Historia pi w prostych i zrozumiałych słowach. Kilka interesujących faktów. Ile wynosi Pi? Metody jego obliczania

Historia pi

Historia liczby p, która wyraża stosunek obwodu koła do jego średnicy, rozpoczęła się w starożytnym Egipcie. Pole koła o średnicy D Egipscy matematycy zdefiniowali to jako (d-d/9) 2(ten wpis jest tutaj podany nowoczesną symboliką). Z powyższego wyrażenia możemy wywnioskować, że w tamtym czasie liczbę p uważano za równą ułamkowi (16/9) 2 , Lub 256/81 , tj. p = 3,160...
W świętej księdze dżinizmu (jednej z najstarszych religii, jakie istniały w Indiach i powstały w VI wieku p.n.e.) znajduje się wskazówka, z której wynika, że ​​liczbę p w tamtym czasie przyjęto jako równą, co daje ułamek 3,162...
Starożytni Grecy Eudoksos, Hipokrates i inni redukowali pomiar koła do konstrukcji odcinka, a pomiar koła do konstrukcji równego kwadratu. Należy zauważyć, że przez wiele stuleci matematycy z różnych krajów i narodów próbowali wyrazić stosunek obwodu do średnicy jako liczbę wymierną.

Archimedes w III wieku PNE. w swoim krótkim dziele „Pomiar koła” uzasadnił trzy tezy:

Każde koło ma wielkość równą trójkątowi prostokątnemu, którego ramiona są odpowiednio równe długości koła i jego promieniowi;

Pola koła są powiązane z kwadratem zbudowanym na średnicy, tj 11 do 14;

Stosunek dowolnego koła do jego średnicy jest mniejszy 3 1/7 i więcej 3 10/71 .

Ostatnie zdanie Archimedes uzasadnione sekwencyjnym obliczaniem obwodów wielokątów foremnych wpisanych i opisanych poprzez podwojenie liczby ich boków. Najpierw podwoił liczbę boków sześciokątów foremnych wpisanych i wpisanych, następnie dwunastoboków itp., przenosząc obliczenia na obwody wielokątów foremnych wpisanych i wpisanych o 96 bokach. Według dokładnych obliczeń Archimedes stosunek obwodu do średnicy jest zawarty pomiędzy liczbami 3*10/71 I 3*1/7 , co oznacza, że ​​p = 3,1419... Prawdziwy sens tej relacji 3,1415922653...
W V wieku PNE. Chiński matematyk Zu Chongzhi znaleziono dokładniejszą wartość tej liczby: 3,1415927...
W pierwszej połowie XV w. obserwatorium Ulugbek, w pobliżu Samarkanda, astronom i matematyk al-Kashi obliczono p z 16 miejscami po przecinku. Podwoił liczbę boków wielokątów 27 razy i otrzymał wielokąt o 3*2 28 kątach. Al-Kashi dokonał unikalnych obliczeń, które były potrzebne do sporządzenia tabeli sinusów w krokach 1" . Tablice te odegrały ważną rolę w astronomii.
Półtora wieku później w Europie F. Wietnam znalazł liczbę p mającą tylko 9 poprawnych miejsc po przecinku, podwajając liczbę boków wielokątów 16 razy. Ale w tym samym czasie F. Wietnam jako pierwszy zauważył, że p można znaleźć korzystając z granic pewnego szeregu. Odkrycie to miało ogromne znaczenie, ponieważ umożliwiło obliczenie p z dowolną dokładnością. Dopiero 250 lat później al-Kashi jego wynik został przekroczony.
Pierwszym, który wprowadził zapis stosunku obwodu do średnicy za pomocą współczesnego symbolu p, był angielski matematyk W.Johnson w 1706 r. Za symbol przyjął pierwszą literę greckiego słowa "obrzeże", co w tłumaczeniu oznacza "koło". Weszła W.Johnson oznaczenie to weszło powszechnie w użyciu po opublikowaniu dzieł L. Eulera, który po raz pierwszy użył wprowadzonego znaku w 1736 G.
Pod koniec XVIII wieku. A.M.Lagendre w oparciu o dzieła I.G. Lambert udowodnił, że liczba p jest niewymierna. Następnie niemiecki matematyk F. Lindemana w oparciu o badania S.Ermita, znalazł ścisły dowód, że liczba ta jest nie tylko irracjonalna, ale także transcendentalna, tj. nie może być pierwiastkiem równania algebraicznego. Z tego ostatniego wynika, że ​​używając jedynie kompasu i linijki, zbuduj odcinek o obwodzie równym niemożliwe, a zatem nie ma rozwiązania problemu kwadratury koła.
Poszukiwania dokładnego wyrażenia dla p kontynuowano po pracy F. Vieta. Na początku XVII wieku. Holenderski matematyk z Kolonii Ludolfa van Zeijlena(1540-1610) (niektórzy historycy nazywają go L.van Keulen) Znaleziono 32 prawidłowe znaki. Od tego czasu (rok publikacji 1615) wartość liczby p z 32 miejscami po przecinku nazywana jest liczbą Ludolf.
Pod koniec XIX wieku, po 20 latach ciężkiej pracy, Anglik Williama Shanksa znalazł 707 cyfr liczby p. Jednak w 1945 roku za pomocą komputera odkryto, że Shanki w swoich obliczeniach pomylił się w 520. cyfrze i dalsze obliczenia okazały się błędne.
Po opracowaniu metod rachunku różniczkowego i całkowego odkryto wiele wzorów zawierających liczbę „pi”. Niektóre z tych wzorów umożliwiają obliczenie pi przy użyciu metod innych niż metoda Archimedes i bardziej racjonalne. Na przykład, możesz dojść do liczby pi, szukając granic pewnych szeregów. Więc, G.Leibniza(1646-1716) otrzymał wiersz w 1674 r

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p /4,

co umożliwiło obliczenie p w krótszy sposób niż Archimedes. Jednakże szereg ten zbiega się bardzo wolno i dlatego wymaga dość długich obliczeń. Do obliczenia „pi” wygodniej jest użyć szeregu otrzymanego z rozwinięcia arctg X według wartości X=1/ , w którym rozwinięcie funkcji arctan 1/=p /6 w szeregu daje równość

p /6 = 1/,
te.
P= 2

Sumy częściowe tego szeregu można obliczyć za pomocą wzoru

S n+1 = S n + (2)/(2n+1) * (-1/3) n,

w tym przypadku „pi” będzie ograniczone przez podwójną nierówność:

Jeszcze wygodniejsza formuła do obliczeń P otrzymane J. Machin. Korzystając z tego wzoru, obliczył P(w 1706 r.) z dokładnością do 100 poprawnych znaków. Dobre przybliżenie liczby pi podaje wzór

Należy jednak pamiętać, że równość tę należy traktować jako przybliżoną, gdyż jego prawa strona jest liczbą algebraiczną, a lewa strona przestępną, zatem liczby te nie mogą być równe.
Jak wskazano w jej artykułach E.Ya.Bakhmutskaya(lata 60. XX w.), jeszcze w XV-XVI w. Naukowcy z Indii Południowych, m.in Nilakanta, stosując metody przybliżonych obliczeń liczby p, znaleźliśmy sposób na rozkład arctanu X w szereg potęgowy podobny do znalezionego szeregu Leibniza. Matematycy indyjscy ustnie sformułowali zasady rozwijania w szereg sinus I cosinus. W ten sposób uprzedzili odkrycie europejskich matematyków XVII wieku. Niemniej jednak ich praca obliczeniowa, izolowana i ograniczona potrzebami praktycznymi, nie miała wpływu na dalszy rozwój nauki.
W naszych czasach pracę komputerów zastąpiły komputery. Za ich pomocą obliczono liczbę „pi” z dokładnością do ponad miliona miejsc po przecinku, a obliczenia te trwały zaledwie kilka godzin.
We współczesnej matematyce liczba p to nie tylko stosunek obwodu do średnicy; jest ona zawarta w wielu różnych wzorach, w tym we wzorach geometrii nieeuklidesowej i we wzorze. L. Eulera, który ustanawia połączenie między liczbą p i liczbą mi w następujący sposób:

mi 2 P I = 1 , Gdzie I = .

Ta i inne współzależności pozwoliły matematykom lepiej zrozumieć naturę liczby p.

14 marca na całym świecie obchodzone jest bardzo niezwykłe święto - Dzień Liczby Liczbowej. Każdy to wiedział od czasów szkolnych. Od razu wyjaśnia się uczniom, że liczba Pi jest stałą matematyczną, stosunkiem obwodu koła do jego średnicy, która ma wartość nieskończoną. Okazuje się, że z tą liczbą wiąże się wiele ciekawych faktów.

1. Historia liczb sięga ponad tysiąca lat, prawie tak długo, jak istnieje nauka matematyki. Oczywiście dokładna wartość liczby nie została od razu obliczona. Początkowo stosunek obwodu do średnicy uznawano za równy 3. Jednak z biegiem czasu, gdy architektura zaczęła się rozwijać, wymagany był dokładniejszy pomiar. Notabene liczba ta istniała, ale oznaczenie literowe otrzymała dopiero na początku XVIII w. (1706 r.) i pochodzi od pierwszych liter dwóch greckich słów oznaczających „okrąg” i „obwód”. Litera „π” została nadana liczbie przez matematyka Jonesa i utrwaliła się w matematyce już w 1737 roku.

2. W różnych epokach i wśród różnych narodów liczba Pi miała różne znaczenia. Na przykład w starożytnym Egipcie wynosiła ona 3,1604, u Hindusów przyjęła wartość 3,162, a Chińczycy używali liczby równej 3,1459. Z biegiem czasu π obliczano coraz dokładniej, a gdy pojawiła się technologia komputerowa, czyli komputer, zaczęło liczyć ponad 4 miliardy znaków.

3. Istnieje legenda, a raczej eksperci uważają, że przy budowie Wieży Babel użyto liczby Pi. Jednak to nie gniew Boży spowodował jego zawalenie się, lecz błędne obliczenia w trakcie budowy. Jakby starożytni mistrzowie się mylili. Podobna wersja istnieje w odniesieniu do Świątyni Salomona.

4. Warto zauważyć, że próbowano wprowadzić wartość Pi nawet na poziomie państwowym, czyli poprzez prawo. W 1897 r. stan Indiana przygotował ustawę. Według dokumentu Pi wynosiło 3,2. Naukowcy jednak interweniowali na czas i w ten sposób zapobiegli pomyłce. Przeciwko projektowi wypowiadał się zwłaszcza profesor Perdue, który był obecny na posiedzeniu legislacyjnym.

5. Ciekawe, że kilka liczb w nieskończonym ciągu Pi ma swoją nazwę. Tak więc sześć dziewiątek Pi zostało nazwanych na cześć amerykańskiego fizyka. Richard Feynman wygłosił kiedyś wykład i zadziwił słuchaczy swoją uwagą. Powiedział, że chce zapamiętać cyfry Pi aż do sześciu dziewiątek, a na końcu opowieści sześć razy powie „dziewięć”, co oznacza, że ​​jej znaczenie jest racjonalne. Kiedy w rzeczywistości jest to irracjonalne.

6. Matematycy na całym świecie nie przestają prowadzić badań związanych z liczbą Pi. Jest dosłownie owiana jakąś tajemnicą. Niektórzy teoretycy uważają nawet, że zawiera ona uniwersalną prawdę. W celu wymiany wiedzy i nowych informacji na temat Pi zorganizowano Klub Pi. Nie jest łatwo dołączyć; trzeba mieć niezwykłą pamięć. W ten sposób badani są ci, którzy chcą zostać członkami klubu: osoba musi wyrecytować z pamięci jak najwięcej znaków liczby Pi.

7. Wymyślili nawet różne techniki zapamiętywania liczby Pi po przecinku. Wymyślają na przykład całe teksty. W nich słowa mają taką samą liczbę liter, jak odpowiadająca im liczba po przecinku. Aby jeszcze łatwiej zapamiętać tak długą liczbę, komponują wiersze według tej samej zasady. Członkowie Pi Clubu często bawią się w ten sposób, a przy tym ćwiczą swoją pamięć i inteligencję. Takie hobby miał na przykład Mike Keith, który osiemnaście lat temu wymyślił historię, w której każde słowo było równe prawie czterem tysiącom (3834) pierwszych cyfr Pi.

8. Są nawet ludzie, którzy ustanowili rekordy w zapamiętywaniu znaków Pi. Tak więc w Japonii Akira Haraguchi zapamiętał ponad osiemdziesiąt trzy tysiące znaków. Ale krajowy rekord nie jest tak wybitny. Mieszkaniec Czelabińska zdołał wyrecytować na pamięć zaledwie dwa i pół tysiąca liczb po przecinku Pi.

„Pi” w perspektywie

9. Dzień Pi obchodzony jest już od ponad ćwierć wieku, bo od 1988 roku. Pewnego dnia Larry Shaw, fizyk z muzeum popularnonaukowego w San Francisco, zauważył, że 14 marca w chwili zapisu pokrywa się z liczbą Pi. W formularzu daty, miesiąca i dnia 3.14.

10. Dzień Liczby Liczbowej obchodzony jest nie do końca oryginalnie, ale w zabawny sposób. Oczywiście nie przeoczą tego naukowcy zajmujący się naukami ścisłymi. Dla nich jest to sposób na to, aby nie oderwać się od tego, co kochają, ale jednocześnie odpocząć. Tego dnia ludzie zbierają i przygotowują różne przysmaki z wizerunkiem Pi. Jest tu szczególnie dużo miejsca do poruszania się dla cukierników. Mogą zrobić ciasta z napisem „pi” i ciasteczka o podobnych kształtach. Po degustacji specjałów matematycy organizują różne quizy.

11. Istnieje ciekawy zbieg okoliczności. 14 marca urodził się wielki naukowiec Albert Einstein, który, jak wiemy, stworzył teorię względności. Tak czy inaczej, fizycy również mogą przyłączyć się do obchodów Dnia Liczby Liczbowej.

Liczba Pi- stała matematyczna równa stosunkowi obwodu koła do jego średnicy. Liczba pi to cyfrowa reprezentacja, która jest nieskończonym, nieokresowym ułamkiem dziesiętnym - 3,141592653589793238462643... i tak w nieskończoność.

100 miejsc po przecinku: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34 211 70679.

Historia udoskonalania wartości pi

W każdej książce o zabawnej matematyce z pewnością znajdziesz opowieść o wyjaśnianiu wartości pi. Początkowo w starożytnych Chinach, Egipcie, Babilonie i Grecji do obliczeń używano ułamków, na przykład 22/7 lub 49/16. W średniowieczu i renesansie matematycy europejscy, indyjscy i arabscy ​​udoskonalili wartość pi do 40 cyfr po przecinku, a na początku ery komputerów, dzięki wysiłkom wielu entuzjastów, liczbę pi zwiększono do 500.

Taka dokładność ma znaczenie czysto akademickie (więcej na ten temat poniżej), ale dla praktycznych potrzeb na Ziemi wystarczające jest 10 miejsc po przecinku. Przy promieniu Ziemi 6400 km, czyli 6,4·10 9 mm, okazuje się, że pomijając dwunastą cyfrę pi po przecinku, przy obliczaniu długości południka pomylimy się o kilka milimetrów. A przy obliczaniu długości orbity Ziemi wokół Słońca (jej promień wynosi 150 milionów km = 1,5 · 10 · 14 mm) dla tej samej dokładności wystarczy użyć liczby pi z czternastoma miejscami po przecinku. Średnia odległość od Słońca do Plutona, najdalszej planety Układu Słonecznego, jest 40 razy większa niż średnia odległość od Ziemi do Słońca. Aby obliczyć długość orbity Plutona z kilkumilimetrowym błędem, wystarczy szesnaście cyfr pi. Po co zawracać sobie głowę drobiazgami, średnica naszej Galaktyki wynosi około 100 tysięcy lat świetlnych (1 rok świetlny to w przybliżeniu 10 13 km) czyli 10 19 mm, a przecież w XVII wieku uzyskano 35 znaków pi, nadmiernych nawet jak na takie odległości.

Jaka jest trudność w obliczeniu wartości pi? Faktem jest, że jest to nie tylko irracjonalne, to znaczy, że nie można go wyrazić w postaci ułamka p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Liczb takich nie da się dokładnie zapisać, można je wyliczyć jedynie poprzez kolejne przybliżenia, zwiększając liczbę kroków, aby uzyskać większą dokładność. Najprościej jest rozważyć wielokąty foremne wpisane w okrąg o coraz większej liczbie boków i obliczyć stosunek obwodu wielokąta do jego średnicy. Wraz ze wzrostem liczby boków stosunek ten ma tendencję do pi. W ten sposób w 1593 roku Adrian van Romen obliczył obwód wpisanego wielokąta foremnego o 1073741824 (tj. 2 30) bokach i wyznaczył 15 cyfr pi. W 1596 roku Ludolf van Zeijlen uzyskał 20 znaków, obliczając wielokąt wpisany o 60 2 33 bokach. Następnie doprowadził obliczenia do 35 znaków.

Innym sposobem obliczenia liczby pi jest użycie wzorów zawierających nieskończoną liczbę wyrazów. Na przykład:

π = 2 2/1 (2/3 4/3) (4/5 6/5) (6/7 8/7) ...

π = 4 · (1/1 - 1/3) + (1/5 - 1/7) +(1/9 - 1/11) + ...

Podobne wzory można otrzymać rozszerzając np. arcus tangens w szeregu Maclaurina, wiedząc o tym

arctan(1) = π/4(ponieważ tg(45°) = 1)

lub rozszerzanie łuku sinusowego w szeregu, wiedząc o tym

arcsin(1/2) = π/6(strona leżąca naprzeciw kąta 30°).

Nowoczesne obliczenia wykorzystują jeszcze bardziej wydajne metody. Z ich pomocą na dzisiaj.

Dzień Pi

Dzień Pi obchodzony jest przez niektórych matematyków 14 marca o godzinie 1:59 (w amerykańskim systemie dat - 3/14; pierwsze cyfry liczby π = 3,14159). Obchodzone jest zwykle o godzinie 13:59 (w systemie 12-godzinnym), ale ci, którzy wyznają 24-godzinny system czasu świetlnego, uważają, że jest to godzina 13:59 i wolą świętować w nocy. W tym czasie czytane są przemówienia pochwalne na cześć liczby pi, jej roli w życiu ludzkości, rysują dystopijne obrazy świata bez pi i jedzą ciasto ( ciasto), pij napoje i graj w gry zaczynające się na pi.

• Pi (liczba) – Wikipedia

Zanim o tym porozmawiamy historia pi , zauważamy, że liczba Pi jest jedną z najbardziej tajemniczych wielkości w matematyce. Teraz sam się o tym przekonasz, drogi czytelniku…

Zacznijmy naszą historię od definicji. Zatem liczba Pi wynosi liczba abstrakcyjna , oznaczający stosunek obwodu koła do długości jego średnicy. Ta definicja jest nam znana od czasów szkolnych. Ale wtedy zaczynają się tajemnice...

Nie da się w pełni obliczyć tej wartości; 3,1415926535 , następnie po przecinku - do nieskończoności. Naukowcy uważają, że ciąg liczb się nie powtarza, a sekwencja ta jest całkowicie przypadkowa...

Tajemnica Pi To nie koniec. Astronomowie są przekonani, że trzydzieści dziewięć miejsc po przecinku w tej liczbie wystarczy, aby obliczyć obwód otaczający znane obiekty kosmiczne we Wszechświecie z błędem promienia atomu wodoru...

irracjonalny , tj. nie da się tego wyrazić w postaci ułamka. Ta wartość nadzmysłowy - tj. nie można go uzyskać wykonując jakiekolwiek operacje na liczbach całkowitych….

Liczba Pi jest ściśle związana z koncepcją złotego podziału. Archeolodzy odkryli, że wysokość Wielkiej Piramidy w Gizie jest powiązana z długością jej podstawy, tak jak promień koła ma się do jego długości...

Historia liczby P również pozostaje tajemnicą. Wiadomo, że budowniczowie wykorzystali tę wartość również do projektowania. Zachowane, kilkutysięczne, które zawierało problemy, których rozwiązanie polegało na użyciu liczby Pi. Jednak opinia na temat dokładnej wartości tej wartości wśród naukowców z różnych krajów była niejednoznaczna. Tak więc w mieście Susa, położonym dwieście kilometrów od Babilonu, znaleziono tabliczkę, na której wskazano liczbę Pi 3¹/8 . W starożytnym Babilonie odkryto, że promień koła jako cięciwy wchodzi w niego sześć razy i tam po raz pierwszy zaproponowano podzielenie koła na 360 stopni. Przy okazji zauważmy, że podobnego geometrycznego działania dokonano z orbitą Słońca, co doprowadziło starożytnych naukowców do poglądu, że rok powinien mieć około 360 dni. Jednak w Egipcie liczba Pi była równa 3,16 , a w starożytnych Indiach - 3, 088 w starożytnych Włoszech - 3,125 . uważał, że ta ilość jest równa ułamkowi 22/7 .

Liczbę Pi najdokładniej obliczył chiński astronom Zu Chun Zhi w V wieku naszej ery. Aby to zrobić, dwukrotnie zapisał liczby nieparzyste 11 33 55, następnie podzielił je na pół, pierwszą część umieścił w mianowniku ułamka, a drugą w liczniku, otrzymując w ten sposób ułamek 355/113 . Co zaskakujące, wartość ta pokrywa się ze współczesnymi obliczeniami aż do siódmej cyfry...

Kto nadał pierwszą oficjalną nazwę tej ilości?

Uważa się, że w 1647 matematyk Wyprzedzić nazwał grecką literę π oznaczającą obwód koła, biorąc do tego pierwszą literę greckiego słowa περιφέρεια – „peryferie” . Ale w 1706 Ukazała się praca nauczyciela języka angielskiego Williama Jonesa „Przegląd osiągnięć matematyki”, w którym oznaczył literą Pi stosunek obwodu koła do jego średnicy. Ten symbol został ostatecznie naprawiony w XX wieku matematyk Leonharda Eulera .

Odkąd ludzie potrafili liczyć i zaczęli badać właściwości abstrakcyjnych obiektów zwanych liczbami, pokolenia dociekliwych umysłów dokonywały fascynujących odkryć. W miarę wzrostu naszej wiedzy o liczbach niektóre z nich przykuły szczególną uwagę, a niektórym nadano nawet mistyczne znaczenie. Było, które oznacza nicość i które pomnożone przez dowolną liczbę daje samo siebie. Był początek wszystkiego, także posiadającego rzadkie właściwości, liczby pierwsze. Następnie odkryli, że istnieją liczby, które nie są liczbami całkowitymi, ale czasami powstają przez podzielenie dwóch liczb całkowitych - liczb wymiernych. Liczby niewymierne, których nie można uzyskać jako stosunek liczb całkowitych itp. Ale jeśli istnieje liczba, która zafascynowała i spowodowała, że ​​napisano wiele tekstów, jest to (pi). Liczba, która mimo długiej historii, aż do XVIII wieku, została nazwana tak, jak ją nazywamy dzisiaj.

Początek

Liczbę pi oblicza się dzieląc obwód koła przez jego średnicę. W tym przypadku wielkość koła nie jest istotna. Duże czy małe, stosunek długości do średnicy jest taki sam. Chociaż jest prawdopodobne, że właściwość ta była znana wcześniej, najwcześniejszym dowodem tej wiedzy jest Moskiewski Papirus Matematyczny z 1850 roku p.n.e. i papirus Ahmesa z 1650 r. p.n.e. (chociaż jest to kopia starszego dokumentu). Zawiera dużą liczbę problemów matematycznych, z których niektóre są bliskie a, czyli różnią się nieco o ponad 0,6% od dokładnej wartości. Mniej więcej w tym czasie Babilończycy uważali się za równych sobie. W Starym Testamencie, napisanym ponad dziesięć wieków później, Jahwe utrzymuje wszystko w prostocie i ustanawia na mocy Boskiego dekretu to, co jest dokładnie równe.

Jednakże wielkimi odkrywcami tej liczby byli starożytni Grecy, tacy jak Anaksagoras, Hipokrates z Chios i Antyfona z Aten. Wcześniej wartość była prawie na pewno określana na podstawie pomiarów eksperymentalnych. Archimedes jako pierwszy zrozumiał, jak teoretycznie ocenić jego znaczenie. Zastosowanie wielokątów opisanych i wpisanych (większy jest opisany na okręgu, w który wpisany jest mniejszy) umożliwiło określenie, który jest większy, a który mniejszy. Stosując metodę Archimedesa, inni matematycy uzyskali lepsze przybliżenia i już w 480 roku Zu Chongzhi ustalił, że wartości mieszczą się pomiędzy i. Metoda wielokątów wymaga jednak wielu obliczeń (pamiętajcie, że wszystko robiono ręcznie, a nie w nowoczesnym systemie liczbowym), więc nie miała przyszłości.

Reprezentacja

Trzeba było poczekać do XVII wieku, kiedy nastąpiła rewolucja w obliczeniach wraz z odkryciem szeregu nieskończonego, chociaż pierwszego wyniku nie było w pobliżu, był to iloczyn. Szeregi nieskończone to sumy nieskończonej liczby wyrazów tworzących pewien ciąg (na przykład wszystkie liczby postaci, w których przyjmuje wartości od do nieskończoności). W wielu przypadkach suma jest skończona i można ją znaleźć różnymi metodami. Okazuje się, że niektóre z tych szeregów są zbieżne lub związane z nimi wielkości. Aby szereg był zbieżny, konieczne (ale nie wystarczające) jest, aby zsumowane wielkości dążyły do ​​zera w miarę ich wzrostu. Zatem im więcej liczb dodamy, tym dokładniejszą otrzymamy wartość. Teraz mamy dwie możliwości uzyskania dokładniejszej wartości. Dodaj więcej liczb lub znajdź inny szereg, który zbiega się szybciej, aby móc dodać mniej liczb.

Dzięki temu nowemu podejściu dokładność obliczeń wzrosła radykalnie, a w 1873 roku William Shanks opublikował wynik wielu lat pracy, podając wartość z 707 miejscami po przecinku. Na szczęście nie dożył roku 1945, kiedy odkryto, że się pomylił i wszystkie liczby były błędne. Jednak jego podejście było najdokładniejsze przed pojawieniem się komputerów. Była to przedostatnia rewolucja w informatyce. Operacje matematyczne, których ręczne wykonanie zajęłoby kilka minut, są teraz wykonywane w ułamkach sekundy, praktycznie bez błędów. Johnowi Wrenchowi i L. R. Smithowi udało się obliczyć 2000 cyfr w 70 godzin na pierwszym komputerze elektronicznym. Barierę miliona cyfr osiągnięto w 1973 r.

Najnowszym (obecnie) postępem w informatyce jest odkrycie algorytmów iteracyjnych, które zbiegają się w szeregi szybsze niż nieskończone, dzięki czemu można osiągnąć znacznie większą dokładność przy tej samej mocy obliczeniowej. Obecny rekord to nieco ponad 10 bilionów poprawnych cyfr. Po co tak dokładnie liczyć? Biorąc pod uwagę, że znając 39 cyfr tej liczby, można obliczyć objętość znanego Wszechświata z dokładnością do najbliższego atomu, nie ma takiej potrzeby… jeszcze.

Kilka interesujących faktów

Jednak obliczenie wartości to tylko niewielka część jego historii. Liczba ta ma właściwości, które czynią tę stałą tak interesującą.

Być może największym problemem z tym związanym jest dobrze znany problem kwadratury koła, czyli problem zbudowania za pomocą kompasu i linijki kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła. Kwadratowanie koła dręczyło pokolenia matematyków przez dwadzieścia cztery wieki, aż von Lindemann udowodnił, że jest to liczba przestępna (nie jest rozwiązaniem żadnego równania wielomianowego o współczynnikach wymiernych), a zatem niemożliwa do uchwycenia ogromu. Do 1761 roku nie udowodniono, że liczba jest wymierna, to znaczy, że nie ma dwóch liczb naturalnych i tym podobnych. Transcendencję udowodniono dopiero w 1882 roku, ale nie wiadomo jeszcze, czy liczby lub (jest to kolejna irracjonalna liczba transcendentalna) są irracjonalne. Pojawia się wiele relacji niezwiązanych z kręgami. Jest to część współczynnika normalizacji funkcji normalnej, najwyraźniej najczęściej stosowanego w statystyce. Jak wspomniano wcześniej, liczba występuje jako suma wielu szeregów i jest równa iloczynom nieskończonym, ma to również znaczenie w badaniu liczb zespolonych. W fizyce można ją znaleźć (w zależności od zastosowanego układu jednostek) w stałej kosmologicznej (największy błąd Alberta Einsteina) lub w stałej stałej pola magnetycznego. W systemie liczbowym o dowolnej podstawie (dziesiętnej, binarnej...) liczby przechodzą wszystkie testy losowości, nie ma żadnego porządku ani sekwencji. Funkcja zeta Riemanna ściśle wiąże liczbę z liczbami pierwszymi. Liczba ta ma długą historię i prawdopodobnie wciąż kryje w sobie wiele niespodzianek.

Jeśli porównasz koła o różnych rozmiarach, zauważysz, co następuje: rozmiary różnych kół są proporcjonalne. Oznacza to, że gdy średnica koła zwiększy się określoną liczbę razy, długość tego koła również wzrośnie o tę samą liczbę razy. Matematycznie można to zapisać w następujący sposób:

C 1		C 2
	=
D 1		D 2	(1)

gdzie C1 i C2 to długości dwóch różnych okręgów, a d1 i d2 to ich średnice.
Zależność ta działa w obecności współczynnika proporcjonalności - znanej nam już stałej π. Z zależności (1) wynika, że ​​długość okręgu C jest równa iloczynowi średnicy tego okręgu i niezależnego od okręgu współczynnika proporcjonalności π:

C = π re.

Wzór ten można zapisać także w innej formie, wyrażając średnicę d przez promień R danego okręgu:

С = 2π R.

Ta formuła jest właśnie przewodnikiem po świecie kół dla siódmoklasistów.

Od czasów starożytnych ludzie próbowali ustalić wartość tej stałej. Przykładowo mieszkańcy Mezopotamii obliczyli pole koła korzystając ze wzoru:

Skąd się bierze π = 3?

W starożytnym Egipcie wartość π była bardziej precyzyjna. W latach 2000-1700 p.n.e. pisarz Ahmes sporządził papirus, w którym znajdziemy przepisy na rozwiązywanie różnych problemów praktycznych. Na przykład, aby znaleźć obszar koła, używa wzoru:

			8			2
S	=	(		D	)
			9

Z jakich powodów doszedł do tej formuły? - Nieznany. Prawdopodobnie jednak opierał się na swoich obserwacjach, podobnie jak robili to inni starożytni filozofowie.

Śladami Archimedesa

Która z tych dwóch liczb jest większa niż 22/7 lub 3,14?
- Są równi.
- Dlaczego?
- Każdy z nich jest równy π.
A. A. Własow. Z Karty Egzaminacyjnej.

Niektórzy uważają, że ułamek 22/7 i liczba π są identyczne. Jest to jednak błędne przekonanie. Oprócz powyższej błędnej odpowiedzi na egzaminie (patrz motto), możesz do tej grupy dodać jeszcze jedną bardzo zabawną zagadkę. Zadanie brzmi: „Ułóż jedno dopasowanie tak, aby równość stała się prawdziwa”.

Rozwiązanie byłoby następujące: musisz utworzyć „dach” dla dwóch pionowych dopasowań po lewej stronie, używając jednego z pionowych dopasowań w mianowniku po prawej stronie. Otrzymasz wizualny obraz litery π.

Wiele osób wie, że przybliżenie π = 22/7 zostało określone przez starożytnego greckiego matematyka Archimedesa. Na cześć tego przybliżenia często nazywa się liczbą „Archimedesa”. Archimedesowi udało się nie tylko ustalić przybliżoną wartość π, ale także ustalić dokładność tego przybliżenia, a mianowicie znaleźć wąski przedział liczbowy, do którego należy wartość π. Archimedes w jednej ze swoich prac udowadnia łańcuch nierówności, który współcześnie wyglądałby tak:

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

można zapisać prościej: 3140 909< π < 3,1 428 265...

Jak widać z nierówności Archimedes znalazł dość dokładną wartość z dokładnością do 0,002. Najbardziej zaskakujące jest to, że znalazł dwa pierwsze miejsca po przecinku: 3,14... To wartość, której najczęściej używamy w prostych obliczeniach.

Praktyczne użycie

Dwie osoby podróżują pociągiem:
- Spójrz, szyny są proste, koła są okrągłe.
Skąd dochodzi pukanie?
- Skąd? Koła są okrągłe, ale obszar
koło pier er kwadrat, to kwadrat, który puka!

Z reguły zapoznają się z tą niesamowitą liczbą w klasach 6-7, ale pod koniec ósmej klasy studiują ją dokładniej. W tej części artykułu przedstawimy podstawowe i najważniejsze wzory, które przydadzą Ci się w rozwiązywaniu problemów geometrycznych, ale na początek zgodzimy się przyjąć π jako 3,14 dla ułatwienia obliczeń.

Być może najbardziej znaną formułą wśród uczniów używającą π jest wzór na długość i powierzchnię koła. Pierwszy, wzór na pole koła, zapisuje się w następujący sposób:

	π D 2
S=πR2 =
	4

gdzie S to powierzchnia koła, R to jego promień, D to średnica koła.

Obwód koła lub, jak to się czasem nazywa, obwód koła oblicza się według wzoru:

C = 2 π R = π d,

gdzie C to obwód, R to promień, d to średnica koła.

Oczywiste jest, że średnica d jest równa dwóm promieniom R.

Ze wzoru na obwód łatwo obliczyć promień okręgu:

gdzie D jest średnicą, C jest obwodem, R jest promieniem okręgu.

To podstawowe formuły, które powinien znać każdy uczeń. Czasami konieczne jest również obliczenie pola nie całego koła, ale tylko jego części - sektora. Dlatego przedstawiamy Ci to - wzór na obliczenie pola wycinka koła. To wygląda tak:

			α
S	=	π R 2
			360 ˚

gdzie S jest obszarem sektora, R jest promieniem okręgu, α jest kątem środkowym w stopniach.

Tak tajemniczy 3.14

Rzeczywiście, jest tajemniczo. Ponieważ na cześć tych magicznych liczb organizują wakacje, kręcą filmy, organizują wydarzenia publiczne, piszą wiersze i wiele więcej.

Na przykład w 1998 roku ukazał się film amerykańskiego reżysera Darrena Aronofsky'ego zatytułowany „Pi”. Film otrzymał wiele nagród.

Co roku 14 marca o godzinie 1:59:26 osoby zainteresowane matematyką obchodzą „Dzień Pi”. Na święto ludzie przygotowują okrągły tort, siadają przy okrągłym stole i dyskutują o liczbie Pi, rozwiązują problemy i łamigłówki związane z Pi.

Na tę niesamowitą liczbę zwrócili także uwagę poeci; nieznana osoba napisała:
Musisz po prostu spróbować zapamiętać wszystko takim, jakie jest – trzy, czternaście, piętnaście, dziewięćdziesiąt dwa i sześć.

Zabawmy się!

Oferujemy Państwu ciekawe puzzle z liczbą Pi. Rozwikłaj słowa zaszyfrowane poniżej.

1. π R

2. π L

3. π k

Odpowiedzi: 1. Święto; 2. Plik; 3. Pisk.

Tatiana Durimanova

Stworzyłam na Facebooku stronę o nazwie „Język jako filozofia życia”. Właściwie chciałem to nazwać „Notatkami z domu wariatów”, bo co innego niż dom wariatów reprezentuje nasze współczesne życie? Nie, nie będę już mówił o tym, że każdy gdzieś biegnie, nie ma czasu na coś, ciągle czegoś mu brakuje: czasu, pieniędzy itp. Że zalewa nas fala niezrozumienia tego, co dzieje się wokół nas, w jakim kierunku zmierza świat...
Kręcimy się jak wiewiórki w kole. Mamy wrażenie, że kręcimy się w błędnym kole. Tracimy krąg przyjaciół, wpadamy w błędne koło… Brzmi znajomo? I rano-dzień-wieczór-noc i znowu w kółko. Wiosna-lato-jesień-zima i znowu w kółko.
Swoją drogą, kto może dokładnie powiedzieć, o której godzinie poranek ustąpi miejsca nocy, zimie, wiośnie? Czy w ogóle można narysować wyraźną linię między kurą a jajkiem i czy można je rozdzielić? Być może lepiej byłoby rozpoznać, że jajko jest potencjalną kurą, kura jest potencjalnym jajkiem i nie można ich rozdzielić. Gdzie się kończą ja, a zaczynają moje problemy, problemy moich dzieci, przyjaciół itp., które stają się moimi tylko dlatego, że mieszkamy w tym samym mieszkaniu, domu, mieście, świecie? Czy Pan Bóg powiedział nam, że w Greenwich mają być wyznaczone godziny zero, że mam się nazywać Tatyana, a krzesło to krzesło? Gdzie kończy się świat realny (materialny), a zaczyna świat wymyślony przez nas?
Ziemia obraca się wokół własnej osi i po orbicie (okrąg, elipsa - jaka jest różnica?). Galaktyki obracają się. Naukowcy odkryli pola torsyjne, udowodnili, że... „zgodnie z teorią względności Alberta Einsteina świat nie jest zbudowany dokładnie tak, jak [jak nas uczono i uczono w szkole]), jest w nim zakrzywienie przestrzeni, tak że dwie linie proste, które są równoległe w danym obszarze przestrzeni, na pewnym odcinku ich długości mogą się przecinać. Niedawno założenie Einsteina o krzywiźnie przestrzeni zostało potwierdzone eksperymentalnie” (Aleksander Babitski).
I wszyscy przemieszczamy się z punktu A do punktu B wierząc, że leżą one na linii prostej.
Zapytacie, dlaczego to mnie, lingwistę, przyciągnęło do fizyki? Tak, ponieważ wszystko wokół nas i w nas samych jest fizyką. Język to fizyka. Czy dźwięk nie należy do dziedziny fizyki? A teraz powiedz mi, co to jest dźwięk samogłoski? Proponuję „uroczą” definicję dźwięków na miarę XXI wieku: „Wymawiamy i słyszymy dźwięki, piszemy i widzimy litery. Podczas wymawiania dźwięku samogłoskowego powietrze nie napotyka żadnych przeszkód: [a], [o], [u], [i], [s], [e]. Wymawiając spółgłoskę, powietrze napotyka przeszkodę: usta, zęby, język. Dźwięk spółgłoskowy wymawia się głosem i hałasem lub tylko hałasem.
W zasadzie wszystko się zgadza. Możesz po prostu nucić „dźwięk samogłoski” bez otwierania ust. Życzę zdrowia. Ale jeśli otworzysz usta, usłyszysz znane nam wszystkim dźwięki „a”, „e”, które różnią się jedynie stopniem zaokrąglenia, rozciągnięcia lub wciągnięcia warg w rurkę. Czy sie zgadzasz? To jak arbuz, którego można pokroić w plasterki, kostkę, figurki, a mimo to pozostaje arbuzem!!! A w którym momencie dźwięk „a” zmienia się w „o”? Czy istnieje wyraźna granica? Oczywiście na jakość dźwięku samogłoski może wpływać położenie języka (dźwięki tylne), obniżenie żuchwy, ponownie z odpowiednią pozycją języka, ale to wciąż ten sam arbuz, pocięty w kształty.
Dźwięk spółgłoski stanowi barierę dla dźwięku samogłoski. Jak można stworzyć taką barierę? Przeczytaj wyżej: usta, zęby, język. Innymi słowy, narzędzia mowy są dość ograniczone, ale jaka obfitość języków!!! (Jak Wam się podoba 7 nut i taka obfitość muzyki?)
A teraz pomyślmy o tym: kot ma ten zestaw narzędzi, pies, delfin i ogólnie ryba itd....
„No cóż, wpadłem” – mówisz. Tak, jestem tu! Czy był czas, kiedy Ziemię uważano za naleśnik? Czy elektryczność nie istnieje tylko dlatego, że jej nie widzimy i nie słyszymy? Jeśli udowodni się, że nie ma próżni, to wszystko tam jest, ale wszystko to można ponownie rozróżnić w zależności od narzędzi, których używamy do badania i badania obiektu. W miarę jak się poprawia, dowiadujemy się coraz więcej nowych rzeczy, których wcześniej nawet nie mogliśmy sobie wyobrazić.
Język jest formacją myślenia. Gdzie myśl jest sformalizowana? Co wiemy o naszym świecie, o nas samych? Szukamy innych światów, nie znając własnego! To jest właśnie problem!
Co wiemy o języku poza tym, że jest on sformalizowany w dźwiękach. Proszę o sformalizowanie – kummmmarama. Co to jest? Nic, bo dźwięk samogłoskowy może „unieść” tylko określoną liczbę dźwięków spółgłoskowych, tak jak ja, ważąc 50 kg, nie jestem w stanie podnieść ciężaru o wadze 150 kg. Fizyka, wiesz!
Przejdźmy teraz do krzywizny przestrzeni i koła, od którego zaczęliśmy. Powiedzmy, że wątpimy, że język rozwija się nie po spirali (pod względem kontekstu), ale po linii prostej, a powiem Wam, że „w naszym dużym mieście jest główna ulica, która przecina całe miasto, na której rośnie wiele drzew rośnie i wielu ludzi chodzi…”. Głupoto, powiedz mi, gdzie są znaki interpunkcyjne? Gdzie są przecinki i kropki?
Ale czym są znaki interpunkcyjne? Są oznakami oddzielenia dopełnienia podmiotowo-orzeczniczego (wraz z powiązanymi definicjami) jednego zdania od początku drugiego. Imiesłów to nic innego jak mnożenie: co mija = przemijanie, natomiast rozwinięcie „przechodzenia” w „które przechodzi” jest już dzieleniem. I to jest matematyka! Nic zaskakującego. Świat jest niepodzielny. To jest integralność. Język to także integralność. Nadszedł czas, abyśmy spojrzeli na wszystko w nowy sposób. Obudź się i rozejrzyj się. Ucz dzieci niezasad, np. „Istnieje osobna grupa słów – predykaty (lub kategoria stanu). Są to słowa, które oznaczają stan niedynamiczny i działają jako główny członek (orzeczenie, orzeczenie) jednoczęściowego zdania bezosobowego. Naukowcy wciąż nie są zdecydowani co do statusu słów kategorii stanu. Zatem słowo POTRZEBA wraz z innymi słowami (przepraszam, polowanie, brak czasu, czasu itp.) znajduje się w tej grupie słów.
Czy rozumiesz o co tu chodzi? Ja nie! Dla kogo to jest napisane? Pewnie dla studentów. Biedni studenci! Jeśli nawet naukowcy nadal czegoś tam nie zrozumieli, jak dzieci powinny to rozumieć? Zastanawiam się, czy nauczyciele przynajmniej nauczyli się tej definicji na pamięć?
Dlatego właśnie stworzyłam swój kanał na YouTubie, żeby po prostu (w ludzkim języku) opowiadać o tym, co najważniejsze – o języku.
Jeśli po przeczytaniu to wszystko (nawiasem mówiąc, napisane w pośpiechu) wydaje ci się bzdurą, nie spiesz się, aby mi powiedzieć, że jestem nienormalny. Nazwałem to notatkami z domu wariatów. Jeśli wydaje ci się to nienormalne, to mieszkasz w domu naprzeciwko. Nie mam zamiaru tego definiować. Żyjemy w kraju zwycięskiej demokracji i... wartości. Każdy ma prawo do swojej opinii.

Miłośnicy matematyki na całym świecie co roku czternastego marca zjadają kawałek ciasta – w końcu jest to dzień Pi, najsłynniejszej liczby niewymiernej. Data ta jest bezpośrednio powiązana z liczbą, której pierwsze cyfry to 3,14. Pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Ponieważ jest to irracjonalne, nie można zapisać go w postaci ułamka zwykłego. Jest to nieskończenie długa liczba. Została odkryta tysiące lat temu i od tego czasu jest nieustannie badana, ale czy Pi ma jeszcze jakieś tajemnice? Od starożytnych początków po niepewną przyszłość – oto niektóre z najciekawszych faktów na temat liczby Pi.

Zapamiętywanie Pi

Rekord w zapamiętywaniu liczb dziesiętnych należy do Rajvira Meeny z Indii, któremu udało się zapamiętać 70 000 cyfr – ustanowił go 21 marca 2015 roku. Wcześniej rekordzistą był Chao Lu z Chin, któremu udało się zapamiętać 67 890 cyfr – rekord ten został ustanowiony w 2005 roku. Nieoficjalnym rekordzistą jest Akira Haraguchi, który w 2005 roku nagrał siebie na wideo, powtarzając 100 000 cyfr, a niedawno opublikował wideo, na którym udaje mu się zapamiętać 117 000 cyfr. Rekord stałby się oficjalny dopiero wtedy, gdyby ten film został nagrany w obecności przedstawiciela Księgi Rekordów Guinnessa, a bez potwierdzenia pozostaje jedynie faktem imponującym, ale nie jest uważany za osiągnięcie. Miłośnicy matematyki uwielbiają zapamiętywać liczbę Pi. Wiele osób stosuje różne techniki mnemoniczne, na przykład poezję, gdzie liczba liter w każdym słowie odpowiada cyfrom Pi. Każdy język ma swoje własne wersje podobnych zwrotów, które pomagają zapamiętać zarówno kilka pierwszych liczb, jak i całą setkę.

Istnieje język Pi

Matematycy, pasjonaci literatury, wymyślili dialekt, w którym liczba liter we wszystkich słowach odpowiada cyfrom Pi w dokładnej kolejności. Pisarz Mike Keith napisał nawet książkę Not a Wake, która jest w całości napisana w języku Pi. Entuzjaści takiej twórczości piszą swoje dzieła w pełnej zgodzie z liczbą liter i znaczeniem cyfr. Nie ma to praktycznego zastosowania, ale jest zjawiskiem dość powszechnym i dobrze znanym w kręgach entuzjastycznych naukowców.

Wzrost wykładniczy

Pi to liczba nieskończona, więc z definicji ludzie nigdy nie będą w stanie ustalić dokładnych cyfr tej liczby. Jednakże liczba miejsc po przecinku znacznie wzrosła od czasu pierwszego użycia liczby Pi. Używali go także Babilończycy, ale wystarczył im ułamek trzech całych i jedna ósma. Chińczycy i twórcy Starego Testamentu byli całkowicie ograniczeni do trzech. Do 1665 roku Sir Izaak Newton obliczył 16 cyfr liczby Pi. Do 1719 roku francuski matematyk Tom Fante de Lagny obliczył 127 cyfr. Pojawienie się komputerów radykalnie poprawiło ludzką wiedzę na temat liczby Pi. W latach 1949–1967 liczba znanych człowiekowi gwałtownie wzrosła z 2 037 do 500 000. Niedawno Peter Trueb, naukowiec ze Szwajcarii, był w stanie obliczyć 2,24 biliona cyfr Pi! Zajęło to 105 dni. Oczywiście nie jest to limit. Jest prawdopodobne, że wraz z rozwojem technologii możliwe będzie ustalenie jeszcze dokładniejszej liczby - ponieważ Pi jest nieskończone, po prostu nie ma ograniczeń co do dokładności i mogą ją ograniczyć tylko cechy techniczne technologii komputerowej.

Ręczne obliczanie Pi

Jeśli chcesz sam znaleźć liczbę, możesz skorzystać ze starej techniki - będziesz potrzebować linijki, słoika i sznurka lub możesz skorzystać z kątomierza i ołówka. Wadą używania puszki jest to, że musi być ona okrągła, a dokładność zależy od tego, jak dobrze dana osoba jest w stanie owinąć wokół niej linę. Możesz narysować okrąg za pomocą kątomierza, ale wymaga to również umiejętności i precyzji, ponieważ nierówny okrąg może poważnie zniekształcić pomiary. Bardziej dokładna metoda polega na użyciu geometrii. Podziel okrąg na wiele segmentów, niczym pizzę na plasterki, a następnie oblicz długość linii prostej, która zamieniłaby każdy segment w trójkąt równoramienny. Suma boków da przybliżoną liczbę Pi. Im więcej segmentów użyjesz, tym dokładniejsza będzie liczba. Oczywiście w swoich obliczeniach nie będziesz w stanie zbliżyć się do wyników komputera, jednak te proste eksperymenty pozwalają bardziej szczegółowo zrozumieć, czym jest liczba Pi i jak jest ona wykorzystywana w matematyce.

Odkrycie Pi

Starożytni Babilończycy wiedzieli o istnieniu liczby Pi już cztery tysiące lat temu. Babilońskie tabliczki obliczają liczbę Pi na 3,125, a egipski papirus matematyczny podaje liczbę 3,1605. W Biblii Pi podawane jest w przestarzałej długości łokci, a grecki matematyk Archimedes zastosował twierdzenie Pitagorasa, geometryczną zależność między długością boków trójkąta a polem figur wewnątrz i na zewnątrz okręgów, opisać Pi. Możemy zatem śmiało powiedzieć, że Pi jest jednym z najstarszych pojęć matematycznych, chociaż dokładna nazwa tej liczby pojawiła się stosunkowo niedawno.

Nowe spojrzenie na Pi

Jeszcze zanim liczbę Pi zaczęto wiązać z okręgami, matematycy znali już wiele sposobów na nazwanie tej liczby. Na przykład w starożytnych podręcznikach matematyki można znaleźć wyrażenie po łacinie, które można z grubsza przetłumaczyć jako „wielkość, która pokazuje długość po pomnożeniu przez nią średnicy”. Liczba niewymierna stała się sławna, gdy szwajcarski naukowiec Leonhard Euler użył jej w swojej pracy z trygonometrii w 1737 roku. Jednak grecki symbol Pi nadal nie był używany – stało się to dopiero w książce mniej znanego matematyka Williama Jonesa. Używał go już w 1706 roku, jednak przez długi czas pozostawał niezauważony. Z biegiem czasu naukowcy przyjęli tę nazwę i obecnie jest to najsłynniejsza wersja nazwy, chociaż wcześniej nazywano ją także liczbą Ludolfa.

Czy Pi jest normalne?

Pi to zdecydowanie dziwna liczba, ale w jakim stopniu podlega normalnym prawom matematycznym? Naukowcy rozwiązali już wiele pytań związanych z tą niewymierną liczbą, ale pewne tajemnice pozostają. Nie wiadomo np. jak często używane są wszystkie liczby – cyfry od 0 do 9 należy stosować w równych proporcjach. Statystyki można jednak prześledzić już od pierwszych bilionów cyfr, jednak ze względu na to, że liczba jest nieskończona, nie da się niczego udowodnić z całą pewnością. Istnieją inne problemy, które wciąż umykają naukowcom. Możliwe, że dalszy rozwój nauki pomoże rzucić na nie światło, ale na razie pozostaje to poza zasięgiem ludzkiej inteligencji.

Pi brzmi bosko

Naukowcy nie potrafią odpowiedzieć na niektóre pytania dotyczące liczby Pi, jednak z roku na rok coraz lepiej rozumieją jej istotę. Już w XVIII wieku udowodniono irracjonalność tej liczby. Ponadto udowodniono, że liczba ta jest transcendentalna. Oznacza to, że nie ma konkretnego wzoru, który pozwalałby obliczyć Pi za pomocą liczb wymiernych.

Niezadowolenie z liczby Pi

Wielu matematyków jest po prostu zakochanych w Pi, ale są też tacy, którzy uważają, że liczby te nie są szczególnie znaczące. Ponadto twierdzą, że Tau, które jest dwukrotnie większe od Pi, wygodniej jest używać jako liczby niewymiernej. Tau pokazuje związek między obwodem a promieniem, co według niektórych stanowi bardziej logiczną metodę obliczeń. Nie da się jednak niczego jednoznacznie ustalić w tej kwestii, a jedna i druga liczba zawsze będzie miała zwolenników, obie metody mają prawo do życia, więc jest to tylko ciekawostka, a nie powód, aby sądzić, że nie należy użyj liczby Pi.

Ile wynosi Pi? znamy i pamiętamy ze szkoły. Jest równa 3,1415926 i tak dalej... Zwykłemu człowiekowi wystarczy wiedza, że ​​liczbę tę otrzymuje się dzieląc obwód koła przez jego średnicę. Ale wiele osób wie, że liczba Pi pojawia się w nieoczekiwanych obszarach nie tylko matematyki i geometrii, ale także fizyki. Cóż, jeśli zagłębisz się w szczegóły natury tej liczby, zauważysz wiele zaskakujących rzeczy wśród nieskończonej serii liczb. Czy to możliwe, że Pi skrywa najgłębsze tajemnice wszechświata?

Nieskończona liczba

Sama liczba Pi pojawia się w naszym świecie jako długość koła, którego średnica jest równa jeden. Ale pomimo tego, że odcinek równy Pi jest dość skończony, liczba Pi zaczyna się od 3,1415926 i zmierza do nieskończoności w rzędach liczb, które nigdy się nie powtarzają. Pierwszym zaskakującym faktem jest to, że liczby tej, stosowanej w geometrii, nie można wyrazić jako ułamka liczb całkowitych. Innymi słowy, nie można tego zapisać jako stosunku dwóch liczb a/b. Ponadto liczba Pi jest przestępna. Oznacza to, że nie ma równania (wielomianu) o współczynnikach całkowitych, którego rozwiązaniem byłaby liczba Pi.

Fakt, że liczba Pi jest przestępna, udowodnił w 1882 roku niemiecki matematyk von Lindemann. To właśnie ten dowód stał się odpowiedzią na pytanie, czy można za pomocą kompasu i linijki narysować kwadrat, którego pole jest równe polu danego koła. Problem ten, znany jako poszukiwanie kwadratury koła, nurtuje ludzkość od czasów starożytnych. Wydawało się, że ten problem ma proste rozwiązanie i wkrótce zostanie rozwiązany. Ale to właśnie niezrozumiała właściwość liczby Pi pokazała, że ​​nie ma rozwiązania problemu kwadratury koła.

Od co najmniej czterech i pół tysiącleci ludzkość próbuje uzyskać coraz dokładniejszą wartość Pi. Na przykład w Biblii, w Trzeciej Księdze Królewskiej (7:23), za liczbę Pi przyjmuje się 3.

Wartość Pi z niezwykłą dokładnością można znaleźć w piramidach w Gizie: stosunek obwodu i wysokości piramid wynosi 22/7. Ułamek ten daje przybliżoną wartość Pi równą 3,142... O ile oczywiście Egipcjanie nie ustalili tego stosunku przez przypadek. Tę samą wartość uzyskał już w odniesieniu do obliczenia liczby Pi w III wieku p.n.e. przez wielkiego Archimedesa.

W Papirusie Ahmesa, starożytnym egipskim podręczniku matematyki datowanym na 1650 rok p.n.e., liczbę Pi oblicza się jako 3,160493827.

W starożytnych tekstach indyjskich około IX wieku p.n.e. najdokładniejszą wartość wyrażała liczba 339/108, która była równa 3,1388...

Przez prawie dwa tysiące lat po Archimedesie ludzie próbowali znaleźć sposoby obliczenia liczby Pi. Byli wśród nich zarówno znani, jak i nieznani matematycy. Na przykład rzymski architekt Marek Witruwiusz Pollio, egipski astronom Klaudiusz Ptolemeusz, chiński matematyk Liu Hui, indyjski mędrzec Aryabhata, średniowieczny matematyk Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, arabski naukowiec Al-Khwarizmi, od którego imienia pochodzi słowo pojawił się „algorytm”. Wszyscy oni i wiele innych osób poszukiwało najdokładniejszych metod obliczania Pi, ale aż do XV wieku nie udało im się uzyskać więcej niż 10 miejsc po przecinku ze względu na złożoność obliczeń.

Wreszcie w 1400 roku indyjski matematyk Madhava z Sangamagramu obliczył Pi z dokładnością do 13 cyfr (choć w dwóch ostatnich nadal się mylił).

Liczba znaków

W XVII wieku Leibniz i Newton odkryli analizę wielkości nieskończenie małych, która umożliwiła obliczanie liczby Pi w sposób bardziej progresywny – poprzez szeregi potęgowe i całki. Sam Newton obliczył 16 miejsc po przecinku, ale nie wspomniał o tym w swoich książkach - stało się to znane po jego śmierci. Newton twierdził, że obliczył Pi wyłącznie z nudów.

Mniej więcej w tym samym czasie wystąpili także inni, mniej znani matematycy, którzy zaproponowali nowe wzory na obliczanie Pi za pomocą funkcji trygonometrycznych.

Na przykład jest to wzór zastosowany do obliczenia Pi przez nauczyciela astronomii Johna Machina w 1706 roku: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Korzystając z metod analitycznych, Machin wyprowadził z tego wzoru liczbę Pi z dokładnością do stu miejsc po przecinku.

Nawiasem mówiąc, w tym samym 1706 roku liczba Pi otrzymała oficjalne oznaczenie w postaci greckiej litery: William Jones użył jej w swojej pracy nad matematyką, przyjmując pierwszą literę greckiego słowa „peryferie”, co oznacza „okrąg” .” Wielki Leonhard Euler, urodzony w 1707 r., spopularyzował to oznaczenie, znane dziś każdemu uczniowi.

Przed erą komputerów matematycy pracowali nad obliczeniem jak największej liczby znaków. W związku z tym czasami pojawiały się zabawne rzeczy. Matematyk-amator W. Shanks obliczył w 1875 roku 707 cyfr liczby Pi. Te siedemset znaków zostało uwiecznionych na ścianie Palais des Discoverys w Paryżu w 1937 roku. Jednak dziewięć lat później uważni matematycy odkryli, że tylko pierwszych 527 znaków zostało poprawnie obliczonych. Aby naprawić błąd, muzeum musiało ponieść znaczne wydatki – teraz wszystkie dane są prawidłowe.

Kiedy pojawiły się komputery, liczbę cyfr Pi zaczęto obliczać w zupełnie niewyobrażalnej kolejności.

Jeden z pierwszych komputerów elektronicznych, ENIAC, stworzony w 1946 roku, był ogromnych rozmiarów i generował tyle ciepła, że ​​w pomieszczeniu nagrzało się do 50 stopni Celsjusza, co obliczyło pierwsze 2037 cyfr Pi. Obliczenia te zajęły maszynie 70 godzin.

W miarę udoskonalania komputerów nasza wiedza na temat liczby Pi przesuwała się coraz dalej w nieskończoność. W 1958 r. obliczono 10 tysięcy cyfr tej liczby. W 1987 roku Japończycy obliczyli 10 013 395 znaków. W 2011 roku japoński badacz Shigeru Hondo przekroczył granicę 10 bilionów znaków.

Gdzie jeszcze można spotkać Pi?

Często więc nasza wiedza o liczbie Pi pozostaje na poziomie szkolnym i wiemy na pewno, że liczba ta jest niezastąpiona przede wszystkim w geometrii.

Oprócz wzorów na długość i pole koła liczbę Pi stosuje się we wzorach na elipsy, kule, stożki, cylindry, elipsoidy i tak dalej: w niektórych miejscach wzory są proste i łatwe do zapamiętania, ale w innych zawierają bardzo złożone całki.

Wtedy liczbę Pi możemy spotkać we wzorach matematycznych, gdzie na pierwszy rzut oka geometria nie jest widoczna. Na przykład całka nieoznaczona z 1/(1-x^2) jest równa Pi.

Liczba Pi jest często używana w analizie szeregowej. Oto na przykład prosty szereg zbieżny do Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Spośród szeregów Pi pojawia się najbardziej nieoczekiwanie w słynnej funkcji zeta Riemanna. Nie da się o tym w skrócie porozmawiać, powiedzmy, że kiedyś liczba Pi pomoże znaleźć wzór na obliczanie liczb pierwszych.

I absolutnie zaskakujące: Pi pojawia się w dwóch najpiękniejszych „królewskich” wzorach matematyki – wzorze Stirlinga (pomagającym znaleźć przybliżoną wartość silni i funkcji gamma) oraz wzorze Eulera (który łączy aż pięć stałych matematycznych).

Jednak najbardziej nieoczekiwane odkrycie czekało matematyków zajmujących się teorią prawdopodobieństwa. Liczba Pi również tam jest.

Na przykład prawdopodobieństwo, że dwie liczby będą względnie pierwsze, wynosi 6/PI^2.

Pi pojawia się w sformułowanym w XVIII wieku przez Buffona problemie rzucania igłą: jakie jest prawdopodobieństwo, że igła rzucona na kartkę papieru w linie przekroczy jedną z linii. Jeśli długość igły wynosi L, a odległość między liniami wynosi L, a r > L, to możemy w przybliżeniu obliczyć wartość Pi, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo 2L/rPI. Wyobraź sobie - możemy uzyskać Pi ze zdarzeń losowych. A tak przy okazji, Pi występuje w normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa, pojawia się w równaniu słynnej krzywej Gaussa. Czy to oznacza, że ​​liczba Pi jest jeszcze bardziej fundamentalna niż tylko stosunek obwodu do średnicy?

Pi możemy spotkać także w fizyce. Pi pojawia się w prawie Coulomba, które opisuje siłę oddziaływania dwóch ładunków, w trzecim prawie Keplera, które pokazuje okres obrotu planety wokół Słońca, a nawet pojawia się w układzie orbitali elektronowych atomu wodoru. I znowu najbardziej niewiarygodne jest to, że liczba Pi ukryta jest we wzorze zasady nieoznaczoności Heisenberga – podstawowego prawa fizyki kwantowej.

Sekrety Pi

W powieści Carla Sagana Kontakt, na której powstał film o tym samym tytule, kosmici mówią bohaterce, że wśród znaków Pi kryje się tajemne przesłanie od Boga. Od pewnego miejsca cyfry w liczbie przestają być przypadkowe i stanowią kod, w którym zapisane są wszystkie tajemnice Wszechświata.

W tej powieści odzwierciedlono tajemnicę, która zaprząta umysły matematyków na całym świecie: czy Pi jest normalną liczbą, w której cyfry są rozproszone z równą częstotliwością, czy też jest coś nie tak z tą liczbą? I chociaż naukowcy skłaniają się ku pierwszej opcji (ale nie mogą jej udowodnić), liczba Pi wygląda bardzo tajemniczo. Pewien Japończyk obliczył kiedyś, ile razy liczby od 0 do 9 występują w pierwszym bilionie cyfr Pi. I zobaczyłem, że liczby 2, 4 i 8 były częstsze niż pozostałe. Może to być jedna z wskazówek, że liczba Pi nie jest całkowicie normalna, a zawarte w niej liczby rzeczywiście nie są przypadkowe.

Zapamiętajmy wszystko, co przeczytaliśmy powyżej i zadajmy sobie pytanie, jaka inna liczba irracjonalna i transcendentalna jest tak często spotykana w prawdziwym świecie?

A w sklepie jest więcej dziwactw. Na przykład suma pierwszych dwudziestu cyfr Pi wynosi 20, a suma pierwszych 144 cyfr jest równa „liczbie bestii” 666.

Główny bohater amerykańskiego serialu „Podejrzany”, profesor Finch, powiedział uczniom, że ze względu na nieskończoność liczby Pi można w niej znaleźć dowolną kombinację liczb, począwszy od liczb z datą urodzenia po liczby bardziej zespolone . Na przykład na pozycji 762 znajduje się ciąg sześciu dziewiątek. Pozycję tę nazwano punktem Feynmana na cześć słynnego fizyka, który zauważył tę interesującą kombinację.

Wiemy również, że liczba Pi zawiera ciąg 0123456789, ale znajduje się na 17 387 594 880 cyfrze.

Wszystko to sprawia, że ​​w nieskończoności liczby Pi można znaleźć nie tylko ciekawe kombinacje liczb, ale także zakodowany tekst „Wojny i pokoju”, Biblię, a nawet Główną Tajemnicę Wszechświata, jeśli taka istnieje.

Przy okazji, o Biblii. Słynny popularyzator matematyki Martin Gardner stwierdził w 1966 roku, że milionową cyfrą Pi (wówczas jeszcze nieznaną) będzie liczba 5. Swoje obliczenia tłumaczył tym, że w angielskiej wersji Biblii, w 3. księga, rozdział 14, 16 wersetów (3-14-16) siódme słowo zawiera pięć liter. Liczba milionowa została osiągnięta osiem lat później. To był numer pięć.

Czy warto po tym twierdzić, że liczba Pi jest losowa?