Odwrotna proporcjonalność. Proporcjonalność bezpośrednia i odwrotna

Przykład

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.

Czynnik proporcjonalności

Nazywa się stałą zależnością wielkości proporcjonalnych współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę drugiej.

Bezpośrednia proporcjonalność

Bezpośrednia proporcjonalność- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, zmienne te ulegają zmianie proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmieni się dwukrotnie w dowolnym kierunku, wówczas funkcja również zmieni się dwukrotnie w tym samym kierunku.

Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako wzór:

F(X) = AX,A = CoNST

Odwrotna proporcjonalność

Odwrotna proporcjonalność- jest to zależność funkcjonalna, w której wzrost wartości niezależnej (argumentu) powoduje proporcjonalne zmniejszenie wartości zależnej (funkcji).

Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako wzór:

Właściwości funkcji:

Źródła

Fundacja Wikimedia. 2010.

• Drugie prawo Newtona
• Bariera Coulomba

Zobacz, co oznacza „Bezpośrednia proporcjonalność” w innych słownikach:

bezpośrednia proporcjonalność- - [A.S. Goldberg. Angielsko-rosyjski słownik energii. 2006] Tematyka energii w ogóle EN bezpośredni współczynnik ... Przewodnik tłumacza technicznego

bezpośrednia proporcjonalność- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. bezpośrednia proporcjonalność vok. direkte Proportionalität, f rus. bezpośrednia proporcjonalność, f pranc. proporcjonalny directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCJONALNOŚĆ- (z łac. proporcjonalny, proporcjonalny, proporcjonalny). Proporcjonalność. Słownik słów obcych zawartych w języku rosyjskim. Chudinov A.N., 1910. PROPORCJONALNOŚĆ łac. proporcjonalny, proporcjonalny. Proporcjonalność. Wyjaśnienie 25000... ... Słownik obcych słów języka rosyjskiego

PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ, proporcjonalność, liczba mnoga. nie, kobieta (książka). 1. streszczenie rzeczownik do proporcjonalnego. Proporcjonalność części. Proporcjonalność ciała. 2. Taki związek między wielkościami, gdy są one proporcjonalne (patrz proporcjonalne ... Słownik wyjaśniający Uszakowa

Proporcjonalność- Dwie wzajemnie zależne wielkości nazywane są proporcjonalnymi, jeśli stosunek ich wartości pozostaje niezmieniony. Spis treści 1 Przykład 2 Współczynnik proporcjonalności ... Wikipedia

PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ i kobiecość. 1. patrz proporcjonalne. 2. W matematyce: taki związek między wielkościami, w którym wzrost jednej z nich pociąga za sobą zmianę drugiej o tę samą wielkość. Linia prosta (z podcięciem ze wzrostem o jedną wartość... ... Słownik wyjaśniający Ożegowa

proporcjonalność- I; I. 1. na Proporcjonalny (1 wartość); proporcjonalność. P. części. P. budowa ciała. P. reprezentacja w parlamencie. 2. Matematyka. Zależność pomiędzy proporcjonalnie zmieniającymi się wielkościami. Czynnik proporcjonalności. Linia bezpośrednia (w której z... ... słownik encyklopedyczny

Pojęcie bezpośredniej proporcjonalności

Wyobraź sobie, że planujesz kupić swoje ulubione cukierki (lub cokolwiek, co naprawdę lubisz). Słodycze w sklepie mają swoją cenę. Powiedzmy 300 rubli za kilogram. Im więcej cukierków kupisz, tym więcej pieniędzy zapłacisz. Oznacza to, że jeśli chcesz 2 kilogramy, zapłać 600 rubli, a jeśli chcesz 3 kilogramy, zapłać 900 rubli. Wydaje się, że wszystko jest jasne, prawda?

Jeśli tak, to teraz jest dla ciebie jasne, czym jest bezpośrednia proporcjonalność - jest to koncepcja opisująca związek dwóch zależnych od siebie wielkości. A stosunek tych wielkości pozostaje niezmienny i stały: o ile części jedna z nich zwiększa się lub zmniejsza, o tę samą liczbę części druga zwiększa się lub zmniejsza proporcjonalnie.

Proporcjonalność bezpośrednią można opisać wzorem: f(x) = a*x, a w tym wzorze a jest wartością stałą (a = const). W naszym przykładzie dotyczącym słodyczy cena jest wartością stałą, stałą. Nie zwiększa się ani nie zmniejsza, niezależnie od tego, ile cukierków zdecydujesz się kupić. Zmienna niezależna (argument) x określa, ile kilogramów cukierków zamierzasz kupić. Zmienna zależna f(x) (funkcja) określa, ile pieniędzy ostatecznie zapłacisz za swój zakup. Możemy więc podstawić liczby do wzoru i otrzymać: 600 rubli. = 300 rubli. * 2 kg.

Pośredni wniosek jest taki: jeśli argument wzrasta, funkcja również rośnie, jeśli argument maleje, funkcja również maleje

Funkcja i jej właściwości

Bezpośrednia funkcja proporcjonalna jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej. Jeżeli funkcją liniową jest y = k*x + b, to dla proporcjonalności bezpośredniej wygląda to tak: y = k*x, gdzie k nazywa się współczynnikiem proporcjonalności i jest to zawsze liczba niezerowa. Łatwo jest obliczyć k - oblicza się je jako iloraz funkcji i argumentu: k = y/x.

Aby było jaśniej, weźmy inny przykład. Wyobraź sobie, że samochód jedzie z punktu A do punktu B. Jego prędkość wynosi 60 km/h. Jeśli założymy, że prędkość ruchu pozostaje stała, wówczas można ją przyjąć jako stałą. Następnie zapisujemy warunki w postaci: S = 60*t, a wzór ten jest podobny do funkcji bezpośredniej proporcjonalności y = k *x. Narysujmy dalej analogię: jeśli k = y/x, to prędkość samochodu można obliczyć znając odległość między A i B oraz czas spędzony na drodze: V = S /t.

A teraz, od zastosowania wiedzy o proporcjonalności bezpośredniej, wróćmy do jej funkcji. Które właściwości obejmują:

jego dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (oraz jego podzbiorów);

funkcja jest nieparzysta;

zmiana zmiennych jest wprost proporcjonalna na całej długości osi liczbowej.

Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres

Wykres funkcji bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą przecinającą początek. Aby go zbudować wystarczy zaznaczyć jeszcze tylko jeden punkt. I połącz to z początkiem współrzędnych linią prostą.

W przypadku wykresu k jest nachyleniem. Jeżeli nachylenie jest mniejsze od zera (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), wykres i oś x tworzą kąt ostry, a funkcja jest rosnąca.

I jeszcze jedna właściwość wykresu funkcji bezpośredniej proporcjonalności jest bezpośrednio związana z nachyleniem k. Załóżmy, że mamy dwie nieidentyczne funkcje i odpowiednio dwa wykresy. Jeżeli więc współczynniki k tych funkcji są równe, to ich wykresy leżą równolegle do osi współrzędnych. A jeśli współczynniki k nie są sobie równe, wykresy się przecinają.

Przykłady problemów

Teraz rozwiążmy parę bezpośrednie problemy z proporcjonalnością

Zacznijmy od czegoś prostego.

Zadanie 1: Wyobraź sobie, że 5 kur zniosło 5 jaj w ciągu 5 dni. A jeśli jest 20 kur, ile jaj zniosą w ciągu 20 dni?

Rozwiązanie: Oznaczmy niewiadomą przez kx. I będziemy rozumować w następujący sposób: ile razy było więcej kurczaków? Podziel 20 przez 5 i dowiedz się, że to jest 4 razy. Ile razy więcej jaj zniesie 20 kur w ciągu tych samych 5 dni? Również 4 razy więcej. U nas wygląda to tak: 5*4*4 = 80 jaj zostanie zniesionych przez 20 kur w ciągu 20 dni.

Teraz przykład jest trochę bardziej skomplikowany, sparafrazujmy problem z „Ogólnej arytmetyki” Newtona. Problem 2: Pisarz może napisać 14 stron nowej książki w 8 dni. Gdyby miał asystentów, ilu ludzi potrzeba, aby napisać 420 stron w 12 dni?

Rozwiązanie: Rozumujemy, że liczba osób (pisarz + asystenci) rośnie wraz z ilością pracy, jeśli trzeba ją wykonać w tym samym czasie. Ale ile razy? Dzieląc 420 przez 14, dowiadujemy się, że zwiększa się ono 30 razy. Ale ponieważ zgodnie z warunkami zadania na pracę przeznacza się więcej czasu, liczba asystentów wzrasta nie 30 razy, ale w ten sposób: x = 1 (pisarz) * 30 (razy): 12/8 ( dni). Przekształćmy się i przekonajmy, że x = 20 osób napisze 420 stron w 12 dni.

Rozwiążmy inny problem podobny do tych w naszych przykładach.

Problem 3: Dwa samochody wyruszają w tę samą podróż. Jeden jechał z prędkością 70 km/h i tę samą trasę pokonał w 2 godziny, drugi w 7 godzin. Znajdź prędkość drugiego samochodu.

Rozwiązanie: Jak pamiętasz, droga jest wyznaczana na podstawie prędkości i czasu - S = V *t. Ponieważ oba samochody przejechały tę samą odległość, możemy zrównać oba wyrażenia: 70*2 = V*7. Jak stwierdzić, że prędkość drugiego samochodu wynosi V = 70*2/7 = 20 km/h.

I jeszcze kilka przykładów zadań z funkcjami bezpośredniej proporcjonalności. Czasami problemy wymagają znalezienia współczynnika k.

Zadanie 4: Mając funkcje y = - x/16 i y = 5x/2, wyznacz ich współczynniki proporcjonalności.

Rozwiązanie: Jak pamiętasz, k = y/x. Oznacza to, że dla pierwszej funkcji współczynnik wynosi -1/16, a dla drugiej k = 5/2.

Możesz także napotkać zadanie takie jak Zadanie 5: Zapisz bezpośrednią proporcjonalność za pomocą wzoru. Jej wykres i wykres funkcji y = -5x + 3 leżą równolegle.

Rozwiązanie: Funkcja podana nam w warunku jest liniowa. Wiemy, że bezpośrednia proporcjonalność jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej. Wiemy też, że jeśli współczynniki k funkcji są równe, to ich wykresy są równoległe. Oznacza to, że wystarczy obliczyć współczynnik znanej funkcji i wyznaczyć wprost proporcjonalność, korzystając ze znanego nam wzoru: y = k *x. Współczynnik k = -5, proporcjonalność bezpośrednia: y = -5*x.

Wniosek

Teraz nauczyłeś się (lub przypomniałeś sobie, jeśli omawiałeś już ten temat wcześniej), jak nazywa się to bezpośrednia proporcjonalność i spojrzałem na to przykłady. Rozmawialiśmy także o funkcji bezpośredniej proporcjonalności i jej wykresie oraz rozwiązaliśmy kilka przykładowych problemów.

Jeśli ten artykuł był przydatny i pomógł Ci zrozumieć temat, powiedz nam o tym w komentarzach. Abyśmy wiedzieli, czy możemy Ci pomóc.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

I. Wielkości wprost proporcjonalne.

Niech wartość y zależy od rozmiaru X. Jeśli przy zwiększaniu X kilka razy większy Na wzrasta o tę samą kwotę, to takie wartości X I Na nazywane są wprost proporcjonalnymi.

Przykłady.

1 . Ilość zakupionego towaru i cena zakupu (przy stałej cenie za jednostkę towaru – 1 sztuka lub 1 kg itp.) Ile razy więcej towarów kupiono, tym więcej razy więcej zapłacono.

2 . Przebyta odległość i czas na niej spędzony (ze stałą prędkością). Ile razy dłuższa jest ścieżka, ile razy więcej czasu zajmie jej pokonanie.

3 . Objętość ciała i jego masa. ( Jeśli jeden arbuz jest 2 razy większy od drugiego, wówczas jego masa będzie 2 razy większa)

II. Własność bezpośredniej proporcjonalności wielkości.

Jeżeli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, wówczas stosunek dwóch dowolnie przyjętych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.

Zadanie 1. Na dżem malinowy wzięliśmy 12 kg maliny i 8 kg Sahara. Ile cukru będziesz potrzebować, jeśli go weźmiesz? 9 kg maliny?

Rozwiązanie.

Rozumujemy w ten sposób: niech to będzie konieczne x kg cukier za 9 kg maliny Masa malin i masa cukru to wielkości wprost proporcjonalne: ile razy mniej jest malin, tyle samo razy mniej cukru potrzeba. Dlatego stosunek zebranych malin (wagowo) ( 12:9 ) będzie równy stosunkowi przyjętego cukru ( 8:x). Otrzymujemy proporcję:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Odpowiedź: NA 9 kg maliny trzeba wziąć 6 kg Sahara.

Rozwiązanie problemu Można to zrobić w ten sposób:

Udać 9 kg maliny trzeba wziąć x kg Sahara.

(Strzałki na rysunku są skierowane w jednym kierunku, w górę lub w dół nie ma znaczenia. Znaczenie: ile razy liczba 12 więcej numeru 9 , tyle samo razy 8 więcej numeru X, czyli istnieje tu bezpośredni związek).

Odpowiedź: NA 9 kg Muszę zjeść trochę malin 6 kg Sahara.

Zadanie 2. Samochód dla 3 godziny przebył dystans 264 km. Ile czasu zajmie mu podróż? 440 km, jeśli jedzie z tą samą prędkością?

Rozwiązanie.

Pozwól na x godzin samochód pokona tę odległość 440 km.

Odpowiedź: samochód przejedzie 440 km w 5 godzin.

Zadanie 3. Woda przepływa z rury do basenu. Za 2 godziny ona wypełnia 1/5 basen W której części basenu znajduje się woda Godzina piąta?

Rozwiązanie.

Odpowiadamy na pytanie zadania: za Godzina piąta zostanie wypełniony 1/x część basenu. (Cały basen traktowany jest jako jedna całość).