Az elektronhullámfüggvény fizikai jelentése. Hullám funkció

Louis de Broglie elméletének kísérleti megerősítése a részecske-hullám dualizmus egyetemességéről, a klasszikus mechanika mikroobjektumokra való korlátozott alkalmazásáról, amit a bizonytalansági kapcsolat diktál, valamint számos kísérlet ellentmondása a kezdetben alkalmazott elméletekkel. A 20. század a kvantumfizika fejlődésének új szakaszához vezetett - a kvantummechanika létrehozásához, amely leírja a mikrorészecskék mozgásának és kölcsönhatásának törvényeit, figyelembe véve azok hullámtulajdonságait. Létrehozása és fejlesztése az 1900-tól (a kvantumhipotézis Planck megfogalmazása) a 20. század 20-as éveiig terjedő időszakot öleli fel, és elsősorban E. Schrödinger osztrák fizikus, W. Heisenberg német fizikus és P angol fizikus munkásságához köthető. Dirac.

A mikrorészecskék leírásának valószínűségi megközelítésének szükségessége a kvantumelmélet legfontosabb megkülönböztető jegye. A de Broglie-hullámok értelmezhetők-e valószínűségi hullámként, i.e. tételezzük fel, hogy a mikrorészecske detektálásának valószínűsége a tér különböző pontjain a hullámtörvény szerint változik? A de Broglie-hullámok ezen értelmezése már nem helytálló, már csak azért is, mert akkor a részecske észlelésének valószínűsége a tér egyes pontjain negatív lehet, aminek nincs értelme.

E nehézségek kiküszöbölésére az 1926-ban született M. német fizikus azt javasolta A hullámtörvény szerint nem maga a valószínűség változik,és a nagyságrendet,nevezett valószínűségi amplitúdó és jelöli. Ezt a mennyiséget más néven hullámfüggvény (vagy -függvény). A valószínűségi amplitúdó lehet összetett, és a valószínűség W arányos a modulusának négyzetével:

(4.3.1)

ahol , ahol Ψ komplex konjugált függvénye.

Így egy mikroobjektum állapotának leírása a hullámfüggvénnyel rendelkezik statisztikai, valószínűségi karakter: a hullámfüggvény modulusának négyzete (a de Broglie-hullám amplitúdó modulusának négyzete) meghatározza annak valószínűségét, hogy egy adott pillanatban részecskét találunk a koordinátákkal ellátott tartományban xés d x, yés d y, zés d z.

Tehát a kvantummechanikában a részecskék állapotát alapvetően új módon írják le - a hullámfüggvény segítségével, amely a korpuszkuláris és hullám tulajdonságaikra vonatkozó információ fő hordozója.

.

(4.3.2)

Nagyságrend (a Ψ-függvény négyzetes modulusa) van értelme valószínűségi sűrűség , azaz meghatározza annak valószínűségét, hogy egységnyi térfogatra jutó részecskét találunk egy pont közelében,amelynek koordinátákx, y, z. Tehát nem magának a Ψ-függvénynek van fizikai jelentése, hanem a modulusának négyzete határozza meg de Broglie hullám intenzitása .

Egy részecske megtalálásának valószínűsége egy időpillanatban t a végső kötetben V, a valószínűségek összeadásáról szóló tétel szerint egyenlő:

.

Mert valószínűségként van definiálva, akkor a Ψ hullámfüggvényt úgy kell ábrázolni, hogy egy megbízható esemény valószínűsége egységnyi legyen, ha a térfogatra V fogadja el minden tér végtelen térfogatát. Ez azt jelenti, hogy adott körülmények között a részecskének valahol a térben kell lennie. Ezért a valószínűségek normalizálásának feltétele:

(4.3.3)

ahol ezt az integrált a teljes végtelen térre számítjuk, azaz. koordináták szerint x, y, z tól-ig . Így a normalizációs feltétel egy részecske objektív létezéséről beszél időben és térben.

Ahhoz, hogy a hullámfüggvény a mikrorészecske állapotának objektív jellemzője legyen, számos korlátozó feltételnek kell megfelelnie. A Ψ függvénynek, amely egy térfogatelemben lévő mikrorészecske kimutatásának valószínűségét jellemzi, a következőnek kell lennie:

· véges (a valószínűség nem lehet nagyobb egynél);

· egyértelmű (a valószínűség nem lehet kétértelmű érték);

· folyamatos (a valószínűség nem változhat hirtelen).

A hullámfüggvény eleget tesz a szuperpozíció elvének: ha egy rendszer a , , ... hullámfüggvényekkel leírt különböző állapotokban lehet, akkor ezen függvények lineáris kombinációjával leírható állapotban lehet:

Ahol ( n= 1, 2, 3...) tetszőleges, általában véve komplex számok.

Hullámfüggvények hozzáadása(a hullámfüggvények négyzetes modulusai által meghatározott valószínűségi amplitúdók) alapvetően megkülönbözteti a kvantumelméletet a klasszikus statisztikai elmélettől, amelyben független eseményekre érvényes a valószínűségi tétel összeadása.

Hullám funkcióΨ a mikroobjektumok állapotának fő jellemzője. Például egy elektron átlagos távolságát az atommagtól a képlet számítja ki

,

Mint ismeretes, a klasszikus mechanika fő feladata egy makroobjektum helyzetének bármikori meghatározása. Ehhez egyenletrendszert állítunk össze, amelynek megoldása lehetővé teszi a sugárvektor időfüggésének megtudását t. A klasszikus mechanikában a részecske mozgási állapotát minden pillanatban két mennyiség adja meg: a sugárvektor és az impulzus. Így a részecske mozgásának klasszikus leírása akkor érvényes, ha az a de Broglie-hullámhossznál jóval nagyobb karakterisztikus méretű régióban történik. Egyébként (például az atommag közelében) a mikrorészecskék hullámtulajdonságait kell figyelembe venni. A hullámtulajdonságokkal rendelkező mikroobjektumok klasszikus leírásának korlátozott alkalmazhatóságát a bizonytalansági viszonyok jelzik.

Figyelembe véve a mikrorészecske hullámtulajdonságait, állapotát a kvantummechanikában egy bizonyos koordináta- és időfüggvény segítségével határozzák meg. (x, y, z, t) , hívott hullám vagy - funkció . A kvantumfizikában egy komplex függvényt vezetnek be, amely egy objektum tiszta állapotát írja le, ezt hullámfüggvénynek nevezzük. A legelterjedtebb értelmezés szerint ez a függvény a tiszta állapotban lévő objektum észlelésének valószínűségével függ össze (a hullámfüggvény modulusának négyzete a valószínűségi sűrűséget jelenti).

Miután felhagytunk a részecske mozgásának a dinamika törvényeiből levont trajektóriák segítségével történő leírásával, helyette a hullámfüggvényt határoztuk meg, szükség van egy Newton-törvényekkel egyenértékű egyenlet bevezetésére, amely receptet ad bizonyos fizikai problémák megoldására. Ilyen egyenlet a Schrödinger-egyenlet.

A kis részecskék mozgását hullámtulajdonságaik figyelembevételével leíró elméletet ún kvantum , vagy hullámmechanika. Ennek az elméletnek számos rendelkezése furcsának és szokatlannak tűnik a klasszikus fizika tanulmányozása során kialakult elképzelések szempontjából. Mindig emlékezni kell arra, hogy egy elmélet helyességének kritériuma, bármilyen furcsának is tűnik elsőre, a következmények egybeesése a kísérleti adatokkal. A kvantummechanika a maga területén (az atomok, molekulák és részben atommagok szerkezete és tulajdonságai) a tapasztalatok tökéletesen alátámasztják.

A hullámfüggvény a részecske állapotát írja le a tér minden pontjában és az idő bármely pillanatában. A hullámfüggvény fizikai jelentésének megértéséhez térjünk át az elektrondiffrakciós kísérletekre. (Thomson és Tartakovsky kísérletei az elektronok vékony fémfólián való átvezetésére). Kiderült, hogy tiszta diffrakciós mintázatok észlelhetők még akkor is, ha egyetlen elektronok irányulnak a célpontra, pl. amikor minden következő elektron kibocsátódik, miután az előző elérte a képernyőt. Megfelelően hosszú bombázás után a képernyőn látható kép pontosan megfelel annak, amit akkor kapunk, amikor nagyszámú elektront irányítanak egyidejűleg a célpontra.

Ebből arra következtethetünk, hogy bármely mikrorészecske mozgása külön-külön, beleértve a detektálás helyét is, statisztikai (valószínűségi) törvények hatálya alá tartozik, és ha egyetlen elektron a célpontra irányul, akkor a képernyő azon pontja, ahol az lesz. rögzített előre 100%-ban - Nem lehet biztosan megjósolni.

A Thomson-féle diffrakciós kísérletekben egy fényképezőlapon sötét koncentrikus gyűrűk rendszerét alakították ki. Nyugodtan kijelenthetjük, hogy az egyes kibocsátott elektronok észlelésének (elütésének) a valószínűsége a fényképészeti lemez különböző helyein nem azonos. A sötét koncentrikus gyűrűk területén ez a valószínűség nagyobb, mint a képernyő más területein. Az elektronok eloszlása ​​a teljes képernyőn megegyezik egy elektromágneses hullám intenzitásának eloszlásával egy hasonló diffrakciós kísérletben: ahol nagy a röntgenhullám intenzitása, ott sok részecskét rögzítenek Thomson kísérletében, és ahol az intenzitás alacsony, ott szinte nem jelennek meg részecskék.

Hullám szempontból a maximális számú elektron jelenléte bizonyos irányokban azt jelenti, hogy ezek az irányok megfelelnek a de Broglie hullám legmagasabb intenzitásának. Ez szolgált alapul a de Broglie-hullám statisztikai (valószínűségi) értelmezéséhez. A hullámfüggvény pontosan egy matematikai kifejezés, amely lehetővé teszi egy hullám térbeli terjedésének leírását. Különösen annak a valószínűsége, hogy a tér adott tartományában egy részecskét találunk, arányos a részecskéhez kapcsolódó hullám amplitúdójának négyzetével.

Egydimenziós mozgáshoz (például a tengely irányába Ökör) valószínűsége dP részecske észlelése a pontok közötti résben xÉs x + dx egy adott időpontban t egyenlő

dP = , (6.1)

ahol | (x,t)| 2 = (x,t) *(x,t) a hullámfüggvény modulusának négyzete (a * szimbólum komplex konjugációt jelöl).

Általában, amikor egy részecske mozog a háromdimenziós térben, a valószínűség dP részecske észlelése egy pontban koordinátákkal (x,y,z) végtelenül kicsi térfogaton belül dV hasonló egyenlettel adjuk meg : dP =|(x,y,z,t)|2 dV. Born volt az első, aki 1926-ban adott valószínűségi értelmezést a hullámfüggvényről.

Egy részecske detektálásának valószínűsége a teljes végtelen térben egyenlő eggyel. Ez magában foglalja a hullámfüggvény normalizálásának feltételét:

. (6.2)

Az érték az valószínűségi sűrűség , vagy ami ugyanaz, a részecskekoordináták sűrűségeloszlása. A legegyszerűbb esetben egydimenziós részecskemozgás a tengely mentén ÖKÖR koordinátájának átlagértékét a következő összefüggéssel számítjuk ki:

<x(t)>= . (6.3)

Ahhoz, hogy a hullámfüggvény a mikrorészecske állapotának objektív jellemzője legyen, számos korlátozó feltételnek kell megfelelnie. A Ψ függvénynek, amely egy térfogatelemben a mikrorészecske kimutatásának valószínűségét jellemzi, végesnek (a valószínűség nem lehet nagyobb egynél), egyértelműnek (a valószínűség nem lehet kétértelmű érték), folytonosnak (a valószínűség nem változhat hirtelen) ill. sima (gyűrődések nélkül) az egész térben.

A hullámfüggvény eleget tesz a szuperpozíció elvének: ha a rendszer a Ψ1, Ψ2, Ψ hullámfüggvényekkel leírt különböző állapotokban lehet. n, akkor az alábbi függvények lineáris kombinációjával leírható állapotban lehet:

, (6.4)

Ahol Cn(n= 1, 2, 3) tetszőleges, általában véve komplex számok.

A hullámfüggvények (a hullámfüggvények négyzetes modulusai által meghatározott valószínűségi amplitúdók) összeadása alapjaiban különbözteti meg a kvantumelméletet a klasszikus statisztikai elmélettől, amelyben független eseményekre érvényes a valószínűségszámítás tétele.

A Ψ hullámfüggvény a mikroobjektumok állapotának fő jellemzője.

Például az átlagos távolság<r> az atommag elektronját a következő képlettel számítjuk ki:

,

ahol a számításokat a (6.3) esetben leírtak szerint hajtják végre. Így a diffrakciós kísérletekben lehetetlen pontosan megjósolni, hogy egy adott elektron hol fog rögzíteni a képernyőn, még akkor sem, ha előre ismerjük annak hullámfüggvényét. Csak bizonyos valószínűséggel feltételezhetjük, hogy az elektron egy bizonyos helyen rögzül. Ez a különbség a kvantumobjektumok és a klasszikus objektumok viselkedése között. A klasszikus mechanikában a makrotestek mozgásának leírásakor 100%-os valószínűséggel előre tudtuk, hogy a térben egy anyagi pont (például egy űrállomás) az idő bármely pillanatában hol helyezkedik el.

De Broglie a fázishullámok (anyaghullámok vagy de Broglie hullámok) fogalmát használta, hogy vizuálisan értelmezze Bohr szabályát az atom elektronpályáinak kvantálására egyelektronos atom esetén. Az atommag körül egy elektron körpályáján haladó fázishullámot vizsgált. Ha ezekből a hullámokból egész szám illeszkedik a pálya hosszára, akkor a hullám, amikor megkerüli az atommagot, minden alkalommal ugyanazzal a fázissal és amplitúdóval tér vissza a kiindulási pontra. Ebben az esetben a pálya mozdulatlanná válik, és nem történik sugárzás. De Broglie a következő formában írta fel a stacionárius pálya feltételét vagy a kvantálási szabályt:

Ahol R- a körpálya sugara, P- egész szám (főkvantumszám). Itt hinni és tekintettel arra L=RP az elektron impulzusimpulzusa, kapjuk:

amely egybeesik a hidrogénatom elektronpályáinak kvantálására vonatkozó Bohr-szabállyal.

Ezt követően a (6.5) feltételt általánosítottuk az elliptikus pályák esetére, amikor a hullámhossz az elektronpálya mentén változik. De Broglie érvelésében azonban azt feltételezték, hogy a hullám nem a térben terjed, hanem egy vonal mentén - az elektron stacioner pályája mentén. Ez a közelítés abban az esetben használható, ha a hullámhossz elhanyagolható az elektron pályájának sugarához képest.

Hullám funkció
Hullám funkció

Hullám funkció (vagy állapotvektor) egy komplex függvény, amely egy kvantummechanikai rendszer állapotát írja le. Ennek ismerete lehetővé teszi a legteljesebb információ megszerzését a rendszerről, ami alapvetően a mikrokozmoszban elérhető. Segítségével tehát kiszámítható a rendszer összes mérhető fizikai jellemzője, a tér egy bizonyos helyén való létének és időbeni fejlődésének valószínűsége. A hullámfüggvényt a Schrödinger hullámegyenlet megoldásával találhatjuk meg.
Egy pontszerkezet nélküli részecske ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x,t) hullámfüggvénye a részecske és az idő koordinátáinak összetett függvénye. Az ilyen függvény legegyszerűbb példája egy szabad részecske hullámfüggvénye lendülettel és teljes energiával E (síkhullám).

.

A részecskék A rendszerének hullámfüggvénye tartalmazza az összes részecske koordinátáit: ψ (1, 2,..., A,t).
Egy egyedi részecske hullámfüggvényének négyzetes modulusa | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) megadja annak valószínűségét, hogy t időpontban egy részecske detektálható a tér koordinátákkal leírt pontjában, nevezetesen, | ψ (,t)| 2 dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz annak a valószínűsége, hogy egy dv = dxdydz térfogatú részecskét találunk az x, y, z pont körül. Hasonlóképpen egy többdimenziós tér térfogatelemében annak valószínűségét, hogy t időpontban 1, 2,..., A koordinátájú részecskékből álló A rendszert találunk, a | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
A hullámfüggvény teljesen meghatározza a kvantumrendszer összes fizikai jellemzőjét. Így a rendszer F fizikai mennyiségének átlagos megfigyelt értékét a kifejezés adja meg

,

hol van ennek a mennyiségnek az operátora, és az integráció a többdimenziós tér teljes régiójában történik.
Az x, y, z részecskék koordinátái helyett a p x , p y , p z momentum vagy más fizikai mennyiségek halmaza választható a hullámfüggvény független változójaként. Ez a választás az ábrázolástól függ (koordináta, impulzus vagy egyéb).
A részecske ψ (,t) hullámfüggvénye nem veszi figyelembe a belső jellemzőit és szabadságfokait, azaz a mozgását egy egész szerkezet nélküli (pont) objektumként írja le egy bizonyos pálya (pálya) mentén a térben. A részecskék ilyen belső jellemzői lehetnek a spinje, helicitása, izospinje (erősen kölcsönható részecskék esetén), színe (kvarkok és gluonok esetében) és néhány más. Egy részecske belső jellemzőit a φ belső állapotának egy speciális hullámfüggvénye határozza meg. Ebben az esetben a Ψ részecske teljes hullámfüggvénye a ψ orbitális mozgásfüggvény és a φ belső függvény szorzataként ábrázolható:

mivel általában egy részecske belső jellemzői és szabadságfokai, amelyek a pálya mozgását írják le, nem függenek egymástól.
Példaként korlátozzuk magunkat arra az esetre, amikor a függvény egyetlen belső jellemzője a részecske spinje, és ez a spin 1/2. Egy ilyen spinű részecske két állapot egyikében lehet - a z tengelyen +1/2 spin-vetülettel (spin-up), a z tengelyen pedig -1/2-vel (spin) le). Ezt a kettősséget egy kétkomponensű spinor formájában felvett spinfüggvény írja le:

Ekkor a Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ hullámfüggvény egy 1/2 spinű részecske mozgását írja le felfelé a ψ függvény által meghatározott pálya mentén, és a Ψ -1/2 = χ hullámfüggvény. A -1/2 ψ ugyanazon részecske mozgását írja le ugyanazon a pályán, de a spin lefelé irányul.
Végezetül megjegyezzük, hogy a kvantummechanikában olyan állapotok is lehetségesek, amelyek nem írhatók le a hullámfüggvénnyel. Az ilyen állapotokat kevertnek nevezzük, és egy összetettebb megközelítés keretében írjuk le a sűrűségmátrix fogalmát használva. A hullámfüggvény által leírt kvantumrendszer állapotait tisztának nevezzük.

A 4.11. feladatban megadott, szabad részecske esetén az atommag képletének levezetése két, egymással összefüggő okból nem kielégítő. Először is, a (4.62) kifejezésben használt, különböző állapotokra vonatkozó összeg fogalma nem kielégítő, ha az állapotok egy folytonos spektrumhoz tartoznak, ami szabad részecske esetén. Másodszor, a szabad részecskék (síkhullámok) hullámfüggvényei, bár ortogonálisak, nem normalizálhatók, mivel

és a (4.62) kifejezés származtatásánál használt egyenlőség (4.47) feltétele nem teljesül. Mindkét pont egyidejűleg tisztán matematikailag korrigálható. Térjünk vissza egy tetszőleges függvény sajátfüggvények szerinti kiterjesztéséhez:

(4.65)

és vegyük figyelembe, hogy az állapotok egésze vagy egy része tartozhat egy folytonos spektrumhoz, így a többletösszeg egy részét integrálóval kell helyettesíteni. A (4.62) kifejezéshez hasonlóan lehetséges matematikailag szigorúan helyes kifejezést kapni a kernelre, de alkalmazható abban az esetben is, ha az állapotok a spektrum folytonos részében vannak.

Normalizálás a végső kötetre. Sok fizikus egy másik, kevésbé szigorú megközelítést részesít előnyben. Amit csinálnak, az az eredeti probléma némi módosítása, és az eredmények (fizikai értelemben) elenyésző mértékben változnak, de minden állapot diszkrét energiájúnak bizonyul, ezért minden bővítés egyszerű összegek formájában történik. Példánkban ez a következőképpen érhető el. Véges időn belül pontról pontra való mozgás valószínűségének amplitúdóját vesszük figyelembe. Ha ez a két pont egymástól valamilyen véges távolságra van, és az őket elválasztó időintervallum nem túl hosszú, akkor biztosan nem lesz észrevehető különbség az amplitúdóban, hogy az elektron valóban szabad-e, vagy feltételezhetően valamilyen nagyon nagy doboztérfogat, falakkal nagyon távol helyezkednek el a pontoktól és . Ha a részecske eléri a falakat, és időben visszatérhet, az befolyásolhatja az amplitúdót; de ha a falak elég távol vannak, akkor semmiképpen nem befolyásolják az amplitúdót.

Természetesen ez a feltételezés tévessé válhat a falak bizonyos speciális megválasztásával; például ha a pont a pontból kilépő és a falakról visszaverődő hullámok fókuszában van. Néha a tehetetlenség miatt elkövetik azt a hibát, hogy egy szabad térben elhelyezkedő rendszert egy nagy gömb közepén elhelyezkedő rendszerre cserélnek. Az a tény, hogy a rendszer pontosan egy tökéletes gömb középpontjában marad, bizonyos hatást válthat ki (hasonlóan egy világos folt megjelenéséhez egy tökéletesen kerek tárgy árnyékának közepén), amely akkor sem tűnik el, ha a gömb sugara gömb a végtelenbe hajlik. A felület befolyása elhanyagolható lenne eltérő alakú falak vagy a gömb középpontjához képest eltolt rendszer esetén.

Nézzük először az egydimenziós esetet. A koordinátától függő hullámfüggvények alakja , ahol mindkét előjelet felveszi. Milyen formájúak lesznek a függvények, ha a változási tartomány egy tetszőleges intervallumra korlátozódik től ig? A válasz azoktól a peremfeltételektől függ, amelyek meghatározzák az értékeket a és pontokban. Fizikai szempontból a legegyszerűbbek a falak esetében a peremfeltételek, amelyek erős taszító potenciált hoznak létre a részecske számára, ezáltal korlátozzák mozgásának területét (azaz ideális visszaverődéssel). Ebben az esetben pontokon és . A hullámegyenlet megoldásai

, (4.66)

a régióban lévő energiának megfelelő exponenciális és/vagy ezek bármely lineáris kombinációja lesz. Mind a , mind pedig nem teljesítik a választott peremfeltételeket, azonban mert (ahol egész szám), a szükséges tulajdonságok páratlan esetén a félösszegükkel (vagyis a páros esetén - osztva az értékükkel) rendelkeznek. fele-különbség (azaz), amint ez vázlatosan látható az ábrán. 4.1. Így az állapotok hullámfüggvényei szinuszok és koszinuszok formájúak, és a megfelelő energiaszintek diszkrétek és nem alkotnak kontinuumot.

Ábra. 4.1. Egydimenziós hullámfüggvények nézete normalizált dobozban.

Ezek közül az első négy látható. A megfelelő szintek energiái egyenlőek , , És . Az energia abszolút értéke, amely fiktív dobozunk méretétől függ, a legtöbb valós élet problémája szempontjából lényegtelen. Ami igazán számít, az a különböző állapotok energiái közötti kapcsolat.

Ha a megoldásokat és formában írjuk, akkor normalizálódnak, hiszen

. (4.67)

Az összes állapot feletti összeg a feletti összeg. Ha figyelembe vesszük például a szinuszos hullámfüggvényeket (azaz páros értékeket), akkor kis értékek és nagyon nagy értékek esetén (a falak messze vannak a számunkra érdekes ponttól) a szomszédos függvényszámok nagyon kevéssé különböznek. A különbségük

(4.68)

körülbelül arányos a kis értékkel. Ezért az over összege helyettesíthető az over integrállal. Mivel az érvényes értékek egy intervallumon belül egymás után helyezkednek el, az állapotok az intervallumban helyezkednek el. Mindez vonatkozik a koszinusz hullámfüggvényű állapotokra is, így minden képletünkben az összegeket integrálokkal helyettesíthetjük

, (4.69)

nem felejtve el, hogy a végén össze kell adni az eredményeket mindkét típusú hullámfüggvényre, nevezetesen és .

Gyakran kényelmetlen hullámfüggvényként használni, és ezek lineáris kombinációi előnyösebbek

És .

Korlátozott térfogat bevezetésével azonban kénytelenek vagyunk szinuszokat és koszinuszokat használni, és nem ezek lineáris kombinációit, mert adott értékre ezek közül csak az egyik függvény lesz megoldás, és nem a kettő egyszerre. De ha figyelmen kívül hagyjuk az ilyen kis értékek eltéréseiből adódó kis hibákat, akkor ezekkel az új lineáris kombinációkkal korrekt eredményeket várhatunk. Normalizálás után a és a formát veszik fel. Mivel egy hullám tekinthető hullámnak, de negatív értékkel, új eljárásunk, amely magában foglalja a kétféle hullámfüggvény kombinálását, a következő ökölszabályhoz vezet: vegyük egy szabad részecske hullámfüggvényeit, és normalizáljuk őket a változó változási hosszának szegmense (azaz halmaz), és az állapotok feletti összegeket cserélje ki egy változó feletti integrálokra úgy, hogy az intervallumban lévő értékekkel rendelkező állapotok száma egyenlő legyen, és maga változzon -ról -ra.

Periodikus peremfeltételek. Néha a koszinuszokhoz és szinuszokhoz, majd az exponenciálisokhoz való visszatérés az alábbi érveléssel megkerülhető. Mivel a fal bevezetése mesterséges technika, ezért a konkrét helyzetének és a hozzá tartozó peremfeltételnek semmiféle fizikai jelentősége nem lehet, kivéve, ha a falat kellőképpen eltávolítják. Ezért a fizikailag egyszerű feltételek helyett használhatunk másokat is, amelyek megoldásai azonnal exponenciálisnak bizonyulnak. Ezek a feltételek

(4.70)

. (4.71)

Ezeket periodikus peremfeltételeknek nevezzük, mert a periodicitás megkövetelése a térben egy periódussal azonos feltételekhez vezetne. Könnyen ellenőrizhető, hogy a függvények az intervallumra normalizált megoldások, feltéve, hogy ahol tetszőleges egész (pozitív vagy negatív) szám vagy nulla. Ez közvetlenül követi a fent megfogalmazott szabályt.

Megérthetjük, hogy mi történik három dimenzió esetén, ha egy téglalap alakú dobozt tekintünk, amelynek oldalai egyenlők, , . Periodikus peremfeltételeket használunk, vagyis megköveteljük, hogy a hullámfüggvény és annak első deriváltjának értékei a doboz egyik oldalán szimmetrikusan megegyezzenek a másik oldalon lévő értékekkel. Egy szabad részecske normalizált hullámfüggvénye lesz a szorzat

, (4.72)

ahol a doboz térfogata, és az érvényes értékek , és (, , egész számok). Ezenkívül a , , , értékekkel rendelkező megoldások száma a , , , intervallumokban megegyezik a szorzattal, további tényezőt kell bevezetni. [A (4.64) kifejezés két hullámfüggvény szorzatát tartalmazza.] Másodszor, az összeg szimbólumot az integrállal kell helyettesíteni . Mindez igazolja a fejezet 2. §-ában tetteket. 4. ábra, valamint a 4.11. feladat kimeneti eredményei.

Meg kell jegyezni, hogy a szorzók hatástalanítják, ahogy kell, mivel a kernel nem függhet a doboz méretétől.

Néhány megjegyzés a matematikai szigorhoz. Az olvasónak, látva, hogy a számítás végén a térfogat zsugorodik, két reakciója lehet: vagy megelégedés, hogy zsugorodik, ahogy kell, mert a falak nem befolyásolnak semmit, vagy pedig értetlenkedés, hogy miért történik mindez. olyan laza, "piszkos" és zavaros, olyan falakat használva, amelyeknek nincs valódi értelme, stb., amikor mindezt sokkal elegánsabban és matematikailag szigorúbban lehetne megtenni falak és hasonlók nélkül. A reakció típusa attól függ, hogy fizikailag vagy matematikailag gondolkodik. A matematikusok és a fizikusok között sok a félreértés a fizika matematikai szigorúságával kapcsolatban, ezért célszerű lehet az egyes módszerek értékelése: a dobozos érvelés és a matematikai szigorúság.

Ez persze tartalmaz egy triviálisabb kérdést is: melyik módszer ismertebb számunkra, azaz igényel minimális új ismereteket? Mielőtt megszámolta volna a különböző állapotok számát egy dobozban, ez volt az első dolog, amelyre a legtöbb fizikus gondolt.

Ezzel együtt egy matematikailag szigorú megoldás nem biztos, hogy fizikai szempontból szigorú; más szóval lehetséges, hogy a doboz valóban létezik. Nem feltétlenül téglalap alakú dobozról van szó, mert nem gyakran derül ki, hogy a csillagok alatt végeznek kísérleteket; gyakrabban töltik a szobában. Bár fizikailag teljesen ésszerűnek tűnik, hogy a falak ne befolyásolják a kísérletet, ennek ellenére a probléma ilyen megfogalmazása idealizálásnak tekinthető. A falakat a végtelenségig eltávolítani nem jobb, mint kellően távoli ideális tükrökre cserélni őket. Az első esetben a matematikai szigor is sérül, mivel a valódi falak nem a végtelenben vannak.

A távoli fal megközelítés olyan igazságos és szigorú, amennyire indokolt. Számos előnye van. Például, amikor a végső képletekben a térfogatot csökkentjük, azt látjuk, hogy az idealizálás legalább egy aspektusa irreleváns – a falak eltávolításának mértéke. Ez az eredmény intuitív módon tovább meggyőz bennünket arról, hogy a tényleges környezet valódi elhelyezkedése nem biztos, hogy jelentős. Végül a kapott képlet nagyon hasznos, ha valójában véges dimenziójú esetünk van. Például a ch. 8 segítségével megszámoljuk a különböző hanghullámok számát egy nagy téglalap alakú anyagtömbben.

Másrészt a matematikailag szigorú megközelítés előnye, hogy kiküszöböli a lényegében szükségtelen részleteket, amelyek nem szerepelnek az eredményben. Bár a falak bemutatása lehetővé teszi számunkra, hogy megtudjunk valamit arról, hogy miért nem befolyásolnak még mindig semmit, ennek megalapozottságáról mégis meggyőződhet anélkül, hogy a részletekbe merülne.

A hullámfüggvények normalizálásának problémája meglehetősen sajátos példa, de a lényeget szemlélteti. A fizikus nem érti azt az óvatosságot, amelyet a matematikus tanúsít egy idealizált fizikai probléma megoldása során. Tudja, hogy az igazi feladat sokkal nehezebb. Már leegyszerűsítette az intuíció, amely elveti a lényegtelent, és megközelíti azt, ami marad.

· Kvantumban megfigyelhető · Hullám funkció· Kvantum szuperpozíció · Kvantumösszefonódás · Vegyes állapot · Mérés · Bizonytalanság · Pauli-elv · Dualizmus · Dekoherencia · Ehrenfest tétel · Alagúthatás

Kísérletek
Davisson-Germer kísérlet · Popper kísérlet · Stern-Gerlach kísérlet · Young kísérlet · Bell egyenlőtlenségi teszt · Fotoelektromos hatás · Compton effektus

Kiszerelések
Schrödinger reprezentáció · Heisenberg reprezentáció · Kölcsönhatás reprezentáció · Mátrix kvantummechanika · Útintegrálok · Feynman diagramok

Egyenletek
Schrödinger egyenlet · Pauli egyenlet · Klein-Gordon egyenlet · Dirac egyenlet · Schwinger-Tomonaga egyenlet · Von Neumann egyenlet · Bloch egyenlet · Lindblad egyenlet · Heisenberg egyenlet

Értelmezések
Koppenhága · Rejtett paraméter elmélet · Sok világ · De Broglie-Bohm elmélet

Az elmélet fejlesztése
Kvantumtérelmélet · Kvantumelektrodinamika · Glashow-Weinberg-Salam elmélet · Kvantumkromodinamika · Standard modell · Kvantumgravitáció

Híres tudósok
Planck · Einstein · Schrödinger · Heisenberg · Jordan · Bohr · Pauli · Dirac · Fock · Született · de Broglie · Landau · Feynman · Bohm · Everett

Lásd még: Portál: Fizika

Hullám funkció, vagy psi függvény $\backslash psi$ egy komplex értékű függvény, amelyet a kvantummechanika használ a rendszer tiszta állapotának leírására. Az állapotvektor tágulási együtthatója egy bázison (általában egy koordinátán):

$\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle=\backslash int\; \backslash Psi(x,t)\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; dx$

Ahol $\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left|x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots\; ,\; x\_n\backslash right\backslash rangle$ a koordináta alapvektor, és $\backslash Psi(x,t)=\; \backslash langle\; x\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle$- hullámfüggvény koordinátaábrázolásban.

A hullámfüggvény normalizálása

Hullám funkció $\backslash Psi$ jelentésében meg kell felelnie az úgynevezett normalizálási feltételnek, például a következő alakú koordinátaábrázolásban:

$(\backslash int\backslash limits\_(V)(\backslash Psi^\backslash ast\backslash Psi)dV)=1$

Ez a feltétel azt a tényt fejezi ki, hogy annak a valószínűsége, hogy egy adott hullámfüggvényű részecskét találunk bárhol a térben, egyenlő eggyel. Általános esetben az integrációt minden olyan változón el kell végezni, amelytől egy adott ábrázolásban a hullámfüggvény függ.

A kvantumállapotok szuperpozíciójának elve

Hullámfüggvényekre érvényes a szuperpozíció elve, ami az, hogy ha egy rendszer hullámfüggvényekkel leírt állapotokba kerülhet. $\backslash Psi\_1$És $\backslash Psi\_2$, akkor a hullámfüggvény által leírt állapotban is lehet

$\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2$ bármilyen komplexhez $c\_1$És $c\_2$.

Nyilvánvalóan tetszőleges számú kvantumállapot szuperpozíciójáról (rátételéről) beszélhetünk, vagyis a rendszer kvantumállapotának létezéséről, amit a hullámfüggvény ír le. $\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; (c)\_N(\backslash Psi)\_N=\backslash sum\_(n=1)^(N)\; (c)\_n(\backslash Psi)\_n$.

Ebben az állapotban az együttható modulusának négyzete $(c)\_n$ meghatározza annak valószínűségét, hogy méréskor a rendszer a hullámfüggvény által leírt állapotban lesz észlelve $(\backslash Psi)\_n$.

Ezért normalizált hullámfüggvényekhez $\backslash sum\_(n=1)^(N)\backslash left|c\_(n)\backslash right|^2=1$.

A hullámfüggvény szabályszerűségének feltételei

A hullámfüggvény valószínűségi jelentése a kvantummechanikai problémákban bizonyos korlátozásokat vagy feltételeket támaszt a hullámfüggvényekkel szemben. Ezeket a standard feltételeket gyakran nevezik a hullámfüggvény szabályszerűségének feltételei.

1. A hullámfüggvény végességének feltétele. A hullámfüggvény nem vehet fel végtelen értéket úgy, hogy az integrál $(1)$ divergens lesz. Következésképpen ez a feltétel megköveteli, hogy a hullámfüggvény négyzetesen integrálható függvény legyen, azaz a Hilbert-térhez tartozzon. $L^2$. Különösen a normalizált hullámfüggvénnyel kapcsolatos problémák esetén a hullámfüggvény négyzetes modulusának nullára kell irányulnia a végtelenben.
2. A hullámfüggvény egyediségének feltétele. A hullámfüggvénynek a koordináták és az idő egyértelmű függvényének kell lennie, mivel a részecske észlelésének valószínűségi sűrűségét minden feladatban egyedileg kell meghatározni. Hengeres vagy gömbkoordináta-rendszert használó problémáknál az egyediség feltétele a szögváltozókban a hullámfüggvények periodicitásához vezet.
3. A hullámfüggvény folytonosságának feltétele. A hullámfüggvénynek az idő bármely pillanatában a térbeli koordináták folytonos függvényének kell lennie. Emellett a hullámfüggvény parciális deriváltjainak is folytonosnak kell lenniük $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; x)$, $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; y)$, $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; z)$. Ezek a függvények részleges deriváltjai csak az idealizált erőterekkel kapcsolatos problémák ritka esetekben szenvedhetnek folytonossági hiányt a tér azon pontjain, ahol a részecske mozgásának erőterét leíró potenciális energia másodlagos megszakadást tapasztal.

Hullámfüggvény különböző ábrázolásokban

A függvény argumentumként működő koordináták halmaza az ingázási megfigyelések teljes rendszerét képviseli. A kvantummechanikában lehetőség van több teljes megfigyelhető halmaz kiválasztására, így ugyanazon állapot hullámfüggvénye különböző argumentumokkal írható fel. A hullámfüggvény rögzítéséhez kiválasztott mennyiségek teljes halmaza határozza meg hullámfüggvény ábrázolása. Így lehetséges a koordináta-reprezentáció, az impulzus-reprezentáció a kvantumtér-elméletben, a másodlagos kvantálás és a foglalkozási számok ábrázolása vagy a Fock-reprezentáció stb.

Ha például egy atomban lévő elektron hullámfüggvényét koordinátaábrázolásban adjuk meg, akkor a hullámfüggvény négyzetes modulusa az elektron detektálásának valószínűségi sűrűségét jelenti a tér egy adott pontjában. Ha ugyanazt a hullámfüggvényt impulzusábrázolásban adjuk meg, akkor a modulusának négyzete egy adott impulzus észlelésének valószínűségi sűrűségét jelenti.

Mátrix és vektor formulációk

Ugyanazon állapot hullámfüggvénye különböző ábrázolásokban ugyanazon vektor kifejezésének felel meg különböző koordinátarendszerekben. Más hullámfüggvényekkel végzett műveleteknek is lesznek analógjai a vektorok nyelvén. A hullámmechanikában olyan reprezentációt használnak, ahol a psi függvény argumentumai a teljes rendszert jelentik folyamatos ingázás megfigyelhető, és a mátrix reprezentáció olyan reprezentációt használ, ahol a psi függvény argumentumai a teljes rendszer diszkrét ingázás megfigyelhető. Ezért a funkcionális (hullám) és a mátrix formuláció matematikailag nyilvánvalóan egyenértékű.

A hullámfüggvény filozófiai jelentése

A hullámfüggvény egy kvantummechanikai rendszer tiszta állapotának leírására szolgáló módszer. A vegyes kvantumállapotokat (a kvantumstatisztikában) egy operátornak kell leírnia, mint egy sűrűségmátrixot. Vagyis két argumentum valamilyen általánosított függvényének le kell írnia egy részecske két ponton való elhelyezkedése közötti összefüggést.

Meg kell érteni, hogy a kvantummechanika által megoldott probléma a világ megismerésének tudományos módszerének lényege.

Lásd még

Írjon véleményt a "Hullámfüggvény" cikkről

Irodalom

• Fizikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. A. M. Prohorov. Szerk. számol D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov és mások - M.: Sov. Enciklopédia, 1984. - 944 p.

Linkek

• Kvantummechanika- cikk a Great Soviet Encyclopedia-ból.

Ezt a levelet még nem nyújtották be az uralkodónak, amikor Barclay azt mondta Bolkonszkijnak a vacsora közben, hogy az uralkodó személyesen szeretne találkozni Andrej herceggel, hogy megkérdezze Törökországról, és hogy Andrej herceg este hat órakor megjelenik Bennigsen lakásán. este. Ugyanezen a napon hír érkezett az uralkodó lakásába Napóleon új mozgalmáról, amely veszélyes lehet a hadseregre nézve – ez a hír később igazságtalannak bizonyult. És még aznap reggel Michaud ezredes, aki az uralkodóval körbejárta a Dries erődítményeit, bebizonyította az uralkodónak, hogy ez a Pfuel által épített és eddig a taktika mesterének tartott megerősített tábor Napóleon elpusztítására hivatott, - hogy ez a tábor hülyeség és orosz pusztítás. hadsereg. Andrei herceg megérkezett Bennigsen tábornok lakásába, aki egy kis földbirtokos házát foglalta el a folyó partján. Sem Bennigsen, sem az uralkodó nem volt ott, de Csernisev, az uralkodó helyettese fogadta Bolkonszkijt, és bejelentette neki, hogy az uralkodó aznap egy másik alkalommal elment Bennigsen tábornokkal és Paulucci márkival, hogy meglátogassa a Drissa tábor erődítményeit. amelynek kényelme kezdett komoly kétségbe vonni. Csernisev egy francia regény könyvével ült az első szoba ablakánál. Ez a szoba valószínűleg korábban előszoba volt; még mindig volt benne egy orgona, amelyre néhány szőnyeg volt felhalmozva, és az egyik sarokban Bennigsen adjutáns összecsukható ágya állt. Ez az adjutáns itt volt. Láthatóan egy lakoma vagy üzlet miatt kimerülten egy felhajtott ágyon ült és szunyókált. Az előszobából két ajtó vezetett: az egyik egyenesen az egykori nappaliba, a másik jobbra az irodába. Az első ajtóból németül és néha franciául beszélő hangokat lehetett hallani. Ott, az egykori nappaliban az uralkodó kérésére nem katonai tanács gyűlt össze (az uralkodó szerette a bizonytalanságot), hanem néhány ember, akiknek a véleményét szerette volna megtudni a közelgő nehézségekről. Ez nem katonai tanács volt, hanem mintegy megválasztottak tanácsa, amely bizonyos kérdéseket személyesen tisztázott az uralkodó számára. Erre a féltanácsra meghívták: Armfeld svéd tábornok, Wolzogen tábornok adjutáns, Wintzingerode, akit Napóleon szökevény francia alattvalónak nevezett, Michaud, Tol, egyáltalán nem katona – Stein gróf és végül maga Pfuel, aki Andrej herceg úgy hallotta, hogy a la cheville ouvriere [alapja] az egész ügynek. Andrej hercegnek lehetősége volt alaposan megnézni őt, mivel Pfuel nem sokkal utána érkezett, és besétált a nappaliba, és megállt egy percre beszélgetni Csernisevvel. Első pillantásra Pfuel rosszul szabott orosz tábornoki egyenruhájában, amely kínosan ült rajta, mintha fel volt öltözve, ismerősnek tűnt Andrej herceg számára, bár soha nem látta. Volt benne Weyrother, Mack, Schmidt és sok más német elméleti tábornok, akiket Andrei hercegnek sikerült találnia 1805-ben; de tipikusabb volt mindegyiknél. Andrej herceg még soha nem látott ilyen német teoretikust, aki egyesített volna magában mindent, ami azokban a németekben volt. Pfuel alacsony volt, nagyon vékony, de széles csontozatú, durva, egészséges testalkatú, széles medencével és csontos lapockákkal. Arca nagyon ráncos volt, mélyen ülő szemekkel. Haját elöl, a halántéka közelében láthatóan sietve kefével simították ki, hátul pedig naivan kidugták bojtokkal. Nyugtalanul és dühösen körülnézett, belépett a szobába, mintha mindentől félne abban a nagy szobában, ahová belépett. A kardját esetlen mozdulattal fogva Csernisevhez fordult, németül megkérdezve, hol van az uralkodó. Nyilvánvalóan a lehető leggyorsabban át akart menni a szobákon, befejezni a meghajlást és az üdvözlést, majd leülni dolgozni a térkép elé, ahol otthon érezte magát. Csernisev szavaira sietve bólintott, és ironikusan elmosolyodott, hallgatva szavait, hogy az uralkodó az erődítményeket vizsgálja, amelyeket ő, maga Pfuel állított fel elmélete szerint. Valamit basszusan és hűvösen morgott, ahogy a magabiztos németek mondják, magában: Dummkopf... vagy: zu Grunde die ganze Geschichte... vagy: s"wird was gescheites d"raus werden... [hülyeség... a pokolba az egésszel... (német) ] Andrej herceg nem hallotta és el akart múlni, de Csernisev bemutatta Andrej herceget Pfulnak, megjegyezve, hogy Andrej herceg Törökországból jött, ahol a háború olyan szerencsésen véget ért. Pful szinte nem annyira Andrei hercegre nézett, mint inkább rajta keresztül, és nevetve mondta: „Da muss ein schoner taktischcr Krieg gewesen sein.” ["Ez egy helyes taktikai háború lehetett." (német)] - És megvetően nevetve bement a szobába, ahonnan hangok hallatszottak. Nyilvánvalóan Pfuelt, aki mindig készen állt az ironikus ingerültségre, most különösen az izgatta, hogy nélküle merték átvizsgálni a táborát és ítélkezni felette. Andrei herceg a Pfuellel való rövid találkozásból, austerlitzi emlékeinek köszönhetően, világos leírást állított össze erről az emberről. Pfuel azon reménytelenül, változatlanul a mártíromságig magabiztos emberek közé tartozott, amilyen csak német lehet, és éppen azért, mert egy elvont eszme – tudomány, vagyis képzeletbeli tudás – alapján csak a németek önbizalmak. a tökéletes igazságról. A francia magabiztos, mert személyesen, lélekben és testben egyaránt ellenállhatatlanul elbűvölőnek tartja magát férfiak és nők számára egyaránt. Az angol magabiztos azon az alapon, hogy a világ legkényelmesebb államának állampolgára, ezért angolként mindig tudja, mit kell tennie, és tudja, hogy minden, amit angolként tesz, az kétségtelenül az. jó. Az olasz magabiztos, mert izgatott, könnyen megfeledkezik önmagáról és másokról. Az orosz éppen azért magabiztos, mert nem tud semmit és nem akar tudni, mert nem hiszi el, hogy bármit is lehet teljesen tudni. A német a legrosszabb önbizalom, és a legszilárdabb, és a legundorítóbb, mert azt képzeli, hogy ismeri az igazságot, egy tudományt, amelyet ő maga talált ki, de számára ez az abszolút igazság. Ez nyilvánvalóan Pfuhl volt. Volt egy tudománya - a fizikai mozgás elmélete, amelyet Nagy Frigyes háborúinak történetéből vezetett le, és minden, amivel Nagy Frigyes háborúinak modern történetében találkozott, és minden, amivel a legutóbbi időkben találkozott. A hadtörténelem ostobaságnak, barbárságnak, csúnya összecsapásnak tűnt számára, amelyben annyi hibát követtek el mindkét oldalon, hogy ezeket a háborúkat nem lehetett háborúknak nevezni: nem illeszkedtek az elmélethez, és nem szolgálhattak a tudomány tárgyául. 1806-ban Pfuel a Jénával és Auerstätttel véget ért háború tervének egyik kidolgozója volt; de ennek a háborúnak a kimenetelében a legcsekélyebb bizonyítékot sem látta elmélete helytelenségének. Ellenkezőleg, elképzelései szerint az elméletétől való eltérések voltak az egyetlen oka a teljes kudarcnak, és a rá jellemző örömteli iróniával így fogalmazott: „Ich sagte ja, daji die ganze Geschichte zum Teufel gehen wird. ” [Végül is azt mondtam, hogy az egész a pokolba fog menni (német)] Pfuel azon teoretikusok közé tartozott, akik annyira szeretik az elméletüket, hogy elfelejtik az elmélet célját – a gyakorlatban való alkalmazását; Az elmélet iránti szeretetében utált minden gyakorlatot, és nem akarta tudni. Még örült is a kudarcnak, mert a kudarc, amely a gyakorlatban az elmélettől való eltérésből fakadt, csak elmélete érvényességét bizonyította számára. Andrej herceggel és Csernisevvel mondott néhány szót az igazi háborúról egy olyan ember kifejezésével, aki előre tudja, hogy minden rossz lesz, és még csak nem is elégedetlen vele. A feje hátsó részén kilógó ápolatlan hajfürtök és a sebtében lesimított halántékok ezt különösen ékesszólóan igazolták. Bement egy másik szobába, és onnan azonnal kihallatszott hangjának basszus és morgó hangja. Mielőtt Andrej hercegnek ideje lett volna szemével követni Pfuelt, Bennigsen gróf sietve belépett a szobába, és Bolkonszkij felé biccentett, megállás nélkül besétált az irodába, és néhány parancsot adott adjutánsának. A császár követte, és Bennigsen előresietett, hogy előkészítsen valamit, és legyen ideje találkozni a császárral. Csernisev és Andrej herceg kiment a verandára. A császár fáradt tekintettel szállt le a lováról. Paulucci márki mondott valamit az uralkodónak. A fejét balra hajtott császár elégedetlen tekintettel hallgatta Pauluccit, aki különös hévvel beszélt. A császár előrelépett, láthatóan véget akart vetni a beszélgetésnek, de a kipirult, izgatott olasz, megfeledkezve a tisztességről, követte, és folytatta: „Quant a celui qui a conseille ce camp, le camp de Drissa, [Ami azt illeti, aki tanácsot adott a drissai tábornak” – mondta Paulucci, miközben az uralkodó belépve a lépcsőn, és észrevette Andrej herceget, egy ismeretlen arcba nézett.