A legkevésbé gyakori több oszlopos online számológép. Least Common Multiple (LCM) – Definíció, példák és tulajdonságok

Két szám legkisebb közös többszöröse közvetlenül kapcsolódik e számok legnagyobb közös osztójához. Ez kapcsolat a GCD és a NOC között a következő tétel határozza meg.

Tétel.

Két pozitív egész szám a és b legkisebb közös többszöröse egyenlő a és b szorzatával osztva a és b legnagyobb közös osztójával, azaz LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Bizonyíték.

Hadd M az a és b számok többszöröse. Azaz M osztható a-val, és az oszthatóság definíciója szerint van olyan k egész szám, amelyre az M=a·k egyenlőség igaz. De M is osztható b-vel, akkor a·k osztható b-vel.

Jelöljük gcd(a, b)-t d-ként. Ekkor felírhatjuk az a=a 1 ·d és b=b 1 ·d egyenlőségeket, és a 1 =a:d és b 1 =b:d relatív prímszámok lesznek. Következésképpen az előző bekezdésben kapott feltétel, hogy a · k osztható b-vel, a következőképpen újrafogalmazható: a 1 · d · k osztva b 1 · d -vel, és ez az oszthatósági tulajdonságok miatt ekvivalens a feltétellel. hogy a 1 · k osztható b 1 -gyel.

A vizsgált tételből két fontos következményt is le kell írni.

Két szám közös többszörösei megegyeznek a legkisebb közös többszörösük többszörösével.

Ez valóban így van, mivel az a és b számok M bármely közös többszörösét az M=LMK(a, b)·t egyenlőség határozza meg valamilyen t egész értékre.

Az a és b kölcsönösen prímszámú pozitív számok legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzatukkal.

Ennek a ténynek az indoklása teljesen nyilvánvaló. Mivel a és b viszonylag prím, akkor gcd(a, b)=1, ezért GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse

Három vagy több szám legkisebb közös többszörösének megtalálása lecsökkenthető két szám LCM-jének szekvenciális meghatározására. Hogy ez hogyan történik, azt a következő tétel jelzi, hogy a 1 , a 2 , …, a k egybeesnek az m k-1 számok közös többszöröseivel, a k tehát egybeesnek az m k szám közös többszörösével. És mivel az m k szám legkisebb pozitív többszöröse maga az m k szám, akkor az a 1, a 2, ..., a k számok legkisebb közös többszöröse m k.

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya. és a matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
• Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
• Mikhelovich Sh.H. Számelmélet.
• Kulikov L.Ya. és egyebek Algebrai és számelméleti feladatgyűjtemény: Tankönyv fizika és matematika szakos hallgatóknak. pedagógiai intézetek szakterületei.

Második szám: b=

Ezer elválasztó Szóközelválasztó nélkül "´

Eredmény:

Legnagyobb közös osztó gcd( a,b)=6

LCM( legkisebb közös többszöröse a,b)=468

A legnagyobb természetes számot nevezzük, amely maradék nélkül osztható a és b számokkal legnagyobb közös osztó(GCD) ezekből a számokból. Jelölése: gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) vagy hcf(a,b).

Legkisebb közös többszörös Két a és b egész szám LCM-je a legkisebb természetes szám, amely maradék nélkül osztható a-val és b-vel. Jelölve LCM(a,b), vagy lcm(a,b).

Az a és b egész számokat hívjuk kölcsönösen prím, ha a +1-en és a -1-en kívül nincs más közös osztójuk.

Legnagyobb közös osztó

Adjunk meg két pozitív számot a 1 és a 2 1). Meg kell találni ezeknek a számoknak a közös osztóját, pl. találni egy ilyen számot λ , amely a számokat osztja a 1 és a 2 egyszerre. Leírjuk az algoritmust.

1) Ebben a cikkben a szám szó egész számként értendő.

Hadd a 1 ≥ a 2 és hagyjuk

Ahol m 1 , a 3 néhány egész szám, a 3 <a 2 (az osztás maradéka a 1 per a 2 legyen kevesebb a 2).

Tegyünk úgy, mintha λ oszt a 1 és a 2 akkor λ oszt m 1 a 2 és λ oszt a 1 −m 1 a 2 =a 3 (A „Számok oszthatósága. Oszthatósági teszt” cikk 2. állítása). Ebből következik, hogy minden közös osztó a 1 és a 2 a közös osztó a 2 és a 3. Fordítva is igaz, ha λ közös osztó a 2 és a 3 akkor m 1 a 2 és a 1 =m 1 a 2 +a 3 is osztható vele λ . Ezért a közös osztó a 2 és a A 3 is közös osztó a 1 és a 2. Mert a 3 <a 2 ≤a 1, akkor azt mondhatjuk, hogy a megoldás a számok közös osztójának megtalálása a 1 és a 2 egyszerűbb feladatra redukálva a számok közös osztóját a 2 és a 3 .

Ha a 3 ≠0, akkor oszthatjuk a 2 per a 3. Akkor

,

Ahol m 1 és a 4 néhány egész szám, ( a 4 maradék az osztásból a 2 per a 3 (a 4 <a 3)). Hasonló érveléssel arra a következtetésre jutunk, hogy a számok közös osztói a 3 és a A 4 egybeesik a számok közös osztóival a 2 és a 3, és közös osztókkal is a 1 és a 2. Mert a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... olyan számok, amelyek folyamatosan csökkennek, és mivel véges számú egész szám van között a 2 és 0, majd valamilyen lépésben n, az osztály többi része a nem a n+1 egyenlő lesz nullával ( a n+2=0).

.

Minden közös osztó λ számok a 1 és a A 2 a számok osztója is a 2 és a 3 , a 3 és a 4 , .... a n és a n+1. Ennek fordítva is igaz, a számok közös osztói a n és a n+1 a számok osztói is a n−1 és a n , .... , a 2 és a 3 , a 1 és a 2. De a számok közös osztója a n és a n+1 egy szám a n+1 , mert a n és a n+1 osztható vele a n+1 (ne feledje a n+2=0). Ennélfogva a n+1 a számok osztója is a 1 és a 2 .

Vegye figyelembe, hogy a szám a n+1 a számok legnagyobb osztója a n és a n+1 , mivel a legnagyobb osztó a n+1 önmaga a n+1. Ha a n+1 egész számok szorzataként ábrázolható, akkor ezek a számok a számok közös osztói is a 1 és a 2. Szám a n+1-et hívják legnagyobb közös osztó számok a 1 és a 2 .

Számok a 1 és a A 2 lehet pozitív vagy negatív szám. Ha az egyik szám egyenlő nullával, akkor ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója egyenlő lesz a másik szám abszolút értékével. A nulla számok legnagyobb közös osztója definiálatlan.

A fenti algoritmust ún Euklideszi algoritmus hogy megtaláljuk két egész szám legnagyobb közös osztóját.

Példa két szám legnagyobb közös osztójának megtalálására

Keresse meg a 630 és 434 szám legnagyobb közös osztóját.

• 1. lépés: Ossza el a 630-as számot 434-gyel. A maradék 196.
• 2. lépés: Ossza el a 434-et 196-tal. A maradék 42.
• 3. lépés: Ossza el a 196-ot 42-vel. A maradék 28.
• 4. lépés: Ossza el a 42-t 28-cal. A maradék 14.
• 5. lépés: Ossza el a 28-at 14-gyel. A maradék 0.

Az 5. lépésben az osztás maradéka 0. Ezért a 630 és 434 számok legnagyobb közös osztója 14. Vegye figyelembe, hogy a 2 és 7 számok osztói a 630-nak és a 434-nek is.

Második prímszámok

Meghatározás 1. Legyen a számok legnagyobb közös osztója a 1 és a 2 egyenlő eggyel. Ezután ezeket a számokat hívják prímszámok, amelynek nincs közös osztója.

Tétel 1. Ha a 1 és a 2 prímszám, és λ valamilyen szám, majd a számok bármely közös osztója λa 1 és a A 2 a számok közös osztója is λ És a 2 .

Bizonyíték. Tekintsük az euklideszi algoritmust a számok legnagyobb közös osztójának megtalálásához a 1 és a 2 (lásd fent).

.

A tétel feltételeiből az következik, hogy a számok legnagyobb közös osztója a 1 és a 2 és ezért a n és a n+1 értéke 1. Azaz a n+1 =1.

Szorozzuk meg ezeket az egyenlőségeket ezzel λ , Akkor

.

Legyen a közös osztó a 1 λ És a 2 igen δ . Akkor δ szorzóként szerepel benne a 1 λ , m 1 a 2 λ és be a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (lásd: „Számok oszthatósága”, 2. állítás). További δ szorzóként szerepel benne a 2 λ És m 2 a 3 λ , és ezért tényezőként szerepel a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Így érvelve meg vagyunk győződve arról δ szorzóként szerepel benne a n-1 λ És m n-1 a n λ , és ezért be a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Mert a n+1 =1, akkor δ szorzóként szerepel benne λ . Ezért a szám δ a számok közös osztója λ És a 2 .

Tekintsük az 1. Tétel speciális eseteit.

Következmény 1. Hadd aÉs c A prímszámok viszonylagosak b. Aztán a termékük ac tekintetében prímszám b.

Igazán. Az 1. tételből acÉs b ugyanazokkal a közös osztókkal rendelkeznek, mint cÉs b. De a számok cÉs b viszonylag egyszerű, pl. egyetlen közös osztójuk van 1. Akkor acÉs b egyetlen közös osztójuk is van 1. Ezért acÉs b kölcsönösen egyszerű.

Következmény 2. Hadd aÉs b prímszámok és legyen b oszt ak. Akkor b osztja és k.

Igazán. A jóváhagyási feltételtől akÉs b közös osztójuk van b. Az 1. tétel értelmében b közös osztónak kell lennie bÉs k. Ennélfogva b oszt k.

Az 1. következmény általánosítható.

Következmény 3. 1. Legyen a számok a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m a számhoz viszonyított prímek b. Akkor a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, ezeknek a számoknak a szorzata prím a számhoz képest b.

2. Legyen két számsorunk

úgy, hogy az első sorozat minden száma prím legyen a második sorozat minden számához képest. Aztán a termék

Meg kell találnia azokat a számokat, amelyek oszthatók ezekkel a számokkal.

Ha egy szám osztható vele a 1, akkor megvan a formája sa 1 hol s valami szám. Ha q a számok legnagyobb közös osztója a 1 és a 2, akkor

Ahol s 1 egy egész szám. Akkor

van számok legkisebb közös többszörösei a 1 és a 2 .

a 1 és a 2 viszonylag prím, akkor a számok legkisebb közös többszöröse a 1 és a 2:

Meg kell találnunk ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszörösét.

A fentiekből következik, hogy a számok tetszőleges többszöröse a 1 , a 2 , a A 3-nak a számok többszörösének kell lennie ε És a 3 és vissza. Legyen a számok legkisebb közös többszöröse ε És a 3 igen ε 1 . Ezután a számok többszörösei a 1 , a 2 , a 3 , a A 4-nek számok többszörösének kell lennie ε 1 és a 4. Legyen a számok legkisebb közös többszöröse ε 1 és a 4 igen ε 2. Így rájöttünk, hogy a számok minden többszöröse a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m egybeesik egy bizonyos szám többszörösével ε n, amelyet az adott számok legkisebb közös többszörösének nevezünk.

Abban a speciális esetben, amikor a számok a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m viszonylag prím, akkor a számok legkisebb közös többszöröse a 1 , a A 2. ábra, amint fentebb látható, a (3) alakú. Következő, azóta a 3 prím a számokhoz viszonyítva a 1 , a 2 akkor a 3 prímszám a 1 · a 2 (1. következmény). A számok legkisebb közös többszörösét jelenti a 1 ,a 2 ,a 3 egy szám a 1 · a 2 · a 3. Hasonlóan érvelve jutunk el a következő állításokhoz.

Nyilatkozat 1. A koprímszámok legkisebb közös többszöröse a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m egyenlő a szorzatukkal a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Nyilatkozat 2. Bármilyen szám, amely osztható az egyes másodpímszámokkal a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m is osztható a szorzatukkal a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

A „Többszörös számok” témát a középiskola 5. osztályában tanulják. Célja az írásbeli és szóbeli matematikai számítási készségek fejlesztése. Ebben a leckében új fogalmakat vezetnek be - „többszörös számok” és „osztók”, a természetes szám osztóinak és többszöröseinek megtalálásának technikáját, valamint az LCM különféle módokon történő megtalálásának képességét.

Ez a téma nagyon fontos. Ennek ismerete a törtjeles példák megoldásánál is alkalmazható. Ehhez meg kell találni a közös nevezőt a legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámításával.

A többszöröse olyan egész szám, amely maradék nélkül osztható A-val.

Minden természetes számnak végtelen számú többszöröse van. Önmagát tekintik a legkisebbnek. A többszörös nem lehet kisebb, mint maga a szám.

Be kell bizonyítani, hogy a 125 szám többszöröse az 5-nek. Ehhez el kell osztani az első számot a másodikkal. Ha 125 osztható 5-tel maradék nélkül, akkor a válasz igen.

Ez a módszer kis számoknál alkalmazható.

Vannak speciális esetek a LOC kiszámításakor.

1. Ha meg kell találnia 2 olyan szám közös többszörösét (például 80 és 20), ahol az egyik (80) osztható a másikkal (20), akkor ez a szám (80) ezeknek a legkisebb többszöröse. két szám.

LCM(80; 20) = 80.

2. Ha kettőnek nincs közös osztója, akkor azt mondhatjuk, hogy az LCM-jük ennek a két számnak a szorzata.

LCM(6; 7) = 42.

Nézzük az utolsó példát. A 6 és 7 a 42-hez képest osztók. Egy szám többszörösét osztják maradék nélkül.

Ebben a példában a 6 és 7 páros faktorok. A szorzatuk megegyezik a legtöbb többszörös számmal (42).

Egy számot prímnek nevezünk, ha csak önmagával vagy 1-gyel osztható (3:1=3; 3:3=1). A többit kompozitnak nevezik.

Egy másik példa annak meghatározása, hogy 9 osztója-e 42-nek.

42:9=4 (a maradék 6)

Válasz: A 9 nem osztója 42-nek, mert a válasznak van maradéka.

Az osztó abban különbözik a többszöröstől, hogy az osztó az a szám, amellyel a természetes számokat elosztjuk, magát a többszöröst pedig ezzel a számmal.

A számok legnagyobb közös osztója aÉs b, megszorozva a legkisebb többszörösükkel, maguknak a számoknak a szorzatát adja aÉs b.

Nevezetesen: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Az összetettebb számok közös többszörösei a következő módon találhatók meg.

Például keresse meg a 168, 180, 3024 LCM-jét.

Ezeket a számokat prímtényezőkké alakítjuk, és hatványok szorzataként írjuk fel:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168; 180; 3024) = 15120.

Hogyan lehet megtalálni a legkisebb közös többszöröst?

Meg kell találnunk mind a két szám mindegyik tényezőjét, amelyekre a legkisebb közös többszöröst találtuk, majd meg kell szorozni egymással azokat a tényezőket, amelyek az első és a második számban egybeesnek. A termék eredménye a szükséges többszörös lesz.

Például megvan a 3 és 5 szám, és meg kell találnunk az LCM-et (legkisebb közös többszörös). Minket szorozni kellés három és öt minden 1 2 3-tól kezdődő számhoz ...és így tovább, amíg mindkét helyen ugyanazt a számot nem látjuk.

Szorozzuk meg a hármat, és kapjuk: 3, 6, 9, 12, 15

Szorozzuk meg öttel, és kapjuk: 5, 10, 15

A prímtényezős módszer a legklasszikusabb módszer több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálására. Ezt a módszert világosan és egyszerűen bemutatja a következő videó:

Az összeadás, szorzás, osztás, közös nevezőre redukálás és egyéb számtani műveletek nagyon izgalmasak az egész papírlapot elfoglaló példák.

Tehát keresse meg két szám közös többszörösét, amely az a legkisebb szám, amellyel a két szám el van osztva. Szeretném megjegyezni, hogy a jövőben nem szükséges képletekhez folyamodni ahhoz, hogy megtaláld, amit keresel, ha fejben tudsz számolni (és ez tanítható), akkor maguk a számok bukkannak fel a fejedben és akkor a frakciók dióként megrepednek.

Először tanuljuk meg, hogy két számot meg lehet szorozni egymással, majd csökkenteni ezt a számot, és felváltva osztani ezzel a két számmal, így megtaláljuk a legkisebb többszöröst.

Például két szám 15 és 6. Szorozzuk meg, és kapjunk 90-et. Ez egyértelműen nagyobb szám. Sőt, a 15 osztható 3-mal, a 6 pedig osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy 90-et is osztunk 3-mal. 30-at kapunk. Megpróbáljuk 30-zal osztani 15 egyenlő 2-vel. És 30 osztani 6 egyenlő 5-tel. Mivel 2 a határ, fordul ki, hogy a számok legkisebb többszöröse 15, a 6 pedig 30 lesz.

Nagyobb számokkal ez egy kicsit nehezebb lesz. de ha tudod, hogy melyik szám ad nulla maradékot osztásnál vagy szorzásnál, akkor elvileg nincs nagy nehézség.

• Hogyan lehet megtalálni a NOC-t

  Íme egy videó, amely két módszert kínál a legkisebb közös többszörös (LCM) megtalálására. A javasolt módszerek közül az első gyakorlása után jobban megértheti, mi a legkisebb közös többszörös.

Egy másik módszert mutatok be a legkisebb közös többszörös megtalálására. Nézzük meg egy világos példával.

Egyszerre három szám LCM-jét kell megtalálnia: 16, 20 és 28.

• Minden számot prímtényezőinek szorzataként ábrázolunk:
• Felírjuk az összes prímtényező hatványait:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Kiválasztjuk az összes legnagyobb hatványú prímosztót (szorzót), megszorozzuk őket, és megtaláljuk az LCM-et:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16; 20; 28) = 560.

Így a számítás eredménye az 560 szám lett. Ez a legkisebb közös többszörös, azaz maradék nélkül osztható mind a három számmal.

A legkisebb közös többszörös olyan szám, amely több megadott számra osztható anélkül, hogy maradékot hagyna. Egy ilyen szám kiszámításához minden számot ki kell venni, és egyszerű tényezőkre kell bontani. Az egyező számok törlődnek. Mindenkit egyenként hagy, egymás között megszorozza őket, és megkapja a kívántat - a legkisebb közös többszöröst.

NOC, ill legkisebb közös többszörös, két vagy több számból álló legkisebb természetes szám, amely maradék nélkül osztható a megadott számokkal.

Íme egy példa a 30 és 42 legkisebb közös többszörösének megtalálására.

• Az első lépés ezeknek a számoknak a prímtényezőkbe való beszámítása.

30-nál 2x3x5.

42-nél ez 2 x 3 x 7. Mivel a 2 és 3 a 30-as szám bővítésében szerepel, áthúzzuk őket.

• Felírjuk azokat a tényezőket, amelyek a 30-as szám bővítésében benne vannak. Ez 2 x 3 x 5.
• Most meg kell szoroznunk őket a hiányzó tényezővel, ami a 42 bővítésekor megvan, ami 7. 2 x 3 x 5 x 7-et kapunk.
• Megtaláljuk, hogy 2 x 3 x 5 x 7 mi egyenlő, és 210-et kapunk.

Ennek eredményeként azt találjuk, hogy a 30 és 42 számok LCM-je 210.

Megtalálni a legkisebb közös többszöröst, több egyszerű lépést kell végrehajtania egymás után. Nézzük meg ezt két számmal példaként: 8 és 12

1. Mindkét számot prímtényezőkké alakítjuk: 8=2*2*2 és 12=3*2*2
2. Az egyik szám ugyanazon tényezőit csökkentjük. Esetünkben a 2 * 2 egybeesik, csökkentsük őket a 12-es számra, akkor a 12-ből egy tényező marad: 3.
3. Keresse meg az összes fennmaradó tényező szorzatát: 2*2*2*3=24

Ellenőrizzük, hogy a 24 osztható-e 8-cal és 12-vel is, és ez a legkisebb természetes szám, amely osztható ezekkel a számokkal. Itt vagyunk megtalálta a legkisebb közös többszöröst.

Megpróbálom elmagyarázni a 6-os és a 8-as számokat példaként, a legkisebb közös többszörös egy olyan szám, amely osztható ezekkel a számokkal (esetünkben 6 és 8), és nem lesz maradék.

Tehát először elkezdjük szorozni a 6-ot 1-gyel, 2-vel, 3-mal stb. és a 8-at 1-gyel, 2-vel, 3-mal stb.

Az alábbiakban bemutatott anyag az LCM - legkisebb közös többszörös, definíció, példák, az LCM és a GCD kapcsolata című cikk elméletének logikus folytatása. Itt fogunk beszélni a legkisebb közös többszörös megtalálása (LCM), és kiemelt figyelmet fordítunk a példák megoldására. Először is bemutatjuk, hogyan számítják ki két szám LCM-jét e számok GCD-jével. Ezután megvizsgáljuk a legkisebb közös többszörös megtalálását úgy, hogy a számokat prímtényezőkké alakítjuk. Ezt követően három vagy több szám LCM-jének megkeresésére összpontosítunk, és figyelmet fordítunk a negatív számok LCM-jének kiszámítására is.

Oldalnavigáció.

A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása GCD-n keresztül

A legkisebb közös többszörös megtalálásának egyik módja az LCM és a GCD közötti kapcsolat. Az LCM és a GCD között fennálló kapcsolat lehetővé teszi, hogy egy ismert legnagyobb közös osztón keresztül kiszámítsuk két pozitív egész szám legkisebb közös többszörösét. A megfelelő képlet az LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Nézzünk példákat az LCM megtalálására a megadott képlet segítségével.

Példa.

Határozzuk meg két szám 126 és 70 legkisebb közös többszörösét.

Megoldás.

Ebben a példában a=126 , b=70 . Használjuk az LCM és a GCD közötti kapcsolatot a képlettel kifejezve LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Azaz először meg kell találnunk a 70 és 126 számok legnagyobb közös osztóját, ami után az írott képlet segítségével ki tudjuk számítani ezeknek a számoknak az LCM-jét.

Keressük meg a GCD(126, 70)-t az euklideszi algoritmus segítségével: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tehát GCD(126, 70)=14.

Most megtaláljuk a szükséges legkisebb közös többszöröst: GCD(126;70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.

Válasz:

LCM(126,70)=630.

Példa.

Mi egyenlő LCM(68; 34)?

Megoldás.

Mert 68 osztható 34-gyel, akkor GCD(68, 34)=34. Most kiszámítjuk a legkisebb közös többszöröst: GCD(68;34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.

Válasz:

LCM(68,34)=68.

Vegye figyelembe, hogy az előző példa megfelel a következő szabálynak az a és b pozitív egész számok LCM-jének meghatározására: ha az a szám osztható b-vel, akkor ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a.

Az LCM megtalálása a számok prímtényezőkbe való faktorálásával

A legkisebb közös többszörös megtalálásának másik módja a számok prímtényezőkbe való faktorálása. Ha adott számok összes prímtényezőjéből összeállítunk egy szorzatot, majd ebből a szorzatból kizárjuk az adott számok dekompozícióiban előforduló összes gyakori prímtényezőt, akkor a kapott szorzat egyenlő lesz az adott számok legkisebb közös többszörösével. .

Az LCM megtalálásának kimondott szabálya az egyenlőségből következik LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Valóban, az a és b számok szorzata egyenlő az a és b számok bővülésében részt vevő összes tényező szorzatával. A GCD(a, b) viszont egyenlő az a és b számok kiterjesztésében egyidejűleg jelen lévő összes prímtényező szorzatával (ahogyan a GCD megtalálása a számok prímtényezőkké történő kiterjesztésével foglalkozik).

Mondjunk egy példát. Tudjuk, hogy 75=3·5·5 és 210=2·3·5·7. Állítsuk össze a szorzatot ezen bővítések összes tényezőjéből: 2·3·3·5·5·5·7 . Most ebből a szorzatból kizárjuk mind a 75-ös, mind a 210-es szám dekompozíciójában szereplő összes tényezőt (ezek a tényezők 3 és 5), ekkor a szorzat 2·3·5·5·7 alakot vesz fel. . Ennek a szorzatnak az értéke egyenlő 75 és 210 legkisebb közös többszörösével, azaz NOC(75,210)=2·3·5·5·7=1050.

Példa.

A 441-es és 700-as számokat prímtényezőkké alakítsa, és keresse meg ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszörösét.

Megoldás.

Tekintsük a 441 és 700 számokat prímtényezőkbe:

441=3·3·7·7 és 700=2·2·5·5·7 kapjuk.

Most hozzunk létre egy szorzatot az összes tényezőből, amelyek ezeknek a számoknak a bővítésében részt vesznek: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Zárjuk ki ebből a szorzatból mindazokat a tényezőket, amelyek egyidejűleg jelen vannak mindkét bővítésben (egyetlen ilyen tényező van - ez a 7-es szám): 2·2·3·3·5·5·7·7. És így, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Válasz:

NOC(441,700)=44100.

Az LCM megtalálásának szabálya a számok prímtényezőkké alakításával egy kicsit másképp is megfogalmazható. Ha a b szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az a szám bővítéséből származó tényezőkhöz, akkor a kapott szorzat értéke egyenlő lesz az a és b számok legkisebb közös többszörösével..

Vegyük például ugyanazokat a 75-ös és 210-es számokat, amelyek prímtényezőkre való felosztása a következő: 75=3·5·5 és 210=2·3·5·7. A 75-ös szám bővítéséből származó 3-as, 5-ös és 5-ös faktorokhoz hozzáadjuk a 210-es szám bővítéséből hiányzó 2-es és 7-es tényezőket, így a 2·3·5·5·7 szorzatot kapjuk, melynek értéke: egyenlő: LCM(75; 210).

Példa.

Keresse meg 84 és 648 legkisebb közös többszörösét.

Megoldás.

Először megkapjuk a 84-es és 648-as számok prímtényezőkre történő felbontását. Így néznek ki: 84=2·2·3·7 és 648=2·2·2·3·3·3·3. A 84-es szám bővítéséből származó 2-es, 2-es, 3-as és 7-es tényezőkhöz hozzáadjuk a 648-as szám bővítéséből hiányzó 2-es, 3-as, 3-as és 3-as tényezőket, így a 2 2 2 3 3 3 3 7 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 4 536 . Így a 84 és 648 kívánt legkisebb közös többszöröse 4536.

Válasz:

LCM(84,648)=4536.

Három vagy több szám LCM-jének megkeresése

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse két szám LCM-jének szekvenciális meghatározásával kereshető meg. Emlékezzünk vissza a megfelelő tételre, amely lehetőséget ad három vagy több szám LCM-jének megtalálására.

Tétel.

Legyenek adottak pozitív egész számok a 1 , a 2 , …, a k, ezek m k legkisebb közös többszöröse az m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a ) szekvenciális kiszámításával kerül meghatározásra. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Nézzük meg ennek a tételnek az alkalmazását a négy szám legkisebb közös többszörösének megtalálásának példáján.

Példa.

Keresse meg négy szám 140, 9, 54 és 250 LCM-jét.

Megoldás.

Ebben a példában a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Először megtaláljuk m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140; 9). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével meghatározzuk a GCD(140, 9) értéket, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, ezért GCD(140, 9)=1 , honnan GCD(140;9)=1409:GCD(140;9)= 140·9:1=1260. Azaz m 2 =1 260.

Most megtaláljuk m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Számítsuk ki a GCD(1 260, 54) függvényen keresztül, amit szintén az euklideszi algoritmussal határozunk meg: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Ekkor gcd(1,260,54)=18, ebből gcd(1,260,54)=1,260·54:gcd(1,260,54)=1,260·54:18=3,780. Azaz m 3 = 3 780.

Már csak meg kell találni m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780; 250). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével megtaláljuk a GCD(3,780, 250) értéket: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Ezért GCM(3780;250)=10, innen GCM(3780;250)= 3 780 250: GCD(3 780; 250)= 3780·250:10=94500. Azaz m 4 =94 500.

Tehát az eredeti négy szám legkisebb közös többszöröse 94 500.

Válasz:

LCM(140;9;54;250)=94500.

Sok esetben célszerű megtalálni három vagy több szám legkisebb közös többszörösét az adott számok prímtényezőivel. Ebben az esetben be kell tartania a következő szabályt. Több szám legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzattal, amely a következőképpen épül fel: a második szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az első szám bővítéséből származó összes tényezőhöz, a hiányzó tényezőket az első szám bővítéséből. a harmadik számot hozzáadjuk a kapott tényezőkhöz, és így tovább.

Nézzünk egy példát a legkisebb közös többszörös megtalálására a prímtényezős rendszer használatával.

Példa.

Keresse meg az öt szám legkisebb közös többszörösét: 84, 6, 48, 7, 143.

Megoldás.

Először is megkapjuk ezeknek a számoknak a prímtényezőkre való felbontását: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 prímszám, egybeesik prímtényezőkre való bontásával) és 143=11·13.

Ezen számok LCM-jének megtalálásához az első 84-es faktorokhoz (ezek 2, 2, 3 és 7) hozzá kell adni a hiányzó tényezőket a második 6-os szám bővítéséből. A 6-os szám dekompozíciója nem tartalmaz hiányzó tényezőket, hiszen az első 84-es szám felbontásában már a 2-es és a 3-as is jelen van. Ezután a 2-es, 2-es, 3-as és 7-es faktorokhoz hozzáadjuk a 48-as harmadik szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket, így a 2, 2, 2, 2, 3 és 7 faktorok halmazát kapjuk. A következő lépésben nem kell ehhez a halmazhoz szorzót hozzáadni, mivel a 7 már benne van. Végül a 2-es, 2-es, 2-es, 2-es, 3-as és 7-es tényezőkhöz hozzáadjuk a 143-as szám bővítéséből hiányzó 11-es és 13-as tényezőket. A 2·2·2·2·3·7·11·13 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 48 048-cal.