Differentiering av exponential- och logaritmiska funktioner. Antiderivata av exponentialfunktionen i UNT-uppgifter. Differentiering av exponentiella och logaritmiska funktioner - Knowledge Hypermarket Differentiering av exponentiella och logaritmiska funktioner hos nosar

Differentiering av exponential- och logaritmiska funktioner

1. Tal e Funktion y = e x, dess egenskaper, graf, differentiering

Låt oss överväga en exponentiell fungera y=a x, där a > 1. För olika baser a får vi olika grafer (fig. 232-234), men man kan märka att de alla passerar genom punkten (0; 1), de har alla en horisontell asymptot y = 0 vid , alla är konvext vända nedåt och slutligen har de alla tangenter vid alla sina punkter. Låt oss rita till exempel en tangent till grafik funktion y=2x vid punkten x = 0 (Fig. 232). Om du gör noggranna konstruktioner och mätningar kan du se till att denna tangent bildar en vinkel på 35° (ungefär) med x-axeln.

Låt oss nu rita en tangent till grafen för funktionen y = 3 x, också i punkten x = 0 (Fig. 233). Här blir vinkeln mellan tangenten och x-axeln större - 48°. Och för exponentialfunktionen y = 10 x i en liknande
situation får vi en vinkel på 66,5° (Fig. 234).

Så om basen a för exponentialfunktionen y=ax gradvis ökar från 2 till 10, så ökar vinkeln mellan tangenten till grafen för funktionen i punkten x=0 och x-axeln gradvis från 35° till 66,5 °. Det är logiskt att anta att det finns en bas a för vilken motsvarande vinkel är 45°. Denna bas måste vara innesluten mellan siffrorna 2 och 3, eftersom för funktionen y-2x är vinkeln av intresse för oss 35°, vilket är mindre än 45°, och för funktionen y=3 x är det lika med 48° , vilket redan är lite mer än 45 °. Basen vi är intresserade av betecknas vanligtvis med bokstaven e. Det har konstaterats att talet e är irrationellt, d.v.s. representerar en oändlig decimal icke-periodisk fraktion:

e = 2,7182818284590...;

i praktiken brukar man anta att e=2,7.

Kommentar(inte särskilt allvarligt). Det är uppenbart att L.N. Tolstoj har inget att göra med siffran e, men när du skriver siffran e, observera att siffran 1828 upprepas två gånger i rad - födelseåret för L.N. Tolstoj.

Grafen för funktionen y=e x visas i fig. 235. Detta är en exponential som skiljer sig från andra exponentialer (grafer över exponentialfunktioner med andra baser) genom att vinkeln mellan tangenten till grafen vid punkten x=0 och x-axeln är 45°.

Egenskaper för funktionen y = e x:

1)
2) är varken jämn eller udda;
3) ökar;
4) inte begränsat från ovan, begränsat underifrån;
5) har varken de största eller de minsta värdena;
6) kontinuerlig;
7)
8) konvexa nedåt;
9) differentierbar.

Återgå till § 45, titta på listan över egenskaper för exponentialfunktionen y = a x för a > 1. Du hittar samma egenskaper 1-8 (vilket är ganska naturligt), och den nionde egenskapen förknippad med
funktionens differentiabilitet nämnde vi inte då. Låt oss diskutera det nu.

Låt oss härleda en formel för att hitta derivatan y-ex. I det här fallet kommer vi inte att använda den vanliga algoritmen, som vi utvecklade i § 32 och som framgångsrikt har använts mer än en gång. I denna algoritm är det i slutskedet nödvändigt att beräkna gränsen, och vår kunskap om teorin om gränser är fortfarande mycket, mycket begränsad. Därför kommer vi att förlita oss på geometriska premisser, särskilt med tanke på själva faktumet att det finns en tangent till grafen för exponentialfunktionen utom tvivel (det är därför vi så säkert skrev ner den nionde egenskapen i listan ovan över egenskaper - differentierbarheten för funktionen y = e x).

1. Observera att för funktionen y = f(x), där f(x) =ex, vet vi redan värdet på derivatan i punkten x =0: f / = tan45°=1.

2. Låt oss introducera funktionen y=g(x), där g(x) -f(x-a), d.v.s. g(x)-ex" a. Fig. 236 visar grafen för funktionen y = g(x): den erhålls från grafen för funktionen y - fx) genom att flytta längs x-axeln med |a| skalenheter Tangent till grafen för funktionen y = g (x) i punkten x-a är parallell med tangenten till grafen för funktionen y = f(x) i punkten x -0 (se fig. 236), vilket betyder att den. bildar en vinkel på 45° med x-axeln Med hjälp av den geometriska betydelsen av derivatan kan vi skriva ner det , att g(a) =tg45°;=1.

3. Låt oss återgå till funktionen y = f(x). Vi har:

4. Vi har fastställt att relationen är giltig för alla värden av a. Istället för bokstaven a kan du naturligtvis använda bokstaven x; då får vi

Från denna formel får vi motsvarande integrationsformel:

A.G. Mordkovich Algebra 10:e klass

Kalendertematisk planering i matematik, video i matematik online, Matematik i skolan ladda ner

Lektionens innehåll lektionsanteckningar stödja frame lektion presentation acceleration metoder interaktiv teknik Öva uppgifter och övningar självtest workshops, utbildningar, fall, uppdrag läxor diskussionsfrågor retoriska frågor från elever Illustrationer ljud, videoklipp och multimedia fotografier, bilder, grafik, tabeller, diagram, humor, anekdoter, skämt, serier, liknelser, ordspråk, korsord, citat Tillägg sammandrag artiklar knep för nyfikna spjälsängar läroböcker grundläggande och ytterligare ordbok över termer andra Förbättra läroböcker och lektionerrätta fel i läroboken uppdatera ett fragment i en lärobok, inslag av innovation i lektionen, ersätta föråldrad kunskap med nya. Endast för lärare perfekta lektioner kalenderplan för året; Integrerade lektioner

Lektionsöversikt

Ämne: Algebra

Datum: 04/2/13.

Betyg: 11:e klass

Lärare: Tyshibaeva N.Sh.

Ämne: Differentiering av logaritmiska och exponentiella funktioner. Antiderivata av exponentialfunktionen.

Mål:

1) formulera formler för derivator av logaritmiska och exponentiella funktioner; lära ut hur man hittar antiderivatan av en exponentialfunktion

2) utveckla minne, observation, logiskt tänkande, matematiskt tal hos elever, förmågan att analysera och jämföra, utveckla kognitivt intresse för ämnet;

3) att odla elevernas kommunikativa kultur, färdigheter i kollektiv aktivitet, samarbete och ömsesidig hjälp.

Lektionstyp: förklaring av nytt material och konsolidering av förvärvade kunskaper, färdigheter och förmågor.

Utrustning : kort, interaktiv skrivtavla.

Teknologi: differentierat tillvägagångssätt

Under lektionerna:

1.Org. ögonblick .(2min) .

2. Lösa ett korsord (8 min)

1. Den franske matematikern Pierre Fermat från 1600-talet definierade denna linje som "Den räta linjen närmast kurvan i ett litet område av punkten."

Tangent

2.Funktion, som ges av formeln y = yxa.

Demonstrativ

3.Funktion, som ges av formeln y = log yxa.

Logaritmisk

4. Derivat av förskjutning

Fart

5. Vad heter funktionen F(x) för funktionen f(x), om villkoret F"(x) =f(x) är uppfyllt för någon punkt från intervallet I.

Antiderivat

6. Vad är namnet på förhållandet mellan X och Y, där varje element i X är associerat med ett enda element i Y.

Fungera

7. Om funktionen f(x) kan representeras i formen f(x)=g(t(x)), så kallas denna funktion...

Komplex

Vertikalt ord efternamn för en fransk matematiker och mekaniker

Lagrange

3.Förklaring av nytt material: (10 minuter)

Exponentialfunktionen vid valfri punkt i definitionsdomänen har en derivata och denna derivata hittas av formeln:

(.l i formeln ersätter vi talet och på e, vi får

(e x)" = e x_ formel derivata av exponentialen
En logaritmisk funktion har en derivata när som helst i dess definitionsdomän, och denna derivata hittas av formeln:

(logga ett x)" = ersätt numret i formeln och på e, vi får

Exponentialfunktion y =(A när som helst i definitionsdomänen har den ett antiderivat och detta antiderivat hittas av formeln F(x) =+ C

4. Konsolidering av nytt material (20 min)

Matematisk diktering.

1.Skriv formeln för derivatan av exponentialfunktionen (a X)"

(a x)" = a x ln a

2. Skriv ner formeln för derivatan av exponentialen. (t.ex X)"

(e x )" = e x

3. Skriv ner formeln för derivatan av den naturliga logaritmen

4. Skriv ner formeln för derivatan av den logaritmiska funktionen (log a x)"=?

(logga ett x)" =

5. Skriv ner den allmänna formen av antiderivator för funktionen f(x) = a X .

F(x) = + C

6. Skriv ner den allmänna formen av antiderivat för funktionen:, x≠0. F(x)=ln|x|+С

Arbeta i styrelsen

№255,№256,№258,№259(2,4)

6.D/z nr 257, nr 261 (2 min)

7. Lektionssammanfattning: (3 min)

- Vad är formeln för en logaritmisk funktion?

Vilken formel definierar exponentialfunktionen?

Vilken formel används för att hitta derivatan av en logaritmisk funktion?

Vilken formel används för att hitta derivatan av en exponentialfunktion

Färdiga arbeten

EXAMEN FUNGERAR

Mycket har redan passerat och nu är du utexaminerad, om du förstås skriver ditt examensarbete i tid. Men livet är en sådan sak att det först nu blir klart för dig att du, efter att ha slutat vara student, kommer att förlora alla studentglädje, av vilka många aldrig har provat, skjuta upp allt och skjuta upp det till senare. Och nu, istället för att komma ikapp, jobbar du med ditt examensarbete? Det finns en utmärkt lösning: ladda ner avhandlingen du behöver från vår webbplats - och du kommer omedelbart att ha mycket ledig tid!
Avhandlingar har framgångsrikt försvarats vid ledande universitet i Republiken Kazakstan.
Kostnad för arbete från 20 000 tenge

KURSEN FUNGERAR

Kursprojektet är det första seriösa praktiska arbetet. Det är med skrivandet av kurser som förberedelserna för utvecklingen av diplomprojekt börjar. Om en student lär sig att korrekt presentera innehållet i ett ämne i ett kursprojekt och formatera det kompetent, kommer han i framtiden inte att ha några problem med att skriva rapporter, skriva avhandlingar eller utföra andra praktiska uppgifter. För att hjälpa eleverna att skriva den här typen av elevarbeten och för att klargöra frågor som uppstår under förberedelserna skapades faktiskt denna informationsavdelning.
Kostnad för arbete från 2 500 tenge

MASTERAVHANDLINGAR

För närvarande, i högre utbildningsinstitutioner i Kazakstan och OSS-länderna, är nivån på högre yrkesutbildning som följer efter kandidatexamen mycket vanlig - magisterexamen. På masterprogrammet studerar studenterna i syfte att få en masterexamen, som är erkänd i de flesta länder i världen mer än en kandidatexamen, och även erkänd av utländska arbetsgivare. Resultatet av masterstudier är försvaret av en magisteruppsats.
Vi kommer att förse dig med aktuellt analytiskt och textmaterial i priset ingår 2 vetenskapliga artiklar och ett sammandrag.
Kostnad för arbete från 35 000 tenge

ÖVNINGSRAPPORTER

Efter att ha genomfört någon typ av studentpraktik (utbildning, industri, förexamen) krävs en rapport. Detta dokument kommer att vara en bekräftelse på studentens praktiska arbete och grunden för att göra en bedömning för praktiken. Vanligtvis, för att göra en rapport om en praktikplats, behöver du samla in och analysera information om företaget, överväga strukturen och arbetsrutinen i den organisation där praktiken äger rum, upprätta en kalenderplan och beskriva din praktiska aktiviteter.
Vi hjälper dig att skriva en rapport om din praktik, med hänsyn till detaljerna i verksamheten i ett visst företag.

Lektionsämne: ”Differentiering av exponential- och logaritmiska funktioner. Antiderivata av exponentialfunktionen" i UNT-uppgifter

Mål : utveckla elevernas färdigheter i att tillämpa teoretisk kunskap om ämnet "Differentiering av exponentiella och logaritmiska funktioner. Antiderivata av exponentialfunktionen" för att lösa UNT-problem.

Uppgifter

Pedagogisk: systematisera elevernas teoretiska kunskaper, konsolidera problemlösningsförmåga om detta ämne.

Pedagogisk: utveckla minne, observation, logiskt tänkande, matematiskt tal av elever, uppmärksamhet, självkänsla och självkontrollförmåga.

Pedagogisk: bidra:

utveckla en ansvarsfull attityd till lärande bland elever;

utveckling av hållbart intresse för matematik;

skapa positiv intern motivation att studera matematik.

Lär ut metoder: verbalt, visuellt, praktiskt.

Arbetsformer: individuell, frontal, i par.

Under lektionerna

Epigraf: "Sinnet ligger inte bara i kunskap, utan också i förmågan att tillämpa kunskap i praktiken" Aristoteles (bild 2)

I. Organisatoriskt ögonblick.

II. Lösa korsordet. (bild 3-21)

Den franske matematikern Pierre Fermat från 1600-talet definierade denna linje som "Den räta linjen närmast kurvan i ett litet område av punkten."

Tangent

En funktion som ges av formeln y = log a x.

Logaritmisk

En funktion som ges av formeln y = A X.

Demonstrativ

I matematik används detta koncept för att hitta rörelsehastigheten för en materialpunkt och vinkelkoefficienten för en tangent till grafen för en funktion vid en given punkt.

Derivat

Vad heter funktionen F(x) för funktionen f(x), om villkoret F"(x) =f(x) är uppfyllt för någon punkt från intervallet I.

Antiderivat

Vad är namnet på förhållandet mellan X och Y, där varje element i X är associerat med ett enda element i Y.

Derivat av förskjutning

Fart

En funktion som ges av formeln y = e x.

Utställare

Om en funktion f(x) kan representeras som f(x)=g(t(x)), så kallas denna funktion...

III. Matematisk diktering (bild 22)

1. Skriv ner formeln för derivatan av exponentialfunktionen. ( A x)" = A x ln a

2. Skriv ner formeln för derivatan av exponentialen. (e x)" = e x

3. Skriv ner formeln för derivatan av den naturliga logaritmen. (ln x)"=

4. Skriv ner formeln för derivatan av en logaritmisk funktion. (logga a x)"=

5. Skriv ner den allmänna formen av antiderivator för funktionen f(x) = A X. F(x)=

6. Skriv ner den allmänna formen av antiderivator för funktionen f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Kontrollera ditt arbete (svar på bild 23).

IV. Lösa UNT-problem (simulator)

A) Nr 1,2,3,6,10,36 på tavlan och i anteckningsboken (bild 24)

B) Arbeta i par nr 19,28 (simulator) (slide 25-26)

V. 1. Hitta fel: (bild 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)=log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. Studentpresentation.

Epigraf: "Kunskap är en så värdefull sak att det inte finns någon skam att få den från någon källa" Thomas Aquinas (bild 28)

VII. Läxa nr 19,20 s.116

VIII. Test (reservuppgift) (bild 29-32)

IX. Lektionssammanfattning.

”Om du vill delta i ett stort liv, fyll då huvudet med matematik medan du har möjlighet. Hon kommer sedan att ge dig stor hjälp under hela ditt liv” M. Kalinin (bild 33)

Algebra-lektion i 11:e klass på ämnet: "Differentiering och integration av exponentiella och logaritmiska funktioner"

Lektionens mål:

Systematisera materialet som studerats i ämnet "Exponentiella och logaritmiska funktioner."

Att utveckla förmågan att lösa problem som involverar differentiering och integration av exponentiella och logaritmiska funktioner.

Använd informationsteknologins kapacitet för att utveckla motivation att studera komplexa ämnen i matematisk analys.

Ange kraven för att slutföra testarbetet om detta ämne i nästa lektion.

Under lektionerna

I. Organisationsmoment (1 – 2 minuter).

Läraren kommunicerar målen för lektionen.

Klassen är indelad i 4 grupper.

II. Blitzundersökning med formler (läxor).

Samtal i form av dialog med elever.

Låt oss säga att du satte in 10 000 rubel i en bank till en ränta på 12% per år. Om hur många år kommer din investering att fördubblas?

För att göra detta måste vi lösa ekvationen: , dvs Hur?

Vi måste gå till bas 10, det vill säga (med hjälp av en miniräknare)

Fördubblingen av bidraget kommer alltså att ske på sex år (lite över).

Här behövde vi en formel för att flytta till en ny bas. Vilka formler relaterade till differentiering och integration av logaritmiska och exponentiella funktioner känner du till? (alla formler är hämtade från lärobokens sidor, s. 81, s. 86).

Frågor till varandra i en kedja.

Frågor till läraren.

Läraren ber att få fram 1–2 formler.

På separata små lappar finns ett matematiskt diktat om kunskap om formler. En ömsesidig kontroll pågår. Seniorerna i grupperna visar den genomsnittliga aritmetiska poängen och lägger in den i tabellen.

Aktivitetstabell

Typ av aktivitet
1. Kunskap om formler.
2. Individuell kunskap. Arbeta i par.
3. Muntligt arbete.
4. Kontrolltester (datorbedömning).
5. Självständigt arbete (uppgifter på obligatorisk nivå).
6. Uppgifter med ökad komplexitet.

III. Muntligt arbete:

Bestäm antalet lösningar till ekvationerna.

A) ;

B) ;

När eleverna har svarat med overheadprojektorn visas grafer på skärmen.

A) 2 lösningar

B) 1 lösning

Ytterligare fråga: Hitta det största värdet på en funktion

En minskande funktion har det största värdet när indikatorn har det minsta värdet.

(2 sätt)

IV. Enskilt arbete.

Under muntligt arbete arbetar 2 personer från varje grupp med individuella uppgifter.

1:a gruppen: Den ena utforskar funktionen, den andra har en graf över denna funktion på den interaktiva tavlan.

Ytterligare fråga:. Svar: (Nummer e? Se sidan 86 i läroboken).

Grupp 2: Hitta en kurva som går genom punkt n (0; 2) om tangentens lutning vid någon punkt på kurvan är lika med produkten av tangentens koordinater. Den ena komponerar en differentialekvation och hittar en generell lösning, den andra hittar en speciell lösning med hjälp av initialvillkoren.

Svar:

Ytterligare fråga: Vilken är vinkeln mellan tangenten som ritas i punkt X=0 till grafen för funktionen y = e x- och x-axeln. (45 o)

Grafen för denna funktion kallas "exponent" (Hitta information om detta i läroboken och kontrollera din motivering med förklaringarna i läroboken, sidan 86).

Grupp 3:

Jämföra

Den ena jämför med att använda en mikroräknare och den andra utan.

Ytterligare fråga: Bestäm vid vilken x0 likheten?

Svar: x = 2 0,5.

Grupp 4: Bevisa det

Bevis på olika sätt.

Ytterligare fråga: Hitta ett ungefärligt värde e 1.01. Jämför ditt värde med svaret i exempel 2 (sida 86 i läroboken).

V. Arbeta med läroboken.

Barnen uppmanas att överväga exempel från exempel 1 - exempel 9 (sidorna 81 - 84 i läroboken). Utför kontrolltester baserat på dessa exempel.

VI. Kontrolltester.

Uppgiften är på skärmen. Det pågår en diskussion. Rätt svar väljs och motivering ges. Datorn ger poäng. Den äldste i gruppen noterar i tabellen sina kamraters aktivitet under provet.

1) Givet en funktion f(x)= 2-e 3x. Bestäm vid vilket värde på C grafen för dess antiderivata F(x)+C passerar genom punkten M (1/3;-e/3)

Svar: a) e-1; b) 5/8; c) -2/3; d) 2.

2) Givet en funktion f(x)= e 3x-2 +ln(2x+3). Hitta f"(2/3)

Svar: a) -1; b) 45/13; c) 1/3; d) 2.

3) Uppfyller funktionen y = e yxa ekvation y" = ja.

Svar: a) ja; b) nej; c) allt beror på båda; d) det är omöjligt att säga definitivt.

VII. Självständigt arbete.

Uppgifter på obligatorisk nivå: Hitta extrema punkter för funktioner.

		III grupp

Den äldste i gruppen sätter poäng för denna uppgift i tabellen.

Vid denna tidpunkt arbetar en person från varje grupp i styrelsen med uppgifter av ökad komplexitet.

		III grupp

Läraren visar den fullständiga skriftliga dokumentationen av uppgifterna längs vägen (den projiceras på skärmen, detta är mycket viktigt för att slutföra det efterföljande provarbetet).

VIII. Läxa.

IX. Lektionssammanfattning:

Betygsättning med hänsyn till erhållna poäng Normer för betyg för det kommande provarbetet i nästa lektion.