Jak rozwiązywać proste równania logarytmiczne. Logarytmy: przykłady i rozwiązania

Równania logarytmiczne. Od prostych do złożonych.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Co to jest równanie logarytmiczne?

To jest równanie z logarytmami. Jestem zaskoczony, prawda?) Następnie wyjaśnię. Jest to równanie, w którym znajdują się niewiadome (x) i wyrażenia z nimi wewnątrz logarytmów. I tylko tam! To jest ważne.

Oto kilka przykładów równania logarytmiczne:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Cóż, rozumiesz... )

Notatka! Znajdują się najróżniejsze wyrażenia z X wyłącznie w logarytmach. Jeśli nagle gdzieś w równaniu pojawi się X poza, Na przykład:

log 2 x = 3+x,

będzie to już równanie typu mieszanego. Równania takie nie mają jasnych zasad ich rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Nawiasem mówiąc, istnieją równania mieszczące się w logarytmach tylko numery. Na przykład:

Co mogę powiedzieć? Masz szczęście, jeśli na to trafisz! Logarytm z liczbami to jakiś numer. To wszystko. Aby rozwiązać takie równanie, wystarczy znać właściwości logarytmów. Znajomość specjalnych zasad, technik dostosowanych specjalnie do rozwiązywania równania logarytmiczne, nie jest tu wymagane.

Więc, co to jest równanie logarytmiczne- domyśliłam się.

Jak rozwiązywać równania logarytmiczne?

Rozwiązanie równania logarytmiczne- sprawa faktycznie nie jest bardzo prosta. Zatem nasza sekcja to czwórka... Wymagana jest przyzwoita wiedza na różne powiązane tematy. Ponadto równania te mają szczególną cechę. Ta funkcja jest tak ważna, że ​​można ją bezpiecznie nazwać głównym problemem w rozwiązywaniu równań logarytmicznych. Zajmiemy się tym problemem szczegółowo w następnej lekcji.

Na razie nie martw się. Pójdziemy właściwą drogą od prostych do złożonych. Używając konkretnych przykładów. Najważniejsze jest, aby zagłębić się w proste rzeczy i nie leniwie podążać za linkami, umieściłem je tam nie bez powodu... I wszystko się ułoży. Koniecznie.

Zacznijmy od najbardziej elementarnych, najprostszych równań. Aby je rozwiązać, wskazane jest posiadanie pojęcia logarytmu, ale nic więcej. Po prostu nie mam pojęcia logarytm, podjąć decyzję logarytmiczny równania - w jakiś sposób nawet niezręczne... Bardzo odważne, powiedziałbym).

Najprostsze równania logarytmiczne.

Są to równania postaci:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proces rozwiązania dowolne równanie logarytmiczne polega na przejściu od równania z logarytmami do równania bez nich. W najprostszych równaniach przejście to odbywa się w jednym kroku. Dlatego są najprostsze.)

A takie równania logarytmiczne są zaskakująco łatwe do rozwiązania. Sam zobacz.

Rozwiążmy pierwszy przykład:

log 3 x = log 3 9

Aby rozwiązać ten przykład, nie trzeba wiedzieć prawie nic, tak... Czysta intuicja!) Czego potrzebujemy zwłaszcza nie podoba Ci się ten przykład? Co-co... Nie lubię logarytmów! Prawidłowy. Pozbądźmy się ich więc. Przyglądamy się uważnie temu przykładowi i rodzi się w nas naturalne pragnienie... Wręcz nie do odparcia! Weź i całkowicie odrzuć logarytmy. I co jest dobre, to Móc Do! Matematyka pozwala. Logarytmy znikają odpowiedź to:

Świetnie, prawda? Można (i należy) to zawsze robić. Eliminowanie logarytmów w ten sposób jest jednym z głównych sposobów rozwiązywania równań i nierówności logarytmicznych. W matematyce operacja ta nazywa się wzmocnienie. Oczywiście istnieją zasady takiej likwidacji, ale jest ich niewiele. Pamiętać:

Możesz bez obaw eliminować logarytmy, jeśli mają:

a) te same podstawy liczbowe

c) logarytmy od lewej do prawej są czyste (bez żadnych współczynników) i znajdują się w doskonałej izolacji.

Wyjaśnię ostatni punkt. Powiedzmy, że w równaniu

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logarytmów nie można usunąć. Dwóch po prawej na to nie pozwala. Współczynnik, wiesz... W przykładzie

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Niemożliwe jest również wzmocnienie równania. Po lewej stronie nie ma pojedynczego logarytmu. Jest ich dwóch.

Krótko mówiąc, możesz usunąć logarytmy, jeśli równanie wygląda tak i tylko tak:

log a (.....) = log a (.....)

W nawiasach, tam gdzie jest wielokropek, może być jakiekolwiek wyrażenia. Proste, bardzo złożone, wszelkiego rodzaju. Cokolwiek. Ważne, że po wyeliminowaniu logarytmów nam zostaje prostsze równanie. Zakłada się oczywiście, że wiesz już, jak rozwiązywać równania liniowe, kwadratowe, ułamkowe, wykładnicze i inne bez logarytmów.)

Teraz możesz łatwo rozwiązać drugi przykład:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Właściwie wszystko jest ustalane w umyśle. Potencjonujemy, otrzymujemy:

Cóż, czy to bardzo trudne?) Jak widać, logarytmiczny częścią rozwiązania równania jest tylko w eliminowaniu logarytmów... A potem pojawia się rozwiązanie pozostałego równania bez nich. Banalna sprawa.

Rozwiążmy trzeci przykład:

log 7 (50x-1) = 2

Widzimy, że po lewej stronie znajduje się logarytm:

Pamiętajmy, że ten logarytm jest liczbą, do której należy podnieść podstawę (czyli siedem), aby otrzymać wyrażenie sublogarytmiczne, czyli: (50x-1).

Ale ta liczba to dwa! Według równania To jest:

To w zasadzie wszystko. Logarytm zniknął, Pozostaje nieszkodliwe równanie:

Rozwiązaliśmy to równanie logarytmiczne w oparciu wyłącznie o znaczenie logarytmu. Czy nadal łatwiej jest wyeliminować logarytmy?) Zgadzam się. Nawiasem mówiąc, jeśli utworzysz logarytm z dwóch, możesz rozwiązać ten przykład poprzez eliminację. Dowolną liczbę można zamienić na logarytm. Co więcej, tak, jak tego potrzebujemy. Bardzo przydatna technika przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i (zwłaszcza!) nierówności.

Nie wiesz, jak utworzyć logarytm z liczby!? W porządku. Sekcja 555 szczegółowo opisuje tę technikę. Możesz go opanować i wykorzystać w pełni! To znacznie zmniejsza liczbę błędów.

Czwarte równanie rozwiązuje się zupełnie podobnie (z definicji):

Otóż ​​to.

Podsumujmy tę lekcję. Przyjrzeliśmy się rozwiązaniu najprostszych równań logarytmicznych na przykładach. To jest bardzo ważne. I nie tylko dlatego, że takie równania pojawiają się na sprawdzianach i egzaminach. Faktem jest, że nawet najbardziej złe i skomplikowane równania z konieczności sprowadzają się do najprostszych!

Właściwie najprostsze równania stanowią końcową część rozwiązania każdy równania. I tę ostatnią część należy rozumieć ściśle! I dalej. Koniecznie przeczytaj tę stronę do końca. Jest tam niespodzianka...)

Teraz sami decydujemy. Stańmy się lepsi, że tak powiem...)

Znajdź pierwiastek (lub sumę pierwiastków, jeśli jest ich kilka) równań:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Odpowiedzi (oczywiście w nieładzie): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Co, nie wszystko się układa? Dzieje się. Nie martw się! Sekcja 555 wyjaśnia rozwiązania wszystkich tych przykładów w jasny i szczegółowy sposób. Tam na pewno się o tym przekonasz. Poznasz także przydatne techniki praktyczne.

Wszystko się udało!? Wszystkie przykłady „jeden został”?) Gratulacje!

Czas wyjawić Ci gorzką prawdę. Pomyślne rozwiązanie tych przykładów nie gwarantuje sukcesu w rozwiązaniu wszystkich pozostałych równań logarytmicznych. Nawet te najprostsze, takie jak te. Niestety.

Faktem jest, że rozwiązanie dowolnego równania logarytmicznego (nawet najbardziej elementarnego!) składa się z dwie równe części. Rozwiązanie równania i praca z ODZ. Opanowaliśmy jedną część - rozwiązanie samego równania. To nie jest takie trudne Prawidłowy?

Na potrzeby tej lekcji specjalnie wybrałem przykłady, w których DL w żaden sposób nie wpływa na odpowiedź. Ale nie wszyscy są tak mili jak ja, prawda?...)

Dlatego konieczne jest opanowanie drugiej części. OZ. Jest to główny problem rozwiązywania równań logarytmicznych. I nie dlatego, że jest to trudne – ta część jest jeszcze łatwiejsza niż pierwsza. Ale dlatego, że po prostu zapominają o ODZ. Albo nie wiedzą. Lub oba). I spadają znienacka...

Na następnej lekcji zajmiemy się tym problemem. Wtedy możesz śmiało podjąć decyzję każdy proste równania logarytmiczne i podejście do całkiem solidnych zadań.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań, aby ulepszyć świadczone przez nas usługi i przedstawić Państwu rekomendacje dotyczące naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Tym filmem rozpoczynam długą serię lekcji na temat równań logarytmicznych. Teraz masz przed sobą trzy przykłady, na podstawie których nauczymy się rozwiązywać najprostsze problemy, które nazywane są - pierwotniaki.

log 0,5 (3x - 1) = -3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Przypomnę, że najprostsze równanie logarytmiczne wygląda następująco:

log a f (x) = b

W tym przypadku ważne jest, aby zmienna x występowała tylko wewnątrz argumentu, czyli tylko w funkcji f(x). A liczby a i b są tylko liczbami i w żadnym wypadku funkcjami zawierającymi zmienną x.

Podstawowe metody rozwiązywania

Istnieje wiele sposobów rozwiązywania takich konstrukcji. Na przykład większość nauczycieli w szkole oferuje tę metodę: Natychmiast wyraź funkcję f (x) za pomocą wzoru F ( x) = a b . Oznacza to, że gdy natkniesz się na najprostszą konstrukcję, możesz od razu przejść do rozwiązania, bez dodatkowych działań i konstrukcji.

Tak, oczywiście, decyzja będzie słuszna. Jednak problem z tą formułą polega na tym, że większość studentów nie rozumiem, skąd się bierze i dlaczego podnosimy literę a do litery b.

W rezultacie często widzę bardzo irytujące błędy, gdy na przykład te litery są zamieniane. Tę formułę trzeba albo zrozumieć, albo nafaszerować, a druga metoda prowadzi do błędów w najbardziej nieodpowiednich i kluczowych momentach: podczas egzaminów, sprawdzianów itp.

Dlatego wszystkim moim uczniom sugeruję porzucenie standardowej formuły szkolnej i skorzystanie z drugiego podejścia do rozwiązywania równań logarytmicznych, które, jak zapewne domyślacie się z nazwy, nazywa się Forma kanoniczna.

Idea formy kanonicznej jest prosta. Spójrzmy jeszcze raz na nasz problem: po lewej stronie mamy log a, a przez literę a mamy na myśli liczbę, a w żadnym wypadku funkcję zawierającą zmienną x. W związku z tym litera ta podlega wszystkim ograniczeniom nałożonym na podstawę logarytmu. mianowicie:

1 ≠ a > 0

Z drugiej strony z tego samego równania widzimy, że logarytm musi być równy liczbie b i na tę literę nie są nakładane żadne ograniczenia, ponieważ może ona przyjmować dowolną wartość - zarówno dodatnią, jak i ujemną. Wszystko zależy od tego, jakie wartości przyjmuje funkcja f(x).

I tutaj pamiętamy naszą wspaniałą zasadę, że dowolną liczbę b można przedstawić jako logarytm o podstawie a do potęgi b:

b = log a a b

Jak zapamiętać tę formułę? Tak, bardzo proste. Napiszmy następującą konstrukcję:

b = b 1 = b log a a

Oczywiście w tym przypadku pojawiają się wszystkie ograniczenia, które spisaliśmy na początku. Skorzystajmy teraz z podstawowej własności logarytmu i wprowadźmy mnożnik b jako potęgę a. Otrzymujemy:

b = b 1 = b log a a = log a a b

W rezultacie oryginalne równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

To wszystko. Nowa funkcja nie zawiera już logarytmu i można ją rozwiązać za pomocą standardowych technik algebraicznych.

Oczywiście ktoś teraz zaprotestuje: po co w ogóle trzeba było wymyślić jakąś formułę kanoniczną, po co wykonywać dwa dodatkowe, niepotrzebne kroki, skoro można było od razu przejść od pierwotnego projektu do formuły ostatecznej? Tak, choćby dlatego, że większość uczniów nie rozumie, skąd wzięła się ta formuła i w rezultacie regularnie popełnia błędy podczas jej stosowania.

Ale ta sekwencja działań, składająca się z trzech kroków, pozwala rozwiązać oryginalne równanie logarytmiczne, nawet jeśli nie rozumiesz, skąd pochodzi ostateczna formuła. Nawiasem mówiąc, ten wpis nazywa się formułą kanoniczną:

log a f (x) = log a a b

Wygoda formy kanonicznej polega również na tym, że można za jej pomocą rozwiązywać bardzo szeroką klasę równań logarytmicznych, a nie tylko te najprostsze, które dziś rozważamy.

Przykłady rozwiązań

Spójrzmy teraz na prawdziwe przykłady. Zdecydujmy więc:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Przepiszmy to tak:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3

Wielu uczniów spieszy się i próbuje natychmiast podnieść liczbę 0,5 do potęgi, która przyszła nam z pierwotnego problemu. Rzeczywiście, jeśli jesteś już dobrze przeszkolony w rozwiązywaniu takich problemów, możesz od razu wykonać ten krok.

Jeśli jednak dopiero zaczynasz studiować ten temat, lepiej nigdzie się nie spieszyć, aby uniknąć popełniania ofensywnych błędów. Mamy więc postać kanoniczną. Mamy:

3x - 1 = 0,5 -3

Nie jest to już równanie logarytmiczne, ale liniowe względem zmiennej x. Aby rozwiązać ten problem, spójrzmy najpierw na liczbę 0,5 do potęgi −3. Pamiętaj, że 0,5 to 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Konwertuj wszystkie ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe podczas rozwiązywania równania logarytmicznego.

Przepisujemy i otrzymujemy:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

To wszystko, mamy odpowiedź. Pierwszy problem został rozwiązany.

Drugie zadanie

Przejdźmy do drugiego zadania:

Jak widzimy, równanie to nie jest już najprostsze. Choćby dlatego, że po lewej stronie jest różnica i ani jednego logarytmu do jednej podstawy.

Dlatego musimy jakoś pozbyć się tej różnicy. W tym przypadku wszystko jest bardzo proste. Przyjrzyjmy się bliżej podstawom: po lewej stronie znajduje się liczba pod pierwiastkiem:

Zalecenie ogólne: we wszystkich równaniach logarytmicznych staraj się pozbyć rodników, tj. z wpisów z pierwiastkami i przejść do funkcji potęgowych, po prostu dlatego, że wykładniki tych potęg łatwo wyjąć ze znaku logarytmu i ostatecznie takie wpis znacznie upraszcza i przyspiesza obliczenia. Zapiszmy to w ten sposób:

Przypomnijmy sobie teraz niezwykłą właściwość logarytmu: potęgi można wyprowadzić zarówno z argumentu, jak i z podstawy. W przypadku podstaw dzieje się co następuje:

log a k b = 1/k loga b

Innymi słowy, liczba, która była w potędze bazowej, jest przesuwana do przodu i jednocześnie odwracana, czyli staje się liczbą odwrotną. W naszym przypadku stopień podstawowy wynosił 1/2. Dlatego możemy to wyliczyć jako 2/1. Otrzymujemy:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

Uwaga: w żadnym wypadku nie należy na tym etapie pozbywać się logarytmów. Przypomnij sobie matematykę w klasach 4-5 i kolejność działań: najpierw wykonuje się mnożenie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie. W tym przypadku odejmujemy jeden z tych samych elementów od 10 elementów:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Teraz nasze równanie wygląda tak, jak powinno. Jest to najprostsza konstrukcja, którą rozwiązujemy za pomocą postaci kanonicznej:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

To wszystko. Drugi problem został rozwiązany.

Trzeci przykład

Przejdźmy do trzeciego zadania:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Przypomnę następujący wzór:

log b = log 10 b

Jeśli z jakiegoś powodu jesteś zdezorientowany zapisem log b , to podczas wykonywania wszystkich obliczeń możesz po prostu napisać log 10 b . Z logarytmami dziesiętnymi możesz pracować w taki sam sposób, jak z innymi: bierz potęgi, dodawaj i przedstawiaj dowolne liczby w postaci lg 10.

To właśnie te właściwości wykorzystamy teraz do rozwiązania problemu, ponieważ nie jest to najprostszy, który zapisaliśmy na samym początku naszej lekcji.

Po pierwsze, zauważ, że współczynnik 2 przed lg 5 można dodać i stanie się potęgą o podstawie 5. Ponadto wolny wyraz 3 można również przedstawić jako logarytm - bardzo łatwo to zaobserwować na podstawie naszego zapisu.

Oceń sam: dowolną liczbę można przedstawić jako logarytm o podstawie 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Przepiszmy pierwotne zadanie biorąc pod uwagę uzyskane zmiany:

log (x - 3) = log 1000 + log 25
log (x - 3) = log 1000 25
log (x - 3) = log 25 000

Przed nami znowu postać kanoniczna, a otrzymaliśmy ją bez przechodzenia przez etap transformacji, tj. najprostsze równanie logarytmiczne nigdzie się nie pojawiło.

Właśnie o tym mówiłem na samym początku lekcji. Forma kanoniczna pozwala rozwiązać szerszą klasę problemów niż standardowa formuła szkolna, którą podaje większość nauczycieli szkolnych.

Cóż, to wszystko, pozbywamy się znaku logarytmu dziesiętnego i otrzymujemy prostą konstrukcję liniową:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Wszystko! Problem jest rozwiązany.

Uwaga dotycząca zakresu

W tym miejscu chciałbym poczynić ważną uwagę dotyczącą zakresu definicji. Z pewnością teraz znajdą się uczniowie i nauczyciele, którzy powiedzą: „Kiedy rozwiązujemy wyrażenia za pomocą logarytmów, musimy pamiętać, że argument f (x) musi być większy od zera!” W związku z tym pojawia się logiczne pytanie: dlaczego nie wymagaliśmy spełnienia tej nierówności w żadnym z rozważanych problemów?

Nie martw się. W takich przypadkach nie pojawią się żadne dodatkowe korzenie. A to kolejny świetny trik, który pozwala przyspieszyć rozwiązanie. Wystarczy wiedzieć, że jeśli w zadaniu zmienna x występuje tylko w jednym miejscu (a raczej w jednym argumencie pojedynczego logarytmu), a nigdzie indziej w naszym przypadku zmienna x nie występuje, to zapisz dziedzinę definicji nie ma potrzeby, ponieważ zostanie on wykonany automatycznie.

Oceńcie sami: w pierwszym równaniu otrzymaliśmy, że 3x − 1, czyli argument powinien wynosić 8. To automatycznie oznacza, że ​​3x − 1 będzie większe od zera.

Z takim samym sukcesem możemy napisać, że w drugim przypadku x powinno być równe 5 2, czyli z pewnością jest większe od zera. I w trzecim przypadku, gdzie x + 3 = 25 000, czyli znowu oczywiście więcej niż zero. Innymi słowy, zakres jest spełniony automatycznie, ale tylko wtedy, gdy x występuje tylko w argumencie tylko jednego logarytmu.

To wszystko, co musisz wiedzieć, aby rozwiązać najprostsze problemy. Sama ta reguła, wraz z regułami transformacji, pozwoli Ci rozwiązać bardzo szeroką klasę problemów.

Ale bądźmy szczerzy: aby w końcu zrozumieć tę technikę, aby dowiedzieć się, jak zastosować postać kanoniczną równania logarytmicznego, nie wystarczy obejrzeć jedną lekcję wideo. Dlatego już teraz pobierz opcje niezależnych rozwiązań, które są dołączone do tej lekcji wideo i rozpocznij rozwiązywanie przynajmniej jednego z tych dwóch niezależnych dzieł.

Zajmie Ci to dosłownie kilka minut. Ale efekt takiego treningu będzie znacznie wyższy, niż gdybyś po prostu obejrzał tę lekcję wideo.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci zrozumieć równania logarytmiczne. Używaj formy kanonicznej, upraszczaj wyrażenia, korzystając z zasad pracy z logarytmami - a nie będziesz się bać żadnych problemów. To wszystko, co mam na dzisiaj.

Biorąc pod uwagę dziedzinę definicji

Porozmawiajmy teraz o dziedzinie definicji funkcji logarytmicznej i jej wpływie na rozwiązywanie równań logarytmicznych. Rozważmy konstrukcję formularza

log a f (x) = b

Takie wyrażenie nazywa się najprostszym - zawiera tylko jedną funkcję, a liczby a i b są tylko liczbami, a w żadnym wypadku funkcją zależną od zmiennej x. Można to rozwiązać bardzo prosto. Wystarczy skorzystać ze wzoru:

b = log a a b

Ta formuła jest jedną z kluczowych właściwości logarytmu i po podstawieniu do naszego pierwotnego wyrażenia otrzymamy, co następuje:

log a f (x) = log a a b

fa (x) = za b

To formuła znana z podręczników szkolnych. Wielu uczniów prawdopodobnie będzie miało pytanie: ponieważ w pierwotnym wyrażeniu funkcja f (x) znajduje się pod znakiem log, nałożone są na nią następujące ograniczenia:

f(x) > 0

To ograniczenie ma zastosowanie, ponieważ logarytm liczb ujemnych nie istnieje. Może zatem w wyniku tego ograniczenia należałoby wprowadzić sprawdzanie odpowiedzi? Może trzeba je wstawić do źródła?

Nie, w najprostszych równaniach logarytmicznych dodatkowe sprawdzanie nie jest konieczne. I własnie dlatego. Spójrz na naszą ostateczną formułę:

fa (x) = za b

Faktem jest, że liczba a jest w każdym przypadku większa od 0 - wymóg ten narzuca również logarytm. Liczba a jest podstawą. W tym przypadku na liczbę b nie nakłada się żadnych ograniczeń. Ale to nie ma znaczenia, ponieważ niezależnie od tego, do jakiej potęgi podniesiemy liczbę dodatnią, na wyjściu nadal otrzymamy liczbę dodatnią. Zatem wymóg f(x) > 0 jest spełniony automatycznie.

Naprawdę warto sprawdzić dziedzinę funkcji pod znakiem log. Mogą istnieć dość złożone struktury i zdecydowanie musisz mieć na nie oko podczas procesu rozwiązywania. Przyjrzyjmy się.

Pierwsze zadanie:

Krok pierwszy: przelicz ułamek po prawej stronie. Otrzymujemy:

Pozbywamy się znaku logarytmu i otrzymujemy zwykłe irracjonalne równanie:

Z uzyskanych pierwiastków odpowiada nam tylko pierwszy, ponieważ drugi pierwiastek jest mniejszy od zera. Jedyną odpowiedzią będzie cyfra 9. To wszystko, problem rozwiązany. Nie jest wymagane żadne dodatkowe sprawdzanie, czy wyrażenie pod znakiem logarytmu jest większe od 0, bo nie tylko jest większe od 0, ale zgodnie z warunkiem równania jest równe 2. Zatem wymóg „większy od zera” ” zostaje spełnione automatycznie.

Przejdźmy do drugiego zadania:

Tutaj wszystko jest takie samo. Przepisujemy konstrukcję, zastępując potrójną:

Pozbywamy się znaków logarytmu i otrzymujemy irracjonalne równanie:

Podnosimy obie strony do kwadratu, biorąc pod uwagę ograniczenia i otrzymujemy:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7 x + 6 = 0

Powstałe równanie rozwiązujemy poprzez dyskryminator:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Ale x = −6 nam nie odpowiada, ponieważ jeśli podstawimy tę liczbę do naszej nierówności, otrzymamy:

−6 + 4 = −2 < 0

W naszym przypadku wymagane jest, aby była większa od 0 lub w skrajnych przypadkach równa. Ale x = −1 nam odpowiada:

−1 + 4 = 3 > 0

Jedyną odpowiedzią w naszym przypadku będzie x = −1. To jest rozwiązanie. Wróćmy do samego początku naszych obliczeń.

Główny wniosek z tej lekcji jest taki, że nie trzeba sprawdzać ograniczeń funkcji w prostych równaniach logarytmicznych. Ponieważ podczas procesu rozwiązywania wszystkie ograniczenia są spełniane automatycznie.

Nie oznacza to jednak, że można całkowicie zapomnieć o sprawdzaniu. W procesie pracy nad równaniem logarytmicznym może ono przekształcić się w irracjonalne, które będzie miało swoje własne ograniczenia i wymagania dla prawej strony, co widzieliśmy dzisiaj w dwóch różnych przykładach.

Rozwiązuj takie problemy i zachowaj szczególną ostrożność, jeśli w argumencie znajduje się rdzeń.

Równania logarytmiczne o różnych podstawach

Kontynuujemy badanie równań logarytmicznych i przyglądamy się dwóm kolejnym całkiem interesującym technikom, za pomocą których modne jest rozwiązywanie bardziej złożonych konstrukcji. Ale najpierw przypomnijmy sobie, jak rozwiązuje się najprostsze problemy:

log a f (x) = b

W tym wpisie aib są liczbami, a w funkcji f(x) zmienna x musi być obecna i tylko tam, czyli x musi być tylko w argumencie. Takie równania logarytmiczne przekształcimy za pomocą postaci kanonicznej. Aby to zrobić, pamiętaj o tym

b = log a a b

Co więcej, a b jest właśnie argumentem. Przepiszmy to wyrażenie w następujący sposób:

log a f (x) = log a a b

Dokładnie to staramy się osiągnąć, aby logarytm opierał się zarówno na lewej, jak i prawej stronie. W tym przypadku możemy, mówiąc obrazowo, przekreślić znaki logarytmiczne, a z matematycznego punktu widzenia możemy powiedzieć, że po prostu zrównujemy argumenty:

fa (x) = za b

W rezultacie otrzymamy nowe wyrażenie, które będzie znacznie łatwiejsze do rozwiązania. Zastosujmy tę zasadę do naszych dzisiejszych problemów.

A więc pierwszy projekt:

Przede wszystkim zauważam, że po prawej stronie znajduje się ułamek, którego mianownikiem jest log. Kiedy widzisz takie wyrażenie, warto pamiętać o wspaniałej właściwości logarytmów:

W tłumaczeniu na język rosyjski oznacza to, że dowolny logarytm można przedstawić jako iloraz dwóch logarytmów o dowolnej podstawie c. Oczywiście 0< с ≠ 1.

Zatem: ta formuła ma jeden wspaniały przypadek specjalny, gdy zmienna c jest równa zmiennej B. W tym przypadku otrzymamy konstrukcję typu:

To jest dokładnie konstrukcja, którą widzimy ze znaku po prawej stronie w naszym równaniu. Zamieńmy tę konstrukcję na log a b , otrzymamy:

Innymi słowy, w porównaniu z pierwotnym zadaniem zamieniliśmy argument i podstawę logarytmu. Zamiast tego musieliśmy odwrócić ułamek.

Przypominamy, że z podstawy można wyprowadzić dowolny stopień według następującej zasady:

Innymi słowy, współczynnik k, będący potęgą podstawy, wyraża się jako ułamek odwrócony. Przedstawmy to jako ułamek odwrócony:

Nie można pozostawić czynnika ułamkowego na pierwszym planie, ponieważ w tym przypadku nie będziemy w stanie przedstawić tego zapisu w formie kanonicznej (wszak w formie kanonicznej nie ma dodatkowego czynnika przed drugim logarytmem). Dlatego dodajmy ułamek 1/4 do argumentu jako potęgę:

Teraz przyrównujemy argumenty, których podstawy są takie same (a nasze podstawy są naprawdę takie same) i piszemy:

x + 5 = 1

x = −4

To wszystko. Otrzymaliśmy odpowiedź na pierwsze równanie logarytmiczne. Uwaga: w pierwotnym zadaniu zmienna x pojawia się tylko w jednym logu i pojawia się w jego argumencie. Dlatego nie ma potrzeby sprawdzania domeny, a nasza liczba x = −4 jest rzeczywiście odpowiedzią.

Przejdźmy teraz do drugiego wyrażenia:

log 56 = log 2 log 2 7 - 3 log (x + 4)

Tutaj, oprócz zwykłych logarytmów, będziemy musieli pracować z log f (x). Jak rozwiązać takie równanie? Nieprzygotowanemu uczniowi może się to wydawać trudnym zadaniem, ale tak naprawdę wszystko można rozwiązać w elementarny sposób.

Przyjrzyj się bliżej terminowi lg 2 log 2 7. Co możemy o nim powiedzieć? Podstawy i argumenty log i lg są takie same, co powinno dać pewne pomysły. Przypomnijmy sobie jeszcze raz, jak spod znaku logarytmu pobierane są potęgi:

log a b n = nlog a b

Innymi słowy, to, co było potęgą b w argumencie, staje się czynnikiem przed samym log. Zastosujmy tę formułę do wyrażenia lg 2 log 2 7. Nie bój się lg 2 - to najczęstsze wyrażenie. Można to przepisać w następujący sposób:

Obowiązują dla niego wszystkie zasady mające zastosowanie do każdego innego logarytmu. W szczególności czynnik z przodu można dodać do stopnia argumentu. Zapiszmy to:

Bardzo często uczniowie nie widzą tej akcji bezpośrednio, bo nie jest dobrze wchodzić do jednego dziennika pod znakiem drugiego. Właściwie nie ma w tym nic kryminalnego. Co więcej, otrzymujemy wzór, który łatwo obliczyć, jeśli pamięta się o ważnej regule:

Wzór ten można traktować zarówno jako definicję, jak i jedną z jego właściwości. W każdym razie, jeśli konwertujesz równanie logarytmiczne, powinieneś znać ten wzór w taki sam sposób, w jaki znasz reprezentację logarytmiczną dowolnej liczby.

Wróćmy do naszego zadania. Przepisujemy to biorąc pod uwagę fakt, że pierwszy wyraz na prawo od znaku równości będzie po prostu równy lg 7. Mamy:

lg 56 = lg 7 - 3 lg (x + 4)

Przesuńmy lg 7 w lewo, otrzymamy:

lg 56 − log 7 = −3 lg (x + 4)

Odejmujemy wyrażenia po lewej stronie, ponieważ mają tę samą podstawę:

lg (56/7) = −3 lg (x + 4)

Przyjrzyjmy się teraz bliżej równaniu, które otrzymaliśmy. Jest to praktycznie forma kanoniczna, ale po prawej stronie znajduje się współczynnik -3. Dodajmy to do prawego argumentu LG:

log 8 = log (x + 4) −3

Przed nami kanoniczna postać równania logarytmicznego, dlatego przekreślamy znaki lg i zrównujemy argumenty:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

To wszystko! Rozwiązaliśmy drugie równanie logarytmiczne. W tym przypadku nie są wymagane żadne dodatkowe sprawdzenia, ponieważ w pierwotnym zadaniu x występował tylko w jednym argumencie.

Pozwólcie, że jeszcze raz wymienię najważniejsze punkty tej lekcji.

Główną formułą nauczaną we wszystkich lekcjach na tej stronie poświęconych rozwiązywaniu równań logarytmicznych jest forma kanoniczna. I nie bój się tego, że większość podręczników szkolnych uczy, jak rozwiązywać takie problemy w inny sposób. Narzędzie to działa bardzo skutecznie i pozwala rozwiązać znacznie szerszą klasę problemów niż te najprostsze, które studiowaliśmy na samym początku naszej lekcji.

Ponadto do rozwiązywania równań logarytmicznych przydatna będzie znajomość podstawowych właściwości. Mianowicie:

1. Wzór na przejście do jednej bazy i szczególny przypadek odwrócenia logu (było to dla nas bardzo przydatne przy pierwszym zadaniu);
2. Wzór na dodawanie i odejmowanie potęg od znaku logarytmu. Tutaj wielu studentów utknie i nie widzi, że wyjęty i wprowadzony stopień może sam w sobie zawierać log f (x). Nic w tym złego. Możemy wprowadzić jeden log według znaku drugiego i jednocześnie znacznie uprościć rozwiązanie problemu, co obserwujemy w drugim przypadku.

Na zakończenie dodam, że nie jest konieczne sprawdzanie dziedziny definicji w każdym z tych przypadków, gdyż wszędzie zmienna x występuje tylko w jednym znaku logarytmicznym i jednocześnie występuje w jego argumencie. W konsekwencji wszystkie wymagania zakresu są spełniane automatycznie.

Problemy ze zmienną bazą

Dzisiaj przyjrzymy się równaniom logarytmicznym, które dla wielu uczniów wydają się niestandardowe, jeśli nie całkowicie nierozwiązywalne. Mówimy o wyrażeniach opartych nie na liczbach, ale na zmiennych, a nawet funkcjach. Takie konstrukcje rozwiążemy naszą standardową techniką, czyli poprzez formę kanoniczną.

Na początek przypomnijmy sobie, jak rozwiązuje się najprostsze problemy w oparciu o zwykłe liczby. Nazywa się więc najprostszą konstrukcją

log a f (x) = b

Aby rozwiązać takie problemy, możemy zastosować następujący wzór:

b = log a a b

Przepisujemy nasze oryginalne wyrażenie i otrzymujemy:

log a f (x) = log a a b

Następnie przyrównujemy argumenty, czyli piszemy:

fa (x) = za b

W ten sposób pozbywamy się znaku dziennika i rozwiązujemy zwykły problem. W tym przypadku pierwiastki otrzymane z rozwiązania będą pierwiastkami pierwotnego równania logarytmicznego. Ponadto zapis, w którym zarówno lewa, jak i prawa strona są w tym samym logarytmie o tej samej podstawie, nazywa się właśnie formą kanoniczną. Do takiego rekordu spróbujemy zredukować dzisiejsze projekty. Więc chodźmy.

Pierwsze zadanie:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Zamień 1 na log x - 2 (x - 2) 1 . Stopień, który obserwujemy w argumencie, jest w rzeczywistości liczbą b stojącą po prawej stronie znaku równości. Zatem przepiszemy nasze wyrażenie. Otrzymujemy:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Co widzimy? Przed nami kanoniczna postać równania logarytmicznego, dzięki czemu możemy bezpiecznie zrównać argumenty. Otrzymujemy:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Ale na tym rozwiązanie się nie kończy, ponieważ równanie to nie jest równoważne pierwotnemu. W końcu otrzymana konstrukcja składa się z funkcji, które są zdefiniowane na całej osi liczbowej, a nasze oryginalne logarytmy nie są zdefiniowane wszędzie i nie zawsze.

Dlatego musimy osobno zapisać dziedzinę definicji. Nie dzielmy włosa na czworo i najpierw spiszmy wszystkie wymagania:

Po pierwsze, argument każdego z logarytmów musi być większy od 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

Po drugie, podstawa musi być nie tylko większa od 0, ale także różna od 1:

x - 2 ≠ 1

W rezultacie otrzymujemy układ:

Ale nie przejmuj się: podczas przetwarzania równań logarytmicznych taki system można znacznie uprościć.

Oceń sam: z jednej strony wymagane jest, aby funkcja kwadratowa była większa od zera, a z drugiej strony ta funkcja kwadratowa jest równa pewnemu wyrażeniu liniowemu, które również wymaga, aby było większe od zera.

W tym przypadku, jeśli wymagamy, aby x − 2 > 0, to wymóg 2x 2 − 13x + 18 > 0 zostanie automatycznie spełniony. Zatem możemy bezpiecznie skreślić nierówność zawierającą funkcję kwadratową. Tym samym liczba wyrażeń zawartych w naszym systemie zostanie zmniejszona do trzech.

Oczywiście moglibyśmy równie łatwo skreślić nierówność liniową, to znaczy skreślić x − 2 > 0 i zażądać, aby 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ale musisz zgodzić się, że rozwiązanie najprostszej nierówności liniowej jest znacznie szybsze i prostsze niż kwadratowe, nawet pod warunkiem, że w wyniku rozwiązania całego tego układu otrzymamy te same pierwiastki.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli to możliwe, staraj się optymalizować obliczenia. A w przypadku równań logarytmicznych skreśl najtrudniejsze nierówności.

Przepiszmy nasz system:

Oto system trzech wyrażeń, z których dwa właściwie już zajmowaliśmy. Zapiszmy osobno równanie kwadratowe i rozwiążmy je:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

Przed nami zredukowany trójmian kwadratowy i dlatego możemy skorzystać ze wzorów Viety. Otrzymujemy:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Teraz wracamy do naszego systemu i stwierdzamy, że x = 2 nam nie odpowiada, ponieważ wymagane jest, aby x było ściśle większe od 2.

Ale x = 5 nam odpowiada idealnie: liczba 5 jest większa od 2, a jednocześnie 5 nie jest równa 3. Zatem jedynym rozwiązaniem tego układu będzie x = 5.

To wszystko, problem został rozwiązany, w tym biorąc pod uwagę ODZ. Przejdźmy do drugiego równania. Bardziej interesujące i pouczające obliczenia czekają na nas tutaj:

Krok pierwszy: podobnie jak ostatnim razem, doprowadzamy całą sprawę do formy kanonicznej. Aby to zrobić, możemy zapisać liczbę 9 w następujący sposób:

Podstawę główną można pozostawić nietkniętą, ale lepiej przekształcić argument. Przejdźmy od pierwiastka do potęgi z wykładnikiem wymiernym. Zapiszmy:

Nie będę przepisywać całego naszego dużego równania logarytmicznego, ale po prostu od razu zrównam argumenty:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Mamy przed sobą nowo zredukowany trójmian kwadratowy, skorzystajmy ze wzorów Viety i napiszmy:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Mamy więc pierwiastki, ale nikt nie gwarantował nam, że będą pasować do pierwotnego równania logarytmicznego. Przecież znaki dziennika nakładają dodatkowe ograniczenia (tu powinniśmy rozpisać układ, ale ze względu na uciążliwość całej konstrukcji zdecydowałem się obliczyć dziedzinę definicji osobno).

Przede wszystkim pamiętaj, że argumenty muszą być większe od 0, a mianowicie:

Takie są wymagania narzucone przez zakres definicji.

Zauważmy od razu, że skoro przyrównujemy do siebie dwa pierwsze wyrażenia układu, to możemy skreślić dowolne z nich. Skreślmy pierwszą, bo wygląda groźniej niż druga.

Dodatkowo należy pamiętać, że rozwiązaniem drugiej i trzeciej nierówności będą te same zbiory (sześcian jakiejś liczby jest większy od zera, jeśli sama ta liczba jest większa od zera; podobnie w przypadku pierwiastka trzeciego stopnia - nierówności te są całkowicie analogiczne, więc możemy je skreślić).

Ale w przypadku trzeciej nierówności to nie zadziała. Pozbądźmy się radykalnego znaku po lewej stronie, podnosząc obie części do sześcianu. Otrzymujemy:

Otrzymujemy więc następujące wymagania:

− 2 ≠ x > −3

Który z naszych pierwiastków: x 1 = −3 lub x 2 = −1 spełnia te wymagania? Oczywiście tylko x = −1, ponieważ x = −3 nie spełnia pierwszej nierówności (ponieważ nasza nierówność jest ścisła). Wracając do naszego problemu, otrzymujemy jeden pierwiastek: x = −1. To wszystko, problem rozwiązany.

Jeszcze raz kluczowe punkty tego zadania:

1. Zapraszam do stosowania i rozwiązywania równań logarytmicznych w formie kanonicznej. Studenci dokonujący takiego zapisu, zamiast przechodzić bezpośrednio od pierwotnego problemu do konstrukcji typu log a f (x) = b, popełniają znacznie mniej błędów niż ci, którzy gdzieś się śpieszą, pomijając pośrednie etapy obliczeń;
2. Gdy tylko w logarytmie pojawi się podstawa zmiennej, problem przestaje być najprostszy. Dlatego przy jego rozwiązywaniu należy wziąć pod uwagę dziedzinę definicji: argumenty muszą być większe od zera, a podstawy nie tylko muszą być większe od 0, ale także nie mogą być równe 1.

Ostateczne wymagania można zastosować do ostatecznych odpowiedzi na różne sposoby. Można na przykład rozwiązać cały system zawierający wszystkie wymagania dotyczące dziedziny definicji. Z drugiej strony można najpierw rozwiązać samo zadanie, a potem zapamiętać dziedzinę definicji, osobno rozpracować ją w postaci układu i zastosować do uzyskanych pierwiastków.

To, którą metodę wybrać przy rozwiązywaniu konkretnego równania logarytmicznego, zależy od Ciebie. W każdym razie odpowiedź będzie taka sama.

Wstęp

Logarytmy zostały wynalezione, aby przyspieszyć i uprościć obliczenia. Idea logarytmu, czyli idea wyrażania liczb jako potęg o tej samej podstawie, należy do Michaiła Stiefela. Ale w czasach Stiefela matematyka nie była tak rozwinięta i nie rozwinęła się idea logarytmu. Logarytmy zostały później wynalezione jednocześnie i niezależnie od siebie przez szkockiego naukowca Johna Napiera (1550-1617) i szwajcarskiego Jobsta Burgi (1552-1632). Napier jako pierwszy opublikował swoje dzieło w 1614 roku. pod tytułem „Opis niesamowitej tabeli logarytmów” teoria logarytmów Napiera została podana w dość kompletnym tomie, podano najprostszą metodę obliczania logarytmów, dlatego zasługi Napiera w wynalezieniu logarytmów były większe niż Bürgi. Burgi pracował nad stołami w tym samym czasie co Napier, jednak długo utrzymywał je w tajemnicy i opublikował dopiero w 1620 roku. Napier opanował ideę logarytmu około 1594 roku. chociaż tabele opublikowano 20 lat później. Początkowo nazywał swoje logarytmy „liczbami sztucznymi”, dopiero potem zaproponował, aby nazwać te „liczby sztuczne” jednym słowem „logarytm”, co w tłumaczeniu z języka greckiego oznacza „liczby skorelowane”, wzięte jedna z ciągu arytmetycznego, a druga z ciągu specjalnie do tego dobraną progresję geometryczną. Pierwsze tablice w języku rosyjskim ukazały się w roku 1703. z udziałem wspaniałego nauczyciela XVIII wieku. L. F. Magnitsky. Prace petersburskiego akademika Leonharda Eulera odegrały ogromne znaczenie w rozwoju teorii logarytmów. Jako pierwszy uznał logarytmy za odwrotność podniesienia do potęgi; wprowadził terminy „podstawa logarytmu” i „mantysa”. Briggs stworzył tablice logarytmów o podstawie 10. Tablice dziesiętne są wygodniejsze w praktyce, zgodnie z ich teorią. prostsze niż logarytmy Napiera. Dlatego logarytmy dziesiętne są czasami nazywane logarytmami Briggsa. Termin „charakterystyka” został wprowadzony przez Briggsa.

W tych odległych czasach, kiedy mędrcy po raz pierwszy zaczęli myśleć o równościach zawierających nieznane ilości, prawdopodobnie nie było monet ani portfeli. Były jednak stosy, a także garnki i kosze, które doskonale nadawały się do roli skrytek do przechowywania, mogących pomieścić nieznaną liczbę przedmiotów. W starożytnych problemach matematycznych Mezopotamii, Indii, Chin, Grecji nieznane wielkości wyrażały liczbę pawi w ogrodzie, liczbę byków w stadzie i ogół rzeczy branych pod uwagę przy podziale majątku. Uczeni w Piśmie, urzędnicy i kapłani wtajemniczeni w wiedzę tajemną, dobrze wyszkoleni w nauce rachunków, radzili sobie z takimi zadaniami całkiem skutecznie.

Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy dysponowali pewnymi ogólnymi technikami rozwiązywania problemów z nieznanymi wielkościami. Jednakże ani jeden papirus czy gliniana tabliczka nie zawiera opisu tych technik. Autorzy jedynie sporadycznie opatrywali swoje obliczenia numeryczne skąpymi komentarzami w rodzaju: „Patrz!”, „Zrób to!”, „Znalazłeś właściwy”. W tym sensie wyjątkiem jest „Arytmetyka” greckiego matematyka Diofantusa z Aleksandrii (III wiek) - zbiór problemów do układania równań z systematyczną prezentacją ich rozwiązań.

Jednak pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany, było dzieło naukowca z Bagdadu z IX wieku. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Słowo „al-jabr” od arabskiej nazwy tego traktatu – „Kitab al-jaber wal-mukabala” („Księga restauracji i opozycji”) – z czasem przekształciło się w dobrze znane słowo „algebra”, a al- Sama praca Khwarizmi stała się punktem wyjścia w rozwoju nauki o rozwiązywaniu równań.

Równania i nierówności logarytmiczne

1. Równania logarytmiczne

Równanie zawierające niewiadomą pod znakiem logarytmu lub u podstawy nazywa się równaniem logarytmicznym.

Najprostszym równaniem logarytmicznym jest równanie postaci

dziennik A X = B . (1)

Stwierdzenie 1. Jeśli A > 0, A≠ 1, równanie (1) dla dowolnej liczby rzeczywistej B ma unikalne rozwiązanie X = a b .

Przykład 1. Rozwiąż równania:

a) log 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Rozwiązanie. Korzystając ze twierdzenia 1, otrzymujemy a) X= 2 3 lub X= 8; B) X= 3 -1 lub X= 1/3; C)

Lub X = 1.

Przedstawmy podstawowe własności logarytmu.

P1. Podstawowa tożsamość logarytmiczna:

Gdzie A > 0, A≠ 1 i B > 0.

P2. Logarytm iloczynu czynników dodatnich jest równy sumie logarytmów tych czynników:

dziennik A N 1 · N 2 = log A N 1 + log A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentarz. Jeśli N 1 · N 2 > 0, wówczas właściwość P2 przyjmuje postać

dziennik A N 1 · N 2 = log A |N 1 | + log A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich jest równy różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnika

(A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentarz. Jeśli

, (co jest równoważne N 1 N 2 > 0) wówczas właściwość P3 przyjmuje postać (A > 0, A ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Logarytm potęgi liczby dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu tej liczby:

dziennik A N k = k dziennik A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Komentarz. Jeśli k- Liczba parzysta ( k = 2S), To

dziennik A N 2S = 2S dziennik A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formuła przejścia do innej bazy:

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1, N > 0),

w szczególności jeśli N = B, otrzymujemy

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)

Korzystając z właściwości P4 i P5, łatwo jest uzyskać następujące właściwości

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (3) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (4) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (5)

i jeśli w (5) C- Liczba parzysta ( C = 2N), występuje

(B > 0, A ≠ 0, |A | ≠ 1). (6)

Wymieńmy główne właściwości funkcji logarytmicznej F (X) = log A X :

1. Dziedziną definicji funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich.

2. Zakres wartości funkcji logarytmicznej to zbiór liczb rzeczywistych.

3. Kiedy A> 1 funkcja logarytmiczna jest ściśle rosnąca (0< X 1 < X 2log A X 1 < logA X 2) i przy 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log A X 1 > zaloguj A X 2).

4.log A 1 = 0 i log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Jeśli A> 1, to funkcja logarytmiczna jest ujemna, gdy X(0;1) i dodatni przy X(1;+∞), a jeśli 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) i ujemne przy X (1;+∞).

6. Jeśli A> 1, to funkcja logarytmiczna jest wypukła w górę, a jeśli A(0;1) - wypukły w dół.

Poniższe stwierdzenia (patrz na przykład) są używane podczas rozwiązywania równań logarytmicznych.

Jak wiadomo, przy mnożeniu wyrażeń przez potęgi ich wykładniki zawsze się sumują (a b *a c = a b+c). To prawo matematyczne zostało wyprowadzone przez Archimedesa, a później, w VIII wieku, matematyk Virasen stworzył tabelę wykładników liczb całkowitych. To oni posłużyli do dalszego odkrycia logarytmów. Przykłady wykorzystania tej funkcji można znaleźć niemal wszędzie tam, gdzie trzeba uprościć uciążliwe mnożenie poprzez proste dodawanie. Jeśli poświęcisz 10 minut na przeczytanie tego artykułu, wyjaśnimy Ci, czym są logarytmy i jak z nimi pracować. Prostym i przystępnym językiem.

Definicja w matematyce

Logarytm jest wyrażeniem w postaci: log a b=c, to znaczy logarytm dowolnej liczby nieujemnej (czyli dowolnej liczby dodatniej) „b” do jej podstawy „a” jest uważany za potęgę „c” ”, do którego należy podnieść podstawę „a”, aby ostatecznie otrzymać wartość „b”. Przeanalizujmy logarytm na przykładach, powiedzmy, że istnieje wyrażenie log 2 8. Jak znaleźć odpowiedź? To bardzo proste, trzeba znaleźć taką potęgę, aby od 2 do wymaganej potęgi otrzymać 8. Po wykonaniu kilku obliczeń w głowie otrzymamy liczbę 3! I to prawda, ponieważ 2 do potęgi 3 daje odpowiedź 8.

Rodzaje logarytmów

Dla wielu uczniów i studentów ten temat wydaje się skomplikowany i niezrozumiały, ale w rzeczywistości logarytmy nie są takie straszne, najważniejsze jest zrozumienie ich ogólnego znaczenia i zapamiętanie ich właściwości i niektórych zasad. Istnieją trzy różne typy wyrażeń logarytmicznych:

1. Logarytm naturalny ln a, gdzie podstawą jest liczba Eulera (e = 2,7).
2. Dziesiętne a, gdzie podstawa wynosi 10.
3. Logarytm dowolnej liczby b o podstawie a>1.

Każdy z nich rozwiązuje się w sposób standardowy, obejmujący uproszczenie, redukcję i późniejszą redukcję do jednego logarytmu za pomocą twierdzeń logarytmicznych. Aby uzyskać prawidłowe wartości logarytmów, należy pamiętać o ich właściwościach i kolejności działań przy ich rozwiązywaniu.

Zasady i pewne ograniczenia

W matematyce istnieje kilka reguł-ograniczeń, które są akceptowane jako aksjomat, to znaczy nie podlegają dyskusji i są prawdą. Na przykład nie da się podzielić liczb przez zero, nie da się też wyodrębnić pierwiastka parzystego z liczb ujemnych. Logarytmy również mają swoje własne zasady, zgodnie z którymi można łatwo nauczyć się pracy nawet z długimi i pojemnymi wyrażeniami logarytmicznymi:

• Podstawa „a” musi być zawsze większa od zera, a nie równa 1, w przeciwnym razie wyrażenie straci sens, ponieważ „1” i „0” w dowolnym stopniu są zawsze równe swoim wartościom;
• jeśli a > 0, to a b > 0, to okazuje się, że „c” również musi być większe od zera.

Jak rozwiązywać logarytmy?

Na przykład podano zadanie znalezienia odpowiedzi na równanie 10 x = 100. Jest to bardzo proste, trzeba wybrać potęgę, podnosząc liczbę dziesięć do uzyskania 100. To oczywiście jest 10 2 = 100.

Przedstawmy teraz to wyrażenie w formie logarytmicznej. Otrzymujemy log 10 100 = 2. Przy rozwiązywaniu logarytmów wszystkie działania praktycznie zbiegają się, aby znaleźć potęgę, do której należy wprowadzić podstawę logarytmu, aby otrzymać daną liczbę.

Aby dokładnie określić wartość nieznanego stopnia, musisz nauczyć się pracować z tabelą stopni. To wygląda tak:

Jak widać, niektóre wykładniki można odgadnąć intuicyjnie, jeśli masz techniczny umysł i wiedzę o tabliczce mnożenia. Jednak w przypadku większych wartości będziesz potrzebować tabeli mocy. Mogą z niego korzystać nawet ci, którzy nie mają zielonego pojęcia o skomplikowanych zagadnieniach matematycznych. W lewej kolumnie znajdują się liczby (podstawa a), górny rząd liczb to wartość potęgi c, do której podnoszona jest liczba a. Na przecięciu komórki zawierają wartości liczbowe będące odpowiedzią (a c =b). Weźmy na przykład pierwszą komórkę z liczbą 10 i podnieś ją do kwadratu, otrzymamy wartość 100, która jest wskazana na przecięciu naszych dwóch komórek. Wszystko jest tak proste i łatwe, że zrozumie nawet najbardziej prawdziwy humanista!

Równania i nierówności

Okazuje się, że w pewnych warunkach wykładnikiem jest logarytm. Dlatego dowolne matematyczne wyrażenia liczbowe można zapisać jako równość logarytmiczną. Na przykład 3 4 = 81 można zapisać jako logarytm o podstawie 3 z 81 równy cztery (log 3 81 = 4). W przypadku potęg ujemnych zasady są takie same: 2 -5 = 1/32 zapisujemy jako logarytm, otrzymujemy log 2 (1/32) = -5. Jednym z najbardziej fascynujących działów matematyki jest temat „logarytmów”. Przyjrzymy się przykładom i rozwiązaniom równań poniżej, zaraz po przestudiowaniu ich właściwości. Przyjrzyjmy się teraz, jak wyglądają nierówności i jak odróżnić je od równań.

Podawane jest wyrażenie: log 2 (x-1) > 3 - jest to nierówność logarytmiczna, gdyż nieznana wartość „x” znajduje się pod znakiem logarytmicznym. A także w wyrażeniu porównywane są dwie wielkości: logarytm żądanej liczby do podstawy dwa jest większy niż liczba trzy.

Najważniejsza różnica między równaniami logarytmicznymi a nierównością polega na tym, że równania z logarytmami (na przykład logarytm 2 x = √9) implikują w odpowiedzi jedną lub więcej określonych wartości liczbowych, natomiast przy rozwiązywaniu nierówności zarówno zakres akceptowalnych wartości​​i punkty wyznaczane są z naruszeniem tej funkcji. W rezultacie odpowiedź nie jest prostym zbiorem pojedynczych liczb, jak w przypadku odpowiedzi na równanie, ale ciągłą serią lub zbiorem liczb.

Podstawowe twierdzenia o logarytmach

Podczas rozwiązywania prymitywnych zadań znajdowania wartości logarytmu jego właściwości mogą nie być znane. Jeśli jednak chodzi o równania czy nierówności logarytmiczne, to przede wszystkim należy jasno zrozumieć i zastosować w praktyce wszystkie podstawowe właściwości logarytmów. Przyjrzymy się przykładom równań później; najpierw przyjrzyjmy się każdej właściwości bardziej szczegółowo.

1. Główna tożsamość wygląda następująco: a logaB =B. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy a jest większe niż 0, a nie równe jedności, a B jest większe niż zero.
2. Logarytm iloczynu można przedstawić za pomocą następującego wzoru: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. W tym przypadku warunkiem obowiązkowym jest: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Możesz przedstawić dowód tej formuły logarytmicznej wraz z przykładami i rozwiązaniem. Zapiszmy a s 1 = f 1 i zalogujmy a s 2 = f 2, następnie a f1 = s 1, a f2 = s 2. Otrzymujemy, że s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (własności stopnie ), a następnie z definicji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, co należało udowodnić.
3. Logarytm ilorazu wygląda następująco: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Twierdzenie w postaci wzoru przyjmuje następującą postać: log a q b n = n/q log a b.

Wzór ten nazywany jest „właściwością stopnia logarytmu”. Przypomina to właściwości zwykłych stopni i nie jest w tym nic dziwnego, gdyż cała matematyka opiera się na naturalnych postulatach. Spójrzmy na dowód.

Niech log a b = t, okaże się, że a t = b. Jeśli podniesiemy obie części do potęgi m: a tn = b n ;

ale ponieważ a tn = (a q) nt/q = b n, zatem log a q b n = (n*t)/t, to log a q b n = n/q log a b. Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady problemów i nierówności

Najczęstszym typem problemów logarytmicznych są przykłady równań i nierówności. Można je znaleźć w prawie wszystkich podręcznikach problemowych, a także są wymaganą częścią egzaminów z matematyki. Aby dostać się na uniwersytet lub zdać egzaminy wstępne z matematyki, musisz wiedzieć, jak poprawnie rozwiązać takie zadania.

Niestety nie ma jednego planu ani schematu rozwiązywania i wyznaczania nieznanej wartości logarytmu, ale do każdej nierówności matematycznej lub równania logarytmicznego można zastosować pewne zasady. Przede wszystkim należy dowiedzieć się, czy wyrażenie można uprościć, czy też sprowadzić do postaci ogólnej. Możesz uprościć długie wyrażenia logarytmiczne, jeśli poprawnie użyjesz ich właściwości. Poznajmy je szybko.

Rozwiązując równania logarytmiczne, musimy określić, jaki rodzaj logarytmu mamy: przykładowe wyrażenie może zawierać logarytm naturalny lub dziesiętny.

Oto przykłady ln100, ln1026. Ich rozwiązanie sprowadza się do tego, że muszą wyznaczyć potęgę, do której podstawa 10 będzie równa odpowiednio 100 i 1026. Aby rozwiązać logarytmy naturalne, należy zastosować tożsamości logarytmiczne lub ich właściwości. Spójrzmy na przykłady rozwiązywania problemów logarytmicznych różnego typu.

Jak korzystać ze wzorów logarytmicznych: z przykładami i rozwiązaniami

Przyjrzyjmy się więc przykładom użycia podstawowych twierdzeń o logarytmach.

1. Własność logarytmu iloczynu można wykorzystać w zadaniach, w których konieczne jest rozłożenie dużej wartości liczby b na prostsze czynniki. Na przykład log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpowiedź brzmi 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak widać, korzystając z czwartej własności potęgi logarytmu, udało nam się rozwiązać pozornie złożone i nierozwiązywalne wyrażenie. Wystarczy rozłożyć podstawę, a następnie wyjąć wartości wykładników ze znaku logarytmu.

Zadania z jednolitego egzaminu państwowego

Logarytmy często spotyka się na egzaminach wstępnych, zwłaszcza wiele problemów logarytmicznych na egzaminie Unified State Exam (egzamin państwowy dla wszystkich absolwentów szkół). Zazwyczaj zadania te występują nie tylko w części A (najłatwiejsza część testowa egzaminu), ale także w części C (zadania najbardziej złożone i obszerne). Egzamin wymaga dokładnej i doskonałej znajomości tematu „Logarity naturalne”.

Przykłady i rozwiązania problemów pochodzą z oficjalnych wersji egzaminu Unified State Exam. Zobaczmy, jak rozwiązuje się takie zadania.

Biorąc pod uwagę log 2 (2x-1) = 4. Rozwiązanie:
przepiszmy wyrażenie, nieco je upraszczając. log 2 (2x-1) = 2 2, z definicji logarytmu otrzymujemy, że 2x-1 = 2 4, zatem 2x = 17; x = 8,5.

• Najlepiej jest sprowadzić wszystkie logarytmy do tej samej podstawy, aby rozwiązanie nie było kłopotliwe i mylące.
• Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu są oznaczone jako dodatnie, dlatego też, gdy wykładnik wyrażenia znajdującego się pod znakiem logarytmu i jako jego podstawa zostanie wyjęty jako mnożnik, wyrażenie pozostające pod logarytmem musi być dodatnie.