Jaka jest różnica między logarytmami? Definicja logarytmu i jego własności: teoria i rozwiązywanie problemów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie można rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: log A X i zaloguj się A y. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. dziennik A X+ log A y=log A (X · y);
2. dziennik A X− log A y=log A (X : y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Te formuły pomogą ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie uwzględnisz jego poszczególnych części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Dziennik 6 4 + dziennik 6 9.

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Teraz trochę skomplikujmy zadanie. A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli przestrzega się ODZ logarytmu: A > 0, A ≠ 1, X> 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu. To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

[Podpis do zdjęcia]

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mamy:

[Podpis do zdjęcia]

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm A X. Następnie dla dowolnej liczby C takie, że C> 0 i C≠ 1, prawdziwa jest równość:

[Podpis do zdjęcia]

W szczególności, jeśli umieścimy C = X, otrzymujemy:

[Podpis do zdjęcia]

Z drugiego wzoru wynika, że ​​podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

[Podpis do zdjęcia]

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

[Podpis do zdjęcia]

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

[Podpis do zdjęcia]

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba N staje się wyznacznikiem stopnia stojącego w argumentacji. Numer N może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: podstawowa tożsamość logarytmiczna.

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli numer B podnieść do takiej potęgi, że liczba B do tej potęgi daje liczbę A? Zgadza się: otrzymujesz ten sam numer A. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

[Podpis do zdjęcia]

Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu wziąłem kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

[Podpis do zdjęcia]

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Egzaminu Państwowego Unified :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

1. dziennik A A= 1 jest jednostką logarytmiczną. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy A od tej podstawy jest równa jeden.
2. dziennik A 1 = 0 to zero logarytmiczne. Baza A może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jeden, logarytm jest równy zeru! Ponieważ A 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Co to jest logarytm?

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Co to jest logarytm? Jak rozwiązywać logarytmy? Te pytania dezorientują wielu absolwentów. Tradycyjnie temat logarytmów jest uważany za złożony, niezrozumiały i przerażający. Zwłaszcza równania z logarytmami.

To absolutnie nie jest prawdą. Absolutnie! Nie wierzysz mi? Cienki. Teraz w ciągu zaledwie 10–20 minut:

1. Zrozumiesz co to jest logarytm.

2. Naucz się rozwiązywać całą klasę równań wykładniczych. Nawet jeśli nic o nich nie słyszałeś.

3. Naucz się obliczać proste logarytmy.

Co więcej, do tego wystarczy znać tabliczkę mnożenia i podnosić liczbę do potęgi...

Czuję, że masz wątpliwości... No dobrze, zaznacz czas! Iść!

Najpierw rozwiąż w głowie to równanie:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Na podstawie liczby e: ln x = log e x.

Logarytm naturalny jest szeroko stosowany w matematyce, ponieważ jego pochodna ma najprostszą postać: (lnx)′ = 1/x.

Na podstawie definicje, podstawą logarytmu naturalnego jest liczba mi:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Wykres funkcji y = w x.

Wykres logarytmu naturalnego (funkcje y = w x) uzyskuje się z wykresu wykładniczego poprzez odbicie lustrzane względem linii prostej y = x.

Logarytm naturalny definiuje się dla dodatnich wartości zmiennej x. Rośnie monotonicznie w swojej dziedzinie definicji.

W x → 0 granica logarytmu naturalnego wynosi minus nieskończoność (-∞).

Ponieważ x → + ∞, granica logarytmu naturalnego wynosi plus nieskończoność (+ ∞). W przypadku dużego x logarytm rośnie dość powoli. Dowolna funkcja potęgowa x a z wykładnikiem dodatnim a rośnie szybciej niż logarytm.

Własności logarytmu naturalnego

Dziedzina definicji, zbiór wartości, ekstrema, wzrost, spadek

Logarytm naturalny jest funkcją rosnącą monotonicznie, więc nie ma ekstremów. Główne właściwości logarytmu naturalnego przedstawiono w tabeli.

ln x wartości

ln 1 = 0

Podstawowe wzory na logarytmy naturalne

Wzory wynikające z definicji funkcji odwrotnej:

Główna właściwość logarytmów i jej konsekwencje

Formuła wymiany bazy

Każdy logarytm można wyrazić w postaci logarytmów naturalnych, korzystając ze wzoru na podstawienie podstawy:

Dowody tych wzorów przedstawiono w części „Logarytm”.

Funkcja odwrotna

Odwrotnością logarytmu naturalnego jest wykładnik.

Jeśli następnie

Jeśli następnie.

Pochodna lnx

Pochodna logarytmu naturalnego:
.
Pochodna logarytmu naturalnego modułu x:
.
Pochodna n-tego rzędu:
.
Wyprowadzanie wzorów > > >

Całka

Całkę oblicza się poprzez całkowanie przez części:
.
Więc,

Wyrażenia wykorzystujące liczby zespolone

Rozważ funkcję zmiennej zespolonej z:
.
Wyraźmy zmienną zespoloną z poprzez moduł R i argumentacja φ :
.
Korzystając z własności logarytmu mamy:
.
Lub
.
Argument φ nie jest jednoznacznie zdefiniowany. Jeśli umieścisz
, gdzie n jest liczbą całkowitą,
będzie to ta sama liczba dla różnych n.

Dlatego logarytm naturalny jako funkcja zmiennej zespolonej nie jest funkcją jednowartościową.

Rozszerzanie szeregu potęgowego

Kiedy następuje ekspansja:

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.

Wyrażenia logarytmiczne, rozwiązywanie przykładów. W tym artykule przyjrzymy się problemom związanym z rozwiązywaniem logarytmów. Zadania zadają pytanie o znalezienie znaczenia wyrażenia. Należy zaznaczyć, że pojęcie logarytmu wykorzystywane jest w wielu zadaniach i zrozumienie jego znaczenia jest niezwykle istotne. Jeśli chodzi o egzamin jednolity, logarytm jest używany przy rozwiązywaniu równań, w stosowanych problemach, a także w zadaniach związanych z badaniem funkcji.

Podajmy przykłady, aby zrozumieć samo znaczenie logarytmu:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna:

Właściwości logarytmów, o których należy zawsze pamiętać:

*Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników.

* * *

*Logarytm ilorazu (ułamka) jest równy różnicy między logarytmami czynników.

* * *

*Logarytm wykładnika jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu jego podstawy.

* * *

*Przejście na nowy fundament

* * *

Więcej właściwości:

* * *

Obliczanie logarytmów jest ściśle związane z wykorzystaniem właściwości wykładników.

Wymieńmy niektóre z nich:

Istota tej właściwości polega na tym, że gdy licznik zostaje przeniesiony na mianownik i odwrotnie, znak wykładnika zmienia się na przeciwny. Na przykład:

Wniosek z tej właściwości:

* * *

Przy podnoszeniu potęgi do potęgi podstawa pozostaje taka sama, ale wykładniki są mnożone.

* * *

Jak widzieliście, samo pojęcie logarytmu jest proste. Najważniejsze jest to, że potrzebujesz dobrej praktyki, która daje ci pewne umiejętności. Oczywiście wymagana jest znajomość formuł. Jeśli nie rozwinięto umiejętności konwertowania logarytmów elementarnych, to przy rozwiązywaniu prostych zadań łatwo można popełnić błąd.

Ćwicz, rozwiązuj najpierw najprostsze przykłady z kursu matematyki, a potem przejdź do bardziej skomplikowanych. W przyszłości na pewno pokażę, jak rozwiązuje się „brzydkie” logarytmy; nie pojawią się one na egzaminie Unified State Examination, ale są interesujące, nie przegap ich!

To wszystko! Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.