Rješavanje logaritamskih nejednačina sa istim bazama. Manovljev rad "logaritamske nejednakosti na Jedinstvenom državnom ispitu"

Mislite li da ima još vremena do Jedinstvenog državnog ispita i da ćete imati vremena da se pripremite? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što ranije student počne sa pripremama, to će uspješnije polagati ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednačinama. Ovo je jedan od zadataka, što znači mogućnost da dobijete dodatni kredit.

Da li već znate šta je logaritam? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Razumjeti šta je logaritam je vrlo jednostavno.

Zašto 4? Morate podići broj 3 na ovaj stepen da dobijete 81. Kada shvatite princip, možete nastaviti sa složenijim proračunima.

Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada se stalno susrećete sa njima u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada kada smo se upoznali s konceptima pojedinačno, pređimo na njihovo razmatranje općenito.

Najjednostavnija logaritamska nejednakost.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti nisu ograničene na ovaj primjer, postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je ovo potrebno? Da bolje razumijemo kako riješiti nejednačine logaritmima. Sada dajmo primjereniji primjer, još uvijek prilično jednostavan, ostavit ćemo složene logaritamske nejednakosti za kasnije.

Kako to riješiti? Sve počinje od ODZ-a. Vrijedi znati više o tome ako želite uvijek lako riješiti bilo koju nejednakost.

Šta je ODZ? ODZ za logaritamske nejednakosti

Skraćenica označava raspon prihvatljivih vrijednosti. Ova formulacija se često pojavljuje u zadacima za Jedinstveni državni ispit. ODZ će vam biti od koristi ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.

Pogledajte ponovo gornji primjer. Na osnovu njega ćemo razmotriti ODZ, kako biste razumjeli princip, a rješavanje logaritamskih nejednakosti ne postavlja pitanja. Iz definicije logaritma slijedi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.

Ovaj broj, po definiciji, mora biti pozitivan. Riješite gore prikazanu nejednakost. To se čak može učiniti i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednakosti će biti definicija raspona prihvatljivih vrijednosti.
Pređimo sada na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednakosti.

Odbacujemo same logaritme sa obe strane nejednakosti. Šta nam ovo ostavlja? Jednostavna nejednakost.

To nije teško riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada kombinujemo dve dobijene vrednosti u sistem. dakle,

Ovo će biti raspon prihvatljivih vrijednosti za logaritamsku nejednakost koja se razmatra.

Zašto nam je uopšte potreban ODZ? Ovo je prilika da se iskorijene netačni i nemogući odgovori. Ako odgovor nije u rasponu prihvatljivih vrijednosti, onda odgovor jednostavno nema smisla. Ovo je vrijedno pamćenja dugo vremena, jer u Jedinstvenom državnom ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ-a, a ne tiče se samo logaritamskih nejednakosti.

Algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti

Rješenje se sastoji od nekoliko faza. Prvo morate pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će postojati dvije vrijednosti, o tome smo razgovarali gore. Zatim moramo riješiti samu nejednakost. Metode rješenja su sljedeće:

• metoda zamjene množitelja;
• raspadanje;
• metoda racionalizacije.

Ovisno o situaciji, vrijedi koristiti jednu od gore navedenih metoda. Pređimo direktno na rješenje. Otkrijmo najpopularniju metodu koja je pogodna za rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo pogledati metodu dekompozicije. Može pomoći ako naiđete na posebno nezgodnu nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti.

Primjeri rješenja :

Nije uzalud uzeli upravo ovu nejednakost! Obratite pažnju na bazu. Zapamtite: ako je veći od jedan, predznak ostaje isti kada se pronađe raspon prihvatljivih vrijednosti; u suprotnom, morate promijeniti predznak nejednakosti.

Kao rezultat, dobijamo nejednakost:

Sada lijevu stranu svedemo na oblik jednačine jednak nuli. Umjesto znaka “manje od” stavljamo “jednako” i rješavamo jednačinu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da nećete imati problema s rješavanjem ovako jednostavne jednačine. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Ove tačke morate prikazati na grafikonu, stavljajući “+” i “-”. Šta treba učiniti za ovo? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Tamo gdje su vrijednosti pozitivne, stavljamo "+".

Odgovori: x ne može biti veći od -4 i manji od -2.

Pronašli smo raspon prihvatljivih vrijednosti samo za lijevu stranu; sada moramo pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za desnu stranu. Ovo je mnogo lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba rezultirajuća područja.

I tek sada počinjemo da se bavimo samom nejednakošću.

Pojednostavimo ga što je više moguće kako bismo ga lakše riješili.

Ponovo koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo kalkulacije s tim je već sve jasno iz prethodnog primjera. Odgovori.

Ali ova metoda je prikladna ako logaritamska nejednakost ima iste baze.

Rješavanje logaritamskih jednačina i nejednačina sa različitim bazama zahtijeva početnu redukciju na istu bazu. Zatim koristite metodu opisanu gore. Ali postoji i komplikovaniji slučaj. Razmotrimo jednu od najsloženijih vrsta logaritamskih nejednakosti.

Logaritamske nejednakosti sa promenljivom bazom

Kako riješiti nejednakosti sa takvim karakteristikama? Da, i takvi se ljudi mogu naći na Jedinstvenom državnom ispitu. Rješavanje nejednakosti na sljedeći način također će imati blagotvoran učinak na vaš obrazovni proces. Pogledajmo pitanje detaljno. Odbacimo teoriju i pređimo odmah na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.

Za rješavanje logaritamske nejednakosti prikazanog oblika potrebno je desnu stranu svesti na logaritam s istom osnovom. Princip liči na ekvivalentne prelaze. Kao rezultat, nejednakost će izgledati ovako.

Zapravo, ostaje samo da se napravi sistem nejednakosti bez logaritama. Koristeći metodu racionalizacije, prelazimo na ekvivalentan sistem nejednakosti. Shvatit ćete samo pravilo kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sistem će imati sljedeće nejednakosti.

Kada koristite metodu racionalizacije pri rješavanju nejednačina, morate zapamtiti sljedeće: jedan se mora oduzeti od baze, x, po definiciji logaritma, oduzima se od obje strane nejednakosti (desno slijeva), dva izraza se množe i postavljen pod originalnim predznakom u odnosu na nulu.

Dalje rješenje se provodi metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da shvatite razlike u metodama rješenja, tada će sve početi lako funkcionirati.

Postoje mnoge nijanse u logaritamskim nejednačinama. Najjednostavnije od njih je prilično lako riješiti. Kako možete riješiti svaki od njih bez problema? Već ste dobili sve odgovore u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka na ispitu i moći ćete dobiti najviši rezultat. Sretno u Vašem teškom zadatku!

LOGARITAMSKE NEJEDNAKOSTI U UPOTREBI

Sečin Mihail Aleksandrovič

Mala akademija nauka za studente Republike Kazahstan “Iskatel”

MBOU "Sovetskaya Srednja škola br. 1", 11. razred, grad. Sovetsky Sovetsky okrug

Gunko Ljudmila Dmitrijevna, učiteljica opštinske budžetske obrazovne ustanove „Sovetskaya srednja škola br. 1“

Sovetsky okrug

Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje logaritamskih nejednačina C3 korištenjem nestandardnih metoda, utvrđivanje zanimljivosti o logaritmu.

Predmet studija:

3) Naučiti rješavati specifične logaritamske nejednačine C3 koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Sadržaj

Uvod………………………………………………………………………………………………….4

Poglavlje 1. Istorijat izdanja…………………………………………………………5

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednačina ………………………… 7

2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala…………… 7

2.2. Metoda racionalizacije………………………………………………………………………… 15

2.3. Nestandardna zamjena ................................................................ ............ ..... 22

2.4. Zadaci sa zamkama……………………………………………………27

Zaključak…………………………………………………………………………………………… 30

Književnost…………………………………………………………………………………. 31

Uvod

Ja sam 11. razred i planiram da upišem fakultet gdje je osnovni predmet matematika. Zbog toga mnogo radim sa problemima u dijelu C. U zadatku C3 trebam riješiti nestandardnu ​​nejednakost ili sistem nejednakosti, koji se obično odnosi na logaritme. Pripremajući se za ispit, susreo sam se s problemom nedostatka metoda i tehnika za rješavanje ispitnih logaritamskih nejednakosti ponuđenih u C3. Metode koje se izučavaju u školskom programu na ovu temu ne daju osnovu za rješavanje C3 zadataka. Nastavnica matematike mi je predložila da samostalno radim C3 zadatke pod njenim vodstvom. Osim toga, zanimalo me je pitanje: da li se u životu susrećemo s logaritmima?

Imajući to na umu, odabrana je tema:

“Logaritmske nejednakosti na Jedinstvenom državnom ispitu”

Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje C3 problema korištenjem nestandardnih metoda, identifikujući zanimljive činjenice o logaritmu.

Predmet studija:

1) Pronađite potrebne informacije o nestandardnim metodama za rješavanje logaritamskih nejednačina.

2) Pronađite dodatne informacije o logaritmima.

3) Naučite rješavati specifične C3 probleme koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Praktični značaj leži u proširenju aparata za rješavanje C3 problema. Ovaj materijal se može koristiti na nekim časovima, za klupske i izborne časove matematike.

Proizvod projekta će biti zbirka „C3 Logaritamske nejednakosti sa rješenjima“.

Poglavlje 1. Pozadina

Tokom 16. vijeka, broj približnih proračuna se brzo povećavao, prvenstveno u astronomiji. Poboljšanje instrumenata, proučavanje kretanja planeta i drugi poslovi zahtijevali su kolosalne, ponekad višegodišnje, proračune. Astronomija je bila u stvarnoj opasnosti da se utopi u neispunjenim proračunima. Poteškoće su se pojavile u drugim oblastima, na primjer, u poslovima osiguranja, bile su potrebne tabele složenih kamata za različite kamatne stope. Glavna poteškoća bilo je množenje i dijeljenje višecifrenih brojeva, posebno trigonometrijskih veličina.

Otkriće logaritama zasnivalo se na svojstvima progresija koje su bile dobro poznate do kraja 16. veka. Arhimed je govorio o vezi između pojmova geometrijske progresije q, q2, q3, ... i aritmetičke progresije njihovih eksponenata 1, 2, 3,... u Psalmu. Drugi preduvjet je bio proširenje koncepta stepena na negativne i razlomke. Mnogi autori su istakli da množenje, dijeljenje, eksponencijacija i vađenje korijena u geometrijskoj progresiji odgovaraju u aritmetici - istim redoslijedom - sabiranju, oduzimanju, množenju i dijeljenju.

Ovdje je bila ideja o logaritmu kao eksponentu.

U istoriji razvoja doktrine logaritma prošlo je nekoliko faza.

Faza 1

Logaritme su izumili najkasnije 1594. nezavisno škotski baron Napier (1550-1617), a deset godina kasnije švajcarski mehaničar Bürgi (1552-1632). Obojica su željeli da pruže novo, zgodno sredstvo aritmetičkih proračuna, iako su ovom problemu pristupili na različite načine. Napier je kinematički izrazio logaritamsku funkciju i time ušao u novo polje teorije funkcija. Bürgi je ostao na bazi razmatranja diskretnih progresija. Međutim, definicija logaritma za oba nije slična modernoj. Izraz "logaritam" (logaritam) pripada Napieru. Nastao je kombinacijom grčkih riječi: logos - "odnos" i ariqmo - "broj", što je značilo "broj odnosa". U početku je Napier koristio drugačiji termin: numeri artificiales - "vještački brojevi", za razliku od numeri naturalts - "prirodni brojevi".

Godine 1615., u razgovoru s Henryjem Briggsom (1561-1631), profesorom matematike na Gresh koledžu u Londonu, Napier je predložio da se nula uzme kao logaritam od jedan, a 100 kao logaritam od deset, ili, što znači isto stvar, samo 1. Ovako su štampani decimalni logaritmi i prve logaritamske tablice. Kasnije je Briggsove tabele dopunio holandski knjižar i zaljubljenik u matematiku Adrian Flaccus (1600-1667). Napier i Briggs, iako su došli do logaritma ranije od svih ostalih, objavili su svoje tabele kasnije od ostalih - 1620. godine. Znakove log i log uveo je 1624. I. Kepler. Termin “prirodni logaritam” uveo je Mengoli 1659. godine, a zatim N. Mercator 1668. godine, a londonski učitelj John Speidel objavio je tabele prirodnih logaritama brojeva od 1 do 1000 pod nazivom “Novi logaritmi”.

Prve logaritamske tablice objavljene su na ruskom jeziku 1703. godine. Ali u svim logaritamskim tablicama bilo je grešaka u proračunu. Prve tabele bez grešaka objavljene su 1857. u Berlinu, obradio ih je njemački matematičar K. Bremiker (1804-1877).

Faza 2

Dalji razvoj teorije logaritama povezan je sa širom primjenom analitičke geometrije i infinitezimalnog računa. Do tada je uspostavljena veza između kvadrature jednakostranične hiperbole i prirodnog logaritma. Teorija logaritama ovog perioda povezana je sa imenima brojnih matematičara.

Njemački matematičar, astronom i inženjer Nikolaus Mercator u eseju

"Logarithmotechnics" (1668) daje niz koji daje ekspanziju ln(x+1) u

moći x:

Ovaj izraz tačno odgovara njegovom toku misli, iako, naravno, nije koristio znakove d, ..., već glomazniji simbolizam. Sa otkrićem logaritamskih nizova, tehnika izračunavanja logaritama se promijenila: počeli su se određivati ​​pomoću beskonačnih nizova. U svojim predavanjima “Elementarna matematika sa višeg gledišta”, održanim 1907-1908, F. Klein je predložio korištenje formule kao polazne tačke za izgradnju teorije logaritama.

Faza 3

Definicija logaritamske funkcije kao inverzne funkcije

eksponencijalni, logaritam kao eksponent date baze

nije formulisan odmah. Esej Leonharda Ojlera (1707-1783)

"Uvod u analizu infinitezimima" (1748) poslužio je daljem

razvoj teorije logaritamskih funkcija. dakle,

Prošle su 134 godine od kada su prvi put uvedeni logaritmi

(računajući od 1614. godine), prije nego što su matematičari došli do definicije

koncept logaritma, koji je sada osnova školskog predmeta.

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti

2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala.

Ekvivalentni prelazi

, ako je a > 1

, ako je 0 < а < 1

Metoda generaliziranog intervala

Ova metoda je najuniverzalnija pri rješavanju nejednakosti gotovo bilo kojeg tipa. Dijagram rješenja izgleda ovako:

1. Dovedite nejednakost u oblik gdje je funkcija na lijevoj strani
, a na desnoj strani 0.

2. Pronađite domenu funkcije
.

3. Pronađite nule funkcije
, odnosno riješiti jednačinu
(a rješavanje jednadžbe je obično lakše nego rješavanje nejednačine).

4. Nacrtajte domen definicije i nule funkcije na brojevnoj pravoj.

5. Odredite znakove funkcije
na dobijenim intervalima.

6. Odaberite intervale u kojima funkcija uzima tražene vrijednosti i zapišite odgovor.

Primjer 1.

Rješenje:

Primijenimo metodu intervala

gdje

Za ove vrijednosti, svi izrazi pod logaritamskim predznacima su pozitivni.

odgovor:

Primjer 2.

Rješenje:

1st način . ADL je određen nejednakošću x> 3. Uzimanje logaritma za takve x do baze 10, dobijamo

Posljednja nejednakost bi se mogla riješiti primjenom pravila ekspanzije, tj. poređenje faktora sa nulom. Međutim, u ovom slučaju je lako odrediti intervale konstantnog predznaka funkcije

stoga se može primijeniti intervalna metoda.

Funkcija f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ je kontinuirano na x> 3 i nestaje u tačkama x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Dakle, određujemo intervale konstantnog predznaka funkcije f(x):

odgovor:

2. metoda . Hajde da direktno primenimo ideje intervalne metode na originalnu nejednakost.

Da biste to učinili, podsjetite da su izrazi a b- a c i ( a - 1)(b- 1) imaju jedan znak. Zatim naša nejednakost u x> 3 je ekvivalentno nejednakosti

ili

Posljednja nejednakost rješava se metodom intervala

odgovor:

Primjer 3.

Rješenje:

Primijenimo metodu intervala

odgovor:

Primjer 4.

Rješenje:

Od 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 za sve realne x, To

Za rješavanje druge nejednakosti koristimo metodu intervala

U prvoj nejednakosti vršimo zamjenu

onda dolazimo do nejednakosti 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, koji zadovoljavaju nejednakost -0,5< y < 1.

Odakle, otkad

dobijamo nejednakost

koji se sprovodi kada x, za koji 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sada, uzimajući u obzir rješenje druge nejednakosti sistema, konačno dobijamo

odgovor:

Primjer 5.

Rješenje:

Nejednakost je ekvivalentna skupu sistema

ili

Koristimo metodu intervala ili

Odgovori:

Primjer 6.

Rješenje:

Sistem nejednakosti jednakosti

Neka

Onda y > 0,

i prva nejednakost

sistem poprima oblik

ili, odvijanje

kvadratni trinom faktorisan,

Primjenom metode intervala na posljednju nejednakost,

vidimo da njegova rješenja zadovoljavaju uslov y> 0 će biti sve y > 4.

Dakle, originalna nejednakost je ekvivalentna sistemu:

Dakle, rješenja za nejednakost su sva

2.2. Metoda racionalizacije.

Ranije se nejednakost nije rješavala metodom racionalizacije; Ovo je "nova moderna efikasna metoda za rješavanje eksponencijalnih i logaritamskih nejednakosti" (citat iz knjige S.I. Kolesnikove)
A čak i da ga je učiteljica poznavala, postojao je strah - poznaje li ga stručnjak za Jedinstveni državni ispit i zašto ga ne daju u školi? Bilo je situacija kada je učiteljica rekla učeniku: „Odakle ti to sedi – 2.“
Sada se metoda promoviše svuda. A za stručnjake postoje smjernice povezane s ovom metodom, a u “Najpotpunijim izdanjima standardnih opcija...” u Rješenju C3 koristi se ova metoda.
DIVNA METODA!

"Čarobni sto"

U drugim izvorima

Ako a >1 i b >1, zatim log a b >0 i (a -1)(b -1)>0;

Ako a >1 i 0

ako je 0<a<1 и b >1, zatim log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ako je 0<a<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0.

Provedeno rezonovanje je jednostavno, ali značajno pojednostavljuje rješenje logaritamskih nejednačina.

Primjer 4.

log x (x 2 -3)<0

Rješenje:

Primjer 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Rješenje:

Odgovori. (0; 0,5)U.

Primjer 6.

Za rješavanje ove nejednakosti umjesto nazivnika pišemo (x-1-1)(x-1), a umjesto brojnika pišemo proizvod (x-1)(x-3-9 + x).

Odgovori : (3;6)

Primjer 7.

Primjer 8.

2.3. Nestandardna zamjena.

Primjer 1.

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Primjer 5.

Primjer 6.

Primjer 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Napravimo zamjenu y=3 x -1; tada će ova nejednakost dobiti oblik

Log 4 log 0,25
.

Jer log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada ćemo posljednju nejednakost prepisati kao 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Napravimo zamjenu t =log 4 y i dobijemo nejednakost t 2 -2t +≥0, čije su rješenje intervali - .

Dakle, da bismo pronašli vrijednosti y imamo skup od dvije jednostavne nejednakosti
Rješenje ovog skupa su intervali 0<у≤2 и 8≤у<+.

Prema tome, originalna nejednakost je ekvivalentna skupu dvije eksponencijalne nejednakosti,
odnosno agregati

Rješenje prve nejednakosti ovog skupa je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Dakle, originalna nejednakost je zadovoljena za sve vrijednosti x iz intervala 0<х≤1 и 2≤х<+.

Primjer 8.

Rješenje:

Sistem nejednakosti jednakosti

Rješenje druge nejednakosti koja definira ODZ bit će skup njih x,

za koji x > 0.

Za rješavanje prve nejednakosti vršimo zamjenu

Tada dobijamo nejednakost

ili

Skup rješenja posljednje nejednačine nalazi se metodom

intervali: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, dobijamo

ili

Mnogo toga x, koji zadovoljavaju posljednju nejednakost

pripada ODZ-u ( x> 0), dakle, predstavlja rješenje sistema,

a time i izvorna nejednakost.

odgovor:

2.4. Zadaci sa zamkama.

Primjer 1.

.

Rješenje. ODZ nejednakosti je sve x koji zadovoljava uslov 0 . Dakle, svi x su iz intervala 0

Primjer 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Činjenica je da je drugi broj očito veći od

Zaključak

Nije bilo lako pronaći specifične metode za rješavanje C3 problema iz velikog broja različitih obrazovnih izvora. U toku obavljenog rada bio sam u mogućnosti da proučavam nestandardne metode za rješavanje složenih logaritamskih nejednačina. To su: ekvivalentni prelazi i generalizovana metoda intervala, metoda racionalizacije , nestandardna zamjena , zadaci sa zamkama na ODZ. Ove metode nisu uključene u školski program.

Različitim metodama riješio sam 27 nejednakosti predloženih na Jedinstvenom državnom ispitu u dijelu C, odnosno C3. Ove nejednakosti sa rješenjima po metodama činile su osnovu zbirke „C3 Logaritamske nejednakosti s rješenjima“, koja je postala projektni proizvod moje aktivnosti. Potvrđena je hipoteza koju sam postavio na početku projekta: C3 problemi se mogu efikasno riješiti ako poznajete ove metode.

Osim toga, otkrio sam zanimljive činjenice o logaritmima. Bilo mi je zanimljivo ovo raditi. Moji projektni proizvodi će biti korisni i studentima i nastavnicima.

Zaključci:

Time je cilj projekta postignut i problem riješen. I dobio sam najpotpunije i najraznovrsnije iskustvo projektnih aktivnosti u svim fazama rada. Tokom rada na projektu, moj glavni razvojni uticaj bio je na mentalnu kompetenciju, aktivnosti vezane za logičke mentalne operacije, razvoj kreativne kompetencije, lične inicijative, odgovornosti, istrajnosti i aktivnosti.

Garancija uspjeha pri izradi istraživačkog projekta za Stekao sam: značajno školsko iskustvo, sposobnost da dobijem informacije iz različitih izvora, provjerim njihovu pouzdanost i rangiram ih po važnosti.

Pored neposrednih predmetnih znanja iz matematike, proširio sam svoje praktične veštine u oblasti informatike, stekao nova znanja i iskustva iz oblasti psihologije, uspostavio kontakte sa kolegama iz razreda i naučio da sarađujem sa odraslima. Tokom projektnih aktivnosti razvijene su organizacione, intelektualne i komunikativne općeobrazovne vještine.

Književnost

1. Korjanov A. G., Prokofjev A. A. Sistemi nejednakosti sa jednom promenljivom (standardni zadaci C3).

2. Malkova A. G. Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike.

3. Samarova S. S. Rješavanje logaritamskih nejednačina.

4. Matematika. Zbornik radova za obuku priredio A.L. Semenov i I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 str.-

Sa njima su unutrašnji logaritmi.

primjeri:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Kako riješiti logaritamske nejednačine:

Trebalo bi nastojati da svedemo bilo koju logaritamsku nejednakost na oblik \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simbol \(˅\) znači bilo koji od ). Ovaj tip vam omogućava da se riješite logaritama i njihovih baza, čineći prijelaz na nejednakost izraza pod logaritmima, odnosno na oblik \(f(x) ˅ g(x)\).

Ali kada pravite ovu tranziciju postoji jedna vrlo važna suptilnost:
\(-\) ako je broj i veći je od 1, znak nejednakosti ostaje isti tokom prijelaza,
\(-\) ako je baza broj veći od 0, ali manji od 1 (leži između nule i jedan), onda bi predznak nejednakosti trebao promijeniti u suprotan, tj.

primjeri:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Rješenje: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Odgovor: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\početak(slučajevi)2x-4>0\\x+1 > 0\kraj(slučajevi)\) \(\početak(slučajevi)2x>4\\x > -1\kraj(slučajevi)\) \(\Leftrightarrow\) \(\početak(slučajevi)x>2\\x > -1\kraj(slučajevi) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Rješenje: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Odgovor: \((2;5]\)

Veoma važno! U bilo kojoj nejednakosti, prijelaz sa oblika \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) na poređenje izraza pod logaritmima može se izvršiti samo ako:

Primjer . Riješite nejednakost: \(\log\)\(≤-1\)

Rješenje:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Otvaramo zagrade i donosimo .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Pomnožimo nejednakost sa \(-1\), ne zaboravljajući da obrnemo znak poređenja.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Konstruirajmo brojevnu pravu i označimo tačke \(\frac(7)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) na njoj. Imajte na umu da je tačka uklonjena iz nazivnika, uprkos činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova tačka neće biti rješenje, jer će nas, kada se zamijeni u nejednakosti, dovesti do dijeljenja sa nulom.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji pada u ODZ.
	Zapisujemo konačan odgovor.

odgovor: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Primjer . Riješite nejednačinu: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Rješenje:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Idemo do rješenja.
Rješenje: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Ovdje imamo tipičnu kvadratno-logaritamsku nejednakost. Hajde da to uradimo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Proširujemo lijevu stranu nejednakosti u .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Sada se moramo vratiti na originalnu varijablu - x. Da bismo to učinili, idemo na , koji ima isto rješenje, i napravimo obrnutu zamjenu.
\(\left[ \begin(sakupljeno) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformirajte \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Pređimo na poređenje argumenata. Osnove logaritma su veće od \(1\), pa se predznak nejednačina ne mijenja.
\(\left[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Kombinirajmo rješenje nejednačine i ODZ na jednoj slici.
	Hajde da zapišemo odgovor.

odgovor: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

Logaritamske nejednakosti

U prethodnim lekcijama smo se upoznali sa logaritamskim jednadžbama i sada znamo šta su i kako ih riješiti. Današnja lekcija će biti posvećena proučavanju logaritamskih nejednakosti. Koje su to nejednakosti i koja je razlika između rješavanja logaritamske jednadžbe i nejednakosti?

Logaritamske nejednakosti su nejednakosti koje imaju varijablu koja se pojavljuje ispod znaka logaritma ili u njegovoj osnovi.

Ili, također možemo reći da je logaritamska nejednačina nejednakost u kojoj će se njena nepoznata vrijednost, kao u logaritamskoj jednadžbi, pojaviti pod znakom logaritma.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti imaju sljedeći oblik:

gdje su f(x) i g(x) neki izrazi koji zavise od x.

Pogledajmo ovo koristeći ovaj primjer: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rješavanje logaritamskih nejednačina

Prije rješavanja logaritamskih nejednačina, vrijedi napomenuti da su kada su riješene slične eksponencijalnim nejednačinama, naime:

Prvo, kada prelazimo sa logaritma na izraze pod znakom logaritma, takođe treba da uporedimo bazu logaritma sa jedinicom;

Drugo, kada rješavamo logaritamsku nejednakost korištenjem promjene varijabli, moramo rješavati nejednakosti s obzirom na promjenu dok ne dobijemo najjednostavniju nejednakost.

Ali vi i ja smo razmatrali slične aspekte rješavanja logaritamskih nejednačina. Sada obratimo pažnju na prilično značajnu razliku. Vi i ja znamo da logaritamska funkcija ima ograničenu domenu definicije, stoga, kada prelazimo s logaritama na izraze pod znakom logaritma, moramo uzeti u obzir raspon dopuštenih vrijednosti (ADV).

Odnosno, treba uzeti u obzir da prilikom rješavanja logaritamske jednadžbe vi i ja prvo možemo pronaći korijene jednadžbe, a zatim provjeriti ovo rješenje. Ali rješavanje logaritamske nejednakosti neće funkcionirati na ovaj način, budući da će prijeći s logaritama na izraze pod predznakom logaritma, biti potrebno zapisati ODZ nejednakosti.

Osim toga, vrijedi zapamtiti da se teorija nejednakosti sastoji od realnih brojeva, koji su pozitivni i negativni brojevi, kao i broja 0.

Na primjer, kada je broj “a” pozitivan, tada trebate koristiti sljedeću notaciju: a >0. U ovom slučaju, i zbir i proizvod ovih brojeva također će biti pozitivni.

Glavni princip za rješavanje nejednakosti je zamijeniti je jednostavnijom nejednakošću, ali je najvažnije da ona bude ekvivalentna datoj. Nadalje, također smo dobili nejednakost i ponovo je zamijenili onom koja ima jednostavniji oblik, itd.

Prilikom rješavanja nejednakosti s promjenljivom, potrebno je pronaći sva njena rješenja. Ako dvije nejednačine imaju istu varijablu x, onda su takve nejednakosti ekvivalentne, pod uslovom da se njihova rješenja poklapaju.

Prilikom izvođenja zadataka na rješavanju logaritamskih nejednačina, morate imati na umu da kada je a > 1, tada se logaritamska funkcija povećava, a kada je 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode rješavanja logaritamskih nejednačina

Pogledajmo sada neke od metoda koje se primjenjuju pri rješavanju logaritamskih nejednačina. Radi boljeg razumijevanja i asimilacije, pokušat ćemo ih razumjeti na konkretnim primjerima.

Svi znamo da najjednostavnija logaritamska nejednakost ima sljedeći oblik:

U ovoj nejednakosti, V – je jedan od sljedećih znakova nejednakosti:<,>, ≤ ili ≥.

Kada je baza datog logaritma veća od jedan (a>1), čineći prijelaz sa logaritama na izraze pod predznakom logaritma, tada je u ovoj verziji znak nejednakosti sačuvan, a nejednakost će imati sljedeći oblik:

što je ekvivalentno ovom sistemu:

U slučaju kada je osnova logaritma veća od nule i manja od jedan (0

Ovo je ekvivalentno ovom sistemu:

Pogledajmo još primjera rješavanja najjednostavnijih logaritamskih nejednačina prikazanih na slici ispod:

Primjeri rješavanja

Vježbajte. Pokušajmo riješiti ovu nejednakost:

Rješavanje raspona prihvatljivih vrijednosti.

Pokušajmo sada pomnožiti njegovu desnu stranu sa:

Hajde da vidimo šta možemo da smislimo:

Pređimo sada na pretvaranje podlogaritamskih izraza. Zbog činjenice da je osnova logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A iz ovoga proizilazi da interval koji smo dobili u potpunosti pripada ODZ-u i da je rješenje takve nejednakosti.

Ovo je odgovor koji smo dobili:

Šta je potrebno za rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Pokušajmo sada analizirati šta nam je potrebno za uspješno rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Prvo, koncentrišite svu svoju pažnju i pokušajte da ne pogrešite kada izvodite transformacije koje su date u ovoj nejednakosti. Također, treba imati na umu da je prilikom rješavanja ovakvih nejednačina potrebno izbjegavati proširenja i kontrakcije nejednačina, što može dovesti do gubitka ili sticanja stranih rješenja.

Drugo, kada rješavate logaritamske nejednakosti, morate naučiti logično razmišljati i razumjeti razliku između pojmova kao što su sistem nejednakosti i skup nejednakosti, tako da možete lako odabrati rješenja nejednakosti, a pritom se voditi njenim DL.

Treće, da biste uspješno riješili takve nejednakosti, svako od vas mora savršeno poznavati sva svojstva elementarnih funkcija i jasno razumjeti njihovo značenje. Takve funkcije uključuju ne samo logaritamske, već i racionalne, stepene, trigonometrijske itd., jednom riječju, sve one koje ste učili tokom školske algebre.

Kao što vidite, nakon što ste proučili temu logaritamskih nejednakosti, nema ništa teško u rješavanju ovih nejednakosti, pod uvjetom da ste pažljivi i uporni u postizanju svojih ciljeva. Da biste izbjegli bilo kakve probleme u rješavanju nejednakosti, potrebno je što više vježbati, rješavajući različite zadatke i pritom zapamtiti osnovne metode rješavanja takvih nejednačina i njihovih sistema. Ako ne uspete da rešite logaritamske nejednakosti, trebalo bi da pažljivo analizirate svoje greške kako se ne biste više vraćali na njih u budućnosti.

Zadaća

Da biste bolje razumjeli temu i konsolidirali obrađeni materijal, riješite sljedeće nejednakosti: