Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych o tych samych podstawach. Praca Manova „Nierówności logarytmiczne w jednolitym egzaminie państwowym”

Czy uważasz, że do egzaminu Unified State Exam jest jeszcze trochę czasu i będziesz miał czas na przygotowanie się? Być może tak jest. Ale w każdym razie im wcześniej uczeń rozpocznie przygotowania, tym skuteczniej zdaje egzaminy. Dziś postanowiliśmy poświęcić artykuł nierównościom logarytmicznym. To jedno z zadań, co oznacza możliwość zdobycia dodatkowego zaliczenia.

Czy wiesz już, czym jest logarytm? Naprawdę mamy taką nadzieję. Ale nawet jeśli nie znasz odpowiedzi na to pytanie, nie stanowi to problemu. Zrozumienie, czym jest logarytm, jest bardzo proste.

Dlaczego 4? Musisz podnieść liczbę 3 do tej potęgi, aby otrzymać 81. Kiedy zrozumiesz zasadę, możesz przystąpić do bardziej złożonych obliczeń.

Kilka lat temu przeżyłeś nierówności. I od tego czasu stale spotykasz je w matematyce. Jeśli masz problemy z rozwiązaniem nierówności, sprawdź odpowiednią sekcję.
Skoro już zapoznaliśmy się z pojęciami indywidualnie, przejdźmy do ich ogólnego rozważenia.

Najprostsza nierówność logarytmiczna.

Najprostsze nierówności logarytmiczne nie ograniczają się do tego przykładu; są jeszcze trzy, tylko z różnymi znakami. Dlaczego jest to konieczne? Aby lepiej zrozumieć, jak rozwiązywać nierówności za pomocą logarytmów. Podajmy teraz bardziej odpowiedni przykład, wciąż całkiem prosty; złożone nierówności logarytmiczne zostawmy na później.

Jak to rozwiązać? Wszystko zaczyna się od ODZ. Warto dowiedzieć się o tym więcej, jeśli chcesz zawsze łatwo rozwiązać każdą nierówność.

Co to jest ODZ? ODZ dla nierówności logarytmicznych

Skrót oznacza zakres dopuszczalnych wartości. To sformułowanie często pojawia się w zadaniach do egzaminu Unified State Exam. ODZ przyda Ci się nie tylko w przypadku nierówności logarytmicznych.

Spójrz jeszcze raz na powyższy przykład. Na jego podstawie rozważymy ODZ, abyście zrozumieli zasadę, a rozwiązywanie nierówności logarytmicznych nie rodziło pytań. Z definicji logarytmu wynika, że ​​2x+4 musi być większe od zera. W naszym przypadku oznacza to co następuje.

Liczba ta z definicji musi być dodatnia. Rozwiąż nierówność przedstawioną powyżej. Można to zrobić nawet ustnie; tutaj jest jasne, że X nie może być mniejsze niż 2. Rozwiązaniem nierówności będzie określenie zakresu dopuszczalnych wartości.
Przejdźmy teraz do rozwiązania najprostszej nierówności logarytmicznej.

Odrzucamy same logarytmy z obu stron nierówności. Co nam w rezultacie pozostaje? Prosta nierówność.

Nie jest to trudne do rozwiązania. X musi być większe niż -0,5. Teraz łączymy dwie uzyskane wartości w system. Zatem,

Będzie to zakres dopuszczalnych wartości rozważanej nierówności logarytmicznej.

Po co nam w ogóle ODZ? Jest to okazja do wyeliminowania błędnych i niemożliwych odpowiedzi. Jeśli odpowiedź nie mieści się w dopuszczalnych wartościach, to odpowiedź po prostu nie ma sensu. Warto o tym długo pamiętać, gdyż na egzaminie Unified State Exam często pojawia się konieczność poszukiwania ODZ i dotyczy to nie tylko nierówności logarytmicznych.

Algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznej

Rozwiązanie składa się z kilku etapów. Najpierw musisz znaleźć zakres akceptowalnych wartości. W ODZ będą dwa znaczenia, omówiliśmy to powyżej. Następnie musisz rozwiązać samą nierówność. Metody rozwiązania są następujące:

• metoda zamiany mnożnika;
• rozkład;
• metoda racjonalizacji.

W zależności od sytuacji warto skorzystać z jednej z powyższych metod. Przejdźmy bezpośrednio do rozwiązania. Przedstawiamy najpopularniejszą metodę, która jest odpowiednia do rozwiązywania zadań Unified State Examination w prawie wszystkich przypadkach. Następnie przyjrzymy się metodzie rozkładu. Może to pomóc, jeśli natkniesz się na szczególnie trudną nierówność. A więc algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznej.

Przykłady rozwiązań :

Nie bez powodu wzięliśmy właśnie tę nierówność! Zwróć uwagę na podstawę. Pamiętaj: jeśli jest większa niż jeden, znak pozostaje ten sam przy znajdowaniu zakresu dopuszczalnych wartości; w przeciwnym razie musisz zmienić znak nierówności.

W rezultacie otrzymujemy nierówność:

Teraz sprowadzamy lewą stronę do postaci równania równego zero. Zamiast znaku „mniej niż” stawiamy „równa się” i rozwiązujemy równanie. W ten sposób znajdziemy ODZ. Mamy nadzieję, że nie będziesz miał problemów z rozwiązaniem tak prostego równania. Odpowiedzi to -4 i -2. To nie wszystko. Należy wyświetlić te punkty na wykresie, umieszczając „+” i „-”. Co należy w tym celu zrobić? Zastąp liczby z przedziałów do wyrażenia. Tam, gdzie wartości są dodatnie, stawiamy tam „+”.

Odpowiedź: x nie może być większe niż -4 i mniejsze niż -2.

Znaleźliśmy zakres dopuszczalnych wartości tylko dla lewej strony, teraz musimy znaleźć zakres dopuszczalnych wartości dla prawej strony. To jest o wiele łatwiejsze. Odpowiedź: -2. Przecinamy oba powstałe obszary.

I dopiero teraz zaczynamy zajmować się samą nierównością.

Uprośćmy to tak bardzo, jak to możliwe, aby ułatwić rozwiązanie.

W rozwiązaniu ponownie stosujemy metodę przedziałową. Pomińmy obliczenia; z poprzedniego przykładu wszystko jest już jasne. Odpowiedź.

Ale ta metoda jest odpowiednia, jeśli nierówność logarytmiczna ma te same podstawy.

Rozwiązywanie równań logarytmicznych i nierówności o różnych podstawach wymaga wstępnej redukcji do tej samej podstawy. Następnie zastosuj metodę opisaną powyżej. Ale jest bardziej skomplikowany przypadek. Rozważmy jeden z najbardziej złożonych typów nierówności logarytmicznych.

Nierówności logarytmiczne o zmiennej podstawie

Jak rozwiązać nierówności o takich cechach? Tak, i takie osoby można znaleźć w Unified State Examination. Rozwiązanie nierówności w następujący sposób również będzie miało korzystny wpływ na Twój proces edukacyjny. Przyjrzyjmy się temu zagadnieniu szczegółowo. Odrzućmy teorię i przejdźmy od razu do praktyki. Aby rozwiązać nierówności logarytmiczne, wystarczy raz zapoznać się z przykładem.

Aby rozwiązać nierówność logarytmiczną przedstawionej postaci, należy sprowadzić prawą stronę do logarytmu o tej samej podstawie. Zasada przypomina przejścia równoważne. W rezultacie nierówność będzie wyglądać następująco.

Właściwie pozostaje tylko stworzyć system nierówności bez logarytmów. Stosując metodę racjonalizacji, przechodzimy do równoważnego układu nierówności. Sama regułę zrozumiesz, gdy zastąpisz odpowiednie wartości i prześledzisz ich zmiany. Układ będzie miał następujące nierówności.

Stosując metodę racjonalizacji przy rozwiązywaniu nierówności należy pamiętać o następujących kwestiach: od podstawy należy odjąć x, z definicji logarytmu, od obu stron nierówności (od prawej do lewej) odejmuje się x, mnoży się dwa wyrażenia i ustawić pod oryginalnym znakiem w stosunku do zera.

Dalsze rozwiązanie odbywa się metodą interwałową, tutaj wszystko jest proste. Ważne jest, abyś zrozumiał różnice w metodach rozwiązywania, wtedy wszystko zacznie się łatwo układać.

Nierówności logarytmiczne mają wiele niuansów. Najprostsze z nich są dość łatwe do rozwiązania. Jak rozwiązać każdy z nich bez problemów? Otrzymałeś już wszystkie odpowiedzi w tym artykule. Teraz przed tobą długa praktyka. Stale ćwicz rozwiązywanie różnych problemów na egzaminie, a będziesz w stanie uzyskać najwyższy wynik. Powodzenia w trudnym zadaniu!

NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE W UŻYCIU

Sieczin Michaił Aleksandrowicz

Mała Akademia Nauk dla Studentów Republiki Kazachstanu „Iskatel”

MBOU „Sowiecka Szkoła Średnia nr 1”, klasa 11, m. Rejon sowiecki, sowiecki

Gunko Ludmiła Dmitriewna, nauczycielka Miejskiej Budżetowej Instytucji Oświatowej „Sovetskaya Liceum nr 1”

Rejon sowiecki

Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązywania nierówności logarytmicznych C3 metodami niestandardowymi, identyfikowanie ciekawostek dotyczących logarytmu.

Przedmiot badań:

3) Nauczyć się rozwiązywać określone nierówności logarytmiczne C3 metodami niestandardowymi.

Wyniki:

Treść

Wprowadzenie……………………………………………………………………………….4

Rozdział 1. Historia zagadnienia…………………………………………………...5

Rozdział 2. Zbieranie nierówności logarytmicznych ………………………… 7

2.1. Przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów…………… 7

2.2. Metoda racjonalizacji…………………………………………………………… 15

2.3. Zastępstwo niestandardowe .................................................................................. ............... 22

2.4. Zadania z pułapkami…………………………………………………27

Zakończenie…………………………………………………………………………… 30

Literatura……………………………………………………………………. 31

Wstęp

Chodzę do 11. klasy i planuję rozpocząć studia na uniwersytecie, gdzie głównym przedmiotem jest matematyka. Dlatego dużo pracuję z problemami z części C. W zadaniu C3 muszę rozwiązać niestandardową nierówność lub układ nierówności, zwykle związany z logarytmami. Przygotowując się do egzaminu, stanąłem przed problemem braku metod i technik rozwiązywania egzaminacyjnych nierówności logarytmicznych oferowanych w C3. Metody studiowane w szkolnym programie nauczania na ten temat nie stanowią podstawy do rozwiązywania zadań C3. Nauczycielka matematyki zasugerowała, żebym samodzielnie pracowała nad zadaniami na poziomie C3 pod jej okiem. Dodatkowo zainteresowało mnie pytanie: czy w naszym życiu spotykamy logarytmy?

Mając to na uwadze, wybrano temat:

„Nierówności logarytmiczne na egzaminie jednolitym”

Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązywania problemów C3 metodami niestandardowymi, identyfikowanie interesujących faktów dotyczących logarytmu.

Przedmiot badań:

1) Znajdź niezbędne informacje na temat niestandardowych metod rozwiązywania nierówności logarytmicznych.

2) Znajdź dodatkowe informacje na temat logarytmów.

3) Naucz się rozwiązywać konkretne problemy C3 przy użyciu niestandardowych metod.

Wyniki:

Praktyczne znaczenie polega na rozbudowie aparatury do rozwiązywania problemów C3. Materiał ten można wykorzystać na niektórych lekcjach, w klubach i na zajęciach fakultatywnych z matematyki.

Produktem projektu będzie zbiór „C3 Nierówności logarytmiczne z rozwiązaniami”.

Rozdział 1. Tło

Przez cały XVI wiek liczba obliczeń przybliżonych gwałtownie wzrosła, głównie w astronomii. Udoskonalanie instrumentów, badanie ruchów planet i inne prace wymagały kolosalnych, czasem wieloletnich obliczeń. Astronomii groziło realne niebezpieczeństwo utonięcia w niespełnionych obliczeniach. Trudności pojawiały się w innych obszarach, np. w branży ubezpieczeniowej, potrzebne były tabele oprocentowania złożonego dla różnych stóp procentowych. Główną trudnością było mnożenie i dzielenie liczb wielocyfrowych, zwłaszcza wielkości trygonometrycznych.

Odkrycie logarytmów opierało się na właściwościach progresji, które były dobrze znane pod koniec XVI wieku. Archimedes mówił w Psalmie o związku pomiędzy wyrazami ciągu geometrycznego q, q2, q3,... i postępem arytmetycznym ich wykładników 1, 2, 3,.... Kolejnym warunkiem wstępnym było rozszerzenie pojęcia stopnia na wykładniki ujemne i ułamkowe. Wielu autorów wskazywało, że mnożenie, dzielenie, potęgowanie i ekstrakcja pierwiastków w postępie geometrycznym odpowiadają w arytmetyce – w tej samej kolejności – dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.

Tutaj leży idea logarytmu jako wykładnika.

W historii rozwoju doktryny logarytmów minęło kilka etapów.

Scena 1

Logarytmy zostały wynalezione nie później niż w 1594 roku niezależnie przez szkockiego barona Napiera (1550-1617), a dziesięć lat później przez szwajcarskiego mechanika Bürgi (1552-1632). Obaj chcieli zapewnić nowy, wygodny sposób obliczeń arytmetycznych, chociaż podeszli do tego problemu na różne sposoby. Napier kinematycznie wyraził funkcję logarytmiczną i tym samym wkroczył w nową dziedzinę teorii funkcji. Bürgi pozostał w oparciu o rozważenie dyskretnych progresji. Jednak definicja logarytmu dla obu nie jest podobna do współczesnej. Termin „logarytm” (logarytm) należy do Napiera. Powstało z połączenia greckich słów: logos – „relacja” i ariqmo – „liczba”, co oznaczało „liczbę relacji”. Początkowo Napier używał innego określenia: numeri Artificiales – „liczby sztuczne”, w przeciwieństwie do numeri naturalts – „liczby naturalne”.

W 1615 roku w rozmowie z Henrym Briggsem (1561-1631), profesorem matematyki w Gresh College w Londynie, Napier zasugerował przyjmowanie zera jako logarytmu jedności i 100 jako logarytmu dziesięciu, czyli co równa się temu rzecz, tylko 1. Tak wydrukowano logarytmy dziesiętne i pierwsze tablice logarytmiczne. Później tablice Briggsa uzupełnił holenderski księgarz i miłośnik matematyki Adrian Flaccus (1600-1667). Napier i Briggs, choć do logarytmów doszli wcześniej niż wszyscy inni, swoje tablice opublikowali później niż pozostali – w roku 1620. Znaki dziennika i dziennika wprowadził w 1624 r. I. Kepler. Termin „logarytm naturalny” wprowadził Mengoli w 1659 r., a następnie N. Mercator w 1668 r., a londyński nauczyciel John Speidel opublikował tablice logarytmów naturalnych liczb od 1 do 1000 pod nazwą „Nowe logarytmy”.

Pierwsze tablice logarytmiczne opublikowano w języku rosyjskim w 1703 roku. Ale we wszystkich tabelach logarytmicznych wystąpiły błędy obliczeniowe. Pierwsze bezbłędne tablice ukazały się w 1857 r. w Berlinie, a ich opracowaniem zajął się niemiecki matematyk K. Bremiker (1804-1877).

Etap 2

Dalszy rozwój teorii logarytmów wiąże się z szerszym zastosowaniem geometrii analitycznej i rachunku nieskończenie małego. Do tego czasu ustalono związek między kwadraturą hiperboli równobocznej a logarytmem naturalnym. Teoria logarytmów tego okresu jest związana z nazwiskami wielu matematyków.

Niemiecki matematyk, astronom i inżynier Nikolaus Mercator w eseju

„Logarithmotechnics” (1668) podaje szereg dający rozwinięcie ln(x+1) w

potęgi x:

Wyrażenie to dokładnie odpowiada jego tokowi myślenia, chociaż oczywiście nie użył znaków d, ..., ale bardziej uciążliwą symbolikę. Wraz z odkryciem szeregu logarytmicznego zmieniła się technika obliczania logarytmów: zaczęto je wyznaczać za pomocą szeregów nieskończonych. W wykładach „Matematyka elementarna z wyższego punktu widzenia”, wygłaszanych w latach 1907-1908, F. Klein zaproponował przyjęcie wzoru jako punktu wyjścia do konstruowania teorii logarytmów.

Etap 3

Definicja funkcji logarytmicznej jako funkcji odwrotnej

wykładniczy, logarytm jako wykładnik danej podstawy

nie został sformułowany od razu. Esej Leonharda Eulera (1707-1783)

„Wprowadzenie do analizy nieskończoności” (1748) posłużyło do dalszego rozwoju

rozwój teorii funkcji logarytmicznych. Zatem,

Od czasu pierwszego wprowadzenia logarytmów minęły 134 lata

(licząc od 1614 r.), zanim matematycy doszli do definicji

pojęcie logarytmu, które jest obecnie podstawą zajęć szkolnych.

Rozdział 2. Zbiór nierówności logarytmicznych

2.1. Przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów.

Równoważne przejścia

, jeśli a > 1

, jeśli 0 < а < 1

Uogólniona metoda interwałowa

Metoda ta jest najbardziej uniwersalna przy rozwiązywaniu nierówności niemal każdego typu. Schemat rozwiązania wygląda następująco:

1. Doprowadź nierówność do postaci, w której występuje funkcja po lewej stronie
, a po prawej 0.

2. Znajdź dziedzinę funkcji
.

3. Znajdź zera funkcji
, czyli rozwiązać równanie
(a rozwiązanie równania jest zwykle łatwiejsze niż rozwiązanie nierówności).

4. Narysuj dziedzinę definicji i zera funkcji na osi liczbowej.

5. Wyznacz znaki funkcji
na otrzymanych interwałach.

6. Wybierz przedziały, w których funkcja przyjmuje wymagane wartości i zapisz odpowiedź.

Przykład 1.

Rozwiązanie:

Zastosujmy metodę interwałową

Gdzie

Dla tych wartości wszystkie wyrażenia pod znakami logarytmicznymi są dodatnie.

Odpowiedź:

Przykład 2.

Rozwiązanie:

1 sposób . ADL zależy od nierówności X> 3. Branie logarytmów dla takich X do podstawy 10, otrzymujemy

Ostatnią nierówność można rozwiązać stosując reguły rozwinięcia, tj. porównanie czynników do zera. Jednak w tym przypadku łatwo jest wyznaczyć przedziały znaku stałego funkcji

dlatego można zastosować metodę interwałową.

Funkcjonować F(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ jest ciągłe w X> 3 i znika w punktach X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. W ten sposób wyznaczamy przedziały stałego znaku funkcji F(X):

Odpowiedź:

2. metoda . Zastosujmy bezpośrednio idee metody przedziałowej do pierwotnej nierówności.

Aby to zrobić, pamiętaj, że wyrażenia A B- A c i ( A - 1)(B- 1) mają jeden znak. Wtedy nasza nierówność w X> 3 jest równoznaczne z nierównością

Lub

Ostatnią nierówność rozwiązuje się metodą przedziałową

Odpowiedź:

Przykład 3.

Rozwiązanie:

Zastosujmy metodę interwałową

Odpowiedź:

Przykład 4.

Rozwiązanie:

Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 dla wszystkich rzeczywistych X, To

Do rozwiązania drugiej nierówności używamy metody przedziałowej

W pierwszej nierówności dokonujemy zamiany

wtedy dochodzimy do nierówności 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, które spełniają nierówność -0,5< y < 1.

Skąd, ponieważ

otrzymujemy nierówność

który jest wykonywany kiedy X, dla którego 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Teraz, biorąc pod uwagę rozwiązanie drugiej nierówności układu, ostatecznie otrzymujemy

Odpowiedź:

Przykład 5.

Rozwiązanie:

Nierówność jest równoważna zbiorowi systemów

Lub

Użyjmy metody interwałowej lub

Odpowiedź:

Przykład 6.

Rozwiązanie:

Nierówność równa się systemowi

Pozwalać

Następnie y > 0,

i pierwsza nierówność

system przybiera formę

lub rozkładanie

rozłożony na czynniki trójmian kwadratowy,

Stosując metodę przedziałową do ostatniej nierówności,

widzimy, że jego rozwiązania spełniają warunek y> 0 będzie wszystkim y > 4.

Zatem pierwotna nierówność jest równoważna systemowi:

Zatem są wszystkie rozwiązania nierówności

2.2. Metoda racjonalizacji.

Wcześniej nierówności nie rozwiązywano metodą racjonalizacyjną; nie było to znane. Jest to „nowa, nowoczesna, skuteczna metoda rozwiązywania nierówności wykładniczych i logarytmicznych” (cytat z książki S.I. Kolesnikowej)
A nawet jeśli nauczyciel go znał, była obawa - czy zna go ekspert od Unified State Exam i dlaczego nie dają go w szkole? Zdarzały się sytuacje, gdy nauczyciel mówił do ucznia: „Skąd to wziąłeś? Usiądź – 2”.
Teraz metoda jest promowana na całym świecie. A dla ekspertów istnieją wytyczne związane z tą metodą, a w „Najbardziej kompletnych edycjach opcji standardowych...” w Rozwiązaniu C3 zastosowano tę metodę.
WSPANIAŁA METODA!

„Magiczny stół”

W innych źródłach

Jeśli a >1 i b >1, następnie log a b >0 i (a -1)(b -1) >0;

Jeśli a >1 i 0

jeśli 0<A<1 и b >1, następnie zaloguj a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

jeśli 0<A<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0.

Przeprowadzone rozumowanie jest proste, ale znacznie upraszcza rozwiązanie nierówności logarytmicznych.

Przykład 4.

log x (x 2 -3)<0

Rozwiązanie:

Przykład 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Rozwiązanie:

Odpowiedź. (0; 0,5)U.

Przykład 6.

Aby rozwiązać tę nierówność, zamiast mianownika piszemy (x-1-1)(x-1), a zamiast licznika piszemy iloczyn (x-1)(x-3-9 + x).

Odpowiedź : (3;6)

Przykład 7.

Przykład 8.

2.3. Zamiennik niestandardowy.

Przykład 1.

Przykład 2.

Przykład 3.

Przykład 4.

Przykład 5.

Przykład 6.

Przykład 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Dokonajmy zamiany y=3 x -1; wtedy ta nierówność przybierze postać

Log 4 log 0,25
.

Ponieważ log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , to ostatnią nierówność zapisujemy jako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Dokonajmy zamiany t =log 4 y i otrzymajmy nierówność t 2 -2t +≥0, której rozwiązaniem są przedziały - .

Zatem, aby znaleźć wartości y, mamy zestaw dwóch prostych nierówności
Rozwiązaniem tego zbioru są przedziały 0<у≤2 и 8≤у<+.

Dlatego pierwotna nierówność jest równoważna zbiorowi dwóch nierówności wykładniczych,
czyli agregaty

Rozwiązaniem pierwszej nierówności tego zbioru jest przedział 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Zatem pierwotna nierówność jest spełniona dla wszystkich wartości x z przedziałów 0<х≤1 и 2≤х<+.

Przykład 8.

Rozwiązanie:

Nierówność równa się systemowi

Rozwiązaniem drugiej nierówności wyznaczającej ODZ będzie ich zbiór X,

dla którego X > 0.

Aby rozwiązać pierwszą nierówność, dokonujemy podstawienia

Wtedy otrzymujemy nierówność

Lub

Metoda polega na znalezieniu zbioru rozwiązań ostatniej nierówności

interwały: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, otrzymujemy

Lub

Dużo tych X, które spełniają ostatnią nierówność

należy do ODZ ( X> 0), jest zatem rozwiązaniem układu,

i stąd pierwotna nierówność.

Odpowiedź:

2.4. Zadania z pułapkami.

Przykład 1.

.

Rozwiązanie. ODZ nierówności to wszystkie x spełniające warunek 0 . Zatem wszystkie x należą do przedziału 0

Przykład 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Faktem jest, że druga liczba jest oczywiście większa niż

Wniosek

Znalezienie konkretnych metod rozwiązywania problemów C3 w dużej liczbie różnych źródeł edukacyjnych nie było łatwe. W trakcie wykonanej pracy miałem okazję poznać niestandardowe metody rozwiązywania złożonych nierówności logarytmicznych. Są to: przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów, metoda racjonalizacji , substytucja niestandardowa , zadania z pułapkami na ODZ. Metody te nie są uwzględnione w programie nauczania w szkole.

Używając różnych metod, rozwiązałem 27 nierówności zaproponowanych na Unified State Exam w części C, czyli C3. Te nierówności z rozwiązaniami metodami stały się podstawą zbioru „C3 Nierówności logarytmiczne z rozwiązaniami”, który stał się produktem projektowym mojej działalności. Hipoteza, którą postawiłem na początku projektu, potwierdziła się: problemy C3 można skutecznie rozwiązać, znając te metody.

Ponadto odkryłem ciekawe fakty dotyczące logarytmów. Zrobienie tego było dla mnie interesujące. Produkty mojego projektu będą przydatne zarówno dla uczniów, jak i nauczycieli.

Wnioski:

Tym samym cel projektu został osiągnięty, a problem rozwiązany. Otrzymałem najbardziej kompletne i różnorodne doświadczenie w zakresie działań projektowych na wszystkich etapach pracy. Podczas pracy nad projektem mój główny wpływ rozwojowy dotyczył kompetencji umysłowych, czynności związanych z logicznymi operacjami umysłowymi, rozwoju kompetencji twórczych, inicjatywy osobistej, odpowiedzialności, wytrwałości i aktywności.

Gwarancja sukcesu przy tworzeniu projektu badawczego dla Zdobyłem: duże doświadczenie szkolne, umiejętność pozyskiwania informacji z różnych źródeł, sprawdzania ich wiarygodności i uszeregowania ich według ważności.

Oprócz bezpośredniej wiedzy przedmiotowej z matematyki, poszerzyłem swoje umiejętności praktyczne z zakresu informatyki, zdobyłem nową wiedzę i doświadczenie z zakresu psychologii, nawiązałem kontakty z kolegami i koleżankami z klasy, a także nauczyłem się współpracy z dorosłymi. W trakcie działań projektowych rozwijane były ogólne umiejętności organizacyjne, intelektualne i komunikacyjne.

Literatura

1. Koryanov A. G., Prokofiew A. A. Układy nierówności z jedną zmienną (zadania standardowe C3).

2. Malkova A. G. Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki.

3. Samarova S. S. Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych.

4. Matematyka. Zbiór prac szkoleniowych pod redakcją A.L. Semenow i I.V. Jaszczenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

Z nimi są logarytmy wewnętrzne.

Przykłady:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Jak rozwiązać nierówności logarytmiczne:

Powinniśmy dążyć do sprowadzenia dowolnej nierówności logarytmicznej do postaci \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (symbol \(˅\) oznacza dowolne z ). Ten typ pozwala pozbyć się logarytmów i ich podstaw, dokonując przejścia do nierówności wyrażeń pod logarytmami, czyli do postaci \(f(x) ˅ g(x)\).

Ale przy dokonywaniu tego przejścia istnieje jedna bardzo ważna subtelność:
\(-\) jeśli jest liczbą i jest większa od 1, znak nierówności pozostaje taki sam podczas przejścia,
\(-\) jeśli podstawa jest liczbą większą od 0, ale mniejszą od 1 (leży między zerem a jedynką), to znak nierówności powinien zmienić się na przeciwny, tj.

Przykłady:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(X<8\) Rozwiązanie: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Odpowiedź: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\begin(przypadki)2x-4>0\\x+1 > 0\koniec(przypadki)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Rozwiązanie: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Odpowiedź: \((2;5]\)

Bardzo ważne! W dowolnej nierówności przejście z postaci \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) do porównywania wyrażeń pod logarytmami można wykonać tylko wtedy, gdy:

Przykład . Rozwiąż nierówność: \(\log\)\(≤-1\)

Rozwiązanie:

\(\dziennik\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Napiszmy ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Otwieramy nawiasy i przynosimy .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Mnożymy nierówność przez \(-1\), nie zapominając o odwróceniu znaku porównania.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Skonstruujmy oś liczbową i zaznaczmy na niej punkty \(\frac(7)(3)\) i \(\frac(3)(2)\). Należy pamiętać, że kropka jest usuwana z mianownika, mimo że nierówność nie jest ścisła. Faktem jest, że ten punkt nie będzie rozwiązaniem, ponieważ podstawiony do nierówności doprowadzi nas do dzielenia przez zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Teraz wykreślamy ODZ na tej samej osi liczbowej i w odpowiedzi zapisujemy przedział mieszczący się w ODZ.
	Zapisujemy ostateczną odpowiedź.

Odpowiedź: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Przykład . Rozwiąż nierówność: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Rozwiązanie:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Napiszmy ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Przejdźmy do rozwiązania.
Rozwiązanie: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Mamy tu typową nierówność logarytmiczną kwadratową. Zróbmy to.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Rozwijamy lewą stronę nierówności do .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Teraz musimy wrócić do pierwotnej zmiennej - x. Aby to zrobić, przejdźmy do , który ma to samo rozwiązanie i dokonajmy odwrotnego podstawienia.
\(\left[ \begin(zebrane) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Przekształć \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(zebrane) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Przejdźmy do porównywania argumentów. Podstawy logarytmów są większe niż \(1\), więc znak nierówności się nie zmienia.
\(\left[ \begin(zebrane) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Połączmy rozwiązanie nierówności i ODZ na jednym rysunku.
	Zapiszmy odpowiedź.

Odpowiedź: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

Nierówności logarytmiczne

Na poprzednich lekcjach zapoznaliśmy się z równaniami logarytmicznymi i teraz wiemy, czym są i jak je rozwiązać. Dzisiejsza lekcja poświęcona będzie badaniu nierówności logarytmicznych. Czym są te nierówności i jaka jest różnica między rozwiązaniem równania logarytmicznego a nierównością?

Nierówności logarytmiczne to nierówności, w których zmienna pojawia się pod znakiem logarytmu lub u jego podstawy.

Można też powiedzieć, że nierówność logarytmiczna to nierówność, w której jej nieznana wartość, jak w równaniu logarytmicznym, pojawi się pod znakiem logarytmu.

Najprostsze nierówności logarytmiczne mają postać:

gdzie f(x) i g(x) to pewne wyrażenia zależne od x.

Spójrzmy na to na przykładzie: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Przed rozwiązaniem nierówności logarytmicznych warto zauważyć, że po rozwiązaniu są one podobne do nierówności wykładniczych, a mianowicie:

Po pierwsze, przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, musimy także porównać podstawę logarytmu z jednością;

Po drugie, rozwiązując nierówność logarytmiczną za pomocą zmiany zmiennych, musimy rozwiązywać nierówności ze względu na zmianę, aż otrzymamy najprostszą nierówność.

Ale ty i ja rozważaliśmy podobne aspekty rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Zwróćmy teraz uwagę na dość istotną różnicę. Ty i ja wiemy, że funkcja logarytmiczna ma ograniczoną dziedzinę definicji, dlatego przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, musimy wziąć pod uwagę zakres wartości dopuszczalnych (ADV).

Oznacza to, że należy wziąć pod uwagę, że rozwiązując równanie logarytmiczne, ty i ja możemy najpierw znaleźć pierwiastki równania, a następnie sprawdzić to rozwiązanie. Ale rozwiązanie nierówności logarytmicznej nie będzie działać w ten sposób, ponieważ przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, konieczne będzie zapisanie ODZ nierówności.

Ponadto warto pamiętać, że teoria nierówności składa się z liczb rzeczywistych, które są liczbami dodatnimi i ujemnymi, a także liczby 0.

Na przykład, gdy liczba „a” jest dodatnia, należy zastosować następującą notację: a >0. W tym przypadku zarówno suma, jak i iloczyn tych liczb również będą dodatnie.

Główną zasadą rozwiązywania nierówności jest zastąpienie jej prostszą nierównością, ale najważniejsze jest to, że jest ona równoważna podanej. Ponadto uzyskaliśmy również nierówność i ponownie zastąpiliśmy ją inną, która ma prostszą formę itp.

Rozwiązując nierówności ze zmienną, musisz znaleźć wszystkie jej rozwiązania. Jeżeli dwie nierówności mają tę samą zmienną x, to nierówności takie są równoważne, pod warunkiem, że ich rozwiązania są zbieżne.

Wykonując zadania dotyczące rozwiązywania nierówności logarytmicznych należy pamiętać, że gdy a > 1 to funkcja logarytmiczna rośnie, a gdy 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych

Przyjrzyjmy się teraz niektórym metodom stosowanym przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych. Dla lepszego zrozumienia i przyswojenia postaramy się je zrozumieć na konkretnych przykładach.

Wszyscy wiemy, że najprostsza nierówność logarytmiczna ma postać:

W tej nierówności V – jest jednym z następujących znaków nierówności:<,>, ≤ lub ≥.

Gdy podstawa danego logarytmu jest większa niż jeden (a>1), dokonując przejścia od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, to w tej wersji znak nierówności zostaje zachowany i nierówność będzie miała postać:

co jest równoważne temu systemowi:

W przypadku, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności (0

Jest to równoważne temu systemowi:

Przyjrzyjmy się kolejnym przykładom rozwiązywania najprostszych nierówności logarytmicznych pokazanych na poniższym obrazku:

Rozwiązywanie przykładów

Ćwiczenia. Spróbujmy rozwiązać tę nierówność:

Rozwiązywanie zakresu wartości dopuszczalnych.

Spróbujmy teraz pomnożyć jego prawą stronę przez:

Zobaczmy, co możemy wymyślić:

Przejdźmy teraz do konwersji wyrażeń sublogarytmicznych. Ponieważ podstawa logarytmu wynosi 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

I z tego wynika, że ​​uzyskany przez nas przedział w całości należy do ODZ i jest rozwiązaniem takiej nierówności.

Oto odpowiedź jaką otrzymaliśmy:

Co jest potrzebne do rozwiązania nierówności logarytmicznych?

Spróbujmy teraz przeanalizować, czego potrzebujemy, aby skutecznie rozwiązać nierówności logarytmiczne?

Najpierw skoncentruj całą swoją uwagę i staraj się nie popełnić błędów podczas wykonywania przekształceń podanych w tej nierówności. Należy również pamiętać, że przy rozwiązywaniu takich nierówności należy unikać rozszerzania i kurczenia się nierówności, co może prowadzić do utraty lub nabycia obcych rozwiązań.

Po drugie, rozwiązując nierówności logarytmiczne, trzeba nauczyć się myśleć logicznie i rozumieć różnicę między pojęciami takimi jak system nierówności i zbiór nierówności, aby móc łatwo wybierać rozwiązania nierówności, kierując się jej DL.

Po trzecie, aby skutecznie rozwiązać takie nierówności, każdy z Was musi doskonale znać wszystkie właściwości funkcji elementarnych i dobrze rozumieć ich znaczenie. Do takich funkcji należą nie tylko logarytmiczne, ale także wymierne, potęgowe, trygonometryczne itp., Jednym słowem wszystkie te, których uczyłeś się podczas szkolnej algebry.

Jak widać, po przestudiowaniu tematu nierówności logarytmicznych, nie ma nic trudnego w rozwiązaniu tych nierówności, pod warunkiem, że będziesz ostrożny i wytrwały w osiąganiu swoich celów. Aby uniknąć problemów w rozwiązywaniu nierówności, należy jak najwięcej ćwiczyć przy rozwiązywaniu różnych zadań, a jednocześnie pamiętać o podstawowych metodach rozwiązywania takich nierówności i ich układach. Jeśli nie uda Ci się rozwiązać nierówności logarytmicznej, powinieneś dokładnie przeanalizować swoje błędy, aby nie wracać do nich ponownie w przyszłości.

Praca domowa

Aby lepiej zrozumieć temat i utrwalić omawiany materiał, rozwiąż następujące nierówności: