Két szám legkisebb közös többszöröse közvetlenül kapcsolódik e számok legnagyobb közös osztójához. Ez kapcsolat a GCD és a NOC között a következő tétel határozza meg.

Tétel.

Két pozitív egész szám a és b legkisebb közös többszöröse egyenlő a és b szorzatával osztva a és b legnagyobb közös osztójával, azaz LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Bizonyíték.

Hadd M az a és b számok többszöröse. Azaz M osztható a-val, és az oszthatóság definíciója szerint van olyan k egész szám, amelyre az M=a·k egyenlőség igaz. De M is osztható b-vel, akkor a·k osztható b-vel.

Jelöljük gcd(a, b)-t d-ként. Ekkor felírhatjuk az a=a 1 ·d és b=b 1 ·d egyenlőségeket, és a 1 =a:d és b 1 =b:d relatív prímszámok lesznek. Következésképpen az előző bekezdésben kapott feltétel, hogy a · k osztható b-vel, a következőképpen újrafogalmazható: a 1 · d · k osztva b 1 · d -vel, és ez az oszthatósági tulajdonságok miatt ekvivalens a feltétellel. hogy a 1 · k osztható b 1 -gyel.

A vizsgált tételből két fontos következményt is le kell írni.

Két szám közös többszörösei megegyeznek a legkisebb közös többszörösük többszörösével.

Ez valóban így van, mivel az a és b számok M bármely közös többszörösét az M=LMK(a, b)·t egyenlőség határozza meg valamilyen t egész értékre.

Az a és b kölcsönösen prímszámú pozitív számok legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzatukkal.

Ennek a ténynek az indoklása teljesen nyilvánvaló. Mivel a és b viszonylag prímek, akkor gcd(a, b)=1, ezért GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse

Három vagy több szám legkisebb közös többszörösének megtalálása lecsökkenthető két szám LCM-jének szekvenciális meghatározására. Hogy ez hogyan történik, azt a következő tétel mutatja: a 1 , a 2 , …, a k egybeesnek az m k-1 számok közös többszöröseivel, a k pedig egybeesnek az m k szám közös többszörösével. És mivel az m k szám legkisebb pozitív többszöröse maga az m k szám, akkor az a 1, a 2, ..., a k számok legkisebb közös többszöröse m k.

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya. és mások: matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
• Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
• Mikhelovich Sh.H. Számelmélet.
• Kulikov L.Ya. Algebrai és számelméleti feladatgyűjtemény: Tankönyv fizika és matematika szakos hallgatók számára. pedagógiai intézetek szakterületei.

A matematikai kifejezések és feladatok sok további ismeretet igényelnek. A NOC az egyik fő, különösen gyakran használják A témát középiskolában tanulják, és nem különösebben nehéz megérteni az anyagot, a hatványokat és a szorzótáblát ismerő személynek nem okoz nehézséget a szükséges számok azonosítása és a eredmény.

Meghatározás

Közös többszörös olyan szám, amely egyidejűleg teljesen felosztható két számra (a és b). Ezt a számot leggyakrabban az eredeti a és b számok szorzásával kapjuk meg. A számnak oszthatónak kell lennie mindkét számmal egyszerre, eltérés nélkül.

A NOC a megnevezéshez használt rövid név, amelyet az első betűkből gyűjtöttek össze.

A számok megszerzésének módjai

A számok szorzása nem mindig alkalmas az LCM megtalálására, sokkal inkább egyszerű egy- vagy kétjegyű számok esetén. Szokásos tényezőkre osztani, minél nagyobb a szám, annál több tényező lesz.

1. példa

A legegyszerűbb példában az iskolák általában prímszámokat, egy- vagy kétjegyű számokat használnak. Például meg kell oldania a következő feladatot, keresse meg a 7 és 3 számok legkisebb közös többszörösét, a megoldás meglehetősen egyszerű, csak szorozza meg őket. Ennek eredményeként van egy 21-es szám, egyszerűen nincs kisebb szám.

2. példa

A feladat második változata sokkal nehezebb. A 300 és 1260 számok adottak, a LOC megkeresése kötelező. A probléma megoldásához a következő műveleteket kell feltételezni:

Az első és a második szám egyszerű faktorokra bontása. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 *7. Az első szakasz befejeződött.

A második szakasz a már megszerzett adatokkal való munka. A kapott számok mindegyikének részt kell vennie a végeredmény kiszámításában. Minden egyes tényező esetében a legtöbb előfordulás az eredeti számokból származik. Az LCM egy általános szám, ezért a számok tényezőit minden egyes számban meg kell ismételni, még azokat is, amelyek egy példányban vannak. Mindkét kezdeti szám tartalmazza a 2-es, 3-as és 5-ös számokat, különböző hatványokban, a 7 csak egy esetben van jelen.

A végeredmény kiszámításához minden számot a legnagyobb hatványban kell bevennie az egyenletbe. Nincs más hátra, mint a szorzás, és megkapjuk a választ, helyesen kitöltve a feladat magyarázat nélkül két lépésből áll:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Ez az egész probléma, ha megpróbálja kiszámolni a szükséges számot szorzással, akkor a válasz biztosan nem lesz helyes, mivel 300 * 1260 = 378 000.

Vizsgálat:

6300 / 300 = 21 - helyes;

6300 / 1260 = 5 - helyes.

A kapott eredmény helyességét úgy határozzuk meg, hogy ellenőrizzük - elosztjuk az LCM-et mindkét eredeti számmal; ha a szám mindkét esetben egész szám, akkor a válasz helyes.

Mit jelent a NOC a matematikában?

Tudniillik a matematikában nincs egyetlen haszontalan függvény sem, ez alól ez sem kivétel. Ennek a számnak a leggyakoribb célja, hogy a törteket közös nevezőre redukálja. Amit általában a középiskola 5-6. osztályában tanulnak. Ezenkívül az összes többszörös közös osztója, ha ilyen feltételek jelen vannak a feladatban. Egy ilyen kifejezés nem csak két szám többszörösét találhatja meg, hanem sokkal nagyobb szám többszörösét is - három, öt és így tovább. Minél több szám, annál több művelet van a feladatban, de a bonyolultság nem növekszik.

Például a 250, 600 és 1500 számok alapján meg kell találnia a közös LCM-et:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ez a példa a faktorizálást írja le részletesen, redukció nélkül.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Egy kifejezés összeállításához minden tényezőt meg kell említeni, ebben az esetben 2, 5, 3 van megadva - mindezen számok esetében meg kell határozni a maximális mértéket.

Figyelem: minden tényezőt a teljes leegyszerűsítésig kell hozni, lehetőség szerint egy számjegyűre lebontani.

Vizsgálat:

1) 3000 / 250 = 12 - helyes;

2) 3000 / 600 = 5 - igaz;

3) 3000 / 1500 = 2 - helyes.

Ez a módszer nem igényel semmilyen trükköt vagy zseniális szintű képességet, minden egyszerű és világos.

Egy másik módja

A matematikában sok minden összefügg, sok mindent meg lehet oldani két vagy több módon is, ugyanez vonatkozik a legkisebb közös többszörös, az LCM megtalálására is. Egyszerű kétjegyű és egyjegyű számok esetén a következő módszer használható. Összeállítunk egy táblázatot, amelybe a szorzót függőlegesen, a szorzót vízszintesen írjuk be, és az oszlop metsző celláiban feltüntetjük a szorzatot. A táblázatot egy vonal segítségével tükrözheti, vegyen egy számot, és írja le ennek a számnak az egész számokkal való szorzását, 1-től a végtelenig, néha 3-5 pont is elegendő, a második és az azt követő számok ugyanazon a számítási folyamaton mennek keresztül. Minden addig történik, amíg meg nem találják a közös többszöröst.

A 30, 35, 42 számok ismeretében meg kell találnia az összes számot összekötő LCM-et:

1) 30 többszörösei: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 stb.

2) A 35 többszörösei: 70, 105, 140, 175, 210, 245 stb.

3) 42 többszörösei: 84, 126, 168, 210, 252 stb.

Észrevehető, hogy az összes szám meglehetősen eltérő, az egyetlen közös szám közöttük a 210, tehát ez lesz a NOC. Az ebben a számításban részt vevő folyamatok között van egy legnagyobb közös osztó is, amely hasonló elvek alapján történik, és gyakran találkozunk a szomszédos problémákban. A különbség kicsi, de meglehetősen jelentős, az LCM magában foglalja az összes megadott kezdeti értékkel elosztott szám kiszámítását, a GCD pedig azt a legnagyobb értéket, amellyel az eredeti számokat elosztjuk.

Meghatározás. Azt a legnagyobb természetes számot nevezzük, amellyel az a és b számokat maradék nélkül osztjuk legnagyobb közös osztó (GCD) ezeket a számokat.

Keressük meg a 24 és 35 számok legnagyobb közös osztóját.
A 24 osztói az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 számok, a 35 osztói pedig az 1, 5, 7, 35 számok.
Látjuk, hogy a 24-es és 35-ös számoknak csak egy közös osztója van - az 1-es szám. Az ilyen számokat ún. kölcsönösen prím.

Meghatározás. A természetes számokat hívják kölcsönösen prím, ha a legnagyobb közös osztójuk (GCD) 1.

Legnagyobb közös osztó (GCD) megtalálható anélkül, hogy kiírnánk az adott számok összes osztóját.

A 48-as és 36-os számokat faktorálva a következőket kapjuk:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezők közül kihúzzuk azokat, amelyek nem szerepelnek a második szám bővítésében (azaz két kettes).
A fennmaradó tényezők 2 * 2 * 3. A szorzatuk 12. Ez a szám a 48 és 36 számok legnagyobb közös osztója. Három vagy több szám legnagyobb közös osztója is megtalálható.

Megtalálni legnagyobb közös osztó

2) az egyik ilyen szám bővítésében szereplő tényezők közül húzza ki azokat, amelyek nem szerepelnek más számok bővítésében;
3) keresse meg a fennmaradó tényezők szorzatát.

Ha minden adott szám osztható valamelyikkel, akkor ez a szám legnagyobb közös osztó adott számokat.
Például a 15, 45, 75 és 180 számok legnagyobb közös osztója a 15, mivel az összes többi szám osztható vele: 45, 75 és 180.

Legkevésbé közös többszörös (LCM)

Meghatározás. Legkevésbé közös többszörös (LCM) az a és b természetes számok a legkisebb természetes számok, amelyek a és b többszörösei. A 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse (LCM) megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit sorba kellene írni. Ehhez adjunk 75-öt és 60-at prímtényezőkké: 75 = 3 * 5 * 5 és 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Írjuk fel ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezőket, és adjuk hozzá a második szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket (azaz a tényezőket összevonjuk).
Öt 2 * 2 * 3 * 5 * 5 tényezőt kapunk, melynek szorzata 300. Ez a szám a 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse.

Megtalálják három vagy több szám legkisebb közös többszörösét is.

Nak nek megtalálni a legkisebb közös többszöröst több természetes számra van szüksége:
1) faktorálja őket prímtényezőkké;
2) írja le az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket;
3) add hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből;
4) keresse meg a kapott tényezők szorzatát.

Vegye figyelembe, hogy ha ezen számok egyike osztható az összes többi számmal, akkor ez a szám ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse.
Például a 12, 15, 20 és 60 számok legkisebb közös többszöröse 60, mivel osztható ezekkel a számokkal.

Pythagoras (Kr. e. VI. század) és tanítványai a számok oszthatóságának kérdését tanulmányozták. Tökéletes számnak nevezték azt a számot, amely megegyezik az osztóinak összegével (maga a szám nélkül). Például a 6 (6 = 1 + 2 + 3), a 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) számok tökéletesek. A következő tökéletes számok a 496, 8128, 33 550 336. A püthagoreusok csak az első három tökéletes számot ismerték. A negyedik - 8128 - az I. században vált ismertté. n. e. Az ötödik - 33 550 336 - a 15. században került elő. 1983-ban már 27 tökéletes számot ismertek. De a tudósok még mindig nem tudják, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok, vagy van-e legnagyobb tökéletes szám.
Az ókori matematikusok érdeklődése a prímszámok iránt annak köszönhető, hogy bármely szám vagy prímszám, vagy prímszámok szorzataként ábrázolható, azaz a prímszámok olyanok, mint a tégla, amelyből a többi természetes szám épül.
Valószínűleg észrevette, hogy a természetes számok sorozatában a prímszámok egyenetlenül fordulnak elő - a sorozat egyes részeiben több, máshol kevesebb. De minél tovább haladunk a számsorok mentén, annál kevésbé gyakoriak a prímszámok. Felmerül a kérdés: van-e utolsó (legnagyobb) prímszám? Az ókori görög matematikus, Eukleidész (Kr. e. III. század) „Elemek” című könyvében, amely kétezer éven át a matematika fő tankönyve volt, bebizonyította, hogy végtelenül sok prímszám van, azaz minden prímszám mögött ott van egy még nagyobb prím. szám.
A prímszámok megtalálásához egy másik görög matematikus, Eratoszthenész találta ki ezt a módszert. Felírta az összes számot 1-től valamilyen számig, majd áthúzott egyet, ami nem prímszám és nem is összetett szám, majd egyen áthúzta a 2 után következő összes számot (a 2, azaz a 4 többszörösét, 6, 8 stb.). A 2 utáni első szám 3 volt. Ezután kettő után a 3 után érkező összes számot (azok a számok, amelyek a 3 többszörösei, azaz 6, 9, 12 stb.) áthúzták. végül csak a prímszámok maradtak keresztezetlenül.

Az LCM (legkisebb közös többszörös) megtalálása

Két egész szám közös többszöröse olyan egész szám, amely egyenlően osztható mindkét megadott számmal anélkül, hogy maradékot hagyna.

Két egész szám legkisebb közös többszöröse az összes szám közül a legkisebb, amely maradék nélkül osztható mindkét adott számmal.

1. módszer. Az LCM-et viszont minden adott számhoz megtalálhatja, növekvő sorrendben kiírva az összes számot, amelyet úgy kapunk, hogy megszorozzuk őket 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel stb.

Példa a 6-os és 9-es számokhoz.
A 6-ot egymás után megszorozzuk 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel.
Kapunk: 6, 12, 18 , 24, 30
A 9-et sorban megszorozzuk 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel.
Kapunk: 9, 18 , 27, 36, 45
Amint látja, a 6-os és 9-es számok LCM-je 18 lesz.

Ez a módszer akkor kényelmes, ha mindkét szám kicsi, és könnyű megszorozni őket egész számok sorozatával. Vannak azonban olyan esetek, amikor meg kell találnia az LCM-et két- vagy háromjegyű számokhoz, és akkor is, ha három vagy akár több kezdeti szám van.

2. módszer. Az LCM-et úgy találhatja meg, hogy az eredeti számokat prímtényezőkké alakítja.
Felbontás után a kapott prímtényezők sorából azonos számokat kell kihúzni. Az első szám fennmaradó számai a második szorzóját jelentik, a második szám fennmaradó számai pedig az első szorzóját.

Példa a 75-ös és 60-as számokhoz.
A 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit sorba írnánk. Ehhez vegyen 75-öt és 60-at egyszerű tényezőkre:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Mint látható, a 3. és 5. faktor mindkét sorban megjelenik. Mentálisan „áthúzzuk” őket.
Írjuk fel az egyes számok bővítésében szereplő fennmaradó tényezőket. A 75-ös szám bontásánál marad az 5-ös szám, a 60-as szám bontásánál pedig 2*2
Ez azt jelenti, hogy a 75-ös és 60-as számok LCM-jének meghatározásához meg kell szoroznunk a 75-ből (ez 5-ből) fennmaradó számokat 60-zal, és meg kell szoroznunk a 60-as kiterjesztésből fennmaradó számokat (ez 2). * 2) 75-tel. Vagyis a könnyebb érthetőség kedvéért azt mondjuk, hogy „keresztben” szorozunk.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Így találtuk meg a 60-as és 75-ös számok LCM-jét. Ez a 300-as szám.

Példa. Határozza meg a 12, 16, 24 számok LCM-jét
Ebben az esetben a cselekedeteink valamivel bonyolultabbak lesznek. De először, mint mindig, tizedeljük az összes számot
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Az LCM helyes meghatározásához az összes szám közül kiválasztjuk a legkisebbet (ez a 12-es szám), és egymás után végigmegyünk a faktorain, áthúzva azokat, ha legalább egy másik számsorban ugyanazzal a tényezővel találkozunk, amelyet még nem. át lett húzva.

1. lépés . Látjuk, hogy a 2 * 2 minden számsorozatban előfordul. Húzzuk át őket.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. lépés A 12-es szám prímtényezőiben csak a 3-as marad meg, de a 24-es szám prímtényezőiben jelen van. A 3-as számot mindkét sorból kihúzzuk, míg a 16-osnál nem várható cselekvés .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Mint látható, a 12-es szám felbontásakor az összes számot „áthúztuk”. Ez azt jelenti, hogy a LOC megtalálása befejeződött. Már csak az értékét kell kiszámítani.
A 12-es számhoz vegye a 16-os szám fennmaradó tényezőit (növekvő sorrendben a következő)
12 * 2 * 2 = 48
Ez a NOC

Amint láthatja, ebben az esetben az LCM megtalálása valamivel nehezebb volt, de ha három vagy több számhoz kell megtalálnia, ez a módszer lehetővé teszi, hogy gyorsabban megtegye. Az LCM megtalálásának mindkét módszere azonban helyes.

Nézzünk meg három módszert a legkisebb közös többszörös megtalálására.

Megkeresés faktorizációval

Az első módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása úgy, hogy a megadott számokat prímtényezőkké alakítjuk.

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a következő számok LCM-jét: 99, 30 és 28. Ehhez vegyük figyelembe ezeket a számokat prímtényezőkké:

Ahhoz, hogy a kívánt szám osztható legyen 99-cel, 30-cal és 28-cal, szükséges és elegendő, hogy tartalmazza ezen osztók összes prímtényezőjét. Ehhez a számok összes prímtényezőjét a lehető legnagyobb hatványra kell venni, és össze kell szorozni:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Így az LCM (99, 30, 28) = 13 860. A 13 860-nál kisebb számok nem oszthatók 99-cel, 30-cal vagy 28-cal.

Adott számok legkisebb közös többszörösének megtalálásához vegye be őket prímtényezőikbe, majd vegyen minden prímtényezőt a legnagyobb kitevővel, és szorozza meg ezeket a tényezőket.

Mivel a relatív prímszámoknak nincs közös prímtényezője, a legkisebb közös többszörösük egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával. Például három szám: 20, 49 és 33 viszonylag prímszám. Ezért

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Ugyanezt kell tenni a különböző prímszámok legkisebb közös többszörösének megtalálásakor is. Például LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Keresés kiválasztással

A második módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása kiválasztással.

1. példa Ha az adott számok közül a legnagyobbat elosztjuk egy másik adott számmal, akkor ezeknek a számoknak az LCM-je egyenlő a legnagyobb számmal. Például adott négy szám: 60, 30, 10 és 6. Mindegyik osztható 60-al, ezért:

LCM(60; 30; 10; 6) = 60

Más esetekben a legkisebb közös többszörös megtalálásához a következő eljárást kell alkalmazni:

1. Határozza meg a megadott számok közül a legnagyobb számot!
2. Ezután megkeressük azokat a számokat, amelyek a legnagyobb szám többszörösei úgy, hogy növekvő sorrendben megszorozzuk a természetes számokkal, és ellenőrizzük, hogy a kapott szorzat osztható-e a fennmaradó adott számokkal.

2. példa Adott három szám: 24, 3 és 18. Meghatározzuk közülük a legnagyobbat - ez a 24. Ezután megkeressük azokat a számokat, amelyek 24 többszörösei, és ellenőrizzük, hogy mindegyik osztható-e 18-mal és 3-mal:

24 · 1 = 24 - osztható 3-mal, de nem osztható 18-cal.

24 · 2 = 48 - osztható 3-mal, de nem osztható 18-cal.

24 · 3 = 72 - osztható 3-mal és 18-cal.

Így az LCM (24, 3, 18) = 72.

Megkeresés az LCM szekvenciális megkeresésével

A harmadik módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása az LCM szekvenciális megkeresésével.

Két adott szám LCM-je egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával, osztva a legnagyobb közös osztóval.

Példa 1. Keresse meg két megadott szám LCM-jét: 12 és 8. Határozza meg a legnagyobb közös osztójukat: GCD (12, 8) = 4. Szorozd meg ezeket a számokat:

A terméket elosztjuk a gcd-jükkel:

Így az LCM (12, 8) = 24.

A három vagy több szám LCM-jének megkereséséhez kövesse az alábbi eljárást:

1. Először keresse meg ezen számok bármelyikének LCM-jét.
2. Ezután a talált legkisebb közös többszörös és a harmadik megadott szám LCM-je.
3. Ezután a kapott legkisebb közös többszörös és a negyedik szám LCM-je stb.
4. Így az LCM keresése addig folytatódik, amíg vannak számok.

2. példa Keressük meg három megadott szám LCM-jét: 12, 8 és 9. Az előző példában már megtaláltuk a 12 és 8 számok LCM-jét (ez a 24-es szám). Meg kell találni a 24 szám legkisebb közös többszörösét és a harmadik adott számot - 9. Határozzuk meg a legnagyobb közös osztójukat: GCD (24, 9) = 3. Szorozzuk meg az LCM-et 9-cel:

A terméket elosztjuk a gcd-jükkel:

Így az LCM (12, 8, 9) = 72.