Kilka pierwiastków liczby. Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego z liczby wielocyfrowej

W matematyce pytanie, jak wyodrębnić pierwiastek, uważa się za stosunkowo proste. Jeśli podniesiemy do kwadratu liczby z ciągu naturalnego: 1, 2, 3, 4, 5...n, to otrzymamy następujący ciąg kwadratów: 1, 4, 9, 16...n 2. Rząd kwadratów jest nieskończony i jeśli przyjrzysz się mu uważnie, zobaczysz, że nie ma w nim zbyt wielu liczb całkowitych. Dlaczego tak się dzieje, zostanie wyjaśnione nieco później.

Pierwiastek liczby: zasady obliczeń i przykłady

Więc podnieśliśmy liczbę 2 do kwadratu, to znaczy pomnożyliśmy ją przez siebie i otrzymaliśmy 4. Jak wyodrębnić pierwiastek z liczby 4? Powiedzmy od razu, że pierwiastki mogą być kwadratowe, sześcienne i w dowolnym stopniu do nieskończoności.

Potęga pierwiastka jest zawsze liczbą naturalną, to znaczy nie da się rozwiązać następującego równania: pierwiastek do potęgi 3,6 z n.

Pierwiastek kwadratowy

Wróćmy do pytania, jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z 4. Ponieważ podnieśliśmy liczbę 2 do kwadratu, wyodrębnimy także pierwiastek kwadratowy. Aby poprawnie wyodrębnić pierwiastek z 4, wystarczy wybrać odpowiednią liczbę, która po podniesieniu do kwadratu da liczbę 4. A to oczywiście jest 2. Spójrz na przykład:

• 2 2 =4
• Pierwiastek z 4 = 2

Ten przykład jest dość prosty. Spróbujmy wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z 64. Jaka liczba pomnożona przez samą siebie daje 64? Jasne, że jest 8.

• 8 2 =64
• Pierwiastek z 64=8

pierwiastek sześcienny

Jak powiedziano powyżej, pierwiastki są nie tylko kwadratowe; na przykładzie postaramy się jaśniej wyjaśnić, jak wyodrębnić pierwiastek sześcienny lub pierwiastek trzeciego stopnia. Zasada wyodrębniania pierwiastka sześciennego jest taka sama jak pierwiastka kwadratowego, jedyną różnicą jest to, że wymagana liczba została początkowo pomnożona przez siebie nie raz, ale dwukrotnie. To znaczy, powiedzmy, że wzięliśmy następujący przykład:

• 3x3x3=27
• Naturalnie pierwiastek sześcienny z 27 wynosi trzy:
• Pierwiastek 3 z 27 = 3

Załóżmy, że musisz znaleźć pierwiastek sześcienny z 64. Aby rozwiązać to równanie, wystarczy znaleźć liczbę, która podniesiona do trzeciej potęgi da 64.

• 4 3 =64
• Pierwiastek 3 z 64 = 4

Wyodrębnij pierwiastek liczby na kalkulatorze

Oczywiście najlepiej uczyć się wyciągania kwadratów, sześcianów i innych pierwiastków poprzez praktykę, rozwiązując wiele przykładów i zapamiętując tablice kwadratów i sześcianów małych liczb. W przyszłości znacznie ułatwi to i skróci czas rozwiązywania równań. Chociaż należy zauważyć, że czasami trzeba wyodrębnić pierwiastek z tak dużej liczby, że wybranie właściwej liczby do kwadratu będzie kosztować dużo pracy, jeśli w ogóle będzie to możliwe. Na ratunek w wyodrębnieniu pierwiastka kwadratowego przyjdzie zwykły kalkulator. Jak wyodrębnić korzeń na kalkulatorze? Bardzo prosto wprowadź liczbę, z której chcesz znaleźć wynik. Przyjrzyj się teraz bliżej przyciskom kalkulatora. Nawet najprostszy z nich ma klucz z ikoną roota. Klikając na niego, natychmiast otrzymasz gotowy wynik.

Nie każda liczba może mieć cały pierwiastek; rozważmy następujący przykład:

Pierwiastek z 1859 = 43,116122…

Możesz jednocześnie spróbować rozwiązać ten przykład na kalkulatorze. Jak widać, wynikowa liczba nie jest liczbą całkowitą; ponadto zbiór cyfr po przecinku nie jest skończony. Specjalne kalkulatory inżynieryjne mogą dać dokładniejszy wynik, ale pełny wynik po prostu nie mieści się na wyświetlaczu zwykłych. A jeśli będziesz kontynuować rozpoczęty wcześniej ciąg kwadratów, nie znajdziesz w nim liczby 1859 właśnie dlatego, że liczba podniesiona do kwadratu, aby ją otrzymać, nie jest liczbą całkowitą.

Jeśli chcesz wyodrębnić trzeci pierwiastek na prostym kalkulatorze, musisz dwukrotnie kliknąć przycisk ze znakiem pierwiastka. Na przykład weź liczbę 1859 użytą powyżej i wyjmij z niej pierwiastek sześcienny:

Korzeń 3 z 1859 = 6,5662867…

Oznacza to, że jeśli liczbę 6,5662867... podniesiemy do trzeciej potęgi, otrzymamy w przybliżeniu 1859. Zatem wyodrębnienie pierwiastków z liczb nie jest trudne, wystarczy zapamiętać powyższe algorytmy.

Obliczanie (lub wyodrębnianie) pierwiastka kwadratowego można wykonać na kilka sposobów, ale żaden z nich nie jest bardzo prosty. Oczywiście łatwiej jest skorzystać z kalkulatora. Ale jeśli nie jest to możliwe (lub chcesz zrozumieć istotę pierwiastka kwadratowego), radzę ci pójść następującą drogą, jego algorytm jest następujący:

Jeśli nie masz siły, chęci i cierpliwości na tak długie obliczenia, możesz zastosować zgrubną selekcję; jej zaletą jest to, że jest ona niewiarygodnie szybka i przy odpowiedniej pomysłowości, dokładna. Przykład:

Kiedy byłem w szkole (na początku lat 60.), uczono nas, jak obliczać pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby. Technika jest prosta, na zewnątrz podobna do długiego podziału, ale przedstawienie jej tutaj będzie wymagało pół godziny i 4-5 tysięcy znaków tekstu. Ale dlaczego tego potrzebujesz? Masz telefon lub inny gadżet, nm ma kalkulator. Na każdym komputerze jest kalkulator. Osobiście wolę wykonywać tego typu obliczenia w Excelu.

Często w szkole wymagane jest znalezienie pierwiastka kwadratowego różnych liczb. Ale jeśli jesteśmy przyzwyczajeni do ciągłego używania do tego kalkulatora, to na egzaminach nie będzie to możliwe, więc musimy nauczyć się szukać pierwiastka bez pomocy kalkulatora. I w zasadzie jest to możliwe.

Algorytm jest następujący:

Najpierw spójrz na ostatnią cyfrę swojego numeru:

Na przykład,

Teraz musimy określić w przybliżeniu wartość pierwiastka grupy znajdującej się najbardziej po lewej stronie

W przypadku, gdy liczba ma więcej niż dwie grupy, musisz znaleźć pierwiastek w następujący sposób:

Ale następna liczba powinna być największa, musisz wybrać ją w ten sposób:

Teraz musimy utworzyć nową liczbę A, dodając następującą grupę do reszty otrzymanej powyżej.

W naszych przykładach:

Kolumna jest wyższa, a gdy potrzebnych jest więcej niż piętnaście znaków, wówczas najczęściej odpoczywają komputery i telefony z kalkulatorami. Pozostaje sprawdzić, czy opis techniki zajmie 4-5 tysięcy znaków.

Weź dowolną liczbę, policz pary cyfr na prawo i na lewo od przecinka dziesiętnego

Na przykład 1234567890.098765432100

Para cyfr jest jak liczba dwucyfrowa. Pierwiastek liczby dwucyfrowej jest jednocyfrowy. Wybieramy pojedynczą cyfrę, której kwadrat jest mniejszy niż pierwsza para cyfr. W naszym przypadku jest to 3.

Podobnie jak przy dzieleniu przez kolumnę, zapisujemy ten kwadrat pod pierwszą parą i odejmujemy go od pierwszej pary. Wynik został podkreślony. 12 - 9 = 3. Dodaj do tej różnicy drugą parę liczb (będzie to 334). Na lewo od liczby bermów do podwójnej wartości tej części wyniku, która została już znaleziona, dodawana jest liczba (mamy 2 * 6 = 6), tak że pomnożona przez nieosiągniętą liczbę daje nie przekraczać liczby zawierającej drugą parę cyfr. Otrzymujemy, że znaleziona liczba to pięć. Ponownie znajdujemy różnicę (9), dodajemy kolejną parę cyfr, aby uzyskać 956, ponownie zapisujemy podwojoną część wyniku (70), ponownie uzupełniamy ją żądaną cyfrą i tak dalej, aż się skończy. Lub do wymaganej dokładności obliczeń.

Po pierwsze, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy, trzeba dobrze znać tabliczkę mnożenia. Najprostsze przykłady to 25 (5 na 5 = 25) i tak dalej. Jeśli weźmiesz bardziej zespolone liczby, możesz skorzystać z tej tabeli, gdzie linia pozioma to jednostki, a linia pionowa to dziesiątki.



Istnieje dobry sposób na znalezienie pierwiastka liczby bez pomocy kalkulatorów. Aby to zrobić, będziesz potrzebować linijki i kompasu. Rzecz w tym, że znajdziesz na linijce wartość, która jest pod Twoim pierwiastkiem. Na przykład postaw znak obok liczby 9. Twoim zadaniem jest podzielenie tej liczby na równą liczbę odcinków, czyli na dwie linie po 4,5 cm każda, oraz na odcinek parzysty. Łatwo zgadnąć, że ostatecznie otrzymasz 3 segmenty po 3 centymetry każdy.

Metoda nie jest łatwa i nie nadaje się do dużych liczb, ale można ją obliczyć bez kalkulatora.

Metody wyciągania pierwiastka kwadratowego bez pomocy kalkulatora uczono w szkole w ósmej klasie w czasach radzieckich.

Aby to zrobić, musisz podzielić liczbę wielocyfrową od prawej do lewej na krawędzie składające się z 2 cyfr :

Pierwsza cyfra pierwiastka to cały pierwiastek lewej strony, w tym przypadku 5.

Od 31 odejmujemy 5 do kwadratu, 31-25 = 6 i dodajemy kolejny bok do szóstki, otrzymujemy 678.

Następna cyfra x jest dopasowywana do podwójnej piątki, tak że

10x*x było wartością maksymalną, ale mniejszą niż 678.

x=6, ponieważ 106*6 = 636,

Teraz obliczamy 678 - 636 = 42 i dodajemy kolejną krawędź 92, mamy 4292.

Ponownie szukamy maksymalnego x takiego, że 112x*x lt; 4292.

Odpowiedź: pierwiastek to 563

Możesz kontynuować w ten sposób tak długo, jak to konieczne.

W niektórych przypadkach można spróbować rozłożyć liczbę pierwiastkową na dwa lub więcej współczynników kwadratowych.

Przydaje się również zapamiętanie tabeli (lub przynajmniej jej części) - kwadratów liczb naturalnych od 10 do 99.



Oferuję wymyśloną przeze mnie wersję do wyodrębniania pierwiastka kwadratowego z kolumny. Różni się od powszechnie znanego, za wyjątkiem doboru liczb. Ale jak się później dowiedziałem, ta metoda istniała już wiele lat przed moimi narodzinami. Opisał to wielki Izaak Newton w swojej książce General Arithmetic, czyli książce o syntezie i analizie arytmetycznej. Przedstawiam zatem moją wizję i uzasadnienie algorytmu metody Newtona. Nie ma potrzeby zapamiętywania algorytmu. W razie potrzeby możesz po prostu użyć diagramu na rysunku jako pomocy wizualnej.







Korzystając z tabel, nie możesz obliczać, ale znaleźć pierwiastki kwadratowe liczb znajdujących się w tabelach. Najłatwiej obliczyć nie tylko pierwiastki kwadratowe, ale także inne stopnie, stosując metodę kolejnych przybliżeń. Na przykład obliczamy pierwiastek kwadratowy z 10739, zastępujemy trzy ostatnie cyfry zerami i wyodrębniamy pierwiastek z 10000, otrzymujemy 100 z wadą, więc bierzemy liczbę 102, podnosimy ją do kwadratu, otrzymujemy 10404, czyli również mniej od podanego, ponownie bierzemy 103*103=10609 z wadą, bierzemy 103,5*103,5=10712,25, bierzemy jeszcze więcej 103,6*103,6=10732, bierzemy 103,7*103,7=10753,69, czyli już w nadmiarze. Możesz przyjąć, że pierwiastek z 10739 jest w przybliżeniu równy 103,6. Dokładniej 10739=103,629... . . Podobnie obliczamy pierwiastek sześcienny, najpierw z 10000 otrzymujemy około 25*25*25=15625, czyli w nadmiarze, bierzemy 22*22*22=10,648, bierzemy trochę więcej niż 22,06*22,06*22,06=10735 , która jest bardzo zbliżona do zadanej.

Co to jest pierwiastek kwadratowy?

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Ta koncepcja jest bardzo prosta. Naturalne, powiedziałbym. Matematycy próbują znaleźć reakcję na każde działanie. Jest dodawanie - jest i odejmowanie. Jest mnożenie - jest też dzielenie. Jest kwadratura... Więc jest też biorąc pierwiastek kwadratowy! To wszystko. Ta akcja ( pierwiastek kwadratowy) w matematyce jest oznaczony tą ikoną:

Sama ikona nazywa się pięknym słowem ” rodnik".

Jak wydobyć korzeń? Lepiej popatrzeć przykłady.

Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 9? Jaka liczba do kwadratu da nam 9? 3 do kwadratu daje nam 9! Te:

Ale jaki jest pierwiastek kwadratowy z zera? Bez problemu! Jaką liczbę do kwadratu daje zero? Tak, daje zero! Oznacza:

Rozumiem, co to jest pierwiastek kwadratowy? Następnie rozważamy przykłady:

Odpowiedzi (w nieładzie): 6; 1; 4; 9; 5.

Zdecydowany? Naprawdę, o ile jest to łatwiejsze?!

Ale... Co robi człowiek, gdy widzi jakieś zadanie z korzeniami?

Człowiek zaczyna odczuwać smutek... Nie wierzy w prostotę i lekkość swoich korzeni. Chociaż wydaje się, że wie co to jest pierwiastek kwadratowy...

Dzieje się tak dlatego, że osoba badająca korzenie zignorowała kilka ważnych punktów. Potem te mody mszczą się okrutnie na sprawdzianach i egzaminach…

Punkt pierwszy. Korzenie trzeba rozpoznać po wzroku!

Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 49? Siedem? Prawidłowy! Skąd wiedziałeś, że jest siódma? Do kwadratu siedem i masz 49? Prawidłowy! Proszę to zanotować wyodrębnij korzeń z 49 musieliśmy wykonać operację odwrotną - kwadrat 7! I dopilnuj, żebyśmy nie przegapili. A może przegapili...

Na tym polega trudność ekstrakcja korzeni. Kwadrat Możesz użyć dowolnego numeru bez żadnych problemów. Pomnóż liczbę przez samą kolumnę - to wszystko. Ale dla ekstrakcja korzeni Nie ma tak prostej i niezawodnej technologii. Musimy ulec poprawie odpowiedz i sprawdź, czy jest poprawna, podnosząc ją do kwadratu.

Ten złożony proces twórczy – wybór odpowiedzi – jest znacznie uproszczony, jeśli Ty Pamiętać kwadraty popularnych liczb. Podobnie jak tabliczka mnożenia. Jeśli, powiedzmy, musisz pomnożyć 4 przez 6, nie dodajesz czterech 6 razy, prawda? Od razu pojawia się odpowiedź 24. Chociaż nie wszyscy ją rozumieją, tak…

Aby swobodnie i skutecznie pracować z pierwiastkami, wystarczy znać kwadraty liczb od 1 do 20. Co więcej Tam I z powrotem. Te. powinieneś być w stanie z łatwością wyrecytować, powiedzmy, 11 do kwadratu i pierwiastek kwadratowy z 121. Aby osiągnąć takie zapamiętywanie, istnieją dwa sposoby. Pierwszym z nich jest nauczenie się tablicy kwadratów. Będzie to bardzo pomocne w rozwiązywaniu przykładów. Drugim jest rozwiązanie większej liczby przykładów. To znacznie pomoże Ci zapamiętać tabelę kwadratów.

I żadnych kalkulatorów! Tylko do celów testowych. Inaczej na egzaminie niemiłosiernie zwolnisz...

Więc, co to jest pierwiastek kwadratowy I jak wyodrębnić korzenie- Myślę, że to jasne. Teraz dowiedzmy się Z CZEGO możemy je wyodrębnić.

Punkt drugi. Root, nie znam cię!

Z jakich liczb można wyciągnąć pierwiastek kwadratowy? Tak, prawie każdy z nich. Łatwiej zrozumieć, z czego to wynika to jest zabronione wyodrębnić je.

Spróbujmy obliczyć ten pierwiastek:

Aby to zrobić, musimy wybrać liczbę, której kwadrat da nam -4. Wybieramy.

A co, nie pasuje? 2 2 daje +4. (-2) 2 daje znowu +4! To wszystko... Nie ma liczb, które po podniesieniu do kwadratu dadzą nam liczbę ujemną! Chociaż znam te liczby. Ale nie powiem). Idź na studia to się przekonasz.

Ta sama historia stanie się z dowolną liczbą ujemną. Stąd wniosek:

Wyrażenie, w którym pod pierwiastkiem kwadratowym znajduje się liczba ujemna - nie ma sensu! Jest to czynność zabroniona. Jest to tak samo zabronione jak dzielenie przez zero. Zapamiętaj ten fakt mocno! Lub innymi słowy:

Nie można wyodrębnić pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych!

Ale ze wszystkich innych jest to możliwe. Na przykład całkiem możliwe jest obliczenie

Na pierwszy rzut oka jest to bardzo trudne. Wybieranie ułamków i podnoszenie ich do kwadratu... Nie martw się. Kiedy zrozumiemy właściwości pierwiastków, takie przykłady zostaną sprowadzone do tej samej tabeli kwadratów. Życie stanie się łatwiejsze!

OK, ułamki. Wciąż jednak spotykamy się z wyrażeniami takimi jak:

W porządku. Wszystkie takie same. Pierwiastek kwadratowy z dwóch to liczba, która po podniesieniu do kwadratu daje nam dwa. Tylko ta liczba jest zupełnie nieparzysta... Oto ona:

Co ciekawe, ten ułamek nigdy się nie kończy... Takie liczby nazywamy niewymiernymi. W przypadku pierwiastków kwadratowych jest to najczęstsza rzecz. Nawiasem mówiąc, dlatego nazywane są wyrażenia z pierwiastkami irracjonalny. Oczywiste jest, że pisanie tak nieskończonego ułamka przez cały czas jest niewygodne. Dlatego zamiast nieskończonego ułamka zostawiają to w ten sposób:

Jeśli rozwiązując przykład, otrzymasz coś, czego nie można wyodrębnić, na przykład:

w takim razie tak to zostawiamy. To będzie odpowiedź.

Musisz jasno zrozumieć, co oznaczają ikony

Oczywiście, jeśli zostanie pobrany pierwiastek z liczby gładki, musisz to zrobić. Odpowiedź na zadanie jest w formie np

Całkiem pełna odpowiedź.

I oczywiście musisz znać przybliżone wartości z pamięci:

Wiedza ta bardzo pomaga ocenić sytuację w skomplikowanych zadaniach.

Punkt trzeci. Najbardziej przebiegły.

Ten punkt powoduje główne zamieszanie w pracy z korzeniami. To on daje wiarę we własne możliwości... Zajmijmy się tą kwestią jak należy!

Najpierw weźmy jeszcze raz pierwiastek kwadratowy z czterech z nich. Czy zawracałem ci już głowę tym rootem?) Nieważne, teraz będzie ciekawie!

Jaką liczbę można podnieść do kwadratu 4? No dwa, dwa - słyszę niezadowolone odpowiedzi...

Prawidłowy. Dwa. Ale minus dwa da 4 do kwadratu... Tymczasem odpowiedź

poprawna i odpowiedź

gruby błąd. Lubię to.

Więc o co chodzi?

Rzeczywiście, (-2) 2 = 4. I zgodnie z definicją pierwiastka kwadratowego z czterech minus dwa całkiem odpowiednie... Jest to także pierwiastek kwadratowy z czterech.

Ale! Na szkolnych lekcjach matematyki zwyczajowo bierze się pod uwagę pierwiastki kwadratowe tylko liczby nieujemne! Oznacza to, że zero i wszystkie są dodatnie. Wymyślono nawet specjalny termin: od numeru A- Ten nieujemne liczba, której kwadrat wynosi A. Ujemne wyniki ekstrakcji arytmetycznego pierwiastka kwadratowego są po prostu odrzucane. W szkole wszystko jest pierwiastkiem kwadratowym - arytmetyka. Chociaż nie jest to szczególnie wspomniane.

OK, to zrozumiałe. Jeszcze lepiej nie zawracać sobie głowy negatywnymi wynikami... To jeszcze nie jest zamieszanie.

Zamieszanie zaczyna się przy rozwiązywaniu równań kwadratowych. Na przykład musisz rozwiązać następujące równanie.

Równanie jest proste, piszemy odpowiedź (tak jak nauczono):

Ta odpowiedź (nawiasem mówiąc, absolutnie poprawna) jest tylko wersją skróconą dwa odpowiedzi:

Przestań, przestań! Tuż powyżej napisałem, że pierwiastek kwadratowy jest liczbą Zawsze nieujemne! A oto jedna z odpowiedzi - negatywny! Nieład. To pierwszy (ale nie ostatni) problem, który powoduje nieufność do korzeni... Rozwiążmy ten problem. Zapiszmy odpowiedzi (dla zrozumienia!) w następujący sposób:

Nawiasy nie zmieniają istoty odpowiedzi. Po prostu oddzieliłem to nawiasami oznaki z źródło. Teraz wyraźnie widać, że sam pierwiastek (w nawiasach) jest nadal liczbą nieujemną! A znaki są wynik rozwiązania równania. Przecież rozwiązując dowolne równanie musimy pisać Wszystko X, który po podstawieniu do pierwotnego równania da poprawny wynik. Pierwiastek z pięciu (dodatni!) z plusem i minusem pasuje do naszego równania.

Lubię to. Jeśli ty po prostu weź pierwiastek kwadratowy od czegokolwiek, ty Zawsze dostajesz jeden nieujemny wynik. Na przykład:

Ponieważ to - arytmetyczny pierwiastek kwadratowy.

Ale jeśli rozwiązujesz jakieś równanie kwadratowe, takie jak:

To Zawsze okazało się dwa odpowiedź (z plusem i minusem):

Ponieważ to jest rozwiązanie równania.

Mieć nadzieję, co to jest pierwiastek kwadratowy Masz jasne punkty. Teraz pozostaje dowiedzieć się, co można zrobić z korzeniami, jakie są ich właściwości. A jakie są punkty i pułapki... przepraszam, kamienie!)

Wszystko to w kolejnych lekcjach.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Formuły korzeniowe. Właściwości pierwiastków kwadratowych.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Na poprzedniej lekcji dowiedzieliśmy się, czym jest pierwiastek kwadratowy. Czas dowiedzieć się, które z nich istnieją receptury na korzenie czym są właściwości korzeni i co można z tym wszystkim zrobić.

Wzory pierwiastków, właściwości pierwiastków i zasady pracy z pierwiastkami- to w zasadzie to samo. Istnieje zaskakująco niewiele wzorów na pierwiastki kwadratowe. Co z pewnością mnie cieszy! A raczej możesz napisać wiele różnych formuł, ale do praktycznej i pewnej pracy z korzeniami wystarczą tylko trzy. Wszystko inne wypływa z tych trzech. Chociaż wiele osób myli trzy formuły rdzeniowe, tak…

Zacznijmy od najprostszego. Tutaj jest:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Rozwiązując różne zadania z matematyki i fizyki, uczniowie i studenci często stają przed koniecznością wyodrębnienia pierwiastków drugiego, trzeciego lub n-tego stopnia. Oczywiście w dobie technologii informatycznych rozwiązanie takiego problemu za pomocą kalkulatora nie będzie trudne. Zdarzają się jednak sytuacje, w których nie ma możliwości skorzystania z asystenta elektronicznego.

Na przykład wiele egzaminów nie pozwala na przyniesienie sprzętu elektronicznego. Ponadto możesz nie mieć pod ręką kalkulatora. W takich przypadkach warto znać przynajmniej niektóre metody ręcznego obliczania rodników.

Jednym z najprostszych sposobów obliczania pierwiastków jest przy użyciu specjalnego stołu. Co to jest i jak prawidłowo go używać?

Korzystając z tabeli, możesz znaleźć kwadrat dowolnej liczby od 10 do 99. Wiersze tabeli zawierają wartości dziesiątek, a kolumny zawierają wartości jednostek. Komórka na przecięciu wiersza i kolumny zawiera kwadrat liczby dwucyfrowej. Aby obliczyć kwadrat 63, należy znaleźć wiersz o wartości 6 i kolumnę o wartości 3. Na przecięciu znajdziemy komórkę z liczbą 3969.

Ponieważ wyodrębnienie pierwiastka jest odwrotną operacją kwadratury, aby wykonać tę czynność, musisz wykonać odwrotną czynność: najpierw znajdź komórkę z liczbą, której pierwiastek chcesz obliczyć, a następnie użyj wartości kolumny i wiersza, aby określić odpowiedź . Jako przykład rozważ obliczenie pierwiastka kwadratowego ze 169.

Znajdujemy w tabeli komórkę z tą liczbą, w poziomie wyznaczamy dziesiątki - 1, w pionie znajdujemy jednostki - 3. Odpowiedź: √169 = 13.

Podobnie możesz obliczyć sześcian i n-ty pierwiastek, korzystając z odpowiednich tabel.

Zaletą metody jest jej prostota i brak dodatkowych obliczeń. Wady są oczywiste: metodę można zastosować tylko dla ograniczonego zakresu liczb (liczba, dla której zostanie znaleziony pierwiastek, musi mieścić się w przedziale od 100 do 9801). Dodatkowo nie zadziała, jeżeli podanej liczby nie ma w tabeli.

Faktoryzacja pierwsza

Jeśli tabela kwadratów nie jest pod ręką lub znalezienie pierwiastka za jej pomocą okazało się niemożliwe, możesz spróbować rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na czynniki pierwsze. Czynniki pierwsze to takie, które można całkowicie (bez reszty) podzielić tylko przez siebie lub przez jeden. Przykładami mogą być 2, 3, 5, 7, 11, 13 itd.

Przyjrzyjmy się obliczaniu pierwiastka na przykładzie √576. Rozłóżmy to na czynniki pierwsze. Otrzymujemy następujący wynik: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Korzystając z podstawowej właściwości pierwiastków √a² = a pozbędziemy się pierwiastków i kwadratów, a następnie obliczymy odpowiedź: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Co zrobić, jeśli któryś z mnożników nie ma własnej pary? Rozważmy na przykład obliczenie √54. Po rozłożeniu na czynniki otrzymujemy wynik w postaci: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Nieusuwalną część można pozostawić pod korzeniem. W przypadku większości problemów z geometrią i algebrą ta odpowiedź będzie liczona jako odpowiedź ostateczna. Jeśli jednak zachodzi potrzeba obliczenia wartości przybliżonych, można zastosować metody, które zostaną omówione poniżej.

Metoda Herona

Co zrobić, gdy trzeba przynajmniej w przybliżeniu wiedzieć, ile wynosi wyodrębniony pierwiastek (jeśli nie da się uzyskać wartości całkowitej)? Szybki i dość dokładny wynik uzyskuje się stosując metodę Herona. Jego istotą jest użycie przybliżonego wzoru:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

gdzie R jest liczbą, której pierwiastek należy obliczyć, a jest najbliższą liczbą, której pierwiastek jest znany.

Przyjrzyjmy się, jak metoda sprawdza się w praktyce i oceńmy, na ile jest dokładna. Obliczmy, ile wynosi √111. Liczba najbliższa 111, której pierwiastek jest znany, to 121. Zatem R = 111, a = 121. Podstaw wartości do wzoru:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Sprawdźmy teraz dokładność metody:

10,55² = 111,3025.

Błąd metody wynosił około 0,3. Jeżeli wymagana jest poprawa dokładności metody, można powtórzyć opisane wcześniej kroki:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Sprawdźmy dokładność obliczeń:

10,536² = 111,0073.

Po ponownym zastosowaniu wzoru błąd stał się zupełnie nieistotny.

Obliczanie pierwiastka przez dzielenie długie

Ta metoda znajdowania pierwiastka kwadratowego jest nieco bardziej złożona niż poprzednie. Jest to jednak najdokładniejsza spośród innych metod obliczeń bez kalkulatora.

Załóżmy, że musisz znaleźć pierwiastek kwadratowy z dokładnością do 4 miejsc po przecinku. Przeanalizujmy algorytm obliczeń na przykładzie dowolnej liczby 1308,1912.

1. Podziel kartkę papieru pionową linią na 2 części, a następnie narysuj z niej kolejną linię w prawo, nieco poniżej górnej krawędzi. Zapiszmy liczbę po lewej stronie, dzieląc ją na grupy po 2 cyfry, przesuwając się w prawo i w lewo od przecinka dziesiętnego. Pierwsza cyfra po lewej stronie może nie mieć pary. Jeśli po prawej stronie numeru brakuje znaku, należy dodać 0. W naszym przypadku wynikiem będzie 13 08.19 12.
2. Wybierzmy największą liczbę, której kwadrat jest mniejszy lub równy pierwszej grupie cyfr. W naszym przypadku jest to 3. Zapiszmy to w prawym górnym rogu; 3 to pierwsza cyfra wyniku. W prawym dolnym rogu wskazujemy 3×3 = 9; będzie to potrzebne do późniejszych obliczeń. Od 13 w kolumnie odejmujemy 9, a resztę otrzymujemy 4.
3. Przypiszmy następną parę liczb do reszty 4; otrzymujemy 408.
4. Pomnóż liczbę w prawym górnym rogu przez 2 i zapisz ją w prawym dolnym rogu, dodając do niej _ x _ =. Otrzymujemy 6_ x _ =.
5. Zamiast myślników należy zastąpić tę samą liczbę, mniejszą lub równą 408. Otrzymujemy 66 × 6 = 396. Piszemy 6 od prawego górnego rogu, ponieważ jest to druga cyfra wyniku. Odejmij 396 od 408, otrzymamy 12.
6. Powtórzmy kroki 3-6. Ponieważ cyfry przesunięte w dół stanowią część ułamkową liczby, po 6 należy w prawym górnym rogu postawić przecinek. Wynik podwójny zapisujemy myślnikami: 72_ x _ =. Odpowiednia liczba to 1: 721×1 = 721. Zapiszmy to jako odpowiedź. Odejmijmy 1219 - 721 = 498.
7. Wykonajmy sekwencję działań podaną w poprzednim akapicie jeszcze trzy razy, aby uzyskać wymaganą liczbę miejsc po przecinku. Jeśli nie ma wystarczającej liczby znaków do dalszych obliczeń, musisz dodać dwa zera do bieżącej liczby po lewej stronie.

W rezultacie otrzymujemy odpowiedź: √1308,1912 ≈ 36,1689. Jeśli sprawdzisz działanie za pomocą kalkulatora, możesz upewnić się, że wszystkie znaki zostały poprawnie zidentyfikowane.

Bitowe obliczanie pierwiastka kwadratowego

Metoda jest bardzo dokładna. Ponadto jest to całkiem zrozumiałe i nie wymaga zapamiętywania formuł ani złożonego algorytmu działań, ponieważ istotą tej metody jest wybranie prawidłowego wyniku.

Wyodrębnijmy pierwiastek liczby 781. Przyjrzyjmy się szczegółowo sekwencji działań.

1. Przekonajmy się, która cyfra wartości pierwiastka kwadratowego będzie najbardziej znacząca. Aby to zrobić, podnieśmy do kwadratu 0, 10, 100, 1000 itd. i dowiedzmy się, pomiędzy którymi z nich znajduje się liczba pierwiastkowa. Otrzymujemy te 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Wybierzmy wartość dziesiątek. Aby to zrobić, będziemy na zmianę podnosić do potęgi 10, 20, ..., 90, aż otrzymamy liczbę większą niż 781. W naszym przypadku otrzymamy 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. wartość wyniku n będzie mieścić się w zakresie 20< n <30.
3. Podobnie jak w poprzednim kroku wybierana jest wartość cyfry jedności. Podnieśmy do kwadratu 21,22, ..., 29 jeden po drugim: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Otrzymujemy, że 27< n < 28.
4. Każdą kolejną cyfrę (dziesiętne, setne itp.) oblicza się w taki sam sposób, jak pokazano powyżej. Obliczenia prowadzi się do momentu uzyskania wymaganej dokładności.