Wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Rozważane są przypadki pierwiastków rzeczywistych, wielokrotnych i zespolonych. Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego. Interpretacja geometryczna. Przykłady wyznaczania pierwiastków i faktoringu.

Podstawowe formuły

Rozważ równanie kwadratowe:
(1) .
Pierwiastki równania kwadratowego(1) wyznaczane są według wzorów:
; .
Formuły te można łączyć w następujący sposób:
.
Gdy znane są pierwiastki równania kwadratowego, wówczas wielomian drugiego stopnia można przedstawić jako iloczyn czynników (rozłożony na czynniki):
.

Następnie zakładamy, że są to liczby rzeczywiste.
Rozważmy dyskryminator równania kwadratowego:
.
Jeśli dyskryminator jest dodatni, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
; .
Wówczas rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego ma postać:
.
Jeśli dyskryminator jest równy zero, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki rzeczywiste:
.
Faktoryzacja:
.
Jeśli dyskryminator jest ujemny, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa zespolone pierwiastki sprzężone:
;
.
Oto jednostka urojona;
i są rzeczywistymi i urojonymi częściami korzeni:
; .
Następnie

.

Interpretacja graficzna

Jeśli wykreślisz funkcję
,
co jest parabolą, to punkty przecięcia wykresu z osią będą pierwiastkami równania
.
W punkcie wykres przecina oś x (oś) w dwóch punktach.
Kiedy , wykres dotyka osi x w jednym punkcie.
Kiedy , wykres nie przecina osi x.

Poniżej znajdują się przykłady takich wykresów.

Przydatne wzory związane z równaniem kwadratowym

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Wykonujemy przekształcenia i stosujemy wzory (f.1) i (f.3):




,
Gdzie
; .

Otrzymaliśmy więc wzór na wielomian drugiego stopnia w postaci:
.
To pokazuje, że równanie

wystąpił o godz
I .
Oznacza to, że i są pierwiastkami równania kwadratowego
.

Przykłady wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego

Przykład 1

(1.1) .

Rozwiązanie

.
Porównując z naszym równaniem (1.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Ponieważ dyskryminator jest dodatni, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki:
;
;
.

Stąd otrzymujemy rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego:

.

Wykres funkcji y = 2 x 2 + 7 x + 3 przecina oś x w dwóch punktach.

Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Przecina oś odciętej (oś) w dwóch punktach:
I .
Punkty te są pierwiastkami pierwotnego równania (1.1).

Odpowiedź

;
;
.

Przykład 2

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(2.1) .

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
.
Porównując z pierwotnym równaniem (2.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki:
;
.

Wtedy rozkład na czynniki trójmianu ma postać:
.

Wykres funkcji y = x 2 - 4 x + 4 dotyka osi x w jednym punkcie.

Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Dotyka osi x (osi) w jednym punkcie:
.
Punkt ten jest pierwiastkiem pierwotnego równania (2.1). Ponieważ ten pierwiastek jest uwzględniony dwukrotnie:
,
wtedy taki pierwiastek nazywa się zwykle wielokrotnością. Oznacza to, że wierzą, że istnieją dwa równe pierwiastki:
.

Odpowiedź

;
.

Przykład 3

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(3.1) .

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
(1) .
Przepiszmy oryginalne równanie (3.1):
.
Porównując z (1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Dyskryminator jest ujemny, . Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Możesz znaleźć złożone korzenie:
;
;
.

Następnie


.

Wykres funkcji nie przecina osi x. Nie ma prawdziwych korzeni.

Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Nie przecina osi x (osi). Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Odpowiedź

Nie ma prawdziwych korzeni. Złożone korzenie:
;
;
.

Równania kwadratowe często pojawiają się przy rozwiązywaniu różnych problemów z fizyki i matematyki. W tym artykule przyjrzymy się, jak rozwiązać te równości w sposób uniwersalny „poprzez dyskryminator”. W artykule podano także przykłady wykorzystania zdobytej wiedzy.

O jakich równaniach będziemy mówić?

Poniższy rysunek przedstawia wzór, w którym x jest nieznaną zmienną, a symbole łacińskie a, b, c reprezentują znane liczby.

Każdy z tych symboli nazywany jest współczynnikiem. Jak widać, liczba „a” pojawia się przed zmienną x kwadrat. Jest to maksymalna potęga przedstawionego wyrażenia, dlatego nazywa się je równaniem kwadratowym. Często używana jest jego inna nazwa: równanie drugiego rzędu. Sama wartość a jest współczynnikiem kwadratowym (stoi przy zmiennej do kwadratu), b jest współczynnikiem liniowym (jest obok zmiennej podniesionej do pierwszej potęgi), a na koniec liczba c jest wyrazem wolnym.

Należy zauważyć, że typ równania pokazany na powyższym rysunku jest ogólnym klasycznym wyrażeniem kwadratowym. Oprócz tego istnieją inne równania drugiego rzędu, w których współczynniki b i c mogą wynosić zero.

Gdy zadanie ma na celu rozwiązanie danej równości, oznacza to, że należy znaleźć takie wartości zmiennej x, które ją spełnią. Tutaj pierwszą rzeczą, o której musisz pamiętać, jest następująca rzecz: ponieważ maksymalny stopień X wynosi 2, to tego typu wyrażenie nie może mieć więcej niż 2 rozwiązań. Oznacza to, że jeśli przy rozwiązywaniu równania znaleziono 2 wartości x, które je spełniają, to można być pewnym, że nie ma trzeciej liczby, zastępując ją za x, równość również byłaby prawdziwa. Rozwiązania równania w matematyce nazywane są jego pierwiastkami.

Metody rozwiązywania równań drugiego rzędu

Rozwiązywanie równań tego typu wymaga znajomości jakiejś teorii na ich temat. Na szkolnym kursie algebry rozważane są 4 różne metody rozwiązywania. Wymieńmy je:

• stosowanie faktoryzacji;
• korzystając ze wzoru na idealny kwadrat;
• stosując wykres odpowiedniej funkcji kwadratowej;
• za pomocą równania dyskryminacyjnego.

Zaletą pierwszej metody jest jej prostota, jednakże nie można jej zastosować do wszystkich równań. Druga metoda jest uniwersalna, ale nieco uciążliwa. Trzecia metoda wyróżnia się przejrzystością, ale nie zawsze jest wygodna i stosowana. I wreszcie użycie równania dyskryminacyjnego jest uniwersalnym i dość prostym sposobem znalezienia pierwiastków absolutnie dowolnego równania drugiego rzędu. Dlatego w tym artykule rozważymy tylko to.

Wzór na uzyskanie pierwiastków równania

Przejdźmy do ogólnej postaci równania kwadratowego. Zapiszmy to: a*x²+ b*x + c =0. Przed użyciem metody rozwiązania „poprzez dyskryminator” należy zawsze doprowadzić równość do jej formy pisemnej. Oznacza to, że musi składać się z trzech terminów (lub mniej, jeśli b lub c wynosi 0).

Przykładowo, jeśli istnieje wyrażenie: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², to należy najpierw przenieść wszystkie jego wyrazy na jedną stronę równości i dodać wyrazy zawierające zmienną x w same moce.

W tym przypadku operacja ta doprowadzi do następującego wyrażenia: -6*x²-4*x+8=0, co jest równoważne równaniu 6*x²+4*x-8=0 (tutaj pomnożyliśmy lewą stronę i prawe strony równości przez -1) .

W powyższym przykładzie a = 6, b = 4, c = -8. Należy pamiętać, że wszystkie wyrazy rozważanej równości są zawsze sumowane, więc jeśli pojawi się znak „-”, oznacza to, że odpowiadający mu współczynnik jest ujemny, podobnie jak liczba c w tym przypadku.

Po zbadaniu tego punktu przejdźmy teraz do samego wzoru, który umożliwia uzyskanie pierwiastków równania kwadratowego. Wygląda jak ten pokazany na zdjęciu poniżej.

Jak widać z tego wyrażenia, pozwala uzyskać dwa pierwiastki (zwróć uwagę na znak „±”). Aby to zrobić, wystarczy podstawić do niego współczynniki b, c i a.

Pojęcie dyskryminatora

W poprzednim akapicie podano wzór, który pozwala szybko rozwiązać dowolne równanie drugiego rzędu. W nim radykalne wyrażenie nazywa się dyskryminatorem, czyli D = b²-4*a*c.

Dlaczego ta część formuły jest wyróżniona i dlaczego ma nawet własną nazwę? Faktem jest, że dyskryminator łączy wszystkie trzy współczynniki równania w jedno wyrażenie. Ten ostatni fakt oznacza, że ​​w całości niesie ze sobą informacje o korzeniach, które można wyrazić w następującym zestawieniu:

1. D>0: Równość ma 2 różne rozwiązania, oba są liczbami rzeczywistymi.
2. D<0: также получаются два корня, но оба они комплексные. Этот тип выражений научились решать только в эпоху Возрождения, когда математиками нового времени было введено понятие "мнимая единица".
3. D=0: Równanie ma tylko jeden pierwiastek i jest liczbą rzeczywistą.

Zadanie wyznaczania dyskryminacyjnego

Podajmy prosty przykład, jak znaleźć dyskryminator. Niech zostanie podana równość: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Sprowadźmy to do postaci standardowej, otrzymamy: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, skąd dochodzimy do równości : -2*x² +2*x-11 = 0. Tutaj a=-2, b=2, c=-11.

Teraz możesz użyć powyższego wzoru na dyskryminator: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Wynikowa liczba jest odpowiedzią na zadanie. Ponieważ dyskryminator w przykładzie jest mniejszy od zera, możemy powiedzieć, że to równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków. Jego rozwiązaniem będą tylko liczby typu zespolonego.

Przykład nierówności poprzez dyskryminator

Rozwiążmy problemy nieco innego typu: mając równość -3*x²-6*x+c = 0. Należy znaleźć wartości c, dla których D>0.

W tym przypadku znane są tylko 2 z 3 współczynników, więc nie można obliczyć dokładnej wartości dyskryminatora, ale wiadomo, że jest on dodatni. Tworząc nierówność, korzystamy z ostatniego faktu: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rozwiązanie powstałej nierówności prowadzi do wyniku: c>-3.

Sprawdźmy wynikową liczbę. W tym celu obliczamy D dla 2 przypadków: c=-2 i c=-4. Otrzymany wynik spełnia liczba -2 (-2>-3), odpowiadający jej dyskryminator będzie miał wartość: D = 12>0. Z kolei liczba -4 nie spełnia nierówności (-4<-3), вычисляем дискриминант: D = -12<0, что противоречит условию задачи.

Zatem każda liczba c większa niż -3 spełni warunek.

Przykład rozwiązania równania

Przedstawmy problem, który polega nie tylko na znalezieniu wyróżnika, ale także na rozwiązaniu równania. Należy znaleźć pierwiastki równości -2*x²+7-9*x = 0.

W tym przykładzie dyskryminator jest równy wartości: D = 81-4*(-2)*7= 137. Następnie wyznaczamy pierwiastki równania w następujący sposób: x = (9±√137)/(- 4). Są to dokładne wartości pierwiastków; jeśli obliczysz pierwiastek w przybliżeniu, otrzymasz liczby: x = -5,176 i x = 0,676.

Problem geometryczny

Rozwiążmy zadanie, które będzie wymagało nie tylko umiejętności obliczenia dyskryminatora, ale także umiejętności abstrakcyjnego myślenia i wiedzy o pisaniu równań kwadratowych.

Bob miał kołdrę o wymiarach 5 x 4 metry. Chłopiec chciał doszyć do niego ciągły pasek pięknej tkaniny na całym obwodzie. Jak gruby będzie ten pasek, jeśli wiemy, że Bob ma 10 m² materiału.

Niech pasek będzie miał grubość x m, wówczas pole tkaniny wzdłuż długiego boku koca będzie wynosić (5+2*x)*x, a ponieważ są 2 długie boki, mamy: 2*x *(5+2*x). Na krótkim boku powierzchnia uszytej tkaniny będzie wynosić 4*x, ponieważ tych boków są 2, otrzymamy wartość 8*x. Należy zauważyć, że do długiego boku dodano wartość 2*x, ponieważ długość koca wzrosła o tę liczbę. Łączna powierzchnia tkaniny wszytej w koc to 10 m². Otrzymujemy więc równość: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

W tym przykładzie dyskryminator jest równy: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Jego pierwiastek wynosi 22. Korzystając ze wzoru, znajdujemy wymagane pierwiastki: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Oczywiście z dwóch pierwiastków tylko liczba 0,5 jest odpowiednia w zależności od warunków problemu.

Zatem pasek materiału, który Bob przyszywa do swojego koca, będzie miał szerokość 50 cm.

Temat ten może początkowo wydawać się skomplikowany ze względu na wiele nie tak prostych formuł. Nie tylko same równania kwadratowe mają długie zapisy, ale pierwiastki można również znaleźć poprzez dyskryminator. W sumie otrzymano trzy nowe formuły. Niezbyt łatwe do zapamiętania. Jest to możliwe dopiero po częstym rozwiązywaniu takich równań. Wtedy wszystkie formuły zostaną zapamiętane same.

Ogólny widok równania kwadratowego

Tutaj proponujemy ich wyraźne zapisanie, gdy najpierw zapisywany jest stopień największy, a następnie w kolejności malejącej. Często zdarzają się sytuacje, w których warunki są niespójne. Wtedy lepiej jest przepisać równanie w kolejności malejącej według stopnia zmiennej.

Wprowadźmy pewną notację. Zostały one zaprezentowane w poniższej tabeli.

Jeśli przyjmiemy te oznaczenia, wszystkie równania kwadratowe sprowadzają się do następującego zapisu.

Co więcej, współczynnik a ≠ 0. Niech ta formuła będzie oznaczona numerem jeden.

Kiedy podane jest równanie, nie jest jasne, ile pierwiastków będzie w odpowiedzi. Ponieważ zawsze możliwa jest jedna z trzech opcji:

• rozwiązanie będzie miało dwa korzenie;
• odpowiedzią będzie jedna liczba;
• równanie nie będzie miało w ogóle pierwiastków.

A dopóki decyzja nie zostanie sfinalizowana, trudno zrozumieć, która opcja pojawi się w konkretnym przypadku.

Rodzaje zapisów równań kwadratowych

W zadaniach mogą znajdować się różne wpisy. Nie zawsze będą wyglądać jak ogólny wzór równania kwadratowego. Czasami będzie brakować niektórych terminów. To, co napisano powyżej, jest pełnym równaniem. Jeśli usuniesz z niego drugi lub trzeci termin, otrzymasz coś innego. Zapisy te nazywane są również równaniami kwadratowymi, tylko że są niekompletne.

Co więcej, mogą zniknąć tylko terminy ze współczynnikami „b” i „c”. Liczba „a” w żadnym wypadku nie może być równa zeru. Ponieważ w tym przypadku wzór zamienia się w równanie liniowe. Wzory na niepełną postać równań będą następujące:

Istnieją więc tylko dwa typy, oprócz pełnych istnieją również niepełne równania kwadratowe. Niech pierwsza formuła będzie numerem dwa, a druga - trzema.

Dyskryminator i zależność liczby pierwiastków od jego wartości

Musisz znać tę liczbę, aby obliczyć pierwiastki równania. Zawsze można to obliczyć, niezależnie od wzoru równania kwadratowego. Aby obliczyć dyskryminator, należy skorzystać z równości zapisanej poniżej, która będzie miała numer cztery.

Po podstawieniu wartości współczynników do tego wzoru można uzyskać liczby o różnych znakach. Jeśli odpowiedź brzmi „tak”, wówczas odpowiedzią na równanie będą dwa różne pierwiastki. Jeśli liczba jest ujemna, równanie kwadratowe nie będzie pierwiastków. Jeśli będzie równa zero, będzie tylko jedna odpowiedź.

Jak rozwiązać pełne równanie kwadratowe?

Właściwie rozważanie tej kwestii już się rozpoczęło. Ponieważ najpierw trzeba znaleźć dyskryminator. Po ustaleniu, że istnieją pierwiastki równania kwadratowego i znana jest ich liczba, należy zastosować wzory na zmienne. Jeśli są dwa korzenie, musisz zastosować następującą formułę.

Ponieważ zawiera znak „±”, będą dwie wartości. Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym jest wyróżnikiem. Dlatego formułę można przepisać inaczej.

Formuła numer pięć. Z tego samego zapisu jasno wynika, że ​​jeśli dyskryminator jest równy zero, to oba pierwiastki przyjmą te same wartości.

Jeśli nie opracowano jeszcze rozwiązania równań kwadratowych, lepiej zapisać wartości wszystkich współczynników przed zastosowaniem formuł dyskryminacyjnych i zmiennych. Później ten moment nie sprawi trudności. Jednak już na początku panuje zamieszanie.

Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe?

Tutaj wszystko jest znacznie prostsze. Nie ma nawet potrzeby stosowania dodatkowych formuł. A te, które zostały już zapisane dla rozróżniającego i nieznanego, nie będą potrzebne.

Najpierw spójrzmy na niekompletne równanie numer dwa. W tej równości należy wyjąć nieznaną wielkość z nawiasów i rozwiązać równanie liniowe, które pozostanie w nawiasach. Odpowiedź będzie miała dwa korzenie. Pierwsza z konieczności jest równa zeru, ponieważ istnieje mnożnik składający się z samej zmiennej. Drugie otrzymamy rozwiązując równanie liniowe.

Niekompletne równanie numer trzy rozwiązuje się, przesuwając liczbę z lewej strony równości na prawą. Następnie musisz podzielić przez współczynnik skierowany w stronę nieznanego. Pozostaje tylko wyciągnąć pierwiastek kwadratowy i pamiętać o zapisaniu go dwukrotnie z przeciwnymi znakami.

Poniżej znajduje się kilka kroków, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywać wszelkiego rodzaju równości, które zamieniają się w równania kwadratowe. Pomogą uczniowi uniknąć błędów wynikających z nieuwagi. Te niedociągnięcia mogą powodować słabe oceny podczas studiowania obszernego tematu „Równania kwadratowe (8. klasa)”. Następnie czynności te nie będą musiały być wykonywane stale. Ponieważ pojawi się stabilna umiejętność.

• Najpierw musisz zapisać równanie w standardowej formie. Czyli najpierw termin z największym stopniem zmiennej, potem – bez stopnia, a na koniec – tylko liczba.

• Jeśli przed współczynnikiem „a” pojawi się minus, może to skomplikować pracę początkującemu studiującemu równania kwadratowe. Lepiej się tego pozbyć. W tym celu wszystkie równości należy pomnożyć przez „-1”. Oznacza to, że wszystkie wyrazy zmienią znak na przeciwny.

• Zaleca się pozbywanie się ułamków w ten sam sposób. Wystarczy pomnożyć równanie przez odpowiedni współczynnik, aby mianowniki się zniosły.

Przykłady

Wymagane jest rozwiązanie następujących równań kwadratowych:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Pierwsze równanie: x 2 − 7x = 0. Jest niekompletne, dlatego rozwiązuje się je w sposób opisany we wzorze numer dwa.

Po usunięciu z nawiasów okazuje się: x (x - 7) = 0.

Pierwszy pierwiastek przyjmuje wartość: x 1 = 0. Drugi pierwiastek znajdziemy z równania liniowego: x - 7 = 0. Łatwo zauważyć, że x 2 = 7.

Drugie równanie: 5x 2 + 30 = 0. Znowu niekompletne. Tylko że rozwiązuje się to w sposób opisany dla trzeciego wzoru.

Po przesunięciu 30 na prawą stronę równania: 5x 2 = 30. Teraz musisz podzielić przez 5. Okazuje się: x 2 = 6. Odpowiedziami będą liczby: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Trzecie równanie: 15 − 2x − x 2 = 0. W dalszej części rozwiązywanie równań kwadratowych zaczniemy od przepisania ich do standardowej postaci: − x 2 − 2x + 15 = 0. Teraz czas skorzystać z drugiej przydatnej wskazówki i pomnożyć wszystko przez minus jeden . Okazuje się, że x 2 + 2x - 15 = 0. Korzystając z czwartego wzoru, musisz obliczyć dyskryminator: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Jest to liczba dodatnia. Z tego, co powiedziano powyżej, okazuje się, że równanie ma dwa pierwiastki. Należy je obliczyć za pomocą piątego wzoru. Okazuje się, że x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Wtedy x 1 = 3, x 2 = - 5.

Czwarte równanie x 2 + 8 + 3x = 0 przekształca się w następujące równanie: x 2 + 3x + 8 = 0. Jego wyróżnik jest równy tej wartości: -23. Ponieważ liczba ta jest ujemna, odpowiedzią na to zadanie będzie wpis: „Nie ma pierwiastków”.

Piąte równanie 12x + x 2 + 36 = 0 należy przepisać w następujący sposób: x 2 + 12x + 36 = 0. Po zastosowaniu wzoru na dyskryminator otrzymuje się liczbę zero. Oznacza to, że będzie miał jeden pierwiastek, a mianowicie: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Szóste równanie (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) wymaga przekształceń, które polegają na tym, że trzeba wprowadzić wyrazy podobne, najpierw otwierając nawiasy. W miejsce pierwszego pojawi się wyrażenie: x 2 + 2x + 1. Po równości pojawi się zapis: x 2 + 3x + 2. Po policzeniu podobnych wyrazów równanie przyjmie postać: x 2 - x = 0. Stało się niekompletne. Coś podobnego zostało już omówione nieco wyżej. Pierwiastkami tego będą liczby 0 i 1.

Pierwszy poziom

Równania kwadratowe. Kompleksowy przewodnik (2019)

W określeniu „równanie kwadratowe” słowem kluczowym jest „równanie kwadratowe”. Oznacza to, że równanie musi koniecznie zawierać zmienną (ten sam x) podniesiony do kwadratu i nie powinno być xów do trzeciej (lub większej) potęgi.

Rozwiązanie wielu równań sprowadza się do rozwiązywania równań kwadratowych.

Nauczmy się ustalać, że jest to równanie kwadratowe, a nie jakieś inne równanie.

Przykład 1.

Pozbądźmy się mianownika i pomnóżmy każdy wyraz równania przez

Przesuńmy wszystko na lewą stronę i ułóżmy wyrazy w malejącej kolejności potęg X

Teraz możemy śmiało powiedzieć, że to równanie jest kwadratowe!

Przykład 2.

Pomnóż lewą i prawą stronę przez:

To równanie, choć pierwotnie w nim występowało, nie jest kwadratowe!

Przykład 3.

Pomnóżmy wszystko przez:

Straszny? Czwarty i drugi stopień... Jeśli jednak dokonamy zamiany, zobaczymy, że mamy proste równanie kwadratowe:

Przykład 4.

Wydaje się, że tak jest, ale przyjrzyjmy się bliżej. Przesuńmy wszystko na lewą stronę:

Widzisz, zostało to zredukowane - i teraz jest to proste równanie liniowe!

Teraz spróbuj samodzielnie ustalić, które z poniższych równań są równaniami kwadratowymi, a które nie:

Przykłady:

Odpowiedzi:

1. kwadrat;
2. kwadrat;
3. nie kwadratowy;
4. nie kwadratowy;
5. nie kwadratowy;
6. kwadrat;
7. nie kwadratowy;
8. kwadrat.

Matematycy tradycyjnie dzielą wszystkie równania kwadratowe na następujące typy:

• Uzupełnij równania kwadratowe- równania, w których współczynniki i oraz człon wolny c są różne od zera (jak w przykładzie). Ponadto wśród pełnych równań kwadratowych istnieją dany- są to równania, w których współczynnik (równanie z przykładu pierwszego jest nie tylko pełne, ale i zredukowane!)

• Niekompletne równania kwadratowe- równania, w których współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:

  Są niekompletne, bo brakuje w nich jakiegoś elementu. Ale równanie musi zawsze zawierać x do kwadratu!!! W przeciwnym razie nie będzie to już równanie kwadratowe, ale jakieś inne równanie.

Dlaczego wpadli na taki podział? Wydawałoby się, że jest X do kwadratu i OK. Podział ten wyznaczają metody rozwiązania. Przyjrzyjmy się każdemu z nich bardziej szczegółowo.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Najpierw skupmy się na rozwiązywaniu niepełnych równań kwadratowych - są one znacznie prostsze!

Istnieją typy niekompletnych równań kwadratowych:

1. , w tym równaniu współczynnik jest równy.
2. , w tym równaniu wolny termin jest równy.
3. , w tym równaniu współczynnik i wolny wyraz są równe.

1. ja Ponieważ wiemy, jak obliczyć pierwiastek kwadratowy, wyrażmy to na podstawie tego równania

Wyrażenie może być ujemne lub dodatnie. Liczba podniesiona do kwadratu nie może być ujemna, gdyż przy mnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią, zatem: jeśli, to równanie nie ma rozwiązań.

A jeśli, to otrzymamy dwa pierwiastki. Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejsze jest to, że musisz wiedzieć i zawsze pamiętać, że nie może być mniej.

Spróbujmy rozwiązać kilka przykładów.

Przykład 5:

Rozwiązać równanie

Teraz pozostaje tylko wyodrębnić korzeń z lewej i prawej strony. W końcu pamiętasz, jak wyodrębnić korzenie?

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!!!

Przykład 6:

Rozwiązać równanie

Odpowiedź:

Przykład 7:

Rozwiązać równanie

Oh! Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

żadnych korzeni!

Dla takich równań, które nie mają pierwiastków, matematycy wymyślili specjalną ikonę - (pusty zbiór). A odpowiedź można zapisać w ten sposób:

Odpowiedź:

Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Nie ma tutaj żadnych ograniczeń, ponieważ nie wyodrębniliśmy katalogu głównego.
Przykład 8:

Rozwiązać równanie

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

Zatem,

To równanie ma dwa pierwiastki.

Odpowiedź:

Najprostszy rodzaj niekompletnych równań kwadratowych (chociaż wszystkie są proste, prawda?). Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Pominiemy tutaj przykłady.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych

Przypominamy, że pełne równanie kwadratowe jest równaniem postaci równania gdzie

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych jest trochę trudniejsze (tylko trochę) niż te.

Pamiętać, Każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.

Inne metody pomogą ci to zrobić szybciej, ale jeśli masz problemy z równaniami kwadratowymi, najpierw opanuj rozwiązanie za pomocą dyskryminatora.

1. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem dyskryminatora.

Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą tej metody jest bardzo proste, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów.

Jeśli to równanie ma pierwiastek, należy zwrócić szczególną uwagę na krok. Dyskryminator () informuje nas o liczbie pierwiastków równania.

• Jeśli, wówczas formuła w tym kroku zostanie zredukowana do. Zatem równanie będzie miało tylko pierwiastek.
• Jeśli, to nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora na tym etapie. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Wróćmy do naszych równań i spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 9:

Rozwiązać równanie

Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki.

Krok 3.

Odpowiedź:

Przykład 10:

Rozwiązać równanie

Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że równanie ma jeden pierwiastek.

Odpowiedź:

Przykład 11:

Rozwiązać równanie

Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora. Równanie nie ma pierwiastków.

Teraz wiemy, jak poprawnie zapisać takie odpowiedzi.

Odpowiedź:żadnych korzeni

2. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Viety.

Jeśli pamiętasz, istnieje rodzaj równania, który nazywa się zredukowanym (gdy współczynnik a jest równy):

Równania takie bardzo łatwo rozwiązać korzystając z twierdzenia Viety:

Suma pierwiastków dany równanie kwadratowe jest równe i iloczyn pierwiastków jest równy.

Przykład 12:

Rozwiązać równanie

Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ .

Suma pierwiastków równania jest równa, tj. otrzymujemy pierwsze równanie:

A iloczyn jest równy:

Skomponujmy i rozwiążmy system:

• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem układu:

Odpowiedź: ; .

Przykład 13:

Rozwiązać równanie

Odpowiedź:

Przykład 14:

Rozwiązać równanie

Podane jest równanie, które oznacza:

Odpowiedź:

RÓWNANIA KWADRATOWE. ŚREDNI POZIOM

Co to jest równanie kwadratowe?

Innymi słowy, równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie - niewiadoma, - niektóre liczby i.

Liczba nazywana jest najwyższą lub pierwszy współczynnik równanie kwadratowe, - drugi współczynnik, A - Wolny Członek.

Dlaczego? Ponieważ jeśli równanie natychmiast stanie się liniowe, ponieważ zniknie.

W tym przypadku i może być równe zeru. Na tym krześle równanie nazywa się niekompletnym. Jeśli wszystkie warunki są spełnione, oznacza to, że równanie jest kompletne.

Rozwiązania różnych typów równań kwadratowych

Metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych:

Najpierw przyjrzyjmy się metodom rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych - są prostsze.

Wyróżniamy następujące typy równań:

I. w tym równaniu współczynnik i wolny wyraz są równe.

II. , w tym równaniu współczynnik jest równy.

III. , w tym równaniu wolny termin jest równy.

Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu dla każdego z tych podtypów.

Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Liczba podniesiona do kwadratu nie może być liczbą ujemną, ponieważ po pomnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią. Dlatego:

jeśli, to równanie nie ma rozwiązań;

jeśli mamy dwa korzenie

Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie może być mniejsza.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!

Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

żadnych korzeni.

Aby krótko zapisać, że problem nie ma rozwiązań, używamy ikony pustego zestawu.

Odpowiedź:

Zatem to równanie ma dwa pierwiastki: i.

Odpowiedź:

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, gdy:

Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: i.

Przykład:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Rozważmy lewą stronę równania i znajdźmy pierwiastki:

Odpowiedź:

Metody rozwiązywania pełnych równań kwadratowych:

1. Dyskryminujący

Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest łatwe, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów. Pamiętaj, że każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.

Czy zauważyłeś pierwiastek z wyróżnika we wzorze na pierwiastki? Ale dyskryminator może być ujemny. Co robić? Musimy zwrócić szczególną uwagę na krok 2. Dyskryminator informuje nas o liczbie pierwiastków równania.

• Jeśli, to równanie ma pierwiastki:
• Jeśli to równanie ma te same pierwiastki, a właściwie jeden pierwiastek:

  Takie korzenie nazywane są podwójnymi korzeniami.

• Jeśli, to pierwiastek dyskryminatora nie jest wyodrębniany. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Dlaczego możliwa jest różna liczba korzeni? Przejdźmy do geometrycznego znaczenia równania kwadratowego. Wykresem funkcji jest parabola:

W szczególnym przypadku, którym jest równanie kwadratowe, . Oznacza to, że pierwiastkami równania kwadratowego są punkty przecięcia z osią (osią) odciętej. Parabola może w ogóle nie przecinać osi lub może przecinać ją w jednym (gdy wierzchołek paraboli leży na osi) lub w dwóch punktach.

Ponadto współczynnik odpowiada za kierunek gałęzi paraboli. Jeśli, to gałęzie paraboli są skierowane w górę, a jeśli, to w dół.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiedź:

Odpowiedź: .

Odpowiedź:

Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: .

2. Twierdzenie Viety

Twierdzenie Viety jest bardzo łatwe w użyciu: wystarczy wybrać parę liczb, których iloczyn jest równy wolnemu członowi równania, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwnym znakiem.

Należy pamiętać, że twierdzenie Viety można zastosować jedynie w zredukowane równania kwadratowe ().

Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład 1:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ . Inne współczynniki: ; .

Suma pierwiastków równania wynosi:

A iloczyn jest równy:

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy i sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa;
• I. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem układu:

Zatem i są pierwiastkami naszego równania.

Odpowiedź: ; .

Przykład nr 2:

Rozwiązanie:

Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a następnie sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

i: dają w sumie.

i: dają w sumie. Aby uzyskać, wystarczy po prostu zmienić znaki rzekomych korzeni: a przecież i produkt.

Odpowiedź:

Przykład nr 3:

Rozwiązanie:

Wolny wyraz równania jest ujemny, dlatego iloczyn pierwiastków jest liczbą ujemną. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden z pierwiastków jest ujemny, a drugi dodatni. Zatem suma pierwiastków jest równa różnice w ich modułach.

Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a których różnica jest równa:

i: ich różnica jest równa - nie pasuje;

oraz: - nie nadaje się;

oraz: - nie nadaje się;

oraz: - odpowiedni. Pozostaje tylko pamiętać, że jeden z pierwiastków jest ujemny. Ponieważ ich suma musi być równa, pierwiastek o mniejszym module musi być ujemny: . Sprawdzamy:

Odpowiedź:

Przykład nr 4:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Podane jest równanie, które oznacza:

Wolny termin jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest ujemny. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden pierwiastek równania jest ujemny, a drugi dodatni.

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy, a następnie określmy, które pierwiastki powinny mieć znak ujemny:

Oczywiście tylko korzenie i nadają się do pierwszego warunku:

Odpowiedź:

Przykład nr 5:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Podane jest równanie, które oznacza:

Suma pierwiastków jest ujemna, co oznacza, że ​​przynajmniej jeden z pierwiastków jest ujemny. Ale ponieważ ich iloczyn jest dodatni, oznacza to, że oba pierwiastki mają znak minus.

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy:

Oczywiście pierwiastkami są liczby i.

Odpowiedź:

Zgadzam się, bardzo wygodnie jest wymyślić korzenie ustnie, zamiast liczyć ten paskudny dyskryminator. Staraj się jak najczęściej korzystać z twierdzenia Viety.

Ale twierdzenie Viety jest potrzebne, aby ułatwić i przyspieszyć znalezienie pierwiastków. Aby móc z niego skorzystać, należy doprowadzić działania do automatyzmu. I w tym celu rozwiąż pięć kolejnych przykładów. Ale nie oszukuj: nie możesz używać dyskryminatora! Tylko twierdzenie Viety:

Rozwiązania zadań do samodzielnej pracy:

Zadanie 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Zgodnie z twierdzeniem Viety:

Tradycyjnie selekcję zaczynamy od utworu:

Nie nadaje się ze względu na ilość;

: ilość jest dokładnie taka, jakiej potrzebujesz.

Odpowiedź: ; .

Zadanie 2.

I znowu nasze ulubione twierdzenie Viety: suma musi być równa i iloczyn musi być równy.

Ale ponieważ tak nie musi być, ale zmieniamy znaki pierwiastków: i (w sumie).

Odpowiedź: ; .

Zadanie 3.

Hmm... Gdzie to jest?

Musisz przenieść wszystkie terminy do jednej części:

Suma pierwiastków jest równa iloczynowi.

OK, przestań! Równanie nie jest podane. Ale twierdzenie Viety ma zastosowanie tylko w danych równaniach. Najpierw musisz podać równanie. Jeśli nie potrafisz przewodzić, porzuć ten pomysł i rozwiąż go w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminację). Przypomnę, że podanie równania kwadratowego oznacza zrównanie współczynnika wiodącego:

Świetnie. Wtedy suma pierwiastków jest równa i iloczynowi.

Tutaj wybór jest tak prosty, jak obieranie gruszek: w końcu jest to liczba pierwsza (przepraszam za tautologię).

Odpowiedź: ; .

Zadanie 4.

Wolny członek jest ujemny. Co jest w tym specjalnego? Faktem jest, że korzenie będą miały różne znaki. A teraz podczas selekcji sprawdzamy nie sumę pierwiastków, ale różnicę w ich modułach: ta różnica jest równa, ale iloczyn.

Zatem pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Twierdzenie Viety mówi nam, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, to znaczy. Oznacza to, że mniejszy pierwiastek będzie miał minus: i, ponieważ.

Odpowiedź: ; .

Zadanie 5.

Co powinieneś zrobić najpierw? Zgadza się, podaj równanie:

Ponownie: wybieramy współczynniki liczby, a ich różnica powinna być równa:

Pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Który? Ich suma powinna być równa, co oznacza, że ​​minus będzie miał większy pierwiastek.

Odpowiedź: ; .

Podsumuję:

1. Twierdzenie Viety jest używane tylko w podanych równaniach kwadratowych.
2. Korzystając z twierdzenia Viety, możesz znaleźć pierwiastki poprzez selekcję, ustnie.
3. Jeśli równanie nie zostanie podane lub nie zostanie znaleziona odpowiednia para czynników terminu wolnego, wówczas nie ma pełnych pierwiastków i należy je rozwiązać w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminator).

3. Metoda wyboru całego kwadratu

Jeśli wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą przedstawimy w postaci wyrazów ze skróconych wzorów na mnożenie – kwadratu sumy lub różnicy – ​​to po zastąpieniu zmiennych równanie można przedstawić w postaci niepełnego równania kwadratowego typu.

Na przykład:

Przykład 1:

Rozwiązać równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Przykład 2:

Rozwiązać równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Ogólnie transformacja będzie wyglądać następująco:

Oznacza to: .

Nic Ci nie przypomina? To dyskryminacja! Dokładnie w ten sposób otrzymaliśmy wzór na dyskryminację.

RÓWNANIA KWADRATOWE. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Równanie kwadratowe- jest to równanie postaci, w której - niewiadoma, - współczynniki równania kwadratowego, - człon wolny.

Pełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynniki nie są równe zeru.

Zredukowane równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik, czyli: .

Niekompletne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:

• jeśli współczynnik, równanie wygląda następująco: ,
• jeżeli istnieje wyraz wolny, równanie ma postać: ,
• jeśli i, równanie wygląda następująco: .

1. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych

1.1. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

1) Wyraźmy niewiadomą: ,

2) Sprawdź znak wyrażenia:

• jeżeli, to równanie nie ma rozwiązań,
• jeśli, to równanie ma dwa pierwiastki.

1.2. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

1) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów: ,

2) Iloczyn jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem równanie ma dwa pierwiastki:

1.3. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

To równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek: .

2. Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych w postaci gdzie

2.1. Rozwiązanie wykorzystujące dyskryminator

1) Sprowadźmy równanie do postaci standardowej: ,

2) Obliczmy dyskryminator korzystając ze wzoru: , który wskazuje liczbę pierwiastków równania:

3) Znajdź pierwiastki równania:

• jeśli, to równanie ma pierwiastki, które można znaleźć według wzoru:
• jeśli, to równanie ma pierwiastek, który można znaleźć za pomocą wzoru:
• jeśli, to równanie nie ma pierwiastków.

2.2. Rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Viety

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego (równanie postaci gdzie) jest równa, a iloczyn pierwiastków jest równy, tj. , A.

2.3. Rozwiązanie metodą wyboru pełnego kwadratu

Jeżeli równanie kwadratowe postaci ma pierwiastki, to można je zapisać w postaci: .

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...

Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule - 299 rubli.
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - 499 rubli.

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!

Równania kwadratowe uczymy się w ósmej klasie, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Umiejętność ich rozwiązywania jest absolutnie konieczna.

Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c są liczbami dowolnymi, a a ≠ 0.

Przed przestudiowaniem konkretnych metod rozwiązywania należy pamiętać, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:

1. Nie mają korzeni;
2. Mają dokładnie jeden korzeń;
3. Mają dwa różne korzenie.

Jest to istotna różnica między równaniami kwadratowymi a równaniami liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak ustalić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym coś cudownego - dyskryminujący.

Dyskryminujący

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem będzie po prostu liczba D = b 2 − 4ac.

Tę formułę musisz znać na pamięć. Skąd pochodzi, nie jest teraz istotne. Ważna jest jeszcze jedna rzecz: po znaku dyskryminatora można określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:

1. Jeśli D< 0, корней нет;
2. Jeśli D = 0, istnieje dokładnie jeden pierwiastek;
3. Jeśli D > 0, będą dwa pierwiastki.

Uwaga: dyskryminator wskazuje liczbę korzeni, a nie ich znaki, jak z jakiegoś powodu wielu ludzi uważa. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Wypiszmy współczynniki pierwszego równania i znajdźmy dyskryminator:
a = 1, b = -8, c = 12;
re = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Zatem dyskryminator jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w podobny sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
re = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków. Ostatnie równanie jakie pozostało to:
a = 1; b = -6; c = 9;
re = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Dyskryminator wynosi zero - pierwiastek będzie wynosić jeden.

Należy pamiętać, że dla każdego równania zapisano współczynniki. Tak, jest długa, tak, jest nudna, ale nie pomylisz szans i nie popełnisz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.

Nawiasem mówiąc, jeśli opanujesz tę czynność, po pewnym czasie nie będziesz musiał zapisywać wszystkich współczynników. Takie operacje będziesz wykonywać w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - ogólnie rzecz biorąc, nie tak dużo.

Pierwiastki równania kwadratowego

Przejdźmy teraz do samego rozwiązania. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć korzystając ze wzorów:

Podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Gdy D = 0, możesz użyć dowolnego z tych wzorów - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Pierwsze równanie:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ za = 1; b = -2; c = -3;
re = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:

Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ za = −1; b = -2; c = 15;
re = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ równanie ponownie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można zastosować dowolną formułę. Na przykład pierwszy:

Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz wzory i potrafisz liczyć, nie będzie żadnych problemów. Najczęściej błędy pojawiają się przy podstawieniu do wzoru współczynników ujemnych. Tutaj znowu pomoże opisana powyżej technika: spójrz na formułę dosłownie, zapisz każdy krok - a już wkrótce pozbędziesz się błędów.

Niekompletne równania kwadratowe

Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:

1. x 2 + 9 x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Łatwo zauważyć, że w równaniach tych brakuje jednego z członów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie wymagają nawet obliczania dyskryminatora. Wprowadźmy więc nową koncepcję:

Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub elementu swobodnego jest równy zero.

Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zero: b = c = 0. W tym przypadku równanie przyjmuje postać ax 2 = 0. Oczywiście takie równanie ma jeden pierwiastek: x = 0.

Rozważmy pozostałe przypadki. Niech b = 0, wówczas otrzymamy niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 + c = 0. Przekształćmy to trochę:

Ponieważ arytmetyczny pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej, ostatnia równość ma sens tylko dla (−c /a) ≥ 0. Wniosek:

1. Jeżeli w niepełnym równaniu kwadratowym postaci ax 2 + c = 0 jest spełniona nierówność (−c /a) ≥ 0, to będą dwa pierwiastki. Wzór podano powyżej;
2. Jeśli (-c /a)< 0, корней нет.

Jak widać, dyskryminator nie był wymagany — w niekompletnych równaniach kwadratowych nie ma żadnych skomplikowanych obliczeń. Właściwie nie trzeba nawet pamiętać nierówności (−c /a) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli będzie ujemny, w ogóle nie będzie korzeni.

Przyjrzyjmy się teraz równaniom postaci ax 2 + bx = 0, w których element wolny jest równy zero. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:

Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów

Iloczyn wynosi zero, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi zero. To stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, spójrzmy na kilka z tych równań:

Zadanie. Rozwiązuj równania kwadratowe:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nie ma korzeni, bo kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.