyakorlati probléma megoldása során. Az egyik leggyakoribb figura a piramis. Ebben a cikkben a teljes és a csonka piramisokat is megvizsgáljuk.

Piramis mint háromdimenziós figura

Mindenki ismeri az egyiptomi piramisokat, így jó ötletük van arról, hogy milyen alakról fogunk beszélni. Az egyiptomi kőépítmények azonban csak különleges esetei a piramisok hatalmas osztályának.

A vizsgált geometriai objektum általános esetben egy sokszögű alap, amelynek minden csúcsa egy adott térbeli ponthoz kapcsolódik, amely nem tartozik az alap síkjához. Ez a meghatározás egy n-szögből és n háromszögből álló ábrához vezet.

Bármely piramis n+1 lapból, 2*n élből és n+1 csúcsból áll. Mivel a szóban forgó ábra egy tökéletes poliéder, a jelölt elemek száma engedelmeskedik az Euler-egyenlőségnek:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Az alján található sokszög adja a piramis nevét, például háromszög, ötszög stb. Az alábbi képen különböző alapokkal rendelkező piramisok készlete látható.

Azt a pontot, ahol egy ábra n háromszöge találkozik, a piramis csúcsának nevezzük. Ha egy merőlegest leeresztünk róla az alapra, és a geometriai középpontban metszi, akkor egy ilyen alakot egyenesnek nevezünk. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor ferde piramis jön létre.

Szabályosnak nevezzük azt a derékszögű alakzatot, amelynek alapját egy egyenlő oldalú (egyenszögű) n-szög alkotja.

A piramis térfogatának képlete

A piramis térfogatának kiszámításához integrálszámítást használunk. Ehhez az ábrát úgy osztjuk fel, hogy az alappal párhuzamos síkokat végtelen számú vékony rétegre vágjuk. Az alábbi ábrán egy h magasságú és L oldalhosszúságú négyszög alakú gúla látható, amelyben a négyszög a metszet vékony rétegét jelöli.

Az egyes rétegek területe a következő képlettel számítható ki:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Itt A 0 az alap területe, z a függőleges koordináta értéke. Látható, hogy ha z = 0, akkor a képlet A 0 értéket ad.

A piramis térfogatának képletének megszerzéséhez ki kell számítania az integrált az ábra teljes magasságára, azaz:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Az A(z) függőséget behelyettesítve és az antiderivatívát kiszámítva a következő kifejezéshez jutunk:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Megkaptuk a piramis térfogatának képletét. A V értékének meghatározásához csak szorozza meg az ábra magasságát az alap területével, majd ossza el az eredményt hárommal.

Vegye figyelembe, hogy a kapott kifejezés bármilyen típusú piramis térfogatának kiszámítására érvényes. Vagyis ferde lehet, alapja pedig tetszőleges n-szög lehet.

és a térfogata

A fenti bekezdésben kapott általános térfogati képlet szabályos alappal rendelkező gúla esetén finomítható. Az ilyen alap területét a következő képlettel számítják ki:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Itt L egy n csúcsú szabályos sokszög oldalhossza. A pi szimbólum a pi szám.

Az A 0 kifejezést behelyettesítve az általános képletbe, megkapjuk egy szabályos piramis térfogatát:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Például egy háromszög alakú piramis esetében ez a képlet a következő kifejezést eredményezi:

V 3 = 3/12*L 2 *ó*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *ó.

Egy szabályos négyszög alakú piramis esetében a térfogatképlet a következőképpen alakul:

V 4 = 4/12*L 2 *ó*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *ó.

A szabályos piramisok térfogatának meghatározásához alapjuk oldalának és az ábra magasságának ismerete szükséges.

Csonka piramis

Tegyük fel, hogy vettünk egy tetszőleges piramist, és levágtuk a csúcsot tartalmazó oldalfelületének egy részét. A fennmaradó alakot csonka piramisnak nevezzük. Már két n-szögű alapból és n trapézből áll, amelyek összekötik őket. Ha a vágási sík párhuzamos volt az ábra alapjával, akkor egy csonka gúlát képezünk hasonló párhuzamos alapokkal. Vagyis az egyik oldalának hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy a másik oldalának hosszát megszorozzuk egy bizonyos k együtthatóval.

A fenti ábrán egy csonka szabályos látható, melynek felső bázisát az alsóhoz hasonlóan szabályos hatszög alkotja.

A fentihez hasonló integrálszámítással levezethető képlet a következő:

V = 1/3*ó*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Ahol A 0 és A 1 az alsó (nagy) és a felső (kis) bázis területei. A h változó a csonka gúla magasságát jelöli.

A Kheopsz piramis térfogata

Érdekes megoldani a legnagyobb egyiptomi piramis belsejében lévő térfogat meghatározásának problémáját.

1984-ben Mark Lehner és Jon Goodman brit egyiptológusok meghatározták a Kheopsz-piramis pontos méreteit. Eredeti magassága 146,50 méter volt (jelenleg körülbelül 137 méter). Az építmény mind a négy oldalának átlagos hossza 230,363 méter volt. A piramis alapja nagy pontossággal négyzet alakú.

Határozzuk meg ennek a kőóriásnak a térfogatát a megadott számadatokkal. Mivel a piramis szabályos négyszögletes, ezért a képlet érvényes rá:

A számokat behelyettesítve a következőket kapjuk:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

A Kheopsz-piramis térfogata közel 2,6 millió m3. Összehasonlításképpen megjegyezzük, hogy az olimpiai uszoda térfogata 2,5 ezer m 3. Vagyis a teljes Kheopsz-piramis kitöltéséhez több mint 1000 ilyen medencére lesz szüksége!

egy poliéder, amelyet a gúla alapja és egy vele párhuzamos szakasz alkot. Azt mondhatjuk, hogy a csonka piramis olyan piramis, amelynek a teteje le van vágva. Ennek a figurának számos egyedi tulajdonsága van:

• A piramis oldallapjai trapéz alakúak;
• A szabályos csonka gúla oldalsó élei azonos hosszúságúak, és ugyanolyan szögben hajlanak az alaphoz;
• Az alapok hasonló sokszögek;
• Egy szabályos csonka piramisban a lapok azonos, egyenlő szárú trapézok, amelyek területe egyenlő. Ezenkívül egy szögben dőlnek az alaphoz.

A csonka piramis oldalfelületének képlete az oldalak területének összege:

Mivel a csonka piramis oldalai trapéz alakúak, a paraméterek kiszámításához a képletet kell használni trapéz alakú terület. Normál csonka piramis esetén a terület kiszámításához más képletet is alkalmazhat. Mivel minden oldala, lapja és szöge az alapnál egyenlő, lehetséges az alap és az apotém kerülete, valamint az alapnál lévő szögből származtatni a területet.

Ha egy szabályos csonka gúlában a feltételek szerint adott az apotém (az oldal magassága) és az alap oldalainak hossza, akkor a terület a kerületek összegének félszorzatán keresztül számítható ki. az alapok és az apotém:

Nézzünk egy példát a csonka piramis oldalfelületének kiszámítására.
Adott egy szabályos ötszögletű piramis. Apothem l= 5 cm, az él hossza a nagy alapban az a= 6 cm, és a széle a kisebb alapnál van b= 4 cm. Számítsa ki a csonka gúla területét!

Először is keressük meg az alapok kerületét. Mivel egy ötszögletű piramist kapunk, megértjük, hogy az alapok ötszögek. Ez azt jelenti, hogy az alapok öt azonos oldalú figurát tartalmaznak. Keressük meg a nagyobb alap kerületét:

Ugyanígy megtaláljuk a kisebb alap kerületét is:

Most kiszámolhatjuk egy szabályos csonka piramis területét. Helyettesítsd be az adatokat a képletbe:

Így kiszámítottuk egy szabályos csonka piramis területét a kerületeken és az apotémen keresztül.

Egy másik módszer a szabályos piramis oldalfelületének kiszámítására a képlet az alapnál lévő szögeken és ezeknek az alapoknak a területén keresztül.

Nézzünk egy számítási példát. Emlékezzünk rá, hogy ez a képlet csak szabályos csonka piramisra vonatkozik.

Legyen adott egy szabályos négyszög alakú piramis. Az alsó alap széle a = 6 cm, a felsőé pedig b = 4 cm. A diéderszög az alapnál β = 60°. Határozza meg egy szabályos csonka gúla oldalfelületét.

Először is számítsuk ki az alapok területét. Mivel a piramis szabályos, az alapok minden éle egyenlő egymással. Tekintettel arra, hogy az alap négyszög, megértjük, hogy ki kell számítani a tér területe. Ez a szélesség és hosszúság szorzata, de négyzetre vetve ezek az értékek megegyeznek. Keressük meg a nagyobb alap területét:


Most a talált értékeket használjuk az oldalfelület kiszámításához.

Néhány egyszerű képlet ismeretében könnyen kiszámítottuk egy csonka gúla oldalsó trapézjának területét különféle értékek segítségével.

Az olyan poliédert, amelynek egyik lapja sokszög, a többi lap pedig közös csúcsú háromszög, piramisnak nevezzük.

Ezeket a piramist alkotó háromszögeket ún oldalsó arcok, a fennmaradó sokszög pedig alapján piramisok.

A piramis alján egy geometriai alakzat található - egy n-szög. Ebben az esetben a piramist is ún n-szén.

Olyan háromszög alakú piramist nevezünk, amelynek minden éle egyenlő tetraéder.

A piramisnak az alaphoz nem tartozó éleit ún oldalsó, és közös pontjuk az csúcs piramisok. A piramis többi élét általában ún felek az alaphoz.

A piramist az ún helyes, ha az alapjában szabályos sokszög van, és minden oldaléle egyenlő egymással.

A piramis csúcsa és az alap síkja közötti távolságot ún magasság piramisok. Azt mondhatjuk, hogy a gúla magassága az alapra merőleges szakasz, amelynek végei a gúla tetején és az alap síkján vannak.

Bármely piramisra a következő képletek érvényesek:

1) S teljes = S oldal + S fő, Ahol

S total – a piramis teljes felülete;

S oldal – az oldalfelület területe, pl. a gúla összes oldallapja területének összege;

S fő – a piramis alapjának területe.

2) V = 1/3 S alap N, Ahol

V – a piramis térfogata;

H – a piramis magassága.

Mert szabályos piramis bekövetkezik:

S oldal = 1/2 P fő h, Ahol

P main – a piramis alapjának kerülete;

h az apotém hossza, azaz a gúla tetejétől leeresztett oldallap magasságának hossza.

A gúla két sík - az alap síkja és az alappal párhuzamos vágósík - közé zárt részét ún. csonka piramis.

A gúla alapját és a gúla párhuzamos síkbeli metszetét ún okokból csonka piramis. A fennmaradó arcokat hívják oldalsó. Az alapok síkjai közötti távolságot ún magasság csonka piramis. Az alapokhoz nem tartozó éleket hívjuk oldalsó.

Ezen kívül a csonka piramis alapja hasonló n-gonok. Ha egy csonka gúla alapjai szabályos sokszögek, és minden oldaléle egyenlő egymással, akkor egy ilyen csonka gúlát ún. helyes.

Mert tetszőleges csonka piramis a következő képletek érvényesek:

1) S teljes = S oldal + S 1 + S 2, Ahol

S total – teljes felület;

S oldal – az oldalfelület területe, pl. a csonka gúla összes oldallapjának területeinek összege, amelyek trapéz alakúak;

S 1, S 2 – alapterületek;

2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 · S 2))H, Ahol

V – a csonka gúla térfogata;

H – a csonka gúla magassága.

Mert szabályos csonka piramis nálunk is van:

D oldal = 1/2 (P 1 + P 2) óra, Ahol

P 1, P 2 – az alapok kerülete;

h – apothem (az oldallap magassága, amely trapéz alakú).

Nézzünk meg néhány problémát egy csonka piramis kapcsán.

1. feladat.

Egy 10-es magasságú háromszög alakú csonka gúlában az egyik alap oldalai 27, 29 és 52. Határozzuk meg a csonka gúla térfogatát, ha a másik alap kerülete 72!

Megoldás.

Tekintsük az ábrán látható ABCA 1 B 1 C 1 csonka piramist 1.ábra.

1. A csonka gúla térfogatát a képlet segítségével találhatjuk meg

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), ahol S 1 az egyik bázis területe, megtalálható a Heron-képlet segítségével

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

mert A feladat megadja a háromszög három oldalának hosszát.

A következőt kapjuk: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54-27)(54-29)(54-52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. A piramis csonka, ami azt jelenti, hogy hasonló sokszögek vannak az alapokon. Esetünkben az ABC háromszög hasonló az A 1 B 1 C 1 háromszöghez. Ezenkívül a hasonlósági együttható megtalálható a vizsgált háromszögek kerületének arányaként, és területük aránya megegyezik a hasonlósági együttható négyzetével. Így rendelkezünk:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Ezért S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Tehát V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Válasz: 1900.

2. feladat.

Egy háromszög alakú csonka gúlában a felső alap oldalának a szemközti oldalélével párhuzamos síkot húzunk át. Milyen arányban oszlik meg egy csonka gúla térfogata, ha az alapok megfelelő oldalai 1:2 arányban vannak?

Megoldás.

Tekintsük az ABCA 1 B 1 C 1-et – egy csonka gúlát, amely az ábrán látható rizs. 2.

Mivel az alapokban az oldalak aránya 1:2, az alapok területei 1:4 arányban vannak (az ABC háromszög hasonló az A 1 B 1 C 1 háromszöghöz).

Ekkor a csonka piramis térfogata:

V = 1/3 óra · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3 óra · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, ahol S 2 – a felső alap területe, h – magasság.

De az ADEA 1 B 1 C 1 prizma térfogata V 1 = S 2 h, és ezért

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Tehát V 2: V 1 = 3: 4.

Válasz: 3:4.

3. feladat.

Egy szabályos négyszögletű csonka gúla alapjainak oldalai egyenlőek 2 és 1, magassága 3. A gúla átlóinak metszéspontján a gúla alapjaival párhuzamosan egy síkot húzunk, amely elosztja a gúlát két részre. Keresse meg mindegyik térfogatát.

Megoldás.

Tekintsük az ábrán látható ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 csonka piramist rizs. 3.

Jelöljük O 1 O 2 = x, majd OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Tekintsük a B 1 O 2 D 1 háromszöget és a BO 2 D háromszöget:

a B 1 O 2 D 1 szög egyenlő a BO 2 D függőleges szöggel;

A BDO 2 szög egyenlő a D 1 B 1 O 2 szöggel és az O 2 ВD szög egyenlő a B 1 D 1 O 2 szöggel, amely a B 1 D 1 pontban keresztben fekszik || BD és szekánsok B₁D és BD1.

Ezért a B 1 O 2 D 1 háromszög hasonló a BO 2 D háromszöghöz, és az oldalarány:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 vagy 1/2 = x/(x – 3), innen x = 1.

Tekintsük a B 1 D 1 B háromszöget és az LO 2 B háromszöget: a B szög közös, és a B 1 D 1 helyen is van egyoldalú szögpár || LM, ami azt jelenti, hogy a B 1 D 1 B háromszög hasonló a LO 2 B háromszöghez, amelyből B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, azaz.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Ekkor S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Tehát V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Válasz: 152/27; 37/27.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Piramis. Csonka piramis

Piramis egy poliéder, melynek egyik lapja sokszög ( bázis ), és az összes többi lap olyan háromszög, amelynek közös csúcsa ( oldalsó arcok ) (15. ábra). A piramist az ún helyes , ha az alapja egy szabályos sokszög, és a gúla csúcsa az alap közepébe vetül (16. ábra). Olyan háromszög alakú gúlát nevezünk, amelynek minden éle egyenlő tetraéder .

Oldalsó borda a piramis az oldallapnak az az oldala, amely nem tartozik az alaphoz Magasság A piramis a csúcsa és az alap síkja közötti távolság. Egy szabályos gúla minden oldaléle egyenlő egymással, minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A csúcsból húzott szabályos gúla oldallapjának magasságát ún apotém . Átlós szakasz A gúla egy olyan szakaszának nevezzük, amely két nem ugyanahhoz a laphoz tartozó oldalélen halad át.

Oldalsó felület piramis az összes oldallap területének összege. Teljes felület az összes oldallap és az alap területének összegének nevezzük.

Tételek

1. Ha egy gúlában az összes oldalél egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alap közelében körülírt kör középpontjába vetül.

2. Ha egy gúla minden oldaléle egyenlő hosszú, akkor a gúla teteje az alap közelében körülírt kör középpontjába kerül.

3. Ha egy gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alapba írt kör középpontjába vetül.

Egy tetszőleges piramis térfogatának kiszámításához a megfelelő képlet a következő:

Ahol V- hangerő;

S alap– alapterület;

H– a piramis magassága.

Egy szabályos piramis esetében a következő képletek helyesek:

Ahol p– alap kerület;

h a– apotém;

H- magasság;

S tele

S oldal

S alap– alapterület;

V– szabályos piramis térfogata.

Csonka piramis a gúla alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé zárt részét nevezzük (17. ábra). Szabályos csonka piramis a szabályos gúla alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé zárt részét nevezzük.

Indoklás csonka piramis - hasonló sokszögek. Oldalsó arcok – trapézok. Magasság egy csonka gúla alapjai közötti távolság. Átlós a csonka gúla egy szakasz, amely összeköti a csúcsait, amelyek nem fekszenek ugyanazon a lapon. Átlós szakasz egy csonka gúlának egy olyan sík metszete, amely két nem ugyanahhoz a laphoz tartozó oldalélen halad át.

Egy csonka piramisra a következő képletek érvényesek:

(4)

Ahol S 1 , S 2 – a felső és alsó bázis területei;

S tele– teljes felület;

S oldal– oldalsó felület;

H- magasság;

V– csonka gúla térfogata.

Szabályos csonka piramis esetén a képlet helyes:

Ahol p 1 , p 2 – az alapok kerülete;

h a– szabályos csonka gúla apotémája.

1. példa Egy szabályos háromszög alakú piramisban a diéder szöge az alapnál 60º. Határozza meg az oldalél dőlésszögének érintőjét az alap síkjához!

Megoldás. Készítsünk rajzot (18. ábra).

A piramis szabályos, ami azt jelenti, hogy az alján egyenlő oldalú háromszög van, és minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A diéder szög az alapnál a piramis oldallapjának az alap síkjához viszonyított dőlésszöge. A lineáris szög a szög a két merőleges között: stb. A piramis csúcsa a háromszög középpontjába van vetítve (a körülírt kör középpontja és a háromszög beírt köre ABC). Az oldalél dőlésszöge (pl S.B.) maga az él és az alap síkjára való vetülete közötti szög. A bordához S.B. ez a szög lesz a szög SBD. Az érintő megtalálásához ismerni kell a lábakat ÍGYÉs O.B.. Legyen a szegmens hossza BD egyenlő 3-mal A. Pont RÓL RŐL vonalszakasz BD részekre oszlik: és Attól találjuk ÍGY: Innen találjuk:

Válasz:

2. példa Határozzuk meg egy szabályos csonka négyszög alakú gúla térfogatát, ha alapjainak átlói cm és cm, magassága pedig 4 cm!

Megoldás. Egy csonka gúla térfogatának meghatározásához a (4) képletet használjuk. Az alapok területének meghatározásához meg kell találnia az alapnégyzetek oldalait, ismerve az átlójukat. Az alapok oldalai rendre 2 cm, illetve 8 cm. Ez az alapok területét jelenti, és az összes adatot behelyettesítve a képletbe, kiszámítjuk a csonka gúla térfogatát:

Válasz: 112 cm3.

3. példa Határozza meg egy szabályos háromszög alakú csonka gúla oldallapjának területét, amelynek alapjai 10 cm és 4 cm, a gúla magassága pedig 2 cm.

Megoldás. Készítsünk rajzot (19. ábra).

Ennek a piramisnak az oldallapja egy egyenlő szárú trapéz. A trapéz területének kiszámításához ismernie kell az alapot és a magasságot. Az alapok az állapot szerint vannak megadva, csak a magasság marad ismeretlen. Meg fogjuk találni, honnan A 1 E merőleges egy pontból A 1 az alsó alap síkján, A 1 D– merőlegesen A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, mivel ez a gúla magassága. Megtalálni DE Készítsünk egy további rajzot, amely a felülnézetet mutatja (20. ábra). Pont RÓL RŐL– a felső és az alsó alap középpontjának vetülete. mivel (lásd 20. ábra) és Másrészt rendben– a körbe írt sugár és OM– körbe írt sugár:

MK = DE.

A Pitagorasz-tétel szerint abból

Oldalsó arc területe:

Válasz:

4. példa A piramis alján egyenlő szárú trapéz található, melynek alapjai AÉs b (a> b). Mindegyik oldallap szöget zár be a piramis alapjának síkjával j. Határozza meg a piramis teljes felületét.

Megoldás. Készítsünk rajzot (21. ábra). A piramis teljes felülete SABCD egyenlő a területek és a trapéz területének összegével ABCD.

Használjuk azt az állítást, hogy ha a gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a csúcs az alapba írt kör középpontjába vetül. Pont RÓL RŐL– csúcsvetítés S a piramis tövében. Háromszög GYEP a háromszög ortogonális vetülete CSD az alap síkjához. A síkidom ortogonális vetületének területére vonatkozó tételt felhasználva kapjuk:

Hasonlóképpen azt jelenti Így a probléma a trapéz területének megtalálására csökkent ABCD. Rajzoljunk trapézt ABCD külön-külön (22. ábra). Pont RÓL RŐL– trapézba írt kör középpontja.

Mivel a kör trapézba írható, akkor vagy A Pitagorasz-tételből azt kapjuk,