Identisk omvandling av rationella uttryck kalkylator. Hur man förenklar ett matematiskt uttryck

Med vilket språk som helst kan du uttrycka samma information i olika ord och fraser. Matematiskt språk är inget undantag. Men samma uttryck kan skrivas likvärdigt på olika sätt. Och i vissa situationer är en av posterna enklare. Vi kommer att prata om att förenkla uttryck i den här lektionen.

Människor kommunicerar på olika språk. För oss är en viktig jämförelse paret "ryska språket - matematiskt språk". Samma information kan kommuniceras på olika språk. Men förutom detta kan det uttalas på olika sätt på ett språk.

Till exempel: "Petya är vän med Vasya", "Vasya är vän med Petya", "Petya och Vasya är vänner". Sagt annorlunda, men samma sak. Från någon av dessa fraser skulle vi förstå vad vi pratar om.

Låt oss titta på den här frasen: "Pojken Petya och pojken Vasya är vänner." Vi förstår vad vi pratar om. Men vi gillar inte ljudet av den här frasen. Kan vi inte förenkla det, säga samma sak, men enklare? "Pojke och pojke" - du kan säga en gång: "Pojkarna Petya och Vasya är vänner."

"Pojkar"... Framgår det inte av deras namn att de inte är tjejer? Vi tar bort "pojkarna": "Petya och Vasya är vänner." Och ordet "vänner" kan ersättas med "vänner": "Petya och Vasya är vänner." Som ett resultat ersattes den första, långa, fula frasen med ett motsvarande påstående som är lättare att säga och lättare att förstå. Vi har förenklat den här frasen. Att förenkla betyder att säga det enklare, men inte att förlora eller förvränga innebörden.

I matematiskt språk händer ungefär samma sak. En och samma sak kan sägas, skriven annorlunda. Vad innebär det att förenkla ett uttryck? Det betyder att det för det ursprungliga uttrycket finns många likvärdiga uttryck, det vill säga de som betyder samma sak. Och från all denna variation måste vi välja den enklaste, enligt vår mening, eller den mest lämpliga för våra ytterligare ändamål.

Tänk till exempel på det numeriska uttrycket . Det kommer att motsvara .

Det kommer också att motsvara de två första: .

Det visar sig att vi har förenklat våra uttryck och hittat det kortaste ekvivalenta uttrycket.

För numeriska uttryck behöver du alltid utföra alla steg och få det ekvivalenta uttrycket som ett enda tal.

Låt oss titta på ett exempel på ett bokstavligt uttryck . Självklart blir det enklare.

När du förenklar bokstavliga uttryck är det nödvändigt att utföra alla möjliga åtgärder.

Är det alltid nödvändigt att förenkla ett uttryck? Nej, ibland blir det bekvämare för oss att ha en likvärdig men längre ingång.

Exempel: du måste subtrahera ett tal från ett tal.

Det är möjligt att beräkna, men om det första talet representerades av dess ekvivalenta notation: , då skulle beräkningarna vara momentana: .

Det vill säga, ett förenklat uttryck är inte alltid fördelaktigt för oss för vidare beräkningar.

Ändå ställs vi ofta inför en uppgift som bara låter som "förenkla uttrycket."

Förenkla uttrycket: .

Lösning

1) Utför åtgärderna i första och andra parentes: .

2) Låt oss beräkna produkterna: .

Uppenbarligen har det sista uttrycket en enklare form än det initiala. Vi har förenklat det.

För att förenkla uttrycket måste det ersättas med en ekvivalent (lika).

För att bestämma det ekvivalenta uttrycket behöver du:

1) utföra alla möjliga åtgärder,

2) använd egenskaperna addition, subtraktion, multiplikation och division för att förenkla beräkningar.

Egenskaper för addition och subtraktion:

1. Kommutativ egenskap för addition: att ordna om termerna ändrar inte summan.

2. Kombinationsegenskap för addition: för att lägga till ett tredje tal till summan av två tal kan du lägga till summan av det andra och tredje talet till det första talet.

3. Egenskapen att subtrahera en summa från ett tal: för att subtrahera en summa från ett tal kan du subtrahera varje term separat.

Egenskaper för multiplikation och division

1. Kommutativ egenskap för multiplikation: omorganisering av faktorerna förändrar inte produkten.

2. Kombinativ egenskap: för att multiplicera ett tal med produkten av två tal, kan du först multiplicera det med den första faktorn och sedan multiplicera den resulterande produkten med den andra faktorn.

3. Multiplikationsfördelningsegenskap: för att multiplicera ett tal med en summa måste du multiplicera det med varje term separat.

Låt oss se hur vi faktiskt gör mentala beräkningar.

Beräkna:

Lösning

1) Låt oss föreställa oss hur

2) Låt oss föreställa oss den första faktorn som summan av bittermer och utför multiplikationen:

3) du kan föreställa dig hur och utför multiplikation:

4) Ersätt den första faktorn med en motsvarande summa:

Fördelningslagen kan också användas i motsatt riktning: .

Följ dessa steg:

1) 2)

Lösning

1) För enkelhetens skull kan du använda den distribuerande lagen, använd den bara i motsatt riktning - ta den gemensamma faktorn ur parentes.

2) Låt oss ta den gemensamma faktorn ur parentes

Det är nödvändigt att köpa linoleum för köket och hallen. Köksdel - , hall - . Det finns tre typer av linoleum: för och rubel för. Hur mycket kommer var och en av de tre typerna av linoleum att kosta? (Figur 1)

Ris. 1. Illustration för problembeskrivningen

Lösning

Metod 1. Du kan separat ta reda på hur mycket pengar det kommer att ta för att köpa linoleum till köket och sedan lägga det i korridoren och lägga ihop de resulterande produkterna.

Enbart några algebraiska exempel kan skrämma skolbarn. Långa uttryck är inte bara skrämmande, utan försvårar också beräkningar. Försöker omedelbart förstå vad som följer efter vad, det tar inte lång tid att bli förvirrad. Det är av denna anledning som matematiker alltid försöker förenkla ett "hemskt" problem så mycket som möjligt och först då börjar lösa det. Konstigt nog påskyndar detta trick avsevärt arbetsprocessen.

Förenkling är en av de grundläggande punkterna i algebra. Om du fortfarande klarar dig utan det i enkla problem, kan svårare att beräkna exempel visa sig vara för tufft. Det är här dessa färdigheter kommer väl till pass! Dessutom krävs inte komplexa matematiska kunskaper: det kommer att räcka att bara komma ihåg och lära sig att tillämpa i praktiken några grundläggande tekniker och formler.

Oavsett beräkningarnas komplexitet är det viktigt när man löser ett uttryck följ ordningen för att utföra operationer med siffror:

1. fästen;
2. exponentiering;
3. multiplikation;
4. division;
5. tillägg;
6. subtraktion.

De två sista punkterna kan enkelt bytas och detta kommer inte att påverka resultatet på något sätt. Men att lägga till två intilliggande tal när det finns ett multiplikationstecken bredvid ett av dem är absolut förbjudet! Svaret, om något, är felaktigt. Därför måste du komma ihåg sekvensen.

Tillämpning av liknande

Sådana element inkluderar tal med en variabel av samma ordning eller samma grad. Det finns även så kallade fritermer som inte har bokstavsbeteckning för det okända bredvid sig.

Poängen är att i avsaknad av parentes du kan förenkla uttrycket genom att lägga till eller subtrahera liknande.

Några illustrativa exempel:

• 8x 2 och 3x 2 - båda talen har samma andra ordningens variabel, så de är lika och när de adderas förenklas de till (8+3)x 2 =11x 2, medan de subtraheras får (8-3)x 2 =5x 2;
• 4x 3 och 6x - och här har "x" olika grader;
• 2y 7 och 33x 7 - innehåller olika variabler, därför, som i föregående fall, är de inte lika.

Factoring en siffra

Detta lilla matematiska knep, om du lär dig att använda det rätt, kommer mer än en gång att hjälpa dig att hantera ett knepigt problem i framtiden. Och det är inte svårt att förstå hur "systemet" fungerar: nedbrytning är produkten av flera element, vars beräkning ger det ursprungliga värdet. Således kan 20 representeras som 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 eller på något annat sätt.

På en lapp: Faktorer är alltid samma som divisorer. Så du måste leta efter ett fungerande "par" för nedbrytning bland talen som originalet är delbart i utan rest.

Denna operation kan utföras både med fria termer och med siffror i en variabel. Det viktigaste är att inte förlora det senare under beräkningar - till och med efter nedbrytning kan det okända inte bara "gå ingenstans". Den ligger kvar på en av multiplikatorerna:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 =(15y 2)4.

Primtal som bara kan delas med sig själva eller 1 utökas aldrig - det är ingen mening.

Grundläggande sätt att förenkla

Det första ditt öga fångar:

• närvaron av parenteser;
• fraktioner;
• rötter.

Algebraiska exempel i skolans läroplan skrivs ofta med tanken att de kan förenklas vackert.

Beräkningar inom parentes

Var uppmärksam på skylten framför fästena! Multiplikation eller division tillämpas på varje element inuti, och ett minustecken vänder de befintliga "+" eller "-" tecknen.

Hakparenteser beräknas enligt reglerna eller med hjälp av förkortade multiplikationsformler, varefter liknande ges.

Reducerande bråk

Minska fraktioner Det är också lätt. De själva "rymmer villigt" då och då, så snart operationer genomförs för att få in sådana medlemmar. Men du kan förenkla exemplet redan innan det: var uppmärksam på täljaren och nämnaren. De innehåller ofta explicita eller dolda element som kan reduceras ömsesidigt. Det är sant, om du i det första fallet bara behöver stryka över det onödiga, i det andra måste du tänka och föra en del av uttrycket till form för förenkling. Använda metoder:

• söka efter och placera inom parentes den största gemensamma delaren för täljaren och nämnaren;
• dividera varje toppelement med nämnaren.

När ett uttryck eller en del av det ligger under roten, är den primära uppgiften att förenkla nästan lik fallet med bråk. Det är nödvändigt att leta efter sätt att helt bli av med det eller, om detta inte är möjligt, att minimera tecknet som stör beräkningar. Till exempel upp till diskreta √(3) eller √(7).

Ett säkert sätt att förenkla ett radikalt uttryck är att försöka faktorisera det, av vilka några sträcker sig utanför skylten. Ett illustrativt exempel: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Andra små knep och nyanser:

• denna förenklingsoperation kan utföras med bråk, och ta den ur tecknet både som helhet och separat som täljare eller nämnare;
• En del av summan eller skillnaden kan inte utökas och tas bortom roten;
• när du arbetar med variabler, se till att ta hänsyn till dess grad, den måste vara lika med eller en multipel av roten för att kunna tas ut: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3) )=√(x 2 xx)=x√( x);
• ibland är det möjligt att bli av med den radikala variabeln genom att höja den till en bråkpotens: √(y 3)=y 3/2.

Förenkla ett kraftuttryck

Om i fallet med enkla beräkningar med minus eller plus, exempel förenklas genom att citera liknande, hur är det då när man multiplicerar eller dividerar variabler med olika potenser? De kan lätt förenklas genom att komma ihåg två huvudpunkter:

1. Om det finns ett multiplikationstecken mellan variablerna summeras potenserna.
2. När de divideras med varandra, subtraheras samma potens av nämnaren från täljarens potens.

Den enda förutsättningen för en sådan förenkling är att båda termerna har samma grund. Exempel för tydlighetens skull:

• 5x2x4x7+(y13/y11)=(5x4)x2+7+y13-11 =20x9+y2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Vi noterar att operationer med numeriska värden framför variabler sker enligt de vanliga matematiska reglerna. Och om du tittar noga blir det tydligt att kraftelementen i uttrycket "fungerar" på ett liknande sätt:

• att höja en term till en potens innebär att multiplicera den med sig själv ett visst antal gånger, dvs x 2 =x×x;
• division är liknande: om du utökar potenserna för täljaren och nämnaren, kommer några av variablerna att raderas, medan de återstående "samlas", vilket motsvarar subtraktion.

Som med allt annat kräver att förenkla algebraiska uttryck inte bara kunskap om grunderna, utan också övning. Efter bara några lektioner kommer exempel som en gång verkade komplexa att reduceras utan större svårighet och förvandlas till korta och lättlösta.

Video

Den här videon hjälper dig att förstå och komma ihåg hur uttryck förenklas.

Fick du inget svar på din fråga? Föreslå ett ämne till författarna.

jag. Uttryck där siffror, aritmetiska symboler och parenteser kan användas tillsammans med bokstäver kallas algebraiska uttryck.

Exempel på algebraiska uttryck:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Eftersom en bokstav i ett algebraiskt uttryck kan ersättas med några olika siffror kallas bokstaven för en variabel, och själva algebraiska uttrycket kallas för ett uttryck med en variabel.

II. Om bokstäverna (variablerna) i ett algebraiskt uttryck ersätts med deras värden och de angivna åtgärderna utförs, kallas det resulterande talet värdet på det algebraiska uttrycket.

Exempel. Hitta innebörden av uttrycket:

1) a + 2b -c med a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| vid x = -8; y = -5; z = 6.

Lösning.

1) a + 2b -c med a = -2; b = 10; c = -3,5. Istället för variabler, låt oss ersätta deras värden. Vi får:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| vid x = -8; y = -5; z = 6. Byt ut de angivna värdena. Vi kommer ihåg att modulen för ett negativt tal är lika med dess motsatta tal, och modulen för ett positivt tal är lika med detta tal i sig. Vi får:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Värdena för bokstaven (variabel) för vilka det algebraiska uttrycket är meningsfullt kallas de tillåtna värdena för bokstaven (variabel).

Exempel. För vilka värden på variabeln är uttrycket meningslöst?

Lösning. Vi vet att du inte kan dividera med noll, därför är vart och ett av dessa uttryck inte vettigt med tanke på värdet på bokstaven (variabeln) som gör bråkets nämnare till noll!

I exempel 1) är detta värde a = 0. Om du ersätter 0 istället för a, måste du dela talet 6 med 0, men det kan inte göras. Svar: uttryck 1) är inte vettigt när a = 0.

I exempel 2) är nämnaren för x 4 = 0 vid x = 4, därför kan detta värde x = 4 inte tas. Svar: uttryck 2) är inte vettigt när x = 4.

I exempel 3) är nämnaren x + 2 = 0 när x = -2. Svar: uttryck 3) är inte vettigt när x = -2.

I exempel 4) är nämnaren 5 -|x| = 0 för |x| = 5. Och eftersom |5| = 5 och |-5| = 5, då kan du inte ta x = 5 och x = -5. Svar: uttryck 4) är inte vettigt vid x = -5 och vid x = 5.
IV. Två uttryck sägs vara identiskt lika om, för eventuella tillåtna värden av variablerna, motsvarande värden för dessa uttryck är lika.

Exempel: 5 (a – b) och 5a – 5b är också lika, eftersom likheten 5 (a – b) = 5a – 5b kommer att vara sann för alla värden på a och b. Likheten 5 (a – b) = 5a – 5b är en identitet.

Identitet är en likhet som är giltig för alla tillåtna värden för de variabler som ingår i den. Exempel på identiteter som du redan känner till är till exempel egenskaperna addition och multiplikation och den fördelande egenskapen.

Att ersätta ett uttryck med ett annat identiskt lika uttryck kallas en identitetstransformation eller helt enkelt en transformation av ett uttryck. Identiska transformationer av uttryck med variabler utförs baserat på egenskaperna för operationer på tal.

Exempel.

a) konvertera uttrycket till identiskt lika med hjälp av den fördelande egenskapen för multiplikation:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5-(a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

Lösning. Låt oss komma ihåg den fördelande egenskapen (lagen) för multiplikation:

(a+b)c=ac+bc(Distributiv lag för multiplikation i förhållande till addition: för att multiplicera summan av två tal med ett tredje tal, kan du multiplicera varje term med detta tal och lägga till resultatet).
(a-b) c=a c-b c(Distributiv lag för multiplikation i förhållande till subtraktion: för att multiplicera skillnaden mellan två tal med ett tredje tal, kan du multiplicera minuenden och subtrahera med detta tal separat och subtrahera det andra från det första resultatet).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) omvandla uttrycket till identiskt lika, med hjälp av de kommutativa och associativa egenskaperna (lagarna) för addition:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Lösning. Låt oss tillämpa lagarna (egenskaperna) för tillägg:

a+b=b+a(kommutativ: omarrangering av termerna ändrar inte summan).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinativ: för att lägga till ett tredje tal till summan av två termer kan du lägga till summan av det andra och tredje till det första talet).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V) Konvertera uttrycket till identiskt lika med hjälp av de kommutativa och associativa egenskaperna (lagarna) för multiplikation:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Lösning. Låt oss tillämpa lagarna (egenskaperna) för multiplikation:

a·b=b·a(kommutativ: omarrangering av faktorerna förändrar inte produkten).
(a b) c=a (b c)(kombinativ: för att multiplicera produkten av två tal med ett tredje tal, kan du multiplicera det första talet med produkten av det andra och tredje).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Om ett algebraiskt uttryck ges i form av en reducerbar bråkdel, kan det förenklas med hjälp av regeln för att reducera en bråkdel, dvs. ersätt det med ett identiskt lika enklare uttryck.

Exempel. Förenkla med bråkreduktion.

Lösning. Att reducera ett bråk innebär att dividera dess täljare och nämnare med samma tal (uttryck), annat än noll. Bråk 10) kommer att reduceras med 3b; bråkdel 11) kommer att minskas med A och bråkdel 12) kommer att reduceras med 7n. Vi får:

Algebraiska uttryck används för att skapa formler.

En formel är ett algebraiskt uttryck skrivet som en likhet och uttrycker förhållandet mellan två eller flera variabler. Exempel: vägformel du vet s=v t(s - tillryggalagd sträcka, v - hastighet, t - tid). Kom ihåg vilka andra formler du känner till.

Sida 1 av 1 1

Ett algebraiskt uttryck där man, tillsammans med operationerna addition, subtraktion och multiplikation, även använder division i bokstavsuttryck, kallas ett bråkdel algebraiskt uttryck. Det är till exempel uttrycken

Vi kallar en algebraisk bråkdel för ett algebraiskt uttryck som har formen av en kvot av divisionen av två heltalsalgebraiska uttryck (till exempel monomial eller polynom). Det är till exempel uttrycken

Det tredje av uttrycken).

Identiska transformationer av bråkalgebraiska uttryck syftar mestadels till att representera dem i form av en algebraisk bråkdel. För att hitta den gemensamma nämnaren används faktorisering av bråkens nämnare - termer för att hitta deras minsta gemensamma multipel. När du reducerar algebraiska fraktioner kan den strikta identiteten för uttryck kränkas: det är nödvändigt att utesluta värden på kvantiteter där faktorn med vilken reduktionen görs blir noll.

Låt oss ge exempel på identiska transformationer av bråkdelalgebraiska uttryck.

Exempel 1: Förenkla ett uttryck

Alla termer kan reduceras till en gemensam nämnare (det är bekvämt att ändra tecknet i nämnaren för den sista termen och tecknet framför den):

Vårt uttryck är lika med ett för alla värden utom dessa värden det är odefinierat och att reducera bråkdelen är olagligt).

Exempel 2. Representera uttrycket som en algebraisk fraktion

Lösning. Uttrycket kan tas som en gemensam nämnare. Vi finner sekventiellt:

Övningar

1. Hitta värdena för algebraiska uttryck för de angivna parametervärdena:

2. Faktorisera.

På 500-talet f.Kr. formulerade den antika grekiske filosofen Zeno av Elea sina berömda aporier, varav den mest kända är "Akilles och sköldpaddan". Så här låter det:

Låt oss säga att Akilles springer tio gånger snabbare än sköldpaddan och är tusen steg bakom den. Under den tid det tar Achilles att springa denna sträcka kommer sköldpaddan att krypa hundra steg åt samma håll. När Akilles springer hundra steg, kryper sköldpaddan ytterligare tio steg, och så vidare. Processen kommer att fortsätta i det oändliga, Achilles kommer aldrig ikapp sköldpaddan.

Detta resonemang blev en logisk chock för alla efterföljande generationer. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... De betraktade alla Zenons aporia på ett eller annat sätt. Chocken var så stark att " ... diskussionerna fortsätter än i dag har det vetenskapliga samfundet ännu inte kunnat komma fram till en gemensam åsikt om paradoxernas väsen ... matematisk analys, mängdteori, nya fysiska och filosofiska tillvägagångssätt var inblandade i studiet av frågan; ; ingen av dem blev en allmänt accepterad lösning på problemet..."[Wikipedia, "Zenos Aporia". Alla förstår att de blir lurade, men ingen förstår vad bedrägeriet består av.

Ur en matematisk synvinkel visade Zeno i sin aporia tydligt övergången från kvantitet till . Denna övergång innebär tillämpning istället för permanenta. Så vitt jag förstår har den matematiska apparaten för att använda variabla måttenheter antingen inte utvecklats ännu, eller så har den inte tillämpats på Zenos aporia. Att tillämpa vår vanliga logik leder oss in i en fälla. Vi, på grund av tänkandets tröghet, tillämpar konstanta tidsenheter på det ömsesidiga värdet. Ur fysisk synvinkel ser det ut som att tiden saktar ner tills den stannar helt i det ögonblick då Akilles kommer ikapp sköldpaddan. Om tiden stannar kan Achilles inte längre springa ur sköldpaddan.

Om vi ​​vänder på vår vanliga logik faller allt på plats. Akilles springer i konstant hastighet. Varje efterföljande segment av hans väg är tio gånger kortare än den föregående. Följaktligen är tiden för att övervinna det tio gånger mindre än den föregående. Om vi ​​tillämpar begreppet "oändlighet" i denna situation, skulle det vara korrekt att säga "Akilles kommer ikapp sköldpaddan oändligt snabbt."

Hur undviker man denna logiska fälla? Förbli i konstanta tidsenheter och byt inte till ömsesidiga enheter. På Zenos språk ser det ut så här:

Under den tid det tar Akilles att springa tusen steg kommer sköldpaddan att krypa hundra steg åt samma håll. Under nästa tidsintervall lika med det första kommer Akilles att springa ytterligare tusen steg, och sköldpaddan kommer att krypa hundra steg. Nu är Akilles åttahundra steg före sköldpaddan.

Detta tillvägagångssätt beskriver verkligheten adekvat utan några logiska paradoxer. Men detta är inte en fullständig lösning på problemet. Einsteins uttalande om ljushastighetens oemotståndlighet är mycket lik Zenons aporia "Akilles och sköldpaddan". Vi måste fortfarande studera, tänka om och lösa detta problem. Och lösningen måste sökas inte i oändligt stora antal, utan i måttenheter.

En annan intressant aporia av Zeno berättar om en flygande pil:

En flygande pil är orörlig, eftersom den vid varje tidpunkt är i vila, och eftersom den är i vila vid varje tidpunkt, är den alltid i vila.

I denna aporia övervinns den logiska paradoxen väldigt enkelt - det räcker för att klargöra att en flygande pil vid varje tidpunkt är i vila på olika punkter i rymden, vilket i själva verket är rörelse. En annan punkt måste noteras här. Från ett fotografi av en bil på vägen är det omöjligt att avgöra vare sig faktumet om dess rörelse eller avståndet till den. För att avgöra om en bil rör sig behöver du två fotografier tagna från samma punkt vid olika tidpunkter, men du kan inte bestämma avståndet från dem. För att bestämma avståndet till en bil behöver du två fotografier tagna från olika punkter i rymden vid en tidpunkt, men från dem kan du inte bestämma rörelsen (naturligtvis behöver du fortfarande ytterligare data för beräkningar, trigonometri hjälper dig ). Det jag särskilt vill uppmärksamma är att två punkter i tid och två punkter i rummet är olika saker som inte ska blandas ihop, eftersom de ger olika möjligheter till forskning.

Onsdagen den 4 juli 2018

Skillnaderna mellan set och multiset beskrivs mycket bra på Wikipedia. Låt oss se.

Som du kan se, "det kan inte finnas två identiska element i en uppsättning", men om det finns identiska element i en uppsättning kallas en sådan uppsättning en "multiset". Förnuftiga varelser kommer aldrig att förstå en sådan absurd logik. Detta är nivån av pratande papegojor och tränade apor, som inte har någon intelligens från ordet "helt". Matematiker fungerar som vanliga tränare och predikar för oss sina absurda idéer.

En gång i tiden var ingenjörerna som byggde bron i en båt under bron medan de testade bron. Om bron kollapsade, dog den mediokra ingenjören under spillrorna av sin skapelse. Om bron kunde stå emot belastningen byggde den begåvade ingenjören andra broar.

Oavsett hur matematiker gömmer sig bakom frasen "tänk på att jag är i huset", eller snarare, "matematiken studerar abstrakta begrepp", så finns det en navelsträng som oupplösligt förbinder dem med verkligheten. Den här navelsträngen är pengar. Låt oss tillämpa matematisk mängdlära på matematikerna själva.

Vi pluggade matematik väldigt bra och nu sitter vi i kassan och delar ut löner. Så en matematiker kommer till oss för sina pengar. Vi räknar ut hela beloppet till honom och lägger ut det på vårt bord i olika högar, i vilka vi lägger sedlar av samma valör. Sedan tar vi en sedel från varje hög och ger matematikern hans "matematiska lön." Låt oss förklara för matematikern att han kommer att få de återstående sedlarna först när han bevisar att en mängd utan identiska element inte är lika med en mängd med identiska element. Det är här det roliga börjar.

Först och främst kommer deputeradenas logik att fungera: "Detta kan tillämpas på andra, men inte på mig!" Då kommer de att börja försäkra oss om att sedlar av samma valör har olika sedelnummer, vilket innebär att de inte kan betraktas som samma element. Okej, låt oss räkna löner i mynt – det finns inga siffror på mynten. Här kommer matematikern att frenetiskt börja minnas fysiken: olika mynt har olika mängd smuts, kristallstrukturen och arrangemanget av atomer är unikt för varje mynt...

Och nu har jag den mest intressanta frågan: var är linjen bortom vilken elementen i en multiset förvandlas till element i en uppsättning och vice versa? En sådan linje finns inte - allt bestäms av shamaner, vetenskapen är inte ens i närheten av att ljuga här.

Titta här. Vi väljer fotbollsarenor med samma planyta. Områdena i fälten är desamma - vilket betyder att vi har en multiset. Men om vi tittar på namnen på samma arenor får vi många, eftersom namnen är olika. Som du kan se är samma uppsättning element både en uppsättning och en multiuppsättning. Vilket är korrekt? Och här drar matematiker-shaman-skarpisten fram ett trumfess ur ärmen och börjar berätta antingen om ett set eller ett multiset. Han kommer i alla fall att övertyga oss om att han har rätt.

För att förstå hur moderna shamaner arbetar med mängdteori, knyter den till verkligheten, räcker det med att svara på en fråga: hur skiljer sig elementen i en uppsättning från elementen i en annan uppsättning? Jag ska visa dig, utan någon "tänkbar som inte en enda helhet" eller "inte tänkbar som en enda helhet."

Söndagen den 18 mars 2018

Summan av siffrorna i ett tal är en dans av shamaner med en tamburin, som inte har något med matematik att göra. Ja, i matematiklektioner lär vi oss att hitta summan av siffrorna i ett tal och använda den, men det är därför de är shamaner, för att lära sina efterkommande deras färdigheter och visdom, annars kommer shamaner helt enkelt att dö ut.

Behöver du bevis? Öppna Wikipedia och försök hitta sidan "Summan av siffror för ett tal." Hon finns inte. Det finns ingen formel i matematik som kan användas för att hitta summan av siffrorna i ett tal. När allt kommer omkring är siffror grafiska symboler som vi skriver siffror med, och på matematikens språk låter uppgiften så här: "Hitta summan av grafiska symboler som representerar vilket tal som helst." Matematiker kan inte lösa detta problem, men shamaner kan göra det lätt.

Låt oss ta reda på vad och hur vi gör för att hitta summan av siffrorna i ett givet tal. Och så, låt oss ha numret 12345. Vad behöver göras för att hitta summan av siffrorna i detta nummer? Låt oss överväga alla steg i ordning.

1. Skriv ner numret på ett papper. Vad har vi gjort? Vi har omvandlat talet till en grafisk siffersymbol. Detta är inte en matematisk operation.

2. Vi skär ut en bild i flera bilder som innehåller individuella nummer. Att klippa en bild är inte en matematisk operation.

3. Konvertera individuella grafiska symboler till siffror. Detta är inte en matematisk operation.

4. Lägg till de resulterande siffrorna. Nu är det matematik.

Summan av siffrorna för numret 12345 är 15. Det är de "klipp- och sykurser" från shamaner som matematiker använder. Men det är inte allt.

Ur matematisk synvinkel spelar det ingen roll i vilket talsystem vi skriver ett tal. Så i olika talsystem kommer summan av siffrorna i samma nummer att vara olika. I matematik anges siffersystemet som en sänkning till höger om numret. Med det stora numret 12345 vill jag inte lura mitt huvud, låt oss överväga siffran 26 från artikeln om. Låt oss skriva detta tal i binära, oktala, decimala och hexadecimala talsystem. Vi kommer inte att titta på varje steg under ett mikroskop, vi har redan gjort det. Låt oss titta på resultatet.

Som du kan se är summan av siffrorna i samma nummer olika i olika talsystem. Detta resultat har ingenting med matematik att göra. Det är samma sak som om du bestämmer arean av en rektangel i meter och centimeter, du skulle få helt andra resultat.

Noll ser likadant ut i alla talsystem och har ingen summa av siffror. Detta är ytterligare ett argument som talar för det. Fråga till matematiker: hur betecknas något som inte är ett tal i matematik? Vad, för matematiker existerar ingenting förutom siffror? Jag kan tillåta detta för shamaner, men inte för vetenskapsmän. Verkligheten handlar inte bara om siffror.

Det erhållna resultatet bör betraktas som ett bevis på att talsystem är måttenheter för tal. Vi kan trots allt inte jämföra siffror med olika måttenheter. Om samma åtgärder med olika måttenheter av samma kvantitet leder till olika resultat efter att ha jämfört dem, så har detta inget med matematik att göra.

Vad är riktig matematik? Detta är när resultatet av en matematisk operation inte beror på storleken på antalet, vilken måttenhet som används och på vem som utför denna åtgärd.

Skylt på dörren Han öppnar dörren och säger:

åh! Är inte det här damtoaletten?
- Ung kvinna! Detta är ett laboratorium för studiet av själars indefiliska helighet under deras uppstigning till himlen! Halo på toppen och pil upp. Vilken annan toalett?

Hona... Gloria på toppen och pilen ner är hane.

Om ett sådant designkonstverk blinkar framför dina ögon flera gånger om dagen,

Då är det inte förvånande att du plötsligt hittar en konstig ikon i din bil:

Själv anstränger jag mig för att se minus fyra grader hos en bajsande person (en bild) (en sammansättning av flera bilder: minustecken, nummer fyra, beteckning på grader). Och jag tror inte att den här tjejen är en idiot som inte kan fysik. Hon har bara en stark stereotyp av att uppfatta grafiska bilder. Och matematiker lär oss detta hela tiden. Här är ett exempel.

1A är inte "minus fyra grader" eller "ett a". Det här är "bajsande man" eller siffran "tjugosex" i hexadecimal notation. De människor som ständigt arbetar i detta nummersystem uppfattar automatiskt en siffra och en bokstav som en grafisk symbol.