Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció állami szerveinek nyilvános kérelmei vagy kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Úgy érzed, sok idő van még a vizsgáig? Ez egy hónap? Kettő? Év? A gyakorlat azt mutatja, hogy a tanuló akkor birkózik meg a legjobban a vizsgával, ha már előre felkészül rá. Az Egységes Államvizsgán sok nehéz feladat áll az iskolások és a leendő jelentkezők útjába a legmagasabb pontszámig. Meg kell tanulnod leküzdeni ezeket az akadályokat, ráadásul nem is nehéz megtenni. Meg kell értenie a jegyekből történő különféle feladatokkal való munka elvét. Akkor nem lesz gond az újakkal.

A logaritmusok első pillantásra hihetetlenül bonyolultnak tűnnek, de részletes elemzéssel a helyzet sokkal egyszerűbbé válik. Ha a legmagasabb pontszámmal szeretné letenni az egységes államvizsgát, akkor meg kell értenie a szóban forgó fogalmat, és ebben a cikkben ezt javasoljuk.

Először is válasszuk szét ezeket a definíciókat. Mi az a logaritmus (log)? Ez annak a teljesítménynek a mutatója, amelyre az alapot fel kell emelni a megadott szám eléréséhez. Ha nem világos, nézzünk egy elemi példát.

Ebben az esetben az alján lévő alapot fel kell emelni a második hatványra, hogy megkapjuk a 4-es számot.

Most nézzük a második koncepciót. A függvény deriváltja bármilyen formában olyan fogalom, amely egy függvény változását jellemzi egy adott pontban. Ez azonban egy iskolai tanterv, és ha ezekkel a fogalmakkal egyénileg is problémái vannak, érdemes megismételni a témát.

A logaritmus deriváltja

Az egységes államvizsga-feladatokban ebben a témában több feladatot is megadhat példaként. Először is a legegyszerűbb logaritmikus derivált. Meg kell találni a következő függvény deriváltját.

Meg kell találnunk a következő származékot

Van egy speciális képlet.

Ebben az esetben x=u, log3x=v. A függvényünk értékeit behelyettesítjük a képletbe.

x deriváltja eggyel lesz egyenlő. A logaritmus kicsit nehezebb. De megérti az elvet, ha egyszerűen helyettesíti az értékeket. Emlékezzünk vissza, hogy lg x deriváltja a decimális logaritmus deriváltja, ln x deriváltja pedig a természetes logaritmus deriváltja (e alapján).

Most egyszerűen illessze be a kapott értékeket a képletbe. Próbáld ki te is, akkor ellenőrizzük a választ.

Mi lehet itt a probléma egyeseknek? Bevezettük a természetes logaritmus fogalmát. Beszéljünk róla, és egyúttal kitaláljuk, hogyan oldjuk meg a problémákat vele. Semmi bonyolultat nem fog látni, különösen, ha megérti a működési elvét. Meg kell szokni, hiszen a matematikában (felsőoktatási intézményekben még inkább) gyakran használják.

A természetes logaritmus származéka

Lényegében a logaritmus deriváltja az e bázishoz (amely egy irracionális szám, amely megközelítőleg 2,7). Valójában az ln nagyon egyszerű, ezért gyakran használják általában a matematikában. Igazából a probléma megoldása sem lesz gond vele. Érdemes megjegyezni, hogy a természetes logaritmus e bázisra vonatkozó deriváltja egyenlő lesz egy osztva x-szel. A következő példa megoldása lesz a legleleplezőbb.

Képzeljük el, mint egy összetett függvényt, amely két egyszerű függvényből áll.

Elég konvertálni

Az u deriváltját keressük x-re vonatkozóan

Exponenciális hatványfüggvények vagy nehézkes törtkifejezések megkülönböztetésekor célszerű a logaritmikus deriváltot használni. Ebben a cikkben példákat tekintünk meg alkalmazására részletes megoldásokkal.

A további bemutatás feltételezi a deriválttáblázat, a differenciálási szabályok használatának képességét és a komplex függvény deriváltjának képletének ismeretét.

A logaritmikus derivált képletének levezetése.

Először a logaritmusokat e bázisra vesszük, a logaritmus tulajdonságaival egyszerűsítjük a függvény alakját, majd megkeressük az implicit módon megadott függvény deriváltját:

Például keressük meg egy x exponenciális hatványfüggvény deriváltját az x hatványra.

A logaritmusokat véve . A logaritmus tulajdonságai szerint. Az egyenlőség két oldalának megkülönböztetése a következő eredményhez vezet:

Válasz: .

Ugyanez a példa megoldható a logaritmikus derivált használata nélkül is. Elvégezhet néhány transzformációt, és az exponenciális hatványfüggvény megkülönböztetésétől az összetett függvény deriváltjának megtalálásához léphet:

Példa.

Keresse meg egy függvény deriváltját .

Megoldás.

Ebben a példában a függvény egy tört, és származéka a differenciálási szabályok segítségével megtalálható. De a kifejezés nehézkessége miatt ez sok átalakítást igényel. Ilyen esetekben ésszerűbb a logaritmikus derivált képlet alkalmazása . Miért? Most meg fogod érteni.

Először keressük meg. A transzformációknál a logaritmus tulajdonságait fogjuk használni (egy tört logaritmusa egyenlő a logaritmusok különbségével, a szorzat logaritmusa pedig a logaritmusok összegével, és a logaritmus előjele alatti kifejezés mértéke együtthatóként kivéve a logaritmus előtt):

Ezek az átalakítások egy meglehetősen egyszerű kifejezéshez vezettek, amelynek származékát könnyű megtalálni:

A kapott eredményt behelyettesítjük a logaritmikus derivált képletébe, és megkapjuk a választ:

Az anyag konszolidálásához további néhány példát adunk részletes magyarázat nélkül.

Példa.

Keresse meg egy exponenciális hatványfüggvény deriváltját!

Az x természetes logaritmusának deriváltja egy osztva x-szel:
(1) (ln x)′ =.

A logaritmus a bázisra vonatkozó deriváltja egyenlő egy osztva az x változóval, megszorozva a természetes logaritmusával:
(2) (log a x)′ =.

Bizonyíték

Legyen olyan pozitív szám, amely nem egyenlő eggyel. Tekintsünk egy x változótól függő függvényt, amely az alap logaritmusa:
.
Ez a függvény a következő helyen van definiálva. Keressük a deriváltját az x változóra vonatkozóan. Definíció szerint a derivált a következő határérték:
(3) .

Alakítsuk át ezt a kifejezést, hogy ismert matematikai tulajdonságokra és szabályokra redukáljuk. Ehhez tudnunk kell a következő tényeket:
A) A logaritmus tulajdonságai. A következő képletekre lesz szükségünk:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) A logaritmus folytonossága és a határértékek tulajdonsága folytonos függvényre:
(7) .
Itt van egy függvény, amelynek határértéke van, és ez a határ pozitív.
BAN BEN) A második figyelemre méltó határ jelentése:
(8) .

Alkalmazzuk ezeket a tényeket a határainkhoz. Először transzformáljuk az algebrai kifejezést
.
Ehhez a (4) és (5) tulajdonságokat alkalmazzuk.

.

Használjuk a (7) tulajdonságot és a második figyelemre méltó határt (8):
.

És végül alkalmazzuk a (6) tulajdonságot:
.
Logaritmus a bázishoz e hívott természetes logaritmus. A következőképpen van megjelölve:
.
Akkor ;
.

Így a (2) képletet kaptuk a logaritmus deriváltjára.

A természetes logaritmus származéka

Még egyszer kiírjuk a logaritmus a bázisra való deriváltjának képletét:
.
Ennek a képletnek van a legegyszerűbb alakja a természetes logaritmushoz, amelyre , . Akkor
(1) .

Ezen egyszerűség miatt a természetes logaritmust nagyon széles körben használják a matematikai elemzésben és a matematika más, a differenciálszámítással kapcsolatos ágaiban. A más bázisokkal rendelkező logaritmikus függvények természetes logaritmusban fejezhetők ki a (6) tulajdonság segítségével:
.

A logaritmus bázishoz viszonyított deriváltja az (1) képletből megtudható, ha a konstanst kiveszed a differenciáló jelből:
.

A logaritmus deriváltjának bizonyításának egyéb módjai

Itt feltételezzük, hogy ismerjük az exponenciális derivált képletét:
(9) .
Ekkor levezethetjük a természetes logaritmus deriváltjának képletét, feltéve, hogy a logaritmus az exponenciális inverz függvénye.

Bizonyítsuk be a természetes logaritmus deriváltjának képletét, az inverz függvény deriváltjának képletét alkalmazva:
.
A mi esetünkben . A természetes logaritmus inverz függvénye az exponenciális:
.
Származékát a (9) képlet határozza meg. A változók bármilyen betűvel jelölhetők. A (9) képletben cserélje ki az x változót y-ra:
.
Azóta
.
Akkor
.
A képlet bevált.

Most bebizonyítjuk a természetes logaritmus deriváltjának képletét a segítségével szabályokat az összetett függvények megkülönböztetésére. Mivel a és függvények inverzek egymással, akkor
.
Megkülönböztetjük ezt az egyenletet az x változóhoz képest:
(10) .
x deriváltja eggyel egyenlő:
.
Alkalmazzuk az összetett függvények differenciálási szabályát:
.
Itt . Cseréljük be (10):
.
Innen
.

Példa

Keresse származékait 2x, 3xÉs lnnx.

Megoldás

Az eredeti függvények hasonló formájúak. Ezért meg fogjuk találni a függvény deriváltját y = log nx. Ekkor behelyettesítjük n = 2 és n = 3 értékkel. És így képleteket kapunk a származékaihoz 2xÉs 3x .

Tehát a függvény deriváltját keressük
y = log nx .
Képzeljük el ezt a függvényt két függvényből álló komplex függvényként:
1) Változótól függő függvények: ;
2) Változótól függő függvények: .
Ekkor az eredeti függvény a és a függvényekből áll:
.

Keressük meg a függvény deriváltját az x változóra vonatkozóan:
.
Keressük meg a függvény deriváltját a változóhoz képest:
.
Alkalmazzuk a komplex függvény deriváltjának képletét.
.
Itt állítjuk be.

Így találtuk:
(11) .
Látjuk, hogy a derivált nem függ n-től. Ez az eredmény teljesen természetes, ha az eredeti függvényt a szorzat logaritmusának képletével alakítjuk át:
.
- ez állandó. A származéka nulla. Ekkor az összeg differenciálási szabálya szerint a következőket kapjuk:
.

Válasz

; ; .

Az x modulus logaritmusának deriváltja

Keressük meg egy másik nagyon fontos függvény – az x modulus természetes logaritmusának – deriváltját:
(12) .

Tekintsük az esetet. Ekkor a függvény így néz ki:
.
Származékát az (1) képlet határozza meg:
.

Most nézzük meg az esetet. Ekkor a függvény így néz ki:
,
Ahol .
De ennek a függvénynek a deriváltját is megtaláltuk a fenti példában. Nem függ n-től és egyenlő vele
.
Akkor
.

Összevonjuk ezt a két esetet egy képletben:
.

Ennek megfelelően ahhoz, hogy a logaritmus a-t alapozzon, a következőket kapjuk:
.

A természetes logaritmus magasabb rendű származékai

Vegye figyelembe a funkciót
.
Megtaláltuk elsőrendű származékát:
(13) .

Keressük a másodrendű deriváltot:
.
Keressük a harmadrendű deriváltot:
.
Keressük a negyedrendű deriváltot:
.

Észreveheti, hogy az n-edrendű származék alakja a következő:
(14) .
Bizonyítsuk be ezt matematikai indukcióval.

Bizonyíték

Helyettesítsük be az n = 1 értéket a (14) képletbe:
.
Mivel , akkor amikor n = 1 , a (14) képlet érvényes.

Tegyük fel, hogy a (14) képlet teljesül n = k esetén. Bizonyítsuk be, hogy ez azt jelenti, hogy a képlet n = k-re érvényes + 1 .

Valójában n = k esetén van:
.
Differenciálj az x változóval:

.
Így kaptunk:
.
Ez a képlet egybeesik az n = k + (14) képlettel 1 . Tehát abból a feltételezésből, hogy a (14) képlet érvényes n = k esetén, az következik, hogy a (14) képlet érvényes n = k + esetén 1 .

Ezért az n-edrendű derivált (14) formula bármely n-re érvényes.

A logaritmus magasabb rendű származékai a bázishoz

Ahhoz, hogy megtaláljuk a logaritmus n-edrendű deriváltját a bázishoz, a természetes logaritmussal kell kifejezni:
.
A (14) képletet alkalmazva megtaláljuk az n-edik deriváltot:
.

Komplex származékok. Logaritmikus derivált.
Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Továbbfejlesztjük megkülönböztetési technikánkat. Ebben a leckében összevonjuk az általunk feldolgozott anyagot, megnézzük az összetettebb deriváltokat, valamint megismerkedünk a derivált megtalálásának új technikáival és trükkjeivel, különösen a logaritmikus deriválttal.

Azok az olvasók, akik alacsony felkészültséggel rendelkeznek, olvassák el a cikket Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra, amely lehetővé teszi, hogy szinte a semmiből emelje tudását. Ezután alaposan tanulmányoznia kell az oldalt Komplex függvény származéka, megérteni és megoldani Minden az általam felhozott példákat. Ez a lecke logikusan a harmadik, és elsajátítása után magabiztosan megkülönbözteti a meglehetősen összetett funkciókat. Nem kívánatos a „Hol máshol? Elég volt!”, hiszen minden példa és megoldás valós tesztekből származik, és gyakran találkozunk vele a gyakorlatban.

Kezdjük az ismétléssel. A leckében Komplex függvény származéka Számos példát néztünk meg részletes megjegyzésekkel. A differenciálszámítás és a matematikai elemzés más ágainak tanulmányozása során nagyon gyakran kell differenciálni, és nem mindig kényelmes (és nem is mindig szükséges) a példák részletes leírása. Ezért szóban fogjuk gyakorolni a származékok megtalálását. Erre a legalkalmasabb „jelöltek” a legegyszerűbb összetett függvények származékai, például:

Az összetett függvények differenciálási szabálya szerint :

Ha a jövőben más matan témákat tanul, akkor leggyakrabban nincs szükség ilyen részletes rögzítésre, feltételezzük, hogy a hallgató tudja, hogyan találhat ilyen származékokat autopilótán. Képzeljük el, hogy hajnali 3 órakor megszólalt a telefon, és egy kellemes hang megkérdezte: "Mi a deriváltja két X tangensének?" Ezt szinte azonnali és udvarias válasznak kell követnie: .

Az első példa azonnal önálló megoldásra lesz szánva.

1. példa

Keresse meg szóban, például egy műveletben a következő származékokat: . A feladat elvégzéséhez csak használnia kell elemi függvények deriváltjainak táblázata(ha még nem emlékeztél rá). Ha nehézségei vannak, javaslom, hogy olvassa el újra a leckét Komplex függvény származéka.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Válaszok a lecke végén

Komplex származékok

Előzetes tüzérségi előkészítés után a 3-4-5 funkciófészkelésű példák kevésbé lesznek ijesztőek. A következő két példa bonyolultnak tűnhet egyesek számára, de ha megérti őket (valaki szenvedni fog), akkor szinte minden más a differenciálszámításban gyerekviccnek tűnik.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint már említettük, egy komplex függvény deriváltjának megtalálásakor először is szükség van rá Jobb MEGÉRTSE befektetéseit. Azokban az esetekben, amikor kétségek merülnek fel, emlékeztetek egy hasznos technikára: vesszük például az „x” kísérleti értékét, és megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) ezt az értéket behelyettesíteni a „szörnyű kifejezésbe”.

1) Először ki kell számítanunk a kifejezést, ami azt jelenti, hogy az összeg a legmélyebb beágyazás.

2) Ezután ki kell számítania a logaritmust:

4) Ezután felkockázzuk a koszinuszát:

5) Az ötödik lépésben a különbség a következő:

6) És végül, a legkülső függvény a négyzetgyök:

Képlet egy összetett függvény megkülönböztetésére fordított sorrendben alkalmazzák, a legkülső funkciótól a legbelsőig. Mi döntünk:

Úgy tűnik, nincs hiba...

(1) Vegyük a négyzetgyök deriváltját.

(2) A különbség deriváltját a szabály segítségével vesszük

(3) A hármas deriváltja nulla. A második tagban a fok (kocka) deriváltját vesszük.

(4) Vegyük a koszinusz deriváltját.

(5) Vegyük a logaritmus deriváltját.

(6) És végül vesszük a legmélyebb beágyazás származékát.

Lehet, hogy túl nehéznek tűnik, de nem ez a legbrutálisabb példa. Vegyük például Kuznyecov gyűjteményét, és értékelni fogja az elemzett származék minden szépségét és egyszerűségét. Észrevettem, hogy szeretnek hasonlót adni egy vizsgán, hogy ellenőrizzék, hogy a hallgató érti-e egy komplex függvény deriváltját, vagy nem érti.

A következő példa arra szolgál, hogy Ön egyedül oldja meg.

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Tipp: Először a linearitási szabályokat és a termékdifferenciálási szabályokat alkalmazzuk

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Ideje áttérni valami kisebbre és szebbre.
Nem ritka, hogy egy példa nem két, hanem három függvény szorzatát mutatja. Hogyan találjuk meg a három tényező szorzatának deriváltját?

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Először is nézzük meg, hogy lehet-e három függvény szorzatát két függvény szorzatává alakítani? Például, ha két polinom van a szorzatban, akkor kinyithatjuk a zárójeleket. De a vizsgált példában az összes függvény különbözik: fok, kitevő és logaritmus.

Ilyen esetekben szükséges szekvenciálisan alkalmazza a termékdifferenciálási szabályt kétszer

A trükk az, hogy „y”-vel két függvény szorzatát jelöljük: , „ve”-vel pedig a logaritmust: . Miért lehet ezt megtenni? Ez valóban – ez nem két tényező szorzata és a szabály nem működik?! Nincs semmi bonyolult:

Most már másodszor kell alkalmazni a szabályt zárójelbe:

Meg is csavarodhat, és zárójelbe tesz valamit, de ebben az esetben jobb, ha pontosan ebben a formában hagyja a választ - könnyebb lesz ellenőrizni.

A vizsgált példa a második módon is megoldható:

Mindkét megoldás teljesen egyenértékű.

5. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa egy független megoldásra, a mintában az első módszerrel van megoldva.

Nézzünk hasonló példákat a törtekkel.

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Többféleképpen is eljuthatsz ide:

Vagy így:

De a megoldást tömörebben írjuk le, ha először a hányados differenciálási szabályát használjuk , figyelembe véve a teljes számlálót:

Elvileg a példa meg van oldva, és ha így marad, akkor nem lesz hiba. De ha van időd, mindig célszerű megnézni egy piszkozatot, hátha egyszerűsíthető a válasz? A számláló kifejezését redukáljuk közös nevezőre és szabaduljunk meg a háromemeletes törttől:

A további egyszerűsítések hátránya, hogy nem a származék megtalálásakor, hanem a banális iskolaátalakítások során fennáll a hiba veszélye. Másrészt a tanárok gyakran elutasítják a feladatot, és azt kérik, hogy „hozzuk eszünkbe” a származékot.

Egy egyszerűbb példa önálló megoldásra:

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Továbbra is elsajátítjuk a derivált megtalálásának módszereit, és most egy tipikus esetet fogunk megvizsgálni, amikor egy „szörnyű” logaritmust javasolnak a differenciáláshoz

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt hosszú utat tehet meg az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával:

De a legelső lépés azonnal csüggedtségbe sodor – törthatványból kell venni a kellemetlen származékot, majd törtből is.

Ezért előtt hogyan vegyük egy „kifinomult” logaritmus deriváltját, először egyszerűsítjük a jól ismert iskolai tulajdonságok segítségével:

! Ha van kéznél egy gyakorló füzet, másolja közvetlenül oda ezeket a képleteket. Ha nincs jegyzetfüzete, másolja ki őket egy papírra, mivel a lecke többi példája ezen képletek körül fog forogni.

Magát a megoldást így írhatjuk le:

Alakítsuk át a függvényt:

A származék megkeresése:

Maga a függvény előzetes konvertálása nagyban leegyszerűsítette a megoldást. Így ha hasonló logaritmust javasolnak a differenciáláshoz, mindig tanácsos „lebontani”.

És most néhány egyszerű példa, amelyet önállóan megoldhat:

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

10. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Minden átalakítás és válasz a lecke végén található.

Logaritmikus derivált

Ha a logaritmusok származéka ilyen édes zene, akkor felmerül a kérdés: lehetséges-e bizonyos esetekben mesterségesen rendszerezni a logaritmust? Tud! És még szükséges is.

11. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Nemrég néztünk hasonló példákat. Mit kell tenni? Alkalmazhatja egymás után a hányados differenciálási szabályát, majd a szorzat differenciálási szabályát. Ennek a módszernek az a hátránya, hogy egy hatalmas háromemeletes töredékhez jutsz, amivel egyáltalán nem akarsz foglalkozni.

De elméletben és gyakorlatban van egy olyan csodálatos dolog, mint a logaritmikus derivált. A logaritmusokat mesterségesen is meg lehet szervezni, ha mindkét oldalra „akasztjuk” őket:

jegyzet : mert egy függvény negatív értékeket vehet fel, akkor általában modulokat kell használni: , amely a differenciálódás következtében eltűnik. Elfogadható azonban a jelenlegi kialakítás is, ahol alapból ezt veszik figyelembe összetett jelentések. De ha teljes szigorral, akkor mindkét esetben fenntartással kell élni, hogy.

Most a lehető legjobban kell „feltörni” a jobb oldal logaritmusát (képletek a szemed előtt?). Ezt a folyamatot részletesen leírom:

Kezdjük a megkülönböztetéssel.
Mindkét részt a prime alatt zárjuk:

A jobb oldal származéka meglehetősen egyszerű, nem kommentálom, mert ha ezt a szöveget olvassa, akkor magabiztosan kell kezelnie.

Mi van a bal oldallal?

A bal oldalon van összetett funkció. Előre látom a kérdést: „Miért van egy „Y” betű a logaritmus alatt?

A tény az, hogy ez az „egy betűs játék” - ÖNMAGA FUNKCIÓ(ha nem túl világos, nézze meg az implicit módon megadott függvény származéka című cikket). Ezért a logaritmus egy külső függvény, az „y” pedig egy belső függvény. És a szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére használjuk :

A bal oldalon, mintha varázsütésre, van egy származékunk. Ezután az arányszabály szerint átvisszük az „y”-t a bal oldali nevezőből a jobb oldal tetejére:

És most emlékezzünk, milyen „játékos” funkcióról beszéltünk a megkülönböztetés során? Nézzük a feltételt:

Végső válasz:

12. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa arra, hogy egyedül oldja meg. A lecke végén egy ilyen típusú példa mintaterv látható.

A logaritmikus derivált segítségével a 4-7. példák bármelyikét meg lehetett oldani, másik dolog, hogy ott egyszerűbbek a függvények, és talán nem nagyon indokolt a logaritmikus derivált használata.

Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Ezt a funkciót még nem vettük figyelembe. A hatvány-exponenciális függvény olyan függvény, amelyre mind a fok, mind az alap az „x”-től függ. Egy klasszikus példa, amelyet bármelyik tankönyvben vagy előadásban megadnak:

Hogyan találjuk meg a hatvány-exponenciális függvény deriváltját?

Az imént tárgyalt technikát kell használni - a logaritmikus deriváltot. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk:

Általában a jobb oldalon a fokszám kikerül a logaritmus alól:

Ennek eredményeként a jobb oldalon két függvény szorzata látható, amelyeket a szabványos képlet szerint különböztetünk meg. .

Ehhez megtaláljuk a származékot, mindkét részt vonjuk be:

A további műveletek egyszerűek:

Végül:

Ha bármely átalakítás nem teljesen egyértelmű, kérjük, olvassa el újra figyelmesen a 11. példa magyarázatait.

A gyakorlati feladatokban a hatvány-exponenciális függvény mindig összetettebb lesz, mint a tárgyalt előadáspélda.

13. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

A logaritmikus deriváltot használjuk.

A jobb oldalon van egy konstans és két tényező szorzata - „x” és „x logaritmus” (a logaritmus alá egy másik logaritmus van beágyazva). A differenciálásnál, mint emlékszünk, jobb, ha a konstanst azonnal kimozdítjuk a származékjelből, hogy ne álljon útban; és természetesen alkalmazzuk az ismert szabályt :