Távolság egy ponttól egy egyenesig. A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. A vonalak egymáshoz viszonyított helyzete. Szög egyenesek között

Ez a cikk a témáról szól « távolság egy ponttól egy egyenesig », Illusztrált példákkal tárgyalja a pont és az egyenes közötti távolság meghatározását a koordináta módszerrel. A végén minden elméleti blokk példákat mutatott hasonló problémák megoldására.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A pont és az egyenes távolságát a pont és a pont közötti távolság meghatározásával határozzuk meg. Nézzük meg közelebbről.

Legyen egy a egyenes és egy M 1 pont, amely nem tartozik az adott egyeneshez. Rajta keresztül húzunk egy b egyenest, amely merőleges az a egyenesre. Vegyük az egyenesek metszéspontját H 1-nek. Azt kapjuk, hogy M 1 H 1 egy merőleges, amelyet az M 1 pontból az a egyenesbe eresztettünk.

1. definíció

Távolság M 1 ponttól a egyenesig Az M 1 és H 1 pontok közötti távolságnak nevezzük.

Vannak olyan definíciók, amelyek tartalmazzák a merőleges hosszát.

2. definíció

Távolság egy ponttól egy vonalig az adott pontból egy adott egyenesre húzott merőleges hossza.

A meghatározások egyenértékűek. Tekintsük az alábbi ábrát.

Ismeretes, hogy egy pont és egy egyenes távolsága a lehető legkisebb. Nézzük ezt egy példával.

Ha egy a egyenesen fekvő Q pontot veszünk, amely nem esik egybe az M 1 ponttal, akkor azt kapjuk, hogy az M 1 Q szakaszt ferde szakasznak nevezzük, M 1-ből a egyenesre süllyesztve. Szükséges jelezni, hogy az M 1 pontból induló merőleges kisebb, mint bármely más, a pontból az egyenesbe húzott ferde vonal.

Ennek bizonyítására tekintsük az M 1 Q 1 H 1 háromszöget, ahol M 1 Q 1 a hipotenusz. Ismeretes, hogy hossza mindig nagyobb, mint bármelyik láb hossza. Ez azt jelenti, hogy M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

A ponttól egy vonalig történő megtaláláshoz szükséges kiindulási adatok több megoldási módszer alkalmazását teszik lehetővé: a Pitagorasz-tételen keresztül a szinusz, a koszinusz, a szög érintője és mások meghatározása. A legtöbb ilyen jellegű feladatot az iskolában oldják meg a geometria órákon.

Ha egy pont és az egyenes távolságának megállapítása során lehetőség van téglalap alakú koordinátarendszer bevezetésére, akkor a koordináta módszert alkalmazzuk. Ebben a bekezdésben megvizsgáljuk az adott ponttól való szükséges távolság meghatározásának két fő módszerét.

Az első módszer az M 1 -től a egyenesre húzott merőleges távolságot tartalmazza. A második módszer az a egyenes normálegyenletét használja a kívánt távolság meghatározásához.

Ha van a síkon egy M 1 (x 1 , y 1) koordinátájú pont, amely téglalap alakú koordinátarendszerben helyezkedik el, az a egyenes, és meg kell találnia az M 1 H 1 távolságot, akkor a számítást kétfelé is elvégezheti. módokon. Nézzük meg őket.

Első út

Ha a H 1 pontnak vannak x 2, y 2 koordinátái, akkor a pont és az egyenes távolságát az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) képlet koordinátái alapján számítjuk ki. - y 1) 2.

Most menjünk tovább a H 1 pont koordinátáinak megkeresésére.

Ismeretes, hogy az O x y-ban lévő egyenes megfelel a síkon lévő egyenes egyenletének. Vegyük az a egyenes meghatározásának módszerét úgy, hogy felírunk egy általános egyenes egyenletet vagy egy szögegyenletet. Megalkotjuk annak az egyenesnek az egyenletét, amely egy adott a egyenesre merőlegesen halad át az M 1 ponton. Jelöljük az egyenest b betűvel. H 1 az a és b egyenesek metszéspontja, ami azt jelenti, hogy a koordináták meghatározásához használja azt a cikket, amely két egyenes metszéspontjának koordinátáival foglalkozik.

Látható, hogy egy adott M 1 (x 1, y 1) pont és az a egyenes távolságának meghatározására szolgáló algoritmust a pontok szerint hajtjuk végre:

3. definíció

• az A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 formájú a egyenes vagy egy y = k 1 x + b 1 szögegyütthatós egyenlet általános egyenletének megtalálása;
• megkapjuk a b egyenes általános egyenletét, amelynek alakja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, vagy egy y = k 2 x + b 2 szögegyenletű egyenletet, ha a b egyenes metszi az M 1 pontot és merőleges rá egy adott sor a;
• az a és b metszéspontját jelentő H 1 pont x 2, y 2 koordinátáinak meghatározása, ehhez a lineáris egyenletrendszer megoldása A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 vagy y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• a pont és az egyenes közötti szükséges távolság kiszámítása az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 képlet segítségével.

Második út

A tétel segíthet megválaszolni egy adott pont és egy sík adott egyenesének távolságát.

Tétel

A téglalap alakú koordinátarendszerben O x y van egy M 1 (x 1, y 1) pontja, amelyből egyenes vonal húzódik a sík normálegyenlete által adott cos α x + cos β y alakú síkra. - p = 0, egyenlő a következővel: Az egyenes normálegyenletének bal oldalán kapott abszolút érték, amelyet x = x 1, y = y 1-re számítunk, azt jelenti, hogy M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Bizonyíték

Az a egyenes a sík normálegyenletének felel meg, amelynek alakja cos α x + cos β y - p = 0, akkor n → = (cos α, cos β) az a egyenes normálvektorának tekinthető a síktól távol eső normálvektornak. origót a p egységekkel való sorba állításához. Meg kell jeleníteni az összes adatot az ábrán, hozzá kell adni egy M 1 (x 1, y 1) koordinátájú pontot, ahol az M 1 - O M 1 pont sugárvektora → = (x 1, y 1). Egy pontból egyenes vonalat kell húzni egy egyenesbe, amit M 1 H 1 -ként jelölünk. Meg kell mutatni az M 1 és H 2 pontok M 2 és H 2 vetületeit az O ponton átmenő egyenesre n → = (cos α, cos β) alakú irányvektorral, és jelöljük a az O M 1 → = (x 1, y 1) vektor numerikus vetítése n → = (cos α, cos β) irányba, mint n p n → O M 1 → .

Az eltérések magának az M1 pontnak a helyétől függenek. Nézzük az alábbi ábrát.

Az eredményeket az M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p képlettel rögzítjük. Ekkor hozzuk az egyenlőséget ebbe az M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p alakba, hogy megkapjuk n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

A vektorok skaláris szorzata egy n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → alakú transzformált képletet eredményez, amely koordináta alakú szorzat n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 alakú. Ez azt jelenti, hogy azt kapjuk, hogy n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ebből következik, hogy M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. A tétel bizonyítást nyert.

Azt találtuk, hogy az M 1 pont (x 1 , y 1) és az a egyenes távolságának meghatározásához a síkon több műveletet kell végrehajtania:

4. definíció

• az a cos α · x + cos β · y - p = 0 egyenes normálegyenletének beszerzése, feltéve, hogy az nem szerepel a feladatban;
• a cos α · x 1 + cos β · y 1 - p kifejezés kiszámítása, ahol a kapott érték M 1 H 1.

Alkalmazzuk ezeket a módszereket egy pont és egy sík távolságának megállapításával kapcsolatos problémák megoldására.

1. példa

Határozza meg az M 1 (- 1, 2) koordinátájú pont és a 4 x - 3 y + 35 = 0 egyenes távolságát.

Megoldás

Használjuk az első módszert a megoldáshoz.

Ehhez meg kell találni az adott M 1 (- 1, 2) ponton átmenő b egyenes általános egyenletét, amely merőleges a 4 x - 3 y + 35 = 0 egyenesre. A feltételből jól látható, hogy a b egyenes merőleges az a egyenesre, akkor irányvektorának koordinátái egyenlők (4, - 3). Így lehetőségünk van a b egyenes kanonikus egyenletét felírni a síkra, hiszen ott vannak a b egyeneshez tartozó M 1 pont koordinátái. Határozzuk meg a b egyenes irányítóvektorának koordinátáit. Azt kapjuk, hogy x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. A kapott kanonikus egyenletet általánossá kell konvertálni. Akkor azt kapjuk

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Keressük meg az egyenesek metszéspontjainak koordinátáit, amelyeket H 1 jelölésnek veszünk. Az átalakítások így néznek ki:

4 x - 3 év + 35 = 0 3 x + 4 év - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 év - 35 4 3 x + 4 év - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 év - 35 4 3 3 4 év - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

A fent leírtak alapján azt kaptuk, hogy a H 1 pont koordinátái egyenlők (- 5; 5).

Ki kell számítani az M 1 pont és az a egyenes távolságát. Megvan, hogy az M 1 (- 1, 2) és H 1 (- 5, 5) pontok koordinátái, majd behelyettesítjük a képletbe, hogy megtaláljuk a távolságot és megkapjuk

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Második megoldás.

Más megoldáshoz meg kell kapni az egyenes normálegyenletét. Kiszámoljuk a normalizáló tényező értékét, és megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 4 x - 3 y + 35 = 0. Innen azt kapjuk, hogy a normalizáló tényező egyenlő - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, és a normál egyenlet a - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 alakú lesz. ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

A számítási algoritmus szerint meg kell szerezni az egyenes normálegyenletét, és ki kell számítani az x = - 1, y = 2 értékekkel. Akkor azt kapjuk

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Ebből azt kapjuk, hogy az M 1 (- 1, 2) pont és az adott 4 x - 3 y + 35 = 0 egyenes távolsága - 5 = 5.

Válasz: 5 .

Látható, hogy ennél a módszernél fontos az egyenes normálegyenletének használata, mivel ez a módszer a legrövidebb. De az első módszer kényelmes, mert konzisztens és logikus, bár több számítási pontja van.

2. példa

A síkon van egy O x y téglalap alakú koordinátarendszer M 1 (8, 0) ponttal és y = 1 2 x + 1 egyenessel. Adott pont és egy egyenes távolságának meghatározása.

Megoldás

Az első módszer egy adott egyenlet szögegyütthatóval való redukálása egy általános egyenletté. Az egyszerűsítés kedvéért másképp is megteheti.

Ha a merőleges egyenesek szögegyütthatóinak szorzata -1, akkor egy adott y = 1 2 x + 1 egyenesre merőleges szögegyüttható értéke 2. Most megkapjuk az M 1 (8, 0) koordinátájú ponton átmenő egyenes egyenletét. Megvan, hogy y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Megkeressük a H 1 pont koordinátáit, vagyis az y = - 2 x + 16 és y = 1 2 x + 1 metszéspontokat. Összeállítunk egy egyenletrendszert, és megkapjuk:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Ebből következik, hogy az M 1 (8, 0) koordinátájú pont és az y = 1 2 x + 1 egyenes távolsága egyenlő az M 1 (8, 0) koordinátájú kezdőpont és végpont távolságával. H1 (6, 4). Számítsuk ki és állapítsuk meg, hogy M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

A második megoldás az, hogy egy együtthatós egyenletből a normál alakba lépünk. Vagyis azt kapjuk, hogy y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, akkor a normalizáló tényező értéke - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 lesz. Ebből következik, hogy az egyenes normálegyenlete - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Végezzük el a számítást az M 1 8, 0 ponttól a - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 alakú egyenesig. Kapunk:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Válasz: 2 5 .

3. példa

Ki kell számítani az M 1 (- 2, 4) koordinátájú ponttól a 2 x - 3 = 0 és y + 1 = 0 egyenesek távolságát.

Megoldás

Megkapjuk a 2 x - 3 = 0 egyenes normálalakjának egyenletét:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Ezután folytatjuk az M 1 - 2, 4 pont és az x - 3 2 = 0 egyenes közötti távolság kiszámítását. Kapunk:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Az y + 1 = 0 egyenes egyenletének van egy normalizáló tényezője, amelynek értéke -1. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet a következő formában lesz: - y - 1 = 0. Folytatjuk az M 1 (- 2, 4) pont és az - y - 1 = 0 egyenes közötti távolság kiszámításával. Azt találjuk, hogy egyenlő - 4 - 1 = 5.

Válasz: 3 1 2 és 5.

Nézzük meg közelebbről a sík adott pontjától az O x és O y koordinátatengelyek közötti távolságot.

Téglalap alakú koordinátarendszerben az O tengely y egyenlete egy egyenes, amely nem teljes, és alakja x = 0, és O x - y = 0. Az egyenletek normálisak a koordinátatengelyekre, ekkor meg kell találni az M 1 x 1, y 1 koordinátájú ponttól az egyenesek távolságát. Ez az M 1 H 1 = x 1 és M 1 H 1 = y 1 képletek alapján történik. Nézzük az alábbi ábrát.

4. példa

Határozza meg az M 1 (6, - 7) pont és az O x y síkban lévő koordináta egyenesek távolságát.

Megoldás

Mivel az y = 0 egyenlet az O x egyenesre vonatkozik, a képlet segítségével meghatározhatja az M 1 távolságát adott koordinátákkal ehhez az egyeneshez. Azt kapjuk, hogy 6 = 6.

Mivel az x = 0 egyenlet az O y egyenesre vonatkozik, az M 1 és az egyenes távolságát a képlet segítségével találhatja meg. Akkor azt kapjuk, hogy - 7 = 7.

Válasz: az M 1 és O x közötti távolság 6, M 1 és O y pedig 7.

Ha háromdimenziós térben van egy pontunk, amelynek koordinátái M 1 (x 1, y 1, z 1), akkor meg kell találni az A pont és az a egyenes távolságát.

Tekintsünk két módszert, amelyek lehetővé teszik egy pont és a térben elhelyezkedő egyenes a távolságának kiszámítását. Az első esetben az M 1 pont és egy egyenes távolságát veszik figyelembe, ahol az egyenes egy pontját H 1 -nek nevezzük, és ez az M 1 pontból az a egyenesre húzott merőleges alapja. A második eset azt sugallja, hogy ennek a síknak a pontjait kell keresni a paralelogramma magasságaként.

Első út

A definícióból azt kapjuk, hogy az a egyenesen elhelyezkedő M 1 ponttól mért távolság az M 1 H 1 merőleges hossza, akkor azt kapjuk, hogy a H 1 pont talált koordinátáival, akkor az M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) és H 1 (x 1 , y 1 , z 1) az alábbi képlet alapján: M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Megállapítjuk, hogy az egész megoldás arra irányul, hogy megtaláljuk az M 1-ből az a egyenesre húzott merőleges alapjának koordinátáit. Ez a következőképpen történik: H 1 az a pont, ahol az a egyenes metszi az adott ponton átmenő síkot.

Ez azt jelenti, hogy az M 1 (x 1, y 1, z 1) pont és az a vonal közötti távolság meghatározására szolgáló algoritmus több pontot foglal magában:

5. definíció

• a χ sík egyenletének felvázolása az egyenesre merőlegesen elhelyezkedő adott ponton átmenő sík egyenleteként;
• a H ​​1 ponthoz tartozó koordináták (x 2, y 2, z 2) meghatározása, amely az a egyenes és a χ sík metszéspontja;
• egy pont és egy egyenes távolságának kiszámítása az M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 képlet segítségével.

Második út

A feltételből van egy a egyenes, ekkor meghatározhatjuk az a → = a x, a y, a z irányvektort x 3, y 3, z 3 koordinátákkal és az a egyeneshez tartozó bizonyos M 3 ponttal. Ha megvan az M 1 (x 1, y 1) és az M 3 x 3, y 3, z 3 pontok koordinátái, akkor kiszámolhatja az M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Tegyük félre az a → = a x , a y , a z és M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 vektorokat az M 3 pontból, kössük össze és kapjunk paralelogrammát ábra. M 1 H 1 a paralelogramma magassága.

Nézzük az alábbi ábrát.

Megvan, hogy az M 1 H 1 magasság a szükséges távolság, akkor a képlet segítségével meg kell találni. Azaz M 1 H 1-et keresünk.

Jelöljük a paralelogramma területét az S betűvel, amelyet az a → = (a x, a y, a z) és az M 3 M 1 → = x 1 - x 3 vektort használó képlettel találunk. y 1 - y 3, z 1 - z 3. A területképlet S = a → × M 3 M 1 → . Ezenkívül az ábra területe egyenlő az oldalai hosszának és a magasságának szorzatával, azt kapjuk, hogy S = a → · M 1 H 1, ahol a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, amely az a → = (a x, a y, a z) vektor hossza, amely egyenlő a paralelogramma oldalával. Ez azt jelenti, hogy M 1 H 1 a pont és az egyenes távolsága. Megtalálható az M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → képlet segítségével.

Egy M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pont és egy a térbeli egyenes távolságának meghatározásához az algoritmus több lépését kell végrehajtania:

6. definíció

• az a - a → = (a x, a y, a z) egyenes irányvektorának meghatározása;
• az a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 irányvektor hosszának kiszámítása;
• az a egyenesen elhelyezkedő M 3 ponthoz tartozó x 3, y 3, z 3 koordináták beszerzése;
• az M 3 M 1 → vektor koordinátáinak kiszámítása;
• az a → (a x, a y, a z) és az M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektorok vektorszorzatának megtalálása a → × M 3 M 1 → = i-ként → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, hogy megkapjuk a hosszúságot az a → × M 3 M 1 → képlet segítségével;
• ponttól egy egyenes távolságának kiszámítása M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Adott pont és egy adott térbeli egyenes távolságának megállapítási feladatainak megoldása

5. példa

Határozza meg az M 1 2, - 4, - 1 koordinátájú pont távolságát az x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 egyenestől.

Megoldás

Az első módszer az M 1-en átmenő és egy adott pontra merőleges χ sík egyenletének felírásával kezdődik. Ilyen kifejezést kapunk:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Meg kell találni annak a H 1 pontnak a koordinátáit, amely a χ síkkal a feltétel által meghatározott egyenes metszéspontja. A kanonikus nézetből a metszőbe kell lépni. Ekkor egy olyan egyenletrendszert kapunk, amelynek alakja:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Ki kell számítani a rendszert x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramer módszerével, akkor azt kapjuk, hogy:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = z 0 - ∆ 60 = 0

Innentől megkapjuk, hogy H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

A második módszernek a kanonikus egyenletben a koordináták keresésével kell kezdődnie. Ehhez figyelni kell a tört nevezőire. Ekkor a → = 2, - 1, 5 az x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 egyenes irányvektora. A hosszt a következő képlettel kell kiszámítani: a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jól látható, hogy az x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 egyenes metszi az M 3 pontot (- 1 , 0 , - 5 ), így megkapjuk, hogy az M 3 (- 1 , 0 , - 5) és vége az M 1 2, - 4, - 1 pontban M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Határozzuk meg az a → = (2, - 1, 5) és az M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) vektorszorzatot!

Az a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 formájú kifejezést kapjuk j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

azt találjuk, hogy a vektorszorzat hossza egyenlő: a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Minden adatunk megvan ahhoz, hogy a képletet használjuk egy ponttól való távolság kiszámításához egy egyeneshez, ezért alkalmazzuk, és kapjuk:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Válasz: 11 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Képlet egy pont és egy sík egyenes közötti távolság kiszámítására

Ha adott az Ax + By + C = 0 egyenes egyenlete, akkor az M(M x , M y) pont és az egyenes közötti távolság a következő képlettel meghatározható

Példák egy pont és egy sík egyenes közötti távolság kiszámításának problémáira

1. példa

Határozzuk meg a 3x + 4y - 6 = 0 egyenes és az M(-1, 3) pont távolságát!

Megoldás. Helyettesítsük be a képletbe az egyenes együtthatóit és a pont koordinátáit

Válasz: a pont és az egyenes távolsága 0,6.

vektorra merőleges pontokon átmenő sík egyenleteA sík általános egyenlete

Egy adott síkra merőleges nullától eltérő vektort nevezünk normál vektor (vagy röviden, Normál ) ehhez a géphez.

Legyen megadva a következők koordinátatérben (téglalap alakú koordinátarendszerben):

egy pont ;

b) nem nulla vektor (4.8. ábra, a).

Egyenletet kell alkotnia egy ponton áthaladó síkra merőleges a vektorra A bizonyítás vége.

Tekintsük most egy síkon lévő egyenes különböző típusú egyenleteit.

1) A sík általános egyenleteP .

Az egyenlet levezetéséből az következik, hogy ugyanakkor A, BÉs C nem egyenlők 0-val (magyarázza meg, miért).

A pont a síkhoz tartozik P csak akkor, ha koordinátái kielégítik a sík egyenletét. Az esélyektől függően A, B, CÉs D repülőgép P egyik vagy másik pozíciót tölt be:

- a sík áthalad a koordinátarendszer origóján, - a sík nem halad át a koordinátarendszer origóján,

- a tengellyel párhuzamos sík x,

x,

- a tengellyel párhuzamos sík Y,

- a sík nem párhuzamos a tengellyel Y,

- a tengellyel párhuzamos sík Z,

- a sík nem párhuzamos a tengellyel Z.

Bizonyítsa be ezeket az állításokat.

A (6) egyenlet könnyen levezethető az (5) egyenletből. Valóban, legyen a lényeg a síkon P. Ekkor a koordinátái kielégítik a (7) egyenletet az (5) egyenletből, és a tagokat csoportosítva megkapjuk a (6) egyenletet. Tekintsünk most két koordinátájú vektort. A (6) képletből következik, hogy skaláris szorzatuk egyenlő nullával. Ezért a vektor merőleges a vektorra Az utolsó vektor eleje és vége a síkhoz tartozó pontokban található P. Ezért a vektor merőleges a síkra P. Távolság ponttól síkig P, melynek általános egyenlete képlet határozza meg Ennek a képletnek a bizonyítása teljesen hasonló a pont és az egyenes közötti távolság képletének bizonyításához (lásd 2. ábra).
Rizs. 2. Levezetni a sík és az egyenes távolságának képletét.

Valóban, a távolság d egyenes és sík között egyenlő

hol van egy pont a gépen. Innen a 11. számú előadáshoz hasonlóan a fenti képletet kapjuk. Két sík párhuzamos, ha a normálvektoruk párhuzamos. Innen megkapjuk két sík párhuzamosságának feltételét - síkok általános egyenleteinek együtthatói. Két sík merőleges, ha a normálvektoruk merőleges, ezért megkapjuk két sík merőlegességének feltételét, ha ismertek általános egyenleteik

Sarok f két sík között egyenlő a normálvektoraik közötti szöggel (lásd 3. ábra), ezért a képlettel számítható
A síkok közötti szög meghatározása.

(11)

Egy pont és egy sík távolsága és megtalálásának módjai

Távolság ponttól repülőgép– egy pontból erre a síkra esett merőleges hossza. Legalább két módja van egy pont és egy sík távolságának meghatározására: geometriaiÉs algebrai.

Geometriai módszerrel Először meg kell értenie, hogyan helyezkedik el a pont és a sík közötti merőleges: lehet, hogy egy megfelelő síkban fekszik, egy kényelmes (vagy nem túl kényelmes) háromszög magassága, vagy talán ez a merőleges általában egy magasság valamelyik piramisban.

Az első és legbonyolultabb szakasz után a probléma több konkrét planimetriai problémára bomlik (talán különböző síkokban).

Az algebrai módszerrel egy pont és egy sík távolságának meghatározásához be kell írnia egy koordinátarendszert, meg kell találnia a pont koordinátáit és a sík egyenletét, majd alkalmaznia kell a pont és a sík távolságának képletét.

A pont és az egyenes távolsága a pontból az egyenesre húzott merőleges hossza. A leíró geometriában az alábbiakban megadott algoritmus segítségével grafikusan határozzuk meg.

Algoritmus

1. Az egyenes olyan helyzetbe kerül, amelyben párhuzamos bármely vetítési síkkal. Erre a célra az ortogonális vetületek transzformációs módszereit alkalmazzák.
2. Egy pontból merőlegest húzunk egy egyenesre. Ez a konstrukció a derékszög vetületére vonatkozó tételen alapul.
3. A merőleges hosszát vetületeinek transzformációjával vagy a derékszögű háromszög módszerrel határozzuk meg.

A következő ábra az M pont és a b egyenes komplex rajzát mutatja, amelyet a CD szakasz határoz meg. Meg kell találni a távolságot köztük.

Algoritmusunk szerint először az egyenest a vetítési síkkal párhuzamos pozícióba kell mozgatni. Fontos megérteni, hogy az átalakítások végrehajtása után a pont és az egyenes közötti tényleges távolság nem változhat. Éppen ezért itt kényelmes a síkcsere módszer alkalmazása, amely nem foglalja magában az alakok térben való mozgatását.

Az építés első szakaszának eredményeit az alábbiakban mutatjuk be. Az ábrán látható, hogyan kerül be a b-vel párhuzamosan egy további P 4 homloksík. Az új rendszerben (P 1, P 4) a C"" 1, D"" 1, M"" 1 pontok ugyanolyan távolságra vannak az X 1 tengelytől, mint a C"", D"", M"" ponttól. az X tengely.

Az algoritmus második részét végrehajtva az M"" 1-ből leengedjük az M"" 1 N"" 1 merőlegest a b"" 1 egyenesre, mivel a b és MN közötti MND derékszög a P síkra vetül 4 teljes méretben. A kommunikációs vonal segítségével meghatározzuk az N" pont helyzetét, és végrehajtjuk az MN szakasz M"N" vetületét.

A végső szakaszban meg kell határoznia az MN szegmens méretét az M"N" és M"" 1 N"" 1 vetületeiből. Ehhez építünk egy M"" 1 N"" 1 N 0 derékszögű háromszöget, amelynek N"" 1 N 0 szára egyenlő az M" és N" pontok távolságának különbségével (Y M 1 – Y N 1) az X 1 tengelytől. Az M"" 1 N"" 1 N 0 háromszög M"" 1 N 0 befogójának hossza megfelel az M és b közötti kívánt távolságnak.

Második megoldás

• A CD-vel párhuzamosan bemutatunk egy új P 4 frontális síkot. Az X 1 tengely mentén metszi P 1-et, és X 1 ∥C"D". A síkok cseréjének módszerével összhangban meghatározzuk a C"" 1, D"" 1 és M"" 1 pontok vetületeit az ábrán látható módon.
• C"" 1 D"" 1-re merőlegesen építünk egy további P 5 vízszintes síkot, amelyre a b egyenest a C" 2 = b" 2 pontba vetítjük.
• Az M pont és a b egyenes közötti távolságot a pirossal jelölt M" 2 C" 2 szakasz hossza határozza meg.

Hasonló feladatok:

155*. Határozzuk meg egy egyenes AB szakaszának természetes méretét általános helyzetben (153. ábra, a).

Megoldás. Mint ismeretes, egy egyenes szakasz vetülete bármely síkon megegyezik magával a szegmenssel (figyelembe véve a rajz léptékét), ha párhuzamos ezzel a síkkal

(153. ábra, b). Ebből következik, hogy a rajz átalakításával ennek a szakasznégyzetnek a párhuzamosságát kell elérni. V vagy négyzet H vagy egészítsük ki az V, H rendszert egy másik, a négyzetre merőleges síkkal. V vagy pl. H és ugyanakkor párhuzamos ezzel a szegmenssel.

ábrán. 153, c egy további S sík bevezetését mutatja, amely merőleges a négyzetre. H és párhuzamos egy adott AB szakasszal.

Az a s b s vetület megegyezik az AB szakasz természetes értékével.

ábrán. A 153, d egy másik technikát mutat: az AB szakaszt a B ponton átmenő, a négyzetre merőleges egyenes körül forgatjuk. H, párhuzamos helyzetbe

pl. V. Ebben az esetben a B pont a helyén marad, és az A pont új A 1 pozíciót vesz fel. A horizont új helyzetben van. vetület a 1 b || x tengely Az a" 1 b" vetület megegyezik az AB szakasz természetes méretével.

156. Adott a SABCD piramis (154. ábra). Határozzuk meg a gúla AS és CS éleinek tényleges méretét a vetítési síkok megváltoztatásával, valamint a BS és DS élek tényleges méretét a forgatás módszerével, és vegyük fel a négyzetre merőleges forgástengelyt! H.

157*. Határozzuk meg az A pont és a BC egyenes távolságát (155. ábra, a).

Megoldás. A pont és az egyenes távolságát a pontból az egyenesre húzott merőleges szakasz méri.

Ha az egyenes merőleges bármely síkra (155.6. ábra), akkor a pont és az egyenes távolságát a pont vetülete és az egyenes ezen a síkon lévő pontvetülete közötti távolság méri. Ha egy egyenes általános pozíciót foglal el a V, H rendszerben, akkor ahhoz, hogy egy pont és az egyenes távolságát vetületi síkok változtatásával meghatározzuk, két további síkot kell bevinni a V, H rendszerbe.

Először (155. ábra, c) beírjuk a négyzetet. S, párhuzamosan a BC szakasszal (az új S/H tengely párhuzamos a bc vetülettel), és megszerkesztjük a b s c s és a s vetületeket. Ezután (155. ábra, d) bevezetünk egy másik négyzetet. T, merőleges a BC egyenesre (az új T/S tengely merőleges b s-re s-vel). Megszerkesztjük egy egyenes és egy pont vetületeit t-vel (b t) és a t-vel. Az a t és c t pontok közötti távolság (b t) egyenlő az A pont és a BC egyenes közötti l távolsággal.

ábrán. 155, d, ugyanez a feladat a forgatási módszerrel valósítható meg a maga formájában, amit párhuzamos mozgási módszernek nevezünk. Először a BC egyenest és az A pontot relatív helyzetük változatlan tartása mellett elforgatjuk valamilyen (a rajzon nem jelölt) négyzetre merőleges egyenes körül. H, hogy a BC egyenes párhuzamos legyen a négyzettel. V. Ez egyenértékű az A, B, C pontok négyzettel párhuzamos síkban történő mozgatásával. H. Ugyanakkor a horizont. egy adott rendszer vetülete (BC + A) sem méretében, sem konfigurációjában nem változik, csak az x tengelyhez viszonyított helyzete változik. Elhelyezzük a horizontot. a BC egyenes vetülete az x tengellyel párhuzamosan (b 1 c 1 pozíció), és határozzuk meg az a 1 vetületet, félretéve c 1 1 1 = c-1 és a 1 1 1 = a-1, valamint a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Az x tengellyel párhuzamos b"b" 1, a"a" 1, c"c" 1 egyenes vonalakat húzva megtaláljuk rajtuk a frontot. vetületek b" 1, a" 1, c" 1. Ezután mozgatjuk a B 1, C 1 és A 1 pontokat a V területtel párhuzamos síkban (szintén anélkül, hogy megváltoztatnánk a relatív helyzetüket), így kapjuk a B 2 C 2 ⊥ H négyzet. Ebben az esetben az egyenes elülső vetülete merőleges az x,b 2 c" 2 tengely = b" 1 c" 1 tengelyre, és az a" 2 vetület megszerkesztéséhez b" 2-t kell venni 2" 2 = b" 1 2" 1 , rajzoljon 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2-t, és tegye félre a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 Most rajzoljon 1-ből 2-vel és egy 1-gyel a 2 x 1 megkapjuk a b 2 c 2 és a 2 vetületeket, valamint az A ponttól a BC egyenesig szükséges l távolságot. Az A-tól a BC-ig terjedő távolságot az A pont és a BC egyenes által meghatározott sík körbeforgatásával határozhatjuk meg ennek a síknak a vízszintes a T || , e) pozícióba.

Az A pont és a BC egyenes által meghatározott síkban húzzunk egy A-1 vízszintes vonalat (155. ábra, g) és forgassuk el a B pontot a B pont négyzetbe kerül. R (az R h melletti rajzon megadva), merőleges az A-1-re; az O pontban van a B pont forgásközéppontja. Most határozzuk meg a VO forgási sugár természetes értékét (155. ábra, c). A kívánt pozícióban, azaz amikor pl. Az A pont és a BC egyenes által meghatározott T-ből || pl. H, B pont az R h-n lesz, Ob 1 távolságra az O ponttól (lehet egy másik pozíció ugyanazon az R h nyomvonalon, de az O másik oldalán). A b 1 pont a horizont. a B pont vetülete a térben B 1 helyzetbe helyezés után, amikor az A pont és a BC egyenes által meghatározott sík a T helyzetet vette fel.

Megrajzolva (155. ábra, i) a b 1 1 egyenest, megkapjuk a horizontot. a BC egyenes vetülete, amely már található || pl. H ugyanabban a síkban van, mint A. Ebben a helyzetben az a és b 1 1 távolság egyenlő a kívánt l távolsággal. A négyzettel kombinálható a P sík, amelyben az adott elemek fekszenek. H (155. ábra, j), forgó négyzet. R körülötte a horizont. nyom. A sík A pont és a BC egyenes megadása felől a BC és A-1 egyenesek megadása felé haladva (155. ábra, l) ezeknek az egyeneseknek a nyomait megkeressük, és P ϑ és P h nyomokat rajzolunk rajtuk. Építünk (155. kép, m) a térrel kombinálva. H pozíció elöl. nyom - P ϑ0 .

Az a ponton keresztül rajzoljuk meg a horizontot. frontális vetítés; a kombinált frontális a P ϑ0-val párhuzamosan halad át a P h nyomvonal 2. pontján. A 0 pont - négyzettel kombinálva. Az A pont H helyzete. Hasonlóképpen megtaláljuk a B 0 pontot is. Közvetlen napfény négyzettel kombinálva. A H pozíció áthalad a B 0 ponton és az m ponton (az egyenes vízszintes nyomvonala).

Az A 0 pont és a B 0 C 0 egyenes távolsága egyenlő a szükséges l távolsággal.

A jelzett konstrukciót úgy hajthatja végre, ha csak egy nyomot talál P h-nak (155. ábra, n és o). Az egész konstrukció hasonló a vízszintes körüli forgatáshoz (lásd 155. ábra, g, c, i): a P h nyom az egyik vízszintes pl. R.

A probléma megoldására megadott módszerek közül a rajz transzformációjának előnyben részesített módja a vízszintes vagy frontális körüli elforgatás.

158. Adott a SABC piramis (156. ábra). Határozza meg a távolságokat:

a) az alap B tetejétől az oldalára AC párhuzamos mozgás módszerével;

b) a gúla S tetejétől az alap BC és AB oldalaiig a vízszintes körüli elforgatással;

c) az S felülről az alap AC oldalára a vetítési síkok változtatásával.

159. Adott egy prizma (157. ábra). Határozza meg a távolságokat:

a) AD és CF bordák között a vetítési síkok megváltoztatásával;

b) a BE és CF bordák között a frontális körüli forgatással;

c) AD és BE élek között párhuzamos mozgással.

160. Határozza meg az ABCD négyszög tényleges méretét (158. ábra) a négyzethez igazítva! N. Csak a sík vízszintes nyomvonalát használja.

161*. Határozzuk meg az AB és CD keresztező egyenesek távolságát (159. ábra, a), és készítsünk rájuk közös merőleges vetületeket!

Megoldás. A keresztező vonalak távolságát a két vonalra merőleges szakasz (MN) méri (159. ábra, b). Nyilvánvalóan, ha az egyik egyenest merőlegesen helyezzük el bármely négyzetre. T, akkor

a két egyenesre merőleges MN szakasz párhuzamos lesz a négyzettel. Ennek a síknak a vetülete megjeleníti a kívánt távolságot. Az MN n AB menád derékszögének vetítése a négyzetre. T is derékszögnek bizonyul m t n t és a t b t között, mivel a derékszög egyik oldala AMN, nevezetesen MN. párhuzamos a négyzettel T.

ábrán. 159, c és d, a szükséges l távolságot a vetítési síkok megváltoztatásának módszere határozza meg. Először egy további négyzetet vezetünk be. négyzetre merőleges S vetületek. H és párhuzamos a CD egyenessel (159. ábra, c). Ezután bevezetünk egy további négyzetet. T, merőleges a négyzetre. S és ugyanarra a CD egyenesre merőlegesen (159. ábra, d). Most megszerkesztheti az általános merőleges vetületét úgy, hogy az a t b t vetületre merőleges c t (d t) pontból kirajzoljuk m t n t. Az m t és n t pontok ennek a merőlegesnek az AB és CD egyenesekkel való metszéspontjainak vetületei. Az m t pontot felhasználva (159. ábra, e) egy s b s-on találjuk az m s értéket: az m s n s vetülete párhuzamos legyen a T/S tengellyel. Ezután m s és n s-ből m és n-t találunk az ab-n és cd-n, ezek közül pedig m"-t és n"-t a"b"-n és c"d-n".

ábrán. A 159. c ábra ennek a feladatnak a megoldását mutatja a párhuzamos mozgások módszerével. Először a négyzettel párhuzamosan helyezzük el a CD egyenest. V: c 1 d 1 vetület || X. Ezután a CD és AB egyeneseket a C 1 D 1 és A 1 B 1 pozíciókból a C 2 B 2 és A 2 B 2 pozíciókba mozgatjuk úgy, hogy a C 2 D 2 merőleges legyen H-re: c" 2 d" 2 vetület ⊥ x. A szükséges merőleges szakasza || pl. H, és ezért m 2 n 2 fejezi ki a kívánt l távolságot AB és CD között. Megtaláljuk az m" 2 és n" 2 vetületek helyzetét a" 2 b" 2 és c" 2 d" 2, majd az m 1 és m" 1, n 1 és n" 1 vetületek, végül a m" és n", m és n vetületek.

162. Adott a SABC piramis (160. ábra). Határozza meg a gúla alapjának SB éle és AC oldala közötti távolságot, és készítsen SB és AC közös merőleges vetületeit a vetítési síkok megváltoztatásának módszerével!

163. A SABC piramis adott (161. ábra). Határozza meg a gúla alapjának SH éle és BC oldala közötti távolságot, és készítse el az SX és BC közös merőleges vetületeit párhuzamos eltolási módszerrel!

164*. Határozza meg az A pont és a sík távolságát azokban az esetekben, amikor a síkot: a) BCD háromszög (162. ábra, a) adja meg; b) nyomok (162. ábra, b).

Megoldás. Mint tudják, a pont és a sík távolságát a pontból a síkra húzott merőleges értékével mérjük. Ezt a távolságot bármely területre vetítik. vetületek teljes méretben, ha ez a sík merőleges a négyzetre. vetületek (162. ábra, c). Ez a helyzet a rajz átalakításával, például a terület megváltoztatásával érhető el. előrejelzések. Mutassuk be pl. S (16c, d ábra), a négyzetre merőlegesen. BCD háromszög. Ehhez a téren költünk. vízszintes B-1 háromszöget és helyezze az S vetítési tengelyt merőlegesen a b-1 vetületre vízszintesen. Megszerkesztjük egy pont és egy sík vetületeit - a s és egy c s d s szakaszt. Az a s és a c s d s távolsága egyenlő a pont kívánt l távolságával a síktól.

Rióba. 162, d a párhuzamos mozgás módszerét alkalmazzuk. Az egész rendszert addig mozgatjuk, amíg a B-1 vízszintes sík merőleges nem lesz az V síkra: a b 1 1 1 vetületnek merőlegesnek kell lennie az x tengelyre. Ebben a helyzetben a háromszög síkja frontálisan kiugró lesz, és az A ponttól az l távolság pl. V torzítás nélkül.

ábrán. 162, b a síkot nyomok határozzák meg. Bevezetünk (162. ábra, e) egy további négyzetet. S, a négyzetre merőlegesen. P: S/H tengely merőleges a P h-ra. A többi kiderül a rajzból. ábrán. 162, g a feladatot egy mozdulattal megoldottuk: pl. P a P 1 pozícióba kerül, azaz elöl kiállóvá válik. Nyomon követni. P 1h merőleges az x tengelyre. A sík ezen helyzetébe építjük a frontot. a vízszintes nyom az n" 1,n 1 pont. A P 1ϑ nyom átmegy P 1x és n 1 pontokon. A" 1 és P 1ϑ közötti távolság egyenlő a szükséges l távolsággal.

165. Adott a SABC piramis (lásd 160. ábra). Határozza meg az A pont és az SBC gúla széle közötti távolságot a párhuzamos eltolás módszerével!

166. Adott a SABC piramis (lásd 161. ábra). Határozza meg a gúla magasságát a párhuzamos eltolás módszerével!

167*. Határozzuk meg az AB és CD metszésvonalak távolságát (lásd 159,a ábra) az ezeken az egyeneseken keresztül húzott párhuzamos síkok távolságaként.

Megoldás. ábrán. 163, valamint a P és Q síkok párhuzamosak egymással, amelyek közül pl. Q-t CD-n keresztül húzzuk AB-vel párhuzamosan, és pl. P - az AB-n keresztül párhuzamosan a négyzettel. K. Az ilyen síkok közötti távolság az AB és CD kereszteződések közötti távolság. Korlátozhat azonban csak egy sík, például Q, AB-vel párhuzamos megszerkesztésére, majd meghatározhatja legalább az A pont és ez a sík távolságát.

ábrán. 163. ábra: c a Q síkot mutatja CD-n keresztül AB-vel párhuzamosan; az "e"-vel végzett előrejelzésekben || a"b" és ce || ab. Változás módszerével pl. vetületek (163. ábra, c), további négyzetet vezetünk be. S, a négyzetre merőlegesen. V és ugyanakkor

merőleges a négyzetre K. Az S/V tengely megrajzolásához vegye a D-1 frontot ebben a síkban. Most d"1"-re merőlegesen S/V-t rajzolunk (163. ábra, c). Pl. Q lesz ábrázolva a téren. S mint egyenes vonal s d s-vel. A többi kiderül a rajzból.

168. A SABC piramis adott (lásd 160. ábra). Határozza meg az SC és AB bordák közötti távolságot Alkalmazza: 1) a terület megváltoztatásának módszerét. vetületek, 2) párhuzamos mozgás módszere.

169*. Határozzuk meg a párhuzamos síkok távolságát, amelyek közül az egyiket az AB és AC, a másikat a DE és a DF egyenesek határozzák meg (164. ábra, a). Hajtsa végre a konstrukciót arra az esetre is, amikor a síkokat nyomvonalak határozzák meg (164. ábra, b).

Megoldás. A párhuzamos síkok közötti távolság (164. ábra, c) meghatározható úgy, hogy az egyik sík bármely pontjából merőlegest húzunk egy másik síkra. ábrán. 164, g egy további négyzetet vezettünk be. S a négyzetre merőlegesen. H és mindkét megadott síkra. Az S.H tengely merőleges a vízszintesre. az egyik síkban rajzolt vízszintes vetület. Megszerkesztjük ennek a síknak a vetületét és a négyzet másik síkjában lévő pontot. 5. A d s pont távolsága az l s a s egyenestől egyenlő a párhuzamos síkok közötti szükséges távolsággal.

ábrán. 164, d egy másik konstrukció is adott (a párhuzamos mozgás módszere szerint). Annak érdekében, hogy az AB és AC metsző egyenesekkel kifejezett sík merőleges legyen a négyzetre. V, horizont. Ennek a síknak a vízszintes vetületét az x tengelyre merőlegesen állítjuk be: 1 1 2 1 ⊥ x. Elülső távolság. a D pont d" 1 vetülete és az a" 1 2" 1 egyenes (a sík elülső vetülete) egyenlő a síkok közötti szükséges távolsággal.

ábrán. 164, e egy további négyzet bevezetését mutatja. S, merőleges a H területre és az adott P és Q síkra (az S/H tengely merőleges a P h és Q h nyomokra). P s és Q s nyomokat építünk. A köztük lévő távolság (lásd 164. ábra, c) megegyezik a P és Q síkok közötti kívánt l távolsággal.

ábrán. A 164. ábra a P 1 n Q 1 síkok mozgását mutatja P 1 és Q 1 helyzetbe, amikor a horizont. a nyomok merőlegesek az x tengelyre. Távolság az új frontok között. a P 1ϑ és Q 1ϑ nyomok megegyeznek a szükséges l távolsággal.

170. Adott az ABCDEFGH paralelepipedon (165. ábra). Határozzuk meg a távolságokat: a) a paralelepipedon alapjai között - l 1; b) az ABFE és a DCGH lapok között - l 2; c) az ADHE és a BCGF-l felületei között 3.