Twierdzenia o polach figur. Pole prostokąta

Informacje historyczne

Na Rusi Kijowskiej, sądząc z zachowanych źródeł, nie stosowano miar powierzchniowych na wzór kwadratowych. Chociaż starożytni rosyjscy architekci i geodeci mieli o nich pojęcie.

Do określenia wielkości działek potrzebne były pomiary powierzchniowe. Nie zawsze działki były wyraźnie odgraniczone, stykały się ze sobą lub posiadały znaki graniczne.

Na starożytnej Rusi do celów podatkowych używano jednostek czysto konwencjonalnych, charakteryzujących pracę lub narzędzia rolnicze, a także miar opartych na możliwościach pracy. Stąd takie nazwy środków rolniczych (jednostek podatkowych), jak „dom” (rodzina) lub „dym”, „ralo”, „pług”, „obzha” itp. Pracowniczy charakter środków „pług” i „obzha” oraz ich związek jasno wynika z zachowanej odpowiedzi Nowogrodzów na prośbę Iwana III z 1478 r.: „Trzy obzhi - pług i obzha - 1 osoba na 1 konia krzyczy (pługi); i ten, kto jest na 3 koniach, a trzeci krzyczy, bo inaczej to pług”.

Pomimo niepewności w sensie geometrycznym, działania „siewne” okazały się dla rolników dogodniejsze, ponadto wysokość podatku została ustalona w sposób bardziej obiektywny i dokładniejszy.

W przypadku pól siana szeroko stosowano miary „plonu” – bele siana. Do pomiaru powierzchni zasiewów używano czasami hałd.

Wszelkie środki „pracy”, „żniwa” i „siewu” zawierały w sobie elementy podmiotowości i dowolności, które ujawniały się bezpośrednio w praktyce stosowania tych miar.

W czasie rozbicia feudalnego Rusi jako miary powierzchni używano „domu” (dymu), „pługu”, „obży”. Różniła się jednak ich liczba w zależności od księstwa. Różnice występowały także w nazwach środków. Na przykład w Nowogrodzie jako miarę siewu zastosowano „korobę” (obszar, na którym zasiano skrzynkę żyta - miara objętości).

Powierzchnię obszarów sianokosowych oszacowano na podstawie stogu siana (powierzchnia łąki, na której można skosić stog siana). Pomiary te umożliwiły określenie plonu, ale nie dały pełnego obrazu kształtu i wielkości działek.

W połowie XIII w. Tatarzy przeprowadzili zakrojoną na szeroką skalę inwentaryzację obszarów lądowych. Inwentarze oparto na indywidualnym gospodarstwie domowym („dom” lub „dym”) jako jednostce miary.

W zabytkach pisma starożytnego z końca XIV w. wspominana jest geometryczna miara powierzchni ziemi – dziesięcina. Początkowo używano dziesięciny „okrągłej” – kwadratu o boku równym jednej dziesiątej wiorsty (50 sążni), stąd wzięła się nazwa „dziesięcina”. Od połowy XV wieku zaczęto przeznaczać dziesięcinę na grunty orne, a nie tylko na pola siana. Od tego momentu można mówić o zastosowaniu w praktyce geodezyjnej miar prawdziwie w sensie metrologicznym.

Przejście z ćwiartki na dziesięcinę okazało się trudne, gdyż ćwiartkę obliczano na podstawie faktycznie zasianego ziarna, było to dla wszystkich jasne, ponadto w księgach skrybów zapisywano określenie powierzchni gruntów w kwaterach.

formuła dowodu pomiaru powierzchni

Powierzchnia wielokąta i jego właściwości

Pole wielokąta to wielkość części płaszczyzny zajmowanej przez wielokąt. Pomiar powierzchni odbywa się przy użyciu wybranej jednostki miary w taki sam sposób, jak pomiar długości odcinków. Jednostką miary powierzchni jest kwadrat, którego bok jest równy jednostce miary odcinków. Centr kwadratowy oznaczony cm2. Zdefiniowane podobnie metr kwadratowy (m2), milimetr kwadratowy(mm 2) itp.

Przy wybranej jednostce powierzchni pole każdego wielokąta wyraża się jako liczbę dodatnią. Liczba ta pokazuje, ile razy jednostka miary i jej części mieszczą się w danym wielokącie.

Zwykle mierzone są tylko niektóre segmenty związane z wielokątem, a następnie obliczana jest powierzchnia za pomocą określonych wzorów.

Wyprowadzenie tych wzorów opiera się na właściwościach obszarów, które teraz rozważymy.

Przede wszystkim zauważamy, że jeśli dwa wielokąty są równe, to jednostka miary pól i jej części pasują do takich wielokątów tyle samo razy, tj. zachodzi następująca własność:

1. Równe wielokąty mają równe pola

Ponadto niech wielokąt będzie złożony z kilku wielokątów w taki sposób, że wewnętrzne obszary dowolnych dwóch z tych wielokątów nie będą miały wspólnych punktów. Oczywiście rozmiar części płaszczyzny zajmowanej przez cały wielokąt jest sumą rozmiarów tych części płaszczyzny zajmowanych przez tworzące ją wielokąty. Więc:

2. Jeżeli wielokąt składa się z kilku wielokątów, to jego pole jest równe sumie pól tych wielokątów

Wywoływane są właściwości 1 0 i 2 0 podstawowe właściwości obszarów. Długości odcinków mają podobne właściwości.

Oprócz tych właściwości potrzebujemy jeszcze jednej właściwości obszarów.

3. Pole kwadratu jest równe kwadratowi jego boku

Krótkie sformułowanie tej właściwości należy rozumieć następująco: jeżeli bok kwadratu z wybraną jednostką miary odcinków wyraża się liczbą A, wówczas pole tego kwadratu wyraża się liczbą 2.

Powierzchnia kwadratowa

Udowodnijmy, że pole S kwadratu o boku a jest równe 2.

Zacznijmy od tego, że a =

, gdzie n jest liczbą całkowitą. Weźmy kwadrat o boku 1 i podzielmy go na n 2 równych kwadratów, jak pokazano na rysunku a) (na rysunku n=5). Ponieważ powierzchnia dużego kwadratu wynosi 1, powierzchnia każdego małego kwadratu wynosi . Bok każdego małego kwadratu jest równy, tj. równy A. Zatem = (wzór 1)

Niech teraz będzie liczba A reprezentuje końcowy ułamek dziesiętny zawierający n miejsc po przecinku (w szczególności liczbę A może być liczbą całkowitą, a wtedy n=0). Wtedy liczba m=

cały. Podzielmy ten kwadrat o boku a na m2 równych kwadratów, jak pokazano na rysunku b) (na rysunku m=7)
Co więcej, każdy bok danego kwadratu zostanie podzielony na m równych części, a zatem bok dowolnego małego kwadratu będzie równy

Zgodnie ze wzorem 1 pole małego kwadratu wynosi

. Dlatego pole S tego kwadratu jest równe

Na koniec niech numer A reprezentuje nieskończony ułamek dziesiętny. Rozważmy liczbę a uzyskaną z A odrzucając wszystkie miejsca po przecinku, zaczynając od (n+1) – tys. Od numeru A różni się od A N nie więcej niż

, To , Gdzie

Oczywiste jest, że pole S danego kwadratu zawiera się pomiędzy polem kwadratu o boku

Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki z wynikiem 60–65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z egzaminu państwowego Profile Unified z matematyki. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa do rozwiązywania złożonych problemów części 2 jednolitego egzaminu państwowego.

Pole figury geometrycznej- numeryczna charakterystyka figury geometrycznej pokazująca wielkość tej figury (część powierzchni ograniczona zamkniętym konturem tej figury). Wielkość obszaru wyraża się liczbą zawartych w nim jednostek kwadratowych.

Wzory na pole trójkąta

1. Wzór na pole trójkąta na bok i wysokość
   Pole trójkąta równa połowie iloczynu długości boku trójkąta i długości wysokości poprowadzonej na ten bok
   
2. Wzór na pole trójkąta oparty na trzech bokach i promieniu okręgu opisanego
   
3. Wzór na pole trójkąta oparty na trzech bokach i promieniu okręgu wpisanego
   Pole trójkąta jest równy iloczynowi półobwodu trójkąta i promienia okręgu wpisanego.
   
gdzie S jest polem trójkąta,
- długości boków trójkąta,
- wysokość trójkąta,
- kąt między bokami i,
- promień okręgu wpisanego,
R - promień okręgu opisanego,

Wzory na pole kwadratu

1. Wzór na pole kwadratu według długości boku
   Powierzchnia kwadratowa równy kwadratowi długości jego boku.
2. Wzór na pole kwadratu wzdłuż przekątnej
   Powierzchnia kwadratowa równy połowie kwadratu długości jego przekątnej.
   

   S=	1	2
   	2

gdzie S jest polem kwadratu,
- długość boku kwadratu,
- długość przekątnej kwadratu.

Wzór na pole prostokąta

Pole prostokąta równy iloczynowi długości dwóch sąsiednich boków

gdzie S jest polem prostokąta,
- długości boków prostokąta.

Wzory na pole równoległoboku

1. Wzór na pole równoległoboku na podstawie długości i wysokości boku
   Obszar równoległoboku
2. Wzór na pole równoległoboku oparty na dwóch bokach i kącie między nimi
   Obszar równoległoboku jest równy iloczynowi długości jego boków pomnożonemu przez sinus kąta między nimi.
   

   a b grzech α

gdzie S jest obszarem równoległoboku,
- długości boków równoległoboku,
- długość wysokości równoległoboku,
- kąt między bokami równoległoboku.

Wzory na pole rombu

1. Wzór na pole rombu na podstawie długości boku i wysokości
   Powierzchnia rombu równy iloczynowi długości jego boku i długości wysokości obniżonej na ten bok.
2. Wzór na pole rombu na podstawie długości boku i kąta
   Powierzchnia rombu jest równy iloczynowi kwadratu długości jego boku i sinusa kąta między bokami rombu.
3. Wzór na pole rombu na podstawie długości jego przekątnych
   Powierzchnia rombu równy połowie iloczynu długości jego przekątnych.
gdzie S jest polem rombu,
- długość boku rombu,
- długość wysokości rombu,
- kąt między bokami rombu,
1, 2 - długości przekątnych.

Wzory na pole trapezu

1. Wzór Herona na trapez

   Gdzie S jest obszarem trapezu,
   - długości podstaw trapezu,
   - długości boków trapezu,
   

Najstarszymi pojęciami w rozwoju geometrii świata są pojęcia pól wielu figur prostoliniowych, do których należą: prostokąt, równoległobok, trójkąt i trapez. Już w VII wieku p.n.e. Egipcjanie wiedzieli, jak obliczyć pole prostokąta. Pomnożyli długość przez szerokość.

Dość rozwinięta była także arytmetyka i algebra babilońska, o czym świadczą znalezione podczas wykopalisk tabliczki klinowe. Geometria babilońska miała pojęcie o proporcjonalności odcinków przeciętych równoległymi liniami, a także o twierdzeniu Pitagorasa, a nawet o obliczaniu objętości i pól niektórych figur. Jednocześnie Babilończycy przyjmowali jako figury przestrzenne określone przedmioty z życia codziennego. Na przykład podczas konstruowania okrągłych budynków obliczano w przybliżeniu obwód na podstawie jego trzech średnic. Obliczyli pole prostokąta na podstawie liczby wykonanych kroków. Najwyraźniej w tamtym czasie takie definicje wartości były całkiem akceptowalne. Taka zastosowana geometria była typowa dla wielu narodów świata i była szeroko stosowana w rozwiązywaniu różnych kontrowersyjnych problemów życia codziennego.

Wybitny uczony swoich czasów, Archimedes, do dowodzenia twierdzeń o polach figur stosował metodę wyczerpania. W rzeczywistości jest to nic innego jak dowód pośredni, który zaczyna się od sprzeczności. Główną ideą metody Archimedesa jest to, że wewnątrz figury, której pole jest poszukiwane, należy wpisać prawidłowe figury. Stosując warianty metody wyczerpania, wybitny naukowiec był w stanie udowodnić wiele twierdzeń.

Twierdzenie: Pole prostokąta jest równe iloczynowi sąsiednich boków.

S = ok

Mamy więc prostokąt o dwóch bokach - A I B . Pole prostokąta - S . Udowodnijmy to S = ok .

Zamieńmy nasz prostokąt w kwadrat. Aby to zrobić, zwiększmy jego bok B do długości boku A

W rezultacie otrzymaliśmy cztery kwadraty. Wiemy, że pole kwadratu wynosi (a + b) 2 . Jednocześnie kwadraty te składają się z dwóch prostokątów: jednego prostokąta o polu S i tego samego prostokąta o tym samym polu oraz dwóch kwadratów o polach 2 I b 2 . Bazując na tym, że nasz czworobok składa się nie z jednego czworoboku, ale z kilku, jego pole będzie równe sumie wszystkich pól tych czworoboków. Wynika to z własności obszarów.

Kwadrat jest foremnym czworokątem, w którym wszystkie boki i kąty są sobie równe.
Pole kwadratu jest równe kwadratowi jego boku:
S = 2

Dowód

Zacznijmy od przypadku kiedy a = 1/n, gdzie n jest liczbą całkowitą.
Weźmy kwadrat o boku 1 i podzielmy go na n 2 równych kwadratów, jak pokazano na rysunku 1.

Ponieważ powierzchnia dużego kwadratu jest równa jeden, powierzchnia każdego małego kwadratu jest równa 1/n 2. Bok każdego małego kwadratu wynosi 1/n, tj. równy a. Więc,
S = 1/n 2 = (1/n) 2 = za 2 . (1)
Niech teraz będzie liczba A reprezentuje skończony ułamek dziesiętny zawierający n miejsc po przecinku (w szczególności liczba a może być liczbą całkowitą, w tym przypadku n = 0). Wtedy liczba m = a · 10 n jest liczbą całkowitą. Podzielmy ten kwadrat o boku a na m2 równych kwadratów, jak pokazano na rysunku 2.

Co więcej, każdy bok danego kwadratu zostanie podzielony na m równych części, a zatem bok dowolnego małego kwadratu jest równy

a/m = a / (a ​​· 10 n) = 1/10 n.

Według formuły (1) Pole małego kwadratu wynosi (1/10 n) 2 . Stąd, Pole S tego kwadratu jest równe

m 2 · (1/10 n) 2 = (m/10 n) 2 = ((a · 10 n)/10 n) 2 = za 2 .

Wreszcie, niech numer A reprezentuje nieskończony ułamek dziesiętny. Rozważ liczbę jakiś, uzyskany z A odrzucając wszystkie miejsca po przecinku, zaczynając od (n+1) t. Od numeru A różni się od jakiś nie więcej niż 1/10 rz, To za n ≤ za ≤ za n + 1/10 n, Gdzie

za n 2 ≤ za 2 ≤ (za n + 1/10 n) 2 . (2)

Oczywiste jest, że obszar S danego kwadratu mieści się pomiędzy polem kwadratu o boku a n i polem kwadratu o boku a n + 1/10 n:

tj. pomiędzy na 2 I (a n + 1/10 n) 2:

za n 2 ≤ S ≤ (za n + 1/10 n) 2 . (3)

Zwiększamy tę liczbę bez ograniczeń N. Potem numer 1/10 rz stanie się dowolnie mały, a zatem liczba (a n + 1/10 n) 2 będzie się różnić tak mało, jak to pożądane, od liczby a n 2. Zatem z nierówności (2) I (3) wynika z tego liczba S różni się tak mało, jak to pożądane, od liczby a 2 . Zatem te liczby są równe: S = 2, co należało udowodnić.

Pole kwadratu można również obliczyć za pomocą następujących wzorów:

S = 4r 2,
S = 2R2,