Różniczkowanie funkcji wykładniczej i logarytmicznej. Funkcja pierwotna funkcji wykładniczej w zadaniach UNT. Różniczkowanie funkcji wykładniczych i logarytmicznych - Hipermarket Wiedzy Różnicowanie funkcji wykładniczych i logarytmicznych pysków

Różniczkowanie funkcji wykładniczej i logarytmicznej

1. Liczba e. Funkcja y = e x, jej własności, wykres, różniczkowanie

Rozważmy wykładniczy funkcjonować y=a x, gdzie a > 1. Dla różnych baz a otrzymujemy różne wykresy (rys. 232-234), ale można zauważyć, że wszystkie przechodzą przez punkt (0; 1), wszystkie mają asymptotę poziomą y = 0 w , wszystkie są skierowane wypukłie w dół i ostatecznie wszystkie mają styczne we wszystkich swoich punktach. Narysujmy na przykład styczną do grafika funkcja y=2x w punkcie x = 0 (rys. 232). Jeśli wykonasz dokładne konstrukcje i pomiary, możesz upewnić się, że ta styczna tworzy z osią x kąt 35° (w przybliżeniu).

Narysujmy teraz styczną do wykresu funkcji y = 3 x, także w punkcie x = 0 (ryc. 233). Tutaj kąt pomiędzy styczną a osią x będzie większy - 48°. A dla funkcji wykładniczej y = 10 x w podobny sposób
sytuacji otrzymujemy kąt 66,5° (ryc. 234).

Jeśli zatem podstawa a funkcji wykładniczej y=ax stopniowo wzrasta od 2 do 10, to kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie x=0 a osią x stopniowo wzrasta od 35° do 66,5 °. Logiczne jest założenie, że istnieje podstawa a, dla której odpowiedni kąt wynosi 45°. Podstawę tę należy ująć pomiędzy liczbami 2 i 3, gdyż dla funkcji y-2x interesujący nas kąt wynosi 35°, czyli mniej niż 45°, a dla funkcji y=3 x jest on równy 48° , czyli już nieco ponad 45°. Interesująca nas baza jest zwykle oznaczona literą e. Ustalono, że liczba e jest niewymierna, tj. reprezentuje nieskończoną liczbę dziesiętną nieokresową frakcja:

e = 2,7182818284590...;

w praktyce przyjmuje się zwykle, że e=2,7.

Komentarz(niezbyt poważne). Jest rzeczą oczywistą, że L. N. Tołstoj nie ma nic wspólnego z liczbą e, jednak pisząc liczbę e, należy pamiętać, że liczba 1828 powtarza się dwa razy z rzędu - rok urodzenia L.N. Tołstoj.

Wykres funkcji y=e x pokazano na ryc. 235. Jest to wykładniczy, który różni się od innych wykładniczych (wykresów funkcji wykładniczych o innych podstawach) tym, że kąt pomiędzy styczną do wykresu w punkcie x=0 a osią x wynosi 45°.

Własności funkcji y = e x:

1)
2) nie jest ani parzysty, ani nieparzysty;
3) podwyżki;
4) nieograniczony od góry, ograniczony od dołu;
5) nie ma ani największej, ani najmniejszej wartości;
6) ciągły;
7)
8) wypukły w dół;
9) różniczkowalne.

Wróć do § 45, spójrz na listę właściwości funkcji wykładniczej y = a x dla a > 1. Znajdziesz te same właściwości 1-8 (co jest całkiem naturalne) i dziewiątą właściwość związaną z
różniczkowalność funkcji, o której wtedy nie wspominaliśmy. Omówmy to teraz.

Wyprowadźmy wzór na znalezienie pochodnej y-ex. W tym przypadku nie będziemy stosować zwykłego algorytmu, który opracowaliśmy w § 32 i który został z powodzeniem zastosowany więcej niż raz. W tym algorytmie na ostatnim etapie konieczne jest obliczenie granicy, a nasza wiedza na temat teorii granic jest nadal bardzo, bardzo ograniczona. Będziemy zatem opierać się na przesłankach geometrycznych, biorąc pod uwagę w szczególności sam fakt istnienia stycznej do wykresu funkcji wykładniczej ponad wszelką wątpliwość (dlatego tak pewnie zapisaliśmy dziewiątą własność z powyższego zestawienia właściwości - różniczkowalność funkcji y = e x).

1. Zauważmy, że dla funkcji y = f(x), gdzie f(x) =ex, znamy już wartość pochodnej w punkcie x =0: f / = tan45°=1.

2. Wprowadźmy funkcję y=g(x), gdzie g(x) -f(x-a), tj. g(x)-ex" a. Ryc. 236 przedstawia wykres funkcji y = g(x): otrzymuje się go z wykresu funkcji y - fx) przesuwając wzdłuż osi x o |a| jednostki skali . Styczna do wykresu funkcji y = g (x) w punkcie x-a jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie x -0 (patrz rys. 236), co oznacza, że tworzy z osią x kąt 45° Korzystając ze znaczenia geometrycznego pochodnej, możemy zapisać, że g(a) =tg45°;=1.

3. Wróćmy do funkcji y = f(x). Mamy:

4. Ustaliliśmy, że dla dowolnej wartości relacji obowiązuje. Zamiast litery a można oczywiście użyć litery x; wtedy otrzymamy

Z tego wzoru otrzymujemy odpowiedni wzór na całkowanie:

A.G. Algebra Mordkowicza 10. klasa

Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo z matematyki online, Matematyka w szkole do pobrania

Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza na rok; zalecenia metodologiczne; programy dyskusji; Zintegrowane Lekcje

Konspekt lekcji

Temat: Algebra

Data: 2.04.13.

Stopień: 11. klasa

Nauczyciel: Tyshibaeva N.Sh.

Temat: Różniczkowanie funkcji logarytmicznej i wykładniczej. Funkcja pierwotna funkcji wykładniczej.

Cel:

1) formułować wzory na pochodne funkcji logarytmicznej i wykładniczej; nauczyć, jak znaleźć funkcję pierwotną funkcji wykładniczej

2) rozwijać pamięć, obserwację, logiczne myślenie, mowę matematyczną uczniów, umiejętność analizowania i porównywania, rozwijać zainteresowanie poznawcze przedmiotem;

3) kultywowanie kultury komunikacyjnej uczniów, umiejętności kolektywnego działania, współpracy i wzajemnej pomocy.

Typ lekcji: wyjaśnianie nowego materiału i utrwalanie zdobytej wiedzy, umiejętności i zdolności.

Sprzęt : kartki, tablica interaktywna.

Technologia: zróżnicowane podejście

Podczas zajęć:

1. Org. chwila (2min) .

2. Rozwiązywanie krzyżówki (8 min)

1. XVII-wieczny francuski matematyk Pierre Fermat zdefiniował tę linię jako „linię prostą najbliżej przylegającą do krzywej w małym sąsiedztwie punktu”.

Tangens

2.Funkcja, która jest dana wzorem y = x.

Wskazujący

3.Funkcja, która jest dana wzorem y = log topór.

Logarytmiczny

4. Pochodna przemieszczenia

Prędkość

5.Jak nazywa się funkcja F(x) dla funkcji f(x), jeżeli warunek F"(x) =f(x) jest spełniony dla dowolnego punktu z przedziału I.

Funkcja pierwotna

6. Jak nazywa się relacja pomiędzy X i Y, w której każdy element X jest powiązany z pojedynczym elementem Y.

Funkcjonować

7. Jeżeli funkcję f(x) można przedstawić w postaci f(x)=g(t(x)), to funkcję tę nazywamy...

Złożony

Pionowe słowo nazwisko francuskiego matematyka i mechanika

Lagrange'a

3.Wyjaśnienie nowego materiału: (10 minut)

Funkcja wykładnicza w dowolnym punkcie definicji ma pochodną i tę pochodną oblicza się ze wzoru:

(.ln a we wzorze zastępujemy liczbę i na e, otrzymujemy

(e x)” = e x_ formuła pochodna wykładnicza
Funkcja logarytmiczna ma pochodną w dowolnym punkcie swojej dziedziny definicji, a pochodną tę oblicza się ze wzoru:

(zaloguj x)” = zastąp liczbę we wzorze i na e, otrzymujemy

Funkcja wykładnicza y =(A w dowolnym punkcie definicji ma funkcję pierwotną i tę funkcję pierwotną oblicza się ze wzoru F(x) =+ C

4. Utrwalenie nowego materiału (20 min)

Dyktando matematyczne.

1. Napisz wzór na pochodną funkcji wykładniczej (a X )"

(a x)” = a x ln a

2. Zapisz wzór na pochodną wykładniczą. (mi X )"

(np. x )” = np. x

3. Zapisz wzór na pochodną logarytmu naturalnego

4. Zapisz wzór na pochodną funkcji logarytmicznej (log a x)"=?

(zaloguj x)” =

5. Zapisz ogólną postać funkcji pierwotnych dla funkcji f(x) = a X .

F(x) = + C

6. Zapisz ogólną postać funkcji pierwotnych dla funkcji:, x≠0. F(x)=ln|x|+С

Pracuj przy desce

№255,№256,№258,№259(2,4)

6.D/z nr 257, nr 261 (2 min)

7. Podsumowanie lekcji: (3 min)

- Jaki jest wzór na funkcję logarytmiczną?

Jaki wzór definiuje funkcję wykładniczą?

Jakiego wzoru używa się do znalezienia pochodnej funkcji logarytmicznej?

Jakiego wzoru używa się do znalezienia pochodnej funkcji wykładniczej

Gotowe prace

STOPIEŃ DZIAŁA

Wiele już minęło i teraz jesteś absolwentem, jeśli oczywiście napiszesz pracę magisterską w terminie. Ale życie jest takie, że dopiero teraz staje się dla ciebie jasne, że przestając być studentem, stracisz wszystkie studenckie radości, z których wielu nigdy nie próbowałeś, odkładając wszystko i odkładając na później. A teraz zamiast nadrabiać zaległości pracujesz nad swoją pracą dyplomową? Jest na to doskonałe rozwiązanie: pobierz potrzebną pracę dyplomową z naszej strony - a od razu będziesz mieć mnóstwo wolnego czasu!
Prace dyplomowe obroniono z sukcesem na czołowych uniwersytetach Republiki Kazachstanu.
Koszt pracy od 20 000 tenge

KURS DZIAŁA

Projekt kursu jest pierwszą poważną pracą praktyczną. Przygotowanie do opracowania projektów dyplomowych rozpoczyna się wraz z napisaniem zajęć. Jeśli student nauczy się poprawnie przedstawiać treść tematu w projekcie kursu i kompetentnie go formatować, to w przyszłości nie będzie miał problemów z pisaniem sprawozdań, pisaniem prac dyplomowych czy wykonywaniem innych praktycznych zadań. Aby pomóc uczniom w pisaniu tego typu pracy studenckiej i wyjaśnić pytania, które pojawiają się w trakcie jej przygotowywania, właściwie stworzono tę sekcję informacyjną.
Koszt pracy od 2500 tenge

DYSERTACJE MAGISTERSKIE

Obecnie w szkołach wyższych Kazachstanu i krajów WNP bardzo powszechny jest poziom wyższego wykształcenia zawodowego następujący po uzyskaniu tytułu licencjata - stopień magistra. W ramach studiów magisterskich studenci kształcą się w celu uzyskania tytułu magistra, który w większości krajów świata jest uznawany bardziej niż tytuł licencjata i jest również uznawany przez zagranicznych pracodawców. Efektem studiów magisterskich jest obrona pracy magisterskiej.
Przekażemy Państwu aktualny materiał analityczno-tekstowy; w cenie zawarte są 2 artykuły naukowe i streszczenie.
Koszt pracy od 35 000 tenge

RAPORTY Z PRAKTYK

Po odbyciu każdego rodzaju stażu studenckiego (edukacyjnego, przemysłowego, przedszkolnego) wymagane jest sprawozdanie. Dokument ten będzie potwierdzeniem praktycznej pracy studenta i podstawą do wystawienia oceny z praktyki. Zwykle, aby sporządzić sprawozdanie ze stażu, należy zebrać i przeanalizować informacje o przedsiębiorstwie, rozważyć strukturę i tryb pracy organizacji, w której odbywa się staż, sporządzić plan kalendarza i opisać swoje praktyczne zajęcia.
Pomożemy Ci napisać raport ze stażu, uwzględniający specyfikę działalności konkretnego przedsiębiorstwa.

Temat lekcji: „Różniczkowanie funkcji wykładniczych i logarytmicznych. Funkcja pierwotna funkcji wykładniczej” w przypisaniach UNT

Cel : rozwijanie umiejętności studentów w zakresie stosowania wiedzy teoretycznej na temat „Różniczkowanie funkcji wykładniczych i logarytmicznych. Funkcja pierwotna funkcji wykładniczej” do rozwiązywania problemów UNT.

Zadania

Edukacyjny: usystematyzować wiedzę teoretyczną uczniów, utrwalić umiejętności rozwiązywania problemów na ten temat.

Edukacyjny: rozwijać pamięć, obserwację, logiczne myślenie, mowę matematyczną uczniów, uwagę, poczucie własnej wartości i umiejętności samokontroli.

Edukacyjny: brać w czymś udział:

kształtowanie wśród uczniów odpowiedzialnej postawy wobec nauki;

rozwój trwałych zainteresowań matematyką;

tworzenie pozytywnej wewnętrznej motywacji do studiowania matematyki.

Metody nauczania: werbalne, wizualne, praktyczne.

Formy pracy: indywidualnie, frontalnie, w parach.

Podczas zajęć

Motto: „Umysł leży nie tylko w wiedzy, ale także w umiejętności zastosowania wiedzy w praktyce” Arystoteles (slajd 2)

I. Moment organizacyjny.

II. Rozwiązanie krzyżówki. (slajd 3-21)

XVII-wieczny francuski matematyk Pierre Fermat zdefiniował tę linię jako „linię prostą najbliżej przylegającą do krzywej w małym sąsiedztwie punktu”.

Tangens

Funkcja określona wzorem y = log A X.

Logarytmiczny

Funkcja określona wzorem y = A X.

Wskazujący

W matematyce pojęcie to służy do wyznaczania prędkości ruchu punktu materialnego i współczynnika kątowego stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

Pochodna

Jak nazywa się funkcja F(x) dla funkcji f(x), jeżeli warunek F"(x) =f(x) jest spełniony dla dowolnego punktu z przedziału I.

Funkcja pierwotna

Jak nazywa się relacja pomiędzy X i Y, w której każdy element X jest powiązany z pojedynczym elementem Y.

Pochodna przemieszczenia

Prędkość

Funkcja określona wzorem y = e x.

Wystawca

Jeśli funkcję f(x) można przedstawić jako f(x)=g(t(x)), to funkcję tę nazywamy...

III. Dyktando matematyczne (slajd 22)

1. Zapisz wzór na pochodną funkcji wykładniczej. ( A x)" = A x ln A

2. Zapisz wzór na pochodną wykładniczą. (np. x)” = np. x

3. Zapisz wzór na pochodną logarytmu naturalnego. (lnx)"=

4. Zapisz wzór na pochodną funkcji logarytmicznej. (dziennik A x)"=

5. Zapisz ogólną postać funkcji pierwotnych dla funkcji f(x) = A X. F(x)=

6. Zapisz ogólną postać funkcji pierwotnych dla funkcji f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Sprawdź swoją pracę (odpowiedzi na slajdzie 23).

IV. Rozwiązywanie problemów UNT (symulator)

A) Nr 1,2,3,6,10,36 na tablicy i w zeszycie (slajd 24)

B) Praca w parach nr 19,28 (symulator) (slajd 25-26)

V. 1. Znajdź błędy: (slajd 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)=log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. Prezentacja studencka.

Motto: „Wiedza jest tak cenną rzeczą, że nie jest wstydem pozyskać ją z jakiegokolwiek źródła” Tomasz z Akwinu (slajd 28)

VII. Zadanie domowe nr 19,20 s.116

VIII. Test (zadanie rezerwowe) (slajd 29-32)

IX. Podsumowanie lekcji.

„Jeśli chcesz uczestniczyć w wielkim życiu, wypełnij głowę matematyką, póki masz okazję. Będzie ci wtedy bardzo pomagać przez całe życie” M. Kalinin (slajd 33)

Lekcja algebry w 11 klasie na temat: „Różnicowanie i całkowanie funkcji wykładniczych i logarytmicznych”

Cele Lekcji:

Usystematyzuj przestudiowany materiał na temat „Funkcje wykładnicze i logarytmiczne”.

Wykształcenie umiejętności rozwiązywania problemów polegających na różniczkowaniu i całkowaniu funkcji wykładniczych i logarytmicznych.

Wykorzystaj możliwości technologii informatycznych, aby rozwinąć motywację do studiowania złożonych tematów w analizie matematycznej.

Na następnej lekcji podaj wymagania dotyczące ukończenia pracy testowej na ten temat.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny (1 – 2 minuty).

Nauczyciel przekazuje cele lekcji.

Klasa jest podzielona na 4 grupy.

II. Ankieta błyskawiczna z wykorzystaniem wzorów (zadanie domowe).

Rozmowa w formie dialogu ze studentami.

Załóżmy, że zdeponowałeś 10 000 rubli w banku z oprocentowaniem 12% w skali roku. Po ilu latach Twoja inwestycja podwoi się?

Aby to zrobić, musimy rozwiązać równanie: , czyli Jak?

Musimy przejść do podstawy 10, to znaczy (używając kalkulatora)

Zatem podwojenie składki nastąpi za sześć lat (trochę więcej).

Tutaj potrzebowaliśmy przepisu na przeprowadzkę do nowej bazy. Jakie znasz wzory na różniczkowanie i całkowanie funkcji logarytmicznych i wykładniczych? (wszystkie wzory zaczerpnięto ze stron podręcznika, s. 81, s. 86).

Pytania do siebie w łańcuchu.

Pytania do nauczyciela.

Nauczyciel prosi o wyprowadzenie 1–2 wzorów.

Na oddzielnych małych kartkach papieru znajduje się matematyczny dyktando dotyczące znajomości wzorów. Trwa wzajemna kontrola. Seniorzy w grupach wyświetlają średni wynik arytmetyczny i wpisują go do tabeli.

Tabela aktywności

Rodzaj aktywności
1. Znajomość wzorów.
2. Wiedza indywidualna. Pracujcie w parach.
3. Praca ustna.
4. Badania kontrolne (ocena komputerowa).
5. Samodzielna praca (zadania obowiązkowe).
6. Zadania o zwiększonej złożoności.

III. Praca ustna:

Wyznacz liczbę rozwiązań równań.

A) ;

B) ;

Gdy uczniowie odpowiedzą za pomocą rzutnika, na ekranie zostaną wyświetlone wykresy.

A) 2 rozwiązania

B) 1 rozwiązanie

Dodatkowe pytanie: Znajdź największą wartość funkcji

Funkcja malejąca ma największą wartość, gdy wskaźnik ma najmniejszą wartość.

(2 drogi)

IV. Praca indywidualna.

Podczas pracy ustnej 2 osoby z każdej grupy pracują nad indywidualnymi zadaniami.

1. grupa: Jeden bada funkcję, drugi ma wykres tej funkcji na tablicy interaktywnej.

Dodatkowe pytanie:. Odpowiedź: (Numer mi? Patrz strona 86 podręcznika).

Grupa 2: Znajdź krzywą przechodzącą przez punkt n (0; 2), jeśli nachylenie stycznej w dowolnym punkcie krzywej jest równe iloczynowi współrzędnych punktu styczności. Jeden układa równanie różniczkowe i znajduje rozwiązanie ogólne, drugi znajduje rozwiązanie szczególne, korzystając z warunków początkowych.

Odpowiedź:

Dodatkowe pytanie: Jaki jest kąt pomiędzy styczną narysowaną w punkcie X=0 do wykresu funkcji y= mi oś x i x. (45 o)

Wykres tej funkcji nazywany jest „wykładnikiem” (informacje na ten temat znajdziesz w podręczniku i sprawdź swoje uzasadnienie z objaśnieniami w podręczniku, strona 86).

Grupa 3:

Porównywać

Jeden porównuje użycie mikrokalkulatora, a drugi bez.

Dodatkowe pytanie: Określ, przy jakim x0 występuje równość?

Odpowiedź: x = 2 0,5.

Grupa 4: Udowodnij to

Dowód na różne sposoby.

Dodatkowe pytanie: Znajdź przybliżoną wartość mi 1.01. Porównaj swoją wartość z odpowiedzią z przykładu 2 (strona 86 podręcznika).

V. Praca z podręcznikiem.

Dzieci proszone są o rozważenie przykładów z przykładu 1 – przykładu 9 (strony 81 – 84 podręcznika). Na podstawie tych przykładów wykonaj badania kontrolne.

VI. Testy kontrolne.

Zadanie jest na ekranie. Trwa dyskusja. Wybierana jest prawidłowa odpowiedź i podawane jest uzasadnienie. Komputer podaje wynik. Najstarszy w grupie zapisuje w tabeli aktywność swoich towarzyszy podczas testu.

1) Biorąc pod uwagę funkcję k(x)= 2-e 3x . Określ, przy jakiej wartości C wykres funkcji pierwotnej F(x)+C przechodzi przez ten punkt M (1/3;-mi/3)

Odpowiedź: a) mi-1; b) 5/8; c) -2/3; d) 2.

2) Biorąc pod uwagę funkcję k(x)= mi 3x-2 +ln(2x+3). Znajdować F"(2/3)

Odpowiedź: a) -1; b) 45/13; c) 1/3; d) 2.

3) Czy funkcja spełnia y = mi topór równanie y" = tak.

Odpowiedź: a) tak; b) nie; c) wszystko zależy od obu; d) nie da się tego jednoznacznie stwierdzić.

VII. Niezależna praca.

Zadania z poziomu obowiązkowego: Znajdź ekstrema funkcji.

		III grupa

Najstarszy w grupie wpisuje punkty za to zadanie do tabelki.

W tym czasie przy tablicy pracuje jedna osoba z każdej grupy z zadaniami o podwyższonym stopniu złożoności.

		III grupa

Nauczyciel pokazuje po drodze pełną pisemną dokumentację zadań (jest ona wyświetlana na ekranie, jest to bardzo ważne przy realizacji późniejszej pracy testowej).

VIII. Praca domowa.

IX. Podsumowanie lekcji:

Przydzielanie ocen z uwzględnieniem otrzymanych punktów. Normy ocen za nadchodzącą pracę testową na następnej lekcji.