Exponenciális egyenlőtlenségek megoldási módszereinek táblázata példákkal. Online számológép. Egyenlőtlenségek megoldása: lineáris, másodfokú és tört

A gyakorlati feladatok megoldása során ősidők óta szükséges volt a mennyiségek és mennyiségek összehasonlítása. Ugyanakkor megjelentek a homogén mennyiségek összehasonlításának eredményeit jelző szavak, mint például több és kevesebb, magasabb és alacsonyabb, könnyebb és nehezebb, halkabb és hangosabb, olcsóbb és drágább stb.

A több és a kevesebb fogalma a tárgyszámlálás, a mennyiségek mérése, összehasonlítása kapcsán merült fel. Például az ókori Görögország matematikusai tudták, hogy bármely háromszög oldala kisebb, mint a másik két oldal összege, és hogy a nagyobb oldal a háromszög nagyobb szögével szemben helyezkedik el. Arkhimédész a kerület kiszámítása során megállapította, hogy bármely kör kerülete megegyezik az átmérő háromszorosával, amelynek többlete kisebb, mint az átmérő hetede, de több mint tízhetvenszerese az átmérőnek.

Írjon szimbolikusan kapcsolatokat a számok és mennyiségek között a > és b jelek segítségével. Rekordok, amelyekben két számot az egyik jel köt össze: > (nagyobb, mint), Alsó tagozaton is találkoztál számszerű egyenlőtlenségekkel. Tudod, hogy az egyenlőtlenségek lehetnek igazak, de lehetnek hamisak is. Például a \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) egy helyes numerikus egyenlőtlenség, a 0,23 > 0,235 pedig egy helytelen numerikus egyenlőtlenség.

Az ismeretleneket magában foglaló egyenlőtlenségek igazak lehetnek az ismeretlenek egyes értékeire, és hamisak másokra. Például a 2x+1>5 egyenlőtlenség igaz x = 3 esetén, de hamis x = -3 esetén. Egy ismeretlennel való egyenlőtlenség esetén beállíthatja a feladatot: oldja meg az egyenlőtlenséget. Az egyenlőtlenségek gyakorlati megoldásának problémáit nem ritkábban vetik fel és oldják meg, mint az egyenletek megoldásának problémáit. Például sok gazdasági probléma a lineáris egyenlőtlenségek rendszereinek tanulmányozására és megoldására vezethető vissza. A matematika számos ágában az egyenlőtlenségek gyakoribbak, mint az egyenletek.

Egyes egyenlőtlenségek az egyetlen segédeszközként szolgálnak egy bizonyos objektum létezésének bizonyítására vagy cáfolására, például egy egyenlet gyöke.

Numerikus egyenlőtlenségek

Összehasonlíthatja az egész számokat és a tizedes törteket. Ismerje az azonos nevezővel, de eltérő számlálóval rendelkező közönséges törtek összehasonlításának szabályait; ugyanazokkal a számlálókkal, de különböző nevezőkkel. Itt megtudhatja, hogyan lehet összehasonlítani bármely két számot a különbség előjelének megtalálásával.

A számok összehasonlítását széles körben alkalmazzák a gyakorlatban. Például egy közgazdász összehasonlítja a tervezett mutatókat a ténylegesekkel, az orvos összehasonlítja a páciens hőmérsékletét a normál értékkel, egy esztergályos egy megmunkált alkatrész méreteit egy szabványhoz. Minden ilyen esetben néhány számot összehasonlítanak. A számok összehasonlítása eredményeként numerikus egyenlőtlenségek keletkeznek.

Meghatározás. Az a szám nagyobb, mint a b, ha az a-b különbség pozitív. Az a szám kisebb, mint a b, ha az a-b különbség negatív.

Ha a nagyobb, mint b, akkor ezt írják: a > b; ha a kisebb, mint b, akkor azt írják: a Így az a > b egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az a - b különbség pozitív, azaz. a - b > 0. Egyenlőtlenség a Tetszőleges két a és b számra a következő három összefüggésből a > b, a = b, a Az a és b számok összehasonlítása azt jelenti, hogy megtudjuk, melyik előjelek közül melyik >, = vagy Tétel. Ha a > b és b > c, akkor a > c.

Tétel. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a számot adjuk, az egyenlőtlenség előjele nem változik.
Következmény. Bármely tag áthelyezhető az egyenlőtlenség egyik részéből a másikba, ha ennek a tagnak az előjelét az ellenkezőjére változtatjuk.

Tétel. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal megszorozzuk, akkor az egyenlőtlenség előjele nem változik. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk ugyanazzal a negatív számmal, akkor az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik.
Következmény. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal osztjuk, akkor az egyenlőtlenség előjele nem változik. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a negatív számmal osztjuk, akkor az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik.

Tudja, hogy a numerikus egyenlőségeket tagonként lehet összeadni és szorozni. Ezután megtanulja, hogyan kell hasonló cselekvéseket végrehajtani egyenlőtlenségekkel. A gyakorlatban gyakran használják az egyenlőtlenségek tagonkénti összeadásának és szorzásának képességét. Ezek a műveletek segítenek megoldani a kifejezések jelentésének értékelésével és összehasonlításával kapcsolatos problémákat.

Különböző problémák megoldása során gyakran szükséges az egyenlőtlenségek bal és jobb oldalát tagonként összeadni vagy szorozni. Ugyanakkor néha azt mondják, hogy az egyenlőtlenségek összeadódnak vagy megsokszorozódnak. Például, ha egy turista több mint 20 km-t gyalogolt az első napon, és több mint 25 km-t a másodikon, akkor azt mondhatjuk, hogy két nap alatt több mint 45 km-t gyalogolt. Hasonlóképpen, ha egy téglalap hossza kisebb, mint 13 cm, és a szélessége kisebb, mint 5 cm, akkor azt mondhatjuk, hogy ennek a téglalapnak a területe kisebb, mint 65 cm2.

E példák mérlegelésekor a következőket használták: tételek az egyenlőtlenségek összeadásáról és szorzásáról:

Tétel. Azonos előjelű egyenlőtlenségek összeadásakor azonos előjelű egyenlőtlenséget kapunk: ha a > b és c > d, akkor a + c > b + d.

Tétel. Azonos előjelű egyenlőtlenségek szorzásakor, amelyeknek bal és jobb oldala pozitív, azonos előjelű egyenlőtlenséget kapunk: ha a > b, c > d és a, b, c, d pozitív számok, akkor ac > bd.

Egyenlőtlenségek > (nagyobb, mint) és 1/2, 3/4 b, c előjelekkel együtt a szigorú egyenlőtlenségek > és jeleivel Ugyanígy az \(a \geq b \) egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az a szám nagyobb vagy egyenlő b-vel, azaz .és nem kisebb b.

A \(\geq \) vagy \(\leq \) jelet tartalmazó egyenlőtlenségeket nem szigorúnak nevezzük. Például a \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nem szigorú egyenlőtlenségek.

A szigorú egyenlőtlenségek minden tulajdonsága érvényes a nem szigorú egyenlőtlenségekre is. Sőt, ha szigorú egyenlőtlenségek esetén az előjeleket > ellentétesnek tekintettük, és tudja, hogy számos alkalmazott probléma megoldásához matematikai modellt kell készíteni egyenlet vagy egyenletrendszer formájában. Ezután megtudhatja, hogy a matematikai modellek számos probléma megoldására az ismeretlenekkel való egyenlőtlenségek. Bemutatjuk az egyenlőtlenség megoldásának fogalmát, és bemutatjuk, hogyan lehet tesztelni, hogy egy adott szám megoldása-e egy adott egyenlőtlenségre.

A forma egyenlőtlenségei
\(ax > b, \quad ax, amelyben a és b adott számok, és x egy ismeretlen, nevezzük lineáris egyenlőtlenségek egy ismeretlennel.

Meghatározás. Az ismeretlennel való egyenlőtlenség megoldása az ismeretlennek az az értéke, amelynél ez az egyenlőtlenség valódi numerikus egyenlőtlenséggé válik. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldást, vagy megállapítjuk, hogy nincs ilyen.

Az egyenleteket úgy oldotta meg, hogy a legegyszerűbb egyenletekre redukálta őket. Hasonlóképpen, az egyenlőtlenségek megoldása során megpróbáljuk azokat tulajdonságok segítségével egyszerű egyenlőtlenségek formájára redukálni.

Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása egy változóval

A forma egyenlőtlenségei
\(ax^2+bx+c >0 \) és \(ax^2+bx+c ahol x egy változó, a, b és c néhány szám és \(a \neq 0 \), ún. másodfokú egyenlőtlenségek egy változóval.

Megoldás az egyenlőtlenségre
\(ax^2+bx+c >0 \) vagy \(ax^2+bx+c) olyan intervallumok keresésének tekinthető, amelyekben az \(y= ax^2+bx+c \) függvény pozitív vagy negatív értékek Ehhez elegendő elemezni, hogy az \(y= ax^2+bx+c\) függvény grafikonja hogyan helyezkedik el a koordinátasíkban: hova irányulnak a parabola ágai - felfelé vagy lefelé, a parabola metszi az x tengelyt, és ha igen, akkor milyen pontokban.

Algoritmus egy változós másodfokú egyenlőtlenségek megoldására:
1) keresse meg a \(ax^2+bx+c\) négyzetes trinom diszkriminánsát, és nézze meg, hogy van-e gyöke a trinomnak;
2) ha a trinomiálisnak vannak gyökerei, akkor jelölje meg azokat az x tengelyen, és a megjelölt pontokon keresztül rajzoljon egy sematikus parabolát, amelynek ágai > 0 esetén felfelé, 0 esetén lefelé, 3 esetén pedig alulra irányulnak. keresse meg azokat az intervallumokat az x tengelyen, amelyeknél a pontparabolák az x tengely felett (ha megoldják az \(ax^2+bx+c >0\) egyenlőtlenséget) vagy az x tengely alatt (ha megoldják a egyenlőtlenség
\(ax^2+bx+c Egyenlőtlenségek megoldása intervallum módszerrel

Vegye figyelembe a funkciót
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Ennek a függvénynek a tartománya az összes szám halmaza. A függvény nullái a -2, 3, 5 számok. Ezek a függvény definíciós tartományát \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) és \( (5; +\infty)\)

Nézzük meg, milyen előjelei vannak ennek a függvénynek az egyes jelzett intervallumokban.

Az (x + 2)(x - 3)(x - 5) kifejezés három tényező szorzata. Ezen tényezők mindegyikének előjele a vizsgált intervallumokban a táblázatban látható:

Általában a függvényt a képlet adja meg
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
ahol x egy változó, x 1, x 2, ..., x n pedig egymással nem egyenlő számok. Az x 1 , x 2 , ..., x n számok a függvény nullái. Minden olyan intervallumban, amelyre a definíciós tartományt a függvény nullai osztják, a függvény előjele megmarad, és nullán áthaladva az előjele megváltozik.

Ezt a tulajdonságot az alaki egyenlőtlenségek megoldására használják
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) ahol x 1, x 2, ..., x n egymással nem egyenlő számok

Megfontolt módszer Az egyenlőtlenségek megoldását intervallummódszernek nevezzük.

Mondjunk példákat az egyenlőtlenségek intervallummódszerrel történő megoldására.

Az egyenlőtlenség megoldása:

\(x(0,5-x)(x+4) Nyilvánvalóan az f(x) = x(0,5-x)(x+4) függvény nullai pontjai a \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

A függvény nulláit ábrázoljuk a számtengelyen, és kiszámítjuk az előjelet minden intervallumon:

Kiválasztjuk azokat az intervallumokat, amelyeknél a függvény nullánál kisebb vagy egyenlő, és felírjuk a választ.

Válasz:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Sokan azt gondolják, hogy az exponenciális egyenlőtlenségek bonyolult és érthetetlen dolgok. És hogy ezek megoldásának megtanulása szinte nagy művészet, amit csak a Kiválasztottak képesek felfogni...

Teljes hülyeség! Az exponenciális egyenlőtlenségek egyszerűek. És mindig egyszerűen megoldódnak. Hát, szinte mindig. :)

Ma ezt a témát kívül-belül megvizsgáljuk. Ez a lecke nagyon hasznos lesz azok számára, akik csak most kezdik megérteni az iskolai matematika ezen részét. Kezdjük az egyszerű problémákkal, és folytassuk az összetettebb kérdéseket. Ma nem lesz nehéz munka, de amit most olvasol, az elegendő lesz a legtöbb egyenlőtlenség feloldásához mindenféle tesztben és önálló munkában. És ezen a vizsgádon is.

Mint mindig, kezdjük a meghatározással. Az exponenciális egyenlőtlenség minden olyan egyenlőtlenség, amely exponenciális függvényt tartalmaz. Más szóval, ez mindig a forma egyenlőtlenségére redukálható

\[((a)^(x)) \gt b\]

Ahol $b$ szerepe lehet egy hétköznapi szám, vagy esetleg valami keményebb. Példák? Igen, kérem:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\vége(igazítás)\]

Azt hiszem, a jelentés világos: van egy $((a)^(x))$ exponenciális függvény, amelyet összehasonlítanak valamivel, majd megkérik, hogy keresse meg a $x$-t. Különösen klinikai esetekben a $x$ változó helyett valamilyen $f\left(x \right)$ függvényt tehetnek be, és ezzel egy kicsit bonyolítják az egyenlőtlenséget. :)

Természetesen bizonyos esetekben az egyenlőtlenség súlyosabbnak tűnhet. Például:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Vagy akár ez:

Általánosságban elmondható, hogy az ilyen egyenlőtlenségek bonyolultsága nagyon eltérő lehet, de végül mégis az egyszerű $((a)^(x)) \gt b$ konstrukcióra redukálódnak. És valahogy kitaláljuk egy ilyen konstrukciót (különösen klinikai esetekben, amikor semmi sem jut eszünkbe, a logaritmusok segítenek nekünk). Ezért most megtanítjuk, hogyan kell megoldani az ilyen egyszerű konstrukciókat.

Egyszerű exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Vegyünk egy nagyon egyszerű dolgot. Például ezt:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Nyilvánvalóan a jobb oldali szám átírható kettő hatványaként: $4=((2)^(2))$. Így az eredeti egyenlőtlenség nagyon kényelmes formában átírható:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

És most viszket a kezem, hogy „áthúzzam” a hatványok alapjaiban szereplő ketteseket, hogy megkapjam a $x \gt 2$ választ. Mielőtt azonban bármit is áthúznánk, emlékezzünk a kettő erejére:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Mint látható, minél nagyobb a szám a kitevőben, annál nagyobb a kimeneti szám. – Köszönöm, Cap! - kiált fel az egyik diák. Ez másként? Sajnos előfordul. Például:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ jobb))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Itt is minden logikus: minél nagyobb a fokszám, annál többszörösére szorozódik a 0,5-ös szám önmagával (azaz osztódik fele). Így a kapott számsorozat csökken, és az első és a második sorozat közötti különbség csak az alapban van:

• Ha az $a \gt 1$ fok alapja, akkor a $n$ kitevő növekedésével a $((a)^(n))$ szám is növekedni fog;
• És fordítva, ha $0 \lt a \lt 1$, akkor a $n$ kitevő növekedésével a $((a)^(n))$ szám csökkenni fog.

Ezeket a tényeket összegezve megkapjuk a legfontosabb állítást, amelyen az exponenciális egyenlőtlenségek teljes megoldása alapul:

Ha $a \gt 1$, akkor a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ egyenlőtlenség ekvivalens a $x \gt n$ egyenlőtlenséggel. Ha $0 \lt a \lt 1$, akkor a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ egyenlőtlenség ekvivalens a $x \lt n$ egyenlőtlenséggel.

Más szóval, ha az alap egynél nagyobb, egyszerűen eltávolíthatja - az egyenlőtlenség jele nem változik. És ha az alap kisebb, mint egy, akkor azt is el lehet távolítani, de ugyanakkor meg kell változtatni az egyenlőtlenség jelét.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy nem vettük figyelembe az $a=1$ és $a\le 0$ opciókat. Mert ezekben az esetekben bizonytalanság merül fel. Tegyük fel, hogyan kell megoldani egy $((1)^(x)) \gt 3$ alakú egyenlőtlenséget? Egy minden hatalomnak megint ad egyet – soha nem kapunk hármat vagy többet. Azok. nincsenek megoldások.

Negatív okokból minden még érdekesebb. Vegyük például ezt az egyenlőtlenséget:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Első pillantásra minden egyszerű:

Jobb? De nem! Elég, ha $x$ helyett pár páros és pár páratlan számot helyettesít, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a megoldás hibás. Nézd meg:

\[\begin(align) & x=4\Jobbra ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(igazítás)\]

Amint látja, a jelek váltakoznak. De vannak törthatványok és egyéb hülyeségek is. Hogyan lehetne például kiszámítani a $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (mínusz kettő hét hatványa)? Semmiképpen!

Ezért a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy minden exponenciális egyenlőtlenségben (és mellesleg egyenletekben is) $1\ne a \gt 0$. És akkor minden nagyon egyszerűen megoldódik:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Jobbra \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \jobbra). \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Általánosságban emlékezzünk a fő szabályra: ha egy exponenciális egyenletben az alap nagyobb egynél, egyszerűen eltávolíthatja azt; és ha az alap egynél kisebb, akkor azt is el lehet távolítani, de az egyenlőtlenség jele megváltozik.

Példák megoldásokra

Tehát nézzünk meg néhány egyszerű exponenciális egyenlőtlenséget:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\vége(igazítás)\]

Az elsődleges feladat minden esetben ugyanaz: az egyenlőtlenségeket a legegyszerűbb $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakra redukálni. Pontosan ezt fogjuk most tenni az egyes egyenlőtlenségekkel, ugyanakkor megismételjük a fokok és az exponenciális függvények tulajdonságait. Akkor gyerünk!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Mit lehet itt csinálni? Nos, a bal oldalon már van egy jelző kifejezés - semmit sem kell megváltoztatni. De a jobb oldalon van valami baromság: tört, és még gyök is a nevezőben!

Emlékezzünk azonban a törtekkel és hatványokkal való munka szabályaira:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\vége(igazítás)\]

Mit jelent? Először is könnyen megszabadulhatunk a törttől, ha negatív kitevőjű hatványsá alakítjuk. Másodszor pedig, mivel a nevezőnek van gyöke, jó lenne hatványsá alakítani - ezúttal törtkitevővel.

Alkalmazzuk ezeket a műveleteket egymás után az egyenlőtlenség jobb oldalára, és nézzük meg, mi történik:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \jobbra))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \jobbra)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne felejtsük el, hogy amikor egy fokot hatványra emelünk, ezeknek a fokoknak a kitevői összeadódnak. És általában, ha exponenciális egyenletekkel és egyenlőtlenségekkel dolgozunk, feltétlenül ismerni kell a hatványokkal való munka legegyszerűbb szabályait:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \jobbra))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\vége(igazítás)\]

Valójában csak az utolsó szabályt alkalmaztuk. Ezért az eredeti egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Jobbra ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Most megszabadulunk a kettőtől az alapnál. Mivel 2 > 1, az egyenlőtlenség jele változatlan marad:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Jobbra x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Ez a megoldás! A fő nehézség egyáltalán nem az exponenciális függvényben van, hanem az eredeti kifejezés megfelelő átalakításában: óvatosan és gyorsan kell a legegyszerűbb formájába hozni.

Tekintsük a második egyenlőtlenséget:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Is-is. Itt a tizedes törtek várnak ránk. Amint azt már sokszor mondtam, minden hatványos kifejezésben meg kell szabadulni a tizedesjegyektől – gyakran csak így lehet gyors és egyszerű megoldást találni. Itt megszabadulunk a következőktől:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Jobbra ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\vége(igazítás)\]

Itt is megvan a legegyszerűbb egyenlőtlenség, és még 1/10-es alappal is, azaz. egynél kevesebb. Nos, eltávolítjuk az alapokat, miközben a jelet „kevesebbről” „többre” változtatjuk, és megkapjuk:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\vége(igazítás)\]

Megkaptuk a végső választ: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Figyelem: a válasz pontosan egy halmaz, és semmi esetre sem $x \lt -1$ alakú konstrukció. Mert formálisan egy ilyen konstrukció egyáltalán nem halmaz, hanem egyenlőtlenség a $x$ változóhoz képest. Igen, nagyon egyszerű, de nem ez a válasz!

Fontos jegyzet. Ezt az egyenlőtlenséget más módon is meg lehetne oldani – mindkét oldalt egynél nagyobb bázisú hatalommá redukálva. Nézd meg:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Jobbra ((\bal(((10)^(-1)) \jobbra))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \jobbra))^(2))\Jobbra ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Egy ilyen transzformáció után ismét egy exponenciális egyenlőtlenséget kapunk, de 10 > 1 alappal. Ez azt jelenti, hogy egyszerűen áthúzhatjuk a tízet - az egyenlőtlenség előjele nem változik. Kapunk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\vége(igazítás)\]

Amint látja, a válasz pontosan ugyanaz volt. Ugyanakkor megkíméltük magunkat a jel megváltoztatásának szükségességétől, és általában emlékezni kell minden szabályra. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Azonban ne hagyja, hogy ez megijessze. Nem számít, mi szerepel a mutatókban, maga az egyenlőtlenség megoldásának technológiája ugyanaz marad. Ezért először jegyezzük meg, hogy 16 = 2 4. Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget ennek a ténynek a figyelembevételével:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Hurrá! Megkaptuk a szokásos másodfokú egyenlőtlenséget! A jel nem változott sehol, mivel az alap kettő - egynél nagyobb szám.

Függvény nullai a számegyenesen

Elrendezzük a $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ függvény előjeleit - nyilván a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágakkal, tehát lesznek pluszok ” az oldalakon. Minket az a régió érdekel, ahol a függvény nullánál kisebb, pl. $x\in \left(2;5 \right)$ a válasz az eredeti problémára.

Végül vegyünk egy másik egyenlőtlenséget:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ismét egy exponenciális függvényt látunk, amelynek alapjában tizedes tört található. Alakítsuk át ezt a törtet közönséges törtté:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Jobbra \\ & \Jobbra ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\bal(((5)^(-1)) \jobbra))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Ebben az esetben a korábban megadott megjegyzéssel éltünk - a további megoldásunk egyszerűsítése érdekében az alapot 5 > 1-re csökkentettük. Tegyük ugyanezt a jobb oldallal is:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ jobb))^(2))=((5)^(-1\cpont 2))=((5)^(-2))\]

Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget mindkét transzformáció figyelembevételével:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Jobbra ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \jobbra)))\ge ((5)^(-2))\]

Az alap mindkét oldalon megegyezik, és meghaladja az egyet. Nincsenek más kifejezések a jobb és a bal oldalon, ezért egyszerűen „áthúzzuk” az ötösöket, és egy nagyon egyszerű kifejezést kapunk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(igazítás)\]

Itt óvatosabbnak kell lenni. Sok diák szereti egyszerűen felvenni az egyenlőtlenség mindkét oldalának négyzetgyökét, és valami ilyesmit írni: $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Ezt semmi esetre sem szabad megtenni , mivel egy pontos négyzet gyöke modulus, és semmi esetre sem eredeti változó:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\jobbra|\]

A modulokkal való munka azonban nem a legkellemesebb élmény, igaz? Szóval nem fogunk dolgozni. Ehelyett egyszerűen mozgassuk az összes tagot balra, és oldjuk meg a szokásos egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Ismét megjelöljük a kapott pontokat a számegyenesen, és megnézzük a jeleket:

Figyelem: a pontok árnyékoltak

Mivel egy nem szigorú egyenlőtlenséget oldottunk meg, a grafikonon minden pont árnyékolt. Ezért a válasz a következő lesz: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nem intervallum, hanem szegmens.

Általánosságban szeretném megjegyezni, hogy az exponenciális egyenlőtlenségekben nincs semmi bonyolult. A ma végrehajtott összes átalakítás jelentése egy egyszerű algoritmuson alapul:

• Keressük meg az alapot, amelyre az összes fokot csökkentjük;
• Óvatosan hajtsa végre az átalakításokat, hogy megkapja a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakú egyenlőtlenséget. Természetesen a $x$ és $n$ változók helyett lehetnek sokkal összetettebb függvények is, de a jelentés nem fog változni;
• Húzd át a fokok alapjait. Ebben az esetben az egyenlőtlenség jele megváltozhat, ha az alap $a \lt 1$.

Valójában ez egy univerzális algoritmus minden ilyen egyenlőtlenség megoldására. És minden más, amit ebben a témában elmondanak, csak konkrét technikák és trükkök, amelyek leegyszerűsítik és felgyorsítják az átalakulást. Most egy ilyen technikáról fogunk beszélni. :)

Racionalizálási módszer

Tekintsük az egyenlőtlenségek egy másik halmazát:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \jobbra))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(igazítás)\]

Szóval mi olyan különleges bennük? Könnyűek. Bár, állj meg! A π számot emeljük valamilyen hatványra? Miféle ostobaság?

Hogyan lehet a $2\sqrt(3)-3$ számot hatványra emelni? Vagy $3-2\sqrt(2)$? A problémás írók nyilvánvalóan túl sok Hawthornt ittak, mielőtt leültek dolgozni. :)

Valójában semmi ijesztő ezekben a feladatokban. Hadd emlékeztesselek: az exponenciális függvény a $((a)^(x))$ formájú kifejezés, ahol az $a$ alap bármely pozitív szám egy kivételével. A π szám pozitív – ezt már tudjuk. A $2\sqrt(3)-3$ és a $3-2\sqrt(2)$ számok is pozitívak – ez könnyen belátható, ha nullával hasonlítja össze őket.

Kiderült, hogy mindezeket az „ijesztő” egyenlőtlenségeket nem oldják meg másként, mint a fent tárgyalt egyszerűek? És ugyanúgy megoldódnak? Igen, ez teljesen igaz. Példájuk alapján azonban egy olyan technikát szeretnék figyelembe venni, amely nagymértékben időt takarít meg az önálló munkára és a vizsgákra. Szó lesz a racionalizálás módszeréről. Szóval figyelem:

Bármely $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ formájú exponenciális egyenlőtlenség egyenértékű a $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) egyenlőtlenséggel jobbra) \gt 0 $.

Ez az egész módszer :) Gondoltad volna, hogy lesz valami más játék? Semmi ilyesmi! De ez az egyszerű tény, szó szerint egy sorban leírva, nagyban leegyszerűsíti a munkánkat. Nézd meg:

\[\begin(mátrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \jobbra) \jobbra)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(mátrix)\]

Tehát nincs több exponenciális függvény! És nem kell emlékeznie arra, hogy a jel megváltozik-e vagy sem. De felmerül egy új probléma: mit kezdjünk a \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] rohadt szorzóval? Nem tudjuk, mi a π szám pontos értéke. A kapitány azonban a nyilvánvalóra utal:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\kb. 3,14... \gt 3\Jobbra \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Általánosságban elmondható, hogy a π pontos értéke nem igazán vonatkozik ránk - csak az a fontos, hogy megértsük, hogy minden esetben $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ez egy pozitív állandó, és ezzel oszthatjuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Mint látható, egy bizonyos pillanatban mínusz eggyel kellett osztanunk - és az egyenlőtlenség előjele megváltozott. A végén kibővítettem a másodfokú trinomit Vieta tételével - nyilvánvaló, hogy a gyökök egyenlőek $((x)_(1))=5$ és $((x)_(2))=-1$ . Ezután mindent a klasszikus intervallum módszerrel oldanak meg:

Egyenlőtlenség megoldása intervallum módszerrel

Minden pontot eltávolítunk, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú. Minket a negatív értékű régió érdekel, ezért a válasz $x\in \left(-1;5 \right)$. Ez a megoldás. :)

Térjünk át a következő feladatra:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Itt általában minden egyszerű, mert a jobb oldalon van egy egység. És ne feledjük, hogy az egy tetszőleges szám, amelyet nulla hatványra emelünk. Még akkor is, ha ez a szám irracionális kifejezés a bal oldalon:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \jobbra))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \jobbra))^(0)); \\\vége(igazítás)\]

Nos, ésszerűsítsük:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Már csak a jelek kitalálása van hátra. A $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ faktor nem tartalmazza a $x$ változót - ez csak egy konstans, és meg kell találnunk az előjelét. Ehhez vegye figyelembe a következőket:

\[\begin(mátrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \jobbra)=0 \\\end(mátrix)\]

Kiderült, hogy a második tényező nem csak egy állandó, hanem egy negatív állandó! És ezzel osztva az eredeti egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(igazítás)\]

Most minden teljesen nyilvánvalóvá válik. A jobb oldali négyzetháromság gyökei: $((x)_(1))=0$ és $((x)_(2))=2$. Jelöljük őket a számegyenesen, és megnézzük a $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ függvény előjeleit:

Az az eset, amikor oldalintervallumokra vagyunk kíváncsiak

A pluszjellel jelölt intervallumokra vagyunk kíváncsiak. Nincs más hátra, mint leírni a választ:

Térjünk át a következő példára:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \) jobb))^(16-x))\]

Nos, itt minden teljesen nyilvánvaló: az alapok ugyanannyi hatványt tartalmaznak. Ezért mindent röviden leírok:

\[\begin(mátrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(mátrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \jobbra))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Amint látható, a transzformációs folyamat során negatív számmal kellett szorozni, így az egyenlőtlenség előjele megváltozott. A legvégén ismét alkalmaztam Vieta tételét a másodfokú trinomiális faktorálására. Ennek eredményeként a válasz a következő lesz: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ezt bárki ellenőrizheti egy számegyenes rajzolásával, a pontok megjelölésével és a jelek megszámlálásával. Közben áttérünk a „halmazunk” utolsó egyenlőtlenségére:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Mint látható, a bázison ismét egy irracionális szám, a jobb oldalon pedig ismét egy egység található. Ezért az exponenciális egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \) jobb))^(0))\]

Racionalizálást alkalmazunk:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \jobbra) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\ ]

Az azonban teljesen nyilvánvaló, hogy $1-\sqrt(2) \lt 0$, mivel $\sqrt(2)\kb 1,4... \gt 1$. Ezért a második tényező ismét egy negatív állandó, amellyel az egyenlőtlenség mindkét oldala felosztható:

\[\begin(mátrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(mátrix)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Költözz másik bázisra

Külön probléma az exponenciális egyenlőtlenségek megoldása során a „helyes” alap keresése. Sajnos egy feladatnál első pillantásra nem mindig egyértelmű, hogy mit vegyünk alapul, és ennek mértéke szerint mit tegyünk.

De ne aggódj: itt nincs varázslat vagy „titkos” technológia. A matematikában minden olyan készség, amely nem algoritmizálható, könnyen fejleszthető gyakorlással. Ehhez azonban különböző bonyolultságú problémákat kell megoldania. Például így:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ vége(igazítás)\]

Nehéz? Ijedős? Könnyebb, mint egy csirkét az aszfalton ütni! Próbáljuk meg. Első egyenlőtlenség:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Nos, szerintem itt minden világos:

Átírjuk az eredeti egyenlőtlenséget, mindent kettes alapra redukálva:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Jobbra \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Igen, igen, jól hallottad: csak a fent leírt racionalizálási módszert alkalmaztam. Most óvatosan kell dolgoznunk: van egy tört-racionális egyenlőtlenségünk (ennek van egy változója a nevezőben), ezért mielőtt bármit nullával egyenlővé tennénk, mindent közös nevezőre kell hoznunk, és meg kell szabadulnunk az állandó tényezőtől. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Most a standard intervallum módszert használjuk. A számláló nullái: $x=\pm 4$. A nevező csak akkor megy nullára, ha $x=0$. Összesen három pontot kell bejelölni a számegyenesen (minden pont ki van tűzve, mert az egyenlőtlenség jele szigorú). Kapunk:

Bonyolultabb eset: három gyökér

Ahogy sejtheti, az árnyékolás azokat az intervallumokat jelöli, amelyeknél a bal oldali kifejezés negatív értékeket vesz fel. Ezért a végső válasz egyszerre két intervallumot fog tartalmazni:

Az intervallumok végeit nem tartalmazza a válasz, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú volt. A válasz további ellenőrzésére nincs szükség. Ebben a tekintetben az exponenciális egyenlőtlenségek sokkal egyszerűbbek, mint a logaritmikusok: nincs ODZ, nincsenek korlátozások stb.

Térjünk át a következő feladatra:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Itt sincs semmi probléma, hiszen már tudjuk, hogy $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, így az egész egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Jobbra ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Figyelem: a harmadik sorban úgy döntöttem, hogy nem vesztegetem az időt apróságokra, és azonnal mindent elosztok (-2)-vel. Minul került az első zárójelbe (most mindenhol pluszok vannak), kettőt pedig konstans tényezővel csökkentették. Pontosan ezt kell tennie, amikor valódi számításokat készít független és tesztmunkához – nem kell minden műveletet és átalakítást közvetlenül leírnia.

Ezután az intervallumok ismert módszere lép működésbe. Számláló nullák: de nincsenek. Mert a diszkrimináns negatív lesz. A nevező viszont csak $x=0$ értékre áll vissza - ugyanúgy, mint legutóbb. Nos, egyértelmű, hogy a $x=0$-tól jobbra a tört pozitív értékeket vesz fel, balra pedig negatív értékeket. Mivel minket a negatív értékek érdekelnek, a végső válasz: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Mit kell tenni a tizedes törtekkel az exponenciális egyenlőtlenségekben? Így van: szabaduljon meg tőlük, alakítsa át őket közönségessé. Itt fogjuk lefordítani:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\jobbra nyíl ((\bal(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Jobbra ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\jobbra)^(x)). \\\vége(igazítás)\]

Mit kaptunk tehát az exponenciális függvények alapjaiban? És kaptunk két kölcsönösen fordított számot:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\jobbra nyíl ((\left(\frac(25)(4) \ jobb))^(x))=((\bal(((\bal(\frac(4)(25) \jobb))^(-1)) \jobb))^(x))=((\ balra(\frac(4)(25) \jobbra))^(-x))\]

Így az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \jobbra))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\vége(igazítás)\]

Természetesen a hatványok azonos bázisú szorzásakor a kitevőik összeadódnak, ami a második sorban történt. Ezen kívül a jobb oldali egységet képviseltük, hatalomként is a 4/25-ös alapban. Már csak az ésszerűsítés marad hátra:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Vegye figyelembe, hogy $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, azaz. a második tényező egy negatív állandó, és ezzel osztva az egyenlőtlenség előjele megváltozik:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Jobbra x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Végül az utolsó egyenlőtlenség a jelenlegi „halmazból”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Elvileg a megoldás ötlete itt is egyértelmű: az egyenlőtlenségben szereplő összes exponenciális függvényt „3-as” bázisra kell redukálni. De ehhez egy kicsit trükköznie kell a gyökerekkel és az erőkkel:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\vége(igazítás)\]

Ezeket a tényeket figyelembe véve az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\jobbra))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\vége(igazítás)\]

Ügyeljen a számítások 2. és 3. sorára: mielőtt bármit is tenne az egyenlőtlenséggel, feltétlenül hozza azt a formába, amelyről az óra elején beszéltünk: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Mindaddig, amíg néhány baloldali tényező, további állandók stb. vannak a bal vagy a jobb oldalon, nem hajtható végre az indokok racionalizálása vagy „áthúzása”.! Számtalan feladatot végeztek el hibásan, mert nem értik ezt az egyszerű tényt. Magam is folyamatosan figyelem ezt a problémát tanítványaimmal, amikor még csak most kezdjük az exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek elemzését.

De térjünk vissza a feladatunkhoz. Próbáljunk meg ezúttal racionalizálás nélkül. Emlékezzünk: a fokszám alapja nagyobb, mint egy, így a hármasokat egyszerűen át lehet húzni - az egyenlőtlenség jele nem változik. Kapunk:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(igazítás)\]

Ez minden. Végső válasz: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Stabil kifejezés elkülönítése és változó cseréje

Befejezésül négy további exponenciális egyenlőtlenség megoldását javaslom, ami a felkészületlen hallgatók számára már így is elég nehéz. Ahhoz, hogy megbirkózzon velük, emlékeznie kell a diplomákkal való munka szabályaira. Különösen a közös tényezők zárójelbe helyezése.

De a legfontosabb dolog az, hogy megtanuljuk megérteni, hogy pontosan mit lehet kivenni a zárójelekből. Az ilyen kifejezést stabilnak nevezik - új változóval jelölhető, és így megszabadulhat az exponenciális függvénytől. Tehát nézzük a feladatokat:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(igazítás)\]

Kezdjük a legelső sorral. Írjuk ezt az egyenlőtlenséget külön:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Vegye figyelembe, hogy $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, tehát a jobb oldali oldala átírható:

Figyeljük meg, hogy az egyenlőtlenségben nincs más exponenciális függvény, kivéve a $((5)^(x+1))$. És általában a $x$ változó sehol máshol nem jelenik meg, ezért vezessünk be egy új változót: $((5)^(x+1))=t$. A következő konstrukciót kapjuk:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(igazítás)\]

Visszatérünk az eredeti változóhoz ($t=((5)^(x+1))$), és ugyanakkor ne feledjük, hogy 1=5 0 . Nekünk van:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\vége(igazítás)\]

Ez a megoldás! Válasz: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Térjünk át a második egyenlőtlenségre:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Itt minden ugyanaz. Vegye figyelembe, hogy $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Ezután a bal oldalt át lehet írni:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\jobbra. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\vége(igazítás)\]

Körülbelül így kell megoldást készíteni a valódi tesztekhez és az önálló munkához.

Nos, próbáljunk meg valami bonyolultabbat. Például itt van az egyenlőtlenség:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Mi itt a probléma? Először is, a bal oldali exponenciális függvények alapjai különböznek: 5 és 25. Azonban 25 = 5 2, tehát az első tag átalakítható:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(igazítás) )\]

Mint látható, először mindent ugyanarra az alapra hoztunk, majd azt vettük észre, hogy az első tag könnyen redukálható a másodikra ​​- csak bővíteni kell a kitevőt. Most már nyugodtan bevezethet egy új változót: $((5)^(2x+2))=t$, és a teljes egyenlőtlenség a következőképpen lesz átírva:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(igazítás)\]

És még egyszer: semmi nehézség! Végső válasz: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Térjünk át a végső egyenlőtlenségre a mai leckében:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Az első dolog, amire figyelnie kell, természetesen az első hatvány alapjában lévő tizedes tört. Meg kell szabadulni tőle, és ugyanakkor az összes exponenciális függvényt ugyanarra az alapra kell vinni - a „2” számra:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Jobbra ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\jobbra nyíl ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \jobbra))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(igazítás)\]

Remek, megtettük az első lépést – minden ugyanarra az alapra vezetett. Most ki kell választania egy stabil kifejezést. Vegye figyelembe, hogy $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ha bevezetünk egy új változót $((2)^(4x+6))=t$, akkor az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\vége(igazítás)\]

Természetesen felmerülhet a kérdés: hogyan fedeztük fel, hogy 256 = 2 8? Sajnos itt csak a kettő (és egyben a három és az öt) hatványait kell ismerni. Nos, vagy osszuk el a 256-ot 2-vel (lehet osztani, hiszen a 256 páros szám), amíg meg nem kapjuk az eredményt. Valahogy így fog kinézni:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Ugyanez a helyzet hárommal (a 9, 27, 81 és 243 számok a fokszámai), és a héttel (a 49 és 343 számokat is jó lenne megjegyezni). Nos, az ötösnek is vannak „szép” diplomái, amelyeket tudnod kell:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\vége(igazítás)\]

Természetesen, ha kívánja, ezeket a számokat visszaállíthatja az elméjében, ha egyszerűen egymás után megszorozza őket. Ha azonban több exponenciális egyenlőtlenséget kell megoldania, és mindegyik következő nehezebb, mint az előző, akkor az utolsó dolog, amire gondolni kell, néhány szám hatványa. És ebben az értelemben ezek a problémák összetettebbek, mint a „klasszikus” egyenlőtlenségek, amelyeket az intervallum módszerrel oldanak meg.

Elmélet:

Az egyenlőtlenségek megoldása során a következő szabályokat kell alkalmazni:

1. Az egyenlőtlenség bármely tagja átvihető egy részből
az egyenlőtlenség másik előjellel, de az egyenlőtlenség előjele nem változik.

2. Az egyenlőtlenség mindkét oldala szorozható vagy osztható eggyel
és ugyanaz a pozitív szám az egyenlőtlenség jelének megváltoztatása nélkül.

3. Az egyenlőtlenség mindkét oldala szorozható vagy osztható eggyel
és ugyanaz a negatív szám, megváltoztatva az egyenlőtlenség jelét
szemben.

Oldja meg az egyenlőtlenséget − 8 x + 11< − 3 x − 4
Megoldás.

1. Mozgassuk meg a péniszt − 3x az egyenlőtlenség bal oldalára, és a kifejezés 11 - az egyenlőtlenség jobb oldalára, miközben az előjeleket az ellenkezőjére cseréljük − 3xés at 11 .
Akkor kapunk

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. Osszuk el az egyenlőtlenség mindkét oldalát − 5 x< − 15 negatív számra − 5 , és az egyenlőtlenség jele < , erre módosul > , azaz áttérünk az ellenkező értelmű egyenlőtlenségre.
Kapunk:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— adott egyenlőtlenség megoldása.

Figyelj!

Két lehetőség van a megoldás írására: x > 3 vagy számintervallumként.

Jelöljük a számegyenesen az egyenlőtlenség megoldási halmazát, és írjuk fel a választ numerikus intervallum formájában.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Válasz: x > 3 vagy x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebrai egyenlőtlenségek.

Másodfokú egyenlőtlenségek. Magasabb fokú racionális egyenlőtlenségek.

Az egyenlőtlenségek megoldásának módszerei elsősorban attól függnek, hogy az egyenlőtlenséget alkotó függvények melyik osztályba tartoznak.

1. én. Másodfokú egyenlőtlenségek, vagyis a formai egyenlőtlenségek

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Az egyenlőtlenség feloldásához:

1. Tényező a négyzetháromtagot, azaz írja be az egyenlőtlenséget a formába

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Ábrázoljuk a polinom gyökereit a számegyenesen! A gyökök a valós számok halmazát intervallumokra osztják, amelyek mindegyikében a megfelelő másodfokú függvény állandó előjelű lesz.
2. Határozza meg minden intervallumban a (x - x 1) (x - x 2) előjelét, és írja le a választ!

Ha egy négyzetes trinomnak nincs gyöke, akkor D-re<0 и a>A 0 négyzetes trinom pozitív bármely x-re.

• Oldja meg az egyenlőtlenséget. x 2 + x - 6 > 0.

Tényező a másodfokú trinom (x + 3) (x - 2) > 0

Válasz: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Ez az egyenlőtlenség minden x-re igaz, kivéve x = 6.

Válasz: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Itt D< 0, a = 1 >0. A négyzetes trinom minden x-re pozitív.

Válasz: x Î Ø.

Egyenlőtlenségek megoldása:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Válasz:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Válasz:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Válasz:
5. Milyen a értékeire vonatkozik az egyenlőtlenség

x² - ax > bármely x-re érvényes? Válasz:

1. II. Magasabb fokú racionális egyenlőtlenségek, vagyis a formai egyenlőtlenségek

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

A legmagasabb fokú polinomot faktorizálni kell, vagyis az egyenlőtlenséget a formába kell írni

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Jelölje meg a számegyenesen azokat a pontokat, ahol a polinom eltűnik.

Határozzuk meg a polinom előjeleit minden intervallumon!

1) Oldja meg az x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x egyenlőtlenséget< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x + 6x - 6) =x (x - 1) (x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Tehát x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Válasz: (0; 1) (2; 3).

2) Oldja meg az (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4 egyenlőtlenséget<0.

Jelöljük a számtengely azon pontjait, ahol a polinom eltűnik. Ezek x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

Az x = - ½ pontban nincs előjelváltozás, mert a binomiális (2x + 1) páros hatványra emelkedik, vagyis a (2x + 1) 4 kifejezés nem változtat előjelet az x = ponton való áthaladáskor. - ½.

Válasz: (-∞; -2) (½; 1).

3) Oldja meg az egyenlőtlenséget: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Ez az egyenlőtlenség a következő halmaznak felel meg

(1) megoldása x (-∞; -2) (3; +∞). (2) megoldása x = 0, x = -2, x = 3. A kapott megoldásokat összevonva x О (-∞; -2] (0) (0) )