Pierwszy poziom

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie będą potrzebne? Dlaczego warto poświęcić czas na ich przestudiowanie?

Aby dowiedzieć się wszystkiego o dyplomach, do czego są potrzebne i jak wykorzystać swoją wiedzę w życiu codziennym, przeczytaj ten artykuł.

I oczywiście znajomość stopni przybliży Cię do pomyślnego zdania egzaminu Unified State Exam lub Unified State Exam i wejścia na uniwersytet swoich marzeń.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (na komputerze Mac).

PIERWSZY POZIOM

Potęgowanie to operacja matematyczna, taka sama jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie czy dzielenie.

Teraz wyjaśnię wszystko ludzkim językiem na bardzo prostych przykładach. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile jest tam coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z colą można zapisać inaczej: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób, aby je szybciej „policzyć”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, jest to uważane za łatwiejsze i szybsze niż.

Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można zrobić wolniej, trudniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, piękniejszy:

Jakie inne sprytne sztuczki z liczeniem wymyślają leniwi matematycy? Prawidłowy - podnoszenie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi

Jeśli chcesz pomnożyć liczbę pięć razy, matematycy mówią, że musisz podnieść tę liczbę do potęgi piątej. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do potęgi piątej to... A takie problemy rozwiązują w głowie – szybciej, łatwiej i bez błędów.

Wszystko, co musisz zrobić, to pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Swoją drogą, dlaczego nazywa się to drugim stopniem? kwadrat liczby, a trzeci - sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach jeden metr na jeden metr. Basen jest na twojej daczy. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale... basen nie ma dna! Dno basenu należy wyłożyć płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać dolny obszar basenu.

Możesz po prostu obliczyć, wskazując palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli masz płytki o wymiarach metr na metr, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Tylko gdzie widziałeś takie płytki? Płytka najprawdopodobniej będzie miała wymiary cm na cm. A wtedy będziesz torturowany „liczeniem palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Zatem po jednej stronie dna basenu ułożymy płytki (kawałki), a po drugiej także płytki. Pomnóż przez, a otrzymasz płytki ().

Czy zauważyłeś, że aby określić powierzchnię dna basenu, pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie? Co to znaczy? Ponieważ mnożymy tę samą liczbę, możemy zastosować technikę „potęgowania”. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie ich do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach W przypadku egzaminu jednolitego jest to bardzo ważne).
Zatem trzydzieści do potęgi drugiej będzie (). Albo możemy powiedzieć, że będzie to trzydzieści do kwadratu. Innymi słowy, drugą potęgę liczby zawsze można przedstawić w postaci kwadratu. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2

Oto zadanie dla Ciebie: policz, ile kwadratów jest na szachownicy, korzystając z kwadratu liczby... Po jednej stronie komórek i po drugiej. Aby obliczyć ich liczbę, należy pomnożyć osiem przez osiem lub... jeśli zauważysz, że szachownica to kwadrat z bokiem, to możesz podnieść do kwadratu osiem. Dostaniesz komórki. () Więc?

Przykład z życia wzięty nr 3

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i ciecze mierzy się w metrach sześciennych. Nieoczekiwane, prawda?) Narysuj basen: dno ma metr średnicy i metr głębokości i spróbuj obliczyć, ile sześcianów o wymiarach metr na metr zmieści się zmieści się w Twoim basenie.

Wystarczy wskazać palcem i liczyć! Raz, dwa, trzy, cztery... dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy... Ile dostałeś? Niestracony? Czy trudno jest liczyć na palcu? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość basenu będzie równa kostkom... Łatwiej, prawda?

A teraz wyobraźcie sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, gdyby to także uprościli. Sprowadziliśmy wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie... Co to oznacza? Oznacza to, że możesz skorzystać z dyplomu. Zatem to, co kiedyś liczyłeś palcem, robią w jednej akcji: trzy kostki są równe. Jest napisane tak: .

Jedyne co pozostaje to pamiętaj o tabeli stopni. Chyba że jesteś równie leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz dalej liczyć palcem.

Cóż, aby w końcu przekonać Cię, że stopnie naukowe zostały wymyślone przez rezygnujących i przebiegłych ludzi, aby rozwiązywać swoje problemy życiowe, a nie stwarzać problemy Tobie, oto jeszcze kilka przykładów z życia.

Przykład z życia wzięty nr 4

Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy Twój milion podwaja się na początku każdego roku. Ile pieniędzy będziesz mieć za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa pomnożone przez dwa... w drugim roku - co się stało, przez kolejne dwa, w trzecim roku... Przestań! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez samą siebie razy. Zatem dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto najszybciej policzy, zgarnie te miliony... Warto pamiętać o sile liczb, nie sądzisz?

Przykład z życia wzięty nr 5

Masz milion. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz dwa dodatkowe. Świetnie, prawda? Każdy milion jest potrojony. Ile pieniędzy będziesz mieć za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Zatem do potęgi czwartej jest to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się bliżej, co możesz zrobić dzięki stopniom i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia... żeby się nie pomylić

Najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste – jest to liczba znajdująca się „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania...

A jednocześnie co taka podstawa stopnia? Jeszcze prościej - jest to liczba znajdująca się poniżej, u podstawy.

Oto rysunek na dokładkę.

No cóż, ogólnie rzecz biorąc, aby uogólnić i lepiej zapamiętać... Stopień o podstawie „ ” i wykładniku „ ” czyta się jako „w stopniu” i zapisuje się w następujący sposób:

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym

Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to liczby używane do liczenia przy wymienianiu obiektów: jeden, dwa, trzy... Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też: „jedna trzecia” lub „przecinek zero pięć”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, jakie to liczby?

Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne liczbom naturalnym (to znaczy wzięte ze znakiem minus) i liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia – wtedy, gdy nie ma nic. Co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim po to, aby wskazać długi: jeśli masz saldo na telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Wszystkie ułamki są liczbami wymiernymi. Jak powstały, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie posiadali liczb naturalnych pozwalających zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne... Ciekawe, prawda?

Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, jest to nieskończony ułamek dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.

Streszczenie:

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tzn. całkowita i dodatnia).

1. Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie:
2. Podniesienie liczby do kwadratu oznacza pomnożenie jej przez samą siebie:
3. Poszerzyć liczbę do sześcianu oznacza pomnożyć ją przez samą siebie trzykrotnie:

Definicja. Podniesienie liczby do potęgi naturalnej oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:
.

Właściwości stopni

Skąd wzięły się te nieruchomości? Pokażę ci teraz.

Zobaczmy: co to jest I ?

Priorytet A:

Ile jest w sumie mnożników?

To bardzo proste: dodaliśmy mnożniki do czynników i otrzymaliśmy mnożniki.

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli: , co należało udowodnić.

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie: Warto o tym pamiętać w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody!
Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

2. to wszystko potęga liczby

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać?

Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jaki powinien być wykładnik.

Ale co powinno być podstawą?

W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet.

Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ? W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez, to zadziała.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Czy udało Ci się?

Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni.

No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste!

6 przykładów do ćwiczenia

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów! Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, zasada mogłaby mieć zastosowanie.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

Cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „ ”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita i nie różni się niczym od naturalnego, wtedy wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Przyjrzyjmy się teraz nowym przypadkom. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajmy sobie pytanie: dlaczego tak się dzieje?

Rozważmy pewien stopień z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było - . Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Zgadza się, dalej. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, ile pomnożysz zero przez samo, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do potęgi zerowej, musi być równa. Ile w tym prawdy? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz nie możemy nie tylko podzielić przez zero, ale także podnieść go do potęgi zerowej.

Przejdźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują również liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest potęga ujemna, zróbmy to samo, co ostatnim razem: pomnóż jakąś liczbę normalną przez tę samą liczbę do potęgi ujemnej:

Stąd łatwo jest wyrazić, czego szukasz:

Rozszerzmy teraz otrzymaną regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba o potędze ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby o potędze dodatniej. Ale w tym samym czasie Podstawa nie może mieć wartości null:(ponieważ nie można dzielić przez).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest w tym przypadku zdefiniowane. Jeśli następnie.

II. Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba różna od zera do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle przykłady niezależnych rozwiązań:

Analiza problemów w celu samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na egzaminie Unified State Exam trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązania, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a nauczysz się łatwo sobie z nimi radzić na egzaminie!

Kontynuujmy poszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważmy liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi, i.

Aby zrozumieć, co to jest „stopień ułamkowy”, rozważ ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Przypomnijmy sobie teraz zasadę dot „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia VII.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi th liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastkiem potęgi th jest odwrotna operacja podniesienia do potęgi: .

Okazało się, że. Oczywiście ten szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodajemy licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania, korzystając z reguły mocy do potęgi:

Ale czy podstawa może być dowolną liczbą? W końcu nie można wyodrębnić pierwiastka ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętajmy o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że nie można wyodrębnić pierwiastków parzystych z liczb ujemnych!

Oznacza to, że takich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej o parzystym mianowniku, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z wyrażeniem?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić w postaci innych, redukowalnych ułamków, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, ale to tylko dwa różne zapisy o tej samej liczbie.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Jeśli jednak zapiszemy wskaźnik inaczej, znów wpadniemy w kłopoty: (czyli otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, zastanawiamy się tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Wymierne wykładniki są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 przykładów do przećwiczenia

Analiza 5 przykładów do szkolenia

Cóż, teraz najtrudniejsza część. Teraz się o tym przekonamy stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem

Przecież z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, gdzie i są liczbami całkowitymi (tzn. wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...liczbę do potęgi zerowej- jest to jakby liczba pomnożona raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „pusta liczba” , czyli liczba;

...stopień z ujemnym wykładnikiem całkowitym- to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY NA PEWNO, ŻE DOJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od reguły podnoszenia potęgi do potęgi, która jest już dla nas zwyczajna:

Teraz spójrz na wskaźnik. Czy on ci niczego nie przypomina? Przypomnijmy sobie wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Ułamki zwykłe w wykładnikach redukujemy do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy na przykład:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Określenie stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

• — podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień ze wskaźnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:

Stopień z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

Budowa do stopnia zerowego:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w dowolnym stopniu jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do th stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest ujemna liczba całkowita numer:

(ponieważ nie można dzielić przez).

Jeszcze raz o zerach: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Potęga z wykładnikiem wymiernym

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Właściwości stopni

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

Priorytet A:

Zatem po prawej stronie tego wyrażenia otrzymujemy następujący iloczyn:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Ważne jest, aby pamiętać, że w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody. Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przekształćmy tę pracę w następujący sposób:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości: !

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać? Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej.

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jak to powinno wyglądać indeks stopni. Ale co powinno być podstawą? W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ?

W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy - .

I tak w nieskończoność: przy każdym kolejnym mnożeniu znak będzie się zmieniał. Można sformułować następujące proste zasady:

1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
2. Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
3. Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zero.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: lub? Jeśli o tym pamiętamy, staje się jasne, co oznacza, że ​​podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim przyjrzymy się ostatniej regule, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wyrażenia:

Rozwiązania :

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów!

Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, miałaby zastosowanie zasada 3. Ale w jaki sposób? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz okazuje się, że jest tak:

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: Wszystkie znaki zmieniają się jednocześnie! Nie da się tego zastąpić, zmieniając tylko jedną wadę, która nam się nie podoba!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy je:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile jest razem liter? razy przez mnożniki – o czym ci to przypomina? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: Były tam tylko mnożniki. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla poziomu średniego przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wykładnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem - wszak z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do potęgi zerowej jest jakby liczbą pomnożoną raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewnym „pusta liczba”, czyli liczba; stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym - to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z irracjonalnym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny, który matematycy stworzyli, aby rozszerzyć pojęcie stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc zrobimy, jeśli zobaczymy irracjonalny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się tego pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1)

2)

3)

Odpowiedzi:

1. Pamiętajmy o różnicy we wzorze kwadratów. Odpowiedź: .
2. Sprowadzamy ułamki zwykłe do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWE WZORY

Stopień zwane wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).

Potęga z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wykładnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

stopień, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopni

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
• Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
• Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnej potędze.
• Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak podoba Ci się artykuł? Napisz poniżej w komentarzu, czy Ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z używaniem właściwości stopnia.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

Pierwszy poziom

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie będą potrzebne? Dlaczego warto poświęcić czas na ich przestudiowanie?

Aby dowiedzieć się wszystkiego o dyplomach, do czego są potrzebne i jak wykorzystać swoją wiedzę w życiu codziennym, przeczytaj ten artykuł.

I oczywiście znajomość stopni przybliży Cię do pomyślnego zdania egzaminu Unified State Exam lub Unified State Exam i wejścia na uniwersytet swoich marzeń.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (na komputerze Mac).

PIERWSZY POZIOM

Potęgowanie to operacja matematyczna, taka sama jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie czy dzielenie.

Teraz wyjaśnię wszystko ludzkim językiem na bardzo prostych przykładach. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile jest tam coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z colą można zapisać inaczej: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób, aby je szybciej „policzyć”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, jest to uważane za łatwiejsze i szybsze niż.

Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można zrobić wolniej, trudniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, piękniejszy:

Jakie inne sprytne sztuczki z liczeniem wymyślają leniwi matematycy? Prawidłowy - podnoszenie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi

Jeśli chcesz pomnożyć liczbę pięć razy, matematycy mówią, że musisz podnieść tę liczbę do potęgi piątej. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do potęgi piątej to... A takie problemy rozwiązują w głowie – szybciej, łatwiej i bez błędów.

Wszystko, co musisz zrobić, to pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Swoją drogą, dlaczego nazywa się to drugim stopniem? kwadrat liczby, a trzeci - sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach jeden metr na jeden metr. Basen jest na twojej daczy. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale... basen nie ma dna! Dno basenu należy wyłożyć płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać dolny obszar basenu.

Możesz po prostu obliczyć, wskazując palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli masz płytki o wymiarach metr na metr, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Tylko gdzie widziałeś takie płytki? Płytka najprawdopodobniej będzie miała wymiary cm na cm. A wtedy będziesz torturowany „liczeniem palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Zatem po jednej stronie dna basenu ułożymy płytki (kawałki), a po drugiej także płytki. Pomnóż przez, a otrzymasz płytki ().

Czy zauważyłeś, że aby określić powierzchnię dna basenu, pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie? Co to znaczy? Ponieważ mnożymy tę samą liczbę, możemy zastosować technikę „potęgowania”. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie ich do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach W przypadku egzaminu jednolitego jest to bardzo ważne).
Zatem trzydzieści do potęgi drugiej będzie (). Albo możemy powiedzieć, że będzie to trzydzieści do kwadratu. Innymi słowy, drugą potęgę liczby zawsze można przedstawić w postaci kwadratu. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2

Oto zadanie dla Ciebie: policz, ile kwadratów jest na szachownicy, korzystając z kwadratu liczby... Po jednej stronie komórek i po drugiej. Aby obliczyć ich liczbę, należy pomnożyć osiem przez osiem lub... jeśli zauważysz, że szachownica to kwadrat z bokiem, to możesz podnieść do kwadratu osiem. Dostaniesz komórki. () Więc?

Przykład z życia wzięty nr 3

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i ciecze mierzy się w metrach sześciennych. Nieoczekiwane, prawda?) Narysuj basen: dno ma metr średnicy i metr głębokości i spróbuj obliczyć, ile sześcianów o wymiarach metr na metr zmieści się zmieści się w Twoim basenie.

Wystarczy wskazać palcem i liczyć! Raz, dwa, trzy, cztery... dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy... Ile dostałeś? Niestracony? Czy trudno jest liczyć na palcu? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość basenu będzie równa kostkom... Łatwiej, prawda?

A teraz wyobraźcie sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, gdyby to także uprościli. Sprowadziliśmy wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie... Co to oznacza? Oznacza to, że możesz skorzystać z dyplomu. Zatem to, co kiedyś liczyłeś palcem, robią w jednej akcji: trzy kostki są równe. Jest napisane tak: .

Jedyne co pozostaje to pamiętaj o tabeli stopni. Chyba że jesteś równie leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz dalej liczyć palcem.

Cóż, aby w końcu przekonać Cię, że stopnie naukowe zostały wymyślone przez rezygnujących i przebiegłych ludzi, aby rozwiązywać swoje problemy życiowe, a nie stwarzać problemy Tobie, oto jeszcze kilka przykładów z życia.

Przykład z życia wzięty nr 4

Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy Twój milion podwaja się na początku każdego roku. Ile pieniędzy będziesz mieć za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa pomnożone przez dwa... w drugim roku - co się stało, przez kolejne dwa, w trzecim roku... Przestań! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez samą siebie razy. Zatem dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto najszybciej policzy, zgarnie te miliony... Warto pamiętać o sile liczb, nie sądzisz?

Przykład z życia wzięty nr 5

Masz milion. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz dwa dodatkowe. Świetnie, prawda? Każdy milion jest potrojony. Ile pieniędzy będziesz mieć za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Zatem do potęgi czwartej jest to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się bliżej, co możesz zrobić dzięki stopniom i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia... żeby się nie pomylić

Najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste – jest to liczba znajdująca się „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania...

A jednocześnie co taka podstawa stopnia? Jeszcze prościej - jest to liczba znajdująca się poniżej, u podstawy.

Oto rysunek na dokładkę.

No cóż, ogólnie rzecz biorąc, aby uogólnić i lepiej zapamiętać... Stopień o podstawie „ ” i wykładniku „ ” czyta się jako „w stopniu” i zapisuje się w następujący sposób:

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym

Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to liczby używane do liczenia przy wymienianiu obiektów: jeden, dwa, trzy... Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też: „jedna trzecia” lub „przecinek zero pięć”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, jakie to liczby?

Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne liczbom naturalnym (to znaczy wzięte ze znakiem minus) i liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia – wtedy, gdy nie ma nic. Co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim po to, aby wskazać długi: jeśli masz saldo na telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Wszystkie ułamki są liczbami wymiernymi. Jak powstały, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie posiadali liczb naturalnych pozwalających zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne... Ciekawe, prawda?

Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, jest to nieskończony ułamek dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.

Streszczenie:

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tzn. całkowita i dodatnia).

1. Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie:
2. Podniesienie liczby do kwadratu oznacza pomnożenie jej przez samą siebie:
3. Poszerzyć liczbę do sześcianu oznacza pomnożyć ją przez samą siebie trzykrotnie:

Definicja. Podniesienie liczby do potęgi naturalnej oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:
.

Właściwości stopni

Skąd wzięły się te nieruchomości? Pokażę ci teraz.

Zobaczmy: co to jest I ?

Priorytet A:

Ile jest w sumie mnożników?

To bardzo proste: dodaliśmy mnożniki do czynników i otrzymaliśmy mnożniki.

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli: , co należało udowodnić.

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie: Warto o tym pamiętać w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody!
Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

2. to wszystko potęga liczby

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać?

Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jaki powinien być wykładnik.

Ale co powinno być podstawą?

W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet.

Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ? W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez, to zadziała.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Czy udało Ci się?

Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni.

No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste!

6 przykładów do ćwiczenia

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów! Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, zasada mogłaby mieć zastosowanie.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

Cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „ ”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita i nie różni się niczym od naturalnego, wtedy wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Przyjrzyjmy się teraz nowym przypadkom. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajmy sobie pytanie: dlaczego tak się dzieje?

Rozważmy pewien stopień z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było - . Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Zgadza się, dalej. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, ile pomnożysz zero przez samo, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do potęgi zerowej, musi być równa. Ile w tym prawdy? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz nie możemy nie tylko podzielić przez zero, ale także podnieść go do potęgi zerowej.

Przejdźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują również liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest potęga ujemna, zróbmy to samo, co ostatnim razem: pomnóż jakąś liczbę normalną przez tę samą liczbę do potęgi ujemnej:

Stąd łatwo jest wyrazić, czego szukasz:

Rozszerzmy teraz otrzymaną regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba o potędze ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby o potędze dodatniej. Ale w tym samym czasie Podstawa nie może mieć wartości null:(ponieważ nie można dzielić przez).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest w tym przypadku zdefiniowane. Jeśli następnie.

II. Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba różna od zera do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle przykłady niezależnych rozwiązań:

Analiza problemów w celu samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na egzaminie Unified State Exam trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązania, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a nauczysz się łatwo sobie z nimi radzić na egzaminie!

Kontynuujmy poszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważmy liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi, i.

Aby zrozumieć, co to jest „stopień ułamkowy”, rozważ ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Przypomnijmy sobie teraz zasadę dot „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia VII.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi th liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastkiem potęgi th jest odwrotna operacja podniesienia do potęgi: .

Okazało się, że. Oczywiście ten szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodajemy licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania, korzystając z reguły mocy do potęgi:

Ale czy podstawa może być dowolną liczbą? W końcu nie można wyodrębnić pierwiastka ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętajmy o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że nie można wyodrębnić pierwiastków parzystych z liczb ujemnych!

Oznacza to, że takich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej o parzystym mianowniku, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z wyrażeniem?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić w postaci innych, redukowalnych ułamków, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, ale to tylko dwa różne zapisy o tej samej liczbie.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Jeśli jednak zapiszemy wskaźnik inaczej, znów wpadniemy w kłopoty: (czyli otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, zastanawiamy się tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Wymierne wykładniki są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 przykładów do przećwiczenia

Analiza 5 przykładów do szkolenia

Cóż, teraz najtrudniejsza część. Teraz się o tym przekonamy stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem

Przecież z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, gdzie i są liczbami całkowitymi (tzn. wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...liczbę do potęgi zerowej- jest to jakby liczba pomnożona raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „pusta liczba” , czyli liczba;

...stopień z ujemnym wykładnikiem całkowitym- to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY NA PEWNO, ŻE DOJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od reguły podnoszenia potęgi do potęgi, która jest już dla nas zwyczajna:

Teraz spójrz na wskaźnik. Czy on ci niczego nie przypomina? Przypomnijmy sobie wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Ułamki zwykłe w wykładnikach redukujemy do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy na przykład:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Określenie stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

• — podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień ze wskaźnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:

Stopień z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

Budowa do stopnia zerowego:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w dowolnym stopniu jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do th stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest ujemna liczba całkowita numer:

(ponieważ nie można dzielić przez).

Jeszcze raz o zerach: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Potęga z wykładnikiem wymiernym

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Właściwości stopni

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

Priorytet A:

Zatem po prawej stronie tego wyrażenia otrzymujemy następujący iloczyn:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Ważne jest, aby pamiętać, że w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody. Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przekształćmy tę pracę w następujący sposób:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości: !

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać? Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej.

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jak to powinno wyglądać indeks stopni. Ale co powinno być podstawą? W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ?

W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy - .

I tak w nieskończoność: przy każdym kolejnym mnożeniu znak będzie się zmieniał. Można sformułować następujące proste zasady:

1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
2. Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
3. Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zero.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: lub? Jeśli o tym pamiętamy, staje się jasne, co oznacza, że ​​podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim przyjrzymy się ostatniej regule, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wyrażenia:

Rozwiązania :

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów!

Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, miałaby zastosowanie zasada 3. Ale w jaki sposób? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz okazuje się, że jest tak:

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: Wszystkie znaki zmieniają się jednocześnie! Nie da się tego zastąpić, zmieniając tylko jedną wadę, która nam się nie podoba!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy je:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile jest razem liter? razy przez mnożniki – o czym ci to przypomina? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: Były tam tylko mnożniki. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla poziomu średniego przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wykładnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem - wszak z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do potęgi zerowej jest jakby liczbą pomnożoną raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewnym „pusta liczba”, czyli liczba; stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym - to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z irracjonalnym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny, który matematycy stworzyli, aby rozszerzyć pojęcie stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc zrobimy, jeśli zobaczymy irracjonalny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się tego pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1)

2)

3)

Odpowiedzi:

1. Pamiętajmy o różnicy we wzorze kwadratów. Odpowiedź: .
2. Sprowadzamy ułamki zwykłe do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWE WZORY

Stopień zwane wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).

Potęga z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wykładnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

stopień, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopni

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
• Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
• Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnej potędze.
• Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak podoba Ci się artykuł? Napisz poniżej w komentarzu, czy Ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z używaniem właściwości stopnia.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

Sekcje: Matematyka

Typ lekcji: lekcja uogólniania i systematyzacji wiedzy

Cele:

edukacyjny– powtórzyć definicję stopnia, zasady mnożenia i dzielenia stopni, podnosić stopień do potęgi, utrwalić umiejętności rozwiązywania przykładów zawierających stopnie,

rozwijający się– rozwój logicznego myślenia uczniów, zainteresowania studiowanym materiałem,

wychowywanie– kształtowanie odpowiedzialnego podejścia do nauki, kultury komunikacji i poczucia kolektywizmu.

Sprzęt: komputer, projektor multimedialny, tablica interaktywna, prezentacja „Stopni” do obliczeń mentalnych, karty zadań, materiały informacyjne.

Plan lekcji:

Organizowanie czasu.

Powtórzenie zasad

Liczenie werbalne.

Odniesienie historyczne.

Pracuj przy desce.

Minuta wychowania fizycznego.

Praca na tablicy interaktywnej.

Niezależna praca.

Praca domowa.

Podsumowanie lekcji.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny

Przekaż temat i cele lekcji.

Na poprzednich lekcjach odkryłeś cudowny świat potęg, nauczyłeś się mnożyć i dzielić potęgi oraz podnosić je do potęg. Dziś musimy utrwalić zdobytą wiedzę rozwiązując przykłady.

II. Powtarzanie zasad(doustnie)

1. Podaj definicję stopnia z wykładnikiem naturalnym? (Potęga liczby A z wykładnikiem naturalnym większym niż 1 nazywa się iloczynem N czynników, z których każdy jest równy A.)
2. Jak pomnożyć dwie potęgi? (Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, należy pozostawić podstawę bez zmian i dodać wykładniki.)
3. Jak podzielić stopień przez stopień? (Aby podzielić potęgi o tej samej podstawie, należy pozostawić podstawę bez zmian i odjąć wykładniki.)
4. Jak podnieść iloczyn do potęgi? (Aby podnieść iloczyn do potęgi, musisz podnieść każdy czynnik do tej potęgi)
5. Jak podnieść stopień do potęgi? (Aby podnieść potęgę do potęgi, należy pozostawić podstawę bez zmian i pomnożyć wykładniki)

III. Liczenie werbalne(przez multimedia)

IV. Odniesienie historyczne

Wszystkie zadania pochodzą z papirusu Ahmesa, który został napisany około 1650 roku p.n.e. mi. związane z praktyką budowlaną, wytyczaniem działek itp. Zadania pogrupowane są tematycznie. Są to przede wszystkim zagadnienia znajdowania pól trójkątów, czworokątów i okręgów, różne działania na liczbach całkowitych i ułamkach, dzielenie proporcjonalne, znajdowanie stosunków, jest też podnoszenie do różnych potęg, rozwiązywanie równań pierwszego i drugiego stopnia z niewiadomą.

Całkowity brak jakichkolwiek wyjaśnień i dowodów. Pożądany wynik jest albo podawany bezpośrednio, albo podany jest krótki algorytm jego obliczenia. Ten sposób prezentacji, typowy dla nauki krajów starożytnego Wschodu, sugeruje, że tam matematyka rozwinęła się poprzez uogólnienia i domysły, które nie tworzyły żadnej ogólnej teorii. Papirus zawiera jednak szereg dowodów na to, że egipscy matematycy umieli wyciągać pierwiastki i podnosić je do potęg, rozwiązywać równania, a nawet opanowali podstawy algebry.

V. Praca przy tablicy

Znajdź znaczenie wyrażenia w racjonalny sposób:

Oblicz wartość wyrażenia:



VI. Minuta wychowania fizycznego

6. dla oczu
7. na szyję
8. na ręce
9. dla tułowia
10. na nogi

VII. Rozwiązywanie problemów(z wyświetlaczem na tablicy interaktywnej)

Czy pierwiastek równania jest liczbą dodatnią?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Formuły potęg i pierwiastków.

Formuły stopni wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania wyrażeń złożonych, w rozwiązywaniu równań i nierówności.

Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:



Operacje na stopniach.

1. Mnożąc stopnie o tej samej podstawie, dodaje się ich wskaźniki:

2. Dzieląc stopnie o tej samej podstawie, ich wykładniki odejmuje się:



3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:

(abc…) n = za n · b n · do n …

4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:

5. Podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:

Każdy z powyższych wzorów jest prawdziwy w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

Operacje z korzeniami.

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:

2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnika pierwiastków:



3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastkową do tej potęgi:



4. Jeśli zwiększysz stopień zakorzenienia N raz i jednocześnie wbudować N potęga th jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:



5. Jeśli zmniejszysz stopień zakorzenienia N jednocześnie wyodrębnij korzeń N-ta potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:



Potęgę pewnej liczby o wykładniku niedodatnim (całkowitym) definiuje się jako podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika niedodatniego:



Formuła jestem :a n = a m - n można używać nie tylko do M > N, ale także z M 4:za 7 = za 4 - 7 = za -3 .

Do formuły jestem :a n = a m - n stało się sprawiedliwe, kiedy m=n, wymagana jest obecność stopnia zerowego.

Potęga dowolnej liczby różnej od zera z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.

Aby podnieść liczbę rzeczywistą A do stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N-stopień od M-ta potęga tej liczby A:



Formuły stopni.

6. A — N = - podział stopni;

7. - podział stopni;

8. a 1/n = ;

Stopnie reguł działania ze stopniami

1. Stopień iloczynu dwóch lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników (z tym samym wykładnikiem):

(abc…) n = za n b n do n …

Przykład 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Przykład 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x – a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

W praktyce ważniejsza jest konwersja odwrotna:

za n b n do n … = (abc…) n

te. iloczyn identycznych potęg kilku wielkości jest równy tej samej potędze iloczynu tych wielkości.

Przykład 3. Przykład 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Potęga ilorazu (ułamka) jest równa ilorazowi podzielenia tej samej potęgi dzielnika przez tę samą potęgę:

Przykład 5. Przykład 6.

Odwrotna konwersja:. Przykład 7. . Przykład 8. .

3. Przy mnożeniu stopni o tych samych podstawach wykładniki stopni dodaje się:

Przykład 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Przykład 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5.

4. Dzieląc potęgi o tych samych podstawach, wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dywidendy

Przykład 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Przykład 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. Podnosząc stopień do potęgi, wykładniki mnoży się:

Przykład 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Przykład 14.

www.maths.yfa1.ru

Moce i korzenie

Operacje na potęgach i pierwiastkach. Stopień z negatywem ,

zerowe i ułamkowe wskaźnik. O wyrażeniach, które nie mają żadnego znaczenia.

Operacje na stopniach.

1. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodaje się ich wykładniki:

jestem · za n = za m + n .

2. Przy dzieleniu stopni o tej samej podstawie ich wykładniki są odliczane .



3. Stopień iloczynu dwóch lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników.

4. Stopień stosunku (ułamka) jest równy stosunkowi stopni dywidendy (licznik) i dzielnika (mianownik):

(a/b) n = za n / b n .

5. Podnosząc potęgę do potęgi, jej wykładniki mnoży się:

Wszystkie powyższe formuły są odczytywane i wykonywane w obu kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

PRZYKŁAD (2 3 5/15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operacje z korzeniami. We wszystkich poniższych wzorach symbol oznacza pierwiastek arytmetyczny(wyrażenie radykalne jest dodatnie).

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:

2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi pierwiastków dywidendy i dzielnika:



3. Podnosząc pierwiastek do potęgi wystarczy podnieść do tej potęgi liczba pierwiastkowa:



4. Jeśli zwiększysz stopień pierwiastka m-krotnie i jednocześnie podniesiesz liczbę pierwiastkową do m-tej potęgi, to wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:



5. Jeśli zmniejszysz stopień pierwiastka m razy i jednocześnie wyodrębnisz m-ty pierwiastek z liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:




Rozszerzenie pojęcia stopnia. Do tej pory rozważaliśmy stopnie naukowe tylko z wykładnikami naturalnymi; ale operacje z mocami i pierwiastkami mogą również prowadzić do negatywny, zero I frakcyjny wskaźniki. Wszystkie te wykładniki wymagają dodatkowej definicji.

Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęgę pewnej liczby o wykładniku ujemnym (całkowitym) definiuje się jako jednostkę podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika ujemnego:



Teraz formuła jestem : jakiś = a m - rz można używać nie tylko do M, więcej niż N, ale także z M, mniej niż N .

PRZYKŁAD A 4: A 7 = za 4 — 7 = za — 3 .

Jeśli chcemy formuły jestem : jakiś = jestem — N było sprawiedliwe, kiedy m = rz, potrzebujemy definicji stopnia zerowego.

Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby niezerowej z wykładnikiem zerowym wynosi 1.

PRZYKŁADY. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą a do potęgi m / n, należy wyodrębnić n-ty pierwiastek z m-tej potęgi tej liczby a:



O wyrażeniach, które nie mają żadnego znaczenia. Jest kilka takich wyrażeń.

Gdzie A ≠ 0 , nie istnieje.

Właściwie, jeśli tak założymy X jest pewną liczbą, to zgodnie z definicją operacji dzielenia mamy: A = 0· X, tj. A= 0, co jest sprzeczne z warunkiem: A ≠ 0

— Jakikolwiek numer.

W rzeczywistości, jeśli założymy, że to wyrażenie jest równe jakiejś liczbie X, to zgodnie z definicją dzielenia mamy: 0 = 0 · X. Ale ta równość zachodzi, gdy dowolna liczba x, co należało udowodnić.

0 0 — Jakikolwiek numer.



Rozwiązanie Rozważmy trzy główne przypadki:

1) X = 0 – ta wartość nie spełnia tego równania

2) kiedy X> 0 otrzymujemy: x/x= 1, tj. 1 = 1, co oznacza

Co X- Jakikolwiek numer; ale biorąc pod uwagę, że w

w naszym przypadku X> 0, odpowiedź brzmi X > 0 ;

Właściwości stopnia

Przypominamy, że na tej lekcji zrozumiemy właściwości stopni z naturalnymi wskaźnikami i zerem. Potęgi o wykładnikach wymiernych i ich własności będą omawiane na lekcjach dla klasy 8.

Potęga z wykładnikiem naturalnym ma kilka ważnych właściwości, które pozwalają uprościć obliczenia na przykładach z potęgami.

Nieruchomość nr 1
Produkt mocy

Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładniki potęg są dodawane.

a m · a n = a m + n, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.

Ta właściwość potęg ma zastosowanie również do iloczynu trzech lub więcej potęg.

• Uprość wyrażenie.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Przedstaw to jako dyplom.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Przedstaw to jako dyplom.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Należy pamiętać, że w podanej własności mówiliśmy tylko o mnożeniu potęg o tych samych podstawach. Nie dotyczy to ich dodawania.

Nie można zastąpić sumy (3 3 + 3 2) liczbą 3 5. Jest to zrozumiałe, jeśli
oblicz (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Nieruchomość nr 2
Częściowe stopnie

Przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dzielnej.

• Zapisz iloraz jako potęgę
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
• Oblicz.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Przykład. Rozwiązać równanie. Korzystamy z własności potęg ilorazowych.
3 8: t = 3 4

Odpowiedź: t = 3 4 = 81

Korzystając z właściwości nr 1 i nr 2, można łatwo upraszczać wyrażenia i wykonywać obliczenia.

Przykład. Uprość wyrażenie.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5

Przykład. Znajdź wartość wyrażenia, korzystając z właściwości wykładników.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Proszę zauważyć, że we własności 2 mówiliśmy tylko o dzieleniu potęg o tych samych podstawach.

Nie możesz zastąpić różnicy (4 3 −4 2) liczbą 4 1. Jest to zrozumiałe, jeśli obliczysz (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Nieruchomość nr 3
Podnoszenie stopnia do potęgi

Podnosząc stopień do potęgi, podstawa stopnia pozostaje niezmieniona, a wykładniki są mnożone.

(a n) m = a n · m, gdzie „a” jest dowolną liczbą, a „m”, „n” są dowolnymi liczbami naturalnymi.

Przykład.
(za 4) 6 = za 4 6 = za 24

Przykład. Wyraź 3 20 jako potęgę o podstawie 3 2.

Przez właściwość podnoszenia stopnia do potęgi Wiadomo, że wykładniki podniesione do potęgi mnoży się, co oznacza:

Właściwości 4
Moc produktu

Kiedy potęgę podnosi się do potęgi iloczynu, każdy czynnik jest podnoszony do tej potęgi, a wyniki są mnożone.

(a b) n = a n b n, gdzie „a”, „b” są dowolnymi liczbami wymiernymi; „n” jest dowolną liczbą naturalną.

• Przykład 1.
  (6 za 2 b 3 do) 2 = 6 2 za 2 2 b 3 2 do 1 2 = 36 za 4 b 6 do 2
• Przykład 2.
  (-x 2 y) 6 = ((-1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Należy pamiętać, że właściwość nr 4, podobnie jak inne właściwości stopni, również stosuje się w odwrotnej kolejności.

(a n · b n)= (a · b) n

Oznacza to, że aby pomnożyć potęgi o tych samych wykładnikach, można pomnożyć podstawy, ale pozostawić wykładnik bez zmian.

• Przykład. Oblicz.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
• Przykład. Oblicz.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

W bardziej złożonych przykładach mogą zaistnieć przypadki, w których należy wykonać mnożenie i dzielenie potęg o różnych podstawach i różnych wykładnikach. W takim przypadku zalecamy wykonanie następujących czynności.

Na przykład 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Przykład podnoszenia ułamka dziesiętnego do potęgi.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Właściwości 5
Potęga ilorazu (ułamka)

Aby podnieść iloraz do potęgi, możesz oddzielnie podnieść dzielną i dzielnik do tej potęgi i podzielić pierwszy wynik przez drugi.

(a: b) n = a n: b n, gdzie „a”, „b” to dowolne liczby wymierne, b ≠ 0, n - dowolna liczba naturalna.

• Przykład. Przedstaw wyrażenie jako iloraz potęg.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Przypominamy, że iloraz można przedstawić jako ułamek. Dlatego bardziej szczegółowo omówimy temat podnoszenia ułamka do potęgi na następnej stronie.

Typ lekcji: lekcja uogólniania i systematyzacji wiedzy

Cele:

• edukacyjny– powtórzyć definicję stopnia, zasady mnożenia i dzielenia stopni, podnosić stopień do potęgi, utrwalić umiejętności rozwiązywania przykładów zawierających stopnie,
• rozwijający się– rozwój logicznego myślenia uczniów, zainteresowania studiowanym materiałem,
• wychowywanie– kształtowanie odpowiedzialnego podejścia do nauki, kultury komunikacji i poczucia kolektywizmu.

Sprzęt: komputer, rzutnik multimedialny, tablica interaktywna, prezentacja „Stopni” do obliczeń mentalnych, karty zadań, materiały informacyjne.

Plan lekcji:

1. Organizowanie czasu.
2. Powtórzenie zasad
3. Liczenie werbalne.
4. Odniesienie historyczne.
5. Pracuj przy desce.
6. Minuta wychowania fizycznego.
7. Praca na tablicy interaktywnej.
8. Niezależna praca.
9. Praca domowa.
10. Podsumowanie lekcji.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny

Przekaż temat i cele lekcji.

Na poprzednich lekcjach odkryłeś cudowny świat potęg, nauczyłeś się mnożyć i dzielić potęgi oraz podnosić je do potęg. Dziś musimy utrwalić zdobytą wiedzę rozwiązując przykłady.

II. Powtarzanie zasad(doustnie)

1. Podaj definicję stopnia z wykładnikiem naturalnym? (Potęga liczby A z wykładnikiem naturalnym większym niż 1 nazywa się iloczynem N czynników, z których każdy jest równy A.)
2. Jak pomnożyć dwie potęgi? (Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, należy pozostawić podstawę bez zmian i dodać wykładniki.)
3. Jak podzielić stopień przez stopień? (Aby podzielić potęgi o tej samej podstawie, należy pozostawić podstawę bez zmian i odjąć wykładniki.)
4. Jak podnieść iloczyn do potęgi? (Aby podnieść iloczyn do potęgi, musisz podnieść każdy czynnik do tej potęgi)
5. Jak podnieść stopień do potęgi? (Aby podnieść potęgę do potęgi, należy pozostawić podstawę bez zmian i pomnożyć wykładniki)

III. Liczenie werbalne(przez multimedia)

IV. Odniesienie historyczne

Wszystkie zadania pochodzą z papirusu Ahmesa, który został napisany około 1650 roku p.n.e. mi. związane z praktyką budowlaną, wytyczaniem działek itp. Zadania pogrupowane są tematycznie. Są to przede wszystkim zagadnienia znajdowania pól trójkątów, czworokątów i okręgów, różne działania na liczbach całkowitych i ułamkach, dzielenie proporcjonalne, znajdowanie stosunków, jest też podnoszenie do różnych potęg, rozwiązywanie równań pierwszego i drugiego stopnia z niewiadomą.

Całkowity brak jakichkolwiek wyjaśnień i dowodów. Pożądany wynik jest albo podawany bezpośrednio, albo podany jest krótki algorytm jego obliczenia. Ten sposób prezentacji, typowy dla nauki krajów starożytnego Wschodu, sugeruje, że tam matematyka rozwinęła się poprzez uogólnienia i domysły, które nie tworzyły żadnej ogólnej teorii. Papirus zawiera jednak szereg dowodów na to, że egipscy matematycy umieli wyciągać pierwiastki i podnosić je do potęg, rozwiązywać równania, a nawet opanowali podstawy algebry.

V. Praca przy tablicy

Znajdź znaczenie wyrażenia w racjonalny sposób:

Oblicz wartość wyrażenia:

VI. Minuta wychowania fizycznego

1. dla oczu
2. na szyję
3. na ręce
4. dla tułowia
5. na nogi

VII. Rozwiązywanie problemów(z wyświetlaczem na tablicy interaktywnej)

Czy pierwiastek równania jest liczbą dodatnią?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Niezależna praca

IX. Praca domowa

X. Podsumowanie lekcji

Analiza wyników, ogłoszenie ocen.

Zdobytą wiedzę na temat stopni naukowych wykorzystamy przy rozwiązywaniu równań i problemów w szkole średniej, często można je znaleźć także na egzaminie Unified State Exam.

I. Praca N czynników, z których każdy jest równy A zwany N-ta potęga liczby A i jest wyznaczony AN.

Przykłady. Napisz produkt jako stopień.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Rozwiązanie.

1) mmmm=m 4, ponieważ z definicji stopień jest iloczynem czterech czynników, z których każdy jest równy M, będzie czwarta potęga m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5,5,5,5,ccc=5 4 do 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. Działanie, za pomocą którego znajduje się iloczyn kilku równych czynników, nazywa się potęgowaniem. Liczbę podniesioną do potęgi nazywamy podstawą potęgi. Liczbę pokazującą, do jakiej potęgi podniesiona jest podstawa, nazywamy wykładnikiem. Więc, AN- stopień, A– podstawa stopnia, N– wykładnik. Na przykład:

2 3 — to stopień. Numer 2 jest podstawą stopnia, wykładnik jest równy 3 . Wartość stopnia 2 3 równa się 8, ponieważ 2 3 =2·2·2=8.

Przykłady. Zapisz poniższe wyrażenia bez wykładnika.

5) 4 3; 6) za 3 b 2 do 3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Rozwiązanie.

5) 4 3 = 4.4.4 ; 6) za 3 b 2 do 3 = aaabbccc; 7) za 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. i 0 = 1 Dowolna liczba (z wyjątkiem zera) do potęgi zerowej jest równa jeden. Na przykład 25 0 =1.
IV. a 1 = aKażda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie.

V. jestem∙ jakiś= jestem + N Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach podstawa i wykładniki pozostają takie same fałdowy

Przykłady. Uproszczać:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 + b 2 b 3 ; 11) do 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Rozwiązanie.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 + b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) do 2 do 0 do do 4 = 1 do 2 do do 4 = do 2+1+4 = do 7 .

VI. jestem: jakiś= jestem - NPrzy dzieleniu potęg o tej samej podstawie podstawę pozostawia się taką samą, a wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dzielnej.

Przykłady. Uproszczać:

12) a 8: a 3 ; 13) m 11:m 4; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=za 8-3 =za 5 ; 13)m 11:m 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (jestem) N= miesiąc Przy podnoszeniu potęgi do potęgi podstawa pozostaje taka sama, a wykładniki są mnożone.

Przykłady. Uproszczać:

15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3.4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

notatka, które, ponieważ iloczyn nie zmienia się w wyniku zmiany układu czynników, To:

15) (za 3) 4 = (za 4) 3 ; 16) (do 5) 2 = (do 2) 5 .

VI II. (a∙b) n =a n ∙b n Podnosząc iloczyn do potęgi, każdy z czynników podnosi się do tej potęgi.

Przykłady. Uproszczać:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0,2 6 ·5 6; 19) 0,25 2 40 2.

Rozwiązanie.

17) (2a 2) 5=2 5 ·a 2,5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.

IX. Podnosząc ułamek do potęgi, licznik i mianownik ułamka podnoszone są do tej potęgi.

Przykłady. Uproszczać:

Rozwiązanie.

Strona 1 z 1 1