1. Jak określić błędy pomiarowe.

Wykonywanie prac laboratoryjnych polega na pomiarze różnych wielkości fizycznych i późniejszej obróbce ich wyników.

Pomiar- wyznaczanie wartości wielkości fizycznej eksperymentalnie za pomocą przyrządów pomiarowych.

Pomiar bezpośredni- określenie wartości wielkości fizycznej bezpośrednio metodą pomiaru.

Pomiar pośredni- wyznaczanie wartości wielkości fizycznej za pomocą wzoru łączącego ją z innymi wielkościami fizycznymi wyznaczonymi w drodze pomiarów bezpośrednich.

Wprowadźmy następującą notację:

A, B, C, ... - wielkości fizyczne.

Natomiast pr jest przybliżoną wartością wielkości fizycznej, tj. wartością uzyskaną na drodze pomiarów bezpośrednich lub pośrednich.

ΔA jest bezwzględnym błędem pomiaru wielkości fizycznej.

ε – względny błąd pomiaru wielkości fizycznej równy:

Δ A jest bezwzględnym błędem instrumentalnym określonym przez konstrukcję urządzenia (błąd przyrządów pomiarowych; patrz tabela 1).

Δ 0 A - bezwzględny błąd odczytu (wynikający z niewystarczająco dokładnych odczytów przyrządów pomiarowych); w większości przypadków jest równa połowie wartości podziału, podczas pomiaru czasu jest równa wartości podziału stopera lub zegara.

Tabela 1

Bezwzględne błędy instrumentalne przyrządów pomiarowych

№	Zmierzenie	Granica pomiaru	Wartość podziału	Absolutny błąd instrumentalny
1	Linijka
	student	do 50 cm	1 mm	± 1 mm
	salon	do 50 cm	1 mm	±0,2 mm
	instrumentalny (stal)	20 cm	1 mm	± 0,1 mm
	demonstracja	100cm	1cm	± 0,5 cm
2	Miarka	150cm	0,5cm	± 0,5 cm
3	Cylinder miarowy	do 250ml	1 ml	± 1ml
4	Suwmiarka	150 mm	0,1 mm	±0,05 mm
5	Mikrometr	25 mm	0,01 mm	± 0,005 mm
6	Hamownia treningowa	4 N	0,1 N	± 0,05 N
7	Skale treningowe	200 gr	-	±0,01 g
8	Stoper	0-30 minut	0,2 sek	± 1 s na 30 min
9	Barometr aneroidowy	720-780 mm Hg. Sztuka.	1 mmHg Sztuka.	± 3 mmHg Sztuka.
10	Termometr laboratoryjny	0-100 0 C	1 0 C	± 1 0 С
11	Amperomierz szkolny	2 A	0,1 A	±0,05A
12	Woltomierz szkolny	6 V	0,2 V	±0,15 V

Maksymalny błąd bezwzględny pomiarów bezpośrednich składa się z bezwzględnego błędu przyrządu i bezwzględnego błędu odczytu przy braku innych błędów:

Bezwzględny błąd pomiaru jest zwykle zaokrąglany do jednej cyfry znaczącej (ΔA = 0,17 ≈ 0,2); wartość liczbową wyniku pomiaru zaokrągla się tak, aby jego ostatnia cyfra była zgodna z cyfrą błędu (A = 10,332 ≈ 10,3).

Wyniki powtarzanych pomiarów wielkości fizycznej A, przeprowadzonych w tych samych kontrolowanych warunkach i przy użyciu wystarczająco czułych i dokładnych (o małych błędach) przyrządów pomiarowych, zwykle różnią się od siebie. W tym przypadku Apr stanowi średnią arytmetyczną wszystkich pomiarów, a błąd ΔA (nazywa się to błędem losowym) określa się metodami statystyki matematycznej.

W szkolnej praktyce laboratoryjnej takie przyrządy pomiarowe praktycznie nie są stosowane. Dlatego podczas wykonywania prac laboratoryjnych konieczne jest określenie maksymalnych błędów pomiaru wielkości fizycznych. Aby otrzymać wynik wystarczy jeden pomiar.

Błąd względny pomiarów pośrednich wyznacza się w sposób pokazany w tabeli 2.

Tabela 2

Wzory do obliczania błędu względnego pomiarów pośrednich

№	Wzór na wielkość fizyczną	Wzór na błąd względny
1
2
3
4

Błąd bezwzględny pomiarów pośrednich określa się wzorem ΔA = A pr ε (ε wyraża się jako ułamek dziesiętny).

2. O klasie dokładności elektrycznych przyrządów pomiarowych.

Aby określić bezwzględny błąd instrumentalny urządzenia, należy znać jego klasę dokładności. Klasa dokładności γ urządzenia pomiarowego pokazuje, ile procent bezwzględnego błędu instrumentalnego Δ i A stanowi cała skala urządzenia (A max):

Klasa dokładności jest podana na skali urządzenia lub w jego paszporcie (w tym przypadku nie jest zapisywany znak %). Wyróżnia się następujące klasy dokładności elektrycznych przyrządów pomiarowych: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Znając klasę dokładności urządzenia (γ pr) i całą jego skalę (A max), wyznacz błąd bezwzględny Δ i A pomiaru wielkości fizycznej A tym urządzeniem:

3. Jak porównać wyniki pomiarów.

1. Wyniki pomiarów zapisz w postaci podwójnych nierówności:

A 1np - ΔA 1< А 1пр < А 1пр + ΔА 1 ,

A 2pr - ΔA 2< А 2пр < А 2пр + ΔА 2 .

2. Porównaj otrzymane przedziały wartości: jeśli przedziały nie pokrywają się, to wyniki nie są takie same; jeżeli nakładają się na siebie, są identyczne dla danego względnego błędu pomiaru.

4. Jak przygotować raport z wykonanej pracy.

1. Praca laboratoryjna nr....
2. Tytuł pracy.
3. Cel pracy.
4. Rysunek (jeśli jest wymagany).
5. Wzory na wymagane ilości i ich błędy.
6. Tabela wyników pomiarów i obliczeń.
7. Wynik końcowy, wnioski itp. (zgodnie z celem pracy).

5. Jak zapisać wynik pomiaru.

A = A pr ± ΔA
e = ...%.

Błąd bezwzględny i względny

Elementy teorii błędu

Liczby dokładne i przybliżone

Dokładność liczby zwykle nie budzi wątpliwości, jeśli chodzi o całe wartości danych (2 ołówki, 100 drzew). Jednak w większości przypadków, gdy nie da się wskazać dokładnej wartości liczby (np. podczas pomiaru obiektu linijką, pobierania wyników z urządzenia itp.), mamy do czynienia z danymi przybliżonymi.

Wartość przybliżona to liczba, która nieznacznie różni się od wartości dokładnej i zastępuje ją w obliczeniach. Charakteryzuje się stopniem, w jakim przybliżona wartość liczby różni się od jej dokładnej wartości błąd .

Wyróżnia się następujące główne źródła błędów:

1. Błędy w sformułowaniu problemu, powstałe w wyniku przybliżonego opisu rzeczywistego zjawiska w kategoriach matematycznych.

2. Błędy metody, związany z trudnością lub niemożliwością rozwiązania danego problemu i zastąpienia go podobnym, tak aby możliwe było zastosowanie znanej i dostępnej metody rozwiązania i uzyskanie wyniku zbliżonego do pożądanego.

3. Fatalne błędy, związane z przybliżonymi wartościami danych pierwotnych oraz ze względu na wykonywanie obliczeń na liczbach przybliżonych.

4. Błędy zaokrągleń związane z zaokrąglaniem wartości danych początkowych, wyników pośrednich i końcowych uzyskanych za pomocą narzędzi obliczeniowych.

Błąd bezwzględny i względny

Uwzględnianie błędów jest ważnym aspektem stosowania metod numerycznych, gdyż błąd w końcowym wyniku rozwiązania całego problemu jest wypadkową interakcji wszystkich rodzajów błędów. Dlatego jednym z głównych zadań teorii błędu jest ocena dokładności wyniku na podstawie dokładności danych źródłowych.

Jeśli jest liczbą dokładną i jest jej wartością przybliżoną, to błąd (błąd) wartości przybliżonej to stopień bliskości jej wartości do jej wartości dokładnej.

Najprostszą ilościową miarą błędu jest błąd bezwzględny, który definiuje się jako

(1.1.2-1)

Jak widać ze wzoru 1.1.2-1, błąd bezwzględny ma te same jednostki miary co wartość. Dlatego nie zawsze możliwe jest wyciągnięcie prawidłowego wniosku na temat jakości przybliżenia na podstawie wielkości błędu bezwzględnego. Na przykład, jeśli , a mówimy o części maszyny, to pomiary są bardzo przybliżone, a jeśli mówimy o wielkości statku, to są bardzo dokładne. W związku z tym wprowadzono pojęcie błędu względnego, w którym wartość błędu bezwzględnego odnoszona jest do modułu wartości przybliżonej ( ).

(1.1.2-2)

Stosowanie błędów względnych jest wygodne zwłaszcza dlatego, że nie zależą one od skali wielkości i jednostek miar danych. Błąd względny mierzy się w ułamkach lub procentach. Jeśli więc np

,A , To , i jeśli I ,

a następnie .

Aby numerycznie oszacować błąd funkcji, musisz znać podstawowe zasady obliczania błędu działań:

· podczas dodawania i odejmowania liczb Błędy bezwzględne liczb sumują się

· podczas mnożenia i dzielenia liczb ich błędy względne sumują się

· podczas podnoszenia przybliżonej liczby do potęgi jego błąd względny jest mnożony przez wykładnik

Przykład 1.1.2-1. Podana funkcja: . Znajdź błędy bezwzględne i względne wartości (błąd wyniku wykonywania operacji arytmetycznych), jeśli wartości są znane, a 1 jest dokładną liczbą, a jej błąd wynosi zero.

Po ustaleniu w ten sposób wartości błędu względnego możemy znaleźć wartość błędu bezwzględnego jako , gdzie wartość oblicza się ze wzoru na wartości przybliżone

Ponieważ dokładna wartość ilości jest zwykle nieznana, obliczenia I według powyższych wzorów jest to niemożliwe. Dlatego w praktyce ocenia się maksymalne błędy formularza:

(1.1.2-3)

Gdzie I - znane wielkości stanowiące górne granice błędów bezwzględnych i względnych, inaczej nazywane są - maksymalnymi błędami bezwzględnymi i maksymalnymi błędami względnymi. Zatem dokładna wartość mieści się w zakresie:

Jeśli wartość w takim razie wiadomo , i jeśli ilość jest znana , To

Temat " ” uczy się płynnie w 9 klasie. A uczniowie z reguły nie rozwijają w pełni umiejętności jego obliczania.

Ale z praktycznym zastosowaniem względny błąd liczby , jak i z błędem absolutnym, spotykamy się na każdym kroku.

Podczas prac naprawczych zmierzyliśmy (w centymetrach) grubość M wykładzina i szerokość N próg. Otrzymaliśmy następujące wyniki:

m≈0,8 (z dokładnością do 0,1);

n≈100,0 (z dokładnością do 0,1).

Należy pamiętać, że błąd bezwzględny poszczególnych danych pomiarowych nie przekracza 0,1.

Jednakże 0,1 jest stałą częścią liczby 0,8. Jeśli chodzi oliczba 100 reprezentuje nieistotne hJest. To pokazuje, że jakość drugiego wymiaru jest znacznie wyższa niż pierwszego.

Aby ocenić jakość pomiaru, stosuje się go błąd względny przybliżonej liczby.

Definicja.

Błąd względny liczby przybliżonej (wartości) to stosunek błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej wartości przybliżonej.

Zgodzili się wyrazić błąd względny w procentach.

Przykład 1.

Rozważ ułamek 14,7 i zaokrąglij go do liczb całkowitych. Znajdziemy również błąd względny przybliżonej liczby:

14,7≈15.

Aby obliczyć błąd względny, oprócz wartości przybliżonej, z reguły musisz znać także błąd bezwzględny. Błąd bezwzględny nie zawsze jest znany. Dlatego oblicz niemożliwe. I w tym przypadku wystarczy wskazać oszacowanie błędu względnego.

Przypomnijmy sobie przykład podany na początku artykułu. Wskazano tam pomiary grubości. M dywan i szerokość N próg.

Na podstawie wyników pomiarów M≈0,8 z dokładnością 0,1. Można powiedzieć, że bezwzględny błąd pomiaru nie przekracza 0,1. Oznacza to, że wynik podzielenia błędu bezwzględnego przez wartość przybliżoną (i jest to błąd względny) jest mniejszy lub równy 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.

Zatem względny błąd aproksymacji wynosi ≤ 12,5%.

W podobny sposób obliczamy błąd względny przybliżenia szerokości parapetu; nie jest to więcej niż 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Mówią, że w pierwszym przypadku pomiar przeprowadzono z dokładnością względną do 12,5%, a w drugim - z dokładnością względną do 0,1%.

Podsumować.

Absolutny błąd przybliżona liczba - to jest różnicapomiędzy dokładną liczbą X i jego przybliżoną wartość A.

Jeżeli moduł różnicowy | X – A| mniej niż niektórzy D A, a następnie wartość D A zwany absolutny błąd przybliżona liczba A.

Błąd względny liczby przybliżonej jest stosunkiem błędu bezwzględnego D A do modułu liczby A, to jestD A / |A| = re A .

Przykład 2.

Rozważmy znaną przybliżoną wartość liczby π≈3,14.

Biorąc pod uwagę jego wartość z dokładnością do stu tysięcznych, można wskazać jego błąd jako 0,00159... (pomoże to zapamiętać cyfry liczby π )

Błąd bezwzględny liczby π jest równy: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Błąd względny liczby π wynosi: 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Przykład 3.

Spróbuj obliczyć to sam błąd względny przybliżonej liczby √2. Istnieje kilka sposobów zapamiętania cyfr liczby „pierwiastek kwadratowy z 2”.

Jak wspomniano wcześniej, gdy porównujemy dokładność pomiaru o jakiejś przybliżonej wartości, posługujemy się błędem bezwzględnym.

Pojęcie błędu absolutnego

Błąd bezwzględny wartości przybliżonej to wielkość różnicy między wartością dokładną a wartością przybliżoną.
Błąd bezwzględny można wykorzystać do porównania dokładności przybliżeń tych samych wielkości, a jeśli mamy porównywać dokładność przybliżeń różnych wielkości, to sam błąd bezwzględny nie wystarczy.

Na przykład: Długość kartki papieru A4 wynosi (29,7 ± 0,1) cm, a odległość z Petersburga do Moskwy wynosi (650 ± 1) km. Błąd bezwzględny w pierwszym przypadku nie przekracza jednego milimetra, a w drugim - jednego kilometra. Pytanie brzmi, jak porównać dokładność tych pomiarów.

Jeśli uważasz, że długość arkusza jest mierzona dokładniej, ponieważ błąd bezwzględny nie przekracza 1 mm. W takim razie się mylisz. Wartości tych nie można bezpośrednio porównywać. Zróbmy pewne rozumowanie.

Przy pomiarze długości arkusza błąd bezwzględny nie przekracza 0,1 cm na 29,7 cm, czyli w ujęciu procentowym wynosi 0,1/29,7 * 100% = 0,33% zmierzonej wartości.

Gdy mierzymy odległość z Petersburga do Moskwy, błąd bezwzględny nie przekracza 1 km na 650 km, co w procentach wynosi 1/650 * 100% = 0,15% zmierzonej wartości. Widzimy, że odległość między miastami mierzy się dokładniej niż długość kartki A4.

Pojęcie błędu względnego

W tym miejscu, aby ocenić jakość przybliżenia, wprowadzono nowe pojęcie – błąd względny. Względny błąd- jest to iloraz podzielenia błędu bezwzględnego przez moduł przybliżonych wartości mierzonej wartości. Zwykle błąd względny wyraża się w procentach. W naszym przykładzie otrzymaliśmy dwa błędy względne równe 0,33% i 0,15%.

Jak można się domyślić, wartość błędu względnego jest zawsze dodatnia. Wynika to z faktu, że błąd bezwzględny ma zawsze wartość dodatnią i dzielimy go przez moduł, a moduł też jest zawsze dodatni.

Absolutny błąd pomiaru jest wielkością wyznaczaną przez różnicę pomiędzy wynikami pomiaru X i rzeczywistą wartość mierzonej wielkości X 0:

Δ X = |X - X 0 |.

Wartość δ, równa stosunkowi bezwzględnego błędu pomiaru do wyniku pomiaru, nazywa się błędem względnym:

Przykład 2.1. Przybliżona wartość π wynosi 3,14. Wtedy jego błąd wynosi 0,00159. Błąd bezwzględny można uznać za równy 0,0016, a błąd względny za równy 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Znaczące liczby. Jeżeli błąd bezwzględny wartości a nie przekracza jednego miejsca ostatniej cyfry liczby a, to mówimy, że liczba ma wszystkie prawidłowe znaki. Należy zapisać przybliżone liczby, zachowując tylko właściwe znaki. Jeżeli np. błąd bezwzględny liczby 52400 wynosi 100, to liczbę tę należy zapisać np. jako 524·10 2 lub 0,524·10 5. Możesz oszacować błąd przybliżonej liczby, wskazując, ile zawiera poprawnych cyfr znaczących. Podczas liczenia cyfr znaczących zera po lewej stronie liczby nie są liczone.

Na przykład liczba 0,0283 ma trzy ważne cyfry znaczące, a 2,5400 ma pięć ważnych cyfr znaczących.

Zasady zaokrąglania liczb. Jeżeli przybliżona liczba zawiera dodatkowe (lub nieprawidłowe) cyfry, należy ją zaokrąglić. Podczas zaokrąglania pojawia się dodatkowy błąd, który nie przekracza połowy jednostki miejsca ostatniej znaczącej cyfry ( D) zaokrąglona liczba. Podczas zaokrąglania zachowywane są tylko prawidłowe cyfry; dodatkowe znaki są odrzucane i jeśli pierwsza odrzucona cyfra jest większa lub równa D/2, wówczas ostatnia zapisana cyfra jest zwiększana o jeden.

Dodatkowe cyfry w liczbach całkowitych są zastępowane zerami, a w ułamkach dziesiętnych są one odrzucane (podobnie jak dodatkowe zera). Na przykład, jeśli błąd pomiaru wynosi 0,001 mm, wówczas wynik 1,07005 zaokrągla się do 1,070. Jeżeli pierwsza z cyfr zmodyfikowanych zerami i odrzucona jest mniejsza niż 5, pozostałe cyfry nie ulegają zmianie. Na przykład liczba 148935 z dokładnością pomiaru 50 ma zaokrągloną wartość 148900. Jeżeli pierwszą z cyfr zastąpionych zerami lub odrzuconą jest 5, a po niej nie ma żadnych cyfr ani zer, to jest ona zaokrąglana do najbliższej Liczba parzysta. Na przykład liczbę 123,50 zaokrągla się do 124. Jeśli pierwsza cyfra zera lub cyfra „odejmowana” jest większa niż 5 lub równa 5, ale następuje po niej cyfra znacząca, wówczas ostatnia pozostała cyfra jest zwiększana o jeden. Na przykład liczbę 6783,6 zaokrągla się do 6784.

Przykład 2.2. Przy zaokrąglaniu 1284 do 1300 błąd bezwzględny wynosi 1300 - 1284 = 16, a przy zaokrąglaniu do 1280 błąd bezwzględny wynosi 1280 - 1284 = 4.

Przykład 2.3. Przy zaokrąglaniu liczby 197 do 200 błąd bezwzględny wynosi 200 - 197 = 3. Błąd względny wynosi 3/197 ≈ 0,01523 lub około 3/200 ≈ 1,5%.

Przykład 2.4. Sprzedawca waży arbuza na wadze. Najmniejsza waga w zestawie to 50 g. Waga dała 3600 g. Jest to liczba przybliżona. Dokładna waga arbuza nie jest znana. Ale błąd bezwzględny nie przekracza 50 g. Błąd względny nie przekracza 50/3600 = 1,4%.

Błędy w rozwiązaniu problemu komputer

Za główne źródła błędów uważa się zwykle trzy rodzaje błędów. Nazywa się je błędami obcięcia, zaokrągleniami i błędami propagacji. Na przykład w przypadku stosowania metod iteracyjnych do poszukiwania pierwiastków równań nieliniowych wyniki są przybliżone, w przeciwieństwie do metod bezpośrednich, które zapewniają dokładne rozwiązanie.

Błędy przy obcinaniu

Ten typ błędu jest powiązany z błędem właściwym dla samego zadania. Może to wynikać z niedokładności w ustaleniu danych źródłowych. Na przykład, jeśli w opisie problemu podano jakieś wymiary, to w praktyce dla obiektów rzeczywistych wymiary te są zawsze znane z pewną dokładnością. To samo dotyczy wszelkich innych parametrów fizycznych. Dotyczy to także niedokładności wzorów obliczeniowych i zawartych w nich współczynników liczbowych.

Błędy propagacyjne

Ten rodzaj błędu wiąże się z zastosowaniem tej lub innej metody rozwiązania problemu. Podczas obliczeń nieuchronnie następuje kumulacja błędów lub, innymi słowy, propagacja. Oprócz tego, że oryginalne dane same w sobie nie są dokładne, pojawia się nowy błąd podczas ich mnożenia, dodawania itp. Kumulacja błędu zależy od charakteru i liczby operacji arytmetycznych zastosowanych w obliczeniach.

Błędy zaokrągleń

Ten typ błędu występuje, ponieważ komputer nie zawsze dokładnie przechowuje prawdziwą wartość liczby. Kiedy liczba rzeczywista jest przechowywana w pamięci komputera, jest zapisywana jako mantysa i wykładnik w podobny sposób, jak liczba jest wyświetlana na kalkulatorze.