Materiał przygotowujący do egzaminu Unified State Exam (GIA) z algebry (klasa 9) na temat: Przygotowanie do egzaminu Unified State Exam. Prezentacja „Kluczowe problemy teorii prawdopodobieństwa”. „teoria prawdopodobieństwa w zadaniach egzaminacyjnych i oge”

Prezentowane dotychczas w otwartym banku zadań Unified State Exam z matematyki (mathege.ru), których rozwiązanie opiera się tylko na jednym wzorze, jakim jest klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Formułę najłatwiej zrozumieć na przykładach.
Przykład 1. W koszu znajduje się 9 piłek czerwonych i 3 kule niebieskie. Kulki różnią się jedynie kolorem. Wyciągamy losowo jednego z nich (bez patrzenia). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana w ten sposób kula będzie niebieska?

Komentarz. W problemach teorii prawdopodobieństwa dzieje się coś (w tym przypadku nasza akcja polegająca na wyciągnięciu piłki), co może mieć inny wynik - wynik. Należy zauważyć, że na wynik można patrzeć na różne sposoby. Efektem jest także „wyciągnęliśmy jakąś piłkę”. „Wyciągnęliśmy niebieską piłkę” - wynik. „Wyciągnęliśmy dokładnie tę piłkę ze wszystkich możliwych piłek” - ten najmniej uogólniony pogląd na wynik nazywa się wynikiem elementarnym. We wzorze na obliczenie prawdopodobieństwa chodzi o wyniki elementarne.

Rozwiązanie. Obliczmy teraz prawdopodobieństwo wybrania niebieskiej kuli.
Zdarzenie A: „wybrana kula okazała się niebieska”
Całkowita liczba wszystkich możliwych wyników: 9+3=12 (liczba wszystkich kul, które udało nam się wylosować)
Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A: 3 (liczba takich wyników, w których zaszło zdarzenie A – czyli liczba kul niebieskich)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Dla tego samego zadania obliczmy prawdopodobieństwo wybrania czerwonej kuli.
Całkowita liczba możliwych wyników pozostanie taka sama, 12. Liczba korzystnych wyników: 9. Poszukiwane prawdopodobieństwo: 9/12=3/4=0,75

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1.
Czasami w mowie potocznej (ale nie w teorii prawdopodobieństwa!) prawdopodobieństwo zdarzeń szacuje się procentowo. Przejście między wynikami z matematyki a wynikami z konwersacji odbywa się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) przez 100%.
Więc,
Co więcej, prawdopodobieństwo zdarzeń, które nie mogą się wydarzyć, wynosi zero – jest to niewiarygodne. Na przykład w naszym przykładzie byłoby to prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli z kosza. (Liczba korzystnych wyników wynosi 0, P(A)=0/12=0, jeśli obliczono za pomocą wzoru)
Prawdopodobieństwo 1 zawiera zdarzenia, których wystąpienie jest absolutnie pewne, bez opcji. Naszym zadaniem jest np. prawdopodobieństwo, że „wybrana kula będzie albo czerwona, albo niebieska”. (Liczba korzystnych wyników: 12, P(A)=12/12=1)

Przyjrzeliśmy się klasycznemu przykładowi ilustrującemu definicję prawdopodobieństwa. Wszystkie podobne problemy jednolitego egzaminu państwowego z teorii prawdopodobieństwa rozwiązuje się za pomocą tego wzoru.
Zamiast kulek czerwonych i niebieskich mogą znajdować się jabłka i gruszki, chłopcy i dziewczęta, bilety dla uczonych i nieuczonych, bilety zawierające i niezawierające pytania na określony temat (prototypy), wadliwe i wysokiej jakości torby lub pompy ogrodowe ( prototypy) - zasada pozostaje ta sama.

Różnią się nieco w sformułowaniu problemu teorii prawdopodobieństwa Unified State Examination, w którym należy obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia w określonym dniu. ( , ) Podobnie jak w poprzednich zadaniach, należy określić, jaki jest wynik elementarny, a następnie zastosować tę samą formułę.

Przykład 2. Konferencja trwa trzy dni. Pierwszego i drugiego dnia wystąpi 15 prelegentów, trzeciego dnia – 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że referat profesora M. wypadnie trzeciego dnia, jeśli kolejność wystąpień zostanie ustalona w drodze losowania?

Jaki jest tutaj elementarny wynik? – Przypisanie referatowi profesora jednego ze wszystkich możliwych numerów seryjnych wystąpienia. W losowaniu bierze udział 15+15+20=50 osób. Tym samym raport profesora M. może otrzymać jeden z 50 numerów. Oznacza to, że istnieje tylko 50 elementarnych wyników.
Jakie są korzystne wyniki? - Te, w których okazuje się, że profesor będzie przemawiał trzeciego dnia. Oznacza to, że ostatnie 20 liczb.
Zgodnie ze wzorem prawdopodobieństwo P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpowiedź: 0,4

Losowanie oznacza tutaj ustanowienie losowej korespondencji między ludźmi a uporządkowanymi miejscami. W przykładzie 2 dopasowywanie rozpatrywano pod kątem tego, które z miejsc może zajmować dana osoba. Do tej samej sytuacji można podejść od drugiej strony: która z osób z jakim prawdopodobieństwem mogła dostać się w określone miejsce (prototypy , , , ):

Przykład 3. W losowaniu wzięło udział 5 Niemców, 8 Francuzów i 3 Estończyków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy (/drugi/siódmy/ostatni – to nie ma znaczenia) będzie Francuzem.

Liczba wyników elementarnych to liczba wszystkich możliwych osób, które w drodze losowania mogłyby dostać się do danego miejsca. 5+8+3=16 osób.
Korzystne wyniki - francuski. 8 osób.
Wymagane prawdopodobieństwo: 8/16=1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5

Prototyp jest nieco inny. Nadal występują problemy dotyczące monet () i kości (), które są nieco bardziej kreatywne. Rozwiązanie tych problemów można znaleźć na stronach prototypów.

Oto kilka przykładów rzutu monetą lub kostką.

Przykład 4. Kiedy rzucamy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo, że wylądujemy na orle?
Istnieją 2 wyniki – orzeł lub reszka. (uważa się, że moneta nigdy nie ląduje na krawędzi) Pozytywnym wynikiem są reszki, 1.
Prawdopodobieństwo 1/2 = 0,5
Odpowiedź: 0,5.

Przykład 5. A co jeśli rzucimy dwa razy monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu przypadkach wypadnie reszka?
Najważniejsze jest ustalenie, jakie elementarne wyniki weźmiemy pod uwagę rzucając dwiema monetami. Po rzucie dwiema monetami może nastąpić jeden z następujących rezultatów:
1) PP – w obu przypadkach wypadło resztek
2) PO – pierwszy raz odpada, drugi raz odpada
3) OP – za pierwszym razem orzeł, za drugim reszka
4) OO – reszki padły za każdym razem
Nie ma innych opcji. Oznacza to, że istnieją 4 podstawowe wyniki. Tylko pierwszy, 1, jest korzystny.
Prawdopodobieństwo: 1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dwóch rzutach monetą wypadnie reszka?
Liczba wyników elementarnych jest taka sama, 4. Korzystne wyniki to drugi i trzeci, 2.
Prawdopodobieństwo otrzymania jednego reszka: 2/4=0,5

W takich problemach przydatna może być inna formuła.
Jeżeli przy jednym rzucie monetą mamy 2 możliwe wyniki, to przy dwóch rzutach wynik będzie 2 2 = 2 2 = 4 (jak w przykładzie 5), przy trzech rzutach 2 2 2 = 2 3 = 8, przy czterech : 2·2·2·2=2 4 =16, ... dla N rzutów możliwymi wynikami będą 2.2·...·2=2 N .

Możesz więc znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 orłów w 5 rzutach monetą.
Łączna liczba wyników elementarnych: 2 5 =32.
Korzystne wyniki: 1. (RRRRRR – reszde wszystkie 5 razy)
Prawdopodobieństwo: 1/32=0,03125

To samo dotyczy kości. Przy jednym rzucie można uzyskać 6 wyników. Zatem przy dwóch rzutach: 6 6 = 36, przy trzech 6 6 6 = 216 itd.

Przykład 6. Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie wyrzucona liczba parzysta?

Suma wyników: 6, w zależności od liczby stron.
Korzystne: 3 wyniki. (2, 4, 6)
Prawdopodobieństwo: 3/6=0,5

Przykład 7. Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w sumie będzie 10? (zaokrąglić do najbliższej setnej)

Na jednej kości istnieje 6 możliwych wyników. Oznacza to, że dla dwojga zgodnie z powyższą regułą 6,6=36.
Jakie wyniki będą korzystne, aby w sumie wyrzucić 10?
Liczbę 10 należy rozłożyć na sumę dwóch liczb od 1 do 6. Można to zrobić na dwa sposoby: 10=6+4 i 10=5+5. Oznacza to, że dla kostek możliwe są następujące opcje:
(6 na pierwszym i 4 na drugim)
(4 na pierwszym i 6 na drugim)
(5 na pierwszym i 5 na drugim)
Razem 3 opcje. Wymagane prawdopodobieństwo: 3/36=1/12=0,08
Odpowiedź: 0,08

Inne rodzaje problemów B6 zostaną omówione w przyszłym artykule Jak rozwiązać.

Opis prezentacji według poszczególnych slajdów:

1 slajd

Opis slajdu:

Kluczowe zadania teorii prawdopodobieństwa Przygotowanie do OGE nr 9 MBOU „Gimnazjum nr 4 im. JAK. Puszkin” Autor-kompilator: Sofina N.Yu.

2 slajd

Opis slajdu:

Podstawowe sprawdzalne wymagania dotyczące kształcenia matematycznego nr 9 OGE w matematyce Rozwiązuj problemy praktyczne wymagające systematycznego wyliczania opcji; porównywać szanse wystąpienia zdarzeń losowych, oceniać prawdopodobieństwa zdarzenia losowego, porównywać i eksplorować modele sytuacji rzeczywistej za pomocą aparatu prawdopodobieństwa i statystyki. Nr 9 – zadanie podstawowe. Maksymalna liczba punktów za wykonanie zadania to 1.

3 slajd

Opis slajdu:

Prawdopodobieństwo zdarzenia A to stosunek liczby m wyników sprzyjających temu zdarzeniu do całkowitej liczby n wszystkich równie możliwych, niezgodnych zdarzeń, które mogą wystąpić w wyniku jednego testu lub obserwacji. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przypomnijmy wzór na obliczenie klasycznego prawdopodobieństwa zdarzenia losowego P = n m

4 slajd

Opis slajdu:

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przykład: Komitet Rodziców zakupił 40 kolorowanek dla dzieci jako prezenty na koniec roku szkolnego. Spośród nich 14 opiera się na baśniach A.S. Puszkina i 26 na podstawie baśni H.H. Andersena. Prezenty są rozdawane losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że Nastya dostanie kolorowankę opartą na bajkach A.S. Puszkin. Rozwiązanie: m= 14; n= 14 +26=40 P= 14/40= 0,35 Odpowiedź: 0,35.

5 slajdów

Opis slajdu:

Przykład: Na egzaminie było 60 pytań. Iwan nie nauczył się 3 z nich. Znajdź prawdopodobieństwo, że natknie się na wyuczone pytanie. Rozwiązanie: Tutaj n=60. Iwan nie nauczył się 3, czyli nauczył się wszystkich pozostałych, tj. m= 60-3=57. P=57/60=0,95. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Odpowiedź: 0,95.

6 slajdów

Opis slajdu:

„Kolejność ustalana jest w drodze losowania” Przykład: W mistrzostwach w gimnastyce uczestniczy 20 zawodników: 8 z Rosji, 7 z USA, reszta z Chin. Kolejność występów gimnastyczek jest ustalana w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że piąty zawodnik startujący w zawodach pochodzi z Chin. Rozwiązanie: W opisie problemu znajduje się „magiczne” słowo „lot”, co oznacza, że ​​zapominamy o kolejności prezentacji. Zatem m= 20-8-7=5 (z Chin); n=20. P = 5/20 = 0,25. Odpowiedź: 0,25.

Slajd 7

Opis slajdu:

Przykład: Konferencja naukowa trwa 5 dni. W sumie zaplanowanych jest 75 raportów – pierwsze 3 dni z 17 raportów, pozostałe rozkładają się równomiernie pomiędzy 4. i 5. dniem. Kolejność sprawozdań ustala się w drodze losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że raport profesora Iwanowa zostanie zaplanowany na ostatni dzień konferencji? Rozwiązanie: Wprowadźmy dane do tabeli. Ustaliliśmy, że m=12; n=75. P=12/75= 0,16. Odpowiedź: 0,16. „Kolejność ustala się w drodze losowania” Dzień I II III IV V Razem Liczba raportów 17 17 17 12 12 75

8 slajdów

Opis slajdu:

Częstotliwość zdarzenia Podobnie jak prawdopodobieństwo, wyznaczana jest częstotliwość zdarzenia, dla którego zadania również są w prototypach. Co za różnica? Prawdopodobieństwo to wartość przewidywana, a częstotliwość to stwierdzenie faktu. Przykład: Prawdopodobieństwo, że nowy tablet zostanie naprawiony w ramach gwarancji w ciągu roku wynosi 0,045. W pewnym mieście na 1000 sprzedanych w ciągu roku tabletów do warsztatu gwarancyjnego trafiło 51 sztuk. Jak bardzo różni się częstotliwość zdarzenia „naprawa gwarancyjna” od jego prawdopodobieństwa w tym mieście? Rozwiązanie: Znajdźmy częstotliwość zdarzenia: 51/1000=0,051. A prawdopodobieństwo wynosi 0,045 (zgodnie z warunkiem). Oznacza to, że w tym mieście zdarzenie „naprawa gwarancyjna” występuje częściej, niż oczekiwano. Znajdźmy różnicę ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Jednocześnie musimy wziąć pod uwagę, że NIE jest dla nas ważny znak różnicy, a jedynie jej wartość bezwzględna. Odpowiedź: 0,006.

Slajd 9

Opis slajdu:

Problemy z wyliczeniem opcji („monety”, „zapałki”) Niech k będzie liczbą rzutów monetą, a następnie liczbą możliwych wyników: n = 2k. Przykład: W losowym eksperymencie rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie raz. Rozwiązanie: Opcje upuszczania monet: OO; LUB; RR; RO. Zatem n=4. Korzystne wyniki: RR i RO. Oznacza to, że m= 2. P=2/4 = 1/2 = 0,5. Odpowiedź: 0,5.

10 slajdów

Opis slajdu:

Przykład: Przed rozpoczęciem meczu piłki nożnej sędzia rzuca monetą, aby określić, która drużyna będzie pierwsza w posiadaniu piłki. Zespół „Merkury” na zmianę gra z zespołami „Mars”, „Jowisz”, „Uran”. Znajdź prawdopodobieństwo, że drużyna Merkurego zdobędzie piłkę we wszystkich meczach? Problemy z wyliczeniem opcji („monety”, „zapałki”) Rozwiązanie: Oznaczmy posiadanie pierwszej piłki drużyny „Merkury” w meczu z jedną z trzech pozostałych drużyn jako „Ogony”. Wtedy prawo do posiadania drugiej piłki tej drużyny ma „Orzeł”. Zapiszmy więc wszystkie możliwe wyniki trzykrotnego rzutu monetą. „O” to orzeł, „P” to reszka. ; tj. n=8; m=1. P = 1/8 = 0,125. Odpowiedź: 0,125 n = 23 „Mars” „Jowisz” „Uran” O O O O O O R O R O O O R R R R O O R O R R R R

11 slajdów

Opis slajdu:

Problemy z „kośćmi” (kostkami) Niech k będzie liczbą rzutów kostką, a następnie liczbą możliwych wyników: n = 6k. Przykład: Dasha rzuca kostką dwa razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że w sumie uzyska ona 8 punktów. Zaokrąglij wynik do części setnych. Odpowiedź: 0,14. Rozwiązanie: Dwie kości powinny dać w sumie 8 punktów. Jest to możliwe, jeśli występują następujące kombinacje: 2 i 6 6 i 2 3 i 5 5 i 3 4 i 4 m= 5 (5 odpowiednich kombinacji) n =36 P= 5/36 = 0,13(8)

12 slajdów

Opis slajdu:

Niezależne zdarzenia i prawo mnożenia Prawdopodobieństwo znalezienia zarówno pierwszego, drugiego, jak i n-tego zdarzenia oblicza się ze wzoru: P = P1*P2**…*Pn Przykład: Biathlonista strzela do tarczy pięć razy. Prawdopodobieństwo trafienia celu jednym strzałem wynosi 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że biathlonista trzy pierwsze razy trafi w tarczę, a ostatnie dwa razy spudłuje. Zaokrąglij wynik do części setnych. Odpowiedź: 0,02. Rozwiązanie: Wynik każdego kolejnego strzału nie zależy od poprzedniego. Zatem zdarzenia „trafienie przy pierwszym strzale”, „trafienie przy drugim strzale” itp. niezależny. Prawdopodobieństwo każdego trafienia wynosi 0,8. Oznacza to, że prawdopodobieństwo chybienia wynosi 1 – 0,8 = 0,2. pierwszy strzał: 0,8 drugi strzał: 0,8 trzeci strzał: 0,8 czwarty strzał: 0,2 piąty strzał: 0,2 Korzystając ze wzoru na mnożenie prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń otrzymujemy: P = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Slajd 13

Opis slajdu:

Kombinacje praw „i” i „lub” Przykład: Biuro kupuje materiały biurowe dla pracowników 3 różnych firm. Co więcej, produkty pierwszej firmy stanowią 40% wszystkich dostaw, a pozostałych 2 - po równo. Okazało się, że 2% długopisów drugiej firmy było wadliwych. Odsetek wad w pierwszej i trzeciej firmie wynosi odpowiednio 1% i 3%. Pracownik A wziął długopis z nowego zapasu. Znajdź prawdopodobieństwo, że to zadziała. Rozwiązanie: Produkty 2 i 3 firm to (100% -40%): 2 = 30% dostaw. P(małżeństwo)= 0,4·0,01+ 0,3·0,02 + 0,3·0,03= 0,019. P(uchwyty serwisowe) = 1- 0,019 = 0,981. Odpowiedź: 0,981.

W niniejszej prezentacji przedstawiono najczęściej spotykane problemy z teorii prawdopodobieństwa na egzaminie. Zadania na poziomie podstawowym. Prezentacja będzie pomocna zarówno nauczycielom na lekcjach powtórek ogólnych, jak i uczniom w samodzielnym przygotowaniu się do egzaminu.

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

TEORIA PRAWDOPODOBNOŚCI KLUCZOWE ZADANIA Przygotowanie do OGE

RZUT MONETĄ

1. Rzucamy dwukrotnie monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie jedna „reszka” i jedna „reszka”? Rozwiązanie: Rzucając jedną monetą, istnieją dwa możliwe wyniki – „reszka” lub „reszka”. Podczas rzucania dwiema monetami istnieją 4 wyniki (2*2=4): „reszki” – „reszki” „reszki” – „reszki” „reszki” – „reszki” „głowy” – „reszki” Jedna „reszka” i jeden „ogon” pojawi się w dwóch z czterech przypadków. P(A)=2:4=0,5. Odpowiedź: 0,5.

2. Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną dwie reszki i jedna reszka? Rozwiązanie: Podczas rzucania trzema monetami możliwych jest 8 wyników (2*2*2=8): „reszki” - „reszki” - „ogony” „ogony” - „reszki” - „ogony” „ogony” - „reszki” - „ogony” „głowy” - „głowy” - „ogony” „ogony” - „ogony” - „głowy” „ogony” - „głowy” - „głowy” „głowy” - „ogony” - „głowy” „głowy” ” - „głowy” - „głowy” Dwie „głowy” i jedna „reszka” pojawią się w trzech przypadkach na osiem. P(A)=3:8=0,375. Odpowiedź: 0,375.

3. W losowym eksperymencie rzucono czterokrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ogóle nie wypadnie żadna reszka. Rozwiązanie: Przy rzucie czterema monetami istnieje 16 możliwych wyników: (2*2*2*2=16): Korzystne wyniki – 1 (cztery reszki). P(A)=1:16=0,0625. Odpowiedź: 0,0625.

GRA W KOŚCI

4. Określ prawdopodobieństwo, że rzucając kostką otrzymasz więcej niż trzy punkty. Rozwiązanie: Całkowite możliwe wyniki to 6. Duże liczby 3 - 4, 5, 6. P(A) = 3:6 = 0,5. Odpowiedź: 0,5.

5. Rzucamy kostką. Znajdź prawdopodobieństwo zdobycia parzystej liczby punktów. Rozwiązanie: Łączna liczba możliwych wyników wynosi 6. 1, 3, 5 to liczby nieparzyste; 2, 4, 6 to liczby parzyste. Prawdopodobieństwo zdobycia parzystej liczby punktów wynosi 3:6=0,5. Odpowiedź: 0,5.

6. W losowym eksperymencie rzucamy dwiema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma wyniesie 8 punktów. Zaokrąglij wynik do części setnych. Rozwiązanie: Ta akcja – rzucenie dwiema kostkami – daje w sumie 36 możliwych wyników, ponieważ 6² = 36. Korzystne wyniki: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Prawdopodobieństwo zdobycia ośmiu punktów wynosi 5:36 ≈ 0,14. Odpowiedź: 0,14.

7. Rzucamy dwukrotnie kostkami. Łącznie jest 6 punktów. Znajdź prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie wypadnie 5. Rozwiązanie: Łączne wyniki 6 punktów - 5: 2 i 4; 4 i 2; 3 i 3; 1 i 5; 5 i 1. Korzystne wyniki - 2. P(A)=2:5=0,4. Odpowiedź: 0,4.

8. Na egzaminie jest 50 biletów, Timofey nie nauczył się 5 z nich. Znajdź prawdopodobieństwo, że trafi na wyuczony bilet. Rozwiązanie: Timofey nauczył się 45 biletów. P(A)=45:50=0,9. Odpowiedź: 0,9.

ZAWODY

9. W mistrzostwach w gimnastyce bierze udział 20 zawodników: 8 z Rosji, 7 z USA, reszta z Chin. Kolejność występów ustalana jest w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że zawodnik startujący jako pierwszy pochodzi z Chin. Rozwiązanie: Suma wyników 20. Korzystne wyniki 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Odpowiedź: 0,25.

10. Na zawody w rzucie kulą zgłosiło się 4 zawodników z Francji, 5 z Anglii i 3 z Włoch. Kolejność występów ustalana jest w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że piąty zawodnik startujący w zawodach pochodzi z Włoch. Rozwiązanie: Liczba wszystkich możliwych wyników wynosi 12 (4 + 5 + 3 = 12). Liczba korzystnych wyników wynosi 3. P(A)=3:12=0,25. Odpowiedź: 0,25.

11. Przed rozpoczęciem pierwszej rundy mistrzostw w badmintona uczestnicy są losowo dzieleni na pary grające. W sumie w mistrzostwach bierze udział 26 badmintonistów, w tym 12 zawodników z Rosji, w tym Władimir Orłow. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pierwszej rundzie Władimir Orłow zagra z dowolnym badmintonistą z Rosji? Rozwiązanie: Suma wyników – 25 (Władimir Orłow z 25 badmintonistami). Korzystne wyniki – (12-1)=11. P(A) = 11:25 = 0,44. Odpowiedź: 0,44.

12. Konkurs wykonawców trwa 5 dni. W sumie ogłoszono 75 występów – po jednym z każdego kraju. Pierwszego dnia odbędzie się 27 przedstawień, pozostałe zostaną równo rozłożone na pozostałe dni. Kolejność występów ustalana jest w drodze losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeciego dnia zawodów wystąpi reprezentant Rosji? Decyzja: Suma wyników – 75. Trzeciego dnia wystąpią wykonawcy z Rosji. Korzystne wyniki – (75-27):4=12. P(A)=12: 75 = 0,16. Odpowiedź: 0,16.

13. Kola wybiera dwucyfrową liczbę. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest podzielna przez 5. Rozwiązanie: Liczby dwucyfrowe: 10;11;12;…;99. Suma wyników – 90. Liczby podzielne przez 5: 10; 15; 20; 25; ...; 90; 95. Korzystne wyniki – 18. P(A)=18:90=0,2. Odpowiedź: 0,2.

RÓŻNE ZADANIA OKREŚLANIA PRAWIDŁOWOŚCI

14. Fabryka produkuje torby. Średnio na każde 170 worków jakościowych przypada sześć worków z wadami ukrytymi. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiona torba będzie wysokiej jakości. Zaokrąglij wynik do części setnych. Rozwiązanie: Wyniki całkowite – 176. Wyniki korzystne – 170. P(A)=170:176 ≈ 0,97. Odpowiedź: 0,97.

15. Średnio na 100 sprzedanych akumulatorów ładowane są 94 akumulatory. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiony akumulator nie jest naładowany. Rozwiązanie: Wyniki całkowite – 100. Wyniki korzystne – 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Odpowiedź: 0,06.

ŹRÓDŁA http://mathgia.ru http://www.schoolmathematics.ru

Teoria prawdopodobieństwa

1. Petya wybiera trzycyfrową liczbę. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest ona podzielna przez 50.
2. Petya wybiera trzycyfrową liczbę. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczba ta jest podzielna przez 11.
3. Na talerzu znajduje się 10 placków: 2 z mięsem, 6 z kapustą i 2 z wiśniami. Petya wybiera losowo jedno ciasto. Znajdź prawdopodobieństwo, że skończy z wiśnią.
4. Na talerzu znajduje się 30 placków: 3 z mięsem, 18 z kapustą i 9 z wiśniami. Vova wybiera losowo jedno ciasto. Znajdź prawdopodobieństwo, że skończy z wiśnią.
5. Firma taksówkowa ma obecnie do dyspozycji 30 samochodów: 7 czarnych, 6 żółtych i 17 zielonych. Na wezwanie odpowiedział jeden z samochodów, który znajdował się najbliżej klienta. Znajdź prawdopodobieństwo, że przyjedzie do niego żółta taksówka.
6. Zgodnie z warunkami promocji co dziesiąta puszka kawy zawiera nagrodę. Nagrody są losowo rozdzielane pomiędzy pule. Petya kupuje puszkę kawy w nadziei na wygranie nagrody. Znajdź prawdopodobieństwo, że Petya nie znajdzie nagrody w swoim słoiku.
7. Igor wraz z tatą postanowili przejechać się na diabelskim młynie. Na kole znajduje się w sumie dwadzieścia budek, z czego 3 są niebieskie, 14 zielone, a pozostałe czerwone. Kabiny na zmianę zbliżają się do platformy wejściowej. Znajdź prawdopodobieństwo, że Igor będzie jechał czerwoną taksówką.
8. Petya i tata postanowili pojechać na diabelski młyn. Na kole znajduje się w sumie dwanaście budek, z czego 3 są niebieskie, 6 zielone, a pozostałe czerwone. Kabiny na zmianę zbliżają się do platformy wejściowej. Znajdź prawdopodobieństwo, że Petya pojedzie czerwonym samochodem.
9. Dziadek ma 10 filiżanek: 7 z czerwonymi kwiatami, reszta z niebieskimi. Dziadek nalewa herbatę do losowo wybranej filiżanki. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie to filiżanka z niebieskimi kwiatami.
10. Babcia ma 20 filiżanek: 4 z czerwonymi kwiatami, reszta z niebieskimi. Babcia nalewa herbatę do losowo wybranej filiżanki. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie to kubek z niebieskimi kwiatami.
11. Na egzamin dostępnych jest 50 biletów. Petya nie nauczył się 9 z nich. Znajdź prawdopodobieństwo, że trafi na wyuczony bilet.
12. Na egzamin dostępnych jest 50 biletów. Petya nie nauczył się 1 z nich. Znajdź prawdopodobieństwo, że trafi na wyuczony bilet.
13. Komitet Rodziców zakupił 10 puzzli na prezent dla dzieci na koniec roku, 2 z samochodami i 8 z widokami miast. Prezenty są rozdawane losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że Vova dostanie zagadkę z samochodem.
14. Komitet Rodziców zakupił 25 puzzli na zakończenie roku szkolnego dla dzieci, 22 z samochodami i 3 z widokami miast. Prezenty są rozdawane losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że Dima zdobędzie puzzle z samochodem.
15. Średnio na każde 100 latarek siedem jest uszkodzonych. Znajdź prawdopodobieństwo zakupu działającej latarki.
16. Średnio na każde 75 latarek siedem jest uszkodzonych. Znajdź prawdopodobieństwo zakupu działającej latarki.
17. Średnio na 100 sprzedanych akumulatorów ładowanych jest 91 akumulatorów. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiony akumulator nie jest naładowany.
18. Średnio na każde 80 sprzedanych akumulatorów ładowanych jest 68 akumulatorów. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiony akumulator nie jest naładowany.
19. Sasha wybiera losowo dwucyfrową liczbę. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakończy się na 6.
20. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając kostką otrzymasz nieparzystą liczbę punktów.
21. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając kostką wypadnie 1.
22. Wrzucono jednocześnie dwie symetryczne monety. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie reszka i reszka?
23. Jednocześnie rzuca się trzema symetrycznymi monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną dwie reszki i jedna reszka?
24. W klasie jest 21 uczniów, wśród nich dwie przyjaciółki - Petya i Vasya. Na lekcji wychowania fizycznego klasa zostaje losowo podzielona na 7 równych grup. Znajdź prawdopodobieństwo, że Petya i Wasia znajdują się w tej samej grupie.
25. Przed rozpoczęciem meczu piłkarskiego sędzia rzuca monetą, aby określić, która drużyna będzie pierwsza w posiadaniu piłki. Drużyna A musi rozegrać trzy mecze – z drużyną B, z drużyną C i z drużyną D. Znajdź prawdopodobieństwo, że we wszystkich meczach drużyna A będzie miała piłkę jako pierwsza.
26. W zawodach pchnięcia kulą bierze udział 6 zawodników z Grecji, 4 zawodników z Bułgarii, 3 zawodników z Rumunii i 7 z Węgier. Kolejność startu zawodników ustalana jest w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że ostatni zawodnik pochodzi z Węgier.
27. W zawodach pchnięcia kulą bierze udział 4 zawodników z Danii, 8 zawodników ze Szwecji, 4 zawodników z Rumunii i 9 z Węgier. Kolejność startu zawodników ustalana jest w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że ostatni zawodnik pochodzi ze Szwecji.
28. W losowym eksperymencie rzucamy dwiema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma wyniesie 9 punktów. Zaokrąglij wynik do części setnych.
29. W losowym eksperymencie rzucamy trzema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma wyniesie 10 punktów. Zaokrąglij wynik do części setnych.
30. Na egzaminie z geometrii student otrzymuje jedno zadanie ze zbioru. Prawdopodobieństwo, że ten problem dotyczy tematu „Trójkąty”, wynosi 0,5. Prawdopodobieństwo, że będzie to zadanie na temat „Koło” wynosi 0,25. W zbiorze nie ma problemów, które jednocześnie dotyczą tych dwóch tematów. Znajdź prawdopodobieństwo, że student dostanie na egzaminie zadanie z jednego z tych dwóch tematów.
31. Na egzaminie z geometrii student otrzymuje jedno zadanie ze zbioru. Prawdopodobieństwo, że ten problem dotyczy tematu „Koło” wynosi 0,45. Prawdopodobieństwo, że będzie to zadanie z tematu „Kąty” wynosi 0,5. W zbiorze nie ma problemów, które jednocześnie dotyczą tych dwóch tematów. Znajdź prawdopodobieństwo, że student dostanie na egzaminie zadanie z jednego z tych dwóch tematów.
32. Strzelec strzela do celów czterokrotnie. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,5. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafił w tarcze pierwsze 3 razy, a ostatni chybił.
33. Strzelec strzela do celów trzykrotnie. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,7. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafił w tarczę za pierwszym razem, a dwa razy spudłował.
34. Strzelec strzela do celów trzykrotnie. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,9. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec dwukrotnie trafi w cel i raz spudłuje.
35. Strzelec strzela do celów trzykrotnie. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,5. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec dwukrotnie trafi w cel i raz spudłuje.
36. W dziewiątej klasie ekonomicznej jest 24 chłopców i 6 dziewcząt. W drodze losowania wybierają jednego oficera dyżurnego dla klasy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to chłopiec?
37. W dziewiątej klasie matematycznej jest 2 chłopców i 23 dziewczynki. W drodze losowania wybierają jednego oficera dyżurnego w każdej klasie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to dziewczynka?
38. Prawdopodobieństwo, że nowy komputer będzie służył dłużej niż rok, wynosi 0,98. Prawdopodobieństwo, że potrwa to dłużej niż dwa lata, wynosi 0,84. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie to trwało krócej niż dwa lata, ale dłużej niż rok.
39. Prawdopodobieństwo, że nowy skaner wytrzyma dłużej niż rok, wynosi 0,96. Prawdopodobieństwo, że potrwa to dłużej niż dwa lata, wynosi 0,87. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie to trwało krócej niż dwa lata, ale dłużej niż rok.
40. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba naturalna z zakresu od 25 do 39 będzie podzielna przez 5?
41. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba naturalna z zakresu od 15 do 36 będzie podzielna przez 2?
42. Podczas Olimpiady Chemicznej uczestnicy siedzą w trzech salach lekcyjnych. W dwóch pierwszych jest po 180 osób, pozostali przenoszą się do rezerwowej sali w innym budynku. Po przeliczeniu okazało się, że ogółem uczestników było 450. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczestnik napisał konkurs w wolnej klasie.
43. Podczas Olimpiady Matematycznej uczestnicy siedzą w trzech salach lekcyjnych. W dwóch pierwszych jest po 120 osób, pozostali przenoszą się do rezerwowej sali w innym budynku. Po przeliczeniu okazało się, że łącznie było 300 uczestników. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczestnik napisał konkurs w wolnej klasie.
44. Prawdopodobieństwo, że Petya poprawnie rozwiąże więcej niż 11 problemów na teście z fizyki, wynosi 0,65. Prawdopodobieństwo, że poprawnie rozwiąże więcej niż 10 zadań, wynosi 0,71. Znajdź prawdopodobieństwo, że Petya rozwiąże poprawnie dokładnie 11 problemów.
45. Prawdopodobieństwo, że Vasya poprawnie rozwiąże więcej niż 12 zadań na teście z matematyki, wynosi 0,7. Prawdopodobieństwo, że poprawnie rozwiąże więcej niż 11 zadań, wynosi 0,79. Znajdź prawdopodobieństwo, że Wasia rozwiąże poprawnie dokładnie 12 zadań.
46. Z centrum dzielnicy do wsi codziennie kursuje autobus. Prawdopodobieństwo, że w poniedziałek w autobusie będzie mniej niż 22 pasażerów, wynosi 0,86. Prawdopodobieństwo, że będzie mniej niż 9 pasażerów, wynosi 0,5. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczba pasażerów będzie wynosić od 9 do 21.
47. Z centrum dzielnicy do wsi codziennie kursuje autobus. Prawdopodobieństwo, że w poniedziałek w autobusie będzie mniej niż 21 pasażerów, wynosi 0,96. Prawdopodobieństwo, że będzie mniej niż 11 pasażerów, wynosi 0,51. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczba pasażerów będzie wynosić od 11 do 20.
48. Automatyczna linia produkuje akumulatory. Prawdopodobieństwo, że gotowa bateria jest wadliwa, wynosi 0,05. Przed zapakowaniem każdy akumulator przechodzi przez system kontroli. Prawdopodobieństwo, że system odrzuci wadliwy akumulator, wynosi 0,99. Prawdopodobieństwo, że system omyłkowo odrzuci działający akumulator, wynosi 0,03. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany wyprodukowany akumulator zostanie odrzucony przez system kontroli.
49. Automatyczna linia produkuje akumulatory. Prawdopodobieństwo, że gotowa bateria jest wadliwa, wynosi 0,03. Przed zapakowaniem każdy akumulator przechodzi przez system kontroli. Prawdopodobieństwo, że system odrzuci wadliwy akumulator, wynosi 0,97. Prawdopodobieństwo, że system omyłkowo odrzuci działający akumulator, wynosi 0,05. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany wyprodukowany akumulator zostanie odrzucony przez system kontroli.