Faktorizacija. Složeni slučajevi faktoringa polinoma

Vrlo često su brojnik i nazivnik razlomka algebarski izrazi koji se prvo moraju rastaviti na faktore, a zatim, nakon što se među njima pronađu identični, podijeliti i brojnik i imenilac s njima, odnosno smanjiti razlomak. Čitavo poglavlje udžbenika algebre za 7. razred posvećeno je zadatku faktoringa polinoma. Faktorizacija se može uraditi 3 načina, kao i kombinacija ovih metoda.

1. Primjena skraćenih formula za množenje

Kao što je poznato, do pomnožite polinom sa polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati rezultirajuće proizvode. Postoji najmanje 7 (sedam) čestih slučajeva množenja polinoma koji su uključeni u koncept. Na primjer,

Tabela 1. Faktorizacija na 1. način

2. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada

Ova metoda se zasniva na primjeni zakona distributivnog množenja. Na primjer,

Svaki član originalnog izraza podijelimo faktorom koji izvadimo i dobijemo izraz u zagradi (odnosno, rezultat dijeljenja onoga što je bilo onim što smo izvadili ostaje u zagradi). Prije svega trebate pravilno odrediti množilac, koji se mora izvaditi iz zagrade.

Zajednički faktor može biti i polinom u zagradama:

Prilikom izvođenja zadatka „faktorizacije“, morate biti posebno pažljivi sa znakovima kada ukupan faktor stavljate izvan zagrada. Za promjenu znaka svakog člana u zagradi (b - a), izvadimo zajednički faktor iz zagrada -1 , a svaki član u zagradi će biti podijeljen sa -1: (b - a) = - (a - b) .

Ako je izraz u zagradama u kvadratu (ili na bilo koji parni stepen), onda brojevi u zagradama se mogu zamijeniti potpuno slobodno, jer će se minusi izvučeni iz zagrada i dalje pretvoriti u plus kada se pomnože: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 i tako dalje…

3. Metoda grupisanja

Ponekad nemaju svi pojmovi u izrazu zajednički faktor, već samo neki. Onda možete pokušati grupni termini u zagradama tako da se iz svakog može izdvojiti neki faktor. Metoda grupisanja- ovo je dvostruko uklanjanje uobičajenih faktora iz zagrada.

4. Korištenje nekoliko metoda odjednom

Ponekad morate primijeniti ne jednu, već nekoliko metoda faktoriranja polinoma odjednom.

Ovo je sažetak teme "faktorizacija". Odaberite sljedeće korake:

• Idi na sljedeći sažetak:

S obzirom na množenje polinoma, zapamtili smo nekoliko formula, i to: formule za (a + b)², za (a – b)², za (a + b) (a – b), za (a + b)³ i za (a – b)³.

Ako se pokaže da se dati polinom poklapa s jednom od ovih formula, tada će ga biti moguće faktorizirati. Na primjer, polinom a² – 2ab + b², znamo, jednak je (a – b)² [ili (a – b) · (a – b), tj. uspjeli smo da faktoriziramo a² – 2ab + b² u 2 faktora ]; Također

Pogledajmo drugi od ovih primjera. Vidimo da polinom koji je ovdje dat odgovara formuli dobivenoj kvadriranjem razlike dva broja (kvadrat prvog broja, minus proizvod dva na prvi broj i drugi, plus kvadrat drugog broja): x 6 je kvadrat prvog broja, i prema tome , sam prvi broj je x 3, kvadrat drugog broja je posljednji član datog polinoma, tj. 1, sam drugi broj je, dakle, također 1; proizvod dva sa prvim brojem, a drugi je član –2x 3, jer je 2x 3 = 2 x 3 1. Dakle, naš polinom je dobijen kvadriranjem razlike brojeva x 3 i 1, tj. jednak je (x 3 – 12 . Pogledajmo još jedan 4. primjer. Vidimo da se ovaj polinom a 2 b 2 – 25 može smatrati razlikom kvadrata dva broja, naime kvadrat prvog broja je a 2 b 2, dakle, sam prvi broj je ab, kvadrat od drugi broj je 25, zašto je sam drugi broj 5. Stoga se naš polinom može smatrati dobijenim množenjem zbira dva broja njihovom razlikom, tj.

(ab + 5) (ab – 5).

Ponekad se dešava da u datom polinomu pojmovi nisu raspoređeni onim redom na koji smo navikli, na primjer.

9a 2 + b 2 + 6ab – mentalno možemo preurediti drugi i treći član i tada će nam postati jasno da je naš trinom = (3a + b) 2.

... (mentalno preuređujemo prvi i drugi član).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, itd.

Razmotrimo još jedan polinom

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Vidimo da je njegov prvi član kvadrat broja a, a treći je kvadrat broja 2b, ali drugi član nije proizvod dva sa prvim brojem i drugim - takav proizvod bi bio jednak 2 a 2b = 4ab. Stoga je na ovaj polinom nemoguće primijeniti formulu za kvadrat zbira dva broja. Ako bi neko napisao da je a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, onda bi to bilo netačno - potrebno je pažljivo razmotriti sve članove polinoma prije nego što na njega primijenimo faktorizaciju koristeći formule.

40. Kombinacija obje tehnike. Ponekad, kada činite polinome, morate kombinovati i tehniku ​​uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada i tehniku ​​korišćenja formula. Evo primjera:

1. 2a 3 – 2ab 2. Izvadimo prvo zajednički faktor 2a iz zagrada i dobićemo 2a (a 2 – b 2). Faktor a 2 – b 2 se, pak, prema formuli razlaže na faktore (a + b) i (a – b).

Ponekad morate više puta koristiti tehniku ​​dekompozicije formule:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Vidimo da prvi faktor a 2 + b 2 ne odgovara nijednoj od poznatih formula; Štaviše, prisjećajući se posebnih slučajeva dijeljenja (tačka 37), ustanovit ćemo da se a 2 + b 2 (zbir kvadrata dva broja) uopće ne može faktorizirati. Drugi od rezultujućih faktora a 2 – b 2 (razlika kvadratom dva broja) razlaže se na faktore (a + b) i (a – b). dakle,

41. Primjena posebnih slučajeva podjele. Na osnovu paragrafa 37, možemo odmah napisati da je npr.

Faktoriranje jednačine je proces pronalaženja onih pojmova ili izraza koji, kada se pomnože, dovode do početne jednačine. Faktoring je korisna vještina za rješavanje osnovnih algebarskih problema i postaje gotovo neophodna kada se radi s kvadratnim jednadžbama i drugim polinomima. Faktoring se koristi za pojednostavljenje algebarskih jednadžbi kako bi se lakše riješile. Faktoring vam može pomoći da eliminišete određene moguće odgovore brže nego što biste to učinili rješavanjem jednadžbe ručno.

Koraci

Faktoring brojeva i osnovnih algebarskih izraza

1. Faktoring brojevi. Koncept faktoringa je jednostavan, ali u praksi faktoring može biti izazovan (ako je data složena jednačina). Dakle, prvo, pogledajmo koncept faktoringa koristeći brojeve kao primjer, nastavimo s jednostavnim jednadžbama, a zatim prijeđimo na složene jednadžbe. Faktori datog broja su brojevi koji, kada se pomnože, daju originalni broj. Na primjer, faktori broja 12 su brojevi: 1, 12, 2, 6, 3, 4, jer je 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Isto tako, faktore broja možete zamisliti kao njegove djelitelje, odnosno brojeve kojima je broj djeljiv.
   • Pronađite sve faktore broja 60. Često koristimo broj 60 (na primjer, 60 minuta u satu, 60 sekundi u minuti, itd.) i ovaj broj ima prilično veliki broj faktora.
     • 60 množitelja: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

2. Zapamtite: termini izraza koji sadrže koeficijent (broj) i varijablu također se mogu faktorizirati. Da biste to učinili, pronađite faktore koeficijenta za varijablu. Znajući kako da faktorizujete termine jednačina, možete lako pojednostaviti ovu jednačinu.

   • Na primjer, pojam 12x može se napisati kao proizvod 12 i x. Takođe možete napisati 12x kao 3(4x), 2(6x), itd., razlažući 12 na faktore koji vam najbolje odgovaraju.
     • Možete se baviti 12x više puta zaredom. Drugim riječima, ne biste trebali stati na 3(4x) ili 2(6x); nastavite proširenje: 3(2(2x)) ili 2(3(2x)) (očigledno 3(4x)=3(2(2x)), itd.)

3. Primijenite distributivno svojstvo množenja na faktorske algebarske jednadžbe. Znajući kako da faktorizujete brojeve i izraze (koeficijente sa varijablama), možete pojednostaviti jednostavne algebarske jednačine pronalaženjem zajedničkog faktora broja i izraza. Obično, da biste pojednostavili jednačinu, morate pronaći najveći zajednički faktor (GCD). Ovo pojednostavljenje je moguće zbog distributivnog svojstva množenja: za bilo koje brojeve a, b, c, jednakost a(b+c) = ab+ac je tačna.

   • Primjer. Faktorirajte jednačinu 12x + 6. Prvo, pronađite gcd od 12x i 6. 6 je najveći broj koji dijeli i 12x i 6, tako da možete činiti ovu jednačinu sa: 6(2x+1).
   • Ovaj proces važi i za jednačine koje imaju negativne i razlomke. Na primjer, x/2+4 se može rastaviti u 1/2(x+8); na primjer, -7x+(-21) se može rastaviti u -7(x+3).

   Faktoring kvadratne jednadžbe

   1. Uvjerite se da je jednadžba data u kvadratnom obliku (ax 2 + bx + c = 0). Kvadratne jednadžbe imaju oblik: ax 2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c numerički koeficijenti različiti od 0. Ako vam je data jednačina s jednom promjenljivom (x) i u ovoj jednačini postoji jedan ili više članova s promjenljivom drugog reda, možete premjestiti sve članove jednačine na jednu stranu jednačine i postaviti je jednaku nuli.

      • Na primjer, data jednačina: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Ovo se može pretvoriti u jednačinu x 2 + 6x + 9 = 0, koja je kvadratna jednačina.
      • Jednačine sa varijablom x velikog reda, na primjer, x 3, x 4, itd. nisu kvadratne jednadžbe. To su kubične jednadžbe, jednačine četvrtog reda i tako dalje (osim ako se takve jednadžbe ne mogu pojednostaviti u kvadratne jednačine s promjenljivom x podignutom na stepen 2).

   2. Kvadratne jednadžbe, gdje je a = 1, proširene su u (x+d)(x+e), gdje je d*e=c i d+e=b. Ako kvadratna jednadžba koja vam je data ima oblik: x 2 + bx + c = 0 (to jest, koeficijent od x 2 je 1), tada se takva jednačina može (ali nije zagarantovana) proširiti na gore navedene faktore. Da biste to učinili, morate pronaći dva broja koja, kada se pomnože, daju "c", a kada se zbroje, "b". Kada pronađete ova dva broja (d i e), zamijenite ih u sljedeći izraz: (x+d)(x+e), koji, kada otvorite zagrade, vodi do originalne jednačine.

      • Na primjer, data je kvadratna jednačina x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 i 3+2=5, tako da možete faktorisati ovu jednačinu u (x+3)(x+2).
      • Za negativne termine napravite sljedeće manje promjene u procesu faktorizacije:
        • Ako kvadratna jednadžba ima oblik x 2 -bx+c, onda se širi u: (x-_)(x-_).
        • Ako kvadratna jednadžba ima oblik x 2 -bx-c, onda se širi u: (x+_)(x-_).
      • Napomena: Razmaci se mogu zamijeniti razlomcima ili decimalima. Na primjer, jednačina x 2 + (21/2)x + 5 = 0 je proširena u (x+10)(x+1/2).

   3. Faktorizacija metodom pokušaja i grešaka. Jednostavne kvadratne jednadžbe se mogu rastaviti jednostavnom zamjenom brojeva u moguća rješenja dok ne pronađete ispravno rješenje. Ako jednadžba ima oblik ax 2 +bx+c, gdje je a>1, moguća rješenja se zapisuju u obliku (dx +/- _)(ex +/- _), gdje su d i e numerički koeficijenti različiti od nule , što kada se pomnoži daje a. Bilo d ili e (ili oba koeficijenta) mogu biti jednaki 1. Ako su oba koeficijenta jednaka 1, onda koristite metodu opisanu iznad.

      • Na primjer, data jednačina 3x 2 - 8x + 4. Ovdje 3 ima samo dva faktora (3 i 1), pa se moguća rješenja zapisuju kao (3x +/- _)(x +/- _). U ovom slučaju, zamjenom -2 za razmake, naći ćete tačan odgovor: -2*3x=-6x i -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x i -2*-2=4, odnosno takvo proširenje pri otvaranju zagrada će dovesti do članova originalne jednačine.

Faktoring polinoma je transformacija identiteta, zbog koje se polinom pretvara u proizvod više faktora - polinoma ili monoma.

Postoji nekoliko načina za faktoriranje polinoma.

Metod 1. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada.

Ova transformacija je zasnovana na distributivnom zakonu množenja: ac + bc = c(a + b). Suština transformacije je da se zajednički faktor u dvije razmatrane komponente izoluje i „izvuče“ iz zagrada.

Razložimo polinom 28x 3 – 35x 4.

Rješenje.

1. Pronađite zajednički djelitelj za elemente 28x3 i 35x4. Za 28 i 35 to će biti 7; za x 3 i x 4 – x 3. Drugim riječima, naš zajednički faktor je 7x 3.

2. Svaki od elemenata predstavljamo kao proizvod faktora, od kojih jedan
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Izvlačimo zajednički faktor iz zagrada
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Upotreba skraćenih formula za množenje. “Majstorstvo” korištenja ove metode je primijetiti jednu od skraćenih formula za množenje u izrazu.

Hajde da činimo polinom x 6 – 1.

Rješenje.

1. Na ovaj izraz možemo primijeniti formulu razlike kvadrata. Da biste to učinili, zamislite x 6 kao (x 3) 2, a 1 kao 1 2, tj. 1. Izraz će poprimiti oblik:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Formulu za zbir i razliku kocki možemo primijeniti na rezultirajući izraz:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

dakle,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupisanje. Metoda grupisanja je da se komponente polinoma kombinuju na način da se na njima lako mogu izvršiti operacije (sabiranje, oduzimanje, oduzimanje zajedničkog faktora).

Razložimo polinom x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Rješenje.

1. Grupirajmo komponente na ovaj način: 1. sa 2. i 3. sa 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. U rezultirajućem izrazu izvlačimo zajedničke faktore iz zagrada: x 2 u prvom slučaju i 5 u drugom.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Uzimamo zajednički faktor x – 3 iz zagrada i dobijamo:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

dakle,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Osigurajmo materijal.

Faktor polinoma a 2 – 7ab + 12b 2 .

Rješenje.

1. Predstavimo monom 7ab kao zbir 3ab + 4ab. Izraz će poprimiti oblik:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otvorimo zagrade i dobijemo:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Grupirajmo komponente polinoma na ovaj način: 1. sa 2. i 3. sa 4.. Dobijamo:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Uzmimo uobičajene faktore iz zagrada:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Izvadimo zajednički faktor (a – 3b) iz zagrada:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

dakle,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

Koncepti "polinoma" i "faktorizacije polinoma" u algebri se susreću vrlo često, jer ih morate poznavati da biste lako izvodili proračune s velikim višecifrenim brojevima. Ovaj članak će opisati nekoliko metoda razlaganja. Svi su prilično jednostavni za korištenje, samo trebate odabrati pravi za svaki konkretan slučaj.

Koncept polinoma

Polinom je zbir monoma, odnosno izraza koji sadrže samo operaciju množenja.

Na primjer, 2 * x * y je monom, ali 2 * x * y + 25 je polinom koji se sastoji od 2 monoma: 2 * x * y i 25. Takvi polinomi se nazivaju binomi.

Ponekad, radi praktičnosti rješavanja primjera s viševrijednim vrijednostima, izraz treba transformirati, na primjer, razložiti na određeni broj faktora, odnosno brojeva ili izraza između kojih se izvodi radnja množenja. Postoji nekoliko načina da se faktori polinoma. Vrijedi ih razmotriti, počevši od najprimitivnijih, koji se koriste u osnovnoj školi.

Grupisanje (zapis u opštem obliku)

Formula za faktoriranje polinoma koristeći metodu grupisanja općenito izgleda ovako:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Potrebno je grupirati monome tako da svaka grupa ima zajednički faktor. U prvoj zagradi to je faktor c, au drugoj - d. To se mora učiniti kako bi se zatim pomaknuo iz zagrade, čime se pojednostavljuju proračuni.

Algoritam dekompozicije na konkretnom primjeru

Najjednostavniji primjer faktoringa polinoma korištenjem metode grupisanja je dat u nastavku:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

U prvoj zagradi treba uzeti pojmove sa faktorom a, koji će biti uobičajen, au drugom - sa faktorom b. Obratite pažnju na znakove + i - u gotovom izrazu. Ispred monoma stavljamo znak koji je bio u početnom izrazu. Odnosno, morate raditi ne s izrazom 25a, već s izrazom -25. Čini se da je znak minus „zalijepljen“ za izraz iza njega i uvijek se uzima u obzir prilikom izračunavanja.

U sljedećem koraku, potrebno je da množitelj, koji je uobičajen, izvadite iz zagrada. Grupacija je upravo za to. Staviti izvan zagrade znači napisati ispred zagrade (izostavljajući znak množenja) sve one faktore koji se tačno ponavljaju u svim članovima koji se nalaze u zagradi. Ako u zagradi nema 2, već 3 ili više pojmova, zajednički faktor mora biti sadržan u svakom od njih, inače se ne može izvaditi iz zagrade.

U našem slučaju postoje samo 2 pojma u zagradama. Ukupni množitelj je odmah vidljiv. U prvoj zagradi je a, u drugoj b. Ovdje morate obratiti pažnju na digitalne koeficijente. U prvoj zagradi oba koeficijenta (10 i 25) su višekratnici od 5. To znači da se ne samo a, već i 5a može izvaditi iz zagrade. Prije zagrade napišite 5a, a zatim podijelite svaki od članova u zagradi zajedničkim faktorom koji je izvađen, a u zagradi napišite i količnik, ne zaboravljajući na znakove + i - Uradite isto sa drugom zagradom, uzmite iz 7b, kao i 14 i 35 višestruki od 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Dobili smo 2 člana: 5a(2c - 5) i 7b(2c - 5). Svaki od njih sadrži zajednički faktor (ceo izraz u zagradama je ovde isti, što znači da je zajednički faktor): 2c - 5. I njega treba izvaditi iz zagrade, odnosno ostaju članovi 5a i 7b u drugoj zagradi:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Dakle, puni izraz je:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Dakle, polinom 10ac + 14bc - 25a - 35b se razlaže na 2 faktora: (2c - 5) i (5a + 7b). Znak množenja između njih može se izostaviti prilikom pisanja

Ponekad postoje izrazi ovog tipa: 5a 2 + 50a 3, ovdje možete staviti iz zagrada ne samo a ili 5a, već čak i 5a 2. Uvek treba da pokušate da izvučete najveći zajednički faktor iz zagrada. U našem slučaju, ako svaki pojam podijelimo sa zajedničkim faktorom, dobićemo:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(prilikom izračunavanja količnika nekoliko stepena sa jednakim bazama, baza se čuva, a eksponent se oduzima). Dakle, jedinica ostaje u zagradi (ni u kom slučaju ne zaboravite napisati jednu ako izvučete jedan od pojmova iz zagrade) i količnik dijeljenja: 10a. Ispada da:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kvadratne formule

Radi lakšeg izračunavanja, izvedeno je nekoliko formula. One se nazivaju skraćenim formulama za množenje i koriste se prilično često. Ove formule pomažu faktorima polinoma koji sadrže potencije. Ovo je još jedan efikasan način faktorizacije. Dakle, evo ih:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formula koja se naziva "kvadrat zbira", budući da se kao rezultat dekompozicije u kvadrat uzima zbir brojeva zatvorenih u zagrade, odnosno vrijednost ovog zbroja se množi sama sa sobom 2 puta, i stoga je multiplikator.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula za kvadrat razlike, slična je prethodnoj. Rezultat je razlika, zatvorena u zagradama, sadržana u kvadratu snage.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- ovo je formula za razliku kvadrata, jer se u početku polinom sastoji od 2 kvadrata brojeva ili izraza, između kojih se vrši oduzimanje. Možda se od tri spomenuta najčešće koristi.

Primjeri za proračune koristeći kvadratne formule

Izračuni za njih su prilično jednostavni. Na primjer:

1. 25x 2 + 20xy + 4g 2 - koristite formulu „kvadrat sume“.
2. 25x 2 je kvadrat od 5x. 20xy je dvostruki proizvod 2*(5x*2y), a 4y 2 je kvadrat od 2y.
3. Dakle, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ovaj polinom se dekomponuje na 2 faktora (faktori su isti, pa se zapisuje kao izraz kvadratne snage).

Radnje koje koriste formulu kvadratne razlike izvode se slično ovim. Preostala formula je razlika kvadrata. Primjere ove formule je vrlo lako definirati i pronaći među ostalim izrazima. Na primjer:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Budući da je 25a 2 = (5a) 2, a 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Budući da je 36x 2 = (6x) 2, a 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Pošto je 169b 2 = (13b) 2

Važno je da svaki od pojmova bude kvadrat nekog izraza. Zatim se ovaj polinom mora faktorizirati korištenjem formule razlike kvadrata. Za to nije neophodno da drugi stepen bude iznad broja. Postoje polinomi koji sadrže velike stupnjeve, ali se ipak uklapaju u ove formule.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

U ovom primjeru, 8 se može predstaviti kao (a 4) 2, odnosno kvadrat određenog izraza. 25 je 5 2, a 10a je 4 - ovo je dvostruki proizvod članova 2 * a 4 * 5. Odnosno, ovaj izraz, unatoč prisutnosti stupnjeva s velikim eksponentima, može se razložiti na 2 faktora kako bi se naknadno radilo s njima.

Kockaste formule

Iste formule postoje za faktoring polinoma koji sadrže kocke. Oni su malo složeniji od onih s kvadratima:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- ova formula se naziva zbir kocki, jer je u svom početnom obliku polinom zbir dva izraza ili broja zatvorenih u kocki.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - formula identična prethodnoj se označava kao razlika kocki.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kocka sume, kao rezultat proračuna, zbir brojeva ili izraza stavlja se u zagrade i množi sam sa sobom 3 puta, odnosno nalazi se u kocki
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formula, sastavljena po analogiji s prethodnom, mijenjajući samo neke znakove matematičkih operacija (plus i minus), naziva se „kocka razlike“.

Posljednje dvije formule se praktički ne koriste u svrhu faktoriranja polinoma, jer su složene, te je dovoljno rijetko pronaći polinome koji u potpunosti odgovaraju upravo ovoj strukturi pa se mogu faktorizirati pomoću ovih formula. Ali i dalje ih morate znati, jer će biti potrebni kada radite u suprotnom smjeru - pri otvaranju zagrada.

Primjeri kockastih formula

Pogledajmo primjer: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Ovdje su uzeti prilično jednostavni brojevi, tako da odmah možete vidjeti da je 64a 3 (4a) 3, a 8b 3 je (2b) 3. Dakle, ovaj polinom je proširen prema formuli razlike kocki na 2 faktora. Radnje koje koriste formulu za zbir kocki izvode se analogno.

Važno je shvatiti da se svi polinomi ne mogu proširiti na barem jedan način. Ali postoje izrazi koji sadrže veće potencije od kvadrata ili kocke, ali se također mogu proširiti u skraćene oblike množenja. Na primjer: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Ovaj primjer sadrži čak 12. stepen. Ali čak se i to može faktorizirati korištenjem formule zbroja kocki. Da biste to učinili, trebate zamisliti x 12 kao (x 4) 3, odnosno kao kocku nekog izraza. Sada, umjesto a, trebate ga zamijeniti u formuli. Pa, izraz 125y 3 je kocka od 5y. Zatim morate sastaviti proizvod koristeći formulu i izvršiti izračune.

U početku, ili u slučaju sumnje, uvijek možete provjeriti inverznim množenjem. Vi samo trebate otvoriti zagrade u rezultirajućem izrazu i izvršiti radnje sa sličnim pojmovima. Ova metoda se primjenjuje na sve navedene metode redukcije: kako za rad sa zajedničkim faktorom i grupiranjem, tako i za rad sa formulama kocke i kvadratnih potencija.