Zbir suprotnih strana trapeza. Opisani krug i trapez

U ovom članku pokušat ćemo što potpunije prikazati svojstva trapeza. Posebno ćemo govoriti o općim karakteristikama i svojstvima trapeza, kao i osobinama upisanog trapeza i kruga upisanog u trapez. Dotakćemo se i osobina jednakokrakog i pravougaonog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću opisanih svojstava pomoći će vam da ga sortirate na mjesta u glavi i bolje zapamtite gradivo.

Trapez i sve-sve-sve

Za početak, prisjetimo se ukratko što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.

Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije strane paralelne jedna s drugom (ovo su baze). I to dvoje nije paralelno - ovo su strane.

U trapezu se visina može spustiti - okomito na baze. Središnja linija i dijagonale su nacrtane. Također je moguće nacrtati simetralu iz bilo kojeg ugla trapeza.

Sada ćemo govoriti o različitim svojstvima povezanim sa svim ovim elementima i njihovim kombinacijama.

Svojstva dijagonala trapeza

Da vam bude jasnije, dok čitate, skicirajte trapez ACME na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.

1. Ako pronađete sredine svake od dijagonala (nazovimo ove tačke X i T) i povežete ih, dobićete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da segment HT leži na srednjoj liniji. A njegova dužina se može dobiti dijeljenjem razlike baza sa dva: HT = (a – b)/2.
2. Pred nama je isti trapez ACME. Dijagonale se seku u tački O. Pogledajmo trouglove AOE i MOK, formirane segmentima dijagonala zajedno sa osnovama trapeza. Ovi trokuti su slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se kroz omjer baza trapeza: k = AE/KM.
   Odnos površina trouglova AOE i MOK opisuje se koeficijentom k 2 .
3. Isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u tački O. Samo ovaj put ćemo razmatrati trouglove koje su segmenti dijagonala formirali zajedno sa stranicama trapeza. Površine trouglova AKO i EMO su jednake po veličini - njihove su površine iste.
4. Još jedno svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako nastavite stranice AK i ME u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije ukrstiti u određenoj tački. Zatim povucite ravnu liniju kroz sredinu osnova trapeza. Seče baze u tačkama X i T.
   Ako sada produžimo pravu XT, tada će ona spojiti točku presjeka dijagonala trapeza O, tačku u kojoj se sijeku produžeci stranica i sredine baza X i T.
5. Kroz tačku presjeka dijagonala nacrtaćemo segment koji će spojiti osnove trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X na većoj AE). Točka presjeka dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OX = KM/AE.
6. Sada ćemo kroz tačku presjeka dijagonala nacrtati segment paralelan osnovama trapeza (a i b). Tačka presjeka će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Dužinu segmenta možete pronaći pomoću formule 2ab/(a + b).

Svojstva srednje linije trapeza

Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno sa njegovim osnovama.

1. Dužina srednje linije trapeza može se izračunati dodavanjem dužina baza i podjelom na pola: m = (a + b)/2.
2. Ako povučete bilo koji segment (visinu, na primjer) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Svojstvo simetrale trapeza

Odaberite bilo koji ugao trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, ugao KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete provjeriti da li simetrala odsijeca od baze (ili njenog nastavka na pravoj liniji izvan same figure) segment iste dužine kao i stranica.

Svojstva trapeznih uglova

1. Koji god od dva para uglova uz stranu da odaberete, zbir uglova u paru je uvijek 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
2. Spojimo sredine baza trapeza sa segmentom TX. Pogledajmo sada uglove u osnovima trapeza. Ako je zbir uglova za bilo koji od njih 90 0, dužina segmenta TX može se lako izračunati na osnovu razlike u dužinama baza, podijeljenih na pola: TX = (AE – KM)/2.
3. Ako se kroz stranice ugla trapeza povuku paralelne linije, one će podijeliti stranice ugla na proporcionalne segmente.

Svojstva jednakokračnog (jednakostranog) trapeza

1. U jednakokračnom trapezu, uglovi na bilo kojoj osnovi su jednaki.
2. Sada ponovo napravite trapez da biste lakše zamislili o čemu govorimo. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M je projektovan na određenu tačku na liniji koja sadrži AE. Udaljenost od temena A do tačke projekcije temena M i srednja linija jednakokračnog trapeza su jednake.
3. Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su dužine jednake. I uglovi nagiba ovih dijagonala prema bazi trapeza su isti.
4. Krug se može opisati samo oko jednakokračnog trapeza, jer je zbir suprotnih uglova četvorougla 180 0 - preduslov za to.
5. Svojstvo jednakokrakog trapeza slijedi iz prethodnog stava - ako se krug može opisati u blizini trapeza, onda je jednakokraki.
6. Iz karakteristika jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim uglom, tada je dužina visine jednaka polovini zbira osnovica: h = (a + b)/2.
7. Ponovo povucite segment TX kroz sredine osnova trapeza - u jednakokračnom trapezu on je okomit na osnovice. A u isto vrijeme TX je osa simetrije jednakokračnog trapeza.
8. Ovaj put spustite visinu iz suprotnog vrha trapeza na veću osnovu (nazovimo je a). Dobićete dva segmenta. Dužina jednog se može naći ako se dužine baza zbroje i podijele na pola: (a + b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i rezultujuću razliku podijelimo sa dva: (a – b)/2.

Svojstva trapeza upisanog u krug

Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je centar kruga u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da odvojite vrijeme da uzmete olovku i nacrtate ono o čemu će biti riječi u nastavku. Na taj način ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.

1. Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala se može pružati od vrha trapeza pod pravim uglom u stranu. U ovom slučaju, veća baza siječe centar opisane kružnice tačno u sredini (R = ½AE).
2. Dijagonala i strana se također mogu sastati pod oštrim uglom - tada je središte kruga unutar trapeza.
3. Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, izvan njegove veće osnove, ako između dijagonale trapeza i stranice postoji tup ugao.
4. Ugao koji formiraju dijagonala i velika baza trapeza ACME (upisani ugao) je polovina središnjeg ugla koji mu odgovara: MAE = ½ MOE.
5. Ukratko o dva načina za pronalaženje polumjera opisane kružnice. Prvi metod: pažljivo pogledajte svoj crtež - šta vidite? Lako možete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Radijus se može naći omjerom stranice trokuta i sinusom suprotnog ugla, pomnoženim sa dva. Na primjer, R = AE/2*sinAME. Na sličan način, formula se može napisati za bilo koju stranu oba trokuta.
6. Drugi metod: pronađite polumjer opisane kružnice kroz površinu trokuta formiranog od dijagonale, stranice i baze trapeza: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Svojstva trapeza opisanog oko kružnice

Možete uklopiti krug u trapez ako je ispunjen jedan uslov. Više o tome pročitajte u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.

1. Ako je krug upisan u trapez, dužina njegove srednje linije može se lako pronaći dodavanjem dužina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
2. Za trapez ACME, opisan oko kružnice, zbir dužina baza jednak je zbiru dužina stranica: AK + ME = KM + AE.
3. Iz ovog svojstva osnova trapeza slijedi suprotna tvrdnja: u trapez se može upisati krug čiji je zbir osnova jednak zbiru njegovih stranica.
4. Tačka tangente kružnice poluprečnika r upisanog u trapez dijeli stranu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Poluprečnik kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
5. I još jedna nekretnina. Da ne bude zabune, nacrtajte i ovaj primjer sami. Imamo stari dobri trapez ACME, opisan oko kruga. Sadrži dijagonale koje se sijeku u tački O. Trokuti AOK i EOM formirani segmentima dijagonala i bočnih stranica su pravokutni.
   Visine ovih trouglova, spuštenih na hipotenuze (tj. bočne strane trapeza), poklapaju se sa polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza se poklapa sa prečnikom upisane kružnice.

Svojstva pravougaonog trapeza

Trapez se naziva pravougaonim ako mu je jedan od uglova pravi. A njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.

1. Pravougaoni trapez ima jednu stranu okomitu na osnovu.
2. Visina i stranica trapeza pored pravog ugla su jednake. Ovo vam omogućava da izračunate površinu pravokutnog trapeza (opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja se nalazi uz pravi ugao.
3. Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.

Dokaz o nekim svojstvima trapeza

Jednakost uglova pri osnovici jednakokrakog trapeza:

• Vjerovatno ste već pogodili da će nam ovdje opet trebati AKME trapez - nacrtajte jednakokraki trapez. Nacrtajte pravu liniju MT iz temena M, paralelnu sa stranicom AK (MT || AK).

Rezultirajući četverougao AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Budući da je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.

AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sada, na osnovu svojstva jednakokračnog trapeza (jednakost dijagonala), to dokazujemo trapez ACME je jednakokraki:

• Prvo, nacrtajmo pravu liniju MX – MX || KE. Dobijamo paralelogram KMHE (baza – MX || KE i KM || EX).

∆AMX je jednakokračan, budući da je AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.

Pokazalo se da su trouglovi AKE i EMA međusobno jednaki, jer su AM = KE i AE zajednička stranica dva trougla. I također MAE = MXE. Možemo zaključiti da je AK ​​= ME, a iz ovoga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.

Zadatak pregleda

Osnove trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, bočna stranica KA, jednaka 8 cm, sa manjom osnovom čini ugao od 150 0. Morate pronaći površinu trapeza.

Rješenje: Od temena K spuštamo visinu na veću osnovu trapeza. I počnimo gledati uglove trapeza.

Uglovi AEM i KAN su jednostrani. To znači da ukupno daju 180 0. Dakle, KAN = 30 0 (na osnovu svojstva trapeznih uglova).

Razmotrimo sada pravougaoni ∆ANC (vjerujem da je ovo očito čitaocima bez dodatnih dokaza). Iz nje ćemo pronaći visinu trapeza KH - u trokutu je to krak koji leži nasuprot kuta od 30 0. Dakle, KH = ½AB = 4 cm.

Površinu trapeza nalazimo pomoću formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pogovor

Ako ste pažljivo i promišljeno proučili ovaj članak, niste bili previše lijeni da nacrtate trapeze za sva data svojstva olovkom u rukama i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.

Naravno, ovdje ima puno informacija, različitih, a ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan pregled svih općih svojstava trapeza. Kao i specifična svojstva i karakteristike jednakokrakih i pravokutnih trapeza. Veoma je zgodan za pripremu za testove i ispite. Probajte sami i podijelite link sa prijateljima!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

U ovom članku pokušat ćemo što potpunije prikazati svojstva trapeza. Posebno ćemo govoriti o općim karakteristikama i svojstvima trapeza, kao i osobinama upisanog trapeza i kruga upisanog u trapez. Dotakćemo se i osobina jednakokrakog i pravougaonog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću opisanih svojstava pomoći će vam da ga sortirate na mjesta u glavi i bolje zapamtite gradivo.

Trapez i sve-sve-sve

Za početak, prisjetimo se ukratko što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.

Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije strane paralelne jedna s drugom (ovo su baze). I to dvoje nije paralelno - ovo su strane.

U trapezu se visina može spustiti - okomito na baze. Središnja linija i dijagonale su nacrtane. Također je moguće nacrtati simetralu iz bilo kojeg ugla trapeza.

Sada ćemo govoriti o različitim svojstvima povezanim sa svim ovim elementima i njihovim kombinacijama.

Svojstva dijagonala trapeza

Da vam bude jasnije, dok čitate, skicirajte trapez ACME na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.

1. Ako pronađete sredine svake od dijagonala (nazovimo ove tačke X i T) i povežete ih, dobićete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da segment HT leži na srednjoj liniji. A njegova dužina se može dobiti dijeljenjem razlike baza sa dva: HT = (a – b)/2.
2. Pred nama je isti trapez ACME. Dijagonale se seku u tački O. Pogledajmo trouglove AOE i MOK, formirane segmentima dijagonala zajedno sa osnovama trapeza. Ovi trokuti su slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se kroz omjer baza trapeza: k = AE/KM.
   Odnos površina trouglova AOE i MOK opisuje se koeficijentom k 2 .
3. Isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u tački O. Samo ovaj put ćemo razmatrati trouglove koje su segmenti dijagonala formirali zajedno sa stranicama trapeza. Površine trouglova AKO i EMO su jednake po veličini - njihove su površine iste.
4. Još jedno svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako nastavite stranice AK i ME u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije ukrstiti u određenoj tački. Zatim povucite ravnu liniju kroz sredinu osnova trapeza. Seče baze u tačkama X i T.
   Ako sada produžimo pravu XT, tada će ona spojiti točku presjeka dijagonala trapeza O, tačku u kojoj se sijeku produžeci stranica i sredine baza X i T.
5. Kroz tačku presjeka dijagonala nacrtaćemo segment koji će spojiti osnove trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X na većoj AE). Točka presjeka dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OX = KM/AE.
6. Sada ćemo kroz tačku presjeka dijagonala nacrtati segment paralelan osnovama trapeza (a i b). Tačka presjeka će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Dužinu segmenta možete pronaći pomoću formule 2ab/(a + b).

Svojstva srednje linije trapeza

Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno sa njegovim osnovama.

1. Dužina srednje linije trapeza može se izračunati dodavanjem dužina baza i podjelom na pola: m = (a + b)/2.
2. Ako povučete bilo koji segment (visinu, na primjer) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Svojstvo simetrale trapeza

Odaberite bilo koji ugao trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, ugao KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete provjeriti da li simetrala odsijeca od baze (ili njenog nastavka na pravoj liniji izvan same figure) segment iste dužine kao i stranica.

Svojstva trapeznih uglova

1. Koji god od dva para uglova uz stranu da odaberete, zbir uglova u paru je uvijek 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
2. Spojimo sredine baza trapeza sa segmentom TX. Pogledajmo sada uglove u osnovima trapeza. Ako je zbir uglova za bilo koji od njih 90 0, dužina segmenta TX može se lako izračunati na osnovu razlike u dužinama baza, podijeljenih na pola: TX = (AE – KM)/2.
3. Ako se kroz stranice ugla trapeza povuku paralelne linije, one će podijeliti stranice ugla na proporcionalne segmente.

Svojstva jednakokračnog (jednakostranog) trapeza

1. U jednakokračnom trapezu, uglovi na bilo kojoj osnovi su jednaki.
2. Sada ponovo napravite trapez da biste lakše zamislili o čemu govorimo. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M je projektovan na određenu tačku na liniji koja sadrži AE. Udaljenost od temena A do tačke projekcije temena M i srednja linija jednakokračnog trapeza su jednake.
3. Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su dužine jednake. I uglovi nagiba ovih dijagonala prema bazi trapeza su isti.
4. Krug se može opisati samo oko jednakokračnog trapeza, jer je zbir suprotnih uglova četvorougla 180 0 - preduslov za to.
5. Svojstvo jednakokrakog trapeza slijedi iz prethodnog stava - ako se krug može opisati u blizini trapeza, onda je jednakokraki.
6. Iz karakteristika jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim uglom, tada je dužina visine jednaka polovini zbira osnovica: h = (a + b)/2.
7. Ponovo povucite segment TX kroz sredine osnova trapeza - u jednakokračnom trapezu on je okomit na osnovice. A u isto vrijeme TX je osa simetrije jednakokračnog trapeza.
8. Ovaj put spustite visinu iz suprotnog vrha trapeza na veću osnovu (nazovimo je a). Dobićete dva segmenta. Dužina jednog se može naći ako se dužine baza zbroje i podijele na pola: (a + b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i rezultujuću razliku podijelimo sa dva: (a – b)/2.

Svojstva trapeza upisanog u krug

Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je centar kruga u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da odvojite vrijeme da uzmete olovku i nacrtate ono o čemu će biti riječi u nastavku. Na taj način ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.

1. Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala se može pružati od vrha trapeza pod pravim uglom u stranu. U ovom slučaju, veća baza siječe centar opisane kružnice tačno u sredini (R = ½AE).
2. Dijagonala i strana se također mogu sastati pod oštrim uglom - tada je središte kruga unutar trapeza.
3. Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, izvan njegove veće osnove, ako između dijagonale trapeza i stranice postoji tup ugao.
4. Ugao koji formiraju dijagonala i velika baza trapeza ACME (upisani ugao) je polovina središnjeg ugla koji mu odgovara: MAE = ½ MOE.
5. Ukratko o dva načina za pronalaženje polumjera opisane kružnice. Prvi metod: pažljivo pogledajte svoj crtež - šta vidite? Lako možete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Radijus se može naći omjerom stranice trokuta i sinusom suprotnog ugla, pomnoženim sa dva. Na primjer, R = AE/2*sinAME. Na sličan način, formula se može napisati za bilo koju stranu oba trokuta.
6. Drugi metod: pronađite polumjer opisane kružnice kroz površinu trokuta formiranog od dijagonale, stranice i baze trapeza: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Svojstva trapeza opisanog oko kružnice

Možete uklopiti krug u trapez ako je ispunjen jedan uslov. Više o tome pročitajte u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.

1. Ako je krug upisan u trapez, dužina njegove srednje linije može se lako pronaći dodavanjem dužina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
2. Za trapez ACME, opisan oko kružnice, zbir dužina baza jednak je zbiru dužina stranica: AK + ME = KM + AE.
3. Iz ovog svojstva osnova trapeza slijedi suprotna tvrdnja: u trapez se može upisati krug čiji je zbir osnova jednak zbiru njegovih stranica.
4. Tačka tangente kružnice poluprečnika r upisanog u trapez dijeli stranu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Poluprečnik kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
5. I još jedna nekretnina. Da ne bude zabune, nacrtajte i ovaj primjer sami. Imamo stari dobri trapez ACME, opisan oko kruga. Sadrži dijagonale koje se sijeku u tački O. Trokuti AOK i EOM formirani segmentima dijagonala i bočnih stranica su pravokutni.
   Visine ovih trouglova, spuštenih na hipotenuze (tj. bočne strane trapeza), poklapaju se sa polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza se poklapa sa prečnikom upisane kružnice.

Svojstva pravougaonog trapeza

Trapez se naziva pravougaonim ako mu je jedan od uglova pravi. A njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.

1. Pravougaoni trapez ima jednu stranu okomitu na osnovu.
2. Visina i stranica trapeza pored pravog ugla su jednake. Ovo vam omogućava da izračunate površinu pravokutnog trapeza (opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja se nalazi uz pravi ugao.
3. Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.

Dokaz o nekim svojstvima trapeza

Jednakost uglova pri osnovici jednakokrakog trapeza:

• Vjerovatno ste već pogodili da će nam ovdje opet trebati AKME trapez - nacrtajte jednakokraki trapez. Nacrtajte pravu liniju MT iz temena M, paralelnu sa stranicom AK (MT || AK).

Rezultirajući četverougao AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Budući da je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.

AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sada, na osnovu svojstva jednakokračnog trapeza (jednakost dijagonala), to dokazujemo trapez ACME je jednakokraki:

• Prvo, nacrtajmo pravu liniju MX – MX || KE. Dobijamo paralelogram KMHE (baza – MX || KE i KM || EX).

∆AMX je jednakokračan, budući da je AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.

Pokazalo se da su trouglovi AKE i EMA međusobno jednaki, jer su AM = KE i AE zajednička stranica dva trougla. I također MAE = MXE. Možemo zaključiti da je AK ​​= ME, a iz ovoga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.

Zadatak pregleda

Osnove trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, bočna stranica KA, jednaka 8 cm, sa manjom osnovom čini ugao od 150 0. Morate pronaći površinu trapeza.

Rješenje: Od temena K spuštamo visinu na veću osnovu trapeza. I počnimo gledati uglove trapeza.

Uglovi AEM i KAN su jednostrani. To znači da ukupno daju 180 0. Dakle, KAN = 30 0 (na osnovu svojstva trapeznih uglova).

Razmotrimo sada pravougaoni ∆ANC (vjerujem da je ovo očito čitaocima bez dodatnih dokaza). Iz nje ćemo pronaći visinu trapeza KH - u trokutu je to krak koji leži nasuprot kuta od 30 0. Dakle, KH = ½AB = 4 cm.

Površinu trapeza nalazimo pomoću formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pogovor

Ako ste pažljivo i promišljeno proučili ovaj članak, niste bili previše lijeni da nacrtate trapeze za sva data svojstva olovkom u rukama i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.

Naravno, ovdje ima puno informacija, različitih, a ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan pregled svih općih svojstava trapeza. Kao i specifična svojstva i karakteristike jednakokrakih i pravokutnih trapeza. Veoma je zgodan za pripremu za testove i ispite. Probajte sami i podijelite link sa prijateljima!

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

FGKOU "MKK" Pansion za učenike Ministarstva odbrane Ruske Federacije"

"ODOBRENO"

Voditelj posebne discipline

(matematika, informatika i IKT)

Yu. V. Krylova _____________

"___" _____________ 2015

« Trapez i njegova svojstva»

Metodološki razvoj

nastavnik matematike

Shatalina Elena Dmitrievna

Recenzirano i

na sastanku PMO dana _______________

Protokol br.______

Moskva

2015

Sadržaj

Uvod 2

Definicije 3

Svojstva jednakokrakog trapeza 4

Upisane i opisane kružnice 7

Svojstva upisanih i opisanih trapeza 8

Prosječne vrijednosti u trapezu 12

Svojstva proizvoljnog trapeza 15

Znakovi trapeza 18

Dodatne konstrukcije u trapezu 20

Područje trapeza 25

10. Zaključak

Bibliografija

Aplikacija

Dokazi o nekim svojstvima trapeza 27

Zadaci za samostalan rad

Zadaci na temu “Trapez” povećane složenosti

Skrining test na temu “Trapez”

Uvod

Ovaj rad je posvećen geometrijskoj figuri koja se zove trapez. „Obična figura“, kažete, ali nije tako. Prepuna je mnogih tajni i misterija; ako ga bolje pogledate i proučavate dalje, otkrit ćete mnogo novih stvari u svijetu geometrije; problemi koji do sada nisu riješeni činit će vam se laki.

Trapez - grčka riječ trapezion - "sto". Pozajmljivanje u 18. veku od lat. jezik, gde je trapez grčki. To je četverougao čije su dvije suprotne strane paralelne. Na trapez se prvi susreo starogrčki naučnik Posidonije (2. vek pre nove ere). Postoji mnogo različitih figura u našim životima. U 7. razredu smo se pobliže upoznali sa trouglom, a u 8. razredu, po školskom programu, počeli smo da učimo trapez. Ova cifra nas je zainteresovala, a u udžbeniku je nedopustivo malo napisano o njoj. Stoga smo odlučili uzeti ovu stvar u svoje ruke i pronaći informacije o trapezu. njegove osobine.

U radu se ispituju svojstva koja su učenicima poznata iz gradiva obrađenog u udžbeniku, ali uglavnom nepoznata svojstva neophodna za rješavanje složenih zadataka. Što je veći broj problema koji se rješavaju, to se više pitanja javlja prilikom njihovog rješavanja. Odgovor na ova pitanja ponekad izgleda kao misterija; upoznajući nova svojstva trapeza, neobične metode rješavanja problema, kao i tehniku ​​dodatnih konstrukcija, postepeno otkrivamo tajne trapeza. Na internetu, ako ga ukucate u pretraživač, postoji vrlo malo literature o metodama rješavanja problema na temu “trapez”. U procesu rada na projektu pronađena je velika količina informacija koje će studentima pomoći u dubljem proučavanju geometrije.

Trapez.

Definicije

Trapez – četverougao u kojem je samo jedan par stranica paralelan (a drugi par stranica nije paralelan).

Paralelne stranice trapeza nazivaju se razlozi. Druge dvije su strane .
Ako su stranice jednake, naziva se trapez jednakokraki

Trapez koji ima prave uglove na svojim stranicama naziva se pravougaona

Segment koji povezuje sredine stranica naziva sesrednja linija trapeza.

Udaljenost između baza naziva se visina trapeza.

2 . Svojstva jednakokrakog trapeza

3. Dijagonale jednakokračnog trapeza su jednake.

4

1
0. Projekcija bočne stranice jednakokračnog trapeza na veću osnovu jednaka je polovini razlike osnovica, a projekcija dijagonale jednaka je zbiru osnova.

3. Upisana i opisana kružnica

Ako je zbir osnova trapeza jednak zbiru stranica, tada se u njega može upisati krug.

E
Ako je trapez jednakokraki, tada se oko njega može opisati kružnica.

4 . Svojstva upisanih i opisanih trapeza

2. Ako se kružnica može upisati u jednakokraki trapez, onda

zbir dužina baza jednak je zbiru dužina stranica. Dakle, dužina stranice jednaka je dužini srednje linije trapeza.

4 . Ako je krug upisan u trapez, tada su stranice iz njegovog središta vidljive pod uglom od 90°.

Ako je krug upisan u trapez i dodiruje jednu od strana, on ga dijeli na segmente m i n , tada je poluprečnik upisane kružnice jednak geometrijskoj sredini ovih segmenata.

1

0 . Ako je kružnica izgrađena na manjoj osnovici trapeza kao prečnik, prolazi središtem dijagonala i dodiruje donju osnovu, tada su uglovi trapeza 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Prosječne vrijednosti u trapezu

Geometrijska sredina

U bilo kojem trapezu sa bazama a I b Za a > bnejednakost je tačna :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Svojstva proizvoljnog trapeza

1
. Sredina dijagonala trapeza i sredine bočnih strana leže na istoj pravoj liniji.

2. Simetrale uglova uz jednu od bočnih stranica trapeza su okomite i sijeku se u tački koja leži na srednjoj liniji trapeza, tj. kada se sijeku, formira se pravokutni trokut sa hipotenuzom jednakom bočnoj strana.

3. Segmenti prave paralelne sa osnovama trapeza, koji sijeku bočne stranice i dijagonale trapeza, zatvoren između bočne stranice i dijagonale, jednaki su.

Točka presjeka nastavka stranica proizvoljnog trapeza, tačka presjeka njegovih dijagonala i središta baza leže na istoj pravoj liniji.

5. Kada se dijagonale proizvoljnog trapeza sijeku, formiraju se četiri trougla sa zajedničkim vrhom, a trouglovi susedni bazama su slični, a trouglovi susedni stranicama jednake su veličine (tj. imaju jednake površine).

6. Zbir kvadrata dijagonala proizvoljnog trapeza jednak je zbroju kvadrata bočnih stranica koji se dodaje dvostrukom umnošku baza.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. U pravokutnom trapezu, razlika u kvadratima dijagonala jednaka je razlici kvadrata baza d 1 2 - d 2 2 = a 2 – b 2

8 . Prave linije koje sijeku stranice ugla odsijecaju proporcionalne segmente od strana ugla.

9. Segment paralelan bazama i koji prolazi kroz tačku presjeka dijagonala podijeljen je na pola potonjom.

7. Znakovi trapeza

8 . Dodatne konstrukcije u trapezu

1. Segment koji povezuje sredine stranica je srednja linija trapeza.

2
. Segment paralelan jednoj od bočnih stranica trapeza, čiji se jedan kraj poklapa sa sredinom druge bočne strane, a drugi pripada pravoj liniji koja sadrži bazu.

3
. Ako su date sve strane trapeza, kroz vrh manje osnovice povlači se prava paralelna sa stranicom. Rezultat je trokut sa stranicama jednakim bočnim stranicama trapeza i razlikom baza. Pomoću Heronove formule pronađite površinu trokuta, a zatim visinu trokuta, koja je jednaka visini trapeza.

4

. Visina jednakokrakog trapeza, povučena iz vrha manje osnovice, dijeli veću osnovu na segmente od kojih je jedan jednak polovini razlike osnovica, a drugi polovini zbroja osnova trapeza, tj. srednja linija trapeza.

5. Visine trapeza, spuštene sa vrhova jedne osnove, isečene su na pravoj liniji koja sadrži drugu osnovu, segment jednak prvoj osnovi.

6
. Segment paralelan jednoj od dijagonala trapeza povučen je kroz vrh - tačku koja je kraj druge dijagonale. Rezultat je trokut s dvije strane jednake dijagonalama trapeza, a treća jednaka zbroju osnova

7
.Segment koji povezuje sredine dijagonala jednak je polovini razlike baza trapeza.

8. Simetrale uglova uz jednu od bočnih stranica trapeza su okomite i sijeku se u tački koja leži na srednjoj liniji trapeza, tj. kada se sijeku, formira se pravokutni trokut sa hipotenuzom jednakom bočnoj strana.

9. Simetrala trapeznog ugla odsijeca jednakokraki trougao.

1
0. Dijagonale proizvoljnog trapeza, kada se sijeku, formiraju dva slična trougla sa koeficijentom sličnosti jednakim omjeru osnovica i dva jednaka trougla uz bočne stranice.

1
1. Dijagonale proizvoljnog trapeza, kada se sijeku, formiraju dva slična trougla sa koeficijentom sličnosti jednakim omjeru osnovica i dva jednaka trougla uz bočne stranice.

1
2. Nastavak stranica trapeza do presjeka omogućava razmatranje sličnih trokuta.

13. Ako je kružnica upisana u jednakokraki trapez, onda izračunaj visinu trapeza - geometrijsku sredinu umnoška osnovica trapeza ili dvostruku geometrijsku sredinu umnoška segmenata bočne stranice u koju se nalazi podijeljeno je tačkom dodira.

9. Površina trapeza

1 . Površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira osnovica i visine S = ½( a + b) h ili

P

Površina trapeza jednaka je umnošku srednje linije trapeza i njegove visine S = m h .

2. Površina trapeza jednaka je umnošku stranice i okomice povučene iz sredine druge strane na pravu koja sadrži prvu stranicu.

Površina jednakokrakog trapeza sa poluprečnikom upisane kružnice jednak ri ugao na baziα :

10. Zaključak

GDJE, KAKO I ZA ČEMU SE KORISTI TRAPEZ?

Trapez u sportu: Trapez je svakako progresivni izum čovječanstva. Dizajniran je da rastereti naše ruke i učini jedrenje na dasci ugodnim i lakim odmorom. Hodanje po kratkoj dasci uopće nema smisla bez trapeza, jer bez njega je nemoguće pravilno rasporediti vuču između koraka i nogu i efikasno ubrzati.

Trapez u modi: Trapez u odjeći bio je popularan još u srednjem vijeku, u romaničkoj eri od 9. do 11. stoljeća. U to vrijeme osnova ženske odjeće bile su tunike do poda, a prema donjem dijelu tunika se jako širila, što je stvaralo efekat trapeza. Obnova siluete dogodila se 1961. godine i postala je himna mladosti, nezavisnosti i sofisticiranosti. Krhka manekenka Leslie Hornby, poznata kao Twiggy, odigrala je veliku ulogu u popularizaciji trapeza. Niska djevojka anoreksične građe i ogromnih očiju postala je simbol epohe, a omiljena odjevna kombinacija bile su joj kratke haljine A-kroja.

Trapez u prirodi: Trapez se također nalazi u prirodi. Ljudi imaju trapezni mišić, a neki ljudi imaju lice u obliku trapeza. Latice cvijeća, sazviježđa i naravno planina Kilimandžaro također imaju trapezoidni oblik.

Trapez u svakodnevnom životu: Trapez se koristi i u svakodnevnom životu, jer je njegov oblik praktičan. Nalazi se u objektima kao što su: kašika bagera, sto, vijak, mašina.

Trapez je simbol arhitekture Inka. Dominantna stilska forma u arhitekturi Inka je jednostavna, ali graciozna - trapez. Ima ne samo funkcionalni značaj, već i strogo ograničen umjetnički dizajn. Trapezna vrata, prozori i zidne niše nalaze se u zgradama svih vrsta, kako u hramovima, tako i u manjim građevinama grublje gradnje, da tako kažem. Trapez se takođe nalazi u modernoj arhitekturi. Ovakav oblik zgrada je neobičan, pa takvi objekti uvijek privlače poglede prolaznika.

Trapez u tehnologiji: Trapez se koristi u dizajnu dijelova u svemirskoj tehnici i avijaciji. Na primjer, neki solarni paneli na svemirskim stanicama imaju oblik trapeza jer imaju veliku površinu, što znači da akumuliraju više sunčeve energije.

U 21. veku ljudi praktično više ne razmišljaju o značenju geometrijskih oblika u svom životu. Uopšte ih nije briga kakvog su oblika njihov sto, naočare ili telefon. Oni jednostavno biraju oblik koji je praktičan. Ali upotreba predmeta, njegova svrha i rezultat rada mogu ovisiti o obliku ove ili one stvari. Danas smo vas upoznali sa jednim od najvećih dostignuća čovječanstva - trapezom. Otvorili smo vrata čudesnog svijeta figura, otkrili vam tajne trapeza i pokazali da je geometrija svuda oko nas.

Bibliografija

Bolotov A.A., Prokhorenko V.I., Safonov V.F., Matematička teorija i problemi. Knjiga 1 Studijski vodič za kandidate M.1998 Izdavačka kuća MPEI.

Bykov A.A., Malyshev G.Yu., GUVS Fakultet za preduniverzitetsku obuku. Matematika. Nastavno-metodički priručnik 4 dio M2004

Gordin R.K. Planimetrija. Knjiga problema.

Ivanov A.A. Ivanov A.P., Matematika: Vodič za pripremu za Jedinstveni državni ispit i upis na univerzitete - M: Izdavačka kuća MIPT, 2003-288 str. ISBN 5-89155-188-3

Pigolkina T.S., Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije, Federalna državna budžetska obrazovna ustanova za dodatno obrazovanje djece „ZFTSH Moskovski institut za fiziku i tehnologiju (Državni univerzitet)“. Matematika. Planimetrija. Zadaci br. 2 za 10. razred (školska 2012-2013).

Pigolkina T.S., Planimetrija (1. dio), Matematička enciklopedija polaznika. M., Izdavačka kuća Ruskog otvorenog univerziteta 1992.

Sharygin I.F. Odabrani zadaci iz geometrije za takmičarske ispite na univerzitetima (1987-1990) Lvov Magazin "Quantor" 1991.

Enciklopedija "Avanta Plus", Matematika M., Svijet enciklopedija Avanta 2009.

Aplikacija

1. Dokaz nekih svojstava trapeza.

1. Prava linija koja prolazi kroz točku presjeka dijagonala trapeza paralelno s njegovim osnovama siječe bočne strane trapeza u tačkamaK I L . Dokaži da ako su osnovice trapeza jednake A I b , To dužina segmenta KL jednaka geometrijskoj sredini osnova trapeza. Dokaz

NekaO - tačka preseka dijagonala,AD = a, sunce = b . Direktno KL paralelno sa bazomAD , dakle,K O║ AD , trougloviIN K O ILOŠE slični su, dakle

(1)

(2)

Zamenimo (2) u (1), dobijamo KO =

Isto tako L.O.= Onda K L = K.O. + L.O. =

IN Za bilo koji trapez, sredina baza, presjek dijagonala i presječna točka nastavka bočnih stranica leže na istoj pravoj liniji.

Dokaz: Neka se produžeci stranica sijeku u tačkiTO. Kroz tačkuTO i tačkaO dijagonalne raskrsnicehajde da nacrtamo pravu liniju CO.

K

Dokažimo da ova prava dijeli baze na pola.

O značajanVM = x, MS = y, AN = i, ND = v . Imamo:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

∆ MK C ~ ∆NKD → →

Projektni rad “Zanimljiva svojstva trapeza” Izvršili: učenici 10. razreda Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU Srednja škola s. N.Batako Rukovodilac: Gagieva A.O. 20. novembar 2015

Svrha rada: Razmotriti svojstva trapeza koja se ne izučavaju u školskom predmetu geometrije, ali pri rješavanju geometrijskih zadataka Jedinstvenog državnog ispita iz proširenog dijela C 4 može biti potrebno poznavanje i sposobnost primijeniti upravo ova svojstva.

Svojstva trapeza: Ako je trapez podijeljen pravom paralelnom sa njegovim osnovama jednakim a i b, na dva jednaka trapeza. Tada je segment ove prave, zatvoren između bočnih strana, jednak a B to

Svojstvo segmenta koji prolazi kroz tačku preseka dijagonala trapeza. Segment paralelan bazama koji prolazi kroz tačku preseka dijagonala jednak je: a u c

Svojstva trapeza: Pravi segment paralelan sa osnovama trapeza, zatvoren unutar trapeza, podijeljen je na tri dijela svojim dijagonalama. Tada su segmenti uz strane jednaki jedan drugom. MP=OK R M O K

Svojstva jednakokračnog trapeza: Ako se u trapez može upisati krug, tada je polumjer kružnice proporcionalan segmentima na koje tangentna tačka dijeli stranu. O S V A D. E O

Svojstva jednakokračnog trapeza: Ako središte opisane kružnice leži u osnovi trapeza, tada je njegova dijagonala okomita na stranicu O A B C D

Svojstva jednakokračnog trapeza: U jednakokraki trapez se može upisati krug ako je bočna strana jednaka njegovoj srednjoj liniji. S V A D h

1) Ako iskaz problema kaže da je kružnica upisana u pravougaoni trapez, možete koristiti sljedeća svojstva: 1. Zbir osnova trapeza jednak je zbiru stranica. 2. Udaljenosti od vrha trapeza do tangentnih tačaka upisane kružnice su jednake. 3. Visina pravougaonog trapeza jednaka je njegovoj manjoj strani i jednaka prečniku upisane kružnice. 4. Centar upisane kružnice je tačka preseka simetrala uglova trapeza. 5. Ako tačka tangente dijeli stranu na segmente m i n, tada je poluprečnik upisane kružnice jednak

Svojstva pravougaonog trapeza u koji je upisana kružnica: 1) Četvorougao koji čine centar upisane kružnice, dodirne tačke i vrh trapeza - kvadrat čija je stranica jednaka poluprečniku. (AMOE i BKOM su kvadrati sa stranicom r). 2) Ako je kružnica upisana u pravougaoni trapez, tada je površina trapeza jednaka umnošku njegovih baza: S=AD*BC

Dokaz: Površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih osnova i visine: Označimo CF=m, FD=n. Pošto su udaljenosti od vrhova do tačaka tangente jednake, visina trapeza je jednaka dva poluprečnika upisane kružnice, a

I. Simetrale uglova na bočnoj strani trapeza seku se pod uglom od 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (kao unutrašnja jednostrana sa AD∥BC i sekantom AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (pošto simetrale dele uglove). 3) Pošto je zbir uglova trougla 180º, u trouglu ABK imamo: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, dakle ∠AKB=180-90=90º. Zaključak: Simetrale ugla na bočnoj strani trapeza seku se pod pravim uglom. Ova izjava se koristi pri rješavanju zadataka na trapezu u koji je upisana kružnica.

I I. Točka presjeka simetrala trapeza uz bočnu stranu leži na srednjoj liniji trapeza. Neka simetrala ugla ABC siječe stranicu AD u tački S. Tada je trougao ABS jednakokračan sa osnovom BS, što znači da je i njegova simetrala AK medijana, odnosno tačka K središte BS. Ako su M i N sredine bočnih strana trapeza, tada je MN srednja linija trapeza i MN∥AD. Kako su M i K sredine AB i BS, onda je MK sredina trougla ABS i MK∥AS. Kako se kroz tačku M može povući samo jedna prava paralelna ovoj, tačka K leži na srednjoj liniji trapeza.

III. Tačka presjeka simetrala oštrih uglova na osnovici trapeza pripada drugoj osnovici. U ovom slučaju trouglovi ABK i DCK su jednakokraki sa bazama AK i DK, respektivno. Dakle, BC=BK+KC=AB+CD. Zaključak: Ako se simetrale oštrih uglova trapeza sijeku u tački koja pripada manjoj osnovici, tada je manja baza jednaka zbiru bočnih strana trapeza. Jednakokraki trapez u ovom slučaju ima manju osnovu dvostruko veću od njegove stranice.

I V. Tačka presjeka simetrala tupih uglova u osnovici trapeza pripada drugoj osnovici. U ovom slučaju, trouglovi ABF i DCF su jednakokračni sa bazama BF i CF, respektivno. Stoga AD=AF+FD=AB+CD. Zaključak: Ako se simetrale tupih uglova trapeza sijeku u tački koja pripada većoj osnovici, tada je veća baza jednaka zbiru bočnih strana trapeza. U ovom slučaju, jednakokraki trapez ima veću osnovu koja je dvostruko veća od njegove stranice.

Ako se jednakokraki trapez sa stranicama a, b, c, d može upisati i oko njega nacrtati kružnice, tada je površina trapeza

Trapez je geometrijska figura sa četiri ugla. Prilikom konstruiranja trapeza važno je uzeti u obzir da su dvije suprotne strane paralelne, a druge dvije, naprotiv, nisu paralelne jedna u odnosu na drugu. Ova riječ došla je u moderno doba iz antičke Grčke i zvučala je kao „trapedzion“, što je značilo „sto“, „trpezarijski sto“.

Ovaj članak govori o svojstvima trapeza opisanog oko kružnice. Također ćemo pogledati vrste i elemente ove figure.

Elementi, vrste i karakteristike trapeza geometrijske figure

Paralelne stranice na ovoj slici zovu se baze, a one koje nisu paralelne se nazivaju stranice. Pod uslovom da su stranice iste dužine, trapez se smatra jednakokračnim. Trapez čije stranice leže okomito na osnovu pod uglom od 90° naziva se pravougaoni.

Ova naizgled jednostavna figura ima znatan broj svojstava svojstvenih njoj, naglašavajući njene karakteristike:

1. Ako povučete srednju liniju duž strana, ona će biti paralelna s bazama. Ovaj segment će biti jednak 1/2 razlike baza.
2. Prilikom konstruiranja simetrale iz bilo kojeg ugla trapeza formira se jednakostranični trokut.
3. Iz svojstava trapeza opisanog oko kružnice, poznato je da zbir paralelnih stranica mora biti jednak zbiru osnova.
4. Prilikom konstruiranja dijagonalnih segmenata, gdje je jedna od stranica osnova trapeza, rezultirajući trokuti će biti slični.
5. Prilikom konstruiranja dijagonalnih segmenata, gdje je jedna od stranica bočna, rezultirajući trouglovi će imati jednaku površinu.
6. Ako nastavimo bočne linije i konstruiramo segment od središta baze, tada će formirani kut biti jednak 90°. Segment koji povezuje baze bit će jednak 1/2 njihove razlike.

Svojstva trapeza opisanog oko kružnice

Krug je moguće ugraditi u trapez samo pod jednim uslovom. Ovaj uslov je da zbir strana mora biti jednak zbiru baza. Na primjer, kada se konstruiše AFDM trapeza, primjenjiv je AF + DM = FD + AM. Samo u ovom slučaju krug može biti zatvoren u trapezu.

Dakle, više o svojstvima trapeza opisanog oko kruga:

1. Ako je kružnica zatvorena u trapezu, tada je potrebno pronaći 1/2 zbira dužina stranica da bi se pronašla dužina njegove linije koja siječe lik na pola.
2. Prilikom konstruisanja trapeza opisanog oko kružnice, formirana hipotenuza je identična poluprečniku kružnice, a visina trapeza je ujedno i prečnik kružnice.
3. Još jedno svojstvo jednakokračnog trapeza opisanog oko kružnice je da je njegova strana odmah vidljiva iz središta kruga pod uglom od 90°.

Malo više o svojstvima trapeza zatvorenog u krug

U krug se može upisati samo jednakokraki trapez. To znači da je neophodno ispuniti uslove pod kojima će konstruisani AFDM trapez ispunjavati sledeće uslove: AF + DM = FD + MA.

Ptolomejev teorem kaže da je u trapezu zatvorenom u krug proizvod dijagonala identičan i jednak zbroju pomnoženih suprotnih strana. To znači da kada se konstruiše kružnica opisana oko trapeza AFDM, važi sledeće: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Nerijetko se na školskim ispitima pojavljuju zadaci koji zahtijevaju rješavanje zadataka sa trapezom. Veliki broj teorema treba naučiti napamet, ali ako ih ne možete naučiti odmah, nije važno. Najbolje je povremeno pribjegavati nagoveštajima u udžbenicima, kako bi vam ovo znanje stalo samo u glavu, bez većih poteškoća.