Teoreme o površinama figura. Površina pravougaonika

Istorijski podaci

U Kijevskoj Rusiji nisu postojale mere površine kao kvadratne mere, sudeći po sačuvanim izvorima. Iako su drevni ruski arhitekti i geodeti imali ideju o njima.

Mjere površine bile su potrebne za određivanje veličine zemljišnih parcela. Parcele nisu uvijek bile jasno razgraničene, dodirivale jedna drugu ili su imale granične znakove.

U staroj Rusiji, za potrebe oporezivanja, korišćene su čisto konvencionalne jedinice koje su karakterisale rad ili poljoprivredna oruđa, kao i mere zasnovane na radnim sposobnostima. Odatle nazivi poljoprivrednih mera (poreznih jedinica) kao što su „kuća“ (porodica) ili „dim“, „ralo“, „ralo“, „obža“ itd. njihov odnos je jasan iz preživjelog odgovora Novgorodaca na zahtjev Ivana III 1478.: „Tri obzhi - plug, a obzha - 1 osoba za 1 konja viče (rala); a ko je na 3 konja a treći viče, inače je plug.”

Uprkos neizvjesnosti u geometrijskom smislu, mjere „sjetve“ su se pokazale pogodnijima za poljoprivrednike, osim toga, objektivnije i tačnije je određen iznos oporezivanja.

Za sjenokoše, mjere "prinosa" - bale sijena - bile su široko korištene. Hrpe su se ponekad koristile kao mjera zasijanih površina.

Sve mjere „rad“, „žetva“ i „sjetva“ sadržavale su elemente subjektivnosti i proizvoljnosti, koji su se direktno manifestirali u praksi korištenja ovih mjera.

Tokom feudalne rascjepkanosti Rusije, „kuća“ (dim), „ralo“, „obža“ korišćeni su kao mere površine. Ali oni su se razlikovali po broju u zavisnosti od kneževine. Postojale su i razlike u nazivima mjera. U Novgorodu, na primjer, "korobya" (površina na kojoj je posijana kutija raži - mjera zapremine) korištena je kao mjera sjetve.

Površina sijenokosih površina procijenjena je po plastu sijena (površina livade na kojoj se može kositi plast sijena). Ove mjere su omogućile određivanje prinosa, ali nisu dale potpunu sliku o obliku i veličini zemljišnih parcela.

Sredinom 13. vijeka Tatari su izvršili opsežnu inventarizaciju zemljišnih površina. Inventari su se bazirali na pojedinačnom domaćinstvu („kuća“ ili „dim“) kao jedinica mjere.

U spomenicima antičkog pisanja s kraja 14. vijeka spominje se geometrijska mjera zemljišne površine - desetina. U početku se koristila "okrugla" desetina - kvadrat sa stranom jednakom desetini versta (50 hvati), odakle dolazi i naziv "desetina". Od sredine 15. vijeka desetina se počela koristiti za oranice, a ne samo za sjenokoše. Od ovog trenutka možemo govoriti o upotrebi istinskih mjera u metrološkom smislu te riječi u geodetskoj praksi.

Prelazak sa četvrtine na desetinu pokazao se teškim, jer se kvart zasnivao na stvarno zasijanom žitu, to je svima bilo jasno, osim toga, definicija zemljišnih površina u kvartovima je zabilježena u pisarskim knjigama.

formula za dokaz mjere površine

Površina poligona i njegova svojstva

Površina poligona je veličina dijela ravni koji poligon zauzima. Mjerenje površina se vrši korištenjem odabrane mjerne jedinice na isti način kao i mjerenje dužina segmenata. Jedinica mjere za površine je kvadrat čija je stranica jednaka mjernoj jedinici za segmente. Kvadratni centimetar označen kao cm 2. Definisano slično kvadratni metar (m2), kvadratni milimetar(mm 2) itd.

Sa odabranom jedinicom površine, površina svakog poligona se izražava kao pozitivan broj. Ovaj broj pokazuje koliko puta se jedinica mjere i njeni dijelovi uklapaju u dati poligon.

Obično se mjere samo neki segmenti povezani s poligonom, a zatim se površina izračunava pomoću određenih formula.

Izvođenje ovih formula zasniva se na svojstvima površina, koje ćemo sada razmotriti.

Prije svega, napominjemo da ako su dva poligona jednaka, onda se jedinica mjerenja površina i njeni dijelovi uklapaju u takve poligone isti broj puta, tj. ima sljedeće svojstvo:

1. Jednaki poligoni imaju jednake površine

Nadalje, neka poligon bude sastavljen od nekoliko poligona tako da unutrašnje regije bilo koja dva od ovih poligona nemaju zajedničke tačke. Očigledno, veličina dijela ravni koju zauzima cijeli poligon je zbir veličina onih dijelova ravni koje zauzimaju poligoni koji ga čine. dakle:

2. Ako je poligon sastavljen od nekoliko poligona, tada je njegova površina jednaka zbroju površina ovih poligona

Svojstva 1 0 i 2 0 se pozivaju osnovna svojstva područja. Dužine segmenata imaju slična svojstva.

Uz ove nekretnine potrebno nam je još jedno svojstvo površina.

3. Površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice

Kratku formulaciju ove osobine treba shvatiti na sljedeći način: ako je stranica kvadrata sa odabranom jedinicom mjerenja segmenata izražena brojem A, tada se površina ovog kvadrata izražava brojem a 2.

Kvadratna površina

Dokažimo da je površina S kvadrata sa stranicom a jednaka a 2.

Počnimo s činjenicom da je a =

, gdje je n cijeli broj. Uzmimo kvadrat sa stranicom 1 i podijelimo ga na n 2 jednaka kvadrata kao što je prikazano na slici a) (na slici n=5). Pošto je površina velikog kvadrata 1, površina svakog malog kvadrata je . Stranica svakog malog kvadrata je jednaka, tj. jednak A. Dakle, = (formula 1)

Neka sada broj A predstavlja konačni decimalni razlomak koji sadrži n decimalnih mjesta (konkretno, broj A može biti cijeli broj, a zatim n=0). Tada je broj m=

cijeli. Podijelimo ovaj kvadrat sa stranom a na m 2 jednakih kvadrata kao što je prikazano na slici b) (na slici m=7)
Štaviše, svaka strana datog kvadrata bit će podijeljena na m jednakih dijelova i stoga je stranica bilo kojeg malog kvadrata jednaka

Prema formuli 1, površina malog kvadrata je

. Dakle, površina S ovog kvadrata je jednaka

Konačno, neka broj A predstavlja beskonačan decimalni razlomak. Razmotrimo broj a dobijen iz A odbacivanjem svih decimalnih mjesta iza decimalnog zareza, počevši od (n+1) – th. Od broja A razlikuje se od A n ne više od

, To , gdje

Jasno je da se površina S datog kvadrata nalazi između površine kvadrata sa stranicom

Video kurs „Osvoji A“ obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti prvi dio za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci prvog dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Područje geometrijske figure- numerička karakteristika geometrijske figure koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine ograničen zatvorenom konturom ove figure). Veličina područja izražava se brojem kvadratnih jedinica koje se u njemu nalaze.

Formule površine trougla

1. Formula za površinu trokuta po strani i visini
   Površina trougla jednak polovini umnoška dužine stranice trokuta i dužine visine povučene ovoj strani
   
2. Formula za površinu trokuta zasnovanu na tri strane i poluprečniku opisane kružnice
   
3. Formula za površinu trokuta zasnovana na tri strane i poluprečniku upisane kružnice
   Površina trougla jednak je proizvodu poluperimetra trokuta i poluprečnika upisane kružnice.
   
gdje je S površina trokuta,
- dužine stranica trougla,
- visina trougla,
- ugao između stranica i,
- poluprečnik upisane kružnice,
R - poluprečnik opisane kružnice,

Formule kvadratne površine

1. Formula za površinu kvadrata po dužini stranice
   Kvadratna površina jednak kvadratu dužine njegove stranice.
2. Formula za površinu kvadrata duž dijagonalne dužine
   Kvadratna površina jednaka polovini kvadrata dužine njegove dijagonale.
   

   S=	1	2
   	2

gdje je S površina kvadrata,
- dužina stranice kvadrata,
- dužina dijagonale kvadrata.

Formula površine pravokutnika

Površina pravougaonika jednak proizvodu dužina njegovih dviju susjednih stranica

gdje je S površina pravokutnika,
- dužine stranica pravougaonika.

Formule površine paralelograma

1. Formula za površinu paralelograma na osnovu dužine i visine stranice
   Površina paralelograma
2. Formula za površinu paralelograma zasnovanu na dvije strane i kutu između njih
   Površina paralelograma jednak je proizvodu dužina njegovih stranica pomnoženog sa sinusom ugla između njih.
   

   a b sin α

gdje je S površina paralelograma,
- dužine stranica paralelograma,
- dužina visine paralelograma,
- ugao između stranica paralelograma.

Formule za površinu romba

1. Formula za površinu romba na osnovu dužine i visine stranice
   Područje romba jednak proizvodu dužine njegove stranice i dužine visine spuštene na ovu stranu.
2. Formula za površinu romba na osnovu dužine stranice i kuta
   Područje romba jednak je proizvodu kvadrata dužine njegove stranice i sinusa ugla između stranica romba.
3. Formula za površinu romba zasnovana na dužinama njegovih dijagonala
   Područje romba jednak polovini umnoška dužina njegovih dijagonala.
gdje je S površina romba,
- dužina stranice romba,
- dužina visine romba,
- ugao između stranica romba,
1, 2 - dužine dijagonala.

Formule površine trapeza

1. Heronova formula za trapez

   gdje je S površina trapeza,
   - dužine osnova trapeza,
   - dužine stranica trapeza,
   

Najstariji koncepti u razvoju svjetske geometrije su koncepti područja mnogih pravolinijskih figura, uključujući: pravougaonik, paralelogram, trokut i trapez. Još u 7. veku pre nove ere, Egipćani su znali da izračunaju površinu pravougaonika. Pomnožili su dužinu sa širinom.

Babilonska aritmetika i algebra su takođe bile prilično razvijene, o čemu svedoče klinaste ploče pronađene tokom iskopavanja. Babilonska geometrija je imala ideju o proporcionalnosti segmenata koji su bili ispresijecani paralelnim linijama, kao i Pitagorina teorema, pa čak i izračunavanje volumena i površina nekih figura. Istovremeno, Babilonci su prihvatili određene predmete iz svakodnevnog života kao prostorne figure. Na primjer, kada su gradili okrugle zgrade, približno su izračunali obim iz njegova tri prečnika. Izračunali su površinu pravokutnika prema broju koraka. Očigledno su za to vrijeme takve definicije vrijednosti bile sasvim prihvatljive. Takva primijenjena geometrija bila je tipična za mnoge narode svijeta i naširoko se koristila u rješavanju raznih kontroverznih svakodnevnih pitanja.

Izvanredni naučnik svog vremena, Arhimed, koristio je metodu iscrpljivanja da bi dokazao teoreme o oblastima figura. Zapravo, ovo nije ništa drugo do indirektni dokaz koji počinje kontradikcijom. Osnovna ideja Arhimedove metode je da ispravne figure moraju biti upisane unutar figure čija se površina traži. Koristeći varijante metode iscrpljivanja, izvanredni naučnik je uspio dokazati mnoge teoreme.

Teorema: Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih susjednih stranica.

S = ab

Dakle, imamo pravougaonik sa dve strane - a I b . Površina pravougaonika - S . Dokažimo to S = ab .

Pretvorimo naš pravougaonik u kvadrat. Da bismo to učinili, povećajmo njegovu stranu b do bočne dužine a

Kao rezultat, dobili smo četiri kvadrata. Znamo da je površina kvadrata (a + b) 2 . Istovremeno, ovi kvadrati su sastavljeni od dva pravougaonika: jednog pravougaonika površine S i istog pravougaonika iste površine, kao i dva kvadrata sa površinama a 2 I b 2 . Na osnovu činjenice da se naš četvorougao ne sastoji od jednog četvorougla, već od nekoliko, njegova površina će biti jednaka zbiru svih površina ovih četvorougla. Ovo dolazi od imovine područja.

Square je pravilan četverougao u kojem su sve stranice i uglovi međusobno jednaki.
Površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice:
S = a 2

Dokaz

Počnimo sa slučajem kada a = 1/n, gdje je n cijeli broj.
Uzmimo kvadrat sa stranicom 1 i podijelimo ga na n 2 jednaka kvadrata kao što je prikazano na slici 1.

Pošto je površina velikog kvadrata jednaka jedan, površina svakog malog kvadrata jednaka je 1/n 2. Stranica svakog malog kvadrata je 1/n, tj. jednaka je a. dakle,
S = 1/n 2 = (1/n) 2 = a 2 . (1)
Neka sada broj a predstavlja konačni decimalni razlomak koji sadrži n decimalnih mjesta (posebno, broj a može biti cijeli broj, u kojem slučaju je n = 0). Tada je broj m = a · 10 n cijeli broj. Podijelimo ovaj kvadrat sa stranom a na m 2 jednakih kvadrata kao što je prikazano na slici 2.

Štaviše, svaka strana datog kvadrata bit će podijeljena na m jednakih dijelova, pa je stoga stranica bilo kojeg malog kvadrata jednaka

a/m = a / (a ​​· 10 n) = 1/10 n.

Prema formuli (1) Površina malog kvadrata je (1/10 n) 2 . dakle, Površina S ovog kvadrata je jednaka

m 2 · (1/10 n) 2 = (m/10 n) 2 = ((a · 10 n)/10 n) 2 = a 2 .

konačno, neka broj a predstavlja beskonačan decimalni razlomak. Uzmite u obzir broj a n, dobijeno od a odbacivanjem svih decimalnih mjesta počevši od (n+1) th. Od broja a razlikuje se od a n ne više od 1/10 n, To a n ≤ a ≤ a n + 1/10 n, gdje

a n 2 ≤ a 2 ≤ (a n + 1/10 n) 2 . (2)

Jasno je da područje S datog kvadrata zatvoren je između površine kvadrata sa stranicom a n i površine kvadrata sa stranicom a n + 1/10 n:

odnosno između a n 2 I (a n + 1/10 n) 2:

a n 2 ≤ S ≤ (a n + 1/10 n) 2 . (3)

Broj ćemo povećavati neograničeno n. Zatim broj 1/10 nće postati proizvoljno mali, pa će se, prema tome, broj (a n + 1/10 n) 2 razlikovati koliko god želite od broja a n 2. Dakle, iz nejednakosti (2) I (3) proizilazi da je broj S razlikuje se koliko god želite od broja a 2 . Dakle, ovi brojevi su jednaki: S = a 2, što je trebalo dokazati.

Površina kvadrata se također može pronaći pomoću sljedećih formula:

S = 4r 2,
S = 2R 2,